SMART PHARMACIST 4 · • พิมพ์ข้อมูลยา และเอกสาร จัดเกบใน ็google doc • ทํา presentation ด้วย google
chitlada.blogspot‐chitlada.blogspot.com ลําดับ และอนุกรม ฟ...
Transcript of chitlada.blogspot‐chitlada.blogspot.com ลําดับ และอนุกรม ฟ...
www.kru‐chitlada.blogspot.com
ลาดบ และอนกรม
ฟ ช โ ป ซ
ลาดบ อนกรม
ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1
ผลบวกของพจนทกพจนของลาดบเรยกวา ลาดบ
www.kru‐chitlada.blogspot.com
ลาดบเลขคณต:ผลตางเทากน อนกรมเลขคณต ผลรวมของลาดบเลขคณต
an = a1 + (n‐1)dd คอ ผลตาง n 1 n
nS (a a )2= +
ลาดบเรขาคณต:ผลหารเทากนa = a rn‐1
อนกรมเรขาคณต ผลรวมของลาดบเรขาคณตa a r−an = a1r
r คออตราสวนรวม1 n
na a rS , r 11 r= ≠−
หมายเหต ตองตรวจสอบกอนวาเปนลาดบเลขคณตหรอลาดบเรขาคณต
www.kru‐chitlada.blogspot.com
ตวอยาง 1, 2, 3, 4
ตรวจสอบ ผลตาง ผลหาร2‐1 = 13‐2 = 1
2/1 =23/2 = 1 5
4‐3 =13/2 = 1.54/3 = 1.33
นนคอ เปนลาดบเลขคณตเพราะผลตางเทากน
ผลทวไป an = a1 + (n‐1)d = 1 + (n‐1)(1) =1+n‐1 = nn 1 ( ) ( )( )
www.kru‐chitlada.blogspot.com
13/2551 พจนท 31 ของลาดบเลขคณต เทากบขอใดตอไปน
1 1 1, , ,'''20 30 60− − −
1. 2. 512
1330
3. 4. 920
715
แนวคดwww.kru‐chitlada.blogspot.com
แนวคด13/2551 พจนท 31 ของลาดบเลขคณต เทากบขอใดตอไปน
1 1 1, , ,'''20 30 60− − − เทากบขอใดตอไปน
สงทตองหา 1. a3131สตร an = a1 + (n‐1)d
( ) +( ) ( )( ) − × − +×=− − − =− + = + = =× ×( 1) 2 ( 2) 31 31 1 1 1 1d 30 20 30 20 30 2 20 3 60 60
30 10 91 1 1 1 1 1=− + − =− + =− + =− + =3030 10 91 1 1 1 1 1a (31 1)( ) 30( )20 60 20 60 20 60 20 20 20
ดงนน a30 =9
2 0
www.kru‐chitlada.blogspot.com
14/2551 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 – 2 + 4 – 8+ …+256เทากบขอใดตอไปน
1. ‐171 2. ‐85
3. 85 4. 171
แนวคดwww.kru‐chitlada.blogspot.com
แนวคด14/2551 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 – 2 + 4 – 8+ …+256
เทากบขอใดตอไปน
สงทตองหา 1. Sn
สตร 1 nn
a a rS , r 11 r−
= ≠−2r 21−= =−
− − += = = =− −n1 256( 2) 1 512 513S 1711 ( 2) 3 3( )
ดงนน Sn = 171
www.kru‐chitlada.blogspot.com
15/2551 กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 –S8 = 32 แลว10 8 พจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน
1. 2. 163
203
3. 4. 263
323
แนวคดwww.kru‐chitlada.blogspot.com
แนวคด15/2551 กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 –S8 = 32 แลวพจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน
สงทตองหา 1. a9
สตร an = a1rn‐1
โจทยกาหนด r = 2 , S10 –S8 = 32
ดงนนหา S10 , S8 กอน แลวแกสมการ จะได a1
1 nn
a a rS , r 11 r−
= ≠−
1 na a rS r 0−= ≠nS , r 01 r= ≠−
−a a (2) −a a (2)= −
1 1010
a a (2)S ,1 2หา a10
a a (2)10‐1 29a
= −1 8
8a a (2)S ,1 2
หา a8
a a (2)8‐1 27aa10 = a1(2)10‐1 =29a1
− 9a 2 a (2)
a8 = a1(2)8‐1 =27a1
− 7a 2 a (2)= −
1 110
a 2 a (2)S ,1 2− 10a 2 a
= −1 1
8a 2 a (2)S ,1 2− 8a 2 a
= −1 1
10a 2 aS 1 = −
1 18
a 2 aS 1=− + 10
10 1 1S a 2 a =− + 88 1 1S a 2 a
=− + 1010 1 1S a 2 a =− + 8
8 1 1S a 2 aS10‐S8 = 3210 8
ดงนน a + 210a ( a + 28a ) = 32ดงนน ‐a1 + 210a1 – (‐a1 + 28a1) = 32‐a1 + 210a1 + a1 ‐ 28a1 = 32
210a1 ‐ 28a1 = 32
28(22a1 ‐ a1 ) = 322 (2 a1 a1 ) 32
28(3a1 ) = 32
a1 = 5
82
3 2i3 2
a =52a1 = 8
23 2i
1a1 =
9 11 (2 )−ดงนน a = a = a rn‐1
31
3 2i3 (2 )3 2iดงนน a9 = an = a1r
a = 81 (2 )a9 = 3 (2 )3 2i52a9 = 3
a9
323
a9 = 3
www.kru‐chitlada.blogspot.com
16/2551 จากรปแบบตอไปน โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a – b + cมคาเทากบขอใดตอไปน
7 14 21 7771 2 4
142 4 8
213 6 12
77a b c…
1. 11 2. 22
3. 33 4. 44
แนวคดwww.kru‐chitlada.blogspot.com
แนวคด7 14 21 77
b
จะได b = 2a ดงนน 2a‐b+c 1 2 4 2 4 8 3 6 12 a b c…
c = 2b = 2(2a) = 4a =2(11)‐2(11)+4(11)= 44
และ a +b + c = 77+ 2 + 4 77a + 2a + 4a = 777a = 77
a = 77711a = 11
www.kru‐chitlada.blogspot.com
20/2553 กาหนด ให เปนลาดบเลขคณต3 1,1, ,...2 2 ผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด
1. ‐18 2. ‐19
3. ‐37 4. ‐38
แนวคดwww.kru‐chitlada.blogspot.com
แนวคด20/2553 กาหนด ให เปนลาดบเลขคณตผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด3 1,1, ,...2 2
สงทตองหา 1. a40 และ a4240 42
สตร an = a1 + (n‐1)d3 1d 1 2 2= − =−
( )3 3 3 39 361 1( )( ) ( ) −+ + +( )403 3 3 39 361 1a (40 1)( ) 39( ) 182 2 2 2 2 2 2= + − − = + − = + − = =−
( )3 3 3 381 1 41( )( ) ( ) −+ + +( )423 3 3 381 1 41a (42 1)( ) 41( ) 192 2 2 2 2 2 2= + − − = + − = + − = =−
ดงนน a40 + a41 = (‐18)+(‐19) = ‐37
www.kru‐chitlada.blogspot.com
21/2553 ใน 40 พจนแรกของลาดบ มกพจน ทมคา เทากบพจนท 40
nna 3 ( 1)= + −
1. 10 2. 20
3. 30 4. 40
แนวคดwww.kru‐chitlada.blogspot.com
แนวคด21/2553 ใน 40 พจนแรกของลาดบ มกพจน ทมคา เทากบพจนท 40
nna 3 ( 1)= + −
สงทตองหา : แทนคาลงไปทละคา
A1 =3+ (‐1)1 = 3+ (‐1) = 2
A 3 ( 1)2 3 1 4A2 =3+ (‐1)2 = 3+ 1 = 4A3 =3+ (‐1)3 = 3+ (‐1) = 2
A4 =3+ (‐1)4 = 3+ 1 = 4
A40 =3+ (‐1)4 = 3+ 1 = 4
นนคอ พจนทมคา เทากบพจนท 40 ม 20 จานวน
www.kru‐chitlada.blogspot.com
22/2553 กาหนดให a1, a2, a3, … เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = ‐64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรก2 5 ของลาดบนเทากบขอใด
1. 2,048 2. 1,512
3. 1,364 4. 1,024
แนวคดwww.kru‐chitlada.blogspot.com
แนวคด22/2553 กาหนดให a1, a2, a3, … เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = ‐64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรก ของลาดบนเทากบขอใด
โจทยบอก : เปนลาดบเรขาคณต a2 = 8, a5 = ‐64 นนคอ r เทากน
สงทตองหา 1 rสงทตองหา 1. r2. a1
1 nn
a a rS , r 11 r−
= ≠−3. a10
a2 = 8, a5 = ‐64 หา r 1 nn
a a rS , r 01−
= ≠www.kru‐chitlada.blogspot.com
2 , 5 n ,1 r−2 1
2 1a a r −=5 1
5 1a a r −=2 1 5 1
118 a r= 4
164 a r− =1 2
2/1;4
1a r64− =2/1; 11
8 a r=
38 r− =8 r3r 8= −
r 2=−r 2=
www.kru‐chitlada.blogspot.com
r 2=−
118 a r= 1
หา a1 โดยนา r= ‐2 แทนในสมการ 1 an = a1rn‐1r คอผลตาง
ดงนน 1
18 a ( 2)= −8
910a ( 4)( 2)= − −
r คอผลตาง
18 a2 =−
14 a− =
10
10a ( 4)( 512)= − −
10a 2048=
r 2=− 14 a− = 5a 2048=www.kru‐chitlada.blogspot.com
a a r−
r 2 1 5
1 nn
a a rS , r 11 r= ≠−
104 2048( 2)S 1 ( 2)− − −= − −
104 4096S 1 2− += +4092
104092S 3=
S 1364=10S 1364
www.kru‐chitlada.blogspot.com
11/2552 พจารณาผลตางระหวางพจนของลาดบ 2, 5, 10, 17,26,…โดยการใหเหตผลแบบอปนย พจนท 10 ของลาดบคอขอใดตอน
1. 145 2. 121
3. 101 4. 84
11/2552 พจารณาผลตางระหวางพจนของลาดบ 2 5 10 17 26 โดยแนวคด www.kru‐chitlada.blogspot.com
11/2552 พจารณาผลตางระหวางพจนของลาดบ 2, 5, 10, 17,26,…โดยการใหเหตผลแบบอปนย พจนท 10 ของลาดบคอขอใดตอน
2
53
3713
50
a1
a
a6
a5
105
5015
65
a2
a3
a7
a10
177
6517
82
3
a4
a8
a9
269 19
101a5
9
a1011
37a6
10
www.kru‐chitlada.blogspot.com
17/2552 ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40
1. an = 1‐2n 2. an = 1+2n
3. an = 2‐2n 4. an = 2+2n
17/2552 ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40www.kru‐chitlada.blogspot.com
17/2552 ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40
สงเกตวาทกพจน ม 2n
2 40 20ดงนน 2n = 40 ; n = 20
ลองแทน m= 20, 19,18
1 a = 1‐2n : ตดลบ1. an 1 2n : ตดลบ
2.an = 1+2n
3.an = 2‐2n :
4 a = 2+2n4. an = 2+2n
www.kru‐chitlada.blogspot.com
18/2552 กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 =2และ a3 = 200 ถา a2 คอคาในขอใดขอหนงตอไปนแลว3 2
ขอดงกลาวคอขอใด
1. ‐20 2. ‐50
3. 60 4. 100
18/2552 กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 =2 และ a3 = 200 ถา a2 คอคาใน ไ
www.kru‐chitlada.blogspot.com
ขอใดขอหนงตอไปนแลวขอดงกลาวคอขอใด
n 1−สตร n 1n 1a a r=สตร
หา r จาก a = a r3‐1หา r จาก a3 = a1r3 1
200=(2)r2
r2 200/2r2 =200/2r 2= 100r = + 10r = +‐ 10
นนคอ a2 =(2)(‐10)1 หรอ a2 =(2)(10)1 a2 = ‐20 หรอ a2 = 20a2 20 หรอ a2 20
www.kru‐chitlada.blogspot.com
23/2553 ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน
1 3 5 ... (2n 1) ... 199+ + + + − + +1.
1 1 1 11 ... ...3 5 (2n 1) 199+ + + + + +−2.
n 1 1991 2 4 ... (2 ) ... 2−+ + + + + +
1 1 1 1 1+ + + + + +
3.
4 2 n 1 1991 1 1 1 1... ...5 125 3125 5 5−+ + + + + +4.
23/2553 แนวคด www.kru‐chitlada.blogspot.com
23/2553 ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน
ขอ 1 เปนลาดบเลขคณตขอ 2 ไมเปนทงลาดบเลขคณตและเรขาคณตขอ 3, 4 เปนลาดบเรขาคณต ดงนนจงพจารณาเฉพาะขอ 3, 4
n 1 1991 2 4 ... (2 ) ... 2−+ + + + + +ขอ3. 2 n 1 1991 1 1 1 1... ...5 125 3125 5 5−+ + + + + +ขอ4.
an = a1rn‐1 :r = 2/1 = 25 5
an = a1rn‐11 1 1 1: r 5125 5 125 25= ÷ = × =
( )n 11 1 1 −199 n 12 1 2 −= ×199 n 12 2 −=
( )1991 1 1
5 255 =n 11 1 1 −
= ×
199 2 n 21 1
5 5 5 −=×
1 12 2=ดงนน 199 = n‐1
200
199 n 155 25 −= ×
199 2 ( n 1)1 1 1
55 5 −= ×199 2 n 11 1
5 5 −=
ดงนน 199 = 2n‐1n = 200 55 5
2n = 200n = 100
www.kru‐chitlada.blogspot.com
24/2553 คาของ 1+6+11+16+…+101 เทากบขอใดตอไปน
1. 970 2. 1020
3. 1050 4. 1071
แนวคด www.kru‐chitlada.blogspot.com
24/2553 คาของ 1+6+11+16+…+101 เทากบขอใดตอไปน
ตรวจสอบวาเปนลาดบชนดใดเปนลาดบเลขคณต
n 1 nnสตรS (a a )2= + (จะตอง n กอน)
an = a1 + (n‐1)d ; d = 6‐1 = 5101 = 1 +(n‐1)(5)
n21S (1 101)2= +21S (102)( )( )
101 = 1 +5n‐5101 = 5n‐4
n21S (102)2=
nS (21)(51)=105 = 5n21 = n
nS 1071=
www.kru‐chitlada.blogspot.com
16/2554 ลาดบเรขาคณตลาดบหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรก เปน 13 และ 27 ตามลาดบ ถา r เปนอตราสวนรวมของ ลาดบนแลว มคาเทากบขอใดตอไปน1r r+
1. 2. 103
73
3. 4. 43
13
www.kru‐chitlada.blogspot.com
17/2554 กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลาดบเลขคณต a1, a2, a3, …, ถา S5 = 90 และ S10 = 5 แลว1, 2, 3, , 5 10 a11 มคาเทากบขอใดตอไปน
1. ‐39 2. ‐38
3. ‐37 4. ‐36
www.kru‐chitlada.blogspot.com
31/2554 ลาดบเลขคณต ‐43, ‐34, ‐25,… มพจนทมคานอยกวา 300 อยกพจน
พจารณาวา 300 เปนลาดบทเทาไร ดงนน an= 299
an = a1 + (n‐1)d : d = ‐34‐(‐43) = ‐34 + 43 = 9
299 = ‐43 + (n‐1)(9)
299 = ‐43 + 9n‐9299 43 + 9n 9
299+43+9 = 9nดงนน เมอ 300อยพจนท แลวจานวน139351 n9 =
39=
ดงนน เมอ 300อยพจนท แลวจานวนทนอยกวา 300 มอย 39 พจน
39 9
39 n=
www.kru‐chitlada.blogspot.com
32/2554 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 + (‐2) + 4 +(‐8) +…+256เทากบเทาใด
1 nn
a a r 2S , r 21 r 1− −= = =−−สตร 1 r 1
n1 256( 2)S 1 ( 2)− −= − −
n1 512S 1 2+= +
n513S 3=
Sn = 171