6-modul-tanár_az egyenes

6. modul Koordintageometria1 Az egyenes

Ksztette: Vidra Gbor

Matematika A 11. vfolyam 6. modul: Koordintageometria1 Az egyenes

Tanri tmutat

2

A modul clja Idkeret Ajnlott korosztly Modulkapcsoldsi pontok

Az egyenes jellemz adatainak ismerete, azok kapcsolata. Az egyenes egyenleteinek ismerete, a megadott adatok alapjn a clszerbb egyenlet hasznlata. A hromszg nevezetes vonalainak tudatos ttekintse. 8 ra 11. vfolyam Vektorok, vektormveletek a koordintaskon. Korbbi tanulmnyok a vektorokrl. Egyenesek klcsns helyzetnek ismerete. ltalnos iskolbl a lineris fggvny s grafikonjnak ismerete. A hromszgek nevezetes vonalai: szgfelez, szakaszfelez merleges, magassgvonal, slyvonal. Hegyesszgek szgfggvnyei, a szgfggvnyek rtelmezsnek kiterjesztse. Folytatsknt a kr egyenlete, s a kr s egyenes klcsns helyzete.


Tanri tmutat

3

A kpessgfejleszts fkuszai

Szmols, szmts: Alakzat pontjainak koordinti kztti kapcsolatok kiszmolsa. Zsebszmolgp biztos hasznlata. Mennyisgi kvetkeztets: A tanulk biztos eligazodsa a koordintaskon. Ismert adatokbl logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatrozsa. Nagyon fontos a j vzlat elksztse, melyen az ismert adatokat clszer sznessel kiemelni. A mennyisgek folytonossgnak, fogalmnak tovbbfejlesztse. Becsls, mrs, valsznsgi szemllet: A feladatok vrhat eredmnynek becslse, klnsen a szveges feladatok esetn. Koordintkkal adott feladatok esetn az eredmnyek ellenrzse a koordinta-rendszerben. Szveges feladatok, metakognci: A geometriai feladok algebrai megoldsa sorn keletkez hamis gykk kivlasztsnak kpessge. Szvegrtelmezs tovbbfejlesztse, a lnyegkiemel kpessg fejlesztse. A valsg trgyainak geometriai modellezshez szksges kpessgek fejlesztse. Csoportmunkban a trsak j gondolatainak megismerse, elfogadsa, helytelen kvetkeztetsek cfolata. Rendszerezs, kombinatv gondolkods: Egyszerstsek felfedezse az brzolsbl, az bra s a szmts kapcsolatnak elmlytse. A geometriai feladatok megoldsi tervnek elksztsi kpessge. A geometriai feladatok algebrai eszkzkkel trtn megoldsnak kpessge. Geometriai fogalmak segtsgvel az absztrakcis kpessg fejlesztse. Induktv, deduktv kvetkeztets: sszefggsek, kpletek felfedezse gyakorlati tapasztalatbl kiindulva, azok ltalnostsa s alkalmazsa ms esetekben.


Tanri tmutat

4

AJNLSA modult gy lltottuk ssze, hogy az j anyag felfedezse korbbi ismeretekre tmaszkodjon, amelyeket a modult megelz vektorok modulban mr megismertnk. A mintapldk a felfedezett j tudselemek gyakorlati (koordintageometriai) alkalmazst jelentik, ezrt egyrszt a bemutat segtsgvel, csoportmunkban javasoljuk tvenni azokat, msrszt a tanulk a megolds sorn ne hasznljk a Tanulk knyvt. Az brk sznkdosak: kkkel jelltk a megadott adatokat s pirossal azokat, amelyeket meg kell hatrozni a feladat megoldsa sorn. Az ellenrzs prban mdszer alkalmazsakor a feladatmegold vzlatot is kszthet s szmol, mg ellenrz trsa a koordinta-rendszerben megszerkeszti a pontos brt s leolvassa a megoldst. ltalban hvjuk fel a tanulk figyelmt arra, hogy a szveget kk vagy fekete tollal rjk, az brkat pedig grafittal s sznes ceruzval ksztsk el, vonalzt hasznlva. A koordintageometria feladatok sorn az alapszerkesztseket (pldul merleges szerkesztse) mr nem krzvel s vonalzval vgezzk, hanem kihasznljuk a ngyzetrcs adta lehetsgeket s a vonalzn a beosztst.

TMOGAT RENDSZER A modulhoz a kvetkez eszkzk kszltek: bemutat, amely tartalmazza az elmleti anyagot, a mintapldkat s az eszkzk alkalmazshoz szksges informcikat; 6.1 krtyakszlet: csoportalaktshoz, amelyhez egyenesek rajzt vettnk ki a tanulknak meg kell tallniuk azokat a trsaikat, akiknek a krtyjn ugyanahhoz az egyeneshez tartoz pont tallhat; 6.2 krtyakszlet: feldarabolt ngyzetek, az egyenessel kapcsolatos alapfeladatok gyakorlshoz; 6.3 igaz-hamis tot: 13+1 igaz-hamis krds az egyenes jellemzirl (irnyvektor, normlvektor, irnytnyez); 6.4 diagnosztika a prhuzamos s merleges egyenesekkel kapcsolatos ismeretek ellenrzshez.

Nem kell minden feladatot megoldani a modulbl. A tanulcsoport ignyeinek s tudsszintjnek megfelelen lehetsgnk van differencilsra s arra is, hogy a modul anyagt a heti 3 rnl nagyobb raszmban tanul dikokkal is fel tudjuk dolgozni.


Tanri tmutat

5

JAVASOLT RABEOSZTS1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Az egyenes pontjai Feladatok megoldsa Az egyenes egyenletei Egyenesek egyenletnek felrsa Az egyenes egyenleteinek alkalmazsai Egyenesek klcsns helyzete Feladatok megoldsa Vegyes feladatok 1. mintaplda frontlisan, csoportalakts a 6.1 krtyakszlettel, 6.2 krtyakszlettel egyenesek vizsglata 1. 12. feladatokbl egyenesek brzolsa, leolvassa, egyenes pontjai 2. mintaplda csoportban (rejtvny), alakzat egyenlete (frontlis tanri magyarzat), az egyenesek jellemzi (csoportban felfedezs), egyenesegyenletek 13. 21. alapfeladatokbl, lehetleg csoportmunkban 6.3 tot ellenrzshez, 3. mintaplda (csoportban), 22. 27. feladatokbl Egyenesek metszspontjnak meghatrozsa (frontlis tanri magyarzat), prhuzamos s merleges egyenesek (4. mintaplda a tapasztalatszerzshez), 28. 36. alapfeladatok kzl 6.5 trimin s 6.4 diagnosztika (csoportban), 5. s 6. mintaplda (frontlis), 37. 44. feladatokbl 45. 61. feladatok kzl vlogatunk (javasolt: tkrzses feladatok, hromszggel s ngyzettel kapcsolatosak) RETTSGI KVETELMNYEK Kzpszint Tudja felrni klnbz adatokkal meghatrozott egyenesek egyenlett. Egyenesek metszspontjnak szmtsa. Ismerje egyenesek prhuzamossgnak s merlegessgnek koordintageometriai feltteleit. Elemi hromszg- s ngyszg-geometriai feladatok megoldsa koordintageometriai eszkzkkel. Emelt szint Az egyenes egyenletnek levezetse klnbz kiindulsi adatokbl a skban.


Tanri tmutat

6

MODULVZLATLpsek, tevkenysgek Kiemelt kszsgek, kpessgek Eszkz/Feladat/ Gyjtemny

I. Az egyenes pontjai, brzolsa 1. Rhangolds (frontlis) 2. Csoportalakts 3. Egyenesek vizsglata (feldarabolt ngyzetek, majd annak egy rsze) 4. Egyenes brzolsa, leolvassa, meredeksg (tanri sszefoglal, frontlis) 5. Feladatok megoldsa (csoportmunkban) Metakognci, figyelem Kooperci, kommunikci, metakognci, szmols Kooperci, kommunikci, metakognci, szmols, becsls, rendszerezs, kombinatv gondolkods Rendszerezs, figyelem, deduktv s induktv kvetkeztets Kooperci, kommunikci, szmols, becsls, kombinatv gondolkods 112. feladatokbl vlogatunk Bemutat 6.2 krtyakszlet (elbb a teljes, majd csak egy rsze) 1. mintaplda (bemutat) 6.1 krtyakszlet


Tanri tmutat

7

II. Az egyenes egyenlete 1. Egyenes pontjai kztti kapcsolat felfedezse (csoportmunkban) Kooperci, kommunikci, metakognci, szmols, becsls, kombinatv gondolkods 2. Grbe, egyenes egyenlete (frontlis tanri magyarzat) Rendszerezs, figyelem, deduktv s induktv kvetkeztets 3. Az egyenes irnyjellemzinek felfedezse (csoportmunkban tlet- Kooperci, kommunikci, roham, majd frontlis tanri magyarzat irnyszg, irnyvektor, normlvektor, irnytnyez) 5. Egyenesek egyenletvel kapcsolatos alapfeladatok (csoportmunkban, javasolt az ellenrzs prban mdszer) metakognci, deduktv s induktv kvetkeztets, szmols, becsls, brzols Kooperci, kommunikci, figyelem. Deduktv s induktv kvetkeztets, szmols, becsls, brzols. Matematikai szveg rtse, kpletek alkalmazsa. 6. Igaz-hamis tot (ellenrzs, csoportmunka) Kooperci, kommunikci, metakognci, deduktv s induktv kvetkeztets, szmols 7. Az egyenes egyenleteinek alkalmazsai (feladatmegolds csoportmunkban) Kooperci, kommunikci, ls. Matematikai szveg rtse, kpletek alkalmazsa 3. mintaplda csoportban, vlogatunk metakognci, szmols, becsls, brzo- majd 2227. feladatokbl 6.3 tot 1321. alapfeladatok kzl vlogatunk Bemutat, fggvnytbla Bemutat 2. mintaplda

4. Az egyenes egyenleteinek ismertetse (frontlis tanri magyarzat) Rendszerezs, figyelem


Tanri tmutat

8

III. Egyenesek klcsns helyzete 1. Egyenesek metszspontjnak meghatrozsa (frontlis tanri magyarzat) 2. Prhuzamos s merleges egyenesek (tapasztalatszerzs csoportmunkban, majd tanri sszefoglal) 3. Feladatok megoldsa (tetszleges mdszerrel) 4. Rszsszefoglals, ellenrzs (csoportmunka, javasolt: dikkvartett) 5. Irnytnyezvel kapcsolatos mintapldk (frontlis feladatmegolds) 6. Irnytnyezvel kapcsolatos feladatok megoldsa (tetszleges mdszerrel, javasolt csoportmunka: ellenrzs prban) IV. Vegyes feladatok 1. Nehezebb feladatok megoldsa (frontlis feladatmegolds; javasolt: Metakognci, figyelem, szmols, becs- 4561. feladatok kzl vtkrzses feladatok, hromszggel s ngyzettel kapcsolatosak) ls, brzols, matematikai szveg rtse, kpletek alkalmazsa logatunk Szmols, becsls, brzols, kpletek alkalmazsa Szmols, figyelem, rendszerezs, kooperci, kommunikci, metakognci Szmols, becsls, brzols, kpletek alkalmazsa, figyelem, deduktv s induktv kvetkeztets Szmols, becsls, brzols, kpletek alkalmazsa 3744. feladatok kzl vlogatunk 2836. alapfeladatok kzl vlogatunk 6.4 trimin, 6.5 diagnosztika 5. s 6. mintaplda Deduktv s induktv kvetkeztets, szmols, figyelem, pldakvets, rendszerezs, kommunikci, kooperci 4. mintaplda, bemutat Bemutat

6. modul: Koordintageometria1 Az egyenes

Tanri tmutat

9

I. Az egyenes pontjai, brzolsaMdszertani megjegyzs: Az els rn nincs szksg a Tanulk knyvre. A tanr a modulhoz ksztett bemutatt s krtyakszleteket hasznlja, a dikok az eszkzket s a fzetket. A koordintk s a velk kapcsolatos tevkenysgek tszvik a mindennapjainkat mg akkor is, ha ezzel nem vagyunk tisztban. Mobiltelefonok hasznlata, mholdas helymeghatrozs, brk, kpek, honlapok monitoron trtn megjelentse, ad-vev antennk teleptse, csillagok tanulmnyozsa, robottevkenysgek tervezse: mind-mind olyan feladat, amikor szksg van a koordintkra mint a helymeghatrozs vagy a mozgsok lersnak legalapvetbb eszkzre. Ebben a modulban megismerjk azokat a problmkat a koordintageometribl, amelyeket egyenesekkel tudunk megoldani. A koordinta-rendszert tartalmaz skot koordintasknak nevezzk. Ha kiegsztjk egy orign thalad, mindkt koordintatengelyre merleges z tengellyel (szmegyenessel), akkor trbeli koordinta-rendszert kapunk. A koordinta-rendszer x tengelyt abszcisszatengelynek, y tengelyt ordintatengelynek nevezzk. A koordintaskon minden pontot egy rendezett (azaz nem felcserlhet) vals szmpr jellemez. A szmpr els tagjt abszcissznak, msodik tagjt ordintnak nevezzk. Ezek a pont koordinti. Pont ( abszcissza; ordinta ) Mdszertani megjegyzs: Az 1. mintaplda feldolgozst a Tanulk knyvben megjelenttl eltren oldjuk meg. Ennek az az oka, hogy a tanulkat rvezessk: egy pont akkor eleme egy egyenesnek, ha koordintit behelyettestve igazz teszik az egyenes egyenlett. Ezt egyms utni tanri krdsekkel vilgtjuk meg, amelyeket termszetesen nem rtunk bele a tanuli pldnyba, de a modulhoz tartoz bemutatn megtallhatk.

Mintaplda1nesnek? Megolds:

Dntsk el, hogy a P(1; 0), az R(3; 6) s az S(20; 40) pont eleme-e az e : y = 2 x 2 egye-

Aki tud egyenest brzolni, az a P s R pontrl valsznleg knnyen el tudja dnteni, hogy rajta van-e, vagy sem. Azonban a 40 mint koordin-

Matematika A 11. vfolyam

Tanri tmutat

10

ta ltalban kvl esik azon a tartomnyon, amit brzolni szoktunk, ezrt tallnunk kell egy msik mdszert az eldntsre. Tanri krds lehet: Az brn lthat az e egyenes grafikonja. Olvassuk le az e egyenes nhny pontjt! (0; 2), (1; 4), (2, 6), (2; 2), (3; 4), Mondjunk tovbbi pontokat, amelyek az egyenesen tallhatk! Mi a mdszer, ami alapjn dolgozhatunk? Egy pont akkor eleme egy egyenesnek, ha a pont megfelel koordintit az egyenes egyenletbe behelyettestve, az egyenes egyenlete igazz vlik.

Mskppen fogalmazva egy pont akkor van rajta az egyenesen, ha a pont koordinti kielgtik az egyenes egyenlett. Az S(20; 40) pont koordintit behelyettestve az e egyenes egyenletbe: 40 = 2 20 2 lltst kapjuk, ami nem igaz. Az S pont koordinti nem teszik igazz az egyenes egyenlett, ezrt S nem eleme e egyenesnek. Ezzel szemben a P(1; 0) pont esetben 0 = 2 1 2 valban fennll, vagyis P e . Hasonlan: R e , mert 6 2 ( 3) 2 .

Csoportalakts 6.1 krtyakszlettel Mdszertani megjegyzs: A tovbbiakban a tananyagot csoportbontsban clszer feldolgozni. Csoportbontshoz hasznljuk a 6.1 krtyakszletet. A tanulk feladata az, hogy megtalljk azokat a trsaikat, akik a krtyjukon ugyanarra az egyenesre illeszked pontot kaptak. 9 egyenes, s hozz 36 kis krtya van a krtyakszletben. Minden krtya szmozott, gy knynyen kivehetk azok a krtyk, amelyekre nincs szksg (mert 36-nl kevesebb tanul van). Az egyenesek egyenleteit javasoljuk kivetteni, a bemutatban tallhat dia segtsgvel. A modulvzlatban megtallhat az eredmny.

Feldarabolt ngyzetek (6.2 krtyakszlet) Mdszertani megjegyzs: A kvetkez feladat csoportmunka: minden csoport megkapja a 6.2 krtyakszletet, amelyben 8 egyenes grafikonja, egyenlete, tengelymetszetei s 2 pontja alkot


Tanri tmutat

11

egy ngyzetet. A feladat az, hogy az sszetartoz krtykat csoportostva, mind a 8 nagyobb ngyzetet rakjk ki. A modulvzlatban megtalljuk az eredmnyt.

Egyenesek vizsglata (6.2 krtyakszlettel) Mdszertani megjegyzs: Most csak a 6.2 krtyakszletbl az egyenesek egyenleteit s grafikonjt tartalmaz krtykkal dolgozunk. 1. Mind a 8 egyenletbl fejezzk ki a tanulk y-t. 2. Vizsgljk meg, hogy mi lehet a kapcsolat az y = mx + b alak egyenlet s az egyenes grafikonja kztt! Az egyenesek grafikonjnak elksztsekor az egyenes egyenletnek y = mx + b alakjt hasznltuk ltalnos iskolban. m jelenti a meredeksget, b pedig azt az rtket, ahol az egyenes metszi az y tengelyt. A meredeksg megmutatja, hogy ha az egyenes egyik pontjtl 1 egysggel x irnyba lpnk, akkor y irnyba hny egysget kell lpnnk egy msik pont megjellshez. Pldul az y = 2 x 5 egyenes esetn m = 2, b = 5 .

brzolskor az y tengelyen 5 rtkhez bejelljk az egyenes egy pontjt. Az egyenes egy msik pontjt kapjuk, ha 1-et jobbra, 2-t felfel lpnk a meredeksgnek megfelelen. Ekkor az (1; 3) pontba rnk.

Megjegyzs: A koordinta-rendszerben egy egyenest gy is brzolhatunk, hogy meghatrozzuk kt tetszleges pontjnak koordintit, ezeket kijelljk s sszektjk. Mdszertani megjegyzs: A kvetkez feladatok megoldst dikkvartett keretben javasoljuk.

Feladatok1. Dntsd el, hogy eleme-e az e egyenesnek a P pont!

1) e : 2 x y = 6 , P(5; 4); 3) e : 3 y + 2 x 5 = 0 , P(1; 3); Megolds: Igen: 1) s 2), nem: 3) s 4).

2) e : x + 4 y = 10 , P(2; 3); 4) e : 3x = y + 6 , P(3; 14).


Tanri tmutat

12

2. Vlaszd ki, hogy p mely rtke mellett illeszkedik az A(4, 2) pont az e : 3x + py = 20

egyenesre! Megolds: d) 4.

a) 4;

b) 0,5;

c) 0,25;

d) 4;

e) 0.

3. Vlaszd ki a megadottak kzl az e : 3x 5 y = 4 egyenes y tengellyel alkotott metszs-

pontjt!4 a) ; 5 b) 4 ; 34 c) 0; ; 5 4 d) ; 0 ; 3 e) (3; 0).

4 Megolds: c) 0; . 5

4. A P(4; 6) pont illeszkedik az y = mx + 3 egyenesre. Mennyi az egyenes meredeksge?

a) 4;

4 b) ; 3 3 . 4

c) 3;

d)

3 ; 4

e)

3 4

Megolds: d)

5. Melyik rtknl metszi az e : 3x 2 y = p egyenes az y tengelyt, ha az egyenes tmegy az

R(6; 7) ponton?

a) 3;Megolds: b) 2.

b) 2;

c)

3 ; 2

d)

2 ; 3

e) 2.

Mdszertani megjegyzs: A kvetkez feladatokban az egyenesek jellemz adatainak, vala-

mint egyenletnek leolvassa s brzolsa a cl. Tbb olyan feladat is elfordul, amelyeket ksbb szmtssal, s nem leolvasssal kell megoldani (akkor majd hatrozd meg vagy szmtsd ki lesz a feladat kitzsben), s erre a jvben figyelnnk kell. rettsgin nem fogadjk el az egyenes egyenletnek leolvasst, azonban a legtbb koordintageometriai feladat ellenrzsben segt, ha biztonsggal brzolnak egyeneseket s olvassk le az egyenleteket a koordinta-rendszerbl.


Tanri tmutat

13

6. Add meg az 5 x + y = 12 egyenes tengelymetszeteit (vagyis azokat az rtkeket, ame-

lyeknl az egyenes metszi a tengelyeket), s mg 2-2 pontjt brzols nlkl!Megolds: (2,4; 0) s (0; 12).

7. Hatrozd meg az 5 x 2 y = 10 egyenes metszspontjt az x tengellyel!

Megolds: (2; 0)

8. Adott egy hromszg hrom cscsa: A(9; 4), B(3; 4) s C(11; 4). Olvasd le az

oldalegyeneseinek jellemz adatait s rd fel azok az egyenleteit!Megolds: y = 4; y =

2 x + 2; y = x + 7 . 3

9. Adott egy hromszg oldalegyeneseinek egyenlete: 2 y + x + 4 = 0; x = y 7; y + 2 x = 4 .

brzold koordinta-rendszerben a hromszget, add meg cscspontjainak koordintit, s hatrozd meg a hromszg terlett!Megolds: A cscspontok leolvashatk: (6; 1), (1; 6), (4; 4). A terlet 37,5 terletegysg.

10. Hatrozd meg annak az egyenesnek az egyenlett, amelynek meredeksge 2, s

a) az y tengelyt az A(0; 3) pontban metszi! b) az x tengelyt a (4; 0) pontban metszi!Megolds: Hasznljuk az y = mx + b alakot, behelyettestve az adott pont koordintit.

a) 3 = 2 0 + b , ahonnan b = 3. Az egyenes egyenlete: y = 2 x + 3 . b) 0 = 2 4 + b , ahonnan b = 8. Az egyenes egyenlete: y = 2 x + 8 .

11. Hatrozd meg annak az egyenesnek az egyenlett, amelynek meredeksge 0,4, s t-

megy az (5; 1) ponton!Megolds: y = mx + b 1 = 0,4 5 + b , ahonnan b = 3. Az egyenes egyenlete: y = 0,4 x 3 .

12. Adott egy hromszg hrom cscsa: A(5; 2), B(2; 3) s C(3; 1).

a) Lehet-e az e : x = y + 1 egyenes a hromszg egyik oldalegyenesnek egyenlete?


Tanri tmutat

14

b) Lehet-e az f : x = 3 y egyenes a hromszg egyik slyvonalnak egyenlete?Megolds:

a) Nem, mert nincs olyan pont a megadottak kztt, amely illeszkedik az egyenesre. b) Igen, mert AB felezpontja ( 1,5; 0,5), ami C-vel egytt igazz teszi f egyenlett.


Tanri tmutat

15

II. Az egyenes egyenleteRejtvny

Mdszertani megjegyzs: A kvetkez mintapldt csoportoknak adjuk fel, hogy a keresett

sszefggseket megvitassk egyms kztt. tletknt javasolhatjuk a tanulknak, hogy hasznljk a koordinta-rendszert s az elz anyag tapasztalatait.

Mintaplda2

Megadunk nhny pontot, amelyek egy-egy egyenesen vannak. Keressnk sszefggst a pontok koordinti kztt! a) A( 2; 1), B(4; 3), C(10; 5); c) A( 4; 1), B( 4; 2), C( 4; 5);Megolds:

b) A(5; 2), B( 2; 2), C(11; 2); d) A(0; 4), B( 3; 6), C(12; 4).

A hrom pont egy egyenesen fekszik. brzols utn leolvashatjuk az egyenesek egyenleteit: a) x = 3 y 5 ; b) y = 2 ; c) x = 4 ; d) 2 x + 3 y = 12 .

A koordintageometriban a pontokat mindig koordintikkal jellemezzk. Az alakzatoknak vgtelen sok pontja lehet (egyenesek, krk, parabolk stb.), ezrt nem lehet egy alakzatot gy megadni, hogy a pontjait felsoroljuk. Helyette megadjuk azt, hogy milyen szably rvnyes az alakzat pontjainak koordintira. Pldul az e: x = 3 y 5 sszefggs egy egyenest ad meg, s minden ktismeretlenes, elsfok egyenlet (x s y ismeretlenekkel) megfeleltethet egy egyenesnek a koordintaskon. gy is fogalmazhatunk, hogy 1. az egyenes minden pontjnak kt koordintjra rvnyes az egyenletben megadott sszefggs (vagyis az e pontjainak x s y koordintjra rvnyes, hogy x = 3 y 5 ), ugyanakkor 2. csak az egyenesen tallhatk olyan pontok a koordintaskon, amelyeknek koordintira rvnyes az sszefggs (vagyis az sszes pont, amelynek x s y koordintjra

3x y = 5 fennll, rajta van az e egyenesen).

Megjegyzs: Sok alakzat egyenlete az egyenes egyenletnl algebrailag bonyolultabb. Az albbi bra pldkat mutat grbkre s egyenleteikre:


Tanri tmutat

16

ltalnossgban egy alakzat egyenletn olyan egyenletet rtnk, amelyet az akakzat pontjainak koordinti, s csakis azok tesznek igazz.

Mskppen fogalmazva, egy alakzat egyenlett pontjainak koordinti kielgtik, s a pontjain kvl semmilyen ms pont koordinti nem elgtik ki. Ha az alakzat egyenlete y = 4 , akkor a pontjai (x; 4) alakak, ahol x vgigfutja a vals szmok halmazt. Ez az alakzat egy x tengellyel prhuzamos egyenes.

Egy alakzat egyenlete alkalmas arra is, hogy ha egy pontjnak megadjuk az egyik koordintjt, akkor az egyenletbl meghatrozhatjuk a msik koordinta rtkt. Pldul ha a pont a 3x y = 5 egyenes egyik pontja, s a pont y koordintja 1, akkor ezt behelyettestve az egyenletbe, megkapjuk a pont x koordintjt: 3x 1 = 5 x = 2 , vagyis a pont a (2; 1).Megjegyzs: A szmtgpek a grbket ugyanilyen elv alapjn troljk s brzoljk: rszgrbkre bontjk, s a kppontok helyett a grbk egyenleteinek megfelel kifejezseket, kiszmtott llandkat troljk.

Az egyenes irnynak jellemziMdszertani megjegyzs: Javasoljuk, hogy csoportmunkban a tanulk keressenek tovbbi

jellemzket, amelyek meghatrozhatjk az egyenesek irnyt. Szgek, vektorok jhetnek szmtsba, azonban hagyjuk, hogy ezeket k maguk talljk ki. A Tanulk knyvt nem nyithatjk ki. Javasolt mdszer: tletroham. Ha vgkpp nem megy, akkor keresztkrdsknt feltehetjk ezeket:


Tanri tmutat

17

1. Mi a kapcsolat az y = 3x 4 egyenes, az (1; 3) vektor s a (2; 6) vektor kztt? 2. Mi a kapcsolat az y = 2 x + 3 egyenes, a ( 2; 1) vektor s a (4; 2) vektor kztt? 3. Mi a kapcsolat az y = x + 2 egyenes, a (3; 3) vektor s 45 kztt?

Az egyenes irnyt jellemz mennyisgek: irnyvektor, v(v1; v2): olyan vektor, amely az egyenessel prhuzamos, s hossza nem nulla; normlvektor, n(A; B): olyan vektor, amely az egyenesre merleges, s hossza nem nulla; irnyszg, : az egyenesnek az x tengely pozitv irnyval bezrt szge,

nagysga 90 < 90 ;meredeksg, m: pldul az y = mx + b alak egyenes egyenletbl hatrozhatjuk meg; azt

mutatja meg, hogy az x tengely pozitv irnyba egysgnyit lpve mennyit emelkedik vagy sllyed az egyenes.

Az egyenes meredeksgnek kt msik elnevezst is hasznljuk: irnytnyez s irnytangens. A meredeksg az egyenes irnyszgnek tangensvel egyenl:

m = tg .Megjegyzs: Nem minden egyenesnek van meredeksge. 90-nak nincs tangense, ezrt az x = lland egyenlet, y tengellyel prhuzamos egyenesek esetn irnytnyezrl nem beszlhetnk.


Tanri tmutat

18

Az egyenes egyenleteiMdszertani megjegyzs: Az egyenesek egyenletei a fggvnytblban megtallhatk. Szok-

tassuk r dikjainkat, hogy a feladat adatainak megfelel sszefggst megtalljk, s azt helyesen alkalmazzk. Egyszersge miatt a normlvektoros s az irnytnyezs egyenleteket hasznljuk a megoldsok sorn, de termszetesen ez nem ktelez. Az egyenes egyenletnek felrshoz szksgnk van az egyenes egy pontjra, amitP0(x0; y0)-lal jellnk. Ezenkvl vagy egy msik pont, vagy egy olyan adat, amelyik az egye-

nes irnyt jellemzi. A v(v1; v2) irnyvektor, P0 (x0; y0) ponton tmen egyenes egyenlete (rviden irnyvektoros egyenlet): v2 ( x x0 ) = v1 ( y y0 ) , talaktott formjban v2 x v1 y = v2 x0 v1 y 0 . Az n(A; B) normlvektor, P0(x0; y0) ponton tmen egyenes egyenlete (rviden normlvektoros egyenlet): Ax + By = Ax0 + By0 . Az m irnytangens, P0(x0; y0) ponton tmen egyenes egyenlete (rviden irnytnyezs egyenlet): y y0 = m( x x0 ) . Ezt talaktva kapjuk a jl ismert y = mx + b alakot (b = y0 mx0 ) .Megjegyzsek: 1. Ha P1 ( x1 ; y1 ) s P2 (x2 ; y 2 ) az egyenes kt pontja, akkor egy irnyvektor a pontok koordintibl is meghatrozhat: v (v1; v2) = v (x2 x1; y2 y1)

2. Az egyenes egyenletei egymsbl levezethetk. A meredeksg s az irnyvektor kztt talljuk a kvetkez kapcsolatot:m = tg = v2 y 2 y1 = . v1 x2 x1

Ezt berva az irnytnyezs egyenletbe: y y0 =

v2 ( x x0 ) . v1 v1-el szorozva v1 ( y y 0 ) = v 2 ( x x0 ) , vagyis az irnyvektoros egyenlet addik.


Tanri tmutat

19

3. A normlvektoros egyenlet is levezethet az irnyvektoros egyenletbl. Ehhez azt hasznljuk fel, hogy a normlvektort +90-kal vagy 90-kal elforgatva az egyenes egy irnyvektort kapjuk: n(A; B) (B; A). v1 helybe B -t, v2 helybe (A) -t helyettestnk az irnyvektoros egyenletbe, s talaktjuk: A ( x x0 ) = B ( y y0 ) Ax0 + By0 = Ax + By . 4. Az ismertetett egyenleteken kvl az egyenesnek tbb egyenlete is ismeretes. Az egyenes egyenletnek ltalnos alakja: Ax + By + C = 0, ahol A, B s C llandk (A s B kzl legfeljebb az egyik lehet 0, azaz A 2 + B 2 0 ). Trben ez kiegszl az Ax + By + Cz + D = 0 alakra ( A 2 + B 2 + C 2 0 ).Mdszertani megjegyzs: rdekld dikok figyelmt felhvhatjuk tovbbi pldkra. Az

egyenes egyenletnek ltezik tengelymetszetes alakja, Hesse-fle normlalakja, paramteres egyenletrendszere stb., valamint a fggvnytblban megtallhat a kt adott ponton tmen egyenes egyenlete is. A kvetkez feladatok megoldshoz javasoljuk a csoportmunkt, pldul az ellenrzs prban mdszert az ellenrz tanul megrajzolja az egyenest a koordinta-rendszerben. nll munka esetn krjk az bra elksztst is az egyenes egyenletnek felrsn kvl.

Feladatok13. Hatrozd meg a kvetkez egyenesek meredeksgt, irnyszgt, valamely irnyvekto-

rt s normlvektort!

Megolds:

a) m = tg =

1 26,6 , v(2; 1), n(1; 2) vagy n(1; 2); 2 3 123,7 , v(2; 3), n(3; 2) vagy n(3; 2); 2 2 146,3 , v(3; 2), n(2; 3) vagy n(2; 3). 3

b) m = tg = c) m = tg =


Tanri tmutat

20

14. rd fel annak az egyenesnek az egyenlett, amelynek irnyvektora v, s tmegy a meg-

adott ponton! a) v(3; 5), A(1; 3); c) v(0; 4), C(0; 0); Megolds: a) 5 x 3 y = 4 ; b) 7 x + 2 y = 6 ;

b) v(2; 7), B(0; 3); d) v(2; 2), D(4; 6). c) x = 0 ; d) x + y = 10 .

15. rd fel annak az egyenesnek az egyenlett, amelynek normlvektora n, s tmegy a

megadott ponton! Megolds: a) 3x + 5 y = 9 ;

a) n(3; 5), A(3; 0); c) n(5; 10), B(2; 4); b) y = 0 ; c) x + 2 y = 6 ;

b) n(0; 2), C(0; 0); d) n(3; 2), D(3; 2). d) 3 x + 2 y = 5 .

16. rd fel annak az egyenesnek az egyenlett, amelynek meredeksge m, s tmegy a

megadott ponton!

a) m =

3 , A(4; 2); 4

b) m = 1, B(2; 2); d) m = 0, D(2; 2). d) y = 2 .

2 c) m = , C(4; 2); 3 Megolds: a) y = 3 x 5; 4 b) y = x 4 ;

2 2 c) y = x + ; 3 3

17. rd fel annak az egyenesnek az egyenlett, amelynek irnyszge , s tmegy a meg-

adott ponton!

a) = 45, A(3; 4) ; c) = 60, C (5; 1) ;

b) = 135, P (0; 2) ; d) = 141,3, R(5; 6) .

Megolds: a) y = x + 7 ;

b) y = x + 2 ;

c) y = 3 x 1 5 3 ;

d) y = 0,8 x + 10 .

18. Hatrozd meg a kvetkez egyenesek irnyszgt, valamely irnyvektort s norml-

vektort!

a) e : 2 x y = 5 ; d) h : y = 3 .

b) f : 4 y 7 = 2 x ;

c) g : x + 7 = 0 ;

Megolds: Egy normlvektor leolvashat az Ax + By = Ax0 + By0 alakbl, a meredeksg pedig az y = mx + b alakbl, de a feladat mskppen is megoldhat, pldul m = Eredmnyek: a) n(2; 1), v(1; 2), m = 2; c) n(1; 0), v(0; 1), m nincs; v2 A = . v1 B

b) n(2; 4), v(4; 2), m = 0,5; d) n(0; 1), v(1; 0), m = 0.


Tanri tmutat

21

19. Az egyenes ngy irnyjellemz adatbl (, m, v s n) egyet megadtunk. Add meg a

tbbi jellemz rtkt!

a) m =

2 ; 3

b) v( 3; 7); d) = 66,04 .

c) n( 5; 3); Megolds: a) v 1; 2 2 , n ; 1 , 33,7 ; 3 3

7 b) n(7; 3), m = , 113,2 ; 3 d) m 2,25 , v(1; 2,25), n(2,25; 1).

5 c) v(3; 5), m = , 121 ; 3

6.3 igaz-hamis tot: igaz-hamis krdsek az egyenes jellemzirl

Mdszertani megjegyzs: Minden csoport kap egyet a totbl, amelyet adott idre kell kitlteni. Javasoljuk, hogy ezutn a tanr maga javtsa ki gy kap egyfajta kpet arrl, hogy a tanulk mennyire rtik az anyagot.

Mintaplda3

Adott A(4; 1), B(4; 5) s C(4; 5). rjuk fel az ABC hromszg nhny nevezetes vonalnak egyenlett: mc magassg, sa slyvonal s kc kzpvonal egyenlett keressk.

Megolds:Az egyenesek egyenlethez olyan vektorokat keresnk, amelyek prhuzamosak az adott egyenessel vagy merlegesek r.

mc felrshoz az AB vektort hasznljuk, mert merleges mc-re, gy normlvektor: n = AB(b1 a1 ; b2 a 2 ) = AB (8; 4) n( 8; 4) mc : C (4; 5) Ax + By = Ax0 + By08x + 4 y = 8 4 4 5 / : 4 mc : 2 x + y = 3 sa egyenes prhuzamos AF vektorral. Az AF -t meghatrozzuk, ez a keresett slyvonal egyenesnek egyik irnyvektora. Az egyenes egyenletnek meghatrozshoz mindegy, hogy az A vagy az F pont koordintit helyettestjk be, ugyanazt az eredmnyt kapjuk.


Tanri tmutat

22

b +c b +c A felezpont: F 1 1 ; 2 2 = F (4; 0) , 2 2AF ( f1 a1 ; f 2 a 2 ) = AF (8; 1)

v(8; 1) sa : F (4; 0)

v 2 x v1 y = v 2 x0 v1 y 0 x 8 y = (1) 4 8 0 sa : x + 8 y = 4

kc kzpvonallal prhuzamos az AB , s a kzpvonal tmegy az F felezponton. MivelAB(8; 4 ) , ezrt a normlvektor: n(4; 8).

n( 4; 8) kc : F (4; 0)

4 x 8 y = 4 4 + ( 8) 0 / : 4 c : x 2y = 4

Ax + By = Ax0 + By0

Feladatok20. Kszts vzlatot, majd rd fel az AB szakasz felezmerlegesnek egyenlett!

a) A( 1; 5), B(5; 1); c) A( 3; 1), B(1; 7); Megolds:

b) A( 3; 2), B(7; 4); 8 10 d) A ; 3 , B ; 1 . 3 3 b) 5 x 3 y = 13 ; d) 3x y = 1 .

a) F(3; 3), n = AB(4; 4) , y = x ; c) x 2 y = 5 ;

21. Adott egy hromszg hrom cscsa: A(3; 5), B(0; 4), C( 4; 4). Lehet-e az

e : 2 y = x + 7 egyenes a hromszg egyik magassga? Megolds: Segt az brzols, mert megsejthet belle, hogy melyik oldalhoz tartoz magassg lehet az e egyenes. BC ( 4; 8) , az e egyenes normlvektora (1; 2), vagyis e merleges BC oldalra. A koordinti igazz teszik e egyenlett, ezrt A illeszkedik e-re, s gy e az ABC hromszg A-beli magassga.22. Hatrozd meg annak az egyenesnek az egyenlett, amelyik a tengelyeket az A s B

pontokban metszi! a) A(3; 0), B(0; 6); b) A(4; 0), B(0; 2); c) A(6; 0), B(0; 5); d) A(3; 0), B(0; 5). Megolds: a) v = AB( 3; 6 ) n(6; 3); brmelyik ponttal: 2 x + y = 6 ; b) 2 y = x + 4 ; c) 6 y + 5 x + 30 = 0 ; d) 5 x 3 y = 15 .


Tanri tmutat

23

23. Mekkora terlet hromszget vg le a tengelyekbl az az egyenes, amely az AB vek-

torral prhuzamos, s tmegy a P ponton? a) A(2; 5), B(4; 2), P(3; 1); b) A(1; 4), B(2; 2), P(4; 4). Megolds: a) v = AB(2; 3) n(3; 2); az egyenes: 3x + 2 y = 11 , tengelymetszetei: x= 1 11 11 121 11 11 10,1 t.e.; , y = , a terlet: T = = 2 3 2 12 3 2

b) v = AB( 3; 2 ) n(2; 3); az egyenes: 2 x 3 y = 4 , tengelymetszetei: x = 2 , y= 1 4 4 4 , a terlet: T = 2 = 1,3 t.e.. 2 3 3 3

24. Egy hromszg oldalfelez pontjai P(3; 0), Q(0; 2) s R(2; 2). Hatrozd meg a h-

romszg oldalait alkot egyenesek egyenleteit! Megolds: Pldul a PR irnyvektor, Q-n thalad egyenes az egyik oldalegyenes. A keresett egyenletek: 2 x + 3 y = 10; y = 2 x + 6; 2 x 5 y = 10 .25. Adott A(3; 4), B(5; 4) s C(0; 2). rd fel az ABC hromszg legrvidebb oldalnak

s a hozz tartoz nevezetes vonalaknak (oldalfelez merleges, magassg, slyvonal, kzpvonal) az egyenleteit! Megolds: A legrvidebb oldal az AC. Egyenlete: y = 2 x + 2 , az oldalfelez merleges: x + 2 y = 3,5 , a magassgvonal: 2 y = x 3 , a slyvonal: 6 x 13 y = 22 , a kzpvonal: 2 x + y = 6 .26. Bizonytsd be, hogy A(7; 0), B(1; 2) s C(8; 5) egy egyenesbe es pontok!

1. Megolds: Meghatrozva az AB s AC vektorokat megllapthat, hogy ezek egyms skalrszorosai: AB(6; 2 ) s AC (15; 5) , AC = 5 AB , gy prhuzamos vektorok. Mivel 2

kezdpontjuk megegyezik, a hrom pont egy egyenesbe esik. 2. Megolds: Felrjuk brmelyik kettn tmen egyenes egyenlett ( 3 y = x + 7 ) s a harmadik pont koordintit behelyettestve megmutatjuk, hogy azok igazz teszik az egyenletet.27. Adottak az A(5; 4), B(1; 0) s C( 11; 6) pontok. Bizonytsd be, hogy ez a hrom pont

nem esik egy egyenesbe! Megolds: Az AB egyenes egyenlete: 2 x + 3 y = 2 . A C koordinti nem teszik igazz az egyenletet.


Tanri tmutat

24

III. Egyenesek klcsns helyzeteEgyenesek metszspontjaKt metsz egyenes metszspontja mindkt egyenesre illeszkedik, ezrt a metszspont koordinti igazz teszik mindkt egyenes egyenlett.Az egyenesek (s brmely kt grbe) metszspontjt gy hatrozzuk meg, hogy megoldjuk az egyenleteikbl ll egyenletrendszert.

Feladatok28. Egy ngyzet A cscsbl kiindul kt oldalnak egyenlete y = 2 x 4 s 2 y + x = 22 .

Vlaszd ki az A cscs az origtl mrt tvolsgt az albbiak kzl! a) 6; b) 7; c) 8; d) 9; e) 10. Megolds: A(6; 8), s 10 egysg a tvolsg: e).

29. Kszts vzlatot, majd hatrozd meg annak az egyenesnek az egyenlett, amelyik tha-

lad az e s f egyenes metszspontjn, s mg egy adott P ponton! a) e : x + y = 1; b) e : 2 y = x + 1; c) e : 2 y = 2 x + 17; Megolds: a) Az egyenletrendszer megoldsa utn a metszspont: R(2; 1) , a megolds: y = 1 ; b) A metszspont: R(7; 4 ) , a megolds: 3x 4 y = 5 ; c) A metszspont: R( 4; 4,5) , a megolds: 4 y + 7 x = 10 .f : y + 5 = 2 x; P( 3; 1) ; P( 1; 2 ) ;

f : 2 y + 13 = 3 x;

f : 4 y + 3 x = 6; P( 2; 1) .


Tanri tmutat

25

30. Adott a hromszg hrom cscsa: A(5; 5), B(7; 1), C(1; 7). Hatrozd meg az C

cscshoz tartoz magassg talppontjt! Megolds: A talppont: T = c mc . Az mc egyenes normlvektora: AB(12; 4 ) , s az egyenes tmegy az C cscson. Egyenlete: mc : 3x y = 4 . A c oldal egyenlete: c : x + 3 y = 10 , metszspontjuk: T (2,2; 2,6 ) .

31. Adott a hromszg hrom cscsa: A(0; 6), B(6; 2), C(4; 2). Hatrozd meg a kvetke-

z pontokat: a) Az a oldalhoz tartoz magassg s a b oldalhoz tartoz slyvonal metszspontja; b) A c oldalhoz tartoz magassg s a c oldalhoz tartoz kzpvonal metszspontja; c) A hromszg magassgpontja; Megolds:

n = BC (10; 4) a) ma : ma : 5 x 2 y = 12 ; A(0; 6) a + c a + c2 F 1 1 ; 2 = F (2; 2); s b : y = 2 2 2 Az egyenletrendszert megoldva, a keresett pont: ( 1,6; 2 ) . b) Hasonlan: mc : 3x + 2 y = 8; k c : 2 x 3 y = 2 . 20 22 A metszspont: ; . 13 13

1 19 c) M = ma mc , a magassgpont: M ; . 2 4


Tanri tmutat

26

Prhuzamos s merleges egyenesek Mintaplda4Mdszertani megjegyzs: a bemutat segtsgvel rdemes kivetteni a mintapldt, vagy sokszorostva kiadni a csoportoknak. Egy hromszg cscsai: A(0; 3), B(8; 3), C(4; 5). a) rjuk fel a C csccsal szemkzti oldalegyenes (c), a c oldalhoz tartoz magassg (m) s oldalfelez merleges (f), valamint a c oldallal prhuzamos kzpvonal (k) egyenlett! b) Hatrozzuk meg c, k, m s f egyenesek valamely irnyvektort, valamely normlvektort s meredeksgt! c) Hasonltsuk ssze az elbb kapott rtkeket s keressnk szablyt: mikor prhuzamos egymssal kt egyenes, illetve mikor merleges egymsra kt egyenes? Megolds: 90 a) AB(b1 a1 ; b2 a2 ) AB(8; 6) (6; 8) a +c a +c AC felezpontja: 1 1 ; 2 2 = ( 2; 1) , 2 2 a +b a +b AB felezpontja: 1 1 ; 2 2 = (4; 0) , 2 2 v = AB (8; 6) c: c : 3x 4 y = 12 A(0; 3) n = AB(8; 6) m: c : 4 x + 3 y = 9 A(0; 3) v = AB(8; 6) k : c : 3x 4 y = 10 (-2; 1) n = AB(8; 6) f : c : 4 x + 3 y = 16 (4; 0)

b) A normlvektorokat leolvassuk az egyenesek Ax + By = Ax0 + By0 alak egyenletbl: nc(3; 4); vc(4; 3); nk(3; 4); vk(4; 3); nm(4; 3); vm(3; 4); nf(4; 3). vf(3; 4). A normlvektort 90-kal elforgatva kapunk irnyvektorokat: A meredeksgeket leolvashatjuk, ha az egyenesek egyenleteit y = mx + b alakra talaktjuk, de hasznlhatjuk az m = mc = 3 4; mk = 3 4; v2 sszefggst is: v1 mm = 4 3; mf = 4 3.


Tanri tmutat

27

c)Egymssal prhuzamos egyenesek esetn az irnyvektorai, illetve a normlvektorai is prhuzamosak (egyms skalrszorosai).

Irnyvektora azonban vgtelen sok lehet egy egyenesnek, ezrt clszer az irnytnyezk kztt is sszefggst megfogalmazni (mrmint ha van az egyenesnek irnytnyezje). Termszetesen a prhuzamos egyenesek irnyszge megegyezik, mg a merleges egyenesek irnyszgnek klnbsge 90.Kt egyenes akkor s csak akkor prhuzamos, ha irnytnyezjk megegyezik:

e || f me = m f1 mf

Kt egyenes akkor s csak akkor merleges egymsra, ha irnytnyezjk egyms negatv reciproka:

e f me =

A fenti felttelrendszer csak irnytnyezvel rendelkez egyenesekre rvnyes. (A merleges esetben egyik irnytnyez sem nulla).

Feladatok32. Hatrozd meg annak az egyenesnek az egyenlett, amelyik merleges az f : y = egyenesre, s tmegy a P(3; 6) ponton! 7 7 45 Megolds: A keresett egyenes irnytnyezje: m = , egyenlete y = x + . rendezs 4 4 4 utn: 7 x + 4 y = 45 . 4 x+4 7

33. Hatrozd meg annak az egyenesnek az egyenlett, amelyik prhuzamos az

f : 4 y + x = 12 , egyenessel, s tmegy a P(5; 2) ponton!Megolds: Leolvassuk a normlvektort: nf(1; 4), ez a keresett egyenes normlvektora is egyben. Felrva a normlvektoros egyenletet, a megolds: x + 4 y = 3 .

34. Az e egyenes egyenlete: 4 y = px 5 .


Tanri tmutat

28

a) Igaz-e, hogy p = 3 esetn e prhuzamos az f : 3 y + 1 = 4 x egyenessel? b) p milyen rtke mellett lesz e merleges az f : 3 y + 2 = 12 x egyenesre? Megolds: a) talaktva az egyenes egyenlett: y = a meredeksg p 5 p x , vagyis a meredeksg . p = 3 esetn 4 4 4

3 4 1 4 . f meredeksge: f : y = x miatt . Mivel a kt meredeksg 4 3 3 3

nem egyenl, az egyenesek nem prhuzamosak. 2 b) f : y = 4 x . A merlegessg felttele az, hogy a meredeksgek egyms negatv 3 reciprokai legyenek: p 1 = p = 1 . 4 4

35. Az albbi egyenesek kzl melyik merleges az y + 2 x = 5 egyenesre?

e : y = 2x + 2Megolds: f.

f :y=

1 x+3 2

1 g : y = x 1 2

h : y = 2 x

i: y = x2

36. Hatrozd meg annak az egyenesnek az egyenlett, amelyik thalad e : 3 y = x + 10 s f : 2 y + x = 5 egyenesek metszspontjn, s prhuzamos a g : 3 y = 2 x + 2 egyenessel! Megolds: e s f metszspontja az egyenletrendszer megoldsa utn: P(1; 3). g normlvektora: (2; 3) lesz a keresett egyenes normlvektora. A vgeredmny h : 2 x 3 y = 11 .

37. Hatrozd meg annak az egyenesnek az egyenlett, amelyik thalad e : 2 y + 3x = 1 s f : 2 y + 3 = x egyenesek metszspontjn, s merleges a g : 3 y + 2 x = 25 egyenesre! Megolds: e s f metszspontja az egyenletrendszer megoldsa utn: P(1; 1). g normlvektora (2; 3), ezt 90-kal elforgatva (3; 2) lesz a keresett egyenes normlvektora. A vgeredmny h : 3x 2 y = 5 .


Tanri tmutat

29

6.4. trimin

Az eddigi feladatok sszefoglalsaknt hasznlhatjuk a 6.4 trimint, csoportmunkban.

6.5 diagnosztika

Diagnosztikai cllal javasoljuk a 6.5 kvetkez krdssort, amelyet dikkvartettben is feldolozhatunk. A bemutat tartalmazza a feladatokat, de feladatlapot is tallunk az eszkz lersnl. A feladat ismertetse utn adjunk idt a csoportoknak, hogy a vlaszt megbeszlhessk, majd a tanr jelre a csapatok szvivi egyszerre, feltartott ujjaik szmval jelzik a megolds szmt. Ha tbb megolds is van, akkor mindkt kzzel jelez egy-egy j megoldst a j megoldsok szma egyik krds esetben sem tbb kettnl. Olyan feladatok kvetkeznek, amelyekben az irnytnyezt clszer hasznlni.

Mintaplda53 Hatrozzuk meg a kvetkez kt egyenes hajlsszgt: e : y = 2 x 7 s f : y = x + 6 . 4 Megolds: A feladat megoldshoz clszer felrajzolni az egyeneseket s az brn megvizsglni a hajlsszgket, amelyek nagysga az irnytangensekbl szmthat: tg1 = 2 1 63,43 s tg = 3 2 36,87 . 4

A kt szg sszege adja a hajlsszget: 1 + 2 100,3 . Mivel ez 90-nl nagyobb, ezrt a megolds 180 100,3 = 79,7 .

Mintaplda6Hatrozzuk meg a kvetkez kt egyenes tvolsgt: e : y = 1. Megolds: szrevehetjk, hogy a kt egyenesnek egyenl az irnytnyezje, ezrt prhuzamosak. Az f egyenes egyik tetszleges pontjt (P) kivlasztva, ezen t merlegest lltunk az e egyenesre (g) s meghatrozzuk e s g metszspontjt (R). Vgl kiszmtjuk a PR tvolsgot (d). 3 3 x 4 s f : y = x + 3 . 2 2


Tanri tmutat

30

P(2; 6) g : 2 m = 3 R = e gd = PR =

y6 =

2 (x 2) 3

g : 2 x + 3 y = 22 68 50 R ; 13 13

e : 3x + 2 y = 8 g : 2 x + 3 y = 22

( p1 r1 )2 + ( p 2 r2 )2

PR =

196 3,9 . 13

2. Megolds: Tekintsk az brn lthat ABC derkszg hromszget, melynek szge az egyenesek irnyszgvel egyenl: m = tg = 3 2 56,3 .

Az AB tvolsg meghatrozshoz tudjuk, hogy AC = 7 egysg, s az ABC hromszgbl szgfggvnnyel kiszmtjuk a keresett tvolsgot:d = AC cos 3,9 .

Megjegyzs: Mindkt megoldsi mdszernek van elnye s htrnya. Az els megolds tbb szmolssal (s ezzel egytt tbb hibzsi lehetsggel is) jr, viszont pontos irracionlis rtket kapunk. A msodik esetben rvidebb, egyszerbb a szmts, de a kerektsek (s a lehetsges kerektsi hibk) miatt elfordulhat, hogy az elznl kevsb pontos megoldst kapunk.

FeladatokMdszertani megjegyzs: A kvetkez feladatokat javasoljuk csoportmunkban, ellenrzs prban mdszerrel feldolgozni. Az ellenrz tanul a koordinta-rendszerben rajzol, hogy a vgn a szmtott s a leolvasott rtkeket sszevethessk.38. Hatrozd meg az orig s az adott egyenesek tvolsgt, ha

a) 3 y +12 = x ; Megolds: a)

b) y = 4 x + 10 ;

c) 5 x + 8 y = 16 ;

d) 3x = 8 y + 13 .

1 1 y = x 4 tg = 18,4 , 3 3

d = 4 cos 3,8 .Hasonlan szmtva, a kvetkez kzelt rtkeket kapjuk: b) 2,4; c) 1,7; d) 1,5.


Tanri tmutat

31

39. Hatrozd meg a P pont s az e egyenes tvolsgt, ha

a) P(4; 4), e : x = 3 ; Megolds:

b) P(4; 7), e : y = x + 2 ;

c) P(4; 1), e : 2 x + 3 y = 16 .

a) Egyszerbb esetekben leolvashat a tvolsg: 7; b) Felrjuk az adott P ponton thalad, e-re merleges egyenes egyenlett (f), majd a metszspont (R) kiszmtsa utn meghatrozzuk a PR tvolsgot. Megjegyzs: A tvolsg kiszmtshoz hasznlhatjuk azokat a derkszg hromszgeket, amelyek tfogjt a rajzon szaggatott vonallal jelltk.f : y = x + 3, R (0,5; 2,5), d = PR = 40,5 6,4 ;

729 2 68 c) f : 2 y = 3x + 10, R ; , d = PR = 7,5 . 13 13 13

40. Hatrozd meg e s f egyenesek hajlsszgt!

a) e : 2 y = x + 7, f : 2 y + 3x = 5 ;

b) e : 3 y = 2 x + 21 , s az f egyenes thalad a P(0; 4) s R(2; 2) pontokon. Megolds: a) Meghatrozzuk az brn lthat szgeket a kt egyenes hajlsszgbl: tg1 = tg ( 2 ) = 1 1 26,57 s 2

3 2 56,31 . A kt szg sszege a 2

megolds: 82,9 . b) Hasonlan jrunk el, mint az a) esetben, csak elbb f egyenlett meg kell hatroznunk. f : y = 3 x 4 2 71,57 .1 33,69 , ahonnan a hajlsszg: 74,7 (kt egyenes hajlsszge 0 s 90 kz

esik).


Tanri tmutat

32

41. Hatrozd meg e s f egyenesek tvolsgt, ha

a) e : y = 3 x 5 ; f : y = 3x + 3 ; c) e : 4 x + 3 y = 2 ; f : 4 x + 3 y = 12 .

b) e : 5 y + 4 = 2 x ; f : 2 x + 7 = 5 y ; Megolds:

a) Tekintsk azt a derkszg hromszget, amely tfogjnak vgpontjai az egyenesek y tengellyel alkotott metszspontjai, hossza 8 egysg. Az irnyszg m = tg = 3 miatt 71,6 , s

d = 8 cos 2,5 .Hasonlan szmtva: b) m = tg = 2 11 21,8, d = cos 2,0 ; 5 5 10 4 126,9, d = sin (180 ) 2,7 . 3 3

c) m = tg =

42. Egy ngyzet A cscsbl kiindul kt oldalnak egyenlete 3 y x = 15 s y = 3x 15 .

Vlaszd ki az A cscs az origtl mrt tvolsgt az albbiak kzl! a) 6; b) 9 5 ; c) 8; d) 45 ; e) 10 .

Megolds: A( 6; 3), s

45 egysg a tvolsg: d).

43. Egy ngyzet kt oldalegyenesnek egyenlete: 3x + 5 y = 10 s 3x + 5 y = 15 . Hatrozd

meg a ngyzet terlett! Megolds: A ngyzet oldalnak hossza a kt egyenes tvolsga (d). Az 3 egyenesek irnytnyezje , ahonnan az brn jellt szg: 5

31,0 . A keresett tvolsg: d = 5 cos 4,29 , a ngyzet terlete: d 2 18,4 t.e. .


Tanri tmutat

33

44. Egy szablyos hatszg kt oldalegyenesnek egyenlete: 4 y = x + 18 s 4 y = x 12 .

Hatrozd meg a hatszg terlett! Megolds: tg = 1 30 14,0 , s d = cos 7,28 . 4 4

d 3 7,28 =m=r r= 4,20 , 2 2 3 T = 6 r2 3 45,9 t.e. . 4

45. Egy repl a megfigyel radar kpernyjn az e : 4 y + 3x = 7 egyenlet egyenesen

halad. Mellette mindkt oldalon, tle 4 egysg tvolsgban kt msik repl nyomvonala lthat. Hatrozd meg a msik kt repl tjnak egyenlett! 3 7 Megolds: talaktva e : y = x , 4 4 tg = 3 4 36,87 , t = = 5 , gy a kt prhuzamos 4 cos

3 13 egyenes egyenlete: y = x + 3x + 4 y = 13 s 4 4 3 27 y = x 3x + 4 y = 27 . 4 4


Tanri tmutat

34

IV. Vegyes feladatokMdszertani megjegyzs: A kvetkez feladatok egyik clja a gyakorlson kvl az algoritmikus gondolkods elsajttsa. A feladatok megoldsnak kezdetn tgondoljuk a lpseket,

vagyis egy stratgit dolgozunk ki, amely utn mr csak a konkrt szmtsokat kell elvgezni. A feladatok megoldshoz rdemes vzlatot kszteni gy, mint ahogyan a skgeometriai feladatok megoldsa sorn tesszk, s a megolds menett a ksz bra alapjn knnyebb megtallni.. Felhvjuk a figyelmet arra, hogy a szerkesztett brk nem jelentik a megolds ellenrzst, de tmutatnak s becslsre megfelelek. Pldul az egyenes kiszmtott egyenlett y = mx + b alakra hozzuk, s sszevetjk a szerkesztett bra megfelel egyenesvel. Javasoljuk a kvetkez feladatok megoldst nllan, esetleg tanri segtsggel vgezni.46. Adott az egyenlszr hromszg alapjnak kt vgpontja: A(1; 1) s B(5; 5), a

harmadik (C) cscs az e : y + 3 = 3x egyenesre illeszkedik. Hatrozd meg C koordintit! Megolds: AB felezpontja: F(3; 2), BA(4; 6 ) az alap felezmerlegesnek normlvektora.

f : 2 x 3 y = 12 . C = e f , az egyenletrendszert megoldva C(3; 6)-nak addik.

47. Adott egy hromszg kt cscsa: A(5; 3) s B(9; 6), valamint a slypontja S(2; 1).

a) Hatrozd meg a hinyz C cscsot! b) Hatrozd meg a hromszg oldalegyeneseit! Megolds: a) A slypont kpletbl C(2; 6). b) Az oldalegyenesek: a : 12 x + 7 y = 66 , b : 9 x 7 y = 24 , c : 3x + 14 y = 57 .

48. A P pontot tkrztk az e egyenesre. Hatrozd meg a tkrkp (P) koordintit!

a) e : 2 y + 4 x = 9, P ( 4; 3) ; Megolds: Felrjuk a P-n tmen, e-re merleges f egyenes egyenlett, majd kiszmoljuk e s f metszspontjt (K).PK -t K-bl felmrve kapjuk P koor-

b) e : y + 6 = 3 x, P(6; 3) .

dintit.90 a) n e (4; 2 ) n f (2; 4 )


Tanri tmutat

35

n(2; 4) f : f : x = 2y + 2 ; P( 4; 3) Az eredmny: P(1,2; 0,4).90 b) n e ( 3; 1) n f (1; 3)

K = e f K ( 1,4; 1,7 ), PK (2,6; 1,3) ;

n(1; 3) f : x + 3 y = 3 ; f : P(6; 3) Az eredmny: P( 3; 0).

K = e f K (1,5; 1,5), PK ( 4 ,5; 1,5) ;

49. Egy tzolt helikopter repl a B(8; 6) bzisrl a T(4; 2) tzesethez, mikzben vizet

vesz fel az y = 1 egyenlet folybl. Hatrozd meg a folynak azt a pontjt, amelyet a lehet legrvidebb t megttele kzben rintenie kell!

Megolds: T pontot tkrzzk az y = 1 egyenesre (T), felrjuk f egyenlett s meghatrozzuk y = 1 s f metszspontjt (P). 90 T(4; 4), T ' B(12; 10 ) n(10; 12) . f egyenlete: 2 5 x 6 y = 4 , a keresett pont koordinti: P ; 1 . 5

50. Egy bilirdasztal egyik sarkhoz rgztett koordin-

ta-rendszerben a piros goly az A(4; 4) pontban, a kk goly a B(16; 10) pontban ll. A pirossal a falat (x tengelyt) rintve kell eltallni a kk golyt. a) Milyen egyenlet egyenes mentn kell elindtani a piros golyt? b) A faltl szmtva milyen szgben indtsuk a piros golyt?


Tanri tmutat

36

Megolds: A pontot tkrzzk az x tengelyre az bra szerint, gy kapjuk A pontot. A s B pontokon tmen e egyenes egyenlett kell felrni, majd megvizsglni a hajlsszgt. 52 a) A' (4; 4), e : 7 x = 6 y + 52 P ; 0 s A(4; 4) pontok egyenese: 7 x + 6 y = 52 . 7 b) e hajlsszge: m = 7 49,4 , ekkornak kell lennie az indtsi szgnek, a gur6

ts irnya ekkora szget zr be az x tengellyel (a fallal).

51. Egy bilirdasztal egyik sarkhoz rgztett koordinta-rendszerben a piros goly az

A(2; 10) pontban, a kk goly a B(16; 4) pontban ll. A pirossal mindkt falat (y, majd x tengelyt) rintve kell eltallni a kk golyt. a) Milyen egyenlet egyenes mentn kell elindtani a piros golyt? b) Milyen szgben indtsuk a piros golyt? Megolds: A pontokat tkrzzk a koordinta-tengelyekre az bra szerint, gy kapjuk az A s B pontokat. Ezen a kt ponton tmen e egyenes segtsgvel kell felrni az AM egyenes egyenlett, majd megvizsglni a tengelyekkel bezrt hajlsszgt. a) A' ( 2; 10 ), B ' (16; 4 ), e : 7 x + 9 y = 76 . e metszs 76 pontja az y tengellyel: 0; , a keresett egyenes 9 ezen s az A ponton megy keresztl. Az eredmny:

7 x 9 y = 76 .7 b) e meredeksge , irnyszge = 142,1, 90 37,9 52,1 szget zr9 jon be a goly tja az y tengelyen lev fallal.

52. Egy hromszg kt cscsnak koordinti A(5; 5) s B(1; 6), s a harmadik cscsnl

lev szget az y = 2 egyenes felezi. Hatrozd meg a harmadik cscs koordintit! Megolds: B pontot tkrzzk az y = 2 egyenesre: B(1; 2), s az AB egyenes egyenletnek felrsa utn meghatrozzuk


Tanri tmutat

37

az y = 2 egyenessel vett metszspontjt. Az egyenes egyenlete: x 2 y = 5 , a keresett pont: C(9; 2).

53. Adott az A(5; 3) s B(7; 6) pont. Hatrozd meg az x tengelynek azt a P pontjt,

amelyre az APB trtt vonal hossza a lehet legrvidebb! Megolds: B-t tkrzzk az x tengelyre (B). Az x tengely brmelyik Q pontjra AQB s AQB trtt vonal hossza egyenl (a tengelyes tkrzs tvolsgtartsa miatt). AQB akkor a legrvidebb, ha az A, Q s B egy egyenesen vannak. Felrjuk az AB egyenes egyenlett: 3x + 4 y = 3 , s ennek x tengellyel vett metszspontja, a (1; 0) pont a megolds.

54. lltsunk az e : 2 y = x + 4 egyenesre merlegest a 4 abszcisszj pontjban. Ennek az

egyenesnek melyik lesz az a pontja, amelynek az ordintja ktszer akkora, mint az abszcisszja? Megolds: x = 4 behelyettestse utn addik az e egyenes P(4; 4) pontja. e normlvektora (1; 2), ezt 90-kal elforgatva kapjuk a keresett f egyenes normlvektort: (2; 1), amibl f : 2 x + y = 12 . y = 2 x behelyettestse utn a megolds: (3; 6).

55. Egy ngyzet tljnak egyenese e : 5 y = x + 1 , egyik cscsa A(3; 7). Hatrozd meg a

ngyzet tbbi cscst! Megolds: Felrjuk az A ponton tmen, e egyenesre merleges f egyenlett, majd kiszmoljuk a metszspontjukat (K). AK s 90-os elforgatottjai segtsgvel felrjuk a ngyzet B s D cscst.90 e : x + 5 y = 1 n e ( 1; 5) n f (5; 1)

n(5; 1) f : 5x + y = 8 f : A(3; 7 ) 3 1 K = e f K ; . 2 2


Tanri tmutat

38

3 15 AK (k1 a1 ; k 2 a 2 ) AK ; ; AK -t K pontbl felmrve kapjuk a C(0; 8) cs 2 2 15 3 csot. Ha 90-kal elforgatjuk AK -t: ; s ezt, valamint az ellentettjt felmrjk K 2 2 bl kapjuk a msik kt cscsot: B(6; 1) s D(9; 2).

56. Az A(3; 6) pont s e : x + 2 y = 5 egyenesre tkrztt kpe (C) egy ngyzet szemkzti

cscsait adjk. Hatrozd meg a hinyz cscsok koordintit! Megolds: Meghatrozzuk f egyenlett, kiszmoljuk e s f metszspontjt (K), majd AK vektort hasznlva kapjuk a ngyzet hinyz cscsait.90 n e (1; 2 ) n f (2; 1)

n(2; 1) f : f : y = 2x ; A(3; 6)K = e f K (1; 2 ), AK ( 2; 4 ) . Az eredmnyek: C(1; 2), B(3; 4), D(5; 0).

57. A(2; 6) a ngyzet egyik cscsa, e : 18 x 4 y = 25 az egyik kzpvonala. Hatrozd

meg a hinyz cscsokat! Megolds: Az e-re merleges, A-ra illeszked f felrsa utn kiszmoljuk e s f metszspontjt (F), AF -et F-bl felmrve kapjuk B-t. AB = 2 AF s ezt 90-kal elforgatva, majd az A s B pontokbl felmrve szmtjuk a tovbbi cscsokat. (Kt ngyzetet kapunk.)90 n e (18; 4 ) n f (4; 18)

n(4; 18) f : 2 x + 9 y = 50 ; f : A( 2; 6)F = e f F (2,5; 5), AF (4,5; 1) . Az eredmnyek: B(7; 4), C1(5; 5), D1( 4; 3),

C2(9; 13), D2(0; 15).


Tanri tmutat

39

58. Egy hromszg egyik cscsa A(6; 0), msik kt cscson tmen magassgvonal

egyenlete mb : 9 x + 5 y = 24 s mc : 5 x 3 y = 0 . Hatrozd meg a hromszg hinyz cscsainak koordintit! Megolds: A b egyenes merleges mb-re s thalad az A cscson. mb normlvektora: (9; 5), ezt 90-kal elforgatva kapjuk az (5; 9) vektort, amelyik b normlvektora. b egyenlete: 5 x 9 y = 30 , s C = b mc , ahonnan C(3; 5). Hasonlan, B(1; 3).

59. A g : 2 y + x = 6 egyenesnek melyik pontja van egyenl tvolsgra az e : 2 y = x + 10 s

f : 2 y = x 6 prhuzamos egyenesektl?Megolds: talaktva e : y = h: y = 1 1 x + 5 , f : y = x 3 , gy a kzpprhuzamosuk egyenlete 2 2

1 x + 1 . A keresett pont: h g , az egyenletrendszert megoldva (2; 2) addik. 2

60. Adott a hromszg B(6; 6) cscsa, valamint az a oldalhoz tartoz slyvonalnak s

magassgvonalnak egyenlete: s a : 9 x 8 y + 26 = 0, ma : 5 y = 4 x + 26 . Hatrozd meg a hinyz cscsok koordintit! Megolds: A = s a ma A(6; 10); ma-ra merleges, B cscson thalad a oldalegyenes egyenlete a : 5 x + 4 y = 6, F = a s a F(2; 1). C-t gy kapjuk, hogy a BF (4; 5) vektort felmrjk F-bl: C(2; 4).


Tanri tmutat

40

61. Egy koordinta-rendszerben adottak az A(8,0), B(0,3), C(8,0), D(0,3) pontok.

Igaz-e, hogy ez a ngy pont egy rombuszt hatroz meg? A vlaszt indokold! Megolds:AB = b a = (8; 3); DC = c d = (8; 3) AB = DC , vagyis a ngyszg paralelog-

ramma. AD = d a = (8; 3) , a szomszdos oldalak hossza: AB = 64 + 9 = 73 sAD = 64 + 9 = 73 . Mivel a paralelogramma oldalai egyenlek, a ngyszg rombusz.


Tanri tmutat

41

KislexikonAbszcisszatengely: a koordinta-rendszer x tengelye. Ordintatengely: a koordinta-rendszer y tengelye. Alakzat egyenlete: olyan egyenlet, amelyet az alakzat pontjainak koordinti, s csakis azok

tesznek igazz. Mskppen fogalmazva egy alakzat egyenlett pontjainak koordinti kielgtik, s pontjain kvl semmilyen ms pont koordinti nem elgtik ki.

Meredeksg: megmutatja, hogy ha az egyenes egyik pontjtl 1 egysggel x irnyba lpnk,

akkor y irnyba hny egysget kell lpnnk egy msik pont megjellshez.Az egyenes irnyt jellemz mennyisgek: irnyvektor, v(v1; v2): olyan vektor, amely az egyenessel prhuzamos, s hossza nem nulla; normlvektor, n(A; B): olyan vektor, amely az egyenesre merleges, s hossza nem nulla; irnyszg, : az egyenes x tengely pozitv irnyval bezrt szge, nagysga 0 < 180 ; meredeksg, m: pldul az y = mx + b alak egyenes egyenletbl hatrozhatjuk meg; azt

mutatja meg, hogy az x tengely pozitv irnyba egysgnyit lpve mennyit emelkedik vagy sllyed az egyenes.irnytnyez, irnytangens: az egyenes meredeksgnek kt msik neve. A meredeksg az

egyenes irnyszgnek tangensvel egyenl: m = tg .Megjegyzs: Nem minden egyenesnek van meredeksge. 90-nak nincs tangense, ezrt az

x = lland egyenlet, y tengellyel prhuzamos egyenesek esetn az irnytnyezrl nem beszlhetnk.


Tanri tmutat

42

Az egyenes egyenletei a skbeli koordinta-rendszerben:y = mx + b alak: az egyenesek grafikonjnak brzolsakor is hasznljuk.

m jelenti a meredeksget, b pedig azt az rtket, ahol az egyenes metszi az y tengelyt.irnyvektoros egyenlet: a v(v1; v2) irnyvektor, P0(x0; y0) ponton tmen egyenes egyenle-

te: v2 ( x x0 ) = v1 ( y y0 ) , msik formjban v2 x v1 y = v2 x0 v1 y0 ;normlvektoros egyenlet: az n(A; B) normlvektor, P0(x0; y0) ponton tmen egyenes

egyenlete: Ax + By = Ax0 + By0 ;irnytnyezs egyenlet: Az m irnytangens, P0(x0; y0) ponton tmen egyenes egyenlete:

y y 0 = m( x x 0 ) ;

ltalnos alak: Ax + By + C = 0 , ahol A 2 + B 2 0 .

Egyenesek prhuzamossgnak felttele:

e || f me = m f ( me 0, m f 0 ).Egyenesek prhuzamossgnak, illetve merlegessgnek felttelei:

e f me =

1 mf

( me 0, m f 0 ).

Egyenesek metszspontjnak meghatrozsa: megoldjuk az egyenleteikbl ll egyenlet-

rendszert.

6-modul-tanár_az egyenes

Documents

Transcript of 6-modul-tanár_az egyenes