PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE RADICALES.

1º) Ordena de menor a mayor los siguientes radicales, reduciéndolos a índice común: 3,5,16 8 73 .

Solución: Reduzcamos los radicales a índice común, para ellos expresémoslos como potencia de exponente fraccionario.

21

87

31

8 73 3,5,163,5,16 ⇒ . Como sabemos, el índice de un radical es el denominador de la fracción del exponente. Así, si queremos reducir los radicales al mismo índice (reducción a índice común), tendremos que hallar fracciones equivalentes de los exponentes con el mismo denominador, pues, insisto, el denominador de un exponente es el índice del radical.

Así, ⇒⇒⇒ 24 1224 2124 82412

2421

248

21

87

31

3,5,163,5,163,5,16242424 531441,031254768371582,4294967296

Así, como tienen igual índice, el menor de esos radicales es el que menor radicando tenga, es decir,

242424 0312547683715824294967296531441

c)

32

1522

32

1512

1510

32

54

32

32

54

32

32

32

54

32

32

3524

3322

3522

3322

5322

3322

7532

278

7532

278 2

2

4

2

2

=⋅

+=⋅

+=⋅+⋅=⋅+⋅

=+=+=⋅

⋅+

⋅

⋅=+=+

.

Nota: Si se quiere, también se puede poner la solución como

45622

315622

3153222

33153222

315222

32

1522

32

1522

2=

⋅=

⋅=

⋅⋅

==⋅= .

3º) Simplificar las expresiones:

a) 172172

−+

b) 315

953227−−

+−

c) 33

33

5431631652

−−

Solución: a)

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( )

( )33

17233172

27

172

174172

17722172

17272172

172

172172172172172

172172

2

*2

22

22

2

+=

⋅

+=

+=

−⋅

+

=−⋅⋅⋅

+=

−⋅+

=−

+=

+⋅−+⋅+

=−+

Racionalizando la última expresión ( )

93212

3331372

3333172

33172

172172 +

=⋅

⋅+⋅⋅=

⋅⋅+

=+

=−+

* Téngase en cuenta que xx =2 . b)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1222222

2222253

222153

3225153153

315

315153

315

315353233315315

315953227315

953227

22

22

22

−=−

=−

=−

=−

−⋅+=

−−

+−⋅+=

=−−

+−⋅⋅+−=

+−⋅−−+−⋅+−

=−−

+−

c)

339

2329

29262102

2332232252

2332232252

5431631652

3

3

33

33

33

33

3 33 3

3 33

33

33

−=−−

=−−

=−

−=

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−

=⋅−⋅

⋅−=

−−

4º) Racionalizar:

a) 515

2+

, b) 15

53

−, c)

2121

+− , d)

315

−, e)

457+

, f) 1273

+− , g)

52 , h)

3 72 ,

i) 12

1−

, j) 25

14 −

, k) 352

8+−

, l) 3 3

3

52281

Solución: a)

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )5

51551551515

102

105152

5155152

515

5152515515

5152515

222

−=−⋅=−⋅

=−⋅

=−

−⋅=

−

−⋅=

−⋅+−⋅

=+

b) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

455

4555

4555

41555

4155

15155

15

1551515

15515

5

36 536 3236 36 2

3333

22

333

+=

+⋅=

+⋅

=⋅+⋅

=+

=−

+=

−

+=

+⋅−+

=−

c) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )( ) 2231

22311

1223

1223

12221

2122121

21

2121212121

2121

22

22

2

+−=+−

=−⋅−

−⋅−

=−

−=

−+−

=−

+⋅⋅−=

−

−=

−⋅+−⋅−

=+−

d) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2355

23515

2315

213151

2315

31315

31

3153131

31531

522

−−=

⋅−⋅−=

+⋅−

=−⋅−+⋅⋅−

=−+⋅

=−+⋅

=−

+⋅=

+⋅−+⋅

=−

e) ( )

( )( ) ( ) ( )

112857

114757

11457

11457

165457

45

45745

722

+−

=⋅+⋅−

=−⋅−

=−

−⋅=

−−⋅

=−

−⋅=

+

f) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1472337143231

714323

12727323

12

1727132312121273

1273

22

−++−=+−−=+−−

=−

+⋅−−=

−

⋅+⋅−⋅−⋅=

−⋅+−⋅−

=+

−

Observación: La igualdad 14723371432 −++−=+−−3 es obvia y no es necesario ponerla. La he puesto para hacer coincidir esta solución 714323 +−− con la propuesta inicialmente 147233 −++− .

g) ( ) 552

552

5

5255

525

222

=⋅

=⋅

=⋅

⋅=

h) 7492

7492

7772

7772

72 3

3 3

3

3 2

3 2

3 23

3 2

3==

⋅=

⋅

⋅=

52281

i) ( )( ) ( ) ( ) 12112

1212

12

121212

12112

122

+=+

=−+

=−

+=

+⋅−+⋅

=−

j) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) 165

42524555

45

4525

45454525

4525

4525

25

252525

25125

1

44

22

4

44

4 2

4

224

4

44

4

4

−⋅+⋅+⋅+⋅

=−

+⋅+

=+⋅−+⋅+

=−+

=−

+=

−

+=

+⋅−+⋅

=−

Recuérdese que 554 ⋅ no se pueden multiplicar, a no ser que pongamos radicales equivalentes a cada uno que tengan el mismo índice (reducción a índice común). Así

4 244 5555 ⋅=⋅ .

( ) ( )( )

11854252125

11852545

1111852545

118525455

118525455

44444 3

44 344 244 24

−−−−=

−−−−

=−⋅−

−⋅+++=

−+++⋅

=−

+++⋅

¿Alguna duda en la última igualdad

11854252125

11852545 44444 3 −−−−

=−−−− ? Por supuesto que el lector/a se

habrá dado cuenta que está todo igual, salvo 44 2 2525252 == y salvo el orden de los sumandos, insistiendo en que “... la he puesto para hacer coincidir esta solución

11852545 44 3 −−−− con la propuesta inicialmente

11854252125 444 −−−− ”.

k)

( )( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )

( ) ( )( )[ ] ( )

( )( )[ ] ( )

( ) ( ) =⋅−+⋅−−

=−

+⋅⋅−−

=+⋅−

+⋅−−⋅=

−−−⋅

=−

−−⋅=

−−−

⋅

=−⋅

−−⋅=

−−−⋅

=−+−

−−⋅=

−+⋅⋅−

−−⋅

=−−

−−⋅=

−−⋅+−−−⋅

=+−

=+−

252542208352

252

2524352

2522522523524

2523524

2523524

252352

28

25223528

21043528

3521023528

355222

3528

352

3528352352

3528352

8352

8

22

222

22

52281

( ) ( )

( )

2361034247

232610342472

4662038294

4662038210028

46620382100404028

4623203821002204028

46232038220522208528

225422038322052852

++

=⋅−

++⋅−=

−−−−

=−

−−−

=−

−−−+−=

−⋅−−−⋅+−

=−

−−⋅−+⋅−=

⋅−⋅−⋅−⋅−+⋅−

l)

666

666 66 66 7

3 3

6 43

3 2

6 46 3

3 23

3 2

3

331333

333

333

333

33

333

3333

3333

33

=⋅=⋅

=⋅

=⋅

=⋅

==⋅

=⋅

⋅=

⋅

⋅=

2453500452 −+33 1654250 −−

baabbaa 533 +−

2252

258

92

−+

( )3 3

2725083 +−

( )

5º) Simplificar: a) b) 3

c) 3

d)

e)

f) 5

4

4580180455 −++

g) 12

34

ba

ab

ba

⋅

Solución: a)

( ) 55521106521510567531055327531055327531055322453500452 222222

−=−+=−+=⋅−⋅+⋅⋅

=−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+

b) ( ) 0202235222325

22325222325222325233333

33333 33 333 333 33 33 3

=⋅=⋅−−=⋅−−

=⋅−⋅−⋅=−−=⋅−⋅−⋅

c)

( ) ( ) abbaababaabaabbababaababbaaabaabbabaaabaabbaa

⋅−=⋅+−=+−

=⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=+−22222

2422533

433

333

52281

d)

3222

322

1510

15210

1522625

15222325

152

522

32

152

522

32

2252

258

92

2252

258

92 2

=⋅=⋅==−+

=−⋅+

=−+=−⋅

+=−+=−+

e) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3914

3914

33314

33314

314

327

3227

32262526

3232252223

3232252223

3232252223

32725083

3

3 3

3

3 2

3 2

3 23

3 2

333

333

2222

3

2222

3

=⋅

=⋅

⋅=

⋅

⋅==

⋅=

=+−

=⋅⋅+⋅−⋅⋅

=+−

=⋅⋅+⋅−⋅

=+−

f) ( ) ( ) ( )

5

4

5

4

5

42

5

4

4556

455456535

4552532535

4580180455

⋅

=−++

=⋅−⋅⋅++

=−++

Se recuerda que los radicales con distinto índice 4 55 ⋅ (el índice del primero es 2 y el del segundo es 4) no se pueden multiplicar, a no ser que se pongan radicales equivalentes a cada uno de los radicales de forma que tengan el mismo índice (reducción a índice común).

5

4 3

5

4 3

5

4 3

5

4 2

5

44 2

5

4

456

456

456

4556

4556

4556

⋅=⋅

=⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅

Se recuerda que los radicales con distinto índice 5

4 3

45 (el índice del numerador es 4 y el

del denominador es 5) no se pueden dividir, a no ser que se pongan radicales equivalentes a cada uno de los radicales de forma que tengan el mismo índice (reducción a índice común).

204

15

20 4

20 15

5

4 3

456

4

56456 ⋅=⋅=⋅

g) 12

34

ba

ab

ba

⋅

Se recuerda que los radicales con distinto índice 34ab

ba

⋅ (el índice del primero es 4 y

el del segundo es 3) no se pueden multiplicar, a no ser que se pongan radicales equivalentes a cada uno de los radicales de forma que tengan el mismo índice (reducción a índice común). Así:

52281

612

2

122

2

12

12

12

12

1243

43

12

124

4

3

3

12

12

43

12

12

4

12

3

12

34

:

ab

ab

ab

ba

ab

baab

baabba

ba

ab

ba

ba

ab

ba

ba

ab

ba

ba

ab

ba

=

=

===⋅⋅

=⋅

=

=

⋅

=⋅

6º) Demuestra que los siguientes números son enteros:

a) 347347 −++

b) 324324 −−+

c) 33 2142021420 −++Pista: Dale nombre a cada número, por ejemplo x, y resuelve la ecuación con radicales resultante. Ten cuidado al llegar a la solución, pues al elevar los dos miembros de una ecuación a un número, se pueden introducir soluciones no válidas.

Solución: a) x=−++ 347347 Resolvamos esta ecuación con radicales:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )19228019231631628

38383163474383823472

38347238347234723434

34734723473473472347

347347347347347347

242422

24222222

2

222

22

22

22

22

+−=⇒+⋅−=⋅−

⇒⋅+⋅−=−⋅⇒+⋅⋅−=

−⋅

⇒−=

−⇒−=−⇒−−=+

⇒−+−−=+⇒

−+−−=+

⇒

−−=

+⇒−−=+⇒=−++

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxx

019228 24 =+− xx2xy = 0192282 =+− yy

La ecuación es una ecuación bicuadrada, la cual con el cambio , se convierte en la ecuación de segundo grado . Así:

( ) ( )

2428

21628

276878428

276878428

12192142828 2

±

=±

=−±

=−±

=⋅

⋅⋅−−±−−=y

Es decir: 162

322

4281 ==

+=y ; 12

224

2428

2 ==−

=y .

Como hicimos el cambio , no se puede olvidar el deshacer el cambio: 2xy =4161616 22 ±=±=⇒=⇒== xxyx

Ejercicios difíciles:

52281

3232121212 222 ±=⋅±=±=⇒=⇒== xxyx . Por tanto, las soluciones a la ecuación son 019228 24 =+− xx

32,32,4,4 −==−== xxxx .

Dado que x=−++ 347347 , y nos dicen que es un número entero y además es

fácil ver que 0347347 >−++ , así el número 347347 −++ será 4. Es

decir, 347347 −++ =4.

b) x=−−+ 324324 . Resolvamos esta ecuación con radicales:

( )

( ) ( ) ( ) ( )048161648381638316

3244383434324234234

324234324234324234

32432423243243242324

324324324324324324

24242242

2422

22222

22222

22

2

22

=+−⇒=+⇒⋅−=+⋅−⋅

⇒−⋅=+⋅−⋅⇒

−⋅=+⋅⋅−

⇒

−=−⇒−=−⇒−+=

⇒−+−+=+⇒

−+−+=+

⇒

−+=

+⇒−+=+⇒=−−+

xxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxx

04816 24 =+− xx2xy = 0048162 ==+− yy

La ecuación es una ecuación bicuadrada, la cual con el cambio , se convierte en la ecuación de segundo grado . Así:

( ) ( )

2816

26416

219225616

219225616

1248141616 2

±

=±

=−±

=−±

=⋅

⋅⋅−−±−−=y

Es decir: 12224

2816

1 ==+

=y ; 428

2816

2 ==−

=y .

Como hicimos el cambio , no se puede olvidar (¡Hay del alumno olvidadizo que se le olvida deshacer siempre cualquier cambio!) el deshacer el cambio:

2xy =

3232121212 222 ±=⋅±=±=⇒=⇒== xxyx2444 22 ±=±=⇒=⇒== xxyx

Por tanto, las soluciones a la ecuación son 019228 24 =+− xx32,32,4,4 −==−== xxxx .

Dado que x=−−+ 324324 , y nos dicen que es un número entero y además es

fácil ver que 0324324 >−−+ , así el número 324324 −−+ será 2. Es

decir, 324324 −−+ =2.

c) x=−++ 33 2142021420 . Resolvamos esta ecuación con radicales:

⇒=

−++⇒=−++ 3

33333 21420214202142021420 xx

52281

33

32

33

32

33

3

2142021420214203

2142021420321420

x=

−+

−⋅

+⋅+

−⋅

+⋅+

+

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

333

333

333

33 33 3

333

333

333

33223

22

33

3

33 23 2

33 33 2333 23 3

2142021420604

21420621420604

2142023214202304

2142023221420304

2142083821420304

21420392400339240021420304

21420214214400321421440021420304

214202142032142021420340

214202142021420214203

214202142021420321420

21420214202142032142021420321420

21420214202142032142021420321420

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

−++⋅+⇒

=−+++⇒

=−⋅⋅++⋅⋅+⇒

=−⋅⋅+⋅+⋅+⇒

=−⋅⋅+⋅+⋅+⇒

=−⋅−⋅+−⋅+⋅+⇒

=−⋅⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⇒

=−⋅

−⋅+

−⋅+⋅+⇒

=−+−⋅−⋅+⋅+

−⋅+⋅+⋅++⇒

=−+−⋅+⋅+−⋅+⋅++⇒

=−+−⋅+⋅+−⋅+⋅++⇒

Pero resultaba que x=−++ 33 2142021420 . Por tanto la ecuación a resolver es 0406604 33 =−−⇒=+ xxxx .

Sabemos que las soluciones que sean números enteros de la ecuación , están entre los divisores de –40, a saber:

04063 =−− xx40,20,10,8,5,4,2,1 ±±±±±±±± . Probemos con

x=4, por Ruffini: 1 0 -6 -40

4 4 16 40 1 4 10 0

Por tanto, ( )( ) 01044406 23 =+−−=−− xxxxxIntentemos seguir descomponiendo el polinomio : 1042 +− xx

( ) ( )2

2442

4016412

101444 2 −±=

−±=

⋅⋅⋅−−±−−

=x

1042 +− xx

, es decir, el polinomio

no descompone más. Por tanto:

( )( )

+−

=⇒=−⇒=+−−=−−

reales números losen soluciones tieneno que104404

01044406 223

xxxx

xxxxx

Luego 42142021420 33 ==−++ x . 7º) Hallar dos números racionales positivos m y n tales que verifiquen:

a) nm +=+ 11211

52281

b) nm −=− 6411Solución: a)

( ) ( ) ( )nmnmnmnmnmnm

nnmmnmnm

++=+⇒+⋅+=+⇒++=+

+⋅⋅+=+⇒+=

+⇒+=+

411211211211211211

2112111121111211

2

2222

Por tanto, queda resolver el siguiente sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:

==+112411

mnnm

( )

=−+−⇒=−⇒=−

−=⇒

0281111244411211411

22 mmmmmmmn

Luego: ( ) ( )

( )

=−−

=−

−−=

=−−

=−

+−=

⇒−

±−=

−±−

=−

−±−=

−⋅−⋅−⋅−±−

=

72

142

311

428

2311

2311

2911

211212111

1228141111 2

m

m

m

Por tanto: • Si m 74114 =−=⇒= n• Si m 47117 =−=⇒= n

b)

( )nmnmnmnm

nmnmnmnm

+−=−⇒+⋅−=⋅−

⇒+−=−⇒−=

−⇒−=−

4961126411

2641164116411

22

22

Por tanto, queda resolver el siguiente sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:

==+96411

mnnm

( )

=−+−⇒=−⇒=−

−=⇒

02411964449611411

22 mmmmmmmn

Luego: ( ) ( )

( )

=−−

=−

−−=

=−−

=−

+−=

⇒−

±−=

−±−

=−

−±−=

−⋅−⋅−⋅−±−

=

82

162

511

326

2511

2511

22511

29612111

1224141111 2

m

m

m

Por tanto: • Si m 83113 =−=⇒= n• Si m .38118 =−=⇒= n

Pero si m=3 y n=8, resulta que 00963,183 =− , y por tanto, esta solución m=3 y n=8 hay que desecharla. Como conclusión, m=8, n=3 son los únicos dos números racionales positivos que

verifican nm −=− 6411 .

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