SISTEMAS DE CONTROL ÓPTIMO

CUADRÁTICO

INTRODUCCIÓN

Rama del control moderno que se relaciona con el

diseño de controladores para sistemas dinámicos tal

que se minimice una función de medición que se

denomina índice de desempeño o costo del sistema.

El problema de control óptimo se puede representar

matemáticamente en las siguientes partes:

La descripción del proceso a controlar (modelo del

sistema).

La descripción de las restricciones físicas.

La descripción del objetivo buscado.

La descripción de algún criterio para describir el

desempeño óptimo (índice de desempeño).

ÍNDICE DE FUNCIONAMIENTO O DESEMPEÑO

medida cuantitativa del funcionamiento de un sistema.

debe brindar selectividad, debe ser un número positivo o cero.

debe ser función de los parámetros del sistema

fácilmente calculable analíticamente y por computadora.

El cálculo del índice de desempeño, parte de la definición del

error e(t) entre la respuesta en estado estable y la respuesta

transitoria

Criterio de la integral del error cuadrático (ICE).-

Criterio de la integral de la magnitud absoluta del error (IAE)

dtteJ

0

2

1 )(

dtteJ

0

2 )(

…. Criterio de la integral del tiempo multiplicada por el

error absoluto (ITEA)

Criterio de la integral del tiempo multiplicada por el

error cuadrático (ITEC):

dttetJ

0

3 )(

dttetJ

0

2

4 )(

SISTEMA DE CONTROL ÓPTIMO El índice de funcionamiento de un sistema de control en

términos de variables de estado, se expresa:

Considerando el sistema:

se puede representar mediante la ecuación diferencial

vectorial:

un regulador de retroalimentación de control de modo que:

dttuxgJ

ft

0

),,(

uBxAx

)(xhu

…….

Para minimizar el índice de desempeño J, tenemos que

considerar estas dos ecuaciones:

los pasos de diseño son los siguientes:

Determínese la matriz P que satisfaga la ecuación (11) donde D es una

matriz conocida.

Minimícese J determinando el mínimo de la ecuación (10)

P es una matriz simétrica, es decir:

)10(.......)0()0(.0

xPxdtxxJ TT

)11(..........)( IPDPDT

),( jiij pp

DISEÑO CONSIDERANDO LA MAGNITUD DE LA

SEÑAL DE CONTROL.

Considerando el gasto energético de la señal de

control se tiene el siguiente índice de desempeño:

La ecuación del sistema se puede escribir como:

Sabiendo que:

Donde es una matriz de orden nxn

En este caso se necesita de:

dtuuxIxJ TT

0

).(

xDuBxAx

,xHu

)( HHIQ T

QPDPDT )(

)0()0( xPxJ T

SISTEMA REGULADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO

(LQR)

consiste en minimizar una función con respecto a las

entradas de control sujetas a restricciones lineales en el

sistema

Se asume que el sistema esta en equilibrio y se desea

mantener en equilibrio aun en presencia de perturbaciones.

Una ventaja de usar el esquema de control óptimo cuadrático

es que el sistema diseñado será estable, excepto en el caso en

el que el sistema no es controlable.

Al diseñar sistemas de control con base en la minimización de

los índices de desempeño cuadrático necesitamos resolver las

ecuaciones de Riccati.

MATLAB tiene un comando Iqr que proporciona la solución a la

ecuación de Riccati en tiempo continuo y determina la matriz

de ganancias de realimentación óptima.

…….

consideraremos el problema de determinar el vector

de control u(t) óptimo para el sistema anteriormente

descrito y el índice de desempeño obtenido mediante:

Q es una matriz hermítica definida positiva (o

semidefinida positiva) o simétrica real y R es una

matriz hermítica definida positiva o simétrica real

𝑱 = 0

∞

𝒙∗𝑸𝒙 + 𝒖∗𝑹𝒖 𝑑𝑡

OBSERVACIÓN Si x es un vector de dimensión n complejo y P es una matriz

simétrica compleja, entonces, la forma cuadrática compleja se

denomina forma hermítica.

(Para un vector real x y una matriz simétrica real P, una forma

hermítica x*Px se vuelve igual a la forma cuadrática xTPx.).

Sea M una matriz hermítica n x n, es decir, una matriz de elementos

complejos que tiene la característica de ser igual a su propia

traspuesta conjugada:

M* = M

donde M* representa la traspuesta conjugada de M.

Pues bien, se dice que una matriz hermítica M es DEFINIDA

POSITIVA si se cumple

z*Mz > 0 (producto de matrices)

para todo vector complejo no nulo z.

[z = elemento del conjunto Cⁿ // z* = traspuesto conjugado de z]

La ley del control óptimo para el problema de control óptimo

cuadrático es lineal y se llega a ella mediante

𝒖 𝑡 = −𝑲𝒙 𝑡 = 𝑹−1𝑩𝑇𝑷𝒙(𝑡)

La matriz P debe satisfacer la ecuación reducida siguiente:

𝑨𝑇𝑷 + 𝑷𝑨 − 𝑷𝑩𝑹−1𝑩𝑇𝑷+ 𝑸 = 𝟎

Esta última ecuación se denomina ecuación matricial reducida

de Riccati.

PASOS DE DISEÑO:

Resuelva esta última ecuación para la matriz

P. [Si existe una matriz P definida positiva

(ciertos sistemas pueden no tener una matriz P

definida positiva), el sistema es estable o la

matriz A - BK es estable.]

Sustituya esta matriz P dentro de la ecuación

anterior. La matriz K resultante es la matriz

óptima.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REGULADOR

ÓPTIMO CUADRÁTICO CON MATLAB

Comandos:

𝐾 = 𝑙qr(A, B, Q, R)𝐾, 𝑃, 𝐸 = 𝑙qr(A, B, Q, R)