РАЗДЕЛ 9. ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ.

Дискретная (цифровая) обработка сигналов - это направление радиоэлектроники, использующее методы и средства цифровой вычислительной техники для цифровой фильтрации сигналов и спектрального анализа сигналов, представленных набором дискретных отсчетов.

Основы аналитического описания дискретных сигналов и цепейКак и аналоговые сигналы, дискретные сигналы могут описываться во

временной области, в частотной, в области комплексной переменной.Во временной области дискретные сигналы представляются в виде

дискретных последовательностей размерного или безразмерного времениs(nT), t=nT, (9.1)s(n), n=t/T (9.2)

Примеры:1) - дискретный единичный импульс – рис. 9.1 сигнал, который подают

на дискретную цифровую систему, чтобы снять ее импульсную характеристику.

2) Дискретизированное гармоническое колебание

Z - преобразование.

Z-преобразование и временная последовательность x(n) связаны

выражениями

(9.3)

118

Рис. 9.1. Дискретный единичный импульс

s(nT)

nT

Рис. 9.2. Дискретизированное гармоническое колебание

, (9.4)

называемыми соответственно прямым и обратным Z-преобразованиями.Z-преобразование для описания дискретных сигналов и цепей играет

примерно ту же роль, что преобразование Лапласа для описания аналоговых сигналов и цепей.

Основные свойства Z-преобразования по форме записи и по сути близки к свойствам преобразования Фурье.

1. Линейность:временной последовательности

,соответствует Z-преобразование

. (9.5)

2. Запаздывание:если x(n), X(z) – исходный сигнал и его Z-преобразование, то запаздывающая последовательность x(n-m) будет иметь Z-преобразование

Z[x(n-m)]=X(z)z-m (9.6)3. Свертка:

дискретная свертка двух последовательностей x(n), y(n)

(9.7)

с известными Z-преобразованиями будет иметь Z-преобразование

(9.8).

Z- преобразование переносит сигнал из временной области в комплексную плоскость z=x+jy.

Для аналоговых сигналов преобразование Лапласа переводит сигнал из временной области в комплексную плоскость p= +j .

Соотношение z = e p T устанавливает связь между точками двух комплексных плоскостей – “p” и “z”.

Мнимая ось плоскости “ ”в плоскости “ ”отображается в виде единичной окружности, путем многократного наложения. Если берем левую полуплоскость ” p ”, то она отображается на плоскости ” z ” внутри окружности единичного радиуса.

Дискретные преобразования Фурье.Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) применяют для расчета спектра

дискретного сигнала, заданного во временной области в виде дискретной последовательности отсчетов x(n), n=0, 1, 2…..(N-1), где N- база сигнала.

cmm

cc Tf2f2/1

T

T

TN ,

cT – длина реализации сигнала,

119

– интервал дискретизации (по Котельникову),fm – верхняя частота в спектре сигнала.Прямое ДПФ (или собственно ДПФ), с помощью которого рассчитывают спектр дискретного сигнала, имеет вид

, (9.9)

где - шаг спектральных отсчетов, .

Обратное ДПФ, позволяющее от спектра дискретного сигнала вернуться к временной последовательности, представлено выражением

. (9.10)

Кроме приведенной пары выражений в литературе по цифровой обработке сигналов можно найти довольно похожие правила, имеющие, однако несколько иной смысл. Речь идет о соотношениях

, (9.11)

(9.12)

Выражения (9.9) и (9.10) в полном смысле являются преобразованиями Фурье, т.е. связывают временную функцию и спектральную плотность непериодического сигнала, полностью заданного - отсчетами. Выражения (9.11) и (9.12) связывают временные отсчеты и комплексные амплитуды гармоник периодического сигнала один период которого задан отсчетами.

Соотношения (9.9) и (9.11) дают спектр с периодической структурой,

причем период повторения равен базе N, т.е. , .

Кроме того, для вещественных функций первые спектральных

отсчетов ( ) будут являются величинами, комплексно сопряженными

со второй половиной спектральных отсчетов ( ). Поэтому спектр

вещественного дискретного сигнала можно рассчитывать в интервале

, или в полосе частот .

Структурная схема системы цифровой обработки аналоговых сигналов. На рис. 9.3 представлена структурная схема системы цифровой обработки

аналоговых сигналов.

120

На вход системы поступает смесь аналогового сигнала x(t), подлежащего обработке, и (возможно) высокочастотная помеха n(t), которая должна быть удалена по причинам, о которых будет сказано позднее. Аналоговый фильтр нижних частот (предварительный ФНЧ) и служит для подавления помех в

полосе частот .

Устройство выборки и хранения (УВХ) производит дискретизацию сигнала во времени и запоминает значение выборки на время паузы

. Запоминание производится

для облегчения условий работы следующего блока – АЦП. Соотношение между сигналом на входе УВХ – x(t) и на его выходе – x(nT) показано на рисунке 9.4.

Следующий блок - АЦП – аналогово-цифровой преобразователь. Он производит квантование сигнала, т.е. преобразует аналоговый уровень x(nT) в многоразрядный код цифровой x(n),

.ЦП – цифровой процессор – основной блок системы, в котором

производится обработка сигнала: последовательность чисел )n(x преобразуется в новую последовательность )n(y , т.е. )n(y)n(x .

ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь. Он преобразует выходную последовательность чисел в ступенчатый сигнал , т.е. .

СФ – синтезирующий фильтр, сглаживает резкие перепады ступенек, формируя аналоговый выходной сигнал y(t).

УУ – устройство управления, формирует импульсные последовательности, управляющие работой цифровых и аналогово-цифровых блоков.

Блоки системы, стоящие до цифрового процессора, играют вспомогательную роль, готовя сигнал к цифровой обработке. Блоки, стоящие после процессора

121

АналоговыйФНЧ УВХ АЦП ЦП

УУ

СФЦАП

Рис. 9.3. Структурная схема цифровой обработки сигналов

x(t)+n(t) x(t) y(t)x(n) y(n) y(nT)x(nT)

x(t)

x(nT)

t

x(t)

Рис. 9.4. Соотношение между сигналом на входе и выходе УВХ

(ЦАП и СФ), формируют аналоговый выходной сигнал и могут отсутствовать в системе, если аналоговый выход не нужен.

Структура спектра дискретизированного сигнала. Теорема Котельникова.

Суть рассматриваемого вопроса состоит в изучении правил дискретизации аналоговых сигналов. Ответ на этот, очень важный для практики вопрос дает теорема Котельникова. Но для того, чтобы понять, чем обусловлено правило выбора интервала дискретизации, которое содержит теорема Котельникова, нужно вначале установить структуру спектра дискретизированного сигнала.

Итак, предположим, что мы имеем аналоговый сигнал с известной спектральной плотностью . Этот аналоговый сигнал мы подвергаем дискретизации, производя выборки с шагом T (рис. 9.5).

Обозначим дискретизированный сигнал, представляющий собой последовательность выборок аналогового сигнала, sT(t) и найдем его спектральную плотность

(9.13)

Процедуру взятия выборок из аналогового сигнала принято представлять как результат умножения временной функции аналогового сигнала на решетчатую функцию hT(t)

sT(t) = s(t)hT(t), где

(9.14)

Вид функции hT(t) приведен на рис. 9.6, а ее аналитическая запись представлена соотношением (9.14).

122

s(nT)

s(t)

0 tT 2T 3TРис. 9.5. Дискретизация аналогового

сигнала с шагом дискретизации T

hT(t)

0 T 2T-T t

Рис.9.6. Решетчатая функция

Поскольку функция hT(t) является периодической, ее можно представить в виде разложения в комплексный ряд Фурье

, (9.15)

где .

По общим правилам определения комплексных коэффициентов Фурье

. (9.16)

Поэтому

(9.17)

Подставляя (9.17) в (9.13), получаем

.

(9.18)Смысл полученного

выражения можно охарактеризовать так:структура спектра дискретизированного сигнала содержит бесконечное множество полос, образованных смещением спектральных составляющих исходного аналогового сигнала влево и право по оси частот с шагом в kд.

Графическая иллюстрация (9.18)

приведена на рис. 9.7. При этом множитель перед знаком суммы для простоты не учитывался.

Переходим к собственно теореме Котельникова.Теорема Котельникова: если функция s(t) такова, что отвечает условию

| f| <fm, то такая функция полностью определяется последовательностью своих отсчётов s(nT) взятых с шагом

T=1/(2fm). (9.19)

123

S()

0-m m

ST()

0-д д 2д

Рис. 9.7. Спектр ST(ω) дискретизированного сигнала

Смысл термина “функция полностью определяется” следует понимать как возможность вернуться от набора дискретных отсчетов s(nT) к аналоговой функции s(t). Такую возможность дает ряд Котельникова

. (9.20)

Чтобы понять, на что влияет шаг выборок T, построим спектр

дискретизированного сигнала для трех случаев: (рис. 9.8).

Если T≤1/(2fm), то восстановить аналоговый сигнал по набору дискретных отсчётов можно. Например, с помощью ФНЧ, который удалит дополнительные спектральные составляющие, возникающие при дискретизации аналогового сигнала. При этом сохраняются неизменными составляющие в основной полосе

.Если дискретизация проведена неверно, т.е. T>1/(2fm), то никакая фильтрация не позволит восстановить аналоговый сигнал. Структура спектра дискретизированного сигнала в полосе (-m÷m) уже отличается от спектра аналогового сигнала из-за наложений в частотной области (заштрихованные области на рис 9.8).

В итоге правило выбора интервала дискретизации по Котельникову можно записать в виде

. (9.21)

Правило выбора шага временных отсчетов Tид , содержащееся в формулировке теоремы Котельникова, рассчитано на “идеализированные” условия дискретизации аналогового сигнала и его восстановления по набору дискретных отсчетов. Идеализация состоит в предположении, что спектр сигнала ограничен по ширине, а длительность временной функции бесконечно велика.

124

0 m д

ST(ω)

0 m д

0 m д

Рис. 9.8. Спектры дискретизированого сигнала для разных интервалов дискретизации.

а)

б)

в)

ST(ω)

ST(ω)

T<1/(2fm), д>2m

T=1/(2fm), д=2m

T>1/(2fm), ωд<2ωm

В системах цифровой обработки реальное значение шага временных выборок зависит от решаемой задачи. При спектральном анализе дискретного сигнала, заданного последовательностью отсчетов s(nT) конечной длины N=Tc/T, обычно берут .

В задачах цифровой фильтрации шаг выборок берут меньше . Это

необходимо для того, чтобы при восстановлении обработанного аналогового сигнала в синтезирующем фильтре можно было использовать в качестве СФ реальный фильтр нижних частот с конечной крутизной спада АЧХ (конечного порядка). Эта ситуация иллюстрируется рисунком 9.9.

Квантование сигнала.На рис. 9.10 схематично представлена суть операции квантования,

выпоняемая АЦП. Каждая из ступенек x(nT) (слева), сравнивается с сеткой разрешенных уровней (справа), соответствующих кодовым числам, снимаемым с выхода АЦП. Если, например, АЦП однополярный, рассчитан на диапазон входных уровней от 0 до xmax , а разрядность выходного двоичного кода равна R, то шаг , разделяющий два ближайших разрешенных уровня, будет равен

125

S()

АЧХ фильтра

fД

Высшие гармоники

Рис. 9.9. Восстановление аналогового сигнала реальным фильтром нижних частот

0 T 2T

Рис. 9.10. Квантование сигнала.

Δx(n)

Δ=

xmax

0

x(nT)

t t

.

В процессе квантования неизбежно будет возникать ошибка квантования , так как число уровней входного сигнала x(nT)

неограниченно, а число разрешенных уровней АЦП принципиально ограничено конечной разрядностью выходного кода R и равно 2R. В различные моменты времени t=0,T,2T,…., nT, ошибка (погрешность) квантования в общем случае различна. Она равна . Искажение сигнала в процессе квантования можно рассматривать как результат наложения на истинный сигнал «шума квантования» - фиктивного случайного процесса (рис. 9.11).

Число разрядов АЦП рекомендуется выбирать так, чтобы средняя амплитуда

шума квантования была в несколько раз меньше уровня шума во входном

сигнале.

Основные характеристики системы цифровой обработки сигналов.Между цифровыми и дискретными системами существует принципиальная

разница, т.к. в цифровых системах все операции выполняются над величинами с конечным числом разрядов, а в дискретных системах число уровней сигнала не ограничено. Однако при достаточно большой разрядной сетке величин в цифровых системах разница между цифровыми и дискретными сигналами будет очень мала. Поэтому далее мы будем говорить фактически о характеристиках дискретных систем.

Для облегчения понимания материала вначале вспомним выражения, описывающие обычные аналоговые системы, их характеристики, связь воздействия и отклика. Свойства линейного аналогового четырехполюсника могут быть описаны операторным коэффициентом передачи K(p), частотной характеристикой K(), либо импульсной характеристикой g(t). Все эти функции связаны между собой соотношениями (9.22) – (9.26).

126

Σx (nT) x (n)

ξ (nT)

Рис. 9.11. Учет шума квантования

(9.22)

(9.23) (9.24)

Зависимость отклика цепи от функции воздействия и характеристики цепи

представлена правилами (9.25) – (9.26).

(9.25)

(9.26)

Теперь рассмотрим аналогичные правила для линейных дискретных систем.Свойства линейной дискретной системы (ЛДС) можно описать системной

функцией , частотной характеристикой и импульсной

характеристикой . Входная последовательность имеет Z-

преобразование , а выходная соответственно (рисунок 9.13).

Системная функция ЛДС обычно записывается в виде отношения двух полиномов по отрицательным степеням комплексной переменной z.

(9.27)

Частотная характеристика ЛДС при известной системной функции может быть найдена по правилу

127

x(t) y(t)=?

)t(g

)(K)p(K

)(X ?)(Y

Рис. 9.12. Связь между входным и выходным сигналами в аналоговой системе.

Рис. 9.13. Связь между входным и выходным сигналами в ЛДС

x(n)

X(z)

y(n)=?

Y(z)=?)n(g

)(H)z(H

(9.28)

Поскольку , справедливо , то

есть частотная характеристика у ЛДС – функция периодическая.Сравним частотные характеристики аналоговых и цифровых фильтров.На рис. 9.14 приведена амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

аналогового фильтра нижних частот (ФНЧ). Упрощенно можно считать, что вся область положительных частот для него делится на полосу пропускания

и полосу задерживания .На рис. 9.15 приведен график АЧХ цифрового ФНЧ. Как видно, в силу

периодичности частотной характеристики цифрового фильтра у него

существует множество полос пропускания (прозрачности). Из них одна: является основной (рабочей), а остальные – паразитными.

128

ω0

K(ω)

0.7Kmax

Полосапропускания

Полосазадерживания

Рис. 9.14. Амплитудно-частотнаяхарактеристика аналогового ФНЧ

0.7Kmax

K(ω)

0 ωC ωωд/2 ωд

сигналПомеха на частоте

ωд+ΩΩ

Паразитная полоса прозрачности

Рис. 9.15. Амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра

Помеха, попавшая в паразитную полосу пропускания, трансформируется по

частоте в основную полосу частот , и отклик на прошедшую помеху

невозможно отличить от отклика на полезный сигнал с частотой . Формально это легко доказать тем, что

.Для исключения прохождения помех в паразитных полосах прозрачности, на

входе системы ставят аналоговый ФНЧ.Периодичность АЧХ цифровых систем – их главная особенность.

Импульсная характеристика системы , ее реакция на дискретный единичный импульс (см. выше). При известной системной функции ЛДС импульсную характеристику можно найти по правилу

–

обратное -преобразование от системной функции.Отклик и воздействий ЛДС в плоскости z связаны соотношением, похожим

на основное расчетное выражение спектрального метода анализа

(9.29)

Если значения z задать на единичной окружности , то правило (9.25) трансформируется в выражение, связывающее отсчеты ДПФ входной и выходной последовательностей

(9.30),

– частотная характеристика ЛДС.

Временные последовательности отклика и воздействия связаны операцией дискретной свертки

(9.32)

Алгоритм работы и структурная схема процессора цифрового фильтра.Рассмотрим цифровой фильтр (ЦФ) с системной функцией, заданной

выражением (9.27) и положим для удобства . Далее воспользуемся (9.29) и получим

(9.33)

Преобразуем это выражение, оставив в левой части и перенеся

остальное в правую часть уравнения

(9.34)

Далее перейдем от уравнения для -преобразований к уравнению для временных функций, используя теоремы (свойства) линейности и запаздывания. Получим

. (9.35)

129

Это разностное уравнение задает алгоритм работы процессора цифрового фильтра и может быть использовано для построения прямой формы реализации процессора (рис.9.16).При построении структурной схемы использованы обозначения:

Приведенная выше структурная схема соответствует дискретному фильтру, так как предполагает выполнение умножения в аналоговом виде, без учета погрешности вычисления произведения. Чтобы нарисовать процессор собственно цифрового фильтра, в котором произведения тоже находятся цифровым способом, нужно блоки аналогового умножения на константу заменить следующей схемой.

Здесь на выходе каждого аналогового умножителя включен дополнительный генератор шума, подобный источнику шума квантования в АЦП (см. выше).

130

– блок аналогового умножения на постоянный множитель “a”,

– блок задержки на один такт (интервал Т),

– сумматор

Z-1

Σ

a

-bN

Z-1 Z-1 Z-1 Z-1Σx(n)

M x (n-M)

aM

a0

a1 y(n)N

y(n-1)

-b1

Рис. 9.16. Прямая форма реализации алгоритма цифровой фильтрации

Σ

ξ(nT)

x(n) a0

Блок цифрового умножения на константу

Структурная схема на рис. 9.16 соответствует так называемой ‘прямой форме реализации ЦФ’, так как вычисления в ней производятся прямо по (9.35).

Виды цифровых фильтров, их достоинства и недостатки.Цифровые фильтры делятся на рекурсивные и нерекурсивные.

Рекурсивными называют фильтры, у которых системная функция имеет хотя бы один полюс. Соответственно на структурной схеме таких фильтров имеется хотя бы одна петля обратной связи (рис. 9.16).

У нерекурсивных фильтров системная функция имеет только нули.

Поэтому на структурной схеме их процессора отсутствуют петли обратной связи (рис. 9.17).

Рекурсивные ЦФ называют еще «БИХ–фильтрами», так как их импульсная характеристика теоретически имеет бесконечную длину: .

Нерекурсивные ЦФ соответственно называют также КИХ–фильтрами, так как их импульсная характеристика конечна: .

Достоинством БИХ – фильтров является достаточно простая структура при реализации АЧХ с крутыми спадами.

Преимуществами КИХ – фильтров являются абсолютная устойчивость и возможность получения строго линейной ФЧХ.

Достоинства и недостатки цифровых фильтров по сравнению с аналоговыми.

Цифровые фильтры в сравнении с аналоговыми имеют важные преимущества и серьезные недостатки.

Достоинствами ЦФ в сравнении с аналоговыми являются:1) высокая стабильность характеристик, гарантированная точность

получаемого результата;2) высокая универсальность, гибкость, возможность реализации сложных и в

частности адаптивных алгоритмов фильтрации;

131

Z--1

Z--1

Z--1 Σ

x(n)

M

x (n-M)y(n)

Рис. 9.17. Нерекурсивный цифровой фильтр

aM

a0

a1

a3

3) возможность одновременной обработки нескольких медленно меняющихся сигналов или фильтрации одного сигнала в разных полосах частот в режиме разделения во времени.Соответственно недостатки ЦФ:

1) более низкая скорость обработки сигнала,2) более высокая сложность и стоимость.

Преимущества ЦФ обусловлены тем, что частотная характеристика фильтра, определяемая (11.28), зависит только от набора констант и интервала дискретизации T. Их стабильность во времени и диапазоне температур с одной стороны, и возможность их изменения по заданному алгоритму, с другой стороны, в цифровых системах легко обеспечить.Что же касается низкой скорости обработки сигнала в ЦФ, то она в основном связана с последовательным выполнением целого ряда операций (см. 9.35), необходимых для расчета одного значения . Все эти расчеты должны быть выполнены за время T.

В настоящее время цифровые фильтры в основном используют в двух случаях:

1) если в состав разрабатываемого комплекса уже входит компьютер, которому можно поручить и операции цифровой фильтрации,

2) если требования, предъявляемые к разрабатываемому фильтру, не могут быть реализованы на аналоговой элементной базе.

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ).Непосредственное использование формулы ДПФ (9.9, 9.11) для расчета

спектра сигналов с большой базой N приводит к большим затратам времени из-за необходимости вычисления большого количества умножений. Именно число необходимых умножений в значительной степени определяет время расчета спектра, так как умножения в ЦВМ, как правило, выполняются гораздо медленнее, чем сложения. Специальные алгоритмы вычислений, существенно уменьшающие число необходимых умножений, называют алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ). Рассмотрим идею алгоритма БПФ с прореживанием во времени.

Ниже воспроизведено соотношение (9.11) с использованием подстановки

(9.36)

По этому соотношению легко подсчитать, что число умножений, которые необходимо выполнить для расчета N спектральных отсчетов равно

NДПФ (9.37)и для больших значений N равно примерно N2.

Разобьем входную последовательность длиной N на две более короткие, так, чтобы первая содержала отсчеты с четными номерами 0,2,4,…, а вторая – с нечетными номерами 1,3,5….

132

Тогда выражение (9.26) приобретет вид

(9.38)

При получении (9.28) учтено, что

.

Количество умножений, необходимых для расчета спектра по (9.38):

(для N>>1).

Следовательно, разбив исходную последовательность на две половинной длины, мы примерно вдвое уменьшили число необходимых умножений.

Если продолжить разбиение последовательностей и на более короткие до тех пор, пока вспомогательные последовательности не будут содержать всего по два отсчета, то общее число умножений уменьшится до

. (9.39)

Сравнив (9.37) и (9.39) для различных N можно оценить выигрыш во времени, необходимом для расчета спектра, который будет давать алгоритм БПФ. Обычно выигрыш наблюдается уже при N>100.

133