Térgeometria

Egyenesek és síkok kölcsönös helyzete

Két síkEgyenes és sík

Két egyenesEgyenesek és síkok

Szög, távolság

Egyenesek hajlásszöge

Egyenes és sík hajlásszöge

Két sík hajlásszöge

Egyenes és sík távolsága

Pont és sík távolsága

Két sík távolsága

Kitérő egyenesek távolsága

Egyenes és sík

merőlegessége

PoliéderekForgástestek

Felszín, térfogat

Egymásba írt testek

Felszín, térfogat

4. 8.

11.

2.1.10.Térfogatszámítás integrállal

1. 2.

12.

15.

13.

14.

1. Mekkora szöget zár be a 102 m hosszú szakasz egy síkkal,

ha a síkra eső merőleges vetülete fele a szakasz

hosszának?

2. Egy P pont egy síktól m távolságra van. A P ponton átmegy

két egyenes, melyek egymással és a síkkal is 60°-os szöget

zárnak be. Határozzuk meg ezen két egyenes és a sík

metszéspontjainak távolságát!

Az S1 és az S2 síkok hajlásszöge 𝛼. Vegyünk fel a S1 síkon

egy háromszöget, amelynek területe T. Igazoljuk, hogy ha a

háromszöget merőlegesen vetítjük az S2 síkra, akkor a

vetületének területe T∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼.

Egyenlő szárú háromszög alapja 40 cm, szárainak hossza 52 cm. A

háromszöget megforgatjuk a szimmetriatengelye körül. (A válaszait

két tizedes jegyre kerekítve adja meg!)

a. Készítsen vázlatrajzot az adatok feltüntetésével, és számítsa ki,

hogy mekkora a keletkező forgáskúp nyílásszöge?

b. Számítsa ki a keletkező forgáskúp térfogatát!

c. Mekkora a felszíne annak a gömbnek, amelyik érinti a kúp

alapkörét és a palástját?

d. Mekkora a kúp kiterített palástjának területe?

Érettségi-2007.okt.

Egy téglatest egyik testátlója az élekkel 𝛼, 𝛽, 𝛾 szögeket zárbe. Bizonyítsuk be, hogy

a. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1.

b.1

𝑐𝑜𝑠2𝛼+

1

𝑐𝑜𝑠2𝛽+

1

𝑐𝑜𝑠2𝛾≥ 9

A szilikon tömítőanyagot hengerben árulják. A henger belső

átmérője 45 mm, a tubus hossza 21,6 cm, és az aljától 4

cm-nyi helyet nem szilikon tölti ki. A henger folytatása egy

10,6 cm alkotójú csonka kúp alakú kinyomó cső, amelynek

egyik végén 8 mm, a másik végén 2 mm átmérőjű a lyuk.

Hány méteres egyenes csíkot tudnánk kinyomni a csőből?

Egy zárt, egyenes körkúp alakú edényben magasságának

feléig áll a víz. Milyen magasan áll a víz a kúpban, ha azt

„fejre állítjuk”?

Az ABCD tetraéder D csúcsából kiinduló élek páronként

merőlegesek egymásra. AD=a, BD=b, CD=c. Írjunk a

tetraéderbe egy kockát, úgy hogy egyik csúcsa a D pont

legyen. Ha a kocka éle x, igazoljuk, hogy 1

𝑥=

1

𝑎+

1

𝑏+

1

𝑐

Próbáld megfogalmazni a feladat megfelelőjét a síkban!

Egy négyoldalú szabályos

gúlába közös tengelyű

forgáshengert helyezünk el úgy,

hogy a henger alapja a gúla

alapján van, és a fedőlapja

érinti a gúla oldallapjait. A gúla

a alapéle és m magassága

egyaránt 6 cm.

a. Legfeljebb mekkora lehet a

henger palástjának a területe?

b. Legfeljebb mekkora lehet a

henger térfogata?

http://tube.geogebra.org/material/show/id

/1970509

Egy cirkuszi sátor felállítva olyan szabályos hatszög alapú egyenes

gúla, amelynek alapéle 12 m, magassága 16 m hosszú. A sátor

felállításakor 13 rudat használnak. Hat merevítő rúd a hat oldalél teljes

hosszában fut. Van még 7 függőlegesen álló tartórúd. Egy az alap

középpontjában, a teljes magasságban tartja a sátrat. A talajon álló

kisebb pedig egy-egy oldalél talajhoz közelebbi harmadoló pontjában

támaszt.

a. Hány négyzetméter a sátrat alkotó ponyva felülete ( a gúla palástja)? A

végeredményt egészre kerekítve adja meg.

b. Összesen hány méter a 13 rúd hossza?

c. Körbe vezetünk egy kifeszített kötelet a hat kisebb támasztó rúd felső

végpontjain át. Milyen hosszú ez a kötél?

Érettségi-2009

Egy 10 cm átmérőjű, 15 dm hosszú, fából készült

forgáshengerből annyi 5 cm sugarú gömböt faragunk,

ahányat csak lehet.

a. Mennyi a hulladék?

b. Hogy aránylik egymáshoz a henger felszíne és a gömbök

felszínének az összege?

Egy 2 cm sugarú, 20 cm széles festőhengerrel dolgozva egy fordulattal

körülbelül 3 ml festéket viszünk fel a falra. (A festőhenger csúszás nélkül

gördül a falon. )

a. Elegendő-e 4 liter falfestéket vásárolnunk, ha a szobánkban 40 m2-nyi

falfelületet egy rétegben, egyszer akarunk lefesteni?

b. Milyen magasan állna 4 liter falfesték a 16 cm átmérőjű, forgáshenger alakú

festékes vödörben?

Válaszát cm-ben, egészre kerekítve adja meg!

Érettségi 2014-emelt szint

Az ABCDEFGH téglatest A csúcsából induló élei: AB=12; AD=6; AE=8. Jelölje a

HG él felező pontját P.

a. Számítsa ki az ABCDP gúla felszínét!

b. Mekkora szöget zár be az ABCDP gúla ABP lapjának síkja az ABCD lap síkjával?

Érettségi-emelt szint

Egy szobor talapzata 1 m oldalélű 1,5 m magasságú szabályos háromszög alakú

egyenes hasáb, amelyet szabályos tizenkétszög alapú egyenes hasábbá

kívánunk átalakítani. A hasábmagasságát megtartva, az oldalélekkel

párhuzamosan lehasítunk belőle részeket úgy, hogy a térfogata a lehető

legnagyobb legyen.

a. Mekkora az így kapott hasáb alapéle?

b. Mekkora tömegű hulladékot kell elszállítanunk, ha a talapzat olyan bazaltból

készült, amelynek sűrűsége 2,85𝑘𝑔

𝑑𝑚3?