72780747-Yuzey-Alanları-ve-Uc-Katlı-İntegral

T.C. YALOVA NVERSTES ENDSTR MHENDSL MATEMATK-2 PROJE DEV

YZEY ALANLARI ve KATLI NTEGRALLERHAZIRLAYANLAR:BLAL BAHADIR AKIR122009030

HACI MER TRKYILMAZ122009042

MER FARUK YAYLA122009020

UUR AVDAR122009038

2011

Yzey Alanlar ve Katl ntegraller

1

indekiler1. 2. Yzey Alanlar .................................................................................................................................. 2 Kartezyen Koordinatlarda Katl ntegraller ................................................................................. 8 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 3. Katl ntegraller ................................................................................................................... 8 Uzayda Bir Blgenin Hacmi...................................................................................................... 8 ntegrasyon Snrlarn Bulma .................................................................................................. 9 Uzayda Bir Fonksiyonun Ortalama Deeri ............................................................................. 14 Katl ntegrallerin zellikleri ............................................................................................. 15

Boyutlu Ktle ve Momentler .................................................................................................... 16 3.1. Ktle ve Momentler............................................................................................................... 16

4.

Silindirik ve Kresel Koordinatlarda Katl ntegraller................................................................ 20 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. Silindirik Koordinatlarda ntegrasyon .................................................................................... 20 Silindirik Koordinatlarda Nasl ntegral Alnr ........................................................................ 22 Kresel Koordinatlar ve ntegrasyon ..................................................................................... 25 Kresel Koordinatlarda Nasl ntegral Alnr .......................................................................... 28

5.

Katl integrallerde Deiken Dnm ................................................................................... 31

Kaynaka ................................................................................................................................................ 35

Yzey Alanlar

2

1. Yzey AlanlarBir erisi ile snrlanm bir yzeyin alann hesaplamak isteyelim, yzeyin ilk olarak kartezyen denkleminin verilmi olduunu kabul edelim. fonkisyonu gz nne alnan blgede srekli ve ksmi treve sahip olsun. Erisinin dzlemindeki izdm erisi ve bu c erisi ile snrlanan blge olsun. Blgesini eksenlere paralel dorulara dikdrtgen blgelere ayralm. Bunlarn alanlar olsun. Bu blgeciklerde keyfi birer noktas seelim. Bu ekilde seilen her noktasna, yzey zerinde

gibi bir nokta karlk gelir. ekil 1. Yzeyin bu ekilde seilmi noktalarndaki teet dzlemleri izelim. Bu dzlemlerin denklemleri z- = Olacaktr. Bu ekilde teet dzlemler zerinde bulunan ve izdm olan alanl blgeleri ve bu blgelerin alanlar toplamn gz nne alalm. ekil 2. Bu toplamn her bir verir. Bu limiti hesaplamaya alalm. Teet dzlemiyle dzleminin arasndaki a, bunlarn normallerinin tekil ettii a olup Veya dir. normali ile veya vektr arasndaki adr. Teet dzlemin normaliekil 2

ekil 1

sfra yaklamak art ile

giderken limiti, hesaplanmas istenen alan

olup,


3

| | veya

(

)

| |

Ve Kk altndaki trevlerin noktasndaki deerleri hesaplanmaldr. Buna gre

olup,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

UYARI: Yzeyin denklemi y=(x,z) veya x=h(y,z) eklinde verilmise yzeyin alann veren formller

ekillerini alr blgeleri yzeyin ve dzlemindeki izdmdr.

Yzey Alanlar

4

RNEK 1 parabolidinin altnda kalan alann bulunuz. dzelminin

zm Alan hesaplanmak istenen yzeyin dzlemindeki izdm olan D blgesi ekil 3

Dairesidir. Buna gre

Ve

olup,ekil 3

dr Bu integrali hesaplamak iin kutupsal koordinatlara dntrrsek Bulunur. RNEK 2 kresinin alann hesaplaynz. zm Krenin yzeyinin sekizde biri EKL 4te gsterilmitir. Bu ksmn izdm dzlemindeki ( ) ( )

dairesinin drtte biridir. Dier taraftan ve


5

olup

dir. Bu integrali hesaplamak zere kutupsak koordinatlara geersek,

| | |ekil 4

|

bulunur. imdi de yzeyin,

parametrik denklemleriyle verilmi olduunu dnelim. Bu denklemlerde yapld zaman, denklemlerin bizi erilerin parametrik denklemlerini gtrecei aikrdr. ler dzleminin bir blgesinde deer alrlar. Bu blgeyi eksenlere paralele u=st ve v=st dorularyla dikdrtgen blgelere ayralm. Dorularna yzey zerinde eriler ve

Alanna sahip her dikdrtgen elemanna da, yzey zerinde bir erisel alan karlk gelir.ekil 5. Bu alan eleman, yaklak olarak, kenarlar | | | | olan bir paralel kenardr. Zira i u zamanna gre hz vektr olarak dnebiliriz. O takdirde,

ekil 2

Yzey Alanlar

6

| | Yazlabilir. Buradaki erisi boyunca alnan yoldur.

Zamannn kk deimeleri iin alnan yol, | | dur. Benzer ekilde paralel kenarn dier kenarnn da | | olduu gsterilebilir. paralel kenarn bir kesinden izilmilerdir. O halde paralel kenarn kenarlar vektrleri

vektrleri ile gsterilebilir. Bunlara gre paralel kenarn alan | | | |

dr. Bu ekildeki paralel kenarlarn, alanlar toplamnn, blgesindeki blme saysnn snrsz olarak artmasnn limiti bize aranlan yzeyin alann verecektir. Buna gre | |

| dir. Vektr cebrine gre | Olduu gz nne alnrsa | olur. Burada | | | | | ( | ( ( )( ) ) ) ( ( ( | | | |

|

| | | |

| |

|

|

) ) )(

( ( )

) ) ( )( )


7

Olarak kabul edilirse, yukardaki forml eklini alr. RNEK 3 Parametrik denklemleri

olan eklin yzey alann bulunuz. zm Verilen yzey bir kre olup ekil 6, aranan alann sekizde birini gstermektedir. Buna gre Dir. Burada

olup

ekil 6

( ( dir.

) ( )

)

Kartezyen Koordinatlarda Katl ntegraller

8

2. Kartezyen Koordinatlarda Katl ntegrallerki katl integrallerin, tek katl integrallerle stesinden gelebildiklerimizden daha genel konumlarla ilgilenmemize olanak salad gibi, katl integraller daha da genel problemleri zmemizi salar. katl integralleri boyutlu ekillerin hacimlerini deiken younluklu kat cisimlerin ktle ve momentlerini ve bir blge zerinde bir fonksiyonun ortalama deerini hesaplamak iin kullanrz. katl integraller boyutta vektr alanlarn aratrmalar ve akkan aknda da ortaya karlar.

2.1.

Katl ntegrallerUzayda kapal, snrl bir blgesinde rnein bir top veya paradaki kil tarafndan igal edilen blge tanmlanm bir fonksiyon ise, nin zerindeki integrali u ekilde tanmlanabilir. yi ieren dikdrtgensel kutu gibi bir blgeyi koordinat dzlemlerine paralel kenarlar olan dikdrtgensel hcrelere bleriz. ekil 1. nin iindeki hcreleri herhangi bir sra ile 1den n ye kadar numaralandrnz. k. hcrenin boyutlar , , ve hacmi dir. Her hcreden bir ( ) noktas seer ve

ekil 1

Bir kat cismi hacimli hcrelere blme

Toplamn olutururuz. nin ve blnn normu , deerlerinden en by, hepsi birden sfra gidecek ekilde, giderek klen hcrelere blmlendirilmelerinde ne olduu ile ilgileniyoruz. Blnler ve ( noktalar nasl seilirse seilsin, tek bir limite ulayorsa, fonksiyonu zerinde integrallenebilir deriz. nceki gibi, srekliyse ve blgesi sonlu sayda dzgn yzeyin sonlu sayda dzgn eri boyunca birlemesi ile oluuyorsa ni integrallenebilir olduu gsterilebilir. Ve hcrelerin says , a giderken toplamlar bir limite yaknsar. Bu limite nin zerindeki katl integrali deriz ve; = veya

=

yazarz. Srekli fonksiyonlarn zerlerinde integrallenebilir olduu blgeleri, kk dikdrtgensel hcrelerle yaklam yaplabilen blgelerdir. Uygulamalarda karlalan blgeler byle blgelerdir.

2.2.

Uzayda Bir Blgenin Hacmi, deeri I olan sabit fonksiyon ise , (I) denklemindeki toplamlar

haline indirgenir. sfra yaklarken daha fazlasn doldururlar. Bu nedenle Dnin hacmini

hcreleri daha klr, saylar artar ve D nin


9

katl integrali olarak tanmlarz. Tanm Hacim Uzayda kapal snrl bir

blgesinin hacmi

ntegraliyle verilir.

2.3.

ntegrasyon Snrlarn Bulma

katl bir integrali, Fubini Teoreminin boyutlu bir versiyonunu uygulayarak, ardk integrasyonla hesaplarz. ki katl integrallerde olduu gibi, bu ardk integrallerin integrasyon snrlarn bulmak iin geometrik bir prosedr vardr. Bir D blgesi zerinde ntegralini hesaplamak iin nce ye sonra ye ve en sonunda da e gre integral aln. 1. Bir izim: blgesini -dzlemindeki glgesi (dik iz dm) ile birlikte izin. nin alt ve st snr yzeyleri ile nin alt ve st snr erilerini adlandrn.

2. ntegrasyon - snrlarn bulun : deki tipik bir bir dorusu izin. Arttka . ye Bunlar integrasyonun -snrlardr.

noktasndan geen , -eksenine paralel den girer ve den kar.


10

3. ntegrasyonun y-snrlarn bulun : den geen, -eksenine paralel bir dorusu izin. arttka . den girer ve den kar. Bunlar integrasyonun snrlardr.

4. ntegrasyonun x-snrlarn bulun : den geen -eksenine paralelbtn dorular ieren snrlar sein (yukardaki ekilde ve ) . Bunlar integrasyonun -snrlardr. ntegral

Olur. ntegrasyon snrlarn deitirirseniz, benzer prosedrleri izleyin. nin glge ardk integrasyonun gerekletii son iki deikenin dzleminde bulunur.


11

Yukardaki prosedr, blgesi stten ve alttan bir yzeyle, glge blgesi de alt ve st erilerle snrl olduu her durumda uygulanr. Bu prosedr, baz hallerde blgeyi basit blgelere ayrarak prosedr uygulamak mmkn olsa bile, iinde karmak delikler ieren blgelere uygulanamaz. RNEK 1 Bir hacim bulmak

ve zm Hacim, nn

yzeyleriyle evrelenen zerindeki

blgesinin hacmini bulun.

ntegralidir. ntegrali hesaplamak iin integrasyon snrlarn bulmak zere nce blgeyi izeriz. Yzeyler ekil 2 veya , eliptik silindirii zerinde kesiirler. nin xy-dzleminde izdm olan blgesinin snr, denklemi ayn olan bir elipsdir: . Rnin st snr erisidir. Alt snr ise erisidir.

ekil 2

ki paraboloid tarafndan evrelenen bu blgenin hacmi rnek 1de hesaplanmaktadr.

ntegrasyonun snrlarn bulalm. nin tipik bir noktasndan, -eksenine paralel olarak geen dorusu den girer, den kar. imdi de integrasyonun y snrlarn bulalm. den y eksenine paralel olarak geen dorusu den girer ve den kar. Son olarak integrasyon snrlarn buluruz. . yi tararken, in deeri da ye kadar


12

deiir. nin hacmi ;

(

)

(

)

(

)

Sradaki rnekte, farkl bir integrasyon srasnn nasl kullanldn gstermek iin yerine dzlemine iz dryoruz. RNEK 2 bulmak ntegrasyon snrlarn

-dzlemi

srasnda

Keleri de olan drt yzl ile snrl blgesinde bir fonksiyonunun katl integrali iin integrasyon snrlarn belirleyin. zm : yi dzlemindeki glgesi ile birlikte izeriz. nin st (sa taraftaki) snr yzeyi dzlemindedir. Alt (sol taraftaki) snr yzeyi dzlemindedir. nin st snr dorusudur. Alt snr dorusudur. nce integrasyonun -snrlarn buluruz. nin tipik bir noktasndan -eksenine paralel olarak geen doru Dye den girer den kar.ekil 3 Drt yz ile snrl blgesinde tanml bir fonksiyonun katl integralini hesaplamak iin integrasyon snrlarn bulmak (rnek 2).

Sonra integrasyonun -snrlar buluruz. den zeksenine paralel olarak geen dorusu ye dan

girer ve

den kar. yi tararken , in deerleri dan e

Son olarak integrasyonun -snrlarn buluruz. deiir. ntegral; olur.


13

RNEK 3

rnek2 yi

sras ile tekrarlamak blgesinde sras ile integre etmek iin admlar aadaki

yi drt yzl ile snrl gibi dzenleriz.

nce integrasyonun -snrlarn buluruz. -dzleminde glge nin tipik bir noktasndan eksenine paralel olarak geen bir doru dan girer ve denklemi olan st yzeyinden kar. Sonra integrasyonun -snrlarn buluruz. xy-dzleminde drt yzlnn eik yzeyi dzlemi dorusu boyunca keser. den -eksenine paralel olarak geen bir doru -dzlemindeki glgeye den girer ve den kar. Son olarak integrasyonun -snrlarn buluruz. nceki admlarda y-eksenine paralel doru glgeyi tararken, in deerleri dan da deiir. ntegral; olur. rnein ise

[

]

[ bulunur. Ayn sonucu

]

srasyla integre ettiimizde de buluruz.

Grdnz gibi bazen (ama her zaman deil) iki katl integralleri hesaplamak iin ardk tek katl integraller ili farkl srada alnabilir. ve alt farkl ekilde sralanabildiinden, katl integraller iin bu say alt olabilir. Her sralama, uzaydaki integrasyon blgesinin farkl bir tanmlamasn ve farkl integrasyon snrlarn verir. RNEK 4 Farkl integrasyon snrlarn kullanmak

Aadaki integrallerden her biri ekil 4te gsterilen kat cismin hacmini verir.


14

ekil 4

rnek 4, bu prizmann hacmi iin alt farkl ardk katl integral verir.

(b) deki integrali hesaplayalm

[

]

Dier integrallerde

deerini verir.

2.4.Bir

Uzayda Bir Fonksiyonun Ortalama Deerinoktasnda ortalama deeri

fonksiyonunu uzayda bir

nin deki ortalama deeri =

ntegraliyle hesaplanr. rnein ise, nin deki ortalama deeri, deki noktalarn orjine olan uzaklklar ortalamasdr. , uzayda bir blgesini dolduran cismin noktasndaki scakl ise, nin deki ortalama deeri, cismin ortalama scakldr. RNEK 5 Bir ortalama deer bulmak , , dzlemleriyle snrl kp

nin koordinat dzlemleri ve blge zerindeki ortalama deerini bulun.


15

zm

Kbn hacmi (2)(2)(2)=8dir. nin kp zerindeki integralinin deeri * +

[ekil 5 rnek 4teki integrasyon blgesi

]

[

]

Bulunur.

Bu deerle (2) denklemi ( )

verir. ntegrali hesaplarken,

srasn setik, ama dier be olas srada ayn ie yarar.

2.5.

Katl ntegrallerin zellikleri

katl integraller tek veya iki katl integrallerle ayn cebirsel zelliklere sahiptir. Katl ntegrallerin zellikleri ve 1. Sabitle arpm: 2. Toplam ve Fark: 3. Basknlk (a) de : ise (b) de ise 4. Toplanabilirlik: , birbiriyle rtmeyen olur. ve blgelerinin birleimi ise srekli ise;

Boyutlu Ktle ve Momentler

16

3. Boyutlu Ktle ve MomentlerBu blm Kartezyen koordinatlarda boyutlu cisimlerin ktle ve monomerlerinin nasl hesaplanacan gstermektedir. Formller iki boyutlu cisimlerinkine benzer.

3.1.

Ktle ve Momentler

uzayda bir blgesini kaplayan bir cismin younluuysa (birim hacimde ktle) , nn deki integrali cismin ktlesini verir. Nedenini anlamak iin, cismi ekildeki gibi tane ktle elemanlarna bldnz varsayn.

Cismin ktlesi; limitidir. imdi eylemsizlik momenti iin bir forml tretiyoruz. Eer , deki bir noktasndan bir dorusuna uzaklk ise kitlesinin etrafndaki eylemsizlik momenti (ekil 1) yaklak olarak dr. Btn cismin L etrafndaki eylemsizlik momenti (ekil 2) dir ve olur. Ayn ekilde -ekseni veya -ekseni ise

ekil 1 Bir cismin ktlesini ve bir doru etrafndaki eylemsizlik momentini tanmlamak iin, nce cismin sonlu sayda ktle elemanna blndn dnrz.

Olur. -ekseni ise

buluruz. Ayn ekilde koordinat dzlemlerine gre birinci momentleri de elde edebiliriz. rnein; integrali -dzlemine gre birinci momenti verir.


17

ekil 2

den koordinat dzlem ve eksenlerine uzaklklar.

Koordinat dzlemlerine gre birinci momentler : Arlk Merkezi :

Koordinat eksenleri etrafnda eylemsizlik momenti :

Bir L dorusu etrafndaki eylemsizlik momenti : Bir L dorusu etrafnda jirasyon yarap :

Boyutlu Ktle ve Momentler

18

rnek 1

Uzayda bir cismin ktle merkezini bulmak parabolodiyle snrl

Alttan dzleminde dairesi ve stten sabit, younluklu cismin ktle merkezini bulun.(ekil 3) zm nce Simetriden dolay yi hesaplarz.

dr. yi bulmak iin

* +

ekil 3 Bir cismin ktle merkezini bulmak (rnek 1)

[ ]

Benzer bir hesaplama verir. Dolaysyla

olur ve ktle merkezi

bulunur.

Kat bir cismin younluu sabitken, ktle merkezine cismin merkezi denir. RNEK 2 Koordinat Eksenleri Etrafndaki Eylemsizlik Momentini Bulma younluklu dikdrtgen cisim iin zm yi bulun. forml

ekil 4te gsterilen, sabit

Yukarda verilen

verir. nin ve nin bir ift fonksiyon olduunu gzlemlersek, integrasyon iinin birazndan kurtulabiliriz. Dikdrtgen ekilli cisim, her biri bir blgede olmak zere, sekiz simetrik paradan oluur. ntegrali bu paralardan biri zerinde hesaplayabilir ve toplam deeri bulmak iin 8 ile arpabiliriz.


19

*

+

( ayn ekilde ve olur.

)

Silindirik ve Kresel Koordinatlarda Katl ntegraller

20

4. Silindirik ve Kresel Koordinatlarda Katl ntegrallerFizik, mhendislik veya geometrideki bir hesaplama, bir silindir, bir koni veya bir kre ieriyorsa, bu blmde tantacamz silindirik veya kresel koordinatlar kullanarak genellikle iimizi kolaylatrabiliriz. Bu koordinatlara dntrme ve elde edilen katl integrali hesaplama ilemi dzlemde kutupsal koordinatlara dntrmeye benzerdir.

4.1.

Silindirik Koordinatlarda ntegrasyon

boyutlu uzay iin silindirik koordinatlar, -dzlemindeki kutupsal koordinatlar bilinen -ekseni ile birletirerek elde ederiz. Bu, ekil 1de gsterildii gibi, uzaydaki her noktaya formunda bir veya daha fazla koordinat ls karlk getirir.

ekil 1 Uzayda bir noktann silindirik koordinatlar dir

TANIM Silindirik Koordinatlar Silindirik koordinatlar Burada, 1. 2. sral lleri ile uzayda bir noktasn temsil ederler.

ve , nin -dzlemine dik izdmnn kutupsal koordinatlardr. kartezyen dikey koordinattr.

Kartezyen ve kutupsal koordinattaki

ve

deerleri

Kartezyen

ve Silindirik, ,

Koordinatlarn Balayan Denklemler, ,

Silindirik koordinatlarda, denklemi sadece -dzleminde bir ember deil, - ekseni etrafnda bir tam silindir tanmlar ekil 2. - ekseni ile verilir. denklemi, - eksenini ieren ve pozitif. - ekseni ile asn yapan dzlemi tanmlar. Ve, ayn Kartezyen koordinatlarda olduu gibi, denklemi - eksenine dik bir dzlem tanmlar.


21

ekil 7 Silindirik Koordinatlarda sabit- koordinat denklemleri silindirler ve dzlemler verirler.

Silindirik koordinatlar, eksenleri -ekseni boyunca uzanan silindirleri ve -eksenini ieren veya -eksenine dik olan dzlemleri tanmlamada iyidir. Bu gibi yzeylerin sabit koordinat deerli denklemleri vardr; Silindir, yarap 4, ekseni -ekseni -eksenini ieren dzemekil 3 Silindirik koordinatlarda takozun hacmine arpm ile yaklalrkoordinatlarda bir Silindirik

-eksenine dik dzlem

blgesi zerinde bir katl integral hesaplarken, blgeyi dikdrtgensel kutular yerine, tane kk silindirik takoza bleriz. Bylec, silindirik takozda deerleri kadar deiir. Btn silindirik takozlar arasnda, bu saylarn en byne blnn normu denir. katl integrali, bu takozlar kullanan Riemann toplamlarnn bir limiti olarak tanmlarz. Byle bir silindirik takozun hacmi, takozun -dzlemindeki tabannn alan ile yksekliinin arpm alnarak elde edilir ekil 3. Kutupsal koordinatlarda, noktas olduunu hesapladk. Bylece Riemann toplamnn formu eklindedir. Bir fonksiyonun zerindeki katl integrali, normu sfra yaklaan blnler zerinde Riemann toplamlarnn limiti alarak elde edilir. takozun merkezi olmak zere, ve blgesi zerinde nin bir


22

Bylece, silindirik koordinatlarda katl ntegraller, sradaki rnekte olduu gibi, ardk integraller olarak hesaplanr. RNEK 1 Silindirik Koordinatlarda ntegrasyon Snrlarn Bulmak Bir fonksiyonunu alltan dzlemi, yanlardan silindiri ve stten paraboloidiyle snrl blgesinde silindirik koordinatlarda integre etmek iin ntegrasyon snrlarn bulun. zm nin taban, ayn zamanda blgenin zerindeki izdm olan dir. nin snr dir. Kutupsal denklemi -dzlemi

ekil 4 Silindirik koordinatlarda bir integral hesaplamak iin integrasyon snrlarn bulmak (rnek 1)

Olur. Blge, ekil 4 de izilmitir. ntegrasyonun snrlarn, nin snrlar ile balayarak buluruz. deki tipik bir noktasndan geen ve -eksenine paralel olan bir dorusu ye girer ve den kar. Sonra integrasyonun -snrlarn buluruz. Orijinden gelip dan geen bir n ye dan girer ve dan kar. Son olarak integrasyonun snrlarn buluruz. as dan ye gider. ntegral olarak bulunur. rnek 1, silindirik koordinatlarda ntegrasyon snrlarn bulmann iyi bir rneini oluturur. Prosedr aadaki ekilde zetlenmitir n yi tararken, pozitif -ekseniyle yapt

4.2.Uzayda bir alarak

Silindirik Koordinatlarda Nasl ntegral Alnrblgesinde, silindirik koordinatlarda nce ye, sonra ye, en son da ya gre integral

integralini hesaplamak iin, aadaki admlar izlenir.


23

1. Bir izim. blgesini, - dzlemi zerine izdm dzlem ve erileri adlandrn.

ile birlikte izin.

ve yi snrlayan

2. ntegrasyonun -snrlar, nin tipik bir bir dorusu izin. Artarken, , ye Bunlar integrasyonun -snrlardr.

noktasndan geen ve -eksenine paralel olan da girer ve da kar.

3. ntegrasyonun -snrlar, Orijinden gelerek dan geen bir n izin. In, ye dan girer ve dan kar. Bunlar integrasyonun -snrlardr.


24

4. ntegrasyonun -snrlar, n yi tararken, pozitif -ekseniyle yapt a ya gider. Bunlar integrasyonun -snrlardr. ntegral halini alr. RNEK 2 Bir Arlk Merkezi Bulmak

dan

Silindiriyle evrelenen, stten paraboloidi ve alttan - dzlemiyle snrl cismin merkezini bulun. zm stten paraboloidi, alttan dzlemiyle snrl blgeyi izeriz ekil 5. Cismin taban, , dzlemindeki dairesidir. Cismin merkezi simetri ekseninde, bu soruda ekseni, bulunur. Bu yapar. yi bulmak iin birinci moment yi ye bleriz. Ktle ve moment integrallerinin ntegrasyon snrlarn bulmak iin drt temel adm izleriz. Balangtaki izimimizle ilk adm tamamladk. Kalan admlar ntegrasyon snrlarn verir. noktasndan geen -eksenine paralel olan bir dorusu cisme dan girer ve

ekil 5 rnek 2, bu cismin arlk merkezinin nasl bulunacan gstermektedir.

-snrlar, Tabanda tipik bir dan girer ve den kar. -snrlar, Orijinden gelerek dan geen bir n ye den kar.

-snrlar, n, taban bir saat kolu gibi tararken, pozitif -ekseniyle yapt ye gider. nin deeri

as

dan


25

[

]

olarak bulunur. Mnin deeri ise, [ ]

* +

Olur. Buradan,

Bulunur ve merkez

olur. Merkezin, cismin dnda olduuna dikkat edin.

4.3.

Kresel Koordinatlar ve ntegrasyonKresel koordinatlar, uzayda noktalar, ekil 6da gsterildii gibi iki a ve bir uzunlukla konumlandrr. Birinci koordinat, | |, noktann orijinden uzakldr. nin tersine deikeni asla negatif olmaz. kinci koordinat, | | pozitif -ekseni ile yapt adr. [ aralnda kalmas gerekmektedir. nc koordinat, silindirik koordinatlardaki gibi lnlen asdr. ]

ekil 6

Kresel koordinatlar ve ile ilikileri

ve

ve

TANIM Kresel Koordinatlar Kresel Koordinatlar uzayda bir 1. 2. 3.

noktasn

, den orijine uzaklk. , | |nin pozitif -ekseni ile yapt a , silindirik koordinat lleri ile temsil eder.

Olmak zere, sral


26

Dnya haritalarnda , Dnya zerindeki noktann meridyeni ile ve de noktann enlemi ile ilgilidir. ise noktann Dnya yzeyinden ykseklii ile ilgilidir. Denklemi, merkezi orijine olan yarapl kreyi tanmlar ekil 7. denklemi, tepe noktas orijinde bulunan ve ekseni -ekseninde bulunan bir tek koni tanmlar. ( -dzlemini konisi olarak ierecek ekilde yorumunuzu geniletiyoruz.) As den byk ise konisi aaya alr. Denklemi, -eksenini ieren ve pozitif -ekseni ile as yapan yar dzlemi tanmlar.

ekil 7 Kresel koordinatlarda sabit koordinat denklemleri, kreler, tek koniler ve yar- dzlemler verirler

Kresel Koordinatlar Kartezyen Koordinatlara ve Silindirik Koordinatlara Balayan Denklemler

(1)

RNEK 3

Kartezyenden Kresele Dntrme

kresi iin bir kresel koordinat denklemi bulunuz ekil 8. zm kullanrz: ve yi dntrmek iin (1) denklemlerini

ekil 8

rnek 3teki Kre


27

RNEK 4

Kartezyenden Kresele Dntrme

Konisi iin bir kresel koordinat denklemi bulunuz ekil 9. zm 1 Geometri kullann. Koni -eksenine gre simetriktir ve -dzleminin birinci blgesini dorusu boyunca keser. Bu nedenle, koni ile pozitif ekseni arasndaki a radyandr. Koni kresel koordinat e eit olan noktalardan oluur dolaysyla denklemi .ekil 9 rnek 4teki Koni

zm 2 elde ederiz:

Cebir Kullann.

ve yi dntrmek iin (1) denklemlerini kullanrsak ayn sonucu

rnek 3

Kresel koordinatlar, merkezleri orijinde olan kreleri, kenar -ekseni olan yardzlemleri ve tepe noktalar orijinde, eksenleri -ekseninde olan konileri tanmlamakta yararldr. Bu gibi yzeylerin sabit koordinat deerli denklemleri vardr:Kre, yarap 4 merkez orijinde Orijinden yukar alan koni, pozitif -ekseniyle as yapar as yapar.

-ekseniyle etrafnda dnen yar dzlem, pozitif -ekseniyle

ekil 10 Kresel koordinatlarda

Kresel koordinatlarda, bir blgesi zerinde katl integral hesaplarken, blgeyi tane kresel takoza bleriz. Bir noktasn ieren . Takozun ls, ve deki ve deiimleri ile verilir. Byle bir takozun, bir kenar, uzunluu olan dairesel bir yay, dier kenar, uzunluu olan dairesel bir yay ve kalnl dr. Kresel takoz, ve deerlerinin hepsi kk olduklarnda, lleri bunlar olan bir kpe yaklar ekil 10. Bu takozun hacminin, noktas takozun iinden seilen bir nokta olmak zere, olduu gsterilebilir.

halini alr


28

Bir

fonksiyonuna kar gelen Riemann toplam

olur. Blnn normu sfra yaklarken ve kresel takoz gittike klrken, Riemann toplamnn srekli ler iin bir limiti vardr: Kresel koordinatlarda,

Kresel koordinatlardaki integralleri hesaplamak iin, genellikle nce ya gre integral alrz. ntegrasyon snrlarn bulma ilemi aada gsterilmektedir. lgimizi -ekseni etrafnda dnmeyle elde edilen dnel cisimlerin tanm kmeleri ( veya paralar) ile snrlarnn sabit olduu tanm kmeleri zerinde integral almakla snrlayacaz.

4.4.

Kresel Koordinatlarda Nasl ntegral Alnr

Uzayda bir blgesinde, kresel koordinatlarda, nce ya, sonra ye, en son olarak da ya gre integral alarak ntegralini hesaplamak iin, aadaki admlar izleyin. 1. izim. blgesini, adlandrn. -dzlemi zerine izdm ile birlikte izin. yi snrlayan yzeyleri

2. ntegrasyonun -snrlarn bulun. Orijinden kp den geen ve pozitif -ekseniyle as yapan bir n izin. Ayrca nin -dzlemi zerine izdmn izin (zdmne


29

deyin). In pozitif -ekseniyle as yapar. arttka, , ye dan kar. Bunlar integrasyonun -snrlardr.

dan girer ve

3. ntegrasyonun -snrlarn bulun. Herhangi bir deeri iin nin -ekseniyle yapt as den a gider. Bunlar integrasyonun -snrlardr. 4. ntegrasyonun -snrlarn bulun. n yi tararken, as dan ya gider. Bunlar integrasyonun -snrlardr. ntegral

RNEK 5

Kresel Koordinatlarda Bir Hacim Bulmak dondurma

kresinden konisiyle kesilen klah blgesinin hacimini bulun. zm Hacim in zerine integralidir.

, yani

ntegrali hesaplamak zere integral snrlarn bulmak iin, yi ve -dzlemine izdm yi izerek balyoruzekil 11 rnek 5teki Dondurma Klah

ekil 11. ntegrasyonun -snrlar. Orijinden kp den n izeriz. Ayrca nin -dzlemi zerine asyla birlikte izeriz. n ye dan girer ve

geen ve pozitif -ekseniyle as yapan bir izdm yi nin pozitif r-ekseniyle yapt den kar.


30

bir

ntegrasyonun iin, as ntegrasyonun

snrlar. dan

Konisi, pozitif -ekseniyle e gidebilir. as 0dan

as yapar. Verilen herhangi

snrlar. In yi tararken,

ye gider. Hacim

[

]

[ Olarak bulunur. RNEK 6

]

(

)

Bir Eylemsizlik Momenti Bulmak blgesini kaplamaktadr. Cismin -ekseni etrafndaki

Sabit younluklu bir cisim rnek 5teki eylemsizlik momentini bulun. zm Kartezyen koordinatlarda, moment

Olur. Kresel koordinatlarda Dolaysyla, Elde edilir. rnek 5teki blge iin. * + halini alr.

[

]

Bulunur.

(

)


31

Koordinat Dnm Formlleri SLNDRKTEN KARTEZYENE KRESELDEN KARTEZYENE KRESELDEN SLNDRE

katl integrallerde

ye karlk gelen hacim elemanlar:

5. Katl integrallerde Deiken DnmBlm 3deki silindirik ve kresel deiken dnmleri, katl integrallerdeki deikenlerin dnmlerini, boyutlu blgelerin dnmleri olarak resimleyen bir dnm ynteminin zel durumlardr. Yntem imdi iki yetine boyutta almamz dnda, iki katl integrallerdeki yntem gibidir. - uzayndaki bir blgesinin, uzayndaki bir bgesine, ekil 12de nerildii gibi:

Formundaki difransiyellenebilir denkleme dntrldn varsayn. Bu durumda tanml bir fonksiyonu, zerinde tanml bir

zerinde

Fonksiyonu olarak dnlebilir. ve nn birinci mertebe trevleri var ve srekli iseler, nin zerindeki integrali nn zerindeki integraline denklemi ile baldr. | |

ekil 82 integrali Kartezyen -uzaynn

denklemleri Kartezyen -uzaynn bir blgesindeki bir blgesindeki bir integrale dntrmemizi salar

Katl integrallerde Deiken Dnm

32

Bu denklemde mutlak deeri grnen

arpan

| |

| |

Jokobiyen determinantdr. Bu determinant, dan kordinatlarna dnm tarafndan, deki bir nokta yaknndaki hacmin ne kadar genilediini veya bzldn ler. ki boyutlu durumda olduu gibi, ( ) denklemindeki deiken dnm formlnn tretilii karmaktr ve burada bunun zerinde durmayacaz. Silindirik kordinatlar iin ve nun yerini ve alr. Kartezyen uzayndan -uzayna dnm

Denklemleriyle verilir. ekil 13deki dnmn jakobiyeni:ekil 13 denklemleri dntrr. , kpn ve silindirik takozuna

| |

| | | |

olur. ( ) denkleminin buna karlk gelen versiyonu | |

eklindedir. Olduunda mutlak deer iaretini kaldrabiliriz. Kresel kordinatlar olduunda nun yerini alr. Kartezyen -uzayndan kartezyen xyz uzayna dnm

Denklemleriyle verilir. Dnmn jakobiyeni ekil 14


33

ekil 14 kpn

ve kresel takozuna dntrr.

denklemleri

| |

| |

olur. ( ) denkleminin buna karlk gelen versiyonu | |

halini alr. iin asla negatif olmadndan, mutlak deer iaretlerini kaldrabiliriz. Bunun, Blm 3de elde ettiimiz sonucun ayns olduuna dikkat edin. Aada baka bir deiken rnei vardr. Bu rnekteki integrali, dorudan hesaplayabilir olmamza ramen, dnm yntemini basit bir (ve akas sezgisel olarak) kurgu iinde aklmak iin setik. RNEK 7 ntegrasyon in Bir Dnm Uygulamak( )

( )

(

)

ntegralini , Dnmn uygulayarak ve integral alarak hesaplayn. zmekil 15 denklemleri , ve ye dntrr. Dnm ve denklemleriyle tersine evirmek yi ye dntrr. (rnek 7) i

, -uzaynda uygun bir blgede

-uzaynda integrasyon blgesini izer ve snrlarn belirleriz. ekil 15. Bu durumda, snr yzeyler dzlemlerdir.

Katl integrallerde Deiken Dnm

34

( ) denklemini uygulamak iin, karlk gelen -blgesi yi ve dnmn Jakobiyenini bulmamz gerekir. Bunlar bulmak iin denklemlerinden ve yi ve cinsinden zeriz. Biraz ilemle , ,

Buluruz. Sonra bu ifadeleri nin snr denklemlerinde yerine koyarak nin snrlarn buluruz:

nin snrlarnn -denklemleri

nin snrlarnn karlk gelen -denklemleri

Basitletirilmi -denklemleri

Dnmn jakobiyeni, yine

denklemlerinden,

| |

| | | |

Olarak bulunur. Artk elimizde

denklemini uygulamak iin herey vardr:( )

( )

(

)

|

|

*

+

(

) [

* ]

+


35

Kaynaka

THOMAS George B., Weir Maurice D., Hass Joel, Giordano Frank R., Thomas' Calculus, 11th Edition, Pearson Publishing, 2005 KORKMAZ Recep, Thomas Calculus International Edition (Cilt 2), Beta Basm Yayn, 2010 KARADENZ Ahmet A, Yksek Matematik Cilt 3, alayan Kitapevi, 1995

72780747-Yuzey-Alanları-ve-Uc-Katlı-İntegral

Documents

Transcript of 72780747-Yuzey-Alanları-ve-Uc-Katlı-İntegral