解析力學入門：Lagrangian 和 Hamiltonian 及其應用說明

這篇文章主要在給予已經修過普通物理和動力學的人，簡單地介紹解析力學中最基礎的 Lagrangain和 Hamiltonian兩式推演的由來和應用例子講解。涵蓋的內容將有：廣義座標系、虛位移與虛功、Lagrangian和 Hamiltonian兩式推導與應用。廣義坐標系

在 d維空間中的 n個質點，受到 k個限制，其自由度將為 nd-m。此時，指定m=nd-k個變化量作為座標，即構成系統的廣義座標系。一般會將廣義座標標記為 q。例 1：下圖的系統，2維空間、兩個質點、並受到 3個約束（兩個斜面以及繩長），總共只需要 1個廣義座標，標記為 s。

約束力與非約束力

在根據約束所構築的廣義座標系裡，可以很容易地判斷出約束力與非約束力。約束力指的是作用於約束方向的力，比如繩張力、地表給的正向力等等，而其他方向的力則為非約束力。

虛位移及虛功

在古典力學中，知道一質點在某任一時刻的位置以及速度，其接下來的瞬間移動路徑即為可知，我們稱之為可行位移。如果只知道該時刻下的位置，則不同的速度將造成不同的可行位移，這些可行位移之間的差值即為虛位移。

如上圖，可以看出虛位移的產生主要是由於該位置上可能有不同的速度；兩種可能的速度之間的動能差，定義成虛功。

δW i=12mi ( (v i+δ vi )2− v i

2)=12mi(( δ riδt+ ai δt)

2

−( δ riδt )2

)=mi ai ∙ δ ri

虛功定理及 Lagrangian 的推導

虛功定理是實驗性的定理（無法被證明），宣稱系統所受的淨虛功只有非約束力和虛位移內積造成。寫成數學式即為

∑i

n

(mi ai ∙ δ r i−Fi ∙ δ r i)=0

接著來看如何用廣義座標表示虛位移。δ ri=r i ,1−ri ,2

¿(∑jm ∂ r i∂q j

δ q j ,1)+( ∂ ri∂ t δt)−((∑jm ∂ r i∂q j

δ q j , 2)+( ∂ r i∂t δt))=∑j

m ∂ ri∂q j

δ q j

則∑i

n

mi ai ∙ δ ri=∑j

m

∑i

n

mi

d v idt

∙∂r i∂q j

δ q j=∑j

m

∑i

n

mi(ddt [ vi ∂ ri∂q j

]−v i ddt ∂ri∂q j)δ q j

又vi=

d ridt

=∑j

m ∂r i∂q j

q j+∂ r i∂ t

→∂ri∂q j

=∂ v i∂ q j

ddt

∂ ri∂q j

=∑j '

m ∂∂q j '

∂ ri∂q j

q j'+∂∂ t

∂r i∂q j

= ∂∂q j (∑j'

m ∂ ri∂q j'

q j'+∂ r i∂ t )= ∂

∂q j

d ridt

=∂ v i∂q j

所以∑j

m

∑i

n

mi( ddt [ v i ∂r i∂q j ]− v iddt

∂ ri∂q j )δ q j=∑

j

m

∑i

n

mi( ddt [ v i ∂ v i∂ q j ]−v i ∂ v i∂q j )δ q j

¿∑j

m

∑i

n

( ddt [ ∂T i

∂ q j ]− ∂T i

∂q j)δ q j=∑

j

m

( ddt [ ∂T∂ q j ]− ∂T

∂q j)δ q j

其中T i=

12mi v i ∙ v i∧T=∑

i

n

T i

即質點動能和系統總動能。另一方面

∑i

n

F i ∙ δ r i=∑j

m

∑i

n

F i ∙∂ r i∂q j

δ q j=∑j

m

Q j δ q j

其中Q j=∑

i

n

F i ∙∂ r i∂q j

定義為廣義力。我們於是有了底下式子：

∑j

m

( ddt [ ∂T∂ q j ]− ∂T

∂q j−Q j)δ q j=0

→ ddt [ ∂T∂ q j ]− ∂T

∂q j−Q j=0∀ j

此即 Lagrangian式的第一種型態。我們接著再將廣義力區分為保守力和非保守力，則保守力可以定義適當的位能場 U，使上式改寫成

ddt [ ∂T∂ q j ]− ∂T

∂q j+ ∂U∂q j

−Q 'j=0 ∀ j

最後定義 Lagrangian為 T-U，便能推導出 Lagrangian式的第二種型態：

ddt [ ∂L∂ q j ]− ∂L

∂q j−Q'

j=0∀ j

全微分對象、位形空間（configuration space）和相空間（phase

space）

請注意，位移、速度、加速度為m個廣義位移／速度／加速度和時間的函數，此m個廣義位移和時間組成位形空間，總共m+1個變數。另一方面，Lagrangian和 Hamiltonian則是廣義位移、廣義速度和時間的函數，廣義位移和廣義動量（稍後會提到）則共組相空間，總共 2m+1個變數。

T、U 和 Lagrangian 的形式

如前所述，速度可以表示成vi=

d ridt

=∑j

m ∂r i∂q j

q j+∂ r i∂ t

故T i=

12mi v i ∙ v i=

12mi((∑j '

m

∑j

m ∂ ri∂q j'

∂r i∂q j

q j ' q j)+2(∑jm ∂ ri∂q j

∂ r i∂ t

q j)+( ∂ r i∂ t )2

)T=T 0+T1+T 2

T 0=12∑i

n

mi( ∂ r i∂ t )2

T 1=∑j

m

∑i

n

mi

∂ r i∂q j

∂ r i∂ t

q j

T 2=12∑j'

m

∑j

m

∑i

n

mi

∂ri∂q j'

∂ r i∂q j

q j' q j

另一方面，位能場則可以表示成廣義位移和廣義速度的函數（某些位能場，如電磁場，可能和速度有關）。因此 Lagrangian將會是廣義位移、廣義速度和時間的函數。

Lagrangian 式子的應用

例 2：

如上圖，定義滑車上彈簧形變量 s為第一個廣義座標，滑車與牆連接之彈簧形變量 x為第二個廣義座標。動能 T：滑車上物件之位移為

r1= s+ x

滑車之位移為r2= x

因此系統總動能為T=1

2m ˙r 1 ∙ ˙r1+2m ˙r2 ∙ ˙r2=

12m ( s2+ x2+2 s x cosθ )+2m x2

系統的位能為U=1

2k s2+k x2−mgs(sinθ)

由於系統不受非保受的非約束力，故可以得到 Lagrangian式：ddt [ ∂L∂ s ]− ∂L

∂s−Q s=m s+m x cosθ+ks−m gsinθ=0

ddt [ ∂L∂ x ]− ∂L

∂ x−Q x=5m x+m scosθ+2kx=0

例 3：

上圖所示之光滑圓盤以 omega之角速率旋轉，中心掛著一顆彈簧，一物件掛在末端，在圓盤上移動。首先定義廣義座標 y和旋轉角度 theta。則我們有位移

r= y j˙r=− y θ i+ y j

因此就有動能T=1

2m ˙r ∙ ˙r=1

2m(( y θ )2+( y)2)

而位能則為U=1

2k ( y− y0 )2

廣義力方面，本系統不受外力或外力矩，因此兩個座標的廣義力皆為零。則兩個方向的 Lagrangian式各為

m y−my (θ)2+k ( y− y0 )=0ddt

[m y2 θ ]=2my y θ+m y2 θ=0→2m y θ+my θ=0

我們可以看出，y方向的式子是離心力和彈簧回復力的動力學方程式，theta方向的式子則是角動量守恆或者科氏效應的方程式。Omega則是系統的初始條件。

Hamiltonian 推導

Lagrangian式子有其精美之處，但在討論流體力學、量子力學或統計力學時，並不那麼方便。因此更好的做法是定義另外一套式子，改變函數的變數，這裡將

會使用 Legendre Transformation。我們定義 Hamiltonian為

H=∑j

m ∂L∂ q j

q j−L=∑j

m

p j q j−L

在接下去討論以前，我們可能要先說明式中偏微分的意義。從前面的應用中可以知道，Lagrangian對廣義速度偏微分，得到的不是動量就是角動量，因此我們將其稱為廣義動量，記為 p。我們來看看這樣的定義下會造成哪些後果。首先，Lagrangian的全微分為

d L=∑j

m

( p jd q j+∂L∂q j

d q j)+ ∂L∂ t dtdH=∑

j

m

( p jd q j+q j d p j−p jd q j−∂L∂q j

d q j)−∂L∂ t

dt

¿∑j

m

(q jd p j−∂L∂q j

d q j)− ∂L∂t

dt

H=H( p j , q j ,t )

所以∂H∂ t

=−∂L∂ t

, ∂H∂ p j

=q j ,∂H∂q j

=−∂L∂q j

並且dHdt

=∑j

m

( q j p j− ∂L∂q j

q j)−∂L∂t

=∑j

m

Q j q j−∂L∂ t

=∑j

m

Q j q j+∂H∂t

讓我們來看看 Hamiltonian代表的意義；我們知道 Lagrangian可能包含廣義速度的二次項、一次項、零次項；如果位能場只跟廣義位移有關、動能只和廣義速度的平方項有關（只包含 T_2），則可以證明 Hamiltonian就是系統總能量。

H=T+U if L=T2+U (q j)

這種條件下，當系統處於穩定狀態時（對時間偏微分等於零、非約束力不作功），我們就有總能量守恆的條件。最後我們也可以根據前面的關係式，推導出 Hamiltonian式：

q j=∂H∂ p j

p j=−∂H∂q j

+Q j

例 4：

光滑圓盤以定角速度 omega旋轉，上有兩物件由一彈性係數為 k之彈簧連接。試用 Lagrangian式推導出適當的運動方程式，並再利用 Hamiltonian式推導同樣的方程式。首先定義適當的廣義座標系。以圓盤中心為原點建立附體坐標系之後，第一組廣義座標 R定義為兩物件質心的座標：

R=m1 r1+m2 r2m1+m2

第二組廣義座標 r定義為兩物件之間的向量r=r2−r1

則兩物件座標可表示為r1=R−

m2 rm1+m2

, r2=R+m1 r

m1+m2

則系統總動能為T=1

2m1( ˙R−

m2 ˙rm1+m2

)2

+ 12m2( ˙R+

m1 ˙rm1+m2 )

2

¿ 12 (m1+m2) ( ˙R )2+1

2μ ( ˙r )2

μ=m1m2

m1+m2(減縮質量)

系統位能為U=1

2k ( r )2

由於位能和 R無關，第一組廣義座標的 Lagrangian使我們有ddt [(m1+m2 ) ˙R ]= d

dt˙pR=0

即系統總線動量守恆。

解第二組廣義座標的 Lagrangian式，我們先以物件一為中心將 r向量分成徑向速度 rho和切向角度 theta兩個廣義座標。則

L=12 (m1+m2 ) ( ˙R )2+ 1

2μ (( ρ )2+(ρ θ)2 )−12 k ρ

2

Rho方向的運動方程式：μ ρ−μ ρ ( θ )2+k ρ=0

Theta方向的運動方程式：ddt

[μ ρ2θ ]=0

即相對於質心，系統的角動量守恆。複習一下系統角動量的公式（G代表系統質心）：

H sys=∑i

n

mi ri× v i=∑i

n

mi( r iG

+rG)×( v iG

+ vG)¿∑

i

n

mi ri/G×v i /G+∑i

n

mi rG× vG=H sys ,G+ H G

從系統總動量守恆可知第二項守恆，現在又知道系統對質心的角度量守恆，故整個系統的總角動量也是守恆的。另外，如果我們定義相對於質心的角動量量值

μ ρ2θ=A則 Rho方向的運動方程式可改寫成

μ ρ− Aμ ρ3

+k ρ=0

我們可以看出，後兩項只跟 rho有關，可以視為由 rho的位能場造成的保守力的作用。因此可以把 Lagrangian式寫成和 theta無關的形式：

L=12 (m1+m2 ) ( ˙R )2+ 1

2μ ( ρ )2−(1

2k ρ2+ A2

2 μ ρ2)

在這個定義下位能場變成U=1

2k ρ2+ A2

2 μ ρ2

現在我們來看看 Hamiltonian式的解法。首先求出 Hamiltonian：H=∑

j

m ∂L∂ q j

q j−L=(m1+m2 ) ( ˙R )2+μ ( ρ )2

−12 (m1+m2) ( ˙R )2−1

2μ ( ρ )2+( 12 k ρ2+ A2

2μ ρ2 )¿ 12 (m1+m2) ( ˙R )2+1

2μ ( ρ )2+(1

2k ρ2+ A2

2 μ ρ2)

¿( pR)

2

2 (m1+m2 )+

(pρ)2

2μ+(12k ρ2+ A2

2 μ ρ2)

則˙R= ∂H

∂ pR=

pRm1+m2

, ρ=pρμ

˙pR=0 , ˙pr=−k ρ+ A2

μ ρ3