6.1.9. IZRAVNANJE PO METODI USLOVNIH MERENJA · potrebni uglovi, u celoj mreži dovoljno je...

Glava 6. Geodetske dvodimenzionalne mreže

353

6.1.9. IZRAVNANJE PO METODI USLOVNIH MERENJA

U izravnanju po metodi uslovnih merenja za sve merene veličine u geodetskoj mreži odreñuju se popravke tako da budu ispunjeni svi matematički uslovi koji proističu iz oblika te mreže, a da pri tome suma kvadrata popravaka bude minimalna (3.13) ili (3.14).

Po metodi uslovnih merenja izravanavaju se:

• trigonometrijske mreže 1. reda,

• mikrotrigonometrijske mreže,

• lokalne mreže,

• osnovičke mreže,

• mreže u inženjerskoj geodeziji.

Matematički modeli izravnanja po metodi uslovnih merenja pokazani su poglavlju 3.3. a vrste uslovnih jednačina u poglavlju 4.2.

6.1.9.1 BROJ USLOVNIH JEDNAČINA

Uslovne jednačine obrazuju se tek kada je ustanovljen broj nezavisnih matematički uslova u jednoj mreži i obavljen izbor uslova. Njihov broj uvek je manji od broja svih matematičkih uslova koji proističu iz oblika mreže. Zato postoje više načina za obrazovanje uslovnih jednačina. Pri izboru nezavisnih matematičkih uslova neophodno je imati u vidu:

• Uslovne jednačine moraju da su meñusobno nezavisne. Ni jedna od njih ne sme se dobiti linearnom kombinacijom ostalih uslovnih jednačina.

• Uslovne jednačine treba da sadrže što manji broj popravaka .iυ

• Koeficijenti ia uz popravke iυ treba da su po apsolutnoj vrednosti što veći.

• Za uslov fiksnih strana i uslov koordinata, kod neslobodnih mreža, treba izabrati najpogodniju varijantu za sastavljanje uslovne jednačine. Najbolja varijanta je ona

gde se koeficijenti ia lako odreñuju i gde je matematičkim uslovom obuhvaćen

manji broj merenih veličina.

6.1.9.2. SLOBODNA MREŽA

Svaki suvišno izmereni ugao ili pravac u slobodnoj mreži daje jedan nezavisni matematički uslov iz kog proističe jedna uslovna jednačina.

KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU

354

Broj nezavisnih uslovnih jednačina odgovara broju suvišnih merenja.

U slobodnoj mreži pojavljuju se seledeće jednačine:

• uslovne jednačine figure,

• uslovne jednačine horizonta,

• sinusne ili uslovne jednačine bazisa.

Uslov horizonta pojavljuje se ako su na nekoj tački nezavisno izmereni svi uglovi koji zatvaraju horizont.

U mrežama u kojima su opažani pravci uslov horizonta uvek je zadovoljen te nema potrebe za postavljanjem uslovnih jednačina horizonta. Kada se u mreži izravnavaju pravci, dolazi u obzir obrazovanje samo figurnih i sinusnih uslovnih jednačina.

Broj uslovnih jednačina u jednoj slobodnoj mreži treba da se odredi po formuli

,42 +−= NURu (6.47)

kada su mereni uglovi, ili

,42 1 +−−= NNPRp (6.48)

kada su opažani pravci, gde su: N broj svih tačaka, U broj izmerenih uglova, P broj

opažanih pravaca i 1N broj tačaka na kojima su opažani pravci.

Obrazloženje: Ma koja strana u mreži odreñuje dve tačke, svaka sledeća tačka može da se odredi na osnovu dva ugla. Dakle, za odreñivanje preostalih )2( −N tačaka

neophodno je i dovoljno )2(2 −N uglova. Kako za odreñivanje prvih dveju tačaka nisu

potrebni uglovi, u celoj mreži dovoljno je izmeriti )2(2 −N ugla. Svaki sledeći mereni

ugao je suvišan. Prema tome, ako je u mreži izmereno U uglova, kao višak pojavljuje se

razlika )2(2 −−= NUR koja predstavlja broj suvišnih merenja, odnosno broj uslovnih

jednačina.

Kod mreža gde su opažani pravci, broj neophodnih pravaca iznosi

)2(21 −+ NN jer, pored )2(2 −N pravaca, treba imati vrednost početnog pravca na

svakoj tački 1N (stanici) sa koje su opažani pravci.

Na osnovu (6.47) i (6.48) može da se odredi ukupan broj uslovnih jednačina, nezavisno od vrste matematičkih uslova. Broj uslovnih jednačina po vrstama matematičkih uslova odreñuje se po formulama.

112 +−= NnF broj uslovnih jednačina figura, (6.49)

( )121 2 nnNUH +−+= broj uslovnih jednačina horizonta, (6.50)

( ) 3221 +−+= NnnS broj sinusnih uslovnih jednačina, (6.51)


355

gde su 1n broj strana sa jednostranim pravcima a 2n broj strana sa obostranim pravcima.

Ukupan broj jednačina je:

.SFR

SHFR

p

u

+=++=

Ako u mreži ima r izmerenih osnovica, onda se broj uslovnih jednačina uvećava za )1( −r odnosno

.32

32

1 ++−−=++−=

rNNPR

rNUR

p

u (6.52)

6.1.9.3. NESLOBODNA MREŽA

Pored uslova figura, horizonta i sinusa ili bazisa, u neslobodnim mrežama pojavljuju se matematički uslovi koji proističu kao posledica datih veličina. Svaka suvišna data veličina omogućuje postavljanje jednog nezavisnog matematičkog uslova iz koga se dobija jedna uslovna jednačina. Ako u mreži ima D datih tačaka, tada će dopunskih jednačina biti

( )22 −= Dt .

Broj datih tačaka D umanjuje se za dva zato što su i u slobodnoj mreži potrebne dve date tačke pri računanju koordinata.

Prema tome, ukupan broj uslovnih jednačina u neslobodnoj mreži iznosi

( )( ) 111 2242

2242

NTPNDNPtNNPR

TUDNUtNUR

p

u

−−=−−−=++−−=−=−−=++−=

ili ako je u mreži izmereno r osnovica, onda imamo

12 −+−= rTURu (6.53)

12 1 −+−−= rNTPRp (6.54)

gde je DNT −= broj traženih tačaka.


356

6.1.9.4. USLOVNA IZRAVNANJA MREŽA

Trigonometrijske mreže najčešće se sastoje se od sistema trouglova, četvorouglova i centralnih sistema. Radi iliustracije biće pokazana uslovna izravnanja centranog sistema i geodetskog četvorougla.

CENTRALNI SISTEM

Neka su u centralnom sistemu mereni uglove iα sa iασ )6 ,...,2 ,1( =i i dužine

iS sa iSσ )3 ,2 ,1( =i (Sl.6.20).

S1

S2

S3

Slika 6.20. Centralni sistem.

Ukupan broj uslovnih jednačina je

4338632 =++−=++−= rNURU

ili 4211 =++=++= DSH RRRr

gde je: HR broj uslovnih jednačina horizonta,

SR broj sinusnih uslovnih jednačina,

DR broj uslovnih jednačina merenih dužina.

Oblici uslovnih jednačina su:

1. Uslovna jednačina horizonta

o360ˆˆˆ 321 =++ ααα ili 01321 321=+++ wvavava ααα .


357

2. Sinusna uslovna jednačina

1ˆsin)ˆˆsin(ˆsin

)ˆˆsin(ˆsin)ˆˆsin(

5624

53641 =+

++αααα

ααααα

ili 02654321 654321=++++++ wvbvbvbvbvbvb αααααα .

3. Prva uslovna jednačina merenih dužina

4

2

41

1

ˆsin

ˆ

)ˆˆsin(

ˆ

αααSS =

+

ili 038741 2141=++++ wvcvcvcvc SSαα .

4. Druga uslovna jednačina merenih dužina

)ˆˆsin(

ˆ

ˆsin

ˆ

53

3

5

1

ααα += SS

ili 049753 3153=++++ wvdvdvdvd SSαα .

Funkcionalni model uslovnog izravnanja je oblika

0

4

2

1

921

921

921

921

3

6

1

=

+

⋅

w

w

w

v

v

v

ddd

ccc

bbb

aaa

S

MM

M

L

L

L

L

α

α

ili

0=+ wvAT

gde je vektor popravaka

( )3161 SS vvvv LL αα=Tv

i matrica težina

( )3161 SS ppppDiag LL αα=P

Metod najmanjih kvadrata primenjuje se prema algoritmu izravnanja po metodi uslovnih merenja datom u poglavlju 3.3.4.


358

GEODETSKI ČETVOROUGAO

Neka su u geodetskom četvorouglu mereni pravci iα sa iασ )9 ,...,2 ,1( =i ,

dužine iS sa iSσ )2 ,1( =i i orijentisan pravac 3

1ϕ sa ϕσ (Sl.6.21).

SS

Slika 6.21. Geodetski četvorougao.

Broj nezavisnih matematičkih uslova koji proističe na osnovu suvišno opažanih pravaca je

2438942 1 =+−−=+−−= NNPRP

a na osnovu opažanih dužina 1=DR , pa je ukupan broj uslovnih jednačina

3=+= DP RRr . U okviru broja uslovnih jednačina za pravac postoji jedna uslovna

jednačina figure

1133112 =+−=+−= NnF

i jedna sinusna jednačina

138)33(32)( 21 =+−+=+−+= NnnS .

Oblici uslovnih jednačina su:

1. Uslovna jednačina figure

o180ˆˆˆˆˆˆ 785613 =−+−+− αααααα

ili 01778855661133 =+−+−+− wvavavavavava .


359

2. Sinusna uslovna jednačina

1)2̂3̂7̂9̂sin()7̂8̂sin()1̂2̂sin()4̂5̂sin(

)1̂2̂4̂6̂sin()8̂9̂sin()5̂6̂sin()2̂3̂sin( =−+−−−−−+−−−−

ili 0... 2992211 =++++ wvbvbvb .

3. Uslovna jednačina merenih dužina

0)4̂6̂sin()7̂8̂sin(ˆ)4̂6̂1̂2̂sin()2̂3̂sin(ˆ21 =−−−−+−− SS

ili 0... 31110882211 21=++++++ wvcvcvcvcvc SS .

Funkcionalni model uslovnog izravnanja je oblika

0

3

2

1

9

1

1121

1121

1121

2

1

=

+

⋅

w

w

w

v

v

v

v

ccc

bbb

aaa

S

S

M

L

L

L

ili

0=+ wvAT .

Metod najmanjih kvadrata primenjuje se prema algoritmu izravnanja po metodi uslovnih merenja datom u poglavlju 3.3.4.

6.1.9.5. RAČUNANJE KOORDINATA TA ČAKA

Kada je osnovni cilj izravnanja ostvaren, odnosno kad se od geometrijski nedefinisane mreže stvori matematički definisana mreža pristupa se računanju koordinata tačaka u toj mreži po postupku kao što se računaju koordinate tačaka u poligonskom vlaku ili nekom od poznatih metoda.

Planom računanja, koji može biti proizvoljan, treba obuhvatiti sve tražene tačke u mreži. Za neslobodne mreže plan računanja prikazan je na slici 6.22.

Kod slobodnih mreža, gde nema datih veličina, prvo treba definisati koordinatni sistem pa tek onda pristupiti računanju koordinata. Koordinatni sistem je definisan ako se znaju koordinate jedne tačke i direkcioni ugao sa nje na neku susednu tačku. Ovi se podaci mogu proizvoljno usvojiti (lokalni koordinatni sistem) ili se odreñuju astronomskim putem.


360

Kada se proizvoljno bira koordinatni sistem vodi se računa da cela mreža padne u I kvadrant (Sl. 6.23).

A

D

(x ,y )AA

B

C

E

F

AB

ka n

Slika 6.22. Neslobodna mreža.

U lokalnoj mreži, neposrednim merenjem ili indirektnim putem, odreñuje se dužina jedne trigonometrijske strane. Polazeći od nje, primenom sinusne teoreme, odreñuju se dužine ostalih strana koje su potrebne za računanje koordinata traženih tačaka u poligonskom vlaku. Pri tome nisu dozvoljena nikakva odstupanja jer se matematički definisana mreža (izravnata mreža) posmatra u nekom koordinatnom sistemu. Eventualna neslaganja mogu nastati usled zaokruživanja brojeva.

A

D

(x ,y )AA

B

C

E

F

Slika 6.23. Slobodna mreža.


361

6.1.10. IZRAVNANJE PO METODI POSREDNIH MERENJA

U praktičnim primenama izravnanja trigonometrijskih mreža po metodi posrednih merenja najčešće se izravnavaju mereni pravci, uglovi i dužine u cilju odreñivanja izravnatih vrednosti koordinata jedne tačke ili geodetske mreže.

6.1.10.1. IZRAVNANJE KOORDINATA JEDNE TA ČKE

Izravnanje spoljašnjih pravaca

Neka su u mreži mereni orijentisani pravci iϕ n) , ... ,2 ,1( =i sa okolnih datih

tačaka iT N) , ... ,2 ,1( =i (Sl. 6.24.). Nepoznati parametri su koordinate tačke ),( yxT .

Y

X

T

N

(x, y)n

Slika 6.24. Izravnanje koordinata jedne tačke-merenispoljašnji pravci.

Jednačine popravaka za orijentisane pravce prema (4.33) su oblika

11 11 ϕϕυ fdybdxa TT +⋅+⋅=


...

nnfdybdxa TNTN ϕϕυ +⋅+⋅=

ili u matričnom obliku


362

+

⋅

=

nnf

f

f

dy

dx

ba

ba

ba

TNTN

TT

TT

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

υ

υυ

MMMM

2

1

2

1

22

11

(6.55)

odnosno funkcionalni i stohastički model

fxAv += ˆ (6.56)

( )n

pppDiag ϕϕϕ L21

=P .

Za ove modele primenjuje se algoritam izravnanja po metodi posrednih merenja (Poglavlje 3.2.4).

Izravnanje unutrašnjih pravaca

Neka su u mreži mereni pravci iα n) , ... ,2 ,1( =i sa stanice T prema okolnim

datim tačkama iT ) , ... ,2 ,1( Ni = (Sl. 6.25.). Nepoznati parametri su koordinate tačke

),( yxT i orijentacioni ugaoz na stanici.

Y

X

T

N

n(x,y)

Slika 6.25. Izravnanje koordinata jedne tačke-mereni unutrašnji pravci.


363

Jednačine popravaka za unutrašnje pravce prema (4.11) su oblika

11 11 ααυ fdzdybdxa TT ++⋅+⋅=


...

nnfdzdybdxa TNTN ααυ ++⋅+⋅=


+

⋅

=

nnf

f

f

dz

dy

dx

ba

ba

ba

TNTN

TT

TT

α

α

α

α

α

α

υ

υυ

MMMMM

2

1

2

1

1

1

1

22

11

(6.57)


fxAv += ˆ (6.58)

( )n

pppDiag ααα L21

=P .


Izravnanje spoljašnjih i unutrašnjih pravaca

Neka su u mreži mereni pravci iα n) , ... ,2 ,1( =i sa stanice T prema okolnim

datim tačkama iT ) , ... ,2 ,1( Ni = i orijentisani pravci iϕ n) , ... ,2 ,1( =i (Sl. 6.26.).

Nepoznati parametri su koordinate tačke ),( yxT i orijentacioni ugaoz na stanici.

Jednačine popravaka za spoljašnje i unutrašnje pravce su oblika


...

nnfdybdxa TNTN ϕϕυ +⋅+⋅=


...



364

T

N

nn

(x, y)

Y

X

Slika 6.26. Izravnanje koordinata jedne tačke-mereni spoljašnji i unutrašnji pravci.


+

⋅

=

n

n

n

n

f

f

f

f

dz

dy

dx

ba

ba

ba

ba

TNTN

TT

TNTN

TT

α

α

ϕ

ϕ

α

α

ϕ

ϕ

υ

υυ

υ

M

M

MMM

MMM

M

M

1

1

1

1

1

1

0

0

11

11

(6.59)


fxAv += ˆ (6.60)

( )nn

ppppDiag ααϕϕ LL11

=P .



365

Izravnanje pravaca i dužina

Neka su u mreži mereni pravci iα n) , ... ,2 ,1( =i i dužine iD n) , ... ,2 ,1( =i

sa stanice T prema okolnim datim tačkama iT ) , ... ,2 ,1( Ni = (Sl. 6.27.). Nepoznati

parametri su koordinate tačke ),( yxT i orijentacioni ugaoz na stanici.

Jednačine popravaka za pravce i dužine su oblika


...


11 11 DTTD fdyBdxA +⋅+⋅=υ

...

nn DTNTND fdyBdxA +⋅+⋅=υ

Y

X

T

N

n

D D

D Dn

(x, y)

...

Slika 6.27. Izravnanje koordinata jedne tačke-mereni pravci i dužine.



366

+

⋅

=

n

n

n

n

D

D

TNTN

TT

TNTN

TT

D

D

f

f

f

f

dz

dy

dx

BA

BA

ba

ba

M

M

MMM

MMM

M

M

1

1

1

1

0

0

1

1

11

11

α

α

α

α

υ

υυ

υ

(6.61)


fxAv += ˆ (6.62)

( )nn DD ppppDiag LL

11 αα=P .


6.1.10.2. IZRAVNANJE MREŽA

U izravnanjima geodetskih mreža učestvuju sve merene veličine sa korespondentnom tačnosti a izravnate vrednosti koordinata tačaka se odreñuju istovremeno. Na ovaj način istovremenim izravnanjem svih veličina u geodetskoj mreži se postiže:

• homogena tačnost mreže,

• dobra pouzdanost mreže.

U geodetskom premeru mreže se izravnavaju kao neslobodne a mikro ili lokalne mreže mogu se izravnavati kao slobodne.

Izravnanje neslobodnih mreža

Neka su u neslobodnoj mreži mereni pravci iα n) , ... ,2 ,1( =i i dužine iD

m) , ... ,2 ,1( =i izmeñu datih tačaka iT ) , ... , ,( NBAi = i nepoznatih iT

) , ... ,2 ,1( ni = (Sl. 6.28.).

Nepoznati parametri su koordinate tačke ),( iii yxT i orijentacioni uglovi iz na

stanicama.


367

A

BN

(x ,y )

(x ,y )(x ,y )

(x ,y )A

BN N

A

B

(x ,y )

(x ,y )

(x ,y )

1

2

3

n

1 1

2 2

3 3

n n...

...

D

D

1

...

1

n...

......

m

Slika 6.28. Neslobodna mreža - mereni pravci i dužine.

U funkcionalnom modelu egzistiraju jednačine popravaka za merene pravce iα

(4.11) i dužine iD (4.40) sa korespondentnim težinama u stohastičkom modelu

+⋅

=

DD

α

D

α

f

fx

Α

Α

v

v αˆ (6.63)

=

DP

PP α

ili

fxAv += ˆ (6.64)

iPP Diag=

gde su subvektori i submatrice


368

=

=

m

n

D

DD

υ

υυ

υ

α

α

α

M

M

1

1

v

vv ,

=

=

nnn

D

uba

uba

uba

L

MOMM

L

L

222

111

Α

ΑA α

,

=

dt

dy

dx

Mx̂

=

=

m

n

D

DD

f

f

f

f

M

M

1

1

α

α

α

f

ff ,

=

=

m

n

D

DD

p

p

p

p

O

O

1

1

α

α

α

P

PP

Težine pojedinih merenih veličina su

2

2

2

ii

i

ocp

ααα σ

σσ

== , n) , ... ,2 ,1( =i ,

2

2

2

ii

i

D

o

DD

cp

σσ

σ== , m) , ... ,2 ,1( =i .

Kod izravnanja raznorodnih veličina neophodno je usaglasiti merne jedinice u jednačinama popravaka sa mernim jedinicama težina u cilju korektne primene algoritma izravnanja odnosno MNK (poglavlje 3.2.4).

Ako su merne jedinice u jednačinama popravaka za opažane pravce (4.11)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]''''''

... ...''

'' ++

++

=

+++++=

mm

mm

fdzdybdxadybdxa ririiriirrrirririυ

a u jednačinama popravaka za merene dužine (4.40)

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]mmNbmNbm

FdyBdxAdyBdxA ijjjijjiiijiijij

+++=

++++=

... ...

υ

i za težine


369

== 222 ''11

ii

i

cp

ααα σσ

, )1( =c ,

== 222

11m

cp

ii

i

DDD σσ

, )1( =c ,

onda su merne jedinice u sumi najmanjih kvadrata

[ ] [ ] [ ]∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

+

=

+=

n

i

m

j

n

i

m

jDD

mm

Nb

ppiiii

1 1

22

22

1 1

22

1''

''1

υυααPvvT

Načini izbora proizvoljne konstante c i homogenizacija težina ip kod

raznorodnih veličina dati su u poglavlju 6.1.10.4.

Napomena: Za merne jedinice mogu se uzimati ]'[' i ][mm ili ]'[' i ][cm ili

]'[' i ][dm itd. Važno je istaći da je neophodno usaglasiti merne jedinice u jednačinama

popravaka za pravce i dužine sa mernim jedinicama korespondentnih težina. Ovo je posebno važno kod izravnanja geodetskih mreža sa velikim brojem nepoznatih parametara koje se redovno izravnavaju adekvatnim programskim sistemom.

Izravnanje slobodnih mreža

Neka su u mreži mereni pravci iα n) , ... ,2 ,1( =i i dužine iD

m) , ... ,2 ,1( =i izmeñu nepoznatih tačaka iT 5) , ... ,2 ,1( =i (Sl. 6.29). Nepoznati

parametri su koordinate svih tačke ),( iii yxT i orijentacioni uglovi iz na svim stanicama.

U funkcionalnom modelu egzistiraju opšte jednačine popravaka za merene pravce

iα (4.11) i dužine iD (4.40) odnosno

+⋅

=

DD

α

D

α

f

fx

Α

Α

v

v αˆ ,

=

DP

PP α

, urrD

<=

A

Aα (6.65)

ili

fxAv += ˆ , iPP Diag= , urr <=)(A

odnosno matrica dizajna A je nepotpunog ranga. U ovom slučaju slobodna mreža se izravnava premenom metoda najmanjih kvadrata i minimalne norme (Poglavlje 3.9.2).


370

Y

X

1 2

3

1 12

33>

<

>>>

>

>>>

>

>>>

>

>> >

<<

<4

5

4 4

5 5

1

D1

D

n

m(x , y ) (x , y )

(x , y )

(x , y ) (x =x , y )1 2

Slika 6.29. Slobodna mreža - mereni pravci i dužine.

Umesto slobodnog izravnanja sa nepotpunim rangom matrice i singularnim sistemom normalnih jednačina mreža se može izravnati sa matricom potpunog ranga i regularnim sistemom jednačina uveñenjem neophodnih i dovoljnih parametara datuma mreže.

Ako se definišu neophodni parametri datuma mreže (Sl. 6.30), tanslacija po x i

y osi )00.1000( 11 == yx i rotacija )00.1000( 2 =x onda je u funkcionalnom modelu

oblika (6.65) matrica dizajna A potpunog ranga

+⋅

=

DD

α

D

α

f

fx

Α

Α

v

v αˆ ,

=

DP

PP α

, urrD

==

A

Aα (6.66)

ili

fxAv += ˆ , iPP Diag= , urr ==)(A .

Na ovaj način slobodna mreža je prevedena u neslobodnu mrežu, sa neophodnim i dovoljnim parametrima geodetskog datuma, a izravnava se premenom metoda najmanjih kvadrata sa regularnom inverzijom matrice koeficijenata normalnih jednačina N (Poglavlje 3.2.4).


371

Y

X

1 2

3

1 12

33>

<

>>>

>

>>>

>

>>>

>

>> >

<<

<4

5

4 4

5 5

2

1

D1

D

n

m

(x =1000.00)(y =1000.00)

1

1

(x , y ) (x , y )

(x , y )

(x , y ) (x =1000.00, y )

Slika 6.30. Neophodni parametri datuma mreže - mereni pravci i dužine.

6.1.10.3. HOMOGENIZACIJA TA ČNOSTI MERENJA UGLOVA I DUŽINA

Kada u mreži učestvuju raznorodne veličine, tada je jedan od osnovnih problema usklañivanje njihove tačnosti. Tačnost merenja uglovnih veličina treba da bude u skladu sa tačnošću linearnih veličina. Veza izmeñu tačnosti uglovnih i linearnih veličina može se uspostaviti preko polarnih koordinata tačke i (Sl. 6.31)

B

Y

XX

D

x

y

p

AB

i

s

s

s

i

i

i

A

Slika 6.31. Položajna tačnost tačke ips .


372

( )β++= BAAi vDyy sin

( )β++= BAAi vDxx cos

ili, posle diferenciranja, dobija se

( ) ( )"

cossinρβββ ′′

+++= dvDdDvdy B

ABAi

( ) ( )"

sincosρβββ ′′

+−+= dvDdDvdx B

ABAi

a eksperimentalne varijanse su

( ) ( )2

222222 cossin

ρββ βs

vDsvs BAD

BAyi

+++=

( ) ( )2

222222 sincos

ρββ βs

vDsvs BAD

BAxi

+++= .

Eksperimentalna varijansa položaja tačke i je

2

222222

ρβs

Dssss Dxyp iii+=+= . (6.67)

Primenom principa jednakih uticaja dobija se izraz

"" ρρββ s

D

ssDs D

D =⇒= (6.68)

kojim se može uskladiti tačnost uglovnih i linearnih veličina. Na osnovu ove formule na jednostavan način moguće je preći sa eksperimentalne standardne devijacije uglovnih veličina na eksperimentalne standardne devijacije linearnih veličina i obratno. Drugim rečima prema izrazu (6.68) sledi da tačnost merenja uglovnih i linearnih veličina je homogena kada su njihove relativne greške jednake.

6.1.10.4. HOMOGENIZACIJA TEŽINA MERENIH VELI ČINA

Kao što je poznato, težine održavaju stepen poverenja u rezultate merenja. Ukoliko je stepen poverenja veći utoliko merenja dobijaju manje popravke iz izravanja mreže. Nepravilno ustanovljene težine neadekvatno utiču na konačni rezultat jer popravke nisu u skladu sa tačnošću merenih veličina. Zato je izuzetno važno ustanoviti realan odnos izmeñu svih merenih veličina koje učestvuju u izravnanju mreže.


373

Mereni uglovi

Kada su mereni samo uglovi, težine su

[ ]Nbc

pii

i

o 2

2

2ββ

β σσ

σ== , )( 2

oc σ= (6.69)

ili za homogenu tačnost merenja uglova

2...21 on

σσσσ βββ ====

sledi

[ ]Nbpi

1=β .

Merene dužine

Kada su merene samo dužine, težine su

[ ]Nbc

pii

i

D

o

DD

2

2

2 σσ

σ== , )( 2

oc σ= (6.70)

ili za homogenu tačnost merenja dužina

2...21 oDDD n

σσσσ ====

sledi

[ ]NbpiD 1= .

Mereni uglovi i dužine

Meñutim, kada u izravnanju učestvuju raznorodne veličine (uglovne i linearne), neophodno je voditi računa o mernim jedinicama težina (težine nisu neimenovani brojevi). Pre izravnanja potrebno je uskladiti (homogenizovati) težine. Prema tome, pri izravnanju raznorodnih veličina težine se definišu u obliku

2

i

i

cp

ββ σ

= , 2

i

i

DD

cp

σ= , )0( >c (6.71)

gde je c proizvoljna konstanta veća od nule. Njena vrednost se može usvojiti proizvoljno. Pri tome može se postupiti na više načina, od kojih se posebno ističu tri mogućnosti.

1) Vrednost konstante 1=c

Ako se za vrednost proizvoljne konstante usvoji 1=c onda su težine


374

== 222 "1

1

ii

i

cp

βββ σσ

,

== 222

11m

cp

ii

i

DDD σσ

. (6.72)

2) Vrednost konstante 2βσ oc =

Ako se za vrednost proizvoljne konstante usvoji 2βσ oc = onda su težine

[ ]Nbc

pii

i

o ===2

2

2β

β

ββ σ

σσ

,

==

2

2

2

2

2

"m

cp

ii

i

D

o

DD σ

σσ

β (6.73)

ili za homogenu tačnost merenja uglova

2...21 ββββ σσσσ on

====

sledi

[ ]Nbpi

1=β ,

=

2

2

2

2 "m

pi

i

D

oD σ

σ β

gde je βσ o standardna devijacija jedinice težine merenja uglova.

3) Vrednost konstante 2oDc σ=

Ako se za vrednost proizvoljne konstante usvoji 2oDc σ= onda su težine

===

2

2

2

2

2 "mc

pii

i

oD

βββ σ

σσ

, [ ]Nbc

pii

i

D

oD

DD 2

2

2 σσ

σ== (6.74)

ili za homogenu tačnost merenja dužina

2...21 oDDDD n

σσσσ ====

sledi

==

2

2

2

2

"m

pi

i

oD

ββ σ

σ, [ ]Nbp

iD 1=

gde je oDσ standardna devijacija jedinice težine merenja dužina.

6.1.9. IZRAVNANJE PO METODI USLOVNIH MERENJA · potrebni uglovi, u celoj mreži dovoljno je...

Documents

Transcript of 6.1.9. IZRAVNANJE PO METODI USLOVNIH MERENJA · potrebni uglovi, u celoj mreži dovoljno je...