แนวเดิ�นและกราฟออยเลอร�

Walk and Eulerian Graph

บทน�ยาม ให้� U และ V เป็�นจุ�ดิยอดิของกราฟแนวเดิ�น U-V (U-V walk) คื�อล�าดิ บ

จุ�าก ดิของจุ�ดิยอดิและเส้�นเชื่�#อมส้ล บก นU = U0 , e1 , U1 , e2 , U2 , e3 , U3 , … ,en , Un = Vโดิยเร�#มต้�นท&#จุ�ดิยอดิ U และไป็ส้�(นส้�ดิท&#จุ�ดิยอดิ V และแต้)ละเส้�นเชื่�#อม e1 จุะเก�ดิก บจุ�ดิยอดิ Ui-

1 และ Ui เม�#อ i { 1 , 2 , 3 , … , n }

***เดิ�นระห้ว)างจุ�ดิท&#ไม)ม&เส้�นเชื่�#อมไม)ไดิ�

ต้ วอย)างท&# 1 พิ�จุารณากราฟท&#ก�าห้นดิให้�

1. จุงเข&ยนแนวเดิ�นจุาก A ไป็ B (2แนวเดิ�น)…………………………………………………………………………………………………2. จุงเข&ยนแนวเดิ�นจุาก E ไป็ D (2แนวเดิ�น)…………………………………………………………………………………………………

A

B

C

D

E

F

e1

e2

e3 e

4 e5

e6

e7

e8

e9

A , e2 , B ห้ร�อ A , e5 , F , e8 , C , e3 , B

E , Dห้ร�อ E , A , F , C , F , E , D

ต้ วอย)างท&# 2 พิ�จุารณากราฟท&#ก�าห้นดิให้�

1. จุงเข&ยนแนวเดิ�นจุาก A ไป็ F (2แนวเดิ�น)…………………………………………………………………………………………………2. จุงเข&ยนแนวเดิ�นจุาก A ไป็ E (2แนวเดิ�น)…………………………………………………………………………………………………

AB

C

DE

F

A , B , D , F

ห้ร�อ A , C , B , D , E , F

A , B , D , E

ห้ร�อ A , C , B , D , F , D , E

ต้ วอย)างท&# 3 พิ�จุารณากราฟท&#ก�าห้นดิให้�

1. จุงเข&ยนแนวเดิ�นจุาก B ไป็ D (2แนวเดิ�น)…………………………………………………………………………………………………2. จุงเข&ยนแนวเดิ�นจุาก C ไป็ A (2แนวเดิ�น)…………………………………………………………………………………………………

B

A

C

D

e1

e2

B , C , Dห้ร�อ B , e2 , A , D

C , C , D , A

ห้ร�อ C , B , e1 , A

บทน�ยาม ให้� U และ V เป็�นจุ�ดิใดิ ๆ ในกราฟ G เรากล)าวว)าแนวเดิ�น U-V เป็�นแนวเดิ�นป็-ดิ (Closed walk) เม�#อ U=VA

B

C

DE

Fต้ วอย)างแนวเดิ�นป็-ดิแนวเดิ�น B, C, D, B E, F , D, C, B, D, E เป็�นต้�น

แนวเดิ�น U-V เป็�นแนวเดิ�นเป็-ดิ (Opened walk) เม�#อ UV

AB

C

DE

F

ต้ วอย)างแนวเดิ�นเป็-ดิแนวเดิ�น B, C, D, C, D E, F , D, C, B, D เป็�นต้�น

บทน�ยาม1 .แนวเดิ�น U-V ท&#ม&เส้�นขอบไม)ซ้ำ�(า

ก น เราเร&ยกแนวเดิ�น U-V น (นว)า รอยเดิ�น (Trail)

2. แนวเดิ�น U-V ท&#ม&จุ�ดิยอดิไม)ซ้ำ�(าก น เราเร&ยกแนวเดิ�น U-V น (นว)า ว�ถี& (Path)3. แนวเดิ�นท&#ป็ระกอบดิ�วยท�กจุ�ดิในกราฟ G เราเร&ยกแนวเดิ�นน (นว)า แนวเดิ�นแบบทอดิข�ามของกราฟ G (Spanning walk)

บทน�ยามเพิ�#มเต้�มให้� U และ V เป็�นจุ�ดิใดิ ๆ ในกราฟ G เรากล)าวว)ารอยเดิ�น U-V เป็�นรอยเดิ�นป็-ดิ (Closed trail) เม�#อ U V และ รอยเดิ�น U-V เป็�นรอยเดิ�นเป็-ดิ (Opened trail) เม�#อ UV

บทน�ยาม (ต้)อ)

5. ว ฏจุ กร (Cycle)คื�อแนวเดิ�น U0 ,U1 ,U2 , U3 , … , Un ซ้ำ1#ง n 3 , U0 = Un และ U1 ,U2 , U3 , … , Un เป็�นจุ�ดิยอดิท&#แต้กต้)างก น n จุ�ดิ เร&ยกว ฏจุ กรท&#ม&คืวามยาว n ว)า ว ฏจุ กร n ( n-cycle )

4. วงจุร (Circuit) คื�อ แนวเดิ�นท&#เส้�นเชื่�#อมท (งห้มดิแต้กต้)างก นโดิยม&จุ�ดิเร�#มต้�นและจุ�ดิส้�(นส้�ดิเป็�นจุ�ดิเดิ&ยวก น

จุากร2ป็ จุงพิ�จุารณากราฟต้)อไป็น&(ว)าม& แนวเดิ�น รอยเดิ�น วงจุร ว ฏจุ กร ห้ร�อ ว�ถี& ห้ร�อไม)

A

B

CD

E

1. C , D , E , Cเป็�น แนวเดิ�น รอยเดิ�น วงจุร ว ฏจุ กร2. C , D , E , C , Aเป็�น แนวเดิ�น รอยเดิ�น

3. C , D , E , C , A , B , Cเป็�น แนวเดิ�น รอยเดิ�น วงจุร

4. B , A , C , E , Dเป็�น แนวเดิ�น รอยเดิ�น ว�ถี&

รายการ

เส้�นเชื่�#อม

จุ�ดิเร�#มต้�นจุ�ดิส้�(นส้�ดิ

จุ�ดิภายใน

ซ้ำ��� ไม่�ซ้ำ���

ซ้ำ��� ไม่�ซ้ำ��� ซ้ำ��� ไม่�ซ้ำ���

แนวเดิ น 1. แนวเดิ นปิ�ดิ 2. แนวเดิ นเปิ�ดิรอยเดิ น 3. รอยเดิ นปิ�ดิ 4. รอยเดิ นเปิ�ดิ

ว ถี�วงจรว�ฏจ�กร

ต้ วอย)างท&# 4 จุงพิ�จุารณากราฟท&#ก�าห้นดิให้� และเต้�มเคืร�#องห้มายลงในต้ารางให้�ถี2กต้�อง

รายการ แนวเดิ�น

รอยเดิ�น

ว�ถี& วงจุร

ว ฏจุ กร

1. A , B , C , D , E , B2. B , C , D , E , F3. D , C , A , B , D4. D , E , F , D , C , B , D

AB

C

DE

F