48653868 Exercicios Resolvidos de Algebra Linear Matrizes e Deter Min Antes
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Exercícios resolvidos de
Álgebra Linear
(Matrizes e Determinantes)
Tes
tes
e Se
ben
tas
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Índice:
1. Matrizes
1.1. Igualdade de matrizes … 3
1.2. Transposta de uma matriz … 3
1.3. Multiplicação por um escalar … 3
1.4. Produto entre matrizes … 4
1.5. Propriedades do produto entre matrizes … 5
1.6. Matrizes invertíveis … 6
1.7. Operações elementares sobre uma matriz … 7
1.8. Forma escalonada de uma matriz … 7
1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes … 8
2. Determinantes
2.1. Cálculo de determinates … 9
2.2. Propriedades dos determinantes … 10
2.3. Resolução de sistemas … 10
2.4. Sistemas de Cramer … 12
2.5. Sistemas Homogéneos … 12
2.6. Característica da matriz … 13
2.7. Discussão de sistemas … 14
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1. Matrizes
1.1. Igualdade de matrizes:
Para que valores de e de as matrizes A e B são iguais?
A =
B =
Resolução:
A = B =
1.2. Transposta de uma matriz:
Considere as matrizes A, B e C. Calcule se possível:
1. AT + B
2. ( C – AT )T
A = B = C =
Resolução:
1. AT + B Não é possível porque as matrizes têm ordens diferentes.
Ordem: AT (3 2) B (3 2)
2. ( C – AT )T = CT – A = – =
1.3. Multiplicação por um escalar:
Considere as matrizes A e C. Calcule:
3A – ½ CT
A =
B =
Resolução:
3A – ½ CT = – =
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1.4. Produto entre matrizes:
1. Considere as matrizes A e B. Calcule o produto:
a. AB
b. BA
A =
B = T
Resolução:
a. AB = [1 5 + 0 3 + ( 2) 4] = [ 3]
b. BA = =
2. Calcule todos os produtos possíveis (com 2 factores) com as seguintes
matrizes:
A =
3
B = C =
D = E = I =
Resolução:
CD = =
IB = =
CA = = =
BC = = =
DE = =
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EA = = =
BI = = =
1.5. Propriedades do produto entre matrizes:
1. Simplifique: A(BC – 2CB) + A(2C – B)C + (BA – AB)C
Resolução:
A(BC – 2CB) + A(2C – B)C + (BA – AB)C =
ABC – 2ACB + (2AC – AB)C + BAC – ABC =
ABC – 2ACB + 2ACC – ABC + BAC – ABC =
−2ACB + 2ACC – ABC + BAC
2. Sendo A = e AB = , determine a 1ª e 2ª colunas
de B
Resolução:
=
3. Considere A = e B = ; resolva a seguinte equação
matricial: BA + 5X = A
Resolução:
BA + 5X = A 5X = A – BA X = 1/5(A – BA)
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BA = =
A – BA = – =
X = 1/5(A – BA) = 1/5
4. Dizemos que uma matriz M é simétrica se M’ = M. Supondo que A e B são
matrizes simétricas tais que AB = BA, prove que AB também é simétrica.
Resolução:
Hipótese:
– A é simétrica: AT = A
– B é simétrica BT = B
– AB = BA
Tese: AB é simétrica: (AB)T = AB
(AB)T = BTAT = BA = AB ⇒ AB é simétrica, c.q.d.
1.6. Matrizes Invertíveis
1. Simplifique CTB(AB) –1(C–AT)T
Resolução :
CTB(AB) –1(C–AT)T =
CTBB–1A–1(AT)T(C–1)T =
CTIA–1A(C–1)T =
CTII(C–1)T =
CT(C–1)T =
CT(CT)–1 = I
2. Sejam A e B matrizes invertíveis; resolva as seguintes equações matriciais:
a. AX + A2 = B
b. B–1X–1 = AB2
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Resolução:
a. AX + A2 = B A–1AX = A–1(B+A2) X = A–1B – A–1AA
X = A–1B – A
b. B–1X–1 = AB2 BB–1X–1 = BAB2 (X–1) –1 = (BAB2) –1
X = (B2) –1A–1 X = B–2A–1B–1
3. Determine X tal que:
(X–1 – 3I)T = 2
Resolução:
(X–1 – 3I)T = 2 [(X–1 – 3I)T]T = T
X–1 – 3I = X–1 = + 3
X–1 = + (X–1) –1 = –1
X = –1
1.7. Operações elementares sobre uma matriz :
Efectue operações elementares sobre a matriz A = de modo a
obter uma matriz do “tipo” triangular superior.
Resolução:
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1.8. Forma escalonada de uma matriz:
Calcule a forma escalonada da seguinte matriz:
A =
Resolução:
A =
1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes:
Calcule a inversa da matriz A = e da matriz B =
Resolução:
[ A | I ] =
= [ I | A–1 ]
A–1 =
[ B | I ] =
forma
escalonada de A
forma escalonada
reduzida de A
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= [ I | B–1 ]
B–1 = 1/2
2. Determinantes
2.1. Cálculo de determinantes:
1. Calcule os seguintes determinantes:
a) A = b) B =
c) C =
Resolução:
a. = 3×(−2)−4×1 = −6−4 = −10
b. Pela Regra de Sarrus:
= 1×0×6+4×8×3+2×0×(−1)−3×0×2−
(−1)×8×1−6×0×4 = 104
c. det B = 0×C11 + 1×C21 + 0×C31 + 0×C41 = −M21 =
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= − = −(−1×C11 + 0×C21 + 1×C31) =
= C11 – C31 = M11 – M31 = − =
= (0−24) – (3−9) = −24 + 6 = −18
2.2. Propriedades dos determinantes:
Sejam A, B ∈ ℳ3×3 (ℝ) tais que det A = −2 e det B = ¼ Calcule:
1. det (2A) 2. det (A4BT) 3. det (−B) 4. det (5ATB) 5. det (AB–1AT) 6. det (B–1A2B) 7. det [1/2 (B–1)T]
Resolução:
1. det (2A) = 23×det A = 8×det A = 8×(−2) = −16 2. det (A4BT) = det (A4)×det (BT) = det(A4)×det B =
= det A×det A×det A×det A×det B = (det A)4×det B = (−2)4 ×1/4 = = 4 3. det (−B) = −13×det B = − det B = −1/4 4. det (5ATB) = 53×det (ATB) = 53×det(AT)×det B =
= 53×det A×det B = 125×(−2)×(1/4) = −125/2 5. det (AB–1AT) = det A×det (B−1)×det (AT) = det A×(1/det B)×det A =
= −2×4×(−2) = 16 6. det (B–1A2B) = det (B−1)×det (A2)×det (B) =
= (1/det B)×(det A)2×det B = (−2)2 = 4 7. det [1/2 (B–1)T] = (1/2)3×det[(B−1)T] = (1/8)×det (B−1) =
= (1/8)×(1/det B) = ½
2.3. Resolução de sistemas :
Resolve os seguintes sistemas:
1.
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2.
3.
Resolução:
1. ↝
↝
C.S. =
2. ↝
↝
↝ SIST. IMP.
C.S. = ∅
3. ↝
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↝
C.S. =
2.4. Sistemas de Cramer:
Verifique se os seguintes sistemas são de Cramer:
1.
2.
Resolução:
1. A =
det A = 2×(−2)−3×1 = −4−3 = −7 ≠ 0 ⇒ É sistema de Cramer.
2. A =
det A = 1×C11 = M11 = = 2−2 = 0 ⇒ Não é sistema de Cramer.
2.5. Sistemas homogéneos:
Considere o sistema
1. Mostre que (-2, 1, 0) é a solução do sistema dado.
2. Determine o conjunto solução desse sistema.
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Resolução:
1. AX = B onde A = , X = e B =
X1 = AX1 = B
AX1 = × = = = B
2. Pela alínea anterior, X1 =
Sistema homogéneo associado: AX = 0
⟶ SIST. POSS. E INDET. (grau de ind. = 1)
C.S.M =
C.S. = =
2.6. Característica da matriz:
Diga qual a característica das seguintes matrizes:
A =
SIST. IMP.
B =
SIST. POSS. E IND.
C =
SIST. POSS. E DET.
Resolução:
A) car A = 2
Car (A|B) = 3
B) car A = 2
car (A|B)=2
n.º inc. = 3
C) car A = 3
car(A|B) = 3
n.º inc. = 3
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2.7. Discussão de Sistemas:
Discute os sistemas em função dos parâmetros:
1.
2. 3.
1. ↝
Caso 1: se (3−5k)/2 = 0 k = 3/5
car A = 2 car(A|A) = 2 n.º inc. = 3
Se k = 3/5 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−2 = 1)
Caso 2: se (3−5k)/2 ≠ 0 k ≠ 3/5
car A = 3
car (A|B) = 3
n.º inc. = 3
Se k∈ℝ\ então SIST. POSS. E DET.
2. ↝
=
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Caso 1: se a−1 = 0 a = 1 então
= car A = 1 car(A|B) = 1 n.º inc. = 3
Se a = 1 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−1 = 2)
Caso 2: se a−1 ≠ 0 a ≠1 então
Caso 2.1: se 2−a− = 0 a = 1 ∨ a = −2
= car A = 2 car(A|B) = 3
Se a = −2 (a ≠ 1) então SIST. IMP.
Caso 2.2: se 2−a− ≠ 0 a ≠ 1 ⋀ a ≠ −2
car A = 3 car(A|B) = 3 n.º inc. = 3
Se a ≠ 1 e a ≠ −2 então SIST. POSS. E DET.
3. ↝ =
Caso 1: se c = 0 então:
=
Caso 1.1: se 1 + (d/2) = 0 d = −2 então
car A = 2 car(A|B) = 2 n.º inc. = 3
Se c = 0 e d = −2 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−2 = 1)