5.Gaia: SAREEN OINARRIZKO TEOREMAK

5.0 HELBURUAK.

5.1 GAINEZARPEN ETA LINEALTASUNA.

5.2 ORDEZKAPENAREN ERREGELA.

5.3 THEVENIN-EN TEOREMA.

5.4 NORTON-EN TEOREMA.

5.5 MILLMAN-EN TEOREMA.

5.6 KONPENTSAZIOAREN TEOREMA.

5.7 EKARREKIKOTASUNAREN TEOREMA.

5.8 BIBLIOGRAFIA.

2

• Teoria zein praktikako kuestioak ebazteko teoremen garrantziaz jabetzea.

• Zirkuitu linealak eta ez linealak bereiztea.

• Zirkuitu bat elkarrekikoa noiz den bereizten jakitea.

• Gainezarmenaren printzipioa sistema linealetan zergatik bakarrik erabil

daitekeen ulertzea.

• Izaera ezberdineko iturriak dituzten zirkuitu linealetan gainezarpenaren

aplikazioa ezagutzea.

• Ordezkapenaren erregela, zirkuitua moldatzen ez denean baino ezin dela

aplikatu onartzea.

• Konpentsazioaren legea aplikatzen deneko kasu errealak ezagutzea.

5.0 HELBURUAK

3

5.1 GAINEZARPEN ETA LINEALTASUNA. (1)

Linealtasuna:

Zirkuituaren sarreran konektatutako iturri bakarrez elikatutako eskailera formako zirkuituak

ebazteko, zuzenean aplika daiteke printzipio hori.

Adibidea:

Demagun irteerako seinalea balio unitarioa duela (1A).

Sarrerako seinalearen balioa zehaztuko dugu hautatutako 1A-ko irteerarako.

K konstantearen balioa zehaztuko dugu ( emaitzak K konstanteaz bidertuz lortuko dira).

K·SarreraIrteeraSarrera

IrteeraK =→=

Zirkuitu linealetan, irteerako seinalea sarrerako seinalearekiko proportzionala da.

8

3K

K30V

1A80V

=

→

→

1Ω 5Ω

8Ω

2Ω

6Ω

3Ω

8Ω 8Ω

2Ω

10ΩEg=30V

+

1Ω

80V

16V

16A 5Ω

8Ω

40V

64V

8A

8A

2Ω

6Ω

8V

24V

4A

4A

3Ω

8Ω

6V

16V

2A

2A

8Ω

2Ω

10Ω 8V

1A

2V

10V

1A

Eg=30V

+

4

1Ω

30V

6V

6A 5Ω

8Ω

15V

24V

3A

3A

2Ω

6Ω

3V

9V

1,5A

1,5A

3Ω

8Ω

2,25V

6V

0,75A

0,75A

8Ω

2Ω

10Ω 3V

0,375A

0,75 V

3,75V

0,375A

Eg=30V

+

5.1 GAINEZARPEN ETA LINEALTASUNA. (2)

Azken eskema honetan, benetako emaitzak adierazi dira. Aurreko zirkuitukoak K konstanteaz

bidertuz, bider 3/8 eginez alegia.

5

Gainezarpena:

Zenbait elikadura iturri duen zirkuitu batean lortuko dugun irteera seinalea, beste

zenbait seinaleen batura bezala lor daiteke, jatorrizko zirkuitutik lortutako beste

zenbait zirkuituen seinaleak batuz, alegia. Zirkuitu horietako bakoitzak iturri

guztiak pasibotuta edukiko ditu bat izan ezik.

Tentsio-iturria pasibotzeko zirkuitulaburtuko dugu. Korronte-iturria, aldiz, zirkuitu irekian

utziko dugu.

Adibidea: Irudiko zirkuituan kalkulatu I1 korrontearen balioa.

1 Ω

J2=10AE1=120 V

r1=1Ω 1Ω

E2=80 V

1 Ω

1Ω

E3=80 V

+

+

+

I1

5.1 GAINEZARPEN ETA LINEALTASUNA. (3)

6

1 ΩE1=120 V

1Ω 1Ω

1 Ω

1Ω

+

I1’ I2’

I4’

I3’=0A

1 Ω

1Ω 1Ω

E2=80 V

1 Ω

1Ω

+

I1’’ I2’’

I4’’

I3’’=0A

1 Ω

r1=1Ω 1Ω

1 Ω

1Ω

E3=80 V

+

I1’’’ I2’

I4’

I3’=0A

A72

21

211

120'1 =

+

⋅+

=IA32

21

2

12

121

80"1 =

+⋅

+

⋅+

=I

A162

1

2

112

80'''1 =⋅

⋅+

=I

1 ZIRKUITUA: Iturritik ikusitako erresistentzia totala

zehazten dugu: 1Ω eta 2 Ω-eko bi erresistentzia paraleloan eta 1Ω-eko beste hirugarren batekin seriean. Iturriko korrontea, iturriko tentsioa zati zirkuituko erresistentzia totala izango da.

2. ZIRKUITUA: Lehen bezala iturriak zirkuituari ematen dion korrontea zehazten da, horretarako E2 iturritik ikusitako erresistentzia totala zehaztu beharko da. Jarraian, korronte-zatitzailearen formula aplikatuz I1” zehaztuko dugu. Kontuan izan korronteak zentzuz aldatu dela.

3.ZIRKUITUA: 2 zirkuituan egindakoa honetan ere egingo da. Lehenengo zirkuituaren korronte totala zehaztu eta ondoren korronte-zatitzailearen formularen bidez, I1’’’ korrontea zehaztuko da.

5.1 GAINEZARMENA ETA LINEALTASUNA. (4)

1. ZIRKUITUA2. ZIRKUITUA

3. ZIRKUITUA

7

1 Ω

J2=10A

r1=1Ω 1Ω

1 Ω

1Ω

I1IV I2

IV

I4IV

I3IV=10A

A4102

10

2

IV1

IV1IV

1IV

1

IV4

IV2

IV1

IV1IV

4

IV2

IV1

=→=++→

=++

=

=

II

II

III

II

II

4 ZIRKUITUA: proportzionaltasunaren propietatea erabiliz ebatziko dugu. I1

IV, I2IV eta I4

IV korronteen adarrak paraleloan daude. I1

IV eta I2IV korronteek balio

bera dute, adarrek erresistentzia bera dutelako. Eta I4

IV–ren balioa aurrekoen erdia da erresistentzia bikoitza duelako. Datu horiekin ekuazio sistema planteatzen dugu eta bilatzen ari garen I1

IV korrontea ebatzi.

ERANTZUNA :Lau seinaleen gainezarpenaz: A204163272'''"' IV11111 =−−−=−−−= IIIII

5.1 GAINEZARPENA ETA LINEALTASUNA. (5)

4. ZIRKUITUA

8

Bakarrik erabiliko dugu, zirkuitu eratorrien ebazpena oso erraza denean.

Natura edo maiztasun ezberdineko iturriak dauzkagunean, derrigorrez erabili beharko dugu

teorema hau.

1 Ω

J2=10A

r1=1Ω 1Ω

1 Ω

1Ω

I1’’I2’’

I4’’

I3’’=10A

A4"102

"""

10"""

2

''''

''''

11

11

421

14

21

=→=++→

=++

=

=

II

II

III

II

II

=

−

−=

−

−

0

40

8080

80120·

31

12

B

A

I

I

A2416

120

31

12

30

140

'1 =−

=

−

−

−

== IIA

Lehengo 4. zirkuitua ebatzi dugun bezala ebatziko dugu, izan ere zirkuitu bera da.

1 ΩE1=120 V

r1=1Ω

E2=80 V

1 Ω

1Ω

E3=80 V

I1’ I2’ I4’

IA

IB+

+

+1 ZIRKUITUA (Tentsio iturriak bakarrik)

2 ZIRKUITUA (Korronte iturriak soilik)

EMAITZA Bi seinaleen gainezarpenaz: A20424"' 111 =−=−= III

Lau zirkuitu gainezarri beharrean (bat iturri bakoitzeko), oso erabilia den beste aukera, bi zirkuituen gainezarpena egitean datza: zirkuitu batek tentsio-iturri denak edukiko ditu eta besteak korronte iturri denak.

Estrategia horrekin, ez dira iturriak eraldatu behar.

5.1 GAINEZARPENA ETA LINEALTASUNA. (6)

9

Oharra

21

21

21

12

21

212211

·

·

····

RR

Rii

RR

Rii

RR

RRiRiiRU

S

S

S

+=

+=

+===

UR1

iS

i1

i2

R2

US

R1

i

U1

U2 R2 S

S

SS

URR

RiRU

URR

RiRU

RR

UiR·ii·RU

21

221

21

111

2121 edo

+=⋅=

+=⋅=

+=+=

Aurreko ariketan, bi eta hiru azpi zirkuituak ebazteko, korronte-zatitzailea erabili dugu, gogora dezagun zertan datzan:

Tentsio-zatitzaileaz ere hitz egin dezakegu:

5.1 GAINEZARPENA ETA LINEALTASUNA. (7)

10

5.2 ORDEZKAPENAREN ERREGELA (1)

Elementu pasibo baten muturretan u(t)=Z(D)·i(t) edo i(t)=Y(D)·u(t) erlazioetako bat

ezagutzen badugu, elementua u(t) baliodun tentsio-iturri batez edo i(t) baliodun

korronte-iturri batez ordeztu dezakegu, izan ere, Kirchhoff-en legeak zirkuituan

aplikatuz gero definizio ekuazioak ez dira aldatuko; Elikadura iturri horiek mendeko

iturriak izango dira.

ZIRKUITU

ELEKTRIKOAIo

Zirkuitulaburra

Korronte-iturri

ZIRKUITU

ELEKTRIKOA

u(t)=0 ig(t)=I0

Elementu pasiboaren borneen

arteko tentsioaren balio bereko

tentsio-iturri batez ordezten da

elementu pasiboa. Baina korrontea

zirkuitu bietan berdina izan beharko

da.

Zirkuitu irekiaren borneen

arteko tentsioaren balioa

duen tentsio-iturri batez

ordezten da zirkuitu irekia.

Korrontea nulua da zirkuitu

bietan.

Zirkuitulaburraren korrontearen

balio bereko korronte-iturri batez

ordezten da zirkuitulaburra.

Tentsioaren balioa zirkuitu

bietan nulua da.

Ikus daiteke zelan, elementua tentsio-iturri batez ordeztu denean, korronteak balio zehatz bat hartu behar duela eta korronte

iturri batez ordeztean tentsioa da balio zehatz bat izan behar duena. Enuntziatua horretaz ari da mendeko iturriak aipatzen

dituenean.

ZIRKUITU

ELEKTRIKOA

u(t)

i(t)

Z(D)

u(t) = Z(D)·i(t)

ZIRKUITU

ELEKTRIKOA

eg(t)

i(t)

u(t)

Elementu pasiboa

Tentsio-Iturri

+

ZIRKUITU

ELEKTRIKOA

u0

i(t)=0

ZIRKUITU

ELEKTRIKOAeg(t)=u0

i(t)=0

Zirkuitu Irekia

Tentsio-Iturri

+

11

Erregela hau erabil daiteke, hasierako egoeran karga duten kondentsadoreak eta harilak adierazteko. Ikus dezagun:

a) Hasieran karga duen kondentsadorearen kasua :u

0

u(t)

i(t)

u(t)

u0

u0=0

i(t)+

≡

Aurretik karga duen kondentsadoreak bere borneen artean u0 tentsioa dauka. uo balioko tentsio-iturri ideal bat eta berarekiko seriean karga gabeko kondentsadore batez ordeztuko da, eta taldearen jokabidea karga duen kondentsadorearen jokabide bera izango da.

∫∫∫∫ +=+==

∞−∞−

ttt

ttiC

uttiC

ttiC

ttiC

tu

00

0

0

d)(1

d)(1

d)(1

d)(1

)(

∫∫∫∫ +=+==

∞−∞−

ttt

ttuL

ittuL

ttuL

ttuL

ti

00

0

0

d)(1

d)(1

d)(1

d)(1

)(

b) Hasierako karga duen harilaren kasua:

≡

i0

u(t)

i(t)

i0=0

i1(t)=i0

i(t)

u(t)Zirkuitu biek ekuazio bera betetzen dute

Aurretik kargatutako harila, karga gabeko haril batez eta berarekiko paraleloan korronte-iturri ideal batez ordeztu daiteke, non iturriaren korrontea harilak zeukana den.

5.2 ORDEZKAPENAREN ERREGELA (2)

12

5.3 THEVENIN-EN TEOREMA.

Zirkuitu aktibo baten bi terminalen arteko zirkuitu baliokidea, Thevenin-en

arabera, dipoloaren bi terminalen artean jarritako tentsio-iturriak eta horrekiko

seriean jarritako inpedantzia batek osatuko dute.

Tentsio iturriaren balioa uTH(t):

dipoloaren borneen artean, zirkuitua

irekita dagoenean, agertzen den tentsioa izango da.

ZTH(D) inpedantzia: dipoloaren borneen artean dagoen

sarrerako inpedantzia izango da. Kalkulatzeko, iturriak

pasibotu beharko ditugu ( tentsio iturriak zirkuitulaburtueta korronte iturriak zirkuitu irekian utzi).

ZIRKUITU

ELEKTRIKOAuTH(t)

i(t)=0A

B

ZIRKUITU

PASIBOA

ZTH(D)

A

B

B

ZTH(D)

A

uTH(t)

ZIRKUITU

AKTIBOA

A

B

≡

•Zirkuituan mendeko iturriak badaude, dipoloaren borne bien artean edozein u(t) tentsio aplikatu eta A eta B-ren arteko i(t) korrontearen balioa zehazten da. Jarraian ZTH(D) lortzeko adierazpen hauxe erabiliko da:

)()(

titu

•A eta B-ren (borne horiekiko ari gara baliokidea kalkulatzen) alde bietara dauden zirkuitu zatien artean lotura magnetikoak badaude, ezin da Thevenin aplikatu.

13

5.4 NORTON-EN TEOREMA. (1)

Bipolo (bi borne eskuragarri dituen zirkuitu elektrikoa) aktibo baten zirkuitu

baliokidea, Nortonen arabera, korronte iturri ideal batek eta horrekiko paraleloan

jarritako admitantzia batek osatuko dute.

Korronte iturriaren balioa iN(t), bipoloaren borneen artean

zirkuitulaburrean dagoen korrontea

izango da, noranzkoa mantenduz.

Admitantziaren balioa YN(D), zirkuituko

sarrerako admitantzia da zirkuitua pasiabotu

denean.

ZIRKUITU

PASIBOA

YN(D)

A

B

iN(t)ZIRKUITU

ELEKTRIKOA

A

B

ZIRKUITU

AKTIBOA

A

B

YN(D)

A

B

IN(t)

14

Bipolo berean Norton eta Thevenin-en teoremak aplikatuz gero, lortuko ditugun zirkuitu biak,

baliokideak izango dira, ikus dezagun:

a) Baliokide biak zirkuitu irekian:

)D(

)()(

N

NTH

Y

titu =

b) Baliokide biak zirkuitulaburtuz:

)D(

)()(

TH

THN

Z

tuti = (2)

(1)

)D()D(1)D(

)D(

)(

)D(

)()( NTH

N

TH

TH

N

NTH YZ

Y

Z

tu

Y

titu ⋅=→==(1) eta (2) adierazpenetatik

)D(

1)D(

NTH

YZ =

)D(

1)D(

THN

ZY =

)(

)()D(

N

THTH

ti

tuZ =

Zirkuitu bien

parametroen

arteko

erlazioak

)()( TH tutu =

u(t)

B

ZTH(D)

A

uTH(t)

)D(

)()(

N

N

Y

titu =

u(t)YN(D)

A

B

IN(t)

)D(

)()(

TH

TH

Z

tuti =

i(t)

B

ZTH(D)

A

uTH(t)

)()( N titi =

i(t)YN(D)

A

B

IN(t)

5.4 NORTON-EN TEOREMA. (2)

15

5.5 MILLMAN-EN TEOREMA. (1)

Teorema honi esker, zirkuitu baten A eta B bi korapiloen arteko tentsioa, uAB(t)

ezagutzeko, nahiko da B korapiloan bat datozen adarretako inpedantziak ezagutzea

eta A puntuan bat datozen adarretako tentsioak ezagutzea.

Z1(D)i1(t)1

u1A(t)Z2(D)i2(t)2

Z3(D)i3(t)3

Zi(D)ii(t)i

ZN(D)iN(t)N

uAB(t)

AB

u2A(t)

u3A(t)

uiA(t)

uNA(t)

Demostraziorako zirkuitua komeni zaigunaren arabera txukuntzearren, ordezkapenaren

erregela erabiliz, zirkuitua moldatuko dugu:

- Adarretako inpedantziak tentsio-iturriez ordeztuko ditugu (ordezkapenaren erregela).- Irudikatu ditugun tentsioak aldiz inpedantziez ordeztuko dira (ordezkapenaren erregela).

16

B

A

Z1(D)

i1(t)

1

u1A(t) Z2(D)

i2(t)

2

u2A(t) Z3(D)

i3(t)

3

u3A(t) Zi(D)

ii(t)

i

uiA(t) ZN(D)

iN(t)

N

uNA(t)

......uAB(t)

eg1(t)

+

eg2(t)

+

egN(t)

+

egi(t)

+

eg3(t)

+

K1L A korapiloan:

)()()(

....................................

)()()(

....................................

)()()(

)()()(

)()()(

33

22

11

tutetu

tutetu

tutetu

tutetu

tutetu

ABgNNA

ABgiiA

ABgA

ABgA

ABgA

−=

−=

−=

−=

−=

)()()(

)()(

..............................................

)()()(

)()(

..............................................

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

333

33

222

22

111

11

tuDYDZ

tuti

tuDYDZ

tuti

tuDYDZ

tuti

tuDYDZ

tuti

tuDYDZ

tuti

NANN

NAN

iAii

iAi

AA

AA

AA

⋅==

⋅==

⋅==

⋅==

⋅==

( )( )( )

( )

( )

∑

∑∑∑∑

=

=

===

⋅

=⇒⋅−⋅==

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

⋅−⋅=−⋅=

⋅−⋅=−⋅=

⋅−⋅=−⋅=

⋅−⋅=−⋅=

⋅−⋅=−⋅=

n

ii

gi

N

ii

AB

N

iiABgi

n

ii

n

ii

ABngnnABgnnn

ABigiiABgiii

ABgABg

ABgABg

ABgABg

DY

teDY

tuDYtuteDYti

tuDYteDYtuteDYti

tuDYteDYtuteDYti

tuDYteDYtuteDYti

tuDYteDYtuteDYti

tuDYteDYtuteDYti

1

1

111

333333

222222

111111

)(

)()(

)()()()()(0)(

)()()()()()()()(

..............................................

)()()()()()()()(

..............................................

)()()()()()()()(

)()()()()()()()(

)()()()()()()()(K2L adar bakoitzean:

Ohm-en legea adar

bakoitzeko inpedantzian

5.5 MILLMAN-EN TEOREMA. (2)

17

5.6 KONPENTSAZIOAREN TEOREMA. (1)

Ordezkapenaren erregela behin eta berriz aplikatuz sortzen den teoremari esker,

zirkuitu elektriko bateko adar batean elementu pasibo baten balioa aldatzen dugunean zirkuituak pairatzen dituen intentsitate aldakuntzak erraz ezagutu ahal izango ditugu.

• Oso erabilgarria da proiektatzen ari garen zirkuitu batean elementuen tolerantzien eraginak ikertzeko, tolerantziek korronteen kalkuluetan sortarazten dituzten erroreak

ikertzeko, alegia.

•Teoremarekin zirkuitu batetako inpedantzia baten balioa aldatzen dugunean zirkuituko

adar ezberdinek zer nolako korronte aldakuntza pairatzen duten kalkula daiteke, eta iterazioak eginez diseinu-inpedantzia behar bezala kalkulatzen lagunduko digu.

GARAPENA:

i2

i1

ZIRKUITU ELEKTRIKOA Z(D)

in

Z(D)-renbalioa

handitzean

in+∆in

ZIRKUITU ELEKTRIKOA Z(D)+∆Z(D)

i2+∆i2

i1+∆i1

18

ZIRKUITU ELEKTRIKOA Z(D)+∆Z(D)

in+∆in

i2+∆i2

i1+∆i1

Z(D) eta ∆Z(D) seriean konektatutako bi inpedantzietan bereizten dira.

in+∆in

ZIRKUITU ELEKTRIKOA

∆Z(D)

i2+∆i2

i1+∆i1

Z(D)

1

Ordezkapen erregela aplikatzen badugu ∆Z(D)elementuan, ∆Z(D)(i1+∆i1) baliodun iturria agertuko zaigu eraldatutako adarrean :

2

ZIRKUITU ELEKTRIKOA

∆Z(D)[i1+∆i1]in+∆in

i2+∆i2

i1+∆i1

Z(D)

+

5.6 KONPENTSAZIOAREN TEOREMA(2)

19

Gainezarpenaren teorema aplikatuko dugu:Alde batetik ∆Z(D)(i1+ ∆i1) balioko iturria izan ezik beste guztiak dituen zirkuitua aztertuko dugu, hasierako zirkuitua alegia. Eta bestetik bakarrik ∆Z(D)(i1+ ∆i1) iturria daukan zirkuitua.

3

+

i2

i1

ZIKRUITU ELEKTRIKOA Z(D)

in

Hasierako Zirkuitua Zirkuitu pasiboa, elementu aktibo bakartzat, ordezkapen erregelarekin lortu dugun elikadura iturria ∆Z(D)(i1+ ∆i1) duena.

Iturria seriean dauden bi iturritan bana dezakegu: ∆Z(D)(i1+ ∆i1)= ∆Z(D)·i1+ ∆Z(D)·∆i1

ZIRKUITU

PASIBOA∆Z(D)[i1+∆i1]

∆in

∆i2

∆i1

Z(D)

+

5.6 KONPENTSAZIOAREN TEOREMA(3)

20

4

→ ∆Z(D)[∆i1] ∆Z(D)=

Ordezkapenaren erregela atzekoz aurrera aplikatuz.

Azkenean ebatzi beharko den zirkuitua:

Eta zirkuitu honetan zuzenean kalkulatuko ditugu ∆in guztiak. Hau da, adarretako batetan ∆Z(D) baliodun inpedantzia bat gehitzean zirkuituak pairatu dituen korronte aldaketak.

ZIRKUITU

PASIBOA

∆Z(D)[i1]

∆in

∆i2

∆i1

Z(D)

∆Z(D)[∆i1]

+

+

+

5

ZIRKUITU

PASIBOA

∆Z(D)∆in

∆i2

∆i1

Z(D)

∆Z(D)[i1]+

5.6 KONPENTSAZIOAREN TEOREMA (4)

21

5.7 ELKARREKIKOTASUNAREN TEOREMA (1)5.7.1 LEHEN ENUNTZIATUA.

Bedi 4 borne dituen zirkuitu pasibo bat. Bere borneetako biren artean (1 eta 1’)

korronte-iturri ideal bat sartzen badugu, zirkuitu irekian dauden 2 eta 2’ borneen

artean u22’(t) tentsioa agertuko da. Aurreko korronte-iturria, orain, 2 eta 2’ artean

sartzen badugu orduan 1 eta 1’-ren artean agertuko den u11’(t) tentsioa, aurreko

u22’(t) tentsioaren balio berekoa izango da.

u22’(t)ZIRKUITU

PASIBOA

1

2’

2

1’

i(t) = u11’(t)ZIRKUITU

PASIBOA

1

2’

2

1’

i(t)

22

Bedi eskura (1, 1’, 2, 2’) lau borne dituen zirkuitu pasibo bat. Demagun 1 eta 1’

borneen artean tentsio-iturri bat sartzen dugula eta 2 eta 2’ borneak

zirkuitulaburtzen ditugula, orduan 2tik 2’ra, i22’(t) korrontea azalduko da. Aldiz,

tentsio-iturria 2 eta 2’- ren artean jartzen badugu, 1 eta 1’ borneak zirkuitulaburtuz,

1 eta 1’ borneen artean agertuko den i11’ (t) korrontea aurreko kasuan agertutako

i22’(t) korrontearen balio berekoa izango da.

=i22’(t)+

i11’(t)ZIRKUITU

PASIBOA

1

2’

2

1’

eg(t)ZIRKUITU

PASIBOA

1

2’

2

1’

eg(t)+

5.7 ELKARREKIKOTASUNAREN TEOREMA (2)5.7.2 BIGARREN ENUNTZIATUA

23

5.8 BIBLIOGRAFIA

• V.M. Parra Prieto eta beste, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de Educación a

Distancia. Madril 1990. XVI. Gaia

• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. Egilea, Madril 1970.

7. kapitulua, 17, 18 eta 19. gaiak.• R.L. Boylestad, Análisis Introductorio de Circuitos, Prentice Hall, Mexiko 1998.

9. kapitulua

• A. Gómez, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madril

1990. 3.Kapitulua• P. Sánchez Barrios eta beste, Teoría de Circuitos, Pearson Educación, Madril 2007.

1. kapitulua