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第六章 能带理论
§6.6 导体、半导体和绝缘体的能带论解释
虽然所有固体都包含大量的电子,但它们的导电性却有很大差别,
如有的固体(金属)有很好的电子导电性,
有的固体(半导体)则较差,
有的固体(绝缘体)则基本上观察不到电子导电性。
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第六章 能带理论
这些问题长期得不到合理的解释。
能带论的出现,为说明固体划分为导体、半导体和绝缘体提供了理论基础
这是能带论发展初期的一个重大成就。
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满带:填满电子的能带。
空带:没有电子占据的能带。
不满带:未填满电子的能带。
禁带:不能填充电子的能区。
价带:和价电子能级相应的能带,
对半导体,价带通常是满带。
即最高的充有电子的能带。
几个概念
满带
E
不满带
禁带
禁带
价带
空带
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第六章 能带理论
6.6.1 满带电子不导电
据能带理论,E ( k )是一个偶函数,即
(6.117)
利用(6.87)式,可以得到
(6.118)
)()( kk −= nn EE
)()(
)E(1
-)E(-1
)(-
)E(1
)(
kvkv
kkkv
kkv
−−=
=
kk
k
hh
h Q
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第六章 能带理论
在同一能带中 k 和 -k 态的电子具有相反的速度
在一个完全填满电子的能带,电子在能带上的分布,在 k 空间具有中心对称。
尽管对每一个电子来讲,都有电流-ev,
但 k 和 -k 状态的电子电流正好抵消
晶体中没有宏观电流。
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第六章 能带理论
当存在外场时,电子在能带中分布具有的k空间中心对称性仍不会改变
如当施加外电场E时,每个电子都受一个电场力作用:
EF e−=
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第六章 能带理论
则:
(6.119)
这表明,所有电子都以同一速度在k空间内移动。
以一维能带为例,图6.11中k 轴上的点表示简约布里渊区中均匀分布的各量子态的电子
在电场力驱动下,电子以相同速度沿k轴移动。
Ek e
dt
d−=
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第六章 能带理论
布里渊区边界A和A’两点代表同一状态,
在电子填满布里渊区所有状态即满带的情况下,从A点移动出去的电子同时就从A’点流进,
使整个能带仍处于均匀分布填满的状态,因此不会有宏观电流,
故满带电子不导电。
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第六章 能带理论
图6.11 外场下满带电子的运动
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第六章 能带理论
6.6.2 未满带电子导电
无电场时,电子在未满带中的填充如图6.12(a)所示,仍是中心对称分布。
总电流抵消,不会有宏观电流。
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第六章 能带理论
图6.12 不满能带 (a)无电场(b)加电场
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第六章 能带理论
但在外场力F作用下,整个电子分布将向一方
移动,经碰撞作用达到平衡后,电子的分布将不再对称,而有一个小的偏移,如图6.12(b)所示。
这时电子电流只是部份抵消,因而将出现一定的宏观电流。
不满带中的电子才会导电。
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6.5.3 导体,绝缘体和半导体
导电性能不同,来源于它们不同的能带结构
固体按导电性能的高低可以分为
导体
m108
−
半导体
m101074
−−
绝缘体
m108
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第六章 能带理论
从能带理论分析可知,满带电子不导电,未满能带中的电子才导电;
因此,导体的能带中一定有不满的带,
绝缘体的能带中就只有满带和空带,
如图6.13(a), (b)所示。
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第六章 能带理论
图6.13(a)导体(b)绝缘体(c)半导体和(d)半金属的能带填充情况
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第六章 能带理论
金属中的未满能带叫导带或价带。
未满能带的产生主要有二种情况:
(1)价电子数为奇数的金属
如碱金属,N个原胞(原子)组成的晶体有N个s
态价电子,其导带有N个状态,每个状态可容纳自旋向上和向下的二个电子,故导带可容2N个电子
因此导带是半满的
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第六章 能带理论
(2)价电子数为偶数的碱土金属
由于有2N个s态价电子,粗一看,价带应被填满而是非金属,
但 s 带的顶部与上一个能带的底部有大量交叠,
使两个带都是部分填充的。
因而有众多电子参与导电,故仍是导体。
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第六章 能带理论
半导体的能带结构与绝缘体没有本质区别,只是分割价带和导带的带隙——禁带宽度Eg较小。
半导体的 Eg ≤ 2 eV。
在极低温度(接近绝对零度),半导体的导电率接近于绝缘体
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第六章 能带理论
在一定温度下,总有部分电子从满带被热激发而跃过窄的禁带到达导带(见图6.13(c)),因而有一定的导电性。
本征半导体的导电性与温度和禁带宽度有关。
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第六章 能带理论
在金属和半导体之间存在一种称为半金属的中间情况。如图6.13(d)所示。
半金属的导带底和价带顶具有相同的能量(零带隙宽度)或发生交叠(负带隙宽度)。
它们类同于碱土金属的情况,理应被叫做金属
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第六章 能带理论
但由于重叠得极小,参与导电的导带中电子数和价带中的未满状态数都较少,因此其导电性比一般金属低几个数量级,故被称作半金属。
砷(As),锑(Sb)和铋(Bi)等VA族元素晶体就是常见的半金属。
半金属的电导率虽低于金属,但比一般的本征半导体还是要好。
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0 时I=0
导带
满带
0I
导体、半导体和绝缘体的能带
有导带
导带
导体
半导体禁带窄
禁带
半导体
空带
禁带
绝缘体
空带
绝缘体禁带宽
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几个实例
1.碱金属
Li 122s1s
Na 16223s2p2s1s
K162622
4s3p3s2p2s1s
ns电子只占一半
能带,为导体。
2.碱土金属
Be22
2s1s
Mg2622
3s2p2s1s
Ca262622
4s3p3s2p2s1s
ns电子填满了ns能
带,但ns能带与上
面能带形成能带交
叠,故仍为导体。
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1、导体的能带结构
空带
导带
E
某些一价金属,如:Li …
满带
空带
E
某些二价金属,如:Be, Ca, Mg,
Zn, Ba …
导带
空带
E
如:Na, K, Cu,
Al, Ag…
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25
在外电场的作用下,大量共有化电子
易获得能量,集体定向流动形成电流。
从能级图上来看,是因为其共有化电子
很易从低能级跃迁到高能级上去。
E
导体
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2、绝缘体的能带结构
E空带空带
满带
禁带ΔEg=3~6eV
从能级图来看,是因为满带与空带间有一个较宽的禁带(Eg :3~6 eV )
共有化电子很难从低能级(满带)跃迁到高能级(空带)上去。
当外电场足够强时,共有化电子还是能越过
禁带跃迁到上面的空带中,使绝缘体被击穿 。
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3、半导体的能带结构
本征半导体是指纯净的半导体,导电性能在导体与绝缘体之间。
Eg=0.12eV
E
空带(导带)
满带
禁带
本征半导体
所以加热、光照、加电场都能把电子从满带激到发空带中去,同时在满带中形成“空穴”(hole)。
半导体的禁带宽度ΔEg 很
窄(0.1 ~2eV),
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28
绝缘体与半导体的击穿
当外电场非常强时,它们的共有化电子还是能越过禁带跃迁到上面的空带中的。
绝缘体
半导体导体
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解
max
min
hc
hE g ==
nm514106.142.2
1031063.619
834
max =
=
=
−
−
gE
hc
【例】要使半导体 CdS产生本征光电导,求
激发电子的光波的波长最大多长?已知禁带宽
度为 2.42 eV。
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第六章 能带理论
6.6.4 近满带和空穴
不满带中有一种 近满带,它指只有能带顶附近少量的状态未被电子占据的能带。
半导体中的价带,由于带顶附近少量电子被热激发到了导带而包含一些空态,就是典型的近满带
近满带在半导体的研究中尤为重要。
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第六章 能带理论
近满带具有一定的导电性。
要描述近满带中电子的运动,涉及到数目很大的电子集体运动,因而在处理上很不方便。
引入空穴(hole)的概念,用以代表大量电子的集
体运动,使有关近满带的导电问题变得简单而直观。
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第六章 能带理论
为说明空穴的概念并说明用它来描述近满带电子运动的有效性
考虑一简化情况,即假设价带中只有一个状态 k 未被电子填充
此时能带为未满带,因而应有电流产生。
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第六章 能带理论
电流 j(k):设想在空的 k 态中放入一电子,这个电子的电流则为-ev ( k ),
由于k态放上电子后,能带完全填满,故总电流为零,于是
(6.120)0)]([)( =−+ kvkj e
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第六章 能带理论
则
(6.121)
当k态缺少一个电子时,近满带所有电子运动的总电流就等价于:
一个具有正电荷 e 的粒子,
以空态 k 的电子速度 运动而产生的电流
)()( kvkj e=
)(kv
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第六章 能带理论
在外电场 E 的作用下,空态在k空间位置随时间 t 的变化率
和周围电子状态变化是一样的,即
(6.122)
dtdk
Ek e
dt
d−=
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第六章 能带理论
这样,空态的加速度为
(6.123)
近满带中的空穴往往在满带顶附近,此处电子有效质量为负值,所以上式又可以写成
(6.124)
)(1)(
*E
kve
mdt
d
e
−=
*
)(
em
e
dt
d Ekv=
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第六章 能带理论
定义空穴的有效质量:
(6.125)
上面讨论表明:当满带顶附近有空态k时,整
个能带中的电子运动,以及电流在外场中的行为,完全可等价于:
一个带正电荷e,具有正的有效质量 ,
速度v (k)的粒子。
|)(|)(**
kk eh mm =
||*
em
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第六章 能带理论
这个假想粒子称为空穴(hole)。
空穴和电子一样,都能荷载电流而导电,
它们都是载流子;也是准粒子
空穴是一个准粒子,它带正电;可很好解释半导体的导电机理
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例:已知价带顶附近电子的能量为:
尔格)(101)(226
kk−
−=
将一个电子从 17101
−= cmik
处移走,于是
能带成为不满带,试给出:a.该空穴的有效质量和符号b.该空穴的波矢量的大小和方向c.该空穴的动量d.该空穴的速度e.该空穴的能量f.该空穴的电流 f.该空穴的所运载的电流
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解:a. )(101
2)(
22622
ergkm
kk
−−==
262
1012
−−=
em
kg.me
281050
−−=
28*105.0
−=−= eh mm
b. ikk eh
7
101−=−=
c. )101)(101(727ikp hh
==
−
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d.18
102−
−== scmm
Pv
h
nn
e.226
)101( een k−
−−=−=
)(101120 −
−= scmgi
eVerg 110112
==−
f.)102(106.1
619ivej h ==
−
i
13102.3
−=
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第六章 能带理论
注意:虽然空穴具有有效质量、电荷等属性,但它并不是一种真实的粒子,
是近满带中电子集体运动的一种等价描述,
是一种准粒子。
实际上,晶体中的电子由于动量是准动量、有效质量又很不同于自由电子时的质量,
因此,晶体中的电子也是准粒子。
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第六章 能带理论
晶体中的载流子——晶体电子和空穴,都是准粒子。
空穴概念的引入,可解释某些金属,如Be, Ca等具有正的霍尔系数的现象。
从能带论的角度,晶体中有两种载流子,它们对霍尔系数都有贡献。
因此晶体中导电的粒子有两种:
(1)电子;(2)空穴.
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第六章 能带理论
带负电的电子的贡献占优势,则霍尔系数为负;
带正电的空穴贡献占优势,则霍尔系数为正。
据霍尔系数的正负,可判断某些晶体(如半导体)的载流子中那一种占优势。
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例:晶格常量为a的一维晶格,其价带顶附近的色散关系为
m
k
m
kkEV
222
0
2 3
6)(
−= 其中
ak
π0= ,在导带底附近的色散
关系为m
kk
m
kkEc
2
0
222)(
3)(
−+=
求:
(1)禁带宽度;
(2)导带底电子的有效质量和价带顶空穴的有效质量;
(3)电子由价带顶激发到导带底时,准动量的变化;
(4)在外电场作用下,导带底的电子和价带顶空穴的加速度;
(5)设a=0.25 nm,=100 V/m,请求出空穴自价带顶漂移到
k0处所需的时间。
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m
k
m
kkEV
2220
2 3
6)(
−=
m
kk
m
kkEc
20
222 )(
3)(
−+=
ak
π0=
价带顶 导带底
(1)导带底 0d
d=
k
Ec
akk
c
π
4
3
4
30==
价带顶 0d
d=
k
Ev 0=v
k =maxv
E
22
maxmin
π
12
=−=
amEEE
vcg
=mincE22
π
4
am
22π
6
am
(2)导带底=
=
ck
*
ek
E
m2
2
2d
d11
m3
8
8
3*
mme =
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价带顶=
=
vk
*
ek
E
m2
2
2d
d11
m
6−
6*
mme −=
6**
mmm eh =−=
(3)
=−
=−=
aakkp vc
π
4
30
π
4
3
(4)amF *=
ee ame *=− *e
em
ea
−=
m
e
3
8 −=
hhame *=*h
hm
ea
=
m
e6=
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(5) et
kh =d
dh
ke
t dd
=
aek
et a
h
πd
π
0
==
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第六章 能带理论
作业:
一、6.9; 6.10
二、导体、半导体、绝缘体、半金属的能带有什么特点?试各举一例说明。
三、为什么说空穴、晶体电子都是准粒子?