Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c

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A Algebra Geomtrica e do Espao-tempo e a Teoria da Relatividade cDepartamento de Matemtica Aplicada - IMECC a Universidade Estadual de Campinas CP 6065, 13081-970, Campinas, S.P., Brasil E-mail: vaz@ime.unicamp.br

Jayme Vaz Jr.

Recebido em 19 de Fevereiro, 1999 Neste artigo discutimos a lgebra geomtrica do espao-tempo de Minkowski e algumas das suas a e c aplicaoes dentro da Teoria da Relatividade Restrita. Para isso fazemos inicialmente uma discuss~o c~ a e compara~o entre espaos euclideanos e pseudo-euclideanos tomando como exemplo o plano. ca c Rota~es espaciais e hiperblicas s~o discutidas em detalhes. As algebras geomtricas do plano euco o a e clideano e do plano pseudo-euclideano s~o discutidas detalhada e comparativamente. Discutimos o a conceito de espao-tempo e ent~o a lgebra geomtrica do espao-tempo, em termos da qual discuc a a e c timos depois os aspectos principais da Teoria da Relatividade Restrita. Uma das grandes vantagens do formalismo ca manifestada pois a lgebra geomtrica do espao-tempo uma generaliza~o a e c e ca quase trivial das outras consideradas.

I Introdu~o caUma das mais importantes consequ^ncias da Teoria da e Relatividade TR1 foi ter mostrado claramente a inadequa~o do conceito de espao e tempo usados na ca c Fsica Clssica. O espao fsico" tridimensional da a c nossa percep~o imediata n~o possui uma exist^ncia obca a e jetiva independente de cada um de ns. Segundo a TR, o o espao onde os eventos ocorrem um espao quac e c dridimensional chamado espao-tempo, composto n~o c a apenas pelas direoes espaciais usuais mas tambm c~ e por uma dire~o de carter temporal. Mais ainda, ca a este espao-tempo n~o possui uma estrutura euclidec a ana como a do espao fsico" tridimensional mas sim c uma estrutura pseudo-euclideana. Outras teorias, como por exemplo a Mec^nica a Qu^ntica, certamente desa am mais o senso comum do a que a TR. N~o por isso que a TR possa ser mais fcil" a a ou difcil" do que outras teorias. Sem dvida a ne u e cessidade do pensamento quadrimensional o obstculo a mais difcil de ser contornado para podermos apreciar e entender plenamente a TR. A di culdade est na ima possibilidade de visualiza~o e nesse caso a unica ferca ramenta cient ca! que nos resta para explorarmos o mundo quadrimensional a Matemtica. e a A linguagem matemtica mais do que a linguagem a e

da Fsica: a linguagem e a vis~o. Entretanto, n~o e a a basta um bom treinamento matemtico para podermos a ver" atravs de smbolos e equa~es. E preciso acima e co de tudo um formalismo matemtico adequado para lia dar com estes smbolos, de modo que as rela~es ex co pressas pelas equa~es dentro deste formalismo possam co ser plenamente compreendidas e interpretadas. Mais ainda, este formalismo deve ser geral, por exemplo no sentido em que possa ser utilizado no estudo de espaos c bidimensionais, tridimensionais, quadrimensionais, etc. Com efeito, qual a utilidade para a TR de um formalismo matemtico que s possa ser aplicado a um espao a o c tridimensional? Esta a situaao da lgebra vetorial de Gibbse c~ a Heaviside! Primeiro, devemos lembrar a import^ncia a de uma lgebra vetorial. De fato, vrias quantidades a a fsicas e geomtricas t^m natureza vetorial. N~o ape e e a nas a de ni~o de algumas destas quantidades como ca tambm certas rela~es dependem da de ni~o de um e co ca produto de vetores. Um espao vetorial equipado com c um produto de vetores o que denominamos uma e a lgebra vetorial. A lgebra vetorial de Gibbs-Heaviside a aquela na qual o produto de vetores o conhecido e e produto vetorial, plenamente difundido entre os alunos de Fsica e outras Ci^ncias desde o primeiro ano de e estudos. Ocorre que este produto vetorial n~o existe a

1 Ao longo deste artigo consideraremos apenas a chamada Relatividade Restrita e n~o a Relatividade Geral. TR ser portanto a a sin^nimo aqui de TRR. o

6 em espaos bidimensionais ou quadridimensionais, por c exemplo. Ora, isto um defeito imperdovel!2 Uma e a estrutura matemtica cuja aplicabilidade se limita unia camente a um espao tridimensional n~o pode merecer c a muito crdito; ela de fato estril pois n~o pode ser e e e a reproduzida para outros espaos e portanto n~o perc a mite que atravs de compara~o e generaliza~o outros e ca ca mundos possam ser explorados matematicamente. Paradoxalmente, decorrido quase um sculo da TR, e a lgebra vetorial de Gibbs-Heaviside ainda a estrua e tura algbrica bsica envolvida sobretudo no ensino da e a Fsica Clssica. O que precisamos aqui de uma outra a e estrutura matemtica baseada em uma outra de ni~o a ca do produto de vetores em termos da qual possamos formular os conceitos e as teorias fsicas que t^m lugar e em um espao tridimensional mas que n~o esteja limic a tada a este espao. De nitivamente a lgebra de Gibbsc a Heaviside n~o esta estrutura. Nesse caso a pergunta a e o e bvia : existe alguma alternativa? Neste artigo pretendemos apresentar as chamadas lgebras de Cli ord ou lgebras geomtricas como a a e esta alternativa e explorar sua utiliza~o dentro da ca TR. Antes mesmo do advento da lgebra vetorial de a Gibbs-Heaviside, W. K. Cli ord apresentou esta estrutura que ele denominou algebras geomtricas e que n~o contm certos problemas conceituais presena e tes na algebra de Gibbs-Heaviside e que n~o est li a a mitada a um espao tridimensional. A diferena entre c c as algebras geomtricas e a lgebra de Gibbs-Heaviside e a est na de ni~o do produto de vetores. O produto a ca geomtrico ou de Cli ord de vetores n~o apenas pode e a ser de nido em qualquer espao vetorial como tambm c e contm mais informa~es do que o produto vetorial e co usual quando este existe. Ele tambm possui oue tras vantagens como associatividade e exist^ncia de um e elemento inverso, propriedades que n~o s~o satisfeitas a a pelo produto vetorial da lgebra de Gibbs-Heaviside. a A lgebra geomtrica do espao euclideano 1 permite a e c uma completa formula~o dos desenvolvimentos das ca a reas clssicas da Fsica como por exemplo a Mec^nica a a 2 e o Eletromagnetismo 3 com vrias vantagens soa bre as formula~es usuais. Uma das maiores vantagens, co porm, aparece quando samos do domnio clssico dos e a fen^menos e entramos no domnio qu^ntico. De fato, o a dentro da algebra geomtrica est presente o conceito e a de spinor 1 , que o objeto matemtico em termos do e a qual descrevemos quanticamente os frmions de spin e 1 2 como o eltron. Consequentemente, o mesmo fore malismo pode ser utilizado para descrever fen^menos o clssicos ou qu^nticos! a a

Jayme Vaz Jr. Do ponto de vista do estudo da TR, existem duas grandes vantagens no formalismo das lgebras a geomtricas. Primeiro, a passagem do espao tridimene c sional para o espao-tempo quadridimensional dentro c deste formalismo se faz simplesmente trocando com as devidas adaptaoes n = 3 por n = 4. Depois existe c~ a particularidade do espao-tempo n~o ser euclideano c a mas sim pseudo-euclideano. Nesse ponto aparece a segunda vantagem. Podemos estudar e compreender as diferenas entre espaos euclideano e pseudo-euclideano c c estudando primeiro o exemplo bidimensional plano atravs das lgebras geomtricas destes espaos. As e a e c modi ca~es para o espao-tempo quadridimensional co c s~o ent~o novamente triviais. a a As lgebras geomtricas de Cli ord s~o de certa a e a forma o resultado da fus~o e posterior generaliza~o a ca de dois sistemas: os quatrnions de Hamilton e a e a lgebra de extens~o de Grassmann. Os quatrnions a e de Hamilton s~o uma generaliza~o natural do sistema a ca dos nmeros complexos. Enquanto os nmeros comu u plexos est~o associados com a geometria ortogonal do a plano3, os quatrnions est~o associados com a geomee a tria ortogonal do espao tridimensional. Cli ord mosc trou como de nir o produto quaterni^nico em termos da o a lgebra de Grassmann. Como a lgebra de Grassmann a de nida para qualquer espao vetorial, independente e c da sua dimens~o, Cli ord p^de ent~o generalizar este a o a produto para um espao vetorial arbitrrio. Alm desta c a e generaliza~o para um nmero arbitrrio de dimens~es, ca u a o a correta formula~o do problema permitiu tambm a ca e sua generalizaao para outros espaos que n~o apenas c~ c a os euclideanos considerando ent~o outras geometrias a alm da ortogonal. Por estes motivos, natural utilie e zarmos uma lgebra geomtrica para estudarmos a TR. a e Nesse ponto deve estar claro que o problema capital a de ni~o do produto de vetores. Para sermos e ca um pouco mais espec cos e adiantando um pouco o que discutiremos adiante, vamos detalhar a no~o do ca produto geomtrico de vetores. Podemos olhar a dee ni~o do produto de vetores dentro de uma lgebra ca a geomtrica partindo de um espao vetorial equipado e c com uma forma bilinear e simtrica g. A quantidade e gv; v uma quantidade escalar que associamos com e o mdulo do vetor v. Dado o v = v1e1 + v2 e2 + + vnen ; 1 para uma escolha conveniente da base B = fe1; : : :; eng podemos escrever gv; v de uma maneira geral na forma gv; v = v1 2 v2 2 vn 2: 2

2 O produto vetorial apresenta ainda outros problemas alm deste mas n~o o caso aqui discut-los. Uma discuss~o mais detalhada e a e a pode ser vista em 1 . 3 De fato, basta lembrar aqui a interpretaao geomtrica dos n meros complexos em termos do plano de Argand-Gauss-Wessel. c~ e u

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c Esta express~o com os diversos sinais acima todos poa sitivos bem conhecida; o signi cado de express~es e o com sinais negativos ser discutido adiante e por ena quanto vamos apenas aceit-las. O produto geomtrico a e ou de Cli ord, que denotaremos simplesmente por justaposiao como em vu signi cando o produto c~ geomtrico dos vetores v e u a algebra associativa e e tal que o produto de vetores satisfazv1 e1 + v2 e2 + + vn en v1e1 + v2 e2 + + vn en = v1 2 v2 2 vn 2 : 3

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das na TR s~o demonstradas facilmente com esse fora malismo. Na sec.8 apresentamos nossas considera~es co nais. Embora n~o seja estritamente necessrio nenhum a a conhecimento prvio das lgebras geomtricas para a e a e leitura deste artigo, muito recomendvel a leitura do e a nosso artigo acerca da lgebra geomtrica do espao a e c euclideano 1 , mais especi camente das suas segunda e terceira se~es. Isto certamente ajudar muito na comco a preens~o geral da estrutura das lgebras geomtricas e a a e da sua generalidade.

Veremos adiante soluoes deste problema. O que deve c~ estar claro por enquanto que o produto no lado ese querdo desta equa~o n~o se trata do produto escalar ca a o qual, entretanto, aparecer como uma caso particular a do produto geomtrico assim de nido. e Este artigo est organizado da seguinte forma. Na a prxima se~o discutiremos as principais diferenas eno ca c tre os espaos euclideano e pseudo-euclideano consic derando como exemplo o plano. Depois exibiremos as lgebras geomtricas do plano euclideano sec.3 e a e do plano pseudo-euclideano sec.4, procurando sempre que possvel comparar estas duas para melhor en tendermos as diferenas e similaridades entre elas. Na c quinta se~o discutiremos o conceito de espao-tempo. ca c N~o pretendemos de maneira alguma fazer uma disa cuss~o detalhada do conceito de espao-tempo dentro a c da TR. Iremos assumir alguma familiaridade com este conceito embora tentaremos desenvolver o assunto da maneira mais completa possvel. Em outras palavras, n~o se deve esperar entender completamente o conceito a de espao-tempo e a prpria TR atravs do contedo c o e u da sec.5; entretanto, esperamos faz^-la t~o completa e a quanto possvel para que n~o seja necessrio para aque a a les n~o completamente familiarizados com estes cona ceitos a consulta de refer^ncias complementares para e o andamento da leitura do texto. Na sec.6 introduzimos e discutimos a lgebra geomtrica do espaoa e c tempo. Como veremos, a de ni~o desta lgebra se ca a faz de uma maneira quase trivial comparada com as a lgebras geomtricas do plano euclideano e pseudoe euclideano. Algumas adapta~es s~o necessrias, verco a a e dade, mas todas s~o naturais e consequ^ncia da dia e mens~o do espao ser maior que a dos exemplos consia c derados. Esta sem dvida uma das grandes vantagens u e deste formalismo. Nesse ponto os principais aspectos da a lgebra geomtrica do espao-tempo j foram discutidos e c a nos exemplos das algebras do plano e esperamos que se tornem mais facilmente compreensveis. Finalmente na sec.7 discutimos os aspectos principais da cinemtica e a din^mica relativsticas utilizando a lgebra geomtrica a a e do espao-tempo. Como veremos, as frmulas envolvic o

II Espaos Euclideano versus c Pseudo-EuclideanoAs diferenas fundamentais entre os espaos euclidec c anos e pseudo-euclideanos podem ser apreendidas tomando como exemplo o plano. Os modelos em quest~o a tratam de um espao com apenas duas dimens~es espac o ciais no caso do plano euclideano e de um espao com c apenas uma dimens~o espacial e uma dimens~o tempoa a ral no caso do plano pseudo-euclideano. Nosso ponto de partida o plano por enquanto e sem nenhuma estrutura mtrica previamente de nida. e Seja fe1; e2g uma base do espao vetorial R2 , de modo c que um vetor arbitrrio deste espao da forma v = a c e v1e1 + v2e2 . Para evitar complica~es desnecessrias co a vamos tomar os vetores e1 e e2 ao longo das dire~es co associadas com coordenadas cartesianas do plano. Muitos conceitos se aplicam nesse ponto; por exemplo, podemos falar em combina~o linear, independ^ncia lica e near, espao dual, transforma~es lineares, etc. Porm, c co e para falarmos em ortogonalidade precisamos de uma estrutura mtrica, ou seja, de uma aplica~o bilinear e e ca simtrica g : R2 R2 ! R. Dois vetores v e u s~o e a ditos ortogonais se gv; u = 0. A aplicaao g uma estrutura adicional sobre um c~ e espao vetorial. Mais ainda, ela n~o precisa ser unicac a mente de nida. Para o caso de um espao euclideano c e em termos da base fe1; e2g a aplica~o g da forma ca e gE dada por gE e1 ; e1 = gE e2 ; e2 = 1; gE e1 ; e2 = gE e2 ; e1 = 0: 4

Com isso segue usando a propriedade de bilinearidade que gE v; v = v1 2 + v2 2 = jvj2: 5 Como vemos, gE v; v est relacionada com o chamado a produto escalar. O ponto fundamental aqui que o espao euclideano e c de nido por esta aplica~o gE . Em outras palavras, e ca

8 o adjetivo euclideano se aplica ao espao equipado com c esta forma particular 4 da aplica~o g. Para uma outra ca de ni~o de g a estrutura mtrica adicional do espao ca e c vetorial poder apresentar propriedades distintas daa quelas de um espao euclideano. c Podemos pensar em de nir outras aplica~es g e co consequentemente outros tipos de espao. Por exemc plo, podemos considerar gAE dada por gAE e1; e1 = gAE e2 ; e2 = ,1; gAE e1; e2 = gAE e2 ; e1 = 0; 6 de modo que gAE v; v = ,v1 2 , v2 2 = ,jvj2: 7 Chamaremos um espao vetorial com esta aplicaao gAE c c~ de anti-euclideano. Apesar do pre xo anti" sugerir alguma propriedade s avessas" deste espao, ele ainda essencia c e almente euclideano. Por exemplo, tanto num espao c euclideano quanto num espao anti-euclideano vale c o teorema de Pitgoras. A diferena entre estes a c espaos que enquanto em um espao euclideano tec e c mos gE v; v 0, 8v, em um espao anti-euclideano c temos gAE v; v 0, 8v. Uma vez que usamos g para de nir o mdulo jvj de um vetor v, no caso euclideano o de nimos jvj2 = gE v; v e no caso anti-euclideano denimos jvj2 = ,gAE v; v. Com isso nos dois espaos c temos jvj 0. Por outro lado, poderamos ter simplesmente de nido jvj2 = gv; v tanto para g = gE como para g = gAE . Nesse caso teramos jvj2 0 mas jvj2 0. E AE A diferena entre estes dois casos completamente irc e relevante. O importante que jvj2 em qualquer um e destes casos ou sempre n~o-negativo ou sempre n~oe a e a positivo. Um leitor mais preocupado pode estar se perguntando: mas o mdulo n~o uma quantidade sempre o a e n~o-negativa? Sim, para o caso envolvendo nmeros! a u Entretanto, o que temos aqui s~o vetores e n~o nmeros. a a u O importante que n~o tenhamos aqui ao mesmo tempo e a casos em que o mdulo seja positivo e casos em que o o mdulo seja negativo. Para um leitor que esteja um o tanto confuso talvez seja melhor pensar em dois conceitos distintos: mdulo e valor absoluto. Podemos ent~o o a pensar em valor absoluto como uma quantidade sempre n~o-negativa e tal que o mdulo seja ou igual ao valor a o absoluto ou igual ao oposto do valor absoluto conforme cada um dos casos acima. Mais uma vez, o importante aqui que para todos os vetores a quantidade gv; v e ou sempre n~o-negativa ou sempre n~o-positiva. e a e a O caso realmente distinto ocorre quando temos um espao onde podemos ter vetores tais que gv; v seja c4

Jayme Vaz Jr. positivo, negativo ou nulo. Isso acontece para gPE dado por gPE e1; e1 = ,gPE e2; e2 = 1; gPE e1 ; e2 = gPE e2 ; e1 = 0: Nesse caso encontramos que gPE v; v = v12 , v2 2 : 9 Evidentemente gPE v; v pode ser positivo, negativo ou nulo conforme tenhamos v1 v2, v1 v2 ou v1 = v2 , respectivamente. Um espao neste caso o plano equic pado com g da forma gPE chamado um espao pseudoe c euclideano. Para entendermos um pouco melhor a diferena enc tre espaos euclideano e pseudo-euclideano vamos olhar c com mais detalhes para as equa~es 5 e 9. Primeiro, co vamos olhar para a eq.5. Vamos considerar o conjunto de vetores tais que v1 2 + v2 2 = r2 = constante; 10 ou equivalentemente v 2 v 2 1 2 11 r + r = 1: Esta equa~o nada mais do que a equa~o de uma ca e ca circunfer^ncia de raio unitrio. e a 8

Figura 1. Uma circunfer^ncia de raio unitrio parametrie a zada pelo ^ngulo . a

Como bem sabido, uma circunfer^ncia pode ser e e parametrizada atravs de um angulo . Olhando para e ^ a eq.11 e lembrando a conhecida rela~o entre as ca fun~es seno e co-seno, co cos2 + sin2 = 1; 12

A eq.4 depende da base escolhida. Para uma outra base as express~es dadas pela eq.4 podem ser diferentes. Para n~o entrarmos o a nestes detalhes durante esta discuss~o estamos assumindo que a base que escolhemos est xada. a a

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c vemos que podemos escrever v1 = r cos ; v2 = r sin : 13 E oportuno lembrarmos aqui a express~o para as a funoes seno e co-seno em termos da exponencial comc~ plexa, ou seja, i ,i i ,i 14 cos = e + e ; sin = e , e ; 2 2i ou ainda ei = cos + i sin ; 15 onde i a unidade imaginria i2 = ,1. e a O conjunto de vetores que satisfaz a condi~o jvj = ca r = constante pode portanto ser escrito na forma ou seja, v1 = v2 :

9 24

Estas s~o as equa~es das assntotas das hiprboles a co e acima. Estes casos est~o desenhados na gura abaixo. a

v = rcos e + sin e :1 2

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Qualquer um dos vetores que satisfazem a condi~o ca jvj = r pode ser obtido a partir de um outro satisfazendo esta condi~o atravs de uma rotaao por um ca e c~ a ^ngulo apropriado. Vale lembrar que em uma rota~o ca as componentes de um vetor v mudam de acordo com0 v1 = v1 cos + v2 sin ; 0 v2 = ,v1 sin + v2 cos ;

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Figura 2. Curvas correspondentes aos caos I, II e III discutidos no texto.

onde o angulo de rotaao. e ^ c~ Vamos agora olhar para a eq.9 e considerar a condi~o anloga da eq.10, ou seja, ca a a v12 , v2 2 = constante: 18 Aqui, entretanto, ao contrrio do caso euclideano, dea vemos distinguir tr^s casos: esta constante pode ser e positiva, negativa ou nula. Vamos primeiro considerar o caso I em que esta constante positiva, ou seja, e v1 2 , v2 2 = r2; ou ainda

v 21

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I 20 r Esta a equa~o de uma hiprbole em particular de e ca e uma hiprbole equiltera. e a Para o caso II em que a constante negativa poe demos escrever v1 2 , v22 = ,r2; ou ainda

v 22

2 , vr2 = 1

Do mesmo modo que a circunfer^ncia, que pode e ser parametrizada pelo ^ngulo, podemos parametrizar a a hiprbole atravs de uma quantidade que denominae e remos ^ngulo hiperblico. Apesar do nome, este ^ngulo a o a hiperblico nada tem a ver com o ^ngulo de nido em o a circunfer^ncia que diremos ^ngulo trigonomtrico ao e a e invs de simplesmente ^ngulo quando houver possibie a lidade de confus~o. Esta denomina~o entretanto a ca e plenamente justi cada uma vez que esta quantidade desempenha o mesmo papel para uma hiprbole que e o ^ngulo trigonomtrico para uma circunfer^ncia. a e e As fun~es seno hiperblico e co-seno hiperblico co o o s~o de nidas como a , , cosh = e + e ; sinh = e , e ; 2 2

25 26

de modo que

21

e = cosh + sinh:

II 22 r que tambm a equa~o de uma hiprbole. e e ca e J no caso III em que a constante nula temos a e v1 2 , v2 2 = 0 III 23

2 , vr1 = 1

Aqui o argumento destas fun~es o angulo hiperblico co ^ o tal que ,1 1. Podemos veri car facilmente e da de ni~o acima que estas fun~es satisfazem ca co cosh2 , sinh2 = 1: 27 E oportuno agora compararmos estas equa~es com as co equa~es 12, 14 e 15. Na Fig. 3 ilustramos a sico tua~o para uma hiprbole equiltera. ca e a

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Jayme Vaz Jr.

Figura 3. Uma hiprbole equiltera com semi-eixo unitrio e a a parametrizada atravs do ^ngulo hiperblico . e a o

Figura 4. Rotaao hiperblica do vetor v resultando no vec~ o tor v'.

Para completar a analogia, vamos considerar o conjunto de vetores satisfazendo a condi~o 19 ou 20, ca por exemplo. Nesse caso podemos escrever v1 = rcosh; v2 = rsinh: 28 O conjunto dos vetores satisfazendo esta condiao pode c~ portanto ser escrito na forma

III A lgebra geomtrica do a e plano Euclideano

v = rcoshe + sinhe :1 2

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Qualquer um dos vetores satisfazendo esta condi~o ca pode ser obtido a partir de um outro atravs de e uma rota~o hiperblica. Atravs de uma rota~o hica o e ca perblica por um angulo hiperblico as componentes o ^ o de um vetor v mudam de acordo com0 v1 = v1 cosh + v2 sinh ; 0 v2 = v1 sinh + v2 cosh :

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Podemos agora comparar esta equa~o com a eq.II. ca Note que enquanto temos cos , = cos e sin , = , sin aqui temos cosh, = cosh e sinh, = ,sinh . Uma rota~o hiperblica est ilustrada na ca o a Fig.4. Iremos denominar por motivos que car~o claros a adiante os vetores tais que v1 2 , v2 2 0 de vetores tipo-tempo. Os vetores que satisfazem v1 2 , v2 2 0 ser~o chamados vetores tipo-espao. Finalmente, os vea c tores tais que v1 2 , v2 2 = 0 ser~o chamados vetores a tipo-luz. Por exemplo, Fig. 4 ilustra uma rota~o hica perblica envolvendo dois vetores tipo-tempo. o Como vemos, existem grandes diferenas entre c espaos euclideano e pseudo-euclideano. N~o por isso, c a entretanto, que eles n~o podem ser tratados de maa neira anloga. Basta para isso fazermos as devidas a adapta~es! co

Como j adiantamos na introdu~o a lgebra a ca a geomtrica baseada na de ni~o de um produto de e e ca vetores tal que vale a eq.3. Para o plano euclideano o produto geomtrico deve ser tal que e v1 e1 + v2 e2v1 e1 + v2 e2 = v1 2 + v22 : 31 Desenvolvendo o lado esquerdo desta equa~o assuca mindo distributividade temos v1 2 e12 + v1 v2e1 e2 + e2 e1 + v2 2 e22 = v1 2 + v1 2 : 32 Para que esta equa~o tenha solu~o devemos ter ca ca e1 2 = 1; 33 e2 2 = 1; 34 e1e2 + e2 e1 = 0: 35 Estas rela~es de nem o produto geomtrico da lgebra co e a geomtrica do plano euclideano e com elas podemos cale cular o produto geomtrico de um nmero qualquer de e u vetores. Por exemplo, o produto vu resulta em vu = v1e1 + v2e2 u1e1 + u2e2 = v1 u1 e12 + v1u2 e1e2 + v2u1 e2e1 + v2 u2 e22 = v1 u1 + v2 u2 + v1 u2 , v2 u1 e1e2 : 36 O primeiro termo no lado direito da ultima igualdade possue uma interpreta~o obvia: trata-se do conhecido ca produto escalar dos vetores v e u. Agora, qual o signicado do segundo termo, ou seja, da quantidade e1 e2? A interpreta~o da quantidade e1e2 j foi discutida ca a em 1 . Entretanto, devido sua import^ncia, opora a e tuno e desejvel discutirmos novamente esta quest~o. a a

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c Para isto vamos nos basear em um fato notrio: em um o plano existem pontos, retas e segmentos de reta e o plano e fragmentos do plano. Primeiro, a quantidade e1 e2 n~o uma quantidade a e escalar. Para vermos isso basta notarmos que o produto de e1e2 com um vetor arbitrrio n~o comutativo a a e o que deveria acontecer se esta quantidade fosse um escalar. De fato, tomando como exemplo espec co v = e1 e usando a propriedade de associatividade mais as rela~es 33-35 temos por um lado co e1 e2e1 = ,e2 e1 e1 = ,e2e1 e1 = ,e2 ; e por outro lado 37

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Figura 5. As duas orienta~es possveis de um fragmento de co plano.

e e e = e e e = e : 38 Tampouco e e um vetor no sentido de ser um e1 1 2 1 1 2 2

elemento do espao R2 ao qual pertence um vetor c v = v1 e1 + v2 e2. De fato, nesse caso temos vv = v1 2 + v2 2 0 enquanto para e1e2 temos e1 e2 = e1e2 e1e2 = ,e1 e2 = ,1:2 2 2

1 2

Para generalizarmos um pouco mais a interpreta~o ca acima precisamos voltar um pouco eq.36. Podemos a ver facilmente que a parte escalar do produto vu consiste justamente na parte simtrica deste produto, ou e seja, dada por e v1u1 + v2u2 = vu + uv = v u = u v; 40 2 enquanto a parte anti-simtrica dada por e e Nas ultimas igualdades destas equa~es aproveitamos co para de nir v u e v ^ u. Com isso podemos escrever vu = v u + v ^ u: 42 E oportuno notarmos que em geral vu 6= uv. Podemos ainda ver que e1 e2 = e1 ^ e2 e que v ^ u = ,u ^ v. N~o deve ser difcil nos convencermos agora que a a e quantidade v ^ u que descreve o fragmento de plano orientado de nido pelos vetores v e u. Podemos convencionar agora que esta orienta~o se faz no sentido ca em que percorremos a fronteira do paralelogramo de nido por v e u primeiro atravs do segmento de reta e orientado de nido por v e depois pelo segmento de reta orientado de nido por u convenientemente deslocado de modo que a sua extremidade inicial coincida com a extremidade nal do outro segmento. O bivetor u ^ v = ,v ^ u de ne um fragmento de plano com a orientaao oposta. c~ O conjunto dos elementos da forma v ^ u com v; u V2R2 formam um espao vetorial que denotaremos 2 c por R2. Seus elementos s~o os chamados bivetores a fcil vermos que a dimens~o de V2 R2 ou 2-vetores. E a a 1. Para usarmos uma nota~o1uniforme, vamos aproe ca V V veitar e de nir 0 R2 = R e R2 = R2. Elementos Vk 2 de R s~o ditos em geral k-vetores um 0-vetor a e portanto um escalar. A eq.36 nos mostra que o resultado do produto geomtrico de dois vetores consiste na soma de uma e quantidade escalar e uma quantidade bivetorial. Isso mostra que do ponto de vista algbrico para trabalhare mos com uma estrutura fechada ou seja, uma opera~o ca envolvendo dois elementos deste conjunto resulta em um outro elemento deste conjunto devemos considerar o espao vetorial de nido V soma direta dos c pela V V espaos vetoriais 0 R2 = R, 1 R2V R2 e 2R2. c = Denotaremos este espao vetorial por R2, ou seja, c v1 u2 , v2 u1e1 e2 = vu , uv = v ^ u = ,u ^ v: 41 2

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A sugest~o acerca da interpreta~o de e1e2 vem do a ca coe ciente multiplicando esta quantidade no lado direito da eq.36. A quantidade jv1u2 , v2 u1j justae mente a rea do paralelogramo de nido pelos vetores a p v e u. Enquanto jvvj nos fornece o comprimento do segmento de reta orientado de nido pelo vetor v, a quantidadep

jv1u2 , v2u1 e1e2 v1 u2 , v2 u1e1 e2j

nos fornece justamente a rea do paralelogramo de a nido pelos vetores v e u. A quantidade e1 e2 est relaa cionada portanto com uma rea e n~o com um compria a mento, como o caso dos vetores e1 ou e2 ou come bina~es lineares destes. A quantidade e1 e2 um co e exemplo do que chamaremos um bivetor ou 2-vetor. Quantidades deste tipo formam um espao vetorial e c s~o portanto vetores, mas para estabelecer uma disa tin~o com os vetores v = v1 e1 + v2 e2 usamos a denoca mina~o bivetor ou 2-vetor lembrando assim que eles ca est~o relacionados com reas nesse caso os vetores a a v = v1 e1 + v2e2 ser~o, quando conveniente, tambm a e denominados 1-vetores. O bivetor e1 e2 pode portanto ser interpretado como descrevendo um fragmento de plano unitrio e oriena tado. A orienta~o segue naturalmente uma vez que ca e1 e2 = ,e2 e1 , ou seja, os bivetores e1e2 e e2e1 descrevem fragmentos de plano com orienta~es opostas do co mesmo modo que os vetores v e ,v descrevem segmentos de reta com orienta~es opostas. As orientaoes de co c~ um fragmento de plano s~o de nidas conforme percorrea mos a sua fronteira no sentido horrio ou anti-horrio, a a como na Fig.5.

12^ ^ ^ ^

Jayme Vaz Jr. possvel. Por exemplo, vamos considerar o multivetor f dado por f = 1 1 + e1: 51 2 Como podemos ver facilmente temos f 2 = f. Para este elemento n~o existe f ,1 tal que f ,1 f = ff ,1 = 1. a De uma maneira geral, para um multivetor arbitrrio de nimos a e jj2 = hi0 : 52 Ent~o, se a e e = hi0 6= 0; 53 e ou seja, o produto geomtrico possui apenas parte e escalar e n~o-nula, podemos de nir ,1 como ae ,1 = jj2 :

R2 =

0

R2 V

1

R2

2

R2:

43

Os elementos de R2 s~o denominados multivetoa res. Um multivetor arbitrrio nesse caso da forma a e ^ R2 = | az + |1 e1 + v2 e2 + be1ze2 : 44 v z |escalar

O espao vetorial R2 equipado com o produto c geomtrico de nido pelas eqs.33-35 o que chamamos e e a lgebra geomtrica do plano euclideano. S~o as rela~es e a co e1 2 = e22 = 1 que de nem o plano como euclideano. No caso pseudo-euclideano teremos rela~es diferentes co para estas quantidades. Iremos denotar esta lgebra a geomtrica do plano euclideano por C `2 . e Antes de prosseguirmos, conveniente de nirmos e algumas opera~es dentro de C `2 . Vk co Primeiro, os operaV dores de proje~o h ik : R2 ! R2. Em outras ca palavras, hik denota a parte k-vetor do multivetor . Por exemplo, para da forma da eq.44 temos hi0 = a; hi1 = v1e1 + v2e2 ; hi2 = be1e2 : 45 As outras operaoes s~o as chamadas involu~o grac~ a ca duada, revers~o e conjugaao. A involu~o graduada, a c~ ca denotada por um chapu, de nida de modo que e e 46 ou seja, troca o sinal da parte 1-vetor mas mantm o e sinal das partes escalar e 2-vetor de um multivetor. A revers~o, denotada por um til, de nida como a e 47 O nome revers~o se deve ao fato dela ser equivalente a a considerarmos o produto de vetores na ordem reversa, ou seja, f vu = uv: 48 A revers~o altera apenas o sinal da parte 2-vetor de a um multivetor em C `2 . Finalmente a conjuga~o, que ca denotamos por uma barra, consiste na composi~o das ca outras duas opera~es, ou seja, co b e e b = = : 49 Uma das grandes vantagens do produto geomtrico e que em muitos casos podemos dividir" vetores e at e e mesmo multivetores. De fato, para um vetor v temos vv = jvj2, de modo que se jvj = 0 temos 6

V

vetor

bivetor

54

hdk = ,1k hik ; i

hgk = ,1kk,1=2hik : i

Antes de prosseguirmos devemos notar a presena c da operaao de revers~o na eq.52. Pela de ni~o desta c~ a ca opera~o eq.47 podemos ver que ela n~o altera o sinal ca a de escalares e vetores mas altera o sinal de um bivetor. Como para um bivetor B temos B 2 0 a presena c da revers~o na eq.52 assegura que teremos jB j2 0. a Alis, utilizando este fato podemos deduzir um impora tante resultado. Usando a eq.42 e a eq.40 podemos escrever jv ^ uj2 = v ^ uu ^ v = vu , v uuv , u v = vuuv , u vvu + uv + v u2 = jvj2juj2 , u v2 : 55 V2 2 Como jv ^ uj2 0 para v ^ u 2 R segue que u v2 jvj2juj2; 56 ou seja, , jvjjuj v u jvjjuj: 57 Devido a esta express~o podemos de nir o angulo a ^ entre os vetores v e u atravs de e u cos = jv jjuj : 58 v Podemos notar ainda que

v v, = jvj ;1 2

50

onde v,1v = vv,1 = 1. O mesmo acontece, por exemplo, para o bivetor e1e2 , onde de nimos e1 e2 ,1 = ,e1 e2 = e2e1 . Entretanto, n~o sempre que isto a e e

Dessa forma temos 0 . A eq.57 tambm pode ser usada para chegarmos a e chamada desigualdade triangular. De fato, calculando jv + uj encontramos jv + uj2 = jvj2 + juj2 + 2v u jvj2 + juj2 + 2jvjjuj jvj + juj2 ; 60

u sin = jjv ^ujj : vjj

59

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c ou seja,

13

que a desigualdade triangular. e Posto isso, vamos agora ver como expressar algumas rela~es e operaoes geomtricas utilizando a algebra co c~ e C `2 . Primeiro, diremos que dois vetores s~o ortogoa nais se o produto geomtrico destes vetores for antie comutativo, ou seja, se vu = ,uv; por outro lado, diremos que dois vetores s~o colineares se o produto a geomtrico for comutativo, ou seja, se vu = uv. e Dados dois vetores v e u podemos facilmente decompor um destes vetores em partes colinear e ortogonal ao outro; por exemplo, dado o vetor v queremos escrever v = vk + v? , onde vk a parte colinear ao vetor u e e v? a parte ortogonal ao vetor u. Usando juj2 = uu e podemos ver facilmente com a ajuda da eq.50 que 1, 1, vk = 2 v + uvu,1 ; v? = 2 v , uvu,1 ; 62 s~o as express~es procuradas uma vez que vk u = uvk a o e v? u = ,uv? . Vamos agora expressar uma re ex~o em termos a do produto geomtrico. No caso tridimensional fae zemos uma re ex~o atravs de um plano no caso a e n-dimensional devemos considerar um hiperplano ou seja, um subespao n , 1-dimensional mas como esc tamos lidando por enquanto apenas com o caso bidimensional devemos ent~o considerar uma reta. Seja u a o vetor unitrio perpendicular a esta reta, como mostra a a Fig.6.

jv + uj jvj + juj;

61

Para expressarmos uma rota~o vamos utilizar um ca importante resultado devido a Cartan e Dieudonn 4 e que diz que a composiao de duas re ex~es uma c~ o e rota~o. O teorema de Cartan-Dieudonn na verdade ca e faz uma a rma~o mais geral que esta mas n~o precica a samos entrar nestes detalhes aqui e tampouco discutir a demonstraao deste teorema. Com isso e mais c~ a eq.65 segue que uma rota~o pode ser escrita na ca forma v0 = ,u1,u2 vu2u1 ; 66 onde ju1j = ju2j = 1. Esta express~o pode ser escrita a de uma maneira mais conveniente como

v0 = RvR, ;1

67 68

onde R da forma e R = u1 u2;e e R,1 = u2u1 = R. Para entendermos melhor o objeto R vamos primeiro utilizar a eq.42 para reescrev^-lo como e

R = u1 u2 + u1 ^ u2:

69

Figura 6. Re ex~o atravs do hiper-plano ortogonal ao vea e tor u do vetor v resultando no vetor v'. O vetor v0 o vetor resultante da re ex~o do vetor e a

Como u1 e u2 s~o unitrios, usando as eqs.58 e 59 a a temos R = cos + sin B; 70 onde B um bivetor unitrio. Nesse caso, s exise a o tem duas possibilidades: ou B = e1 ^ e2 = e1 e2 ou B = e2 ^ e1 = ,e1 ^ e2 = ,e1e2 . Porm, estas duas e possibilidades podem ser consideradas de uma unica maneira. De fato, devido s eqs.58 e 59, na eq.70 a tal que 0 , e portanto sin 0. Se escoe lhermos, por exemplo, B = e2 ^ e1 = ,e1 e2, a outra possibilidade que difere desta pelo sinal oposto pode ser levada em conta tomando 0 2 uma vez que para 2 temos sin 0. Portanto, de uma maneira geral, podemos escrever R = cos + sin e2 e1; 71 onde 0 2. Podemos ainda de nir a exponencial de um multivetor como exp = n = 1 + + 2 + 3 + : : :: 2! 3! n=0 n!1 X

a v. E fcil vermos que v0 = v , 2vk; 63 onde vk a componente de v colinear com o vetor u. e Usando ent~o a eq.62 encontramos que a v0 = ,uvu,1; 64 ou nesse caso que v0 = ,uvu; 65 onde usamos ainda que u unitrio, ou seja, juj = 1 de e a modo que u,1 = u.

72

Como e2e1 2 = ,1 segue usando as bem conhecidas express~es em termos de sries de pot^ncias para as o e e funoes seno e co-seno que c~ R = cos + sin e2 e1 = expe2 e1: 73

14 Voltando agora eq.67, vamos utilizar esta ultima a express~o para R para veri car que de fato aquela a opera~o trata-se de uma rota~o. Temos ent~o ca ca a

Jayme Vaz Jr.

v0 = cos + sin e e v e + v e cos , sin e e = cos + sin e e v cos , v sin e + v cos + v sin e = v cos , sin , v 2 sin cos e + v cos , sin + v 2 sin cos e : 742 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2

Usando as conhecidas relaoes trigonomtricas cos2 , c~ e sin2 = cos 2 e 2 sin cos = sin 2 segue que

v0 = v cos 2 , v sin 2e + v cos 2 + v sin 2e ;1 2 1 2 1

ou seja,0 v1 = v1 cos 2 , v2 sin 2; 0 v2 = v2 cos 2 + v1 sin 2:

75

2

Figura 7. Duas maneiras possveis de obter o vetor atravs de uma rota~o do vetor v. e ca

v'

76

Vemos portanto que a opera~o v ! RvR,1 com R ca dado pela eq.73 descreve uma rota~o por um angulo ca ^ 2. Uma rota~o por um ^ngulo portanto descrita ca a e por R dado por R = exp 2 e2 e1 = cos 2 + sin 2 e2 e1: 77

Enquanto a primeira rota~o descrita por R1 = ca e exp =2e2e1 , a outra rota~o, descrita segundo ca e a discuss~o acima por R2 = exp 2 , =2e1e2 . a Agora podemos notar que R2 = exp2 , =2e1e2 = expe1 e2 exp, =2e1 e2 = ,1 exp =2e2e1 = ,R1; 79

Algumas observa~es cabem agora. Primeiro, o co a ^ngulo de rotaao na eq.77 est dado no sentido c~ a anti-horrio, o que pode ser facilmente veri cado. Isto a pode ser visto como consequ^ncia de termos escolhido e na eq.71 o bivetor e2 e1. Evidentemente poderamos ter escolhido no lugar deste o bivetor e1 e2. Estes bivetores, como j discutimos, descrevem fragmentos de a plano com a mesma area porm com orienta~es opos e co tas. Se tivssemos ent~o escolhido o bivetor e1e2 o ree a sultado seria que R = exp =2e1e2 descreveria uma rota~o por um ^ngulo medido no sentido horrio. A ca a a arbitrariedade na escolha do sentido em que medimos o ^ngulo portanto um re exo da arbitrariedade na a e escolha dos bivetores e1e2 ou e2 e1 = ,e1e2 . Outra observa~o, relacionada com a acima, que ca e tanto R quanto ,R descrevem a mesma rota~o. De ca fato, RvR,1 = ,Rv,R,1 : 78 A interpreta~o para este fato simples. De fato, se ca e v0 o vetor obtido por uma rota~o do vetor v por um e ca a ^ngulo no sentido anti-horrio, ent~o uma rotaao por a a c~ um ^ngulo 2 , no sentido horrio produz o mesmo a a resultado, como ilustra a Fig.7.

onde usamos expe1 e2 = ,1. Portanto o fato que rota~es por um ^ngulo num sentido e por um ^ngulo co a a 2 , no sentido oposto serem equivalentes tem como consequ^ncia neste formalismo que R e ,R descrevem e a mesma rota~o. ca

IV A lgebra geomtrica do a e plano pseudo-euclideanoVamos agora considerar a algebra geomtrica do plano e pseudo-euclideano de uma maneira completamente anloga ao caso euclideano. Primeiro, vamos de nir a o produto geomtrico, que nesse caso deve satisfazer e v1 e1 + v2 e2v1 e1 + v2 e2 = v1 2 , v22 : A solu~o aqui dada por ca e e1 2 = 1; e2 2 = ,1; 81 82 80

83 Assim como as eqs.33-35 para o caso euclideano, estas rela~es de nem o produto geomtrico da lgebra co e a1 2 2 1

e e + e e = 0;

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c geomtrica do plano pseudo-euclideano. Em termos do e produto geomtrico temos e

15

v 0 vetor tipo-tempo; v = 0 vetor tipo-luz; v 0 vetor tipo-espao: c2 2 2

84

Para o caso do produto geomtrico de vetores v e u e encontramos que

vu = v u , v u + v u , v u e e ;1 1 2 2 1 2 2 1 1 2

85 86 87

que escrevemos como a eq.42, ou seja,

vu = v u + v ^ u;onde

88 2 Assim como no caso euclideano, interpretamos o objeto v ^ u como um bivetor ou 2-vetor. Esta interpreta~o independente das propriedades mtricas do ca e e espao. Porm, quando levamos em conta estas propric e edades, encontramos as diferenas com rela~o ao caso c ca euclideano. Por exemplo, agora temos e1 e22 = 1; 89 o que pode ser facilmente veri cado usando as eqs.8183, ao contrrio do caso euclideano onde e1 e22 = ,1. a

v u = u v = vu + uv ; 2 vu , uv : v ^ u = ,u ^ v =

Toda a estrutura multivetorial independente das e propriedades mtricas e portanto permanecem inalterae das quer consideramos os casos euclideano ou pseudo-

euclideano. Aqui tambm devemos considerar o espao e c vetorial de nido pela soma direta dos espaos dos escac lares, vetores e bivetores. Entretanto, para lembrarmos a natureza pseudo-euclideana, denotamos o espao dos c 1-vetores por R1;1, numa bvia alus~o ao fato de termos o a 1 sinal positivo e 1 negativo. Devemos considerar ent~o a V o espao vetorial R1;1 dado por c^

R1;1 =V

^

0

R1;1

^

1

R1;1

^

2

R1;1; 90

onde 0 R1;1 = R e 1R1;1 = R1;1. A lgebra a geomtrica do plano pseudo-euclideano ser denotada e a por C `1;1 . Os operadores de projeao de nidos pela eq.45 c~ s~o de nidos da mesma maneira aqui, assim como as a opera~es involu~o graduada, revers~o e conjuga~o co ca a ca resp, eqs.46, 47 e 49. Tambm de nimos jj2 e como na eq.52 e se vale a eq.53 de nimos ,1 como na eq.54. A eq.55 continua vlida no caso pseudo-euclideano a mas deste ponto em diante aparecem diferenas fundac mentais com rela~o ao caso euclideano. N~o difcil ca a e vermos que no caso pseudo-euclideano temos jv ^ uj2

V

0 ao contrrio do caso euclideano onde jv ^ uj2 0. a De fato, todo bivetor B da forma be1 e2 e usando a e de ni~o de jB j2 temos ca jB j2 = b2e2 e1e1 e2 = ,b2 0: 91 Uma vez que jv ^ uj2 0 a eq.56 n~o mais vlida a e a e em seu lugar temos agora u v2 jvj2juj2: 92 Se v e u s~o vetores tipo-tempo ent~o podemos concluir a a que v u jvjjuj: 93 A invers~o da desigualdade re ete-se tambm na desia e gualdade triangular. Repetindo o mesmo raciocnio na eq.60 mas usando agora a eq.92 no lugar da eq.56 encontramos que jv + uj2 jvj + juj2: 94 Portanto, se v e u s~o vetores tipo-tempo temos a jv + uj jvj + juj: 95 Esta a desigualdade triangular envolvendo vetores e tipo-tempo em um espao pseudo-euclideano. E imc portante notarmos a diferena no sinal da desigualdade c para o caso euclideano eq.61. Embora para os vetores tipo-tempo tenhamos jvj2 0 como no caso euclideano, isso n~o implica que para a esta classe de vetores a desigualdade triangular euclideana" seja satisfeita! Ao contrrio, os vetores tipoa tempo satisfazem a desigualdade triangular pseudoeuclideana" expressa pela eq.95. Isso trata-se de um paradoxo? N~o, de jeito algum! Porm, na TR uma das a e consequ^ncias imediatas da eq.95 comumente chae e mada paradoxo dos g^meos", como veremos adiante. e Prosseguindo de maneira anloga ao caso euclidea ano, vamos agora de nir o angulo entre vetores. Aqui ^ tambm h uma importante diferena com relaao ao e a c c~ caso euclideano expresso pelas eqs.58 e 59. J discua timos na sec.2 que no caso pseudo-euclideano devemos considerar o angulo hiperblico". Logo, ao contrrio ^ o a das eqs.58 e 59, de nimos agora para vetores tipotempo u cosh = jv jjuj ; 96 v e u 97 sinh = jv ^ujj ; jvjj onde nesse caso devemos tomar p 98 jv ^ uj = ,jv ^ uj2 uma vez que jv ^ uj2 0. Para assim de nido temos 0 1. Como no caso euclideano, uma re ex~o descrita a e pela eq.64. A diferena agora que temos dois casos c e

16 a considerar: u2 = 1 ou u2 = ,1. No primeiro caso u,1 = u e a eq.64 pode ser escrita como v0 = ,uvu; j no segundo caso temos u,1 = ,u e a eq.64 e pora tanto v0 = uvu. No primeiro caso o vetor u tipo-tempo e a ree ex~o se faz ao longo de uma reta hiper-plano no caso a geral tipo-espao. Se u2 = 1 podemos escrever devido c a eq.27 u = cosh e1 + sinh e2: 99 0 = ,uvu n~o apresenta di culdades e o O clculo de v a a resultado e v0 = v2 sinh 2 , v1 cosh 2 e1 + v2 cosh 2 , v1 sinh 2 e2 : 100 Para chegar a este resultado usamos cosh 2 = cosh2 + sinh2 e sinh 2 = 2 sinh cosh . E interessante notarmos que se u = e1 = 0 temos v0 = ,v1 e1 + v2e2; 101 ou seja, h uma invers~o na parte temporal de v. a a Por outro lado, se u tipo-espao a re ex~o se d e c a a atravs de uma reta tipo-tempo. Se u2 = ,1 podemos e escrever u = sinh e1 + cosh e2: 102 O clculo de v0 = uvu resulta em a v0 = v1 cosh 2 , v2 sinh 2 e1 + v1 sinh 2 , v2 cosh 2 e2 : 103 Se u = e2 = 0 temos uma invers~o na parte espacial a de v, ou seja, v0 = v1e1 , v2e2: 104 De maneira completamente anloga ao caso euclidea ano, uma rota~o no plano pseudo-euclideano descrita ca e pela eq.67, ou seja, v0 = RvR,1; 105 onde R = u1u2 com u12 = u22 = 1. Podemos expressar R de uma maneira mais conveniente como R = u1 u2 = u1 u2 + u1 ^ u2; 106 onde agora podemos usar as eqs.96 e 97 para escrever R = cosh + sinh e2 e1 : 107 O mesmo raciocnio que utilizamos no caso euclideano aps a eq.70 para escrever a eq.71 deve ser utilizado o para escrevermos a eq.107; ou seja, o bivetor unitrio a em quest~o pode ser ou e1 e2 ou e2e1 e as duas possibia lidades s~o levadas em conta assumindo ,1 1. a Usando a de ni~o da exponencial de um multiveca tor eq.72 e o fato que nesse caso e2e1 2 = 1 segue que R = cosh + sinh e2 e1 = exp e2 e1: 108 A eq.105 resulta ent~o em a

Jayme Vaz Jr.

v0 = v cosh 2 + v sinh 2e + v sinh 2 + v cosh 2e :1 1 2 1 2 2

109

Logo a opera~o v 7! RvR,1 com R dado pela eq.108 ca corresponde a uma rota~o hiperblica por um ^ngulo ca o a hiperblico 2. Obviamente uma rota~o hiperblica o ca o por um ^ngulo hiperblico descrita por a o e R = exp 2 e2e1 = cosh 2 + sinh 2 e2e1 : 110

Como vemos, tanto no caso euclideano como no pseudoeuclideano, uma rota~o descrita por v 7! RvR,1 ca e com R da forma R = exp =2e2e1 . A diferena c e que no caso euclideano podemos escrever esta exponencial em termos das fun~es seno e co-seno como na co eq.73 enquanto no caso pseudo-euclideano devemos usar as fun~es seno e co-seno hiperblicos como na co o eq.110 e isso deve-se ao fato que e2 e12 = ,1 em C `2 e e2 e12 = 1 em C `1;1 . As observa~es que zemos na co se~o anterior aps a eq.77 tambm valem aqui. ca o e Para ilustrarmos uma rota~o hiperblica conveca o e niente considerarmos os vetores e1 e e2 em separado. Usando a eq.109 temos que uma rota~o hiperblica ca o por um ^ngulo resulta em a

e0 = Re R, = cosh e + sinh e1 1 1 1

2

111

e

e0 = Re R, = sinh e + cosh e :2 2 1 1 2

112

J sabemos que em uma rota~o hiperblica enquanto a a ca o extremidade inicial de um vetor permanece xa na origem a extremidade nal deste vetor move-se ao longo de uma hiprbole. S falta determinar a dire~o. Para e o ca isso vamos supor primeiro que 0. a E fcil vermos a partir das de ni~es do seno e coco seno hiperblicos que cosh 1 para ,1 o 1 e que sinh 0 para 0 e sinh 0 para 0. Alm disso temos sempre cosh sinh , com a iguale dade valendo apenas no limite ! 1. Posto isso, para 0 vale cosh 1, sinh 0 e cosh sinh e a rota~o hiperblica dos vetores e1 e e2 resultando nos ca o vetores e01 e e02 dados pelas eqs.111 e 112 pode ser ilustrada como na Fig.8.

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c

17

Figura 8. Uma mesma rota~o hiperblica agindo sobre os ca o vetores tipo-tempo e1 e tipo espao e2 . c

Podemos notar que quanto maior menor ca a diferena entre as fun~es co-seno hiperblico e seno c co o hiperblico e os vetores e01 e e02 cada vez mais se aproo ximam de uma das assntotas da hiprbole. e Por outro lado, se 0 temos cosh 1, sinh 0 e cosh j sinh j = , sinh . A rota~o hiperblica ca o por um ^ngulo 0 pode ent~o ser ilustrada como na a a Fig.9.

Figura 9. Uma mesma rota~o hiperblica agindo sobre os ca o vetores tipo-tempo e1 e tipo espao e2 mas no sentido oposto c da gura anterior.

V O espao-tempo c5

Para entendermos o conceito de espao-tempo e outros c relacionados necessrio antes de mais nada estabelee a cermos claramente a diferena entre um espao vetorial c c e um espao a m. c

E oportuno lembrar que n~o estamos considerando por enquanto nenhuma estrutura mtrica adicional sobre o espao vetorial. a e c

E um erro comum dizermos que o espao fsico" c tridimensional o espao vetorial euclideano R3. Na e c verdade, o espao fsico" tridimensional um espao c e c a m euclideano E 3 . Intuitivamente isso signi ca que em um espao a m nenhum ponto tem prefer^ncia soc e bre outro. Qualquer ponto pode ser tomado, por exemplo, como a origem de um sistema de refer^ncia. As e transla~es de um ponto s~o ent~o determinadas pelos co a a vetores de um espao vetorial de nido neste ponto . Em c outras palavras, podemos pensar em um espao a m c como sendo um espao de pontos onde em cada ponto c deste espao est de nido um espao vetorial. No caso c a c do espao a m euclideano E 3 em cada um de seus ponc tos est de nido um espao vetorial R3 cujos elementos a c vetores determinam as transla~es dos pontos de E3 . co Precisamos, claro, tornar esta idia um pouco mais e e precisa do ponto de vista matemtico. Vamos considea rar ent~o um espao vetorial V sobre os reais R. Um a c conjunto arbitrrio E cujos elementos denominaremos a pontos dito um espao a m se existe uma aplica~o e c ca : E E ! V que a cada par de pontos P; Q 2 E faz corresponder um vetor em V que denotaremos como ,! e tal que sejam satisfeitos os seguintes axiomas: PQ i Para quaisquer P 2 E e v 2 V existe um e apenas um ponto Q 2 E para o qual ,! = v; PQ ii Para quaisquer pontos P; Q; R 2 E veri ca-se a rela~o ,! + ,! = ,! ca PQ QR PR. Como consequ^ncias do axioma ii podemos ver fae ,! = 0 vetor nulo e que ,! = ,,! cilmente que PP PQ QP. ,! tem origem P e extremidade Dizemos que o vetor PQ Q. A dimens~o do espao a m de nida como a dia c e mens~o do espao vetorial associado a ele. Um espao a c c a m de dimens~o um uma reta; um espao a m de dia e c mens~o dois um plano, etc. Fixado um ponto P 2 E a e o conjunto de todos os vetores com origem em P juse tamente o espao vetorial V . Em smbolos, de nindo c TP E = f,!jQ 2 E g temos TP E ' V para cada PQ P 2 E onde ' denota isomor smo. E bem conhecido das lioes bsicas de lgebra linear c~ a a que qualquer espao vetorial V de dimens~o n nita soc a bre R isomorfo ao espao vetorial Rn, que5 por sua vez e c consiste no espao vetorial das n-uplas x1 ; : : :; xn. Poc demos portanto limitar nossa discuss~o a considera~o a ca do espao vetorial Rn. c Seja agora um espao a m E ligado ao espao vetoc c rial Rn. Denomina-se referencial a m de E o par O; B composto por um ponto O de E que denominamos origem do referencial e por uma base B = fe1; : : :; eng de Rn. Quando B = fe1; : : :; eng a base can^nica de Rn e o nos referimos a este referencial a m como um referencial can^nico. As coordenadas de um ponto P 2 E num o

18 referencial O; B s~o de nidas como sendo as compoa ,! na base B, ou seja, se nentes do vetor OP

Jayme Vaz Jr. claro, para a condi~o gv; v = ,r2. No caso do e ca plano pseudo-euclideano esses hiperbolides correspono dem evidentemente s hiprboles. a e p v1 2 + v2 2 + v3 2 e A regi~o tal que v0 a chamada futuro enquanto a regi~o tal que v0 a p , v1 2 + v2 2 + v3 2 chamada passado. Desse e modo, um vetor tipo-tempo pode ainda ser classi cado como apontando para o futuro ou para o passado. As regi~es tais que v0 2 v1 2 + v2 2 + v32 s~o o o a presente. Evidentemente n~o temos como ilustrar isso a no caso quadridimensional; no caso bidimensional a situa~o anloga ilustrada na Fig.10. ca a e O espao a m E 1;3 ligado ao espao vetorial de c c Minkowski E 1;3 o que denominamos espao-tempo de e c Minkowski. Os pontos em E 1;3 s~o chamados eventos. a Em termos do referencial O; B as coordenadas de um evento s~o dadas por x0; x1; x2; x3, onde a

,! = x e + + x e OP 1 1 n n

113

ent~o as quantidades x1; : : :; xn s~o as coordenadas a a a ns do ponto P no referencial O; B. Obviamente as coordenadas a ns da origem O neste referencial s~o a 0; : : :; 0. No caso de dois referenciais a ns O; B e O0 ; B0, as coordenadas a ns de um ponto P no referencial O; B consistem nas coordenadas do vetor ,! OP na base B enquanto as coordenadas a ns deste mesmo ponto P no referencial O0; B0 consistem nas coorde,! , nadas do vetor O0P na base B0 . Podemos agora discutir o que entendemos por espao-tempo6. O conceito de espao-tempo dentro da c c TR foi introduzido por Hermann Minkowski em 1908 e por isso comum usarmos a denomina~o espao-tempo e ca c de Minkowski. Primeiro vamos considerar o espao vetorial quadric dimensional R4. Seja B = fe0 ; e1; e2; e3g a sua base can^nica. Um vetor arbitrrio deste espao portanto o a c e da forma

,! = x e + x e + x e + x e : OP 0 0 1 1 2 2 3 3

117

A coordenada x0 a coordenada temporal e as demais e as coordenadas ditas espaciais. Mais especi camente, temos x0 = ct; x1 = x; x2 = y; x3 = z; 118 onde t o instante de tempo do evento no referencial e considerado, c uma constante interpretada como a vee locidade da luz e x; y; z as coordenadas espaciais cartesianas do evento neste referencial. O intervalo entre dois eventos P e Q de nido como sendo a dist^ncia e a quadridimensional entre estes objetos, ou seja, por g,! ,! = c2 tP , tQ 2 , xP , xQ 2 PQ; PQ , yP , yQ 2 , zP , zQ 2: 119

v = v e +v e +v e +v e :0 0 1 1 2 2 3 3

114 115

Neste espao de nimos a seguinte mtrica7: c e gv; v = v0 2 , v12 , v2 2 , v3 2 : O espao vetorial R4 equipado com esta mtrica g c e denomina-se espao vetorial de Minkowski e o denoc tamos por R1;3. A denomina~o adotada no caso do plano pseudoca euclideano com rela~o aos tipos de vetores foi herdada ca do presente caso, ou seja, classi camos os vetores em tipo-tempo, tipo-luz ou tipo-espao conforme: c gv; v 0 vetor tipo-tempo gv; v = 0 vetor tipo-luz gv; v 0 vetor tipo-espao 116 c A condi~o gv; v = 0 de ne o que chamamos cone ca de luz. Mais precisamente temos dois cones, um dado p pela equaao v0 = v1 2 + v22 + v3 2 e outro pela c~ p equa~o v0 = , v1 2 + v2 2 + v3 2. O primeiro ca cone corresponde ao que chamaremos cone de luz do futuro e o segundo ao cone de luz do passado. No caso do plano pseudo-euclideano estes cones correspondem a s assintotas das hiprboles. e J a condi~o gv; v = r2 onde r constante dea ca e ne o que chamamos um hiperbolide. O mesmo vale, o6

N~o custa nada lembrar o contedo da primeira nota de rodap, ou seja: estamos considerando aqui apenas a Teoria da Relatividade a u e Restrita e n~o a Teoria da Relatividade Geral. Dentro do domnio da TRG devemos considerar um conceito mais geral que o de espao a c a m que o de variedade. N~o discutiremos aqui o conceito de variedade pois este envolve quest~es tcnicas" que est~o completamente e a o e a fora do escopo deste artigo. 7 A escolha entre + , , , e , + + + arbitrria. e a; ; ; ; ; ;

Figura 10. Regi~es do espao-tempo. o c

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c Uma curva no espao-tempo classi cada de acordo c e com a categoria do vetor tangente este curva. Vamos a supor que esta curva parametrizada por , ou seja, e as coordenadas da curva s~o fun~es de , nesse caso a co ct ; x ; y ; z . O vetor tangente esta curva a no ponto correspondendo a = 0 e dt dx dy dz 120 v = cd ; d ; d ; d ; onde as derivadas s~o calculadas em = 0. Nesse a caso dx 2 dy 2 dz 2 dt 2 gv; v = c d , d , d , d : 121 A curva dita tipo-tempo, tipo-luz ou tipo-espao cone c forme o vetor tangente v 2 R1;3 seja tipo-tempo, tipoluz ou tipo-espao, respectivamente. c Uma partcula com massa n~o-nula de nida por a e uma curva tipo-tempo. Esta curva chamada linha de e universo ou histria da partcula. A luz de nida por o e uma curva tipo-luz. Sejam A e B os pontos inicial e nal de uma curva tipo-tempo, correspondendo aos valores do par^metro a = 0 e = 1, respectivamente. Se gv; v 6= 0 que o caso para uma curva tipo-tempo podemos de nir e o comprimento desta curva como L=Z1 0

19

ou seja,

Por outro lado, da eq.123 segue que d = pjgv; vj: d Juntando as duas ultimas equa~es segue que co

V = vd : d

126 127 128 129

V= p v ; jgv; vjgV; V = 1:

ou seja, V unitrio: e a Portanto para uma curva tipo-tempo parametrizada pelo tempo prprio o vetor tangente em cada ponto o desta curva unitrio. e a Um observador de nido como uma curva tipoe tempo parametrizada pelo tempo prprio e apontando o para o futuro. Do ponto de vista matemtico, obsera vador" e linha de universo de uma partcula" s~o a a mesma coisa. Se esta curva for uma reta dizemos que o observador inercial; no caso de uma partcula die zemos que ela est em movimento uniforme. Uma vez a que uma reta pode ser de nida por um vetor, podemos de nir um observador inercial em termos de um vetor tipo-tempo unitrio apontando para o futuro. a Dado um observador, este naturalmente separa o espao-tempo em espao" e tempo". Para isso c c utiliza-se a decomposi~o ortogonal do espao vetorial ca c de Minkowski em R1;3 = T E, onde T = spanV denota o sub-espao vetorial gerado pelo vetor tipo-tempo V e c E o sub-espao vetorial gerado pelos vetores ortogonais c a V que podemos chamar de espao de repouso. Um c outro observador far tambm a separa~o do espaoa e ca c tempo em espao" e tempo" mas de maneira distinta c do primeiro observador se tivermos V0 6= V, onde V0 denota o vetor tipo-tempo unitrio tangente curva a a de nindo este outro observador. No caso bidimensional podemos ilustrar esta situa~o como na Fig.11. ca

p

jgv; vjd :

122

O ponto importante aqui que podemos utilizar o come primento da curva como par^metro da curva. Para isso a basta deixarmos nesta ultima equa~o um dos extremos ca de integra~o livres, por exemplo o correspondendo ao ca ponto nal. A quantidade dada por =Z p0

jgv; vjd 0

123

uma fun~o = que pode ser invertida para ese ca crevermos = . Basta utilizarmos = para expressarmos a curva antes parametrizada por agora em termos do par^metro . a O par^metro o que chamamos tempo prprio. a e o a E fcil vermos que se tomarmos o tempo prprio como o par^metro da curva ent~o o vetor tangente a esta curva a a unitrio. De fato, se o par^metro da curva, o vetor e a e a tangente V e dt ; dx ; dy ; dz : V = cd d d d 124 Por outro lado, podemos escrever dt d ; dx d ; dy d ; dz d V = cd d d d d d d d dt ; dx ; dy ; dz d ; = cd d d d d 125

Figura 11. Tempo e espao segundo dois observadores c distintos.

20 Podemos analisar vrios aspectos da TR simplesa mente atravs de diagramas baseados na gura acima. e A contra~o do comprimento na dire~o do movica ca mento, por exemplo, pode ser explicada qualitativamente atravs de guras como esta. Porm, como nose e sos objetivos neste artigo s~o outros, nos limitaremos a a indicar como refer^ncia para discuss~es nesse sentido e o o livro de Rucker 5 . Neste livro o leitor interessado poder se deliciar com anlises qualitativas que cera a tamente propiciar~o uma melhor compreens~o da TR. a a Entretanto, para completarmos um pouco esta se~o e ca tambm motivar a leitura de 5 , vamos discutir aquilo e que chamamos o paradoxo dos g^meos". e A fbula por detrs do paradoxo dos g^meos pode a a e ser contada da seguinte forma. Um belo dia um dos g^meos entra em uma nave espacial e parte em uma e viagem interestelar. Anos depois ao retornar veri ca que seu irm~o que cou na Terra est mais velho que a a ele. Para facilitar a discuss~o e ilustra~o desta sia ca tua~o vamos imaginar as seguintes condioes ideais: ca c~ a nave parte de um ponto da Terra evento S com movimento uniforme chegando at um certo ponto evento e R onde instantamente inverte seu curso voltando para a Terra novamente em movimento uniforme com a chegada correspondendo ao evento C. A linha de universo ! do primeiro trecho da viagem descrito pelo vetor , e SR e o segundo trecho descrito pelo vetor ,! Esta sie RC. tua~o est ilustrada na gura abaixo em termos da ca a decomposi~o do espao-tempo em T E medidos no ca c referencial na Terra onde acontecem a sada e chegada da nave.

Jayme Vaz Jr. trecho tambm no referencial da nave. Logo o irm~o e a ! que viajou est j, j + j,!j anos mais velho. a SR RC J no referencial na Terra o intervalo de tempo ena ! tre a sada e a chegada da nave dado por j, j, de e SC ! modo que o irm~o g^meo que cou na Terra est j, j a e a SC anos mais velho. A rela~o entre as idades dos irm~os ca a corresponde portanto relaao que existe entre as quana c~ ! ! tidades j, j e j, j + j,!j. Evidentemente SC SR RC

, = , + ,! ! ! SC SR RC;

130

de modo que

No caso de um espao euclideano esta relaao dada c c~ e pela desigualdade triangular 61. Porm, o espaoe c tempo um espao pseudo-euclideano e portanto a dee c sigualdade que vale a expressa pela eq.95. Logo, a e rela~o que temos ca e

! ! j, j = j, + ,!j: SC SR RC 131 ! ! Agora, qual a rela~o entre j, ,!j e j, j+j,!j? ca SR+RC SR RC

! ! j, + ,!j j, j + j,!j: SR RC SR RC ! ! j, j j, j + j,!j: SC SR RC

132

Usando isto na eq.131 segue que

133 Esta equa~o pode ser lida da seguinte forma: o irm~o ca a que cou na Terra lado esquerdo da equaao est mais c~ a velho do que o irm~o que fez a viagem interestelar lado a direito da equa~o. ca

VI A lgebra geomtrica do a e espao-tempo c

A lgebra geomtrica do espao-tempo de nida de a e c e maneira anloga ao casos j considerados. Primeiro, o a a produto geomtrico de nido de modo que e ev0 e0 + v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 v0 e0 + v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 = v0 2 , v1 2 , v2 2 , v3 2 ; 134

Figura 12. Representa~o no espao-tempo da situa~o corca c ca respondente ao paradoxo dos g^meos. e

onde estamos considerando a mtrica dada pela e eq.115. A solu~o para este problema, que de ne o ca produto geomtrico, dada por e e e0 2 = 1; 135 ei 2 = ,1; i = 1; 2; 3; 136

Estando as curvas parametrizadas em termos do tempo prprio, o comprimento destas curvas correso ponde justamente ao intervalo de tempo decorrido no referencial onde o objeto que percorre esta curva se ! encontra em repouso. Portanto, j, j corresponde SR a dura~o do primeiro trecho da viagem no referencial da ca nave espacial e j,!j corresponde a dura~o do segundo RC ca

137 Nas express~es acima temos um exemplo de uma cono venao que iremos adotar: ndices latinos assumindo os c~

e e + e e = 0; ; = 0; 1; 2; 3:

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c valores 1, 2 e 3 e ndices gregos assumindo os valores 0, 1, 2, e 3. O produto geomtrico de vetores pode ser escrito na e forma vu = v u + v ^ u; 138 onde v u = u v = vu + uv ; 139 2 v ^ u = ,u ^ v = vu , uv : 140 2 Como nos casos anteriores, os objetos da forma v ^ u s~o bivetores. Aqui, entretanto, como o espao quaa c e dridimensional, podemos de nir outros objetos alm de e bivetores. A interpreta~o geomtrica para isso bvia: ca e eo alm do plano bidimensional propriamente dito, em um e espao quadridimensional temos tambm hiper-planos c e tridimensionais e hiper-cubos quadridimensionais. Portanto, alm de bivetores, podemos de nir trivetores ou e 3-vetores e quadrivetores ou 4-vetores8 . Para de nir trivetores e quadrivetores vamos considerar o produto geomtrico envolvendo um vetor 1e vetor e um bivetor. Primeiro, devemos notar que temos aqui quatro vetores linearmente independentes fe0; e1; e2; e3g e seis bivetores linearmente independentes que resultam do produto geomtrico de combina~es e co destes vetores tomados dois a dois, ou seja, temos os bivetores fe0e1 ; e0e2; e0e3 ; e1e2; e1e3 ; e2e3g. O produto geomtrico envolvendo, por exemplo, o vetor e0 e os bie vetores e0 ei i = 1; 2; 3 resulta em vetor. Esse o caso e sempre que o ndice do vetor igual a um dos ndices e do bivetor. Logo, s podemos esperar por algo novo quando o o ndice do vetor for diferente dos ndices do bivetor. Por exemplo, o produto geomtrico do vetor e0 com o bivee tor e1e2 resulta na quantidade e0 e1e2 . Esta quantidade n~o nem um escalar, nem um vetor e nem um bivetor. a e Esta quantidade o que denominamos um trivetor ou e 3-vetor. Do ponto de vista geomtrico podemos pensar e que ela descreve um hiperplano orientado9 no espao c quadridimensional. Este hiperplano o gerado pelos vee tores e0 , e1 e e2. Como podemos ver facilmente, temos aqui apenas quatro trivetores linearmente independentes, a saber: fe0e1 e2; e0e1 e3; e0e2 e3; e1e2 e3g. Qualquer outra combina~o possvel se reduz a estas usando ca a rela~o 137. ca Continuando o raciocnio, podemos de nir uma nova quantidade atravs do produto geomtrico de um e e vetor e um trivetor. Como s devemos esperar por algo o novo quando o ndice do vetor e os tr^s ndices do tri e vetor forem todos diferentes, podemos considerar, por exemplo, o produto do vetor e0 pelo trivetor e1e2 e3. O resultado a quantidade e0e1 e2e3 , que denominamos e

21

um quadrivetor ou 4-vetor. Todas as outras possibilidades, como por exemplo o produto de e1 por e0e2 e3, resultam nesta mesma quantidade aps um rearranjo o apropriado usando a eq.137. Portanto e0e1 e2e3 o e unico quadrivetor linearmente independente dentro da a lgebra geomtrica do espao-tempo. e c Com relaao nomenclatura, cabe comentar que c~ a muitas vezes um n-vetor em um espao vetorial de dic mens~o n tambm denominado um pseudo-escalar e a e e que um n , 1-vetor tambm denominado um pseudoe e vetor. Logo, no caso da algebra geomtrica do espao e c tempo um quadrivetor pode ser tambm denominado e um pseudo-escalar e um trivetor um pseudo-vetor. Por detrs disto est o isomor smo que existe entre os a a espaos vetoriais dos k-vetores e dos n , k-vetores. c No caso que estamos considerando vemos isso explicitamente uma vez que os espaos vetoriais dos escalares c e dos quadrivetores assim como os espaos vetoriais dos c vetores e dos 3-vetores possuem o mesmo nmero de diu mens~es. Esta propriedade entretanto n~o se limita aos o a casos considerados; ela geral. e Em geral usamos uma notaao simpli cadora para c~ os k-vetores de nidos acima. Esta nota~o est exemca a pli cada abaixo:

e = e e ; etc; e = e e e ; etc; e =e e e e :01 0 1 012 0 1 2 0123 0 1 2 3

141

O pseudo-escalar e0123 t~o importante que muitas vee a zes lhe reservamos uma nota~o particular atravs de ca e

e =e5

0123

= e0e1 e2e3 :

142 143

E importante observarmos que o pseudo-escalar satisfaz e52 = ,1 e

144 Estas propriedades10 seguem facilmente do uso das eqs.135-137. Esta ultima nos diz que o pseudo-escalar e5 sempre anti-comuta com vetores. Consequentemente ele tambm anti-comuta com trivetores e comuta com e bivetores alm, claro, dos escalares ou outros pseue e doescalares. c Vk Denotaremos o espao vetorial dos k-vetores por V R1;3 e a soma direta destes por R1;3, ou seja,5 5 13

e v + ve = 0; 8v 2 R ; :

^

R1;3 =

^

R1;3 1 R1;3 ^ ^ 3R1;3 4 R1;3;0

^

^

2

R1;3 145

8 Esta denominaao n~o deve ser confundida com uma s vezes adotada em alguns livros de Relatividade onde um vetor ou um c~ a a 1-vetor no jarg~o que estamos adotando pertencente ao espao vetorial de Minkowski dito um 4-vetor ou quadrivetor. a c e 9 Sobre a quest~o da orienta~o veja 1 e 3 . a ca 10 E interessante comparar esta propriedades com as do caso da lgebra geomtrica do espao euclideano tridimensional discutido em a e c 1.

220 onde usamos a conven~o usual V R1;3 = R e ca 1;3 1;3 R = R . O espao vetorial R1;3 equipado c com o produto geomtrico de nido pelas eqs.135-137 e e o que denominamos lgebra geomtrica do espao-tempo a e c e denotamos por C `1;3 . V Opera~es como as proje~es h ik : R1;3 ! co co Vk 1;3 R e as involu~es denominadas revers~o, inco a volu~o graduada e conjugaao de nidas no caso de ca c~ C `2 e C `1;1 pelas eqs.46-49 continuam sendo de nidas da mesma forma para C `1;3. A eq.138 pode ser agora generalizada. Se um e multivetor arbitrrio ent~o podemos escrever a a v = v + v ^ ; 146 onde b v = v , v ; 147 2

Jayme Vaz Jr.V

V1

A interpreta~o do produto como um produto escalar ca s possvel para o caso particular envolvendo dois veoe tores, ou seja, quando temos v u. Para os demais casos devemos nos referir a esse produto como contra~o 1 . ca Alm da eq.146 podemos generalizar a eq.138 e como v = v + ^ v; 154 onde b 155 v = v , v ; 2b ^ v = v + v : 2 Quando = k um k-vetor temos e k k v = k v , ,1 vk ; 2

156 157

b Se = k um k-vetor temos k = ,1k k e estas e equa~es cam co k v k = vk , ,1 k v ; 149 2 k 150 v ^ k = v + ,1 k v : 2 Portanto a interpreta~o da decomposi~o 146 do proca ca duto geomtrico em termos dos produtos e ^ depende e da gradua~o k de um k-vetor. Se k um k-vetor ca e ent~o v ^ k um k + 1-vetor. Isso consistente com a e e nossa interpreta~o anterior. De fato, tomando como ca exemplo os vetores ortogonais e0 , e1 e e2, segue da deni~o acima que ca e0 ^ e1 ^ e2 = e0e1e2: 151 Do mesmo modo e0 ^ e1 ^ e2 ^ e3 = e0e1e2e3: 152 O fato do produto ^ ser anticomutativo ou comutativo conforme a graduaao do k-vetor deve-se ao fato c~ deste produto para vetores ser anticomutativo. De fato, usando as propriedades de associatividade e a anticomutatividade segue que v ^ u ^ w = v ^ u ^ w = ,u ^ v ^ w = ,u ^ v ^ w = u ^ w ^ v = u ^ w ^ v; 153 o que mostra que o produto ^ envolvendo vetor e bivetor comutativo. Portanto, devemos levar em conta na e de ni~o deste produto a gradua~o do multivetor. ca ca N~o difcil vermos que enquanto v ^ k um a e e k +1-vetor para k um k-vetor, v k um k , 1e vetor. O produto n~o portanto um produto escalar. a e

v ^ = v + v : 2b

148

k k ^ v = k v + ,1 vk : 158 2 Como podemos ver pelas de ni~es acima, temos as seco guintes propriedades: v k = ,,1k k v; 159 v ^ k = ,1k k ^ v: 160 J o produto geomtrico k l para k 1 e l 1 a e n~o pode ser decomposto na forma 146 ou 154. E a possvel mostrar que em geral o resultado do produto geomtrico k l pode ser escrito na forma 1 e

= hk l ijk,lj + hk l ijk,lj+2 + + hk l ik+l : 161 Evidentemente podemos generalizar a de ni~o dos ca produtos e ^ atravs de e k l = hk l ijk,lj ; 162 k ^ l = hk l ik+l ; 163 mas mesmo assim o produto k l n~o pode ser escrito a na forma 146 ou 154 devido presena de termos a c adicionais na eq.161. Apenas quando um dos elementos for um vetor ou k = 1 ou l = 1 o produto geomtrico pode ser escrito na forma 146 ou 154. e Re ex~es e rota~es s~o descritas em C `1;3 da o co a mesma forma que no caso das lgebras dos planos eua clideano e pseudo-euclideano. Entretanto, com rela~o ca a s rota~es, temos agora uma estrutura muito mais rica co que devemos olhar com detalhes. Vimos que tanto em C `2 como em C `1;1 uma rota~o ca descrita pela opera~o v 7! RvR,1 com R da forma e ca R = exp B=2, onde B um bivetor. Este bivetor B e B = e2e1 e a rota~o se d no plano dos vetoe ca a res e1 e e2 . No caso euclideano e2 e1 2 = ,1 e temos uma rota~o propriamente dita; j no caso pseudoca a euclideano e2e1 2 = 1 e a rota~o hiperblica. ca e o kl

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c Em C `1;3 o espao 2R1;3 dos bivetores tem dic mens~o seis e podemos ter tanto bivetores satisfazendo a B 2 0 como B 2 0 e at mesmo B 2 = 0. Vamos e considerar os bivetores tais que B 2 = ,1; por exemplo: e1 e2, e1e3 e e2e3 assim como combina~es linecoV

23

ares convenientes destes. Como no caso do plano euclideano, estes bivetores geram rota~es no plano por co eles de nido. Como exemplo, vamos tomar o bivetor e1 e3 e considerar a opera~o v 7! RvR,1 com ca R = exp =2e1e3 . Podemos ent~o veri car que a

cexp 2 e1 e3e0 exp ,2 e1 e3 = e0; exp 2 e1e3 e1 exp ,2 e1e3 = cos e1 + sin e3; exp 2 e1 e3e2 exp ,2 e1 e3 = e2; exp 2 e1 e3e3 exp ,2 e1 e3 = cos e3 , sin e1: 164 165 166 167

dEstas equa~es mostram claramente que temos uma co rota~o no plano dos vetores e1 e e3 . ca Agora vamos olhar para os bivetores tais que B 2 = 1; por exemplo: e0e1 , e0 e2 e e0 e3, fora as combinaoes c~ lineares convenientes destes. Como no caso do plano pseudo-euclideano, estes bivetores geram rota~es hico perblicas no plano por eles de nido. Um exemplo o e su ciente para vermos isso. Tomando o bivetor e0e3 podemos veri car que

cexp 2 e0e3 e0 exp , e0e3 = cosh e0 , sinh e3; 2 exp 2 e0 e3e1 exp ,2 e0 e3 = e1; exp 2 e0 e3e2 exp ,2 e0 e3 = e2; exp 2 e0 e3e3 exp ,2 e0 e3 = cosh e3 , sinh e0: 168 169 170 171

dEst claro que temos aqui uma rotaao hiperblica no a c~ o plano dos vetores e0 e e3. Resumindo, a opera~o v 7! RvR,1 com R = ca exp =2B descreve uma rota~o espacial se B 2 = ,1 ca ou uma rota~o hiperblica se B 2 = 1. Para deixarmos ca o um pouco mais clara essa distinao vamos usar daqui c~ em diante a seguinte nota~o: ao invs de R escrevereca e mos U no caso de uma rota~o espacial e L no caso de ca uma rota~o hiperblica. ca o Finalmente, vamos considerar uma rota~o genrica ca e no espao-tempo. E possvel mostrar o que omitiremos c aqui veja, por exemplo, 6 que a rota~o mais geca ral possvel no espao-tempo pode ser escrita como a c composi~o de uma rota~o espacial e uma rota~o hica ca ca perblica. Em smbolos, se v 7! RvR,1 uma rotaao o e c~ arbitrria do vetor v no espao-tempo ent~o podemos a c a escrever de maneira unica! R na forma R = LU; 172 onde L descreve uma rota~o hiperblica e U uma ca o11

rota~o espacial. ca

VII A Teoria da Relatividade RestritaVamos comear discutindo alguns aspectos da cic nemtica relativstica. Primeiro, vamos considerar um a referencial O; B. Lembrando a eq.117, podemos descrever um evento P atravs do vetor x = ,! e OP,

x =x e +x e +x e +x e ;0 0 1 1 2 2 3 3

173

onde x0 = ct, etc. Podemos pensar que o vetor tipotempo e0 de ne um observador inercial e as coordenadas fx g = 0; 1; 2; 3 s~o portanto as coordenadas do a evento com relaao a este observador neste referencial. c~ Uma vez que e2 = 1 podemos escrever11 0

x = xe e = x e e + x ^ e e = cte + ~ ; 174 x0 0 0 0 0 0 0

Sobre a quest~o de nota~o: dada uma quantidadeno espao-tempodenotada por uma letra em negrito, a correspondente quantidade a ca c no espao tridimensional ser denotada pela mesma letra com uma echa. Um exemplo do uso desta nota~o est na eq.174. c a ca a

24 onde e ct = x e0 175

Jayme Vaz Jr. um vetor tipo-tempo constante u u2 = 1, du=d = 0. A resposta para isso segue segundo o mesmo raciocnio acima, exceto que agora em lugar do vetor e0 devemos considerar o vetor u. Dado o vetor x escrevemos em analogia com a eq.174,

x ~ = x ^ e0e0 = x ^ e0 e0 = x1 e1 + x2e2 + x3 e3: 176 Portanto, as quantidades x e0 e x ^ e0 e0 s~o respectia vamente o tempo e a posi~o do evento no referencial em ca quest~o. Aqui a posiao do evento refere-se posi~o a c~ a ca no espao tridimensional de acordo com um observador c inercial de nido por e0. Com isso, se x = x a linha e de universo de uma partcula, no espao tridimensional c com rela~o ao observador e0 esta partcula percorre ca uma trajetria ~ = ~ t determinada substituindo em o x x ~ = ~ = x ^ e0 e0 a express~o para em termos x x a de t que obtemos resolvendo ct = ct = x e0. Seja x = x a linha de universo de uma partcula, onde denota o tempo prprio. De nimos a sua veloo cidade prpria como o v = dx : 177 d Temos ent~o a dt v = c d e0 + dx1 e1 + dx2 e2 + dx3 e3: 178 d d d Logo v = ve0e0 = v e0e0 + v ^ e0 e0 x dt = c d e0 + d~ : 179 d A quantidade v ^ e0 e0 = v ^ e0 e0, d~ v ^ e0 e0 = dx ^ e0 e0 = dx d = dx1 e1 + dx2 e2 + dx3 e3;180 d d dn~o a velocidade ~ associada com o movimento da a e v

x = xuu = x uu + x ^ u u = ct0 u + ~ 0; 184 xonde ct0 = x u; 185 0 = x ^ u u = x ^ uu: ~ x 186 As quantidades t0 e ~ 0 s~o o tempo e a posi~o do evento x a ca dado de acordo com o observador u. Estas quantidades s~o diferentes de t e ~ dados na eq.174. Para aprea x ciarmos esta diferena precisamos da rela~o entre os c ca vetores u e e0 . Como u e e0 s~o vetores tipo-tempo unitrios, existe a a uma rota~o no espao-tempo que leva um vetor no ouca c tro. Podemos ent~o escrever a

u = Re R, ;0 1

187

onde R = LU segundo a eq.172. Porm, U e0U ,1 corresponde a uma rota~o espae ca cial do vetor e0. Como uma rota~o espacial ocorre no ca hiper-plano ortogonal a e0 ou seja, no espao euclidec ano tridimensional ela n~o altera este vetor, de modo a que devemos ter U e0U ,1 = e0: 188 189 Com isso podemos escrever a rela~o entre u e e0 como ca

u = Le L, ;0 1

partcula no espao tridimensional. No espao tridi c c mensional a partcula percorre uma trajetria ~ = ~ t o x x e a velocidade para esta partcula e x ~ = d~ : v dt 181 Chamaremos ~ assim de nida velocidade relativa . Para v expressar ~ em termos de v ^ e0 e0 basta notarmos v que 182 ~ = d d~ ; v dt dx e com a ajuda da eq.179 podemos ver que ~ = c v ^ e0 e0 = c v ^ e0e0 : v 183 Feito isso, agora devemos nos perguntar o que acontece em termos de um observador inercial descrito por

ou seja, uma rota~o puramente hiperblica. ca o Como esta rota~o hiperblica acontece no plano ca o de nido pelos vetores e0 e u, podemos escrever L na forma L = exp B; 190 2 onde o ^ngulo hiperblico e B um bivetor tipoe a o e tempo unitrio B 2 = 1 que anti-comuta com e0 , a

e B = ,B e :0 0

191

ve

0

ve

0

O fato que B deve anti-comutar com e0 pode ser visto da seguinte forma. Dado um bivetor arbitrrio B poa demos sempre escrev^-lo na forma B = B+ + B, , e onde B+ a parte que comuta com e0 e B, a e e parte que anti-comuta com e0. E simples veri carmos que B = 1=2B e0 B e0 . Tambm n~o e a e difcil veri carmos que B+ e B, comutam, ou seja, B+ B, = B, B+ . Do fato que B+ e B, comutam podese mostrar que exp B+ + B, = exp B+ exp B, . Portanto se L da forma exp =2B podemos ese crev^-lo como L = exp =2B, exp =2B+ . Mas e

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c a parte exp =2B+ corresponde justamente transa forma~o dada pela eq.188. Logo sobra apenas a parte ca exp =2B, , que justamente o que estamos consie derando acima. Com isso temos que e0L,1 = e0 exp , B = exp Be0 = Le0; 192 2 2 que usado na eq.189 resulta que e ei e0 = ,e0 ei i = 1; 2; 3 temos u2 = ~ e0~ e0 = ,~ ue0 e0 = ,~ 2 : u u u~ u Como ~ 2 0 segue que u

25

204

u=L e ;2 0

193

194 Esta ultima express~o particularmente util pois a e no lado esquerdo est uma quantidade que j sabemos a a como lidar usando as eqs.179 e 183. De fato,0 2

ou ainda

ue = L :

ue = u e + u ^ = u e + u ^ e e e e ~e ; u = 1+ c 1950 0 0 0 0 0 0 0

onde, segundo a eq.183, ~ = c u ^ e0 e0 u

196

a velocidade relativa do observador e denota a quane tidade = u e0: 197 Podemos facilmente determinar atravs de um pee queno truque. Como u e e0 s~o unitrios podemos esa a crever 1 = uu = ue0e0u: 198 Enquanto ue0 dado pela eq.195, para e0u podemos e escrever e0 u = e0 u + e0 ^ u = u e0 , u ^ e0; 199 onde usamos as propriedades dos produtos e ^ envolvendo vetores eqs.139 e 140. Segue ent~o das a eqs.196 e 197 que u e0u = 1 , ~ e0 : 200 c Com isso, da eq.198 temos ~ e 1 , ~ e = 2 1 , ~ e0 2 ; u u 2 1= 1+ u 0 0 c c c2 201 ou seja, u2 ,1=2 ; 202 = 1 , c2 onde u2 = ~ e02 . Uma vez que ~ da forma u ue u ~ = u1e1 + u2 e2 + u3e3 203

u2 0: 205 Vamos agora determinar L explicitamente. Como L da forma 190 temos e L2 = exp B = cosh + sinh B; 206 onde B 2 = 1. Por outro lado, usando as eqs.194 e 195 temos u u ~e = + u ~e : 2 207 L = + c 0 c u 0 Comparando as duas ultimas express~es temos o u B = ~ e0 208 u e cosh = ; sinh = u : 209 c A eq.208 nos diz qual o bivetor que gera a rota~o ca hiperblica em quest~o. Escrevendo o a ~ = pu1 e1 + u2e2 + u3 e3 u 210 u u1 2 + u2 2 + u3 2 o bivetor B e e p 211 B = u1e1e0 + u2e2 e02 + u3e32 0 : 2 + u + u u1 2 3 J da eq.209 segue que a tanh = u : 212 c Esta express~o sem dvida merece destaque! Ela rea u laciona o angulo da rota~o hiperblica com a veloci^ ca o dade relativa. Chegamos assim uma profunda rela~o a ca para ! 1 temos u ! c. Podemos ainda inverter a equa~o acima para expressar o angulo hiperblico ca ^ o em termos da velocidade relativa u e o resultado e = 1 ln 1 + u=c : 213 2 1 , u=c N~o bastasse isso, a eq.212 permite obtermos de a maneira trivial a frmula para a adi~o de velocio ca dades relativas. Para isso basta usarmos a frmula o para adi~o de ^ngulos hiperblicos. Usando a deca a o ni~o das fun~es seno e co-seno hiperblicos segue ca co o que sinh 1 + 2 = sinh 1 cosh 2 + sinh 2 cosh 1 e cosh 1 + 2 = cosh 1 cosh 2 + sinh 1 sinh 2.entre a cinemtica relativstica e geometria pseudoa euclideana. Devido essa interpreta~o comum chaa ca e marmos o ^ngulo hiperblico de rapidez. Note que a o

26 Usando estas express~es na de ni~o de tanh = o ca sinh = cosh chegamos sem di culdade na lei das tangentes hiperblicas": o 2 tanh 1 + 2 = 1tanh 1 + tanh : 214 + tanh 1 tanh 2 Usando agora a eq.212 com tanh 1 + 2 = tanh = u=c, tanh 1 = u1 =c e tanh 2 = u2 =c segue imediatamente que 1 u = 1 +uu+uu2 2 : 215 1 2 =c Esta a conhecida lei de adi~o de velocidades dentro e ca da TR. Para prosseguirmos vamos simpli car um pouco as express~es assumindo que ~ da forma o ue ~ = ue1: u 216 N~o h muita perda de generalidade com isso. Uma vez a a entendidos os clculos que se seguem possvel reproa e duz-los para ~ da forma 203 sem muita di culdade. u Alm de simpli carmos um pouco as express~es, nosso e o interesse com isso tambm deixar as express~es numa e e o forma mais familiar, o que permite uma melhor comparaao entre os mtodos mais tradicionais e o exposto c~ e aqui.

Jayme Vaz Jr. Com isso L ca sendo dado por L = exp e1e0 ; 217 2 onde = arctanhu=c. O vetor u por sua vez ca sendo dado por 218 u = e0 + u e1: c A rela~o entre t e t0 pode ser agora facilmente obca tida. Usando a eq.174 com x1 = x, x2 = y e x3 = z para x na eq.185 temos ct0 = cte0 + xe1 + ye2 + z e3 e0 + u e1 c u; = ct , x c 219 ou seja, t0 =

J a eq.186 nos fornece ~ 0. Usando a express~o a x a acima para u encontramos que

t , ux : c2

220

c

x ^ u = cte + xe + ye + z e ^ e + u=ce = tue ^ e + xe ^ e + ye ^ e + z e ^ e + yu=ce ^ e + zu=ce ^ e ;0 1 2 3 0 1 0 1 1 0 2 0 3 0 2 1 3 1

221

e da x ^ u u = , 2 tue1 + 2 xe1 + 2 ye2 + 2 z e3 , 2 tu2=ce0 + 2 xu=ce0 , 2 yu2 =c2 e2 , 2 zu2 =c2e3 ; onde com alguns agrupamentos, x ^ u u = x , tu 2 u=ce0 + x , tu 2 e1 + 2 1 , u2 =c2ye2 + 2 1 , u2 =c2z e3 : Usando agora a eq.202 para encontramos que ~ 0 = x , tu 2 u=ce0 + x , tu 2 e1 + ye2 + z e3: x 224 223 222

dEsta equa~o para ~ 0 apresenta um problema. Prica x meiro, vamos olhar novamente para as eqs.174 e 184. Nestas equa~es vemos que t e t0 s~o as componentes co a de x nas dire~es de e0 e u, respectivamente, e ~ e ~ 0 co x x s~o os complementos ortogonais destes vetores em tera mos da decomposi~o ortogonal do espao-tempo em ca c espao" e tempo". Quando calculamos t0 tomamos c justamente a proje~o de x na direao de u e pudemos ca c~ comparar t0 com t pois u est dado em termos de e0. a Se quisermos agora encontrar alguma rela~o entre as ca componentes de ~ 0 e as componentes de ~ precisamos x x especi car a base do espao tridimensional ortogonal c a u. A eq.224 nos fornece corretamente o vetor ~ 0 x mas em termos da base fe g = 0; 1; 2; 3. Preci-

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c samos agora encontrar a base fe0 g obtida partir da a base fe g pela rota~o hiperblica em considera~o, ou ca o ca seja, e0 = LeL,1; = 0; 1; 2; 3: 225 00 obviamente e00 = u. Quanto aos demais Para e vetores calculando a express~o acima encontramos que a e01 = e1 + u=ce0; e02 = e2; e03 = e3: 226 Agora podemos escrever ~ 0 dado pela eq.224 na x forma ~ 0 = x , tue01 + ye02 + z e03 : x 227 0 ; y0 ; z 0 s~o de nidos como Uma vez que x a ~ 0 = x0e01 + y0 e02 + z 0 e03 x 228 encontramos comparando estas duas ultimas equaoes c~ que x0 = x , tu; y0 = y; z 0 = z: 229 As eqs.220 e 229 s~o justamente as celebradas a transforma~es de Lorentz. Lembrando a de niao de co c~ podemos escrever estas transformaoes explicitamente c~ como 2 t t0 = p , ux=c 2 ; 1 , u2=c x0 = p x , tu 2 ; 1 , u2 =c 0 = y; y z 0 = z: 230 Essencialmente uma transforma~o de Lorentz ca e uma rota~o hiperblica. Estas transformaoes relaca o c~ cionam as coordenadas de um evento de acordo com dois observadores inerciais movendo-se um em rela~o ca ao outro com velocidade relativa ~ . Seguindo a mesma u linha de raciocnio que utilizamos para construir as guras anteriores, podemos ilustrar estas coordenadas na Fig.13.

27

Note que do mesmo modo que a coordenada x resp. t obtida traando uma reta paralela reta de nida e c a por e0 resp. e1 , a coordenada x0 resp. t0 obtida e traando uma reta paralela reta de nida por e00 = u c a resp. e01. Existe ainda uma outra forma de obtermos as frmulas acima para as transforma~es de Lorentz. o co Esta consiste em interpretarmos de uma outra maneira uma rota~o hiperblica. Para entendermos como fazer ca o isso vamos primeiro considerar a interpreta~o de uma ca rota~o espacial. Para isso vamos considerar a transca forma~o x 7! U xU ,1 correspondendo a uma rotaao ca c~ espacial. Temos interpretado essa rota~o espacial do ca vetor x como resultando em um novo vetor x0 dado por x0 = U xU ,1. Esta interpreta~o corresponde ao que ca chamamos ponto de vista ativo. Entretanto, podemos interpretar esta transforma~o segundo o que chamaca mos ponto de vista passivo. Segundo esta interpreta~o ca o vetor x n~o alterado mas sim as coordenadas desse a e vetor atravs da rota~o dos vetores da base. Se do e ca ponto de vista ativo a rota~o do vetor x acontece num ca dado sentido e por um certo angulo, do ponto de vista ^ passivo a rota~o dos vetores da base acontece no senca tido oposto e pelo mesmo ^ngulo. Ilustramos isso na a Fig.14.

Figura 14. Interpreta~o de uma rota~o espacial segundo ca ca o ponto de vista ativo gura a esquerda e passivo gura a direita.

Figura 13. Coordenadas de um evento segundo dois observadores distintos.

No caso de uma rota~o hiperblica as mesmas ca o interpreta~es s~o possveis. Podemos interpretar a co a transforma~o x 7! LxL,1 do ponto de vista ativo, ca signi cando que o resultado desta transformaao um c~ e novo vetor x0 obtido pela rota~o hiperblica do vetor ca o x num dado sentido e por um certo ^ngulo hiperblico. a o Ou ent~o do ponto de vista passivo, onde o vetor x a permanece inalterado e os vetores da base sofrem uma rota~o hiperblica pelo mesmo ^ngulo mas no sentido ca o a oposto. Na Fig.15 ilustramos estes dois casos. As transforma~es de Lorentz relacionam as coorco denadas de um mesmo evento segundo dois observadores inerciais. Logo, se quisermos obter as express~es o para estas transforma~es diretamente da express~o co a para uma rota~o hiperblica devemos interpret-la no ca o a sentido passivo. Para sermos mais espec cos, vamos considerar o caso envolvendo dois observadores inerciais de nidos

28 por e0 e u tais que u = Le0 L,1 . Do ponto de vista da lgebra geomtrica uma transformaao da forma a e c~ x 7! LxL,1 interpretada no sentido ativo, ou seja, e

Jayme Vaz Jr. ela de ne um novo vetor x0 dado por x0 = LxL,1 . Para L dado pela eq.217, x0 = LxL,1 dado por e

c

x0 = ct e + u=ce + x e + u=ce + ye + z e = ct + ux=ce + x + ute + ye + z e :0 1 1 0 2 0 1 2 3

3

231

despao-tempo podemos utilizar um truque. O que prec cisamos simular" o ponto de vista passivo em termos e do ponto de vista ativo. Como j discutimos, do ponto a de vista passivo a rota~o hiperblica considerada no ca o e sentido oposto e pelo mesmo ^ngulo hiperblico. Pena o sando do ponto de vista ativo, esta rota~o hiperblica ca o no sentido inverso pode ser vista como a transforma~o ca inversa da transforma~o x 7! LxL,1 . Esta transca forma~o obviamente x 7! L,1 xL. Portanto a transca e forma~o ativa x 7! x = L,1 xL pode ser interpreca tada do ponto de vista passivo como de nindo as novas coordenadas do vetor x em termos da base fe0 g = 0; 1; 2; 3 dada por e0 = Le L,1 . A melhor maneira de nos convencermos disso efetuando explicitae mente os clculos. De fato, para x = L,1 xL temos a x = ct , ux=ce0 + x , ute1 + ye2 + z e3: 233 Escrevendo x = ct0e0 + x0e1 + y0 e2 + z 0 e3 segue que t0 = t , ux=c2; x0 = x , ut; y0 = y; z 0 = z; 234 que s~o justamente as transforma~es de Lorentz proa co curadas. Portanto, o novo vetor x obtido atravs da e = L,1xL tal que as suas comtransforma~o x 7! x ca e ponentes em termos da base feg s~o as mesmas coma ponentes do vetor x em termos da base fe0 g dada por e0 = Le L,1 . Temos assim uma receita de como simular" o ponto de vista passivo em termos do ponto de vista ativo, que o que deve ser usado ao olharmos e para uma rota~o espacial ou hiperblica atravs das ca o e opera~es da algebra geomtrica. Embora isso misture co e dois pontos de vista diferentes, sem dvida o procediu mento simples e e ciente do ponto de vista computae cional. Por outro lado, o procedimento usado anteriormente para obtermos as transforma~es de Lorentz nos co parece do ponto de vista conceitual mais completo. Vamos agora olhar para a din^mica relativstica. A a din^mica do movimento de uma partcula pode ser esa peci cada na TR atravs da generaliza~o da segunda e ca lei de Newton. A generaliza~o natural desta lei ca e F = dp ; 235 d onde F e p s~o as generaliza~es em termos do espaoa co c tempo dos conceitos clssicos de fora e momentum, a c

Figura 15. Interpreta~o de uma rota~o hiperblica seca ca o gundo o ponto de vista ativo gura superior e passivo gura inferior.

Escrevendo x0 = ct0 e0 +x0 e1 +y0 e2 +z 0 e3 segue que t0 = t + ux=c2; x0 = x + ut; y0 = y; z 0 = z; 232 que n~o s~o as transforma~es de Lorentz dadas pelas a a co eqs.220 e 229. A eq.232 fornece as coordenadas de um novo evento x0 de acordo com o observador inercial de nido por e0 . Esta a interpreta~o do ponto e ca de vista ativo e a unica interpreta~o possvel para a e ca transforma~o x 7! LxL,1 . ca Para escrevermos esta rota~o hiperblica do ponto ca o de vista passivo em termos da lgebra geomtrica do a e

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Maro, 2000 c respectivamente. Vamos considerar agora estas g