549 Matematica Matrizes Determinantes Teoria Exercicios Macelo Mendes
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SRie ENSiNO
TC
PR-UNIVERSITRIO
____/____/____
Rumo ao ITA N 05
MARCELO MENDES
MATEMTICAALUNO(a)
TURMa TURNO DaTa
SeDe
N
PROFeSSOR(a)
OSG.: 60672/12
Determinantes I
Regras prticasDeterminantedeordem2
a11 a12a21 a22
a11 a22 a12 a21
+
=
Determinantedeordem3(RegradeSarrus)
+ + +
a11 a12a21 a22a31 a32
a13a23a33
a11 a12a21 a22a31 a32
=
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12a21a33
CofatorSeA=(n
11)entoA
11=1(cofatordeelementoa
11)
SeAmatrizquadradadeordemn2entoAij=(1)
i+jDij,ondeDijodeterminantequeseobtmdeMsuprimindoalinhaieacolunaj.
Teorema de LaplaceOdeterminantedeumamatrizquadradaigualsoma
dosprodutosdoselementosdeumalaqualquerpelosrespectivoscofatores.
Propriedades
I. Determinante igual a zero
Odeterminantedeumamatrizquadradaigualazeroseamatrizpossui:
a) umalanula.b)duaslasparalelasiguais.c) duaslasparalelasproporcionais.d)umalaquecombinaolineardasoutraslasparalelas.
II. Determinante no se altera
Odeterminantedeumamatrizquadradanosealterase:a) trocarmosordenadamentelinhasporcolunas(detM=detMt).b) somarmosaumalaumacombinaolineardeoutraslas
paralelas(TeoremadeJacobi).
III. Alterao no determinante
Odeterminantedeumamatrizquadradadeordemnaltera-se:a) trocandodesinal,quandoduaslasparalelas trocamde
lugarentresi.b)candomultiplicadopor ,quandooselementosdeuma
lasomultiplicadospor.c) candomultiplicadopornquandoamatrizmultiplicada
pora,ouseja:det(A)=ndetA,ondenaordemdamatriz.
Observao:
Entende-seporlaqualquerlinhaoucolunadeumamatriz.
IV. Propriedades complementares
a) TeoremadeBinet SendoAeBmatrizesquadradasdemesmaordem,ento: det(AB)=detAdetBb)Quandotodososelementosacimae/ouabaixodadiagonal
principalforemzeros,odeterminanteseroprodutodoselementosdadiagonalprincipal.a 0 0 0x b 0 0y z c 0m n p d
= abcd
V. Adio de determinantes
SeMeMsomatrizes,deordemn,idnticasexcetonai-simalinha,ento
detM=detM+detM,ondeMumamatrizdeordemnidnticasmatrizesMeM,excetonasuai-simalinha,queobtidasomando-seasi-simaslinhasdeMeM.
Exerccios
01. (UFSE)OdeterminantedamatrizA=(aij)33,ondeay=2ij,
iguala:A)12 B) 8 C)0 D)4E) 6
02. Mostrequea a a aa b b ba b c ca b c d
a b a c b d c= ( )( )( ).
03. Provequea b ca b cbc ca ab
a ab bc c
2 2 2
2 3
2 3
2 3
111
= .
04. Veriqueque1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
++
+
=x
yz
xyz.
05. Seja a matriz A = [aij] n n. AmatrizB obtida deA,multiplicando-se,nesta,cadaelementoaijpork
ij,kR*.DemonstrequedetB=detA.
Gabarito Determinantes I
01 02 03 04 05
C
Demonstrao
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OSG.: 60672/12
TC MaTeMTiCa
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Sistemas Lineares
Matriz Inversa I
De nioM1ainversadeMse,esomentese,MM1=M1M=In.
Propriedades
I. A1nicaII. (A1)1=AIII. (AB)1=B1A1
IV. (At)1=(A1)t
V. detdet
AA
=1 1
Teorema de Cauchy
AsomadosprodutosdoselementosdeumalaqualquerdeumamatrizM,ordenadamente,peloscofatoresdoselementosdeumalaparalela,igualazero.
Matriz Adjunta (A)
denida como sendo a transposta damatrizN doscofatores,ouseja,A=Nt.
PropriedadeAA=AA(detA)In.
Teorema
AA
A = 11
det.
Corolrio:A1detA0.
Observao:
aA
A i jij ji
= 1 1det
, ,
Exerccios
01. (ITA)Sendo A =
1 2 10 3 23 1 2
, entooelementodaterceira
linhaeprimeiracoluna,desuainversa,seriguala:
A) 58 B)
9
11
C) 611
D) 2
13
E) 113
02. (EN)Dadasasmatrizes:A e B= =
4 32 1
1
41
1
42
, entoa
somadamatrizinversadeAcomodobrodamatriztranspostadeB:
A)0
7
21
22
B)
3
4
1
65
25
C)1
2
1
42 0
D)
0 13 2
03.
A)Mostre que se umamatriz inversvel, ento o seudeterminantediferentedezero.
B)Calcu le o determinante da inversa da matr iz
P =
2 1 1
2 1 1
0 2 2
.
04. (Mack)SedetA=5e Aa
=
1
4
51
5
2
5
entoaiguala:
A) 8
5 B) 0
C) 15 D)
3
5
E)2
5
05. (Mack)Seja A =
1 00 1 . Ento(A+A1)3iguala:A)matriznuladeordem2.B)matrizidentidadedeordem2.
C)1
2A
D)27AE) 8A
06. (IME)DetermineumamatriznosingularPquesatisfaaequaomatricial.
P A =
1 6 00 1
, onde A =
1 25 4
07. SendoA =
1 2 34 1 12 0 3
, obteroelementoa 231 damatrizinversa
deA.
08. (IME)Umamatrizquadradadenominadaortogonalquandoasuatranspostaigualasuainversa.Considereessadenio,determineseamatriz [R],abaixo,umamatrizortogonal,sabendo-sequen uminteiroeumnguloqualquer.Justiquesuaresposta.
[ ]cos( ) sen( )sen( ) cos( )R
n nn n=
00
0 0 1
09. (UFC)SejamA,BeA+Bmatrizesnn(n1)invertveis.Encontreumaexpressopara(A1+B1)1emtermosdeA,(A+B)1eB.
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OSG.: 60672/12
TC MaTeMTiCa
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10. ( ITA) Julgue: Sejam A , B e C matr izes quadradasn n tais queAeB so inversveiseABCA=At,entodetC=det(AB)1.
11. (ITA) Julgue: Sejamm en nmeros reais comm n e as
matrizes:A B= = 2 13 5 1 10 1, . SabendoqueamatrizmA+nBnoinversvel,entomenpossuemsinaiscontrrios.
Gabarito Matriz Inversa I
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11
0 V * F * * * V
Demonstrao
* 06: 1 6 25 6 4//
Anotaes
AN18/08/12Rev.:Tony
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OSG.: 60672/12
TC MaTeMTiCa
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