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Optimizacin a partir del mtodo estadstico de Taguchi con aplicacin en procesos tecnolgicos1

Optimization statistical Taguchi methods with application in technological processes

Javier D. Fernndez* Bernardo L. Hoyos**

Presentado: 4 de abril del 2011 Aprobado: 11 de julio del 2011

Resumen

Introduccin: se evaluar la aplicabilidad del mtodo de Taguchi en algunos escenarios como marco propuesto para el diseo experimental alternativo en problemas de procesos tecnolgicos. Este trabajo fue desarrollado en el curso Economa y Empresa (2009-02) de la Maestra en Gestin Tecnolgica de la Universidad Pontificia Boli-variana. Metodologa: el estudio es un caso de investi-gacin aplicada en escenarios especficos. Resultados: la aplicacin del mtodo de Taguchi en los escenarios escogidos result satisfactorio, sin embargo, al ser comparado con los mtodos clsicos y tradicionales del diseo de experimentos, present algunas diferen-cias como la separacin de las variables de entrada y el uso de la funcin cuadrtica de la no calidad, adems de su limitacin al campo del control estadstico de calidad. Conclusiones: el modelo propuesto por Taguchi presenta elementos comunes, como el tratamiento de la robustez, con los mtodos tradicionales, pero diferen-cias en el tratamiento de las entradas y las funciones en el diseo experimental, lo cual no lo excluye como posi-bilidad alterna en este escenario estadstico.

Palabras clave: calidad, control estadstico, modelo, Taguchi, tecnologa.

Abstract

Introduction: We will evaluate the applicability of the Taguchi method in some scenarios as a proposed framework for the alternative experimental design in problems of technological processes, this work was deve-loped in the course of Economics and business (2009-02) from the master in technology management from the Universidad Pontificia Bolivariana. Methodology: the study is a case of applied research in specific scena-rios. Results: the application of Taguchi method in scena-rios where it was applied was satisfactory, however to be compared with the classical and traditional methods of design of experiments presented some differences as the separation of input variables and the use of the quadratic function of non-quality, in addition its limitation to the field of statistical quality control. Conclusions: the model proposed by Taguchi presents common elements, such as the treatment of the robustness, with traditional methods, but differences in the treatment of the posts and functions in the experimental design, which does not exclude it as alternate possibility in this statistical scenario.

Keywords: quality, statistical control, model, Taguchi, technology.

Cmo citar este artculo: Fernndez, Javier D. y Hoyos, Bernardo L. (2011), Optimizacin a partir del mtodo estadstico de Taguchi con aplicacin en procesos tecnolgicos, en Revista Memorias, vol. 9, nm. 16, pp. 62-81.

1 Investigacin desarrollada en el curso Economa y empresa (2009-02): Anlisis de los modelos cuantitativos y las tcnicas de diseo experimental en entornos tecnolgicos.

* Magster en Ingeniera de la Universidad de Antioquia. Director Centro de Investigaciones de la Universidad Coo-perativa de Colombia, sede Medelln. Correo electrnico: ingenierojdfl@ucc.edu.co

** Especialista en Calidad de la Universidad Eafit. Profesor-Investigador, Departamento de Ingeniera Industrial de la Corporacin Universitaria La Sallista, Medelln. Correo electrnico: lehoyos@lasallistadocentes.edu.co

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Introduccin

Este artculo recrea los conceptos funda-mentales de la teora de diseo de expe-rimentos clsico (Montgomery, 2007; Gmez, 1989; y Jdar, 1981), el concepto de robustez, teora de correlacin y las tcnicas de optimizacin (Bazara, 1996; Bellman, 1978; Bonini et al., 2000; Gordon, 1979 y Hilliere, 1996) mediante la aplicacin del mtodo Simplex y el mtodo de Taguchi (Taguchi et al., 1989).

Se trata de encontrar una aplicacin del mtodo de Taguchi que permita cuantificar el efecto que cada variable de entrada, de un proceso o experimento, tiene sobre una variable de respuesta, y las interacciones que existen entre las mismas variables de entrada.

Es por esto que hemos pretendido presentar, a travs de casos concretos y prcticos, los prin-cipios de los modelos clsicos del modelo de Taguchi y proponer una aproximacin hacia un modelo para calcular efectos, interacciones y robustez de experimentos.

Posteriormente, en este documento encon-trar, en la seccin 2, la descripcin formal de los conceptos que conllevan a la reflexin en el marco de desarrollo de la propuesta. En la seccin 3, se presentan los fundamentos meto-dolgicos de la aplicacin del modelo y sus resultados. En la seccin 4, se presentan las conclusiones y recomendaciones con respecto a los resultados presentados.

Fundamentacin terica

Segn Gutirrez y Salazar (2008), un experi-mento se define como el cambio intencional en las condiciones de operacin de un sistema o proceso, que se hace con el objetivo de medir el efecto del cambio sobre una o varias propiedades. Los factores de entrada son variables cuantitativas, los dife-rentes estados que pueden tener se llaman niveles.

Si son variables cualitativas, los diferentes estados

se llaman modalidades. Cuando una variable

permanece constante mientras otras cambian de

valor, se dice que es una variable controlable est-

tica o parmetro.

Asimismo, un efecto se entender como

el cambio que se produce en la variable de

respuesta por cada unidad que se incremente

en el factor de entrada. Por ejemplo, el tiempo

que tarda una persona conduciendo desde su

casa hasta su trabajo depende de la cantidad de

carros en la va. Si la cantidad de carros cambia,

se espera que el tiempo tambin vare. En este

caso, la variable de respuesta Y es el tiempo

para ir de la casa al trabajo.

Por otra parte, el concepto de interaccin

ser el efecto que un factor de entrada A tiene

sobre el efecto de otro factor de entrada B. En

otras palabras, el efecto que B tiene sobre la

variable de respuesta depende del estado en el

cual se encuentra A.

Por ejemplo, si A es la hora de salida de

la casa y B la cantidad de carros en la va,

entonces la cantidad de carros depende de la

hora de salida y sta a su vez afecta el tiempo de

llegada. En este caso, se dice que hay interaccin

entre A y B.

En este sentido, la variable A (hora de salida)

es controlable por el conductor. Pero la variable

B (cantidad de carros en la va) no es contro-

lable. La cantidad de carros en la va es un ruido

porque afecta el tiempo de desplazamiento y no

se puede controlar directamente.

En economa se utiliza mucho la interaccin

de factores aleatorios o no controlables por

medio de otros controlables. Por ejemplo, nadie

puede obligar a las personas a pedir prstamos

bancarios, pero controlando las tasas de inters,

se logra aumentar o disminuir la cantidad de

crditos. En mercadeo tambin es comn ver

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este tipo de controles indirectos. Promocio-nando un producto R se crea la necesidad de comprar otro producto S.

Ahora bien, un diseo se llama robusto cuando se pretende controlar un factor de entrada para que el ruido no tenga efecto sobre la variable de respuesta.

Supngase que A es una variable controlable. Por ejemplo, las velocidades de una batidora, el volumen de un radio, el nivel de una tostadora, etctera, y que D es una variable ruido, por ejemplo, la humedad ambiental, la vibracin de una mquina, la marca de aceite lubricante, etc-tera. Adems, Y es una variable de desempeo, por ejemplo, en una fotocopiadora se quiere que la intensidad de negro sea la misma sin importar que est lloviendo o haciendo sol. Tambin queremos que el pan salga con el mismo color en clima caliente o en clima fro, que la podadora corte el csped seco o mojado, entre otras.

A=-1

A=1

D=-1

D=1

Figura 1. Modelo explicativo del diseo robusto

Fuente: los autores

La figura anterior muestra que D tiene efecto sobre Y cuando A est en su nivel bajo. O sea A= (-1). Pero cuando A est en el nivel alto A= (1), el factor D no tiene ningn efecto sobre Y. Se observa que la variable de salida permanece constante cuando cambia D. En este caso, el ruido no afecta el desempeo siempre y cuando A permanezca en su estado alto.

Sin embargo, encontrar una variable contro-lable que interacte con una variable ruido no es suficiente, porque el valor de Y podra quedar

fuera de especificaciones. Por eso son tan importantes las variables que interactan con los ruidos, como las variables que tienen efecto sobre Y sin interactuar con otros factores. stas ltimas permiten llevar a Y hasta su valor nominal de especificacin.

El factor A debe mantenerse en el nivel alto para que el factor de ruido D no tenga efecto sobre la variable de salida. Si en estas condiciones no se logra tener la variable de salida Y dentro de las especificaciones, entonces se debe explorar con otros niveles del factor B, que tiene efecto sobre Y sin interactuar con los otros factores de entrada.

El trmino robustez se entiende como la combinacin de niveles en los factores contro-lables para evitar que el ruido afecte al desem-peo. Tal vez esta combinacin no sea la ms econmica. Un producto robusto puede consi-derarse sobrediseado algunas veces, por ende, ms costoso.

Si se busca una solucin ms econmica, puede que el producto quede bien diseado para las condiciones normales, pero vulnerable a otras situaciones probables.

Un ejemplo de producto robusto es el de las lmparas para exteriores. Deben ser robustas a la humedad y al clima en general. Esto no quiere decir que una lmpara para interiores sea mala, simplemente tiene un uso ms limitado. Por esto, la decisin de experimentar con diseos robustos se vuelve cuestin de costos, probabi-lidades y riesgos. La falta de robustez se puede compensar con advertencias en los empa-ques, manuales de instalacin y uso, sensores, sistemas de autoproteccin, entre otros.

En la prctica, los factores controlables y los ruidos pueden tener tres o ms niveles o moda-lidades y los experimentos pueden requerir ms de una variable de respuesta. Calcular los efectos y las interacciones cuando hay varios

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factores con varios niveles cada uno, y dos o ms variables de respuesta, es un proceso que requiere de la ayuda de programas de compu-tador y la intervencin de expertos.

Adems, los efectos que los factores tienen sobre las variables de respuesta no siempre son lineales. Pueden ser directamente proporcionales en un rango de niveles, e inversamente propor-cionales en otro rango. Por ejemplo, un vehculo puede tener una eficiencia baja cuando se conduce a velocidades bajas, a medida que aumenta la velocidad tambin mejora la eficiencia, y despus de cierta velocidad la eficiencia vuelve a bajar. Adems, la velocidad no es el nico factor que afecta la eficiencia. Existen otros como la velocidad del viento, la inclinacin y estado de la carretera, la pericia del conductor, la humedad ambiental, el tipo de llantas, etctera, que interactan unos

con otros y dificultan mucho la bsqueda de los niveles y modalidades ptimas.

Cuando se quiere encontrar la combinacin ptima, hay que tener claro qu es lo que se quiere optimizar. Puede ser el costo de fabrica-cin, puede ser la seguridad, la robustez a condi-ciones climticas, la presentacin y apariencia, entre otros.

En este orden de ideas, como hemos visto, los factores de entrada pueden ser controlables o no controlables, dependiendo de las condiciones. Por ejemplo, dentro de un laboratorio cerrado, la velocidad del aire puede ser controlada, pero si el experimento se hace en campo abierto, la velocidad del aire pasara a ser variable no controlable. stas ltimas son las que Taguchi llama ruidos, como se puede apreciar en la figura 2.

Variables de entrada

Investigacin cientfica

Variables controlables (parmetros)

C3C2C1

Variables no controlables (ruidos)

NCnNC2NC1

Variables de salida

X1 Y1

X2 Y2

X3 Y3

Xn Yn

Figura 2. Modelo explicativo del diseo experimental clsico y su relacin con el modelo de Taguchi

Fuente: los autores

Muchas variables pueden ser controladas en un laboratorio durante las etapas de diseo y desarrollo de un producto, pero dichas variables pueden cambiar aleatoriamente durante las etapas de produccin, distribucin, almacena-miento y especialmente durante el uso. Algunos ejemplos son:

La maquinaria de produccin tiene vibra-ciones que no se consideraron en el diseo.

La planta de produccin tiene una tempera-tura mayor que el laboratorio.

Durante el almacenamiento, el producto fue sometido a cargas que no se consideraron en el diseo.

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El lubricante recomendado por el fabricante

no se consigue en el lugar de uso.

El voltaje de alimentacin al usar el producto,

no es tan estable como el del laboratorio.

La mquina de afeitar se usa con el cabello

hmedo y est diseada para usarla con el

cabello seco.

La calidad del papel recomendado por el

fabricante de una impresora no se consigue

en el mercado local.

En general todos los factores climticos,

temperatura, humedad, polvo, luz, entre

otros, son variables no controlables.

El trato que se le da por parte del usuario.

Personal debidamente entrenado y calmado

somete el producto a condiciones distintas

que personas desentrenadas y bruscas.

Es por esto que Taguchi plantea que en la

etapa de diseo hay que considerar todas las

variaciones que se puedan presentar durante las etapas posteriores de un producto. Por eso, su filosofa se basa en el control de calidad fuera de lnea.

El principio es sencillo, se pretende que la relacin causa-efecto entre los factores de ruido y las variables de respuesta sean mnimas. Es decir, el efecto que un factor de entrada no controlable tiene sobre la variable de respuesta se debe reducir. El control de dicho efecto se puede lograr si se conocen las interacciones entre los factores controlables y los factores de ruido.

En primer lugar, Taguchi considera la calidad como una funcin continua, contrario a las teoras tradicionales que la definen como: cumplir con las especificaciones, que quiere decir que mientras la medicin est dentro de tolerancias, hay calidad. No importa si est en el centro de especificacin, llamado estndar, o cerca de un lmite.

DefectuosoDefectuoso

Tolerancia

Lmite inferior Lmite superiorEstndar

Bueno

Tolerancia

Figura 3. Modelo clsico de control de calidad

Fuente: los autores

Este concepto de calidad es discontinuo. Del nivel bueno, pasa abruptamente a nivel defec-tuoso y viceversa. Matemticamente se llama un modelo catastrfico porque en los puntos de discontinuidad no se puede derivar. El modelo

Taguchi, a diferencia del tradicional, no asume que la calidad en el centro de especificacin sea la misma que cerca de los lmites. Por ejemplo, se considera que una persona tiene el colesterol normal siempre y cuando sea inferior a 200 mg/dl.

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No obstate, no es lo mismo tenerlo en 120 mg/dl que en 199 mg/dl. La calidad se comporta de forma similar, pues un producto con una variable que cumpla con el estndar (centro de especifi-cacin) es ms robusto a muchas variaciones no

controlables que otro que cumpla con la especi-ficacin, pero cerca de los lmites. A medida que se aleja del centro, pierde robustez, y su probabi-lidad de fallar aumenta. El modelo que Taguchi propone se rige por una funcin parablica:

Defectuoso

Costo L(y)

Defectuoso

Lmite inferior Lmite superiorStd

Tolerancia Tolerancia

Figura 4. Modelo clsico de control de calidad

Fuente: los autores

La ecuacin propuesta por Taguchi (Taguchi

et al, 1989) es:

L(y) = k(x - N)2

Donde:

L (y): es el costo de la no calidad, es decir, la

prdida que sufre la sociedad por el defecto.

K: es una constante especfica de cada caso

considerado.

X: es un valor objetivo de la dimensin, es

decir, el estndar.

N: indica cunto se aleja la medicin del valor

nominal o estndar.

Las interacciones entre los factores de entrada

y los factores de ruido pueden minimizar los

efectos que los ruidos tienen sobre las variables

de respuesta, pero muy difcilmente los reducen

a cero. Por tal motivo, tener una variable de respuesta cerca de los lmites hace que el producto pueda fallar debido a un pequeo efecto de un ruido. Adems de las interacciones y los efectos presentados en los ejemplos ante-riores, existen otros, quizs ms importantes, que son los que afectan la dispersin de la variable de respuesta. Al cambiar el nivel de un factor de entrada, se puede afectar la desviacin estndar de la respuesta. Por ejemplo, un horno puede mantener su temperatura promedio en el valor deseado, pero realmente su termos-tato estar calibrado en un rango muy amplio. Esto hace que algunos panes salgan un poco crudos y otros un poco quemados. Si se cambia el horno por otro ms moderno, se pude dismi-nuir la dispersin de la temperatura y lograr ms homogeneidad en los panes.

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Nivel 1 Nivel 20

4

8

12

16

20

Nivel 1 Nivel 20

4

8

12

16

S hay efecto. Al cambiar el nivel del factor, se produce un cambio en el promedio de la respuesta.

No hay efecto. La variable de salida no se afecta significativamente al cambiar el nivel del factor.

Nivel 1 Nivel 20

4

8

12

16

20

Nivel 1 Nivel 20

4

8

12

16

20

S hay efecto. Al cambiar el nivel del factor, se produce un cambio en la variabilidad de la respuesta.

S hay efecto. Al cambiar el nivel del factor, se produce un cambio en el promedio y en la variabilidad de la respuesta.

Figura 5. Efectos sobre el promedio y sobre la dispersin de una variable de respuesta

Fuente: los autores

En la figura anterior, se muestran cuatro casos en los cuales la variable de respuesta se midi 20 veces con un factor de entrada en su nivel bajo y otras 20 veces con el mismo factor de entrada en su nivel alto.

Taguchi tiene diferentes modelos. Unos para los casos en los cuales se quiere controlar el efecto sobre el promedio de la variable de respuesta, otros para los casos que deben controlar la dispersin de la variable de respuesta y otros para controlar ambos simultneamente. Adems, maneja una nomenclatura diferente a la utilizada en el diseo

de experimentos clsicos para identificar los trata-mientos y los factores de entrada. A los factores controlables, los llama seales. A los factores no controlables, los llama ruidos. Su modelo se basa en calcular un estadstico que l llama razn seal/ruido (S/R), para luego calcular el efecto que cada seal tiene sobre la razn S/R. As, puede identi-ficar las seales que tienen efecto sobre la variable de respuesta Y sin interactuar con otros factores controlables, y tambin identificar los factores que interactan con los ruidos y seleccionar el nivel ms conveniente de cada uno de ellos.

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Metodologa y resultados

El modelo Taguchi, tambin llamado arreglo ortogonal, se basa en una matriz de dos entradas y una salida en la cual la primera entrada consta de diferentes combinaciones de las seales, la segunda entrada son combinaciones de los ruidos y los datos de la matriz son las mediciones de la variable de respuesta. Las interacciones entre las seales y los ruidos se conocen mediante el clculo de lo que l llama relacin seal/ruido (S/R).

Taguchi propone cinco ecuaciones para calcular la relacin (S/R), segn el tipo de especi-ficacin, el tipo de efecto, y el tipo de variable. La tabla siguiente propuesta por Gutirrez y Salazar (2008) muestra estas cinco ecuaciones donde Yi es el valor medido de la variable de respuesta en cada combinacin de seales, es el promedio de la variable de respuesta para cada combinacin de seales, y s es la desviacin estndar de cada combinacin de seales.

La dependencia o independencia entre el promedio y la desviacin, de la tercera y cuarta ecuacin, se obtiene mediante un anlisis de regresin lineal.

En la quinta ecuacin, la P es la proporcin obtenida de los elementos que cumplen una determinada condicin.

Tabla 1. Criterios de medicin seal/ruido

Criterio S/R

1

Mientras ms pequea mejor.(Una cola con lmite superior)

SR n

yin

= 10

1 21

log

2

Mientras ms grande mejor.(Una cola con lmite inferior)

SR n yi

n=

10

1 121

log

3

Un valor nominal objetivo.(Promedio y desviacin son dependientes)

SR

ysi

=

10

2

2log

Criterio S/R

4

Un valor nominal objetivo.(Promedio y desviacin son independientes)

SR

s= ( )10 2log

5Proporcin de defectuosos.(Variable discreta)

SR

PP

=

10 1log ( )

Fuente: Gutirrez y Salazar, 2008, p. 530

El siguiente ejemplo, propuesto por Gutirrez (2008), explica paso a paso cmo se obtienen los efectos de cada seal sobre la relacin S/R.

En el ejemplo:

El proceso es la fabricacin de un pigmento.

La variable de respuesta es el color represen-tado mediante una codificacin.

Las seales son siete (7): A, B, C, D, E, F, G, con dos niveles cada una.

Los ruidos son tres (3): K, L, M, con dos niveles cada uno.

Tabla 2. Aplicacin del modelo de Taguchi

Diseo ortogonal

del mtodo Taguchi R

uid

os

K 2 1 1 2M

edia

Des

viac

in

es

tn

dar:

s

S/R

; -10

log

(s2)

L 1 1 2 2

M 1 2 1 2

Seales

A B C D E F G

1 1 1 1 1 1 1 36 26 24 15 25,25 8,62 -18,71

1 1 1 2 2 2 2 32 62 24 32 37,50 16,76 -24,49

1 2 2 1 1 2 2 34 16 25 12 21,75 9,81 -19,83

1 2 2 2 2 1 1 10 30 26 32 24,50 9,98 -19,99

2 1 2 1 2 1 2 33 31 27 23 28,50 4,43 -12,94

2 1 2 2 1 2 1 34 48 26 39 36,75 9,22 -19,29

2 2 1 1 2 2 1 26 27 18 20 22,75 4,43 -12,92

2 2 1 2 1 1 2 28 40 21 32 30,25 7,93 -17,99

Fuente: Gutirrez y Salazar, 2008Contina

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A diferencia del diseo clsico de experimentos, Taguchi representa los niveles bajos de los factores de entrada con 1 y los niveles altos con 2.

Como el coeficiente de correlacin entre la media y la desviacin estndar es bajo (r= 0,535), se utiliza la ecuacin 4, ya que son indepen-dientes. Esta independencia tambin se aprecia en el grfico de dispersin.

0 10 20 30 400

5

10

15

20

Media vs desviacin STD

Media

Des

viac

in

ST

D

Figura 6. Grfico de dispersin media y desviacin estndar

Fuente: los autores

Como no hay correlacin entre la media y la desviacin estndar, la ecuacin de robustez es S/R = -10 log (s2).

Ahora se procede a calcular el efecto que tiene cada seal sobre la relacin S/R.

El efecto de A sobre S/R se calcula prome-diando los cuatro valores de S/R cuando A=1, luego se promedian los cuatro valores S/R cuando A=2, y por ltimo se restan los dos promedios. La tabla siguiente muestra los efectos de las 7 seales sobre la relacin S/R.

Tabla 3. Efectos de seales sobre la relacin S/R o de robustez

A B C D E F G

Nivel 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

S/R

-18,7 -12,9 -18,7 -19,8 -18,7 -19,8 -18,7 -24,5 -18,7 -24,5 -18,7 -24,5 -18,7 -24,5-24,5 -19,3 -24,5 -20,0 -24,5 -20,0 -19,8 -20,0 -19,8 -20,0 -20,0 -19,8 -20,0 -19,8-19,8 -12,9 -12,9 -12,9 -12,9 -12,9 -12,9 -19,3 -19,3 -12,9 -12,9 -19,3 -19,3 -12,9-20,0 -18,0 -19,3 -18,0 -18,0 -19,3 -12,9 -18,0 -18,0 -12,9 -18,0 -12,9 -12,9 -18,0

Pro

med

io

-20,8 -15,8 -18,9 -17,7 -18,5 -18,0 -16,1 -20,4 -19,0 -17,6 -17,4 -19,1 -17,7 -18,8

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A B C D E F GE

fect

o

(Dif

eren

cia)

4,97 1,17 0,51 -4,34 1,37 -1,73 -1,09

Fuente: los autores

Ahora bien, los efectos ms altos sobre la robustez los tienen las seales A y D. Se observa que la relacin S/R promedio es ms alta cuando

A=2 que cuando A=1 (-15,8 > -20,8), y tambin es ms alta cuando D=1 que cuando D=2 (-16,1 > -20,4).

Tabla 4. Efectos de robustez

A B C D E F G

Nivel 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Promedio

25,3 28,5 25,3 21,8 25,3 28,5 25,3 37,5 25,3 22,8 25,3 21,8 25,3 30,3

37,5 36,8 37,5 24,5 37,5 36,8 22,8 30,3 21,8 28,5 30,3 36,8 24,5 28,5

21,8 22,8 28,5 22,8 22,8 21,8 28,5 36,8 30,3 37,5 28,5 22,8 36,8 21,8

24,5 30,3 36,8 30,3 30,3 24,5 21,8 24,5 36,8 24,5 24,5 37,5 22,8 37,5

Promedio 27,3 29,6 32,0 24,8 28,9 27,9 24,6 32,3 28,5 28,3 27,1 29,7 27,3 29,5

Efecto (diferencia) 2,31 -7,19 -1,06 7,69 -0,19 2,56 2,19

Fuente: los autores

Una vez identificadas las seales que dan la robustez al experimento o proceso, se deben identificar las seales que tienen efecto sobre la variable de respuesta sin interactuar con las otras seales.

Los efectos ms altos sobre la media los tienen las variables B y D (-7,19 y 7,69 respecti-vamente). El nivel de la seal D ya estaba deter-minado por la robustez. La seal B tiene efecto sobre la media, pero no sobre la robustez, por lo tanto se puede usar para ajustar el nivel de color deseado sin interactuar con las otras variables de entrada. Por ejemplo, si se quiere un color Y=23, se debe trabajar con B=2 para acercarlo al valor nominal.

Los niveles de las dems variables deben determinarse por otros criterios. Por ejemplo,

la seal C no tiene efecto significativo sobre la robustez ni sobre la media, por lo tanto debe elegirse el nivel ms econmico.

Ahora bien, tanto el diseo de experimentos clsico, como el modelo de Taguchi tienen dos objetivos bsicos: cuantificar los efectos que los factores de entrada tienen sobre una variable de respuesta y las interacciones entre los factores de entrada.

Un efecto es la variacin de la respuesta cuando el factor de entrada cambia de nivel. Si se cuantifica el cambio de la respuesta por cada unidad que aumente el factor de entrada se tiene un concepto matemticamente similar a la pendiente de una lnea en un plano carte-siano. Un economista, seguramente, lo llamara el efecto marginal, es decir, el cambio de Y

Cont.

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por cada unidad que aumenta X. Cuando se trabaja con variables continuas, es relativa-mente fcil obtener el valor del efecto calcu-lando la pendiente de la ecuacin en el punto requerido. Pero cuando se trabaja con variables cualitativas se dificulta el clculo del efecto debido a la nomenclatura que se utiliza.

En el diseo factorial ms simple, que es el diseo 22, que corresponde a un experimento con dos factores de entrada con dos niveles cada uno, el mtodo clsico que utilizan Montgomery (2007) y Gutirrez y Salazar (2008), entre otros, le adju-dica el valor de (-1) al nivel bajo y (1) al nivel alto. Por ejemplo, se evala el desempeo de los funcio-narios de una empresa adjudicando el valor (-1) a los solteros y el de (1) a los casados. Puede que el estado civil tenga algn efecto en su desempeo, pero no puede tomarse como una pendiente de una lnea. Primero que todo, porque de -1 a 1 hay dos unidades, y segundo, porque estos valores son netamente nominales. Si los casados obtienen 80 puntos y los solteros 60 puntos, matemticamente dara un aumento de 20 puntos en la variable de respuesta por cada dos puntos que se incrementa el factor de entrada, lo que equivaldra a un efecto marginal de 10 puntos.

El modelo Taguchi le asigna el valor de 1 al nivel bajo y el valor de 2 al nivel alto. Esta nomen-clatura permite calcular el efecto marginal, es decir, por cada unidad que aumente el factor de entrada. Pero si se calcula el efecto asignando valores distintos a los niveles, por ejemplo, 0 al nivel bajo y 1 al nivel alto, o -0,5 al nivel bajo y 0,5 al nivel alto, los efectos obtenidos, con la mini-mizacin de residuales, son diferentes. Sola-mente se obtiene el mismo resultado cuando la relacin entre el factor de entrada y la variable de respuesta es completamente lineal.

A continuacin se presenta un ejemplo (Guti-rrez y Salazar, 2008) con el modelo clsico y la nomenclatura clsica, luego se expone el modelo

de minimizacin de residuales que proponemos en el marco de este artculo, veamos.

En un proceso de fermentacin tequilera se tienen dos factores: A: tipo de levadura y B: temperatura, cada uno con dos niveles. La variable de respuesta es el rendimiento del proceso de fermentacin.

El nivel bajo de A es -1 (Cualitativa).

El nivel alto de A es 1 (Cualitativa).

El nivel bajo de B es -1 (22 C) (Cuantitativa).

El nivel alto de B es 1 (30 C) (Cuantitativa).

Los resultados obtenidos del experimento son:

Tabla 5. Diseo experimental aplicado a un caso

A: tipo de levadura

B: temperatura

Y: rendimiento

-1 -1 28

1 -1 41

-1 1 63

1 1 45

Fuente: Gutirrez y Salazar, 2008, p. 530

El efecto de A = + + = 41 452

28 632

2 5,

El efecto de B = + + =63 452

28 412

19 5,

La interaccin entre A y B es:

AB = + + = 28 452

41 632

15 5,

En realidad, el efecto de A es un efecto promedio, porque cuando B=-1 el efecto de A es 4128 = 13. Pero cuando B=1 el efecto de A es 4563 = -18. Se puede observar el promedio de 13 y -18 es -2,5.

De igual forma, el efecto de B es un efecto promedio. Cuando A=-1, el efecto de B sobre la variable de respuesta es 63-28 = 35. Pero cuando A=1, el efecto de B es 45-41 = 4. El promedio de 35 y 4 es 19,5.

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La interaccin se puede asemejar a la desvia-cin estndar, pues una interaccin baja significa que los efectos promedios son muy represen-tativos. Pero una interaccin alta indica que el efecto promedio no tiene significado alguno, pues resulta de promediar un valor muy alto con otro muy bajo.

El modelo de minimizacin de residuales es el siguiente:

Se tienen 4 coeficientes C1, C2, C3 y K de modo que C1(A)+C2(B)+C3(AB)+K = Y, llamada ecuacin de regresin o ecuacin de ajuste. Ya se conocen 4 valores de Y para las 4 combina-ciones de A y B.

Tabla 6. Aplicacin a un modelo de pronsticos

C1 C2 C3 K Residual

A B AB K Y Pronstico (P) |Pronstico - Y|

-1 -1 1 1 28 C1(-1)+C2(-1)+C3(1)+K |P1 Y1|

1 -1 -1 1 41 C1(1)+C2(-1)+C3(-1)+K |P2 Y2|

-1 1 -1 1 63 C1(-1)+C2(1)+C3(-1)+K |P3 Y3|

1 1 1 1 45 C1(1)+C2(1)+C3(1)+K |P4 Y4|

Suma

Fuente: los autores

Los valores de la columna AB se obtienen multiplicando la columna A por la columna B. La ecuacin de ajuste debe cumplir que:

C1(-1)+C2(-1)+C3(1)+K = 28

C1(1)+C2(-1)+C3(-1)+K = 41

C1(-1)+C2(1)+C3(-1)+K = 63

C1(1)+C2(1)+C3(1)+K = 45

Aplicando un mtodo Simplex, se pueden encon-trar los valores de los coeficientes que generen los pronsticos ms cercanos a los valores de Y, as:

En la columna residual, se calcula la dife-rencia entre la ecuacin del pronstico y el

valor de Y medido en valor absoluto. Al sumar todos los residuales se obtiene un valor positivo. El valor mnimo que puede alcanzar la suma de residuales es cero, porque est sumando nmeros positivos. Esta suma es la funcin objetivo del mtodo Simplex y el problema es minimizarla. Mientras ms pequea la suma, ms pequeos deben ser todos y cada uno de los residuales. Esto se logra si los valores gene-rados por la ecuacin, en la columna prons-tico, se asemejan a los respectivos valores de Y. Despus de correr el mtodo Simplex se obtiene la siguiente solucin:

Tabla 7. Aplicacin del caso con el mtodo Simplex

-1,25 9,75 -7,75 44,25

A B AB K Pronstico Y Residual

-1 -1 1 1 28,00000005 28 4,66E-08

1 -1 -1 1 40,99996093 41 3,91E-05

-1 1 -1 1 63,00001419 63 1,42E-05

1 1 1 1 45,0018513 45 1,85E-03

Suma 1,90E-03

Fuente: los autores

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Se puede observar que:

-1,25 (-1) + 9,75(-1) - 7,75 (1) + 44,25 = 28,00000005

El lector puede comprobar las otras tres

ecuaciones.

Matemticamente, el coeficiente C1 = -1,25 significa que por cada unidad que aumente A, el valor del rendimiento Y disminuye 1,25. En el ejemplo hecho con la nomenclatura clsica, el

nivel de A cambia de (-1) a (1), es decir que aumenta dos unidades, este aumento de dos unidades en

A genera una disminucin de 2,5 unidades en el rendimiento Y. Si se comparan el mtodo clsico con el modelo de minimizacin de residuales,

se puede ver que el efecto promedio de A = -2,5 corresponde al doble de C1= -1,25

Igualmente, se puede observar que el efecto

de B calculado con el mtodo clsico es el doble que C2 (19,5 es el doble de 9,75). Y la interaccin AB tambin es el doble que C3 (-15,5 es el doble de -7,75).

El efecto de B merece un anlisis adicional

porque es una variable cuantitativa. El nivel bajo

(-1) es 22C y el nivel alto es 30C. Por lo tanto, el

efecto calculado de 19,5 es para un incremento

de 8C, lo que dara un efecto marginal de 2,4375

unidades de rendimiento por cada grado cent-

grado que se incremente la temperatura.

El valor de la interaccin es bastante alto

comparado con los efectos. Lo que indica que

los efectos son poco representativos, por cuanto

cada uno depende mucho del nivel del otro factor.

Esta situacin es la que nos permite usar

otras nomenclaturas como se hace en el modelo

Taguchi. Si la interaccin fuese baja, cercana a

cero, se podra usar el valor de 1 para indicar

el nivel bajo y 2 para indicar el nivel alto de los

factores de entrada y los efectos resultaran simi-

lares. Pero si se usa el mtodo de minimizacin

de residuales con la nomenclatura de Taguchi,

los resultados son muy distintos, como se puede apreciar en la tabla 7.

Tabla 8. Problemas de nomenclatura usando el mtodo Taguchi

43,8

7

65,7

4

-30,

87

-50,

75

A B AB K Pronstico Y Residual

1 1 1 1 27,99598899 28 4,01E-03

2 1 2 1 41,00020708 41 2,07E-04

1 2 2 1 62,86528844 63 1,35E-01

2 2 4 1 45,00000015 45 1,50E-07

Suma 1,39E-01

Fuente: los autores

La diferencia en la nomenclatura de varia-bles cualitativas entre el modelo clsico y el de Taguchi aparentemente es algo trivial, pero en realidad trae serias complicaciones a la hora de hacer clculos. Afortunadamente, este problema no existe con las variables continuas.

La dimensin de un experimento se puede agrandar de tres formas:

Aumentando los factores de entrada sin aumentar niveles.

Aumentando los niveles sin aumentar la cantidad de factores de entrada.

Aumentando tanto los factores como los niveles.

A continuacin, se muestra un ejemplo con variables continuas utilizando dos factores de entrada con tres y cuatro niveles respectivamente.

Un estudio tiene dos factores de entrada V y P. y una variable de respuesta Y. La variable P se evala en 5 niveles y la variable V en 3 niveles. Hay 15 posibles tratamientos pero el presupuesto slo alcanza para 10 ensayos. Se requiere: encon-trar la ecuacin de regresin cuadrtica que mejor se ajusta a las mediciones obtenidas del

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experimento, completar la matriz, y calcular los efectos y las interacciones entre V y P.

Tabla 9. Aplicacin del modelo con variables continuas

EJ. VII V=30 V=20 V=10

T=44 4000 3984

T=48 4250 4241

T=52 4490 4486

T=56 4750 4739

T=60 5000 4988

Fuente: los autores

El primer paso es reordenar la matriz por columnas y definir la ecuacin lineal que en este caso representa un plano en el espacio euclidiano. Luego se corre el mtodo Simplex minimizando la sumatoria de los residuales. Los coeficientes aparecen en la fila donde est C1, C2, etctera.

La siguiente tabla muestra la forma de reali-zacin de los clculos.

Tabla 10. Aplicacin del mtodo Simplex con variables continuas

C1 C2 C3 K

T V TV K Pronstico (P) Y Residual

44 30 1320 1 44T+30V+1320TV+K 4000 |P1 Y1|

48 30 1440 1 48T+30V+1440TV+K 4250 |P2 Y2|

56 30 1680 1 56T+30V+1680TV+K 4750 |P3 Y3|

60 30 1800 1 60T+30V+1800TV+K 5000 |P4 Y4|

48 20 960 1 48T+20V+960TV+K 4241 |P5 Y5|

52 20 1040 1 52T+20T+1040TV+K 4490 |P6 Y6|

56 20 1120 1 56T+20V+1120TV+K 4739 |P7 Y7|

44 10 440 1 44T+10V+440TV+K 3984 |P8 Y8|

52 10 520 1 52T+10V+520TV+K 4486 |P9 Y9|

60 10 600 1 60T+10V+600TV+K 4988 |P10 Y10|

Suma

86,03 41,51 -0,78476 5,41

T V TV K Pronstico Y Residual

44 30 1320 1 4000 4000 0

48 30 1440 1 4250 4250 0

56 30 1680 1 4750 4750 0

60 30 1800 1 5000 5000 0

48 20 960 1 4212 4241 29

52 20 1040 1 4493 4490 3

56 20 1120 1 4774 4739 35

44 10 440 1 3861 3984 123

52 10 520 1 4486 4486 0

60 10 600 1 5111 4988 123

Suma 315

Fuente: los autores

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Optimizacin a partir del mtodo estadstico de Taguchi con aplicacin en procesos tecnolgicos

Tomando como base la tabla anterior, en la segunda parte se muestra su aplicacin.

Los pronsticos se obtienen calculando la ecua-cin de regresin con los datos de la matriz, as:

Tabla 11. Generacin de pronsticos con modelos de regresin

Pronstico (P) Pronstico (P) Pronstico (P)

44T+20V+880TV+K44(86,03) + 20(41,51) - 880(0,78) + 5,41

3930

48T+10V+480TV+K48(86,03) + 10(41,51) - 480(0,78) + 5,41

4173

52T+30V+1560TV+K52(86,03) + 30(41,51) - 1560(0,78) + 5,41

4500

56T+10V+560TV+K56(86,03) + 10(41,51) - 560(0,78) + 5,41

4799

60T+20V+1200TV+K60(86,03) + 20(41,51) - 1200(0,78) + 5,41

5056

Fuente: los autores

Tabla 12. Ejemplo numrico

EJ. VII V=30 V=20 V=10

T=44 4000 3930 3984

T=48 4250 4241 4173

T=52 4500 4490 4486

T=56 4750 4739 4799

T=60 5000 5056 4988

Fuente: los autores

En la ltima parte de la tabla se muestra la forma de inferir los datos faltantes de la matriz.La superficie de respuesta de esta matriz es:

V=10V=20

V=30T=44

T=48T=52

T=55T=60

Figura 7. Grfico de superficie de respuesta

Fuente: los autores

La interaccin es muy baja. El efecto de cada factor permanece constante cuando cambia el otro factor.

Si se compara el valor de los residuales con los valores de la variable de respuesta Y en la tabla 10, se aprecia el error que hay entre el valor medido y el pronosticado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1000

2000

3000

4000

5000

6000

ResidualY

Figura 8. Grfico de residuales

Fuente: los autores

Se puede observar que el valor de los resi-duales es muy pequeo comparado con el valor de Y.

Esto quiere decir que el pronstico es muy similar al valor medido de la variable de respuesta.

El efecto del factor T sobre la variable de respuesta es mayor que el efecto del factor V.

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Adems, la interaccin entre los dos factores es muy pequea.

Efecto de T= 86: por cada unidad que aumente T, Y aumenta 86 unidades.

Efecto de V= 41,5: por cada unidad que aumente V, Y aumenta 41,5 unidades.

Interaccin= -0,78: una interaccin tan pequea significa que cada efecto conserva su pendiente sin importar que el otro factor cambie de nivel.

A continuacin, hay un grfico de un plano donde los dos factores tienen alta interaccin.

V=10V=20

V=30T=44

T=48T=52

T=56T=60

Figura 9. Grfico de interaccin

Fuente: los autores

Se puede observar cmo va cambiando la pendiente a medida que aumenta el nivel del factor T.

El efecto de V sobre la variable de respuesta comienza negativo y a medida que aumenta T, se va volviendo positivo.

El efecto de V sobre Y depende del nivel de T, esto es una alta interaccin. Este modelo se puede aplicar a tres o ms factores de entrada. El inconveniente de tener ms de entradas es que no se puede graficar, porque la matriz sera de cuatro dimensiones o ms. Pero s se puede generar la ecuacin de ajuste y el grfico de

residuales para saber que tan confiable es el pronstico. Existe una prueba para calcular la confiabilidad de un ajuste segn los residuales.

Ahora bien, el modelo de minimizacin de residuales tiene las siguientes ventajas:

Permite visualizar el grfico de superficies cuando el problema se limita a dos factores de entrada.

Se puede aplicar a cualquier cantidad de dimensiones y cualquier cantidad de niveles, conservando el mismo procedimiento y generando hiper superficies de respuesta.

Se pueden obtener ecuaciones de ajuste de primer y segundo orden, haciendo que los factores interacten con sus propios cuadrados. Estos ajustes son muy tiles cuando las relaciones no son lineales.

Permite visualizar la calidad del ajuste mediante el grfico de residuales. Si el grfico deja dudas, se puede emplear un anlisis de residuales convencional.

Permite hacer pronsticos giles para niveles no medidos en el experimento.

Sin embargo, tambin tiene las siguientes limitaciones:

Es prctico solamente si se maneja un programa de optimizacin tipo qsb, Solver, etctera. El mtodo Simplex, per se, es muy tedioso.

Es impreciso para experimentos que tienen factores de entrada cualitativos debido a la nomenclatura utilizada. Se recomienda usarlo con variables cuantitativas.

Su confiabilidad es alta cuando la escala de las variables de entrada es de razn. Con escalas de intervalo, presenta distorsin en los resultados debido a que los coeficientes son trminos geomtricos, no aritmticos.

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Optimizacin a partir del mtodo estadstico de Taguchi con aplicacin en procesos tecnolgicos

Tiene las desventajas del mtodo Simplex, depende completamente de los valores iniciales estimados. Cuando una variable tiene varios puntos de mnima o varios puntos de mxima, segn el caso, este mtodo no distingue cual debe seguir.

Por ltimo, se presenta un ejercicio resuelto con ecuaciones de regresin cuadrticas en el cual se puede apreciar la superficie de respuesta cncava usando una ecuacin de regresin cuadrtica, partiendo de esta matriz obtenida en un experimento con 40 posibles tratamientos.

Tabla 13. Modelo de aplicacin

V=1 V=2 V=3 V=4 V=5

P=1 190 180

V=1 V=2 V=3 V=4 V=5

P=2 200 200 160

P=3 190 200

P=4 185 215 160

P=5 170 170

P=6 175 180 100

P=7 150 120

P=8 150 130 80

Fuente: los autores

Se procede a plantear las interacciones para minimizar los residuales, obtener la ecuacin de regresin, verificar la grfica de residuales, hacer los pronsticos, completar la matriz y hacer el grfico de superficie.

Tabla 14. Modelo con residuales

18,51 31,35 -2,51 -5,81 -1,49 137,53

P V P2 V2 P x v K Pronstico Y Residual

1 2 1,0 4,0 2,0 1 190,0 190,0 0,0

1 4 1,0 16,0 4,0 1 180,0 180,0 0,0

2 1 4,0 1,0 2,0 1 187,1 200,0 12,9

2 3 4,0 9,0 6,0 1 197,3 200,0 2,7

2 5 4,0 25,0 10,0 1 161,1 160,0 1,1

3 2 9,0 4,0 6,0 1 201,0 190,0 11,0

P V P2 V2 P x v K Pronstico Y Residual

3 4 9,0 16,0 12,0 1 185,0 200,0 15,0

4 1 16,0 1,0 4,0 1 191,0 185,0 6,0

4 3 16,0 9,0 12,0 1 195,3 215,0 19,7

4 5 16,0 25,0 20,0 1 153,1 160,0 6,9

5 2 25,0 4,0 10,0 1 191,9 170,0 21,9

5 4 25,0 16,0 20,0 1 170,0 170,0 0,0

6 1 36,0 1,0 6,0 1 174,8 175,0 0,2

6 3 36,0 9,0 18,0 1 173,2 180,0 6,8

6 5 36,0 25,0 30,0 1 125,1 100,0 25,1

7 2 49,0 4,0 14,0 1 162,7 150,0 12,7

7 4 49,0 16,0 28,0 1 134,9 120,0 14,9

8 1 64,0 1,0 8,0 1 138,5 150,0 11,5

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8 3 64,0 9,0 24,0 1 131,0 130,0 1,0

8 5 64,0 25,0 40,0 1 76,9 80,0 3,1

Suma 172,3

Fuente: los autores

El grfico de residuales es el siguiente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ResidualY

0123456789

10111213141516171819202122

Figura 10. Grfico de Residuales

Fuente: los autores

El grfico muestra que los residuales son pequeos comparados con los valores de Y.

Los pronsticos obtenidos con la ecuacin de regresin cuadrtica son bastante confiables

La matriz completa con los pronsticos queda as:

Tabla 15. Matriz de pronsticos

V1 V2 V3 V4 V5

P1 178 190 191 180 158

P2 187 198 197 185 161

P3 192 201 199 185 160

P4 191 199 195 180 153

P5 185 192 187 170 142

P6 175 180 173 155 125

P7 159 163 155 135 104

V1 V2 V3 V4 V5

P8 139 141 131 110 77

Fuente: los autores

El grfico de superficie es:

V=1

P=8P=7

P=6P=5

P=4P=3P=2

P=1

V=2V=3

V=4V=5

Figura 11. Grfico de superficie de respuesta

Fuente: los autores

La ecuacin de regresin cuadrtica es:

Y = 18,51P + 31,35V 2,51P2 5,81V2 1,49PV + 137,53

Se observa la interaccin entre P y V. Cuando P=8 el efecto de V sobre la variable de respuesta es muy fuerte, especialmente con los valores altos de V. Pero para los valores bajos de P las pendientes son ms planas.

Tambin se aprecia el punto de mximo valor de Y para valores de V=2 y P=3.

El hecho de ser cuadrtica significa que la pendiente es variable como se aprecia en la grfica, y por ende los efectos tambin. Para cuantificar los efectos, hay que derivar la ante-rior ecuacin. Se puede derivar con respecto a P

Cont.

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Optimizacin a partir del mtodo estadstico de Taguchi con aplicacin en procesos tecnolgicos

o con respecto a V, segn el efecto que se quiera conocer, y luego reemplazar por los valores en los cuales se quiere conocer el efecto.

Conclusiones y recomendaciones

Los contrastes entre el diseo clsico de experimentos y el modelo de GenIchi Taguchi son dos.

La primera diferencia radica en que Taguchi separa las variables de entrada en dos grupos que son las variables controlables, a las llama seales, y las no controlables, a las llama ruidos. Su modelo consiste en hallar los niveles de las seales que mitiguen los efectos que los ruidos tienen sobre la variable de respuesta. Este modelo exige que en la etapa de diseo se exploren aquellas variables que no se pueden controlar durante las etapas posteriores de fabricacin, almacenamiento, transporte, y uso del producto. La segunda diferencia consiste en el concepto de funcin de prdida cuadrtica de la no calidad, este concepto es til e innovador. En resumen, Taguchi sostiene que una variable que se aleje de su valor nominal pierde robustez as est dentro de especificaciones. La prdida de robustez est asociada a un costo, debido a que se pierde la confiabilidad de desempeo, es decir, se aumenta el riesgo de falla (Yacuzzi et al., 2004).

Existen mtodos alternos para conseguir los mismos objetivos que el mtodo Taguchi. Este es una buena alternativa para seguir explorando. La principal ventaja del mtodo de minimi-zacin de residuales es la ayuda grfica que se tiene para facilitar la interpretacin de los resul-tados y la simplicidad del modelo. Cuando se tienen muchos factores con muchos niveles, el modelo puede verse muy grande por la cantidad de combinaciones que pueden generar las inte-racciones, pero eso no significa que el mtodo cambie. Queda mucho por investigar para los

experimentos de variables cualitativas y para conocer el error cuando se utilizan escalas de intervalo.

La dispersin aumenta el riego de tener variables fuera de especificaciones, es decir, que aumenta la probabilidad de fallar o generar situaciones indeseadas.

El modelo para evaluar el costo de la no calidad en funcin del cuadrado del error de la variable con respecto a su valor nominal es muy til, puesto que es una forma interesante de ponerle valor al riesgo. Entendiendo el riesgo

como el complemento de la confiabilidad, este

modelo muestra por qu s se debe pagar ms

por un producto ms confiable.

El modelo Taguchi fue diseado por inge-

nieros para ingenieros y es aplicable en control

de calidad. Pero tambin el modelo de Taguchi

es perfectamente aplicable a casos de gestin

tecnolgica. Si se trata de desarrollo tecno-

lgico, hay que considerar todas las posibles

contingencias que puede tener el producto en

todas sus etapas desde la fabricacin hasta el

uso que le d el consumidor final. Si se trata de

transferencia tecnolgica, hay que simular el

desempeo de la tecnologa en las condiciones

locales y actuales, para saber si es robusta a

nuestro medio. El concepto de robustez, ya sea siguiendo el modelo Taguchi o cualquier

otro modelo, es importante aplicarlo, porque

la calidad ya no debe ser una opcin, sino una obligacin.

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html, recuperado: 10 de mayo del 2010.