재무관리

제 13 강

포트폴리오 이론 2

•학습목표 포트폴리오이론과 최적포트폴리오의 선택에 대해 이해한다 .

1. 포트폴리오이론에 대해 이해한다 .2. 최적포트폴리오의 선택에 대해 이해한다 .

1. 포트폴리오이론

1) 포트폴리오이론과 분산투자효과 - 포트폴리오 (portfolio) : 두 개 이상 여러 자산의 조합 (combination of two or

more assets) - 일반적으로 분산투자를 위해서 주식 , 채권 같은 금융자산이나 부동산 같은

실물자산 가운데 다수를 선택 · 결합한 조합으로 통칭 - 재무관리에서는 주로 증권에 적용되어 투자위험을 줄이기 위한

분산투자조합안의 의미로 사용 (1) 포트폴리오이론 - 마코위츠 (H. Markowitz, 1952) : 포트폴리오이론의 기초를 처음으로 제공 오늘날 투자결정론의 한 축을 이루고 있다 . - 마코위츠가 주장한 이론의 기본개념 : 확률과 분산을 이용하여

포트폴리오의 기대수익률과 위험을 측정하는 기법을 처음으로 제시 - 포트폴리오 구성을 통한 분산투자로 투자위험의 감소효과

1. 포트폴리오이론

1) 포트폴리오이론과 분산투자효과 (2) 포트폴리오효과 ( 분산투자효과 ) - 이성적이고 합리적인 투자자 : 다수의 증권을 매입하여 포트폴리오를

구성하여 분산투자 ( 이유 : 기대수익률을 유지하면서 총투자위험의 감소가 가능하기 때문 )

- 포트폴리오효과 또는 분산투자효과 ( 분산효과 ) : 불확실성하에서 위험회피를 위해서 분산투자를 함으로써 위험의 저감효과를 얻는 것

- 자본예산에도 적용 - 포트폴리오관리 (portfolio management) : 다수의 자산에 투자하는 활동을

체계적으로 계획 , 실행 , 평가하는 관리활동

2) 포트폴리오의 기대수익률 측정 - 포트폴리오의 기대수익률과 위험 측정의 기본원리 : 평균과 분산 - 기대수익률 : 평균값 ( 기대수익률 ) - 위험 : 분산 - 포트폴리오의 기대수익률을 구하는 방법 : 2 개 방법

1. 포트폴리오이론

2) 포트폴리오의 기대수익률 측정

(1) 포트폴리오 수익률의 확률분포로부터 기대 ( 평균 ) 값을 구하는 방법

(2) 포트폴리오의 수익률을 가중평균하는 방법

nE (Rp) = ∑ rps · ps s =1

E(Rp) : 포트폴리오 (p) 의 기대수익률 rps : s 상황에서의 포트폴리오 (p) 예상수익률 ps : s 상황이 일어날 확률 (m 개의 상황 )

nE (Rp) = ∑ wiE (Ri) t =1

단 , ∑wi = 1 wi : 주식 i 에 대한 투자비율

1. 포트폴리오이론

3) 포트폴리오의 위험측정 - 포트폴리오의 위험 : 포트폴리오의 수익률에 대한 분산 또는 표준편차로

측정 (1) 포트폴리오 수익률의 확률분포로부터 직접 구하는 방법

(2) 투자비율에 따라 가중한 가중분산과 가중공분산의 합계로 산출하는 방법

Var (Rp)= σ

2

=

n∑s =1

[rps-E (Rp)]2psp

Var(Rp), σ

2 : 포트폴리오 수익률의 분산p

Var (Rp) = σ

=

=

=

2p w 2

Aσ2

A+w 2

Bσ2

B+ 2wAwBCov(rA, rB)

w 2A

σ2A

+w 2B

σ2B

+ 2wAwB σAB

w 2A

σ2A

+w 2B

σ2B

+ 2wAwB ρAB σA σB

BA

BAAB

rrCov

,여기서 ,

1. 포트폴리오이론

3) 포트폴리오의 위험측정 - 공분산 (covariance) : 두 주식 A, B 의 수익률이 같은 방향 또는 다른

방향으로 움직이는 경향 (tendency) 정도를 나타낸 값 - 공분산 : 각 증권의 수익률과 기대수익률의 편차들의 곱에 대한 기대값 (

확률을 곱한 값 ) 으로 측정

Cov (ri, rj) = σij

=

n∑s=1

[ris-E (Ri )][rjs-E (Rj)]ps

Cov (ri, rj)ris

rjs

ps

: i, j 주식 수익률간의 공분산 (σij 로 표시 )

: s 상황에서 i 주식의 수익률 : s 상황에서 j 주식의 수익률 : s 상황이 발생할 확률

1. 포트폴리오이론

3) 포트폴리오의 위험측정 - 공분산이 2 개인 경우 : A, B 두 주식으로 포트폴리오를 구성할 때 , ①

주식 A 의 분산이 1 개 , ② 주식 B 의 분산이 1 개 , ③ 주식 A 와 B 의 공분산이 2 개 발생

- 공분산의 크기 : 개별증권의 분산 , 상관관계 , 투자비율에 따라서 달라짐 .

포트폴리오의 분산계산

주식 A 주식 B

주식 A wAwAσAA= wAwB σAB

주식 B wBwA σBA wBwBσBB=w σ2B

2B

w σ2A

2A

1. 포트폴리오이론3) 포트폴리오의 위험측정 - 상관관계 : 상관계수로 나타냄 상관계수 (correlation coefficient) : 두 변수간의 공분산을 각 변수의

표준편차의 곱으로 나누어 표준화한 값으로 ρ(rho) 로 나타내며 , － 1로부터 ＋ 1 까지의 범위를 가짐 σij = ρijσiσj

pij

=

σij

(-1≤ ρij ≤+1)σiσj

구성 증권간의 상관관계

rj

ri

① ρij=+1.0rj

ri

② 0 ＜ ρij ＜ 1rj

ri

③ ρij=-1.0

rj

ri

④ -1 ＜ ρij ＜ 0rj

ri

⑤ ρij= 0

3) 포트폴리오의 위험측정 - 포트폴리오의 위험 : ① 개별증권의 위험 , ② 구성 증권간의 공분산

및 상관계수 ,   ③ 각 증권에 대한 투자비율이라는 세 가지 요인에 의해서 결정

- 가장 효율적인 포트폴리오 : 가장 높은 기대수익률과 가장 낮은 분산을 갖는 포트폴리오

4) 포트폴리오의 투자비율 , 상관계수 , 위험의 관계

- 포트폴리오의 위험 : 포트폴리오를 구성하는 1) 개별증권의 위험 , 2) 구성 증권간의 공분산 및 상관계수 , 3) 각 증권에 대한 투자비율이라는 세 가지 요인에 의해서 결정

1. 포트폴리오이론

4) 포트폴리오의 투자비율 , 상관계수 , 위험의 관계

- 예제 ) 주식 A, B 의 예상 기대수익률은 각각 10%, 40% 이고 , 표준편차가 각각 10%, 30% 라고 가정한다 . 두 주식에 대한 투자금액비율의 합은 1(100%) 로 투자비율을 < 표 > 와 같이 달리할 때 , 두 증권의 상관계수가 ρAB ＝＋ 1, ρAB ＝－ 1, ρAB ＝ 0 인 경우에 이들 포트폴리오의 기대수익률과 표준편차를 산출해 보면 , 다음과 같음

투자비율과 상관계수에 따른 포트폴리오의 기대수익률과 위험

투자비율 ρAB ＝＋ 1 ρAB ＝－ 1 ρAB ＝ 0

wA wB E(Rp) σp E(Rp) σp   E(Rp) σp

 100%   0% 10 10.0 10 10.0 10 10.0

70  30 19 16.0 19  2.0 19 11.4

50  50 25 20.0 25 10.0 25 15.8

30  70 31 24.0 31 18.0 31 21.2

 0 100 40 30.0 40 30.0 40  30.0

1. 포트폴리오이론

투자비율과 상관계수에 따른 포트폴리오의 기대수익률과 위험

E (Rp)

σp

40

31

25

20

19

10

100 2 1111.4 16 18 21.2 24 302015.8

ρAB=-1

B

ρAB=0

ρAB=+1

A

4) 포트폴리오의 투자비율 , 상관계수 , 위험의 관계

1. 포트폴리오이론

4) 포트폴리오의 투자비율 , 상관계수 , 위험의 관계 - 상관계수가 ＋ 1 인 경우 : 포트폴리오의 기대수익률과 위험은 비례적으로

증가하는 선형관계 - 상관계수가 － 1 인 경우 : 투자비율의 조정에 따라 위험이 0 인 포트폴리오

구성이 가능 * 기대수익률이 일정 수준으로 주어진 경우 : 개별증권간의 상관계수가 적을수록 위험분산효과가 커지고 , 완전 음 ( － ) 의 상관관계일 때 위험은 최소가 됨

- 현실적으로 주가는 음의 상관관계보다는 양 ( ＋ ) 의 상관관계로 움직이는 것이 일반적이다 . 따라서 － 1 의 상관관계는 존재하기 어렵고 , 통상 상관관계는 － 1 과 ＋ 1 사이의 값을 가지므로 포트폴리오의 기대수익률과 위험의 관계는 곡선형태를 나타낸다 . * 상관관계가 － 1 에 가까울수록 : ρAB ＝－ 1 의 두 직선에 근접하는 곡선

* 상관관계가 ＋ 1 에 가까울수록 : 점차 ρAB ＝＋ 1 직선쪽으로 근접

* 상관관계가 0 인 경우 : 위험분산효과가 있기 때문에 기대수익률과 위험의 관계는 곡선형태로 나타남 . 이는 수익률 증가에 비해 위험이 상대적으로 적게 증가하기 때문임

1. 포트폴리오이론

1) 효율적 포트폴리오와 효율적 프론티어

- 최적포트폴리오 : 투자대상이 되는 수많은 위험자산 중 기대수익률은 가장 높으면서 위험은 가장 낮은 자산들의 조합

- 마코위츠 (H. Markowitz, 1952) 가 주장하는 포트폴리오 선택이론 전제 : 위험자산 위험자산만으로 구성된 포트폴리오 선택에 주안점을 두고 이론

을 전개 - 선택의 출발점 : 평균 · 분산기준의 선택원리

포트폴리오의 기대수익률 : 확률변수를 반영하여 구한 평균값 포트폴리오의 위험 : 분산 ( 표준편차 ) 이란 통계적 기법을 이용하

여 구한 값

2. 최적포트폴리오의 선택

1) 효율적 포트폴리오와 효율적 프론티어 - 평균 · 분산기준 (mean-variance criterion ： MV 기준 ) 선택원리 :

기대수익률 ( 평균값 ), 위험 ( 분산 , 표준편차 ) 이라는 기준 잣대를 사용하여 포트폴리오를 선택하는 원리

- 지배원리 (dominant principle) * 기대수익률이 동일하다면 위험이 가장 낮은 포트폴리오를 선택 * 동일한 위험이라면 기대수익률이 가장 높은 포트폴리오를 선택

- 투자기회집합 (investment opportunity set) : 투자가능한 포트폴리오의 기대수익률과 위험의 조합으로 이루어진 집합

2. 최적포트폴리오의 선택

지배원리와 효율적 프론티어

D

C

BA

OP Q

0 위험 : σ

기대수익률 : E (Rp)

투자기회집합

1) 효율적 포트폴리오와 효율적 프론티어

2. 최적포트폴리오의 선택

1) 효율적 포트폴리오와 효율적 프론티어 - 그림 설명 - 효율적 포트폴리오 (efficient portfolio) : 투자기회집합 + 지배원리를

적용할 때 , 지배원리를 가장 만족시키는 포트폴리오 . [그림 ] 에서 곡선 OACD 효율적 포트폴리오 : 투자가능한 포트폴리오들 가운데 동일한

기대수익률을 갖는 포트폴리오들 중에서 최소의 위험을 갖거나 , 동일한 위험을 갖는 포트폴리오들 중에서 최대의 기대수익률을 갖는 포트폴리오를 의미 - 효율적 프론티어 (efficient frontier) 또는 효율적 투자기회선 , 효율적

투자선 , 효율적 포트폴리오선 : 효율적 포트폴리오로 이루어진 집합 , [그림 ] 에서 곡선 OACD QPOACD : 투자기회집합 가운데 위험 ( 분산 ) 을 가장 최소화시키

는 포트폴리오들로 이루어진 집합 . 즉 최소분산투자기회들의 집 합이어서 최소분산포트폴리오 (minimum variance portfolio ： MVP) 또는 최소분산투자기회선이라 한다 .

2. 최적포트폴리오의 선택

2) 투자자의 효용함수와 최적포트폴리오의 선택

- 마코위츠의 평균 · 분산 포트폴리오이론 : 무위험자산을 고려하지 않은 위험자산들만으로 구성된 포트폴리오 선택이론 . 즉 위험자산들로 구성된 포트폴리오들 중에서 가장 위험이 낮으면서 가장 높은 기대수익률을 갖는 최적포트폴리오를 선택하는 이론 .

- 이 이론은 다음의 몇 가지 가정을 전제로 해서 전개 ① 모든 투자자들의 투자기간은 1년이다 . ② 투자자들은 위험회피적이고 자신의 효용을 극대화하려는 합리

적 투자자 (rational investor) 이다 . ③ 투자결정은 투자대상의 기대수익률과 위험 ( 분산 , 표준편차 ) 에

의존하며 , 평균 · 분산기준 ( 지배원리 ) 에 따라 투자대상을 선택한다 . ④ 자본시장에는 마찰적 요인이 없어 거래비용과 세금이 없으며 , 모

든 투자자들은 무위험이자율로 대출과 차입을 무한정으로 할 수 있다 .

2. 최적포트폴리오의 선택

2) 투자자의 효용함수와 최적포트폴리오의 선택 - 투자자 개인의 효용곡선＋효율적 프론티어 → 최적포트폴리오의 선택이 가능 - 투자자의 효용 → 효용함수 : 기대수익과 위험이라는 두 변수와 함수관계

- 효용함수 : [그림 ] 에서 위험 · 수익에 대해 무차별곡선 - 효용의 무차별곡선 + 효율적 프론티어 결합 → 접점 PA, PB 에서

최적포트폴리오 결정 - 최적포트폴리오 (optimal portfolio) : 효율적 프런티어 위의 수많은 효율적

포트폴리오들 가운데 개인 투자자의 효용을 극대화시키는 포트폴리오

E (U ) = f [E (R ), σ]

2. 최적포트폴리오의 선택

< 그림> 효율적 프런티어와 최적포트폴리오

기대수익률 : E(Rp)

위험 : σ

X

Z

PB

PA

IA1Y

IA2

IA3

IB1

IB2

IB3

효율적 프런티어 : XY

무차별곡선 IB : 공격적 투자자의 무차별곡선

무차별곡선 IA : 방어적 투자자의 무차별곡선

따라서 무차별곡선 IA 을 가진 투자자 : PA 에서 최적포트폴리오를 선택

무차별곡선 IB 를 가진 투자자 : PB 에서 최적포트폴리오를 선택

2. 최적포트폴리오의 선택

3. O/X 문제

* O/X 문제1. 재무관리에서 위험이란 미래가격의 변동성을 의미한다 . ( )2. 포트폴리오는 2 개 이상의 자산의 조합을 의미한다 . ( )3. 포트폴리오를 하는 이유는 기대수익률을 크게 하기 위해서이다 . ( )

=> 정답 : 1. O 2. O 3. X

4. 익힘문제

★ 다음 설명 중 가장 옳은 것은 ? (1) 포트폴리오효과는 위험을 줄이는 데만 목적이 있다 . (2) 포트폴리오 위험은 상관계수와 관련이 있으나 투자비율과는 관련이 없다 .

(3) 위험이란 미래에 발생 가능한 상황을 정확히 예측할 수 없는 불확실성의 정도를 의미한다 .

(4) 상관계수는 0 과 1 사이의 값을 갖는다 .

=> 정답 : 3

익힘문제 풀이

- 포트폴리오효과는 투자자가 원하는 기대수익률을 유지하면서 위험을 줄이고자 하는 것으로서 , 위험만을 줄이는 데 목적을 두지 않는다 .

- 포트폴리오 위험은 Var (Rp) = 으로서 , 개별자산의 위험 , 상관계수 , 투자비율과 밀접한 관련이 있다 .

- 위험은 미래에 발생 가능한 상황을 정확히 예측할 수 없는 불확실성의 정도로서 , 분산 또는 표준편차로 측정된다 .

- 상관계수는 -1~+1 사이의 값을 갖는다 . 상관계수가 -1 일 경우 두 자산은 완전히 반대로 움직이고 , 0 일 경우 두 자산은 무관하고 ( 독립적 ), +1 일 경우 같은 방향으로 움직임을 나타낸다 .

w 2A

σ2A

+w 2B

σ2B

+ 2wAwB ρAB σA σB

제 13 강의 토론 주제

★ 마코위츠의 포트폴리오이론에서 최적의 포트폴리오가 투자자에 따라 다양하게 존재하는 이유는 무엇 때문인가 ?

해답 : 마코위츠의 평균•분산 포트폴리오이론은 위험자산들로 구성된 포트폴리오들 중에서 가장 위험이 낮으면서 가장 높은 기대수익률을 갖는 최적포트폴리오를 선택하는 이론이다 . 마코위츠의 지배원리 (최소분산포트폴리오와 효율적포트폴리오 ) 에 따라 구성된 효율적 프론티어 선상의 조합들은 최적의 포트폴리오를 달성할 수 있는 조합들이다 . 여기서 , 각 투자자의 효용을 나타내는 무차별곡선과 효율적 프론티어와 접하는 점에서 최적포트폴리오를 선택하게 되는 것이다 . 이때 투자자의 효용을 나타내는 무차별곡선은 투자자의 효용에 따라 다양하다 .

제 13 강 주제의 요약

1) 포트폴리오이론과 분산투자효과 - 포트폴리오 (portfolio) : 두 개 이상 여러 자산의 조합 (combination of two o

r more assets) 으로서 재무관리에서는 주로 증권에 적용되어 투자위험을 줄이기 위한 분산투자조합안의 의미로 사용

(1) 포트폴리오이론 - 마코위츠가 주장한 이론 (2) 포트폴리오효과 ( 분산투자효과 ) - 포트폴리오효과 또는 분산투자효과 ( 분산효과 ) : 불확실성하에서

위험회피를 위해서 분산투자를 함으로써 위험의 저감효과를 얻는 것 2) 포트폴리오의 기대수익률과 위험 측정 - 포트폴리오의 기대수익률과 위험 측정의 기본원리 : 평균과 분산 - 기대수익률 : 평균값 ( 기대수익률 ) - 위험 : 분산 - 포트폴리오의 위험 : ① 개별증권의 위험 , ② 구성 증권간의 공분산 및

상관계수 ,  ③ 각 증권에 대한 투자비율이라는 세 가지 요인에 의해서 결정

제 13 강 주제의 요약

3) 최적포트폴리오의 선택 - 마코위츠의 평균 · 분산 포트폴리오이론 : 무위험자산을 고려하지 않은

위험자산들만으로 구성된 포트폴리오 선택이론 . 즉 위험자산들로 구성된 포트폴리오들 중에서 가장 위험이 낮으면서 가장 높은 기대수익률을 갖는 최적포트폴리오를 선택하는 이론

* 투자자의 효용함수와 최적포트폴리오의 선택 - 효용의 무차별곡선 + 지배원리에 의한 효율적 프론티어 결합 - 최적포트폴리오 (optimal portfolio) : 효율적 프런티어 위의 수많은

효율적 포트폴리오들 가운데 개인 투자자의 효용을 극대화시키는 포트폴리오

감사합니다 .