5-Sapienza-Regimi finanziari 2019-20

I regimi finanziari

• Sinora sono state analizzate le quattro funzioni finanziarie

• Fattore di capitalizzazione• Fattore di attualizzazione• Tasso effettivo di interesse• Tasso effettivo di sconto

e le relazioni fondamentali che le legano in termini del tutto generali,prescindendo dall’esplicitazione delle leggi finanziarie.

• Si è anche osservato che la condizione di assenza di opportunità di arbitraggioapplicata alla determinazione dei tassi equivalenti ha consentito di esplicitare lafunzione fattore di capitalizzazione

! ", $ = 1 + ( ", $come

! ", " + ) = 1 + (*(", " + )) -,in ipotesi di struttura piatta dei tassi ed essendo ) il numero di periodi unitari.

• In ultimo si è osservato che tale caratterizzazione costituisce un particolare regimefinanziario detto della capitalizzazione composta.

Ci si propone ora di analizzare le caratteristiche di questo ed altri regimi finanziari.

https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495


I regimi finanziariCapitalizzazione composta in ipotesi di struttura piatta dei tassi

Si riconsideri la relazione (12) che lega il tasso per periodo unitario a quello periodale

!" #, # + & = 1 + !) #, # + &" − 1 ⟺ 1 + !" #, # + & = 1 + !) #, # + &

". .

Ricordando che è -(/) = 1 + !(/), essa può scriversi come-" #, # + & = 1 + !) #, # + &

".Poiché si ipotizza la costanza dei tassi tra # e # + &, si ha

-" #, # + & = - # + & − # = -" & ,ovvero, omettendo per semplicità di notazione di indicare il pedice si ha

- & = -" = 1 + ! ". (20)

Da questa, sfruttando le relazioni fondamentali, seguono le

1 & = 1" = )23 =

))45 3 , (21)

! & = -" − 1 = 1 + ! " − 1, (22)

6 & = 1 − 1" = 1 − ))45 3 (23)




Le (20)-(23) non dipendono dall’epoca ! ma dalla sola durata " dell’operazionefinanziaria. Se anziché limitarsi a " ∈ ℕ si considera la durata % ∈ ℝ', le relazionipossono scriversi come

( % = (* = 1 + - * (24)

Da questa, sfruttando le relazioni fondamentali, seguono le

. % = .* = //'0 1 , (25)

- % = 1 + - * − 1, (26)

4 % = 1 − //'0 1 (27)

Le relazioni (24)-(27) individuano il

regime finanziario della capitalizzazione compostain ipotesi di struttura piatta dei tassi di interesse.




OsservazioneFissato il tasso di interesse, la (24) ha natura esponenziale. Dal punto di vistafinanziario, ciò significa che gli interessi producono a loro volta interessi (cd.anatocismo).

Da: https://www.bancaditalia.it/servizi-cittadino/cultura-finanziaria/informazioni-base/anatocismo/

Anatocismo e interesse compostoL'anatocismo è il calcolo degli interessi sugli interessi che sono già maturati su una somma dovuta.Gli interessi maturati si trasformano in capitale (in linguaggio tecnico si dice che si “capitalizzano”) ossia sono sommati all'importo dovuto e producono a loro volta interessi: è in questo caso che si parla di interesse composto.

Il divieto di anatocismoÈ importante sapere cos’è l’anatocismo; ancora più importante è sapere che per tutte le operazioni bancarie le nuove regole vietano qualsiasi forma di produzione di interessi sugli interessi dovuti dal cliente alla banca.Le nuove regole non cambiano il regime degli interessi di mora, ossia quelli previsti se il cliente non paga quanto dovuto alla scadenza prevista dal contratto (ad esempio in caso di mancato pagamento della rata di un mutuo o di un altro finanziamento). Per il calcolo e il pagamento di questi interessi si continua a fare riferimento a quanto stabilito dal contratto e dalle norme del codice civile.




Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione compostaal variare del tasso di interesse (! = #, %%; %, (%; ), %%; *(, (%)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

Grafico della funzione +(-) = (1 + 1)-

- -

+(-) 1(-)

Grafico della funzione 1(-) = (1 + 1)-- 1

1 =10,0%

1 =7,5%

1 = 5,0%

1 = 2,5%

1 =10,0%

1 =7,5%

1 = 5,0%

1 = 2,5%




Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione compostaal variare del tasso di interesse (! = #, %%; %, (%; ), %%; *(, (%)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20

Grafico della funzione +(-) = (1 + 1)--

- -

+(-)

2(-)

Grafico della funzione 2 - = 1-(1 + 1)--

1 = 10,0%

1 = 7,5%

1 = 5,0%

1 = 2,5%

1 =10,0%

1 =7,5%

1 =5,0%

1 = 2,5%




Esempio 21In regime di capitalizzazione composta si investe un importo di 1.500€ al tassoeffettivo annuo & = 4,7% per tre anni e due mesi. Calcolare il fattore dicapitalizzazione ed il montante, il valore attuale, il tasso di interesse ed il tasso disconto periodali relativi alla durata dell’operazione.

Essendo, - = (1 + 0,047)12 ⁄4 54= (1 + 0,047)1,567≅ 1,15655021

segue

; = 1.500 < 1 + 0,047 1,567 ≅ 1.734,825€

? - = 1,(-) =

1(1 + 0,047)1,567 ≅ 0,86464037

&1,567 - = , - − 1 = 1 + 0,047 1,567 − 1 ≅ 0,15655021 15,66%

A1,567 - = 1 − ? - = 1 − 1 + 0,047 B1,567 ≅ 0,13535963 13,54%

Si noti che, come sottolineato dal pedice, & e A calcolati sono tassi periodali.



I regimi finanziariCapitalizzazione semplice in ipotesi di struttura piatta dei tassi

Richiamo (dal Corso di Matematica Generale)

Serie di TaylorSia !(#) una funzione definita nell’intervallo aperto (#% − ', #% + ') e derivabile infinite volte nel punto #%. Allora

! # = ! #% + !+ #%1! # − #% + !

+′ #%2! # − #% 0 + !

+′′ #%3! # − #% 2 + ⋯

che in forma compatta può scriversi come

! # =456%

7 !(5) #%8! # − #% 5

dove 8! indica il fattoriale del numero 8 e !(5) la derivata 8-esima della funzione !valutata nel punto #% (è ! % #% = !(#%)).Se #% = 0, la serie viene detta di MacLaurin.




Sia! " = 1 + " &

Ci proponiamo di calcolare lo sviluppo in serie di MacLaurin di !(") (") = 0).

Si ha:

! " = 1 + " & ⇒ ! 0 = 1 + 0 & = 1!, " = - 1 + " &./ ⇒ !, 0 = - 1 + 0 &./ = -!,′ " = -(- − 1) 1 + " &.2 ⇒ !,, 0 = -(- − 1) 1 + 0 &.2 = -(- − 1)!,′′ " = -(- − 1)(- − 2) 1 + " &.4 ⇒ !′′′(0) = - - − 1 - − 2 1 + 0 &.2

= -(- − 1)(- − 2)⋮ ⋮

!(6) " = - - − 1 … (- − 8 + 1) 1 + " &.6 ⇒!(6) 0 =

= - - − 1 … (- − 8 + 1) 1 + 0 &.6= - - − 1 … (- − 8 + 1)

⋮ ⋮




Sarà pertanto

! " = ! 0 + !& 01! " − 0 + !

&′ 02! " − 0 , + !

&′′ 03! " − 0 . + ⋯+ !

0 01! " − 0 0 + ⋯

dalla quale, sostituendo

! " = 1 + 2 3 " + 2 2 − 12! ", + 2 2 − 1 2 − 23! ". + ⋯+ 2 2 − 1 … 2 − 1 + 1

1! "0 + ⋯




Dalla

(1 + $)&= 1 + ( ) $ + ( ( − 12! $- + ( ( − 1 ( − 23! $/ + ⋯

si deduce che, essendo $ < 1, per ( < 1 (cioè per operazioni finanziarie aventi duratainferiore al periodo unitario), la serie risulta a termini di segno alterno e decrescenti,cioè

( ) $ > ( ( − 12! $- > ( ( − 1 ( − 2

3! $/ > ⋯

Pertanto, arrestando lo sviluppo ai primi due addendi, si commette un errore pereccesso inferiore a

( ( − 12! $-

e si ottiene l’approssimazione

(1 + $)&≅ 1 + ( ) $




Il regime finanziario definito dalle leggi

!(#) = 1 + ( ) # (28)

( # = ( ) # (29)

*(#) = ++,-). (30)

/(#) = -).+,-). (31)

Prende il nome di capitalizzazione (o interesse) semplice.

OsservazioneLa relazione (28) è stata derivata dal regime della capitalizzazione compostasviluppandone in serie di potenze il fattore di capitalizzazione e pervenendo così aduna legge approssimata di (1 + ()..Tale procedimento ha natura esclusivamente analitica. È pertanto opportuno costruireil regime della capitalizzazione semplice anche muovendo da ipotesi finanziarie.




Con riferimento allo scadenzario

il regime della capitalizzazione semplice può dedursi in via finanziaria assumendo chel’interesse !"#$%&,"#$ prodotto tra ( + * − 1 e ( + * (* = 1,… , /), sia proporzionale:

• al capitale investito all’epoca (;• alla durata (su base unitaria) dell’operazione;• al tasso di interesse vigente nel periodo (( + * − 1, ( + *)Cioè !"#$%&,"#$ ≔ 3$ (, ( + * − 3$%& (, ( + * − 1

= 3((, () 4 (( + * − ( + * − 1 ) 4 5&(( + * − 1, ( + *)= 5&(( + * − 1, ( + *)

dalla quale segue, per * = 1,… , /3$ (, ( + * = 3$%& (, ( + * − 1 + 5&(( + * − 1, ( + *) (32)

( ( + * − 1 ( + * ( + /( + 1 ( + 2 . . . . . .

3((, () 3&((, ( + 1) 37((, ( + 2) 3$%&((, ( + * − 1) 3$((, ( + *) 38((, ( + /)




OsservazioneLa (33) esprime il fattore di capitalizzazione nel regime della capitalizzazione sempliceattraverso la successione dei tassi a pronti ed è una relazione lineare. Dalla (33),assumendo una struttura piatta dei tassi, si ricavano banalmente le (28)-(31).

Dalla (32), procedendo iterativamente

!" #, # + 1 = ! #, # + (" #, # + 1 = 1 + ("(#, # + 1)!+ #, # + 2 = !" #, # + 1 + (" # + 1, # + 2 = 1 + (" #, # + 1 + (" # + 1, # + 2!- #, # + 3 = !+ #, # + 2 + (" # + 2, # + 3

= 1 + (" #, # + 1 + (" # + 1, # + 2 + (" # + 2, # + 3⋮

!0 #, # + 1 = !02" #, # + 1 − 1 + (" # + 1 − 1, # + 1 == 1 + (" #, # + 1 + (" # + 1, # + 2 +⋯+ (" # + 1 − 1, # + 1

⋮!5 #, # + 6 = !52" #, # + 6 − 1 + (" # + 6 − 1, # + 6 =

= 1 + (" #, # + 1 + (" # + 1, # + 2 +⋯+ (" # + 6 − 1, # + 6= 1 + ∑08"5 (" # + 1 − 1, # + 1 (33)



0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20


Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione sempliceal variare del tasso di interesse (! = #, %%; %, (%; ), %%; *(, (%)

Grafico della funzione +(-) = 1 + 1 2 -

- -

+(-) 1(-)

Grafico della funzione 1(-) = 1 2 -

1 =10,0

%

1 =7,5%

1 = 5,0%

1 = 2,5%

1 =10,0%

1 =7,5%

1 =5,0%

1 = 2,5%



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20


Grafici delle leggi finanziarie del regime della capitalizzazione sempliceal variare del tasso di interesse (! = #, %%; %, (%; ), %%; *(, (%)

Grafico della funzione +(-) = 1 + 1 2 - 34

- -

5(-) 1(-)

Grafico della funzione 6(-) = 1 2 -/(1 + 1 2 -)

1 = 10,0%

1 = 7,5%

1 = 5,0%

1 = 2,5%

1 = 10,0%

1 = 7,5%

1 = 5,0%

1 = 2,5%




Osservazioni1. Per la linearità della legge del tasso di interesse (!(#) = ! & #) nel regime finanziario

della capitalizzazione semplice, il tasso effettivo di interesse riferito all’'-esima partedel periodo unitario in ipotesi di struttura piatta diventa

! ⁄) * = ! & 1' = !'

Questa osservazione sarà riconsiderata nella definizione del tasso convertibile.

2. Il regime finanziario della capitalizzazione semplice può applicarsi ad operazioni didurata qualsiasi, ma viene per lo più utilizzato in operazioni finanziarie di durata nonsuperiore all’anno. È comodo esprimere il tempo in giorni, distinguendo tra annocommerciale (360 giorni) ed anno solare (365 giorni). Così, l’ interesse prodotto dalcapitale , impiegato per - giorni al tasso !, utilizzando l’anno commerciale, è

./,/12 = , & ! & 2345 =

6&2789:

(34)

Il rapporto ; = 345< è detto generalmente divisore fisso.




Esempio 22Un conto corrente paga l’1.35% annuale sulle giacenze. All’epoca & = 05/10/2018sono stati versati 100,000€. Ipotizzando che la valuta decorra dal giorno successivo a quello di deposito e che la remunerazione per unità di capitale sia una frazione del tasso annuale, a quanto ammonta l’interesse maturato all’epoca . = 17/12/2018 utilizzando il calendario commerciale (composto da 12 mesi di 30 giorni ciascuno)?

È . − & = 72 giorni, cioè 12345 = 0,2 anni.

Il tasso di interesse è espresso su base annuale, per cui, per la linearità della legge del tasso di interesse ed il principio di proporzionalità, si ha

65, 12345= 100.000€ 7 0,0135 7 12345 = 270€

L’interesse maturato ammonta pertanto a 270€.




Esempio 23I Buoni Ordinari del Tesoro (BOT) costituiscono un esempio di titoli obbligazionari acedola nulla con rendimento calcolato secondo il regime della capitalizzazione semplice.Il rendimento è pari alla differenza tra il valore di rimborso ed il prezzo di acquisto (o, nelcaso il titolo sia acquistato all’emissione, il prezzo di sottoscrizione).

Il tasso di interesse netto (periodale, a partire dalla data di acquisto fino a scadenza) deiBOT è dato dalla:

! "#$%

= '() *(+ (,) *(+ -+'-, .

/012 (35)

nella quale

• ! indica il tasso di interesse• 3 è il valore nominale• 4 è il prezzo di acquisto• 5 indica l’aliquota fiscale (attualmente 12,5% applicato alla sottoscrizione)• ; è la commissione applicata dall’intermediario finanziario• < indica il numero di giorni a scadenza




Esempio 23 (segue)Per derivare la (35), si consideri il montante in regime di capitalizzazione semplice

! = #(1 + ' ( )) (36)Denotate con + l’aliquota fiscale applicata al reddito generato dal titolo obbligazionario econ , la commissione applicata dall’intermediario finanziario, il prezzo di acquistocomprensivo dell’imposta e della commissione è

#-. = # + + ! − # + , (37)

Combinando la (36) e la (37) si ha! = #-.(1 + ' ( ))

dalla quale segue

' =0123 456 = 74823

823(6(38)

Sostituendo la (37) nella (38)

' = ! − # + + ! − # + ,# + + ! − # + , ( ) = ! − # − +! + +# − ,

# + +! − +# + , ( )

= ! 1 − + − #(1 − +) − ,# 1 − + + +! + , ( ) = ! − # (1 − +) − ,

# 1 − + + +! + , ( )




Esempio 23 (segue)Esprimendo il tempo in frazione d’anno, cioè come ! = #/360 essendo # il numero deigiorni, si ha infine la (35):

( )*+,

= - − / 1 − 1 − 2/ 1 − 1 + 1- + 2 4

360#

Si acquista in asta un BOT con scadenza tra 180 giorni al prezzo di 98,20 e si paga unacommissione pari allo 0,2%. Calcolare il rendimento netto

Allo stesso risultato si perviene applicando la (35) con - = 100, / = 98,20, # = 180,1 = 0,125 e 2 = 0,2.

Calcoliamo la ritenuta fiscale: 12,5% ´ (100 - 98,20) = 0,225Calcoliamo il prezzo netto di aggiudicazione (prezzo di acquisto + commissioni + ritenuta fiscale):

98,20 + 0,2 + 0,225 = 98,625

Calcoliamo l’interesse netto (=): 100 – 98,625 = 1,375

Calcoliamo il rendimento semplice: ( = @/ 4360# = 1,375

98,625 4360180 ≅ 0,027883



I regimi finanziariPrincipali basi di calcolo finanziarie

Come è noto, i titoli obbligazionari possono essere acquistati, oltre che al momento dell’emissione, anche in epoca successiva sul mercato secondario.La quotazione su tale mercato può avvenire a 3 differenti prezzi (cd. corsi):• tel quel (o corso corrente)

comprende sia valore del capitale rimborsabile a scadenza sia gli interessi maturati dall’ultimo stacco di cedola. Il prezzo è quindi pari al valore attuale di tutti i flussi di cassa futuri derivanti dal titolo.

• Seccoquotazione privata del rateo di interessi relativo alla cedola in scadenza.

• ex cedola.è pari al corso tel quel diminuito del valore della cedola in maturazione. Il titolo è negoziato come se la cedola fosse già stata materialmente staccata.

Le obbligazioni che vengono negoziate a corso secco prevedono che al prezzo sia sommato il rateo di interessi spettante alla parte venditrice. Il rateo rappresenta la componente di interessi maturata dall'ultima data di godimento sino alla data di liquidazione dell'operazione di vendita di un'obbligazione.

Il calcolo del rateo avviene utilizzando convenzioni per il computo degli interessi (cd. basi di calcolo)




Le principali basi di calcolo sono:

Actual/365oActual/Actual(ISDA)

Indica il numero effettivo di giorni diviso 365. Se una parte del periodo di calcolo degli interessi cade in un anno bisestile, il rateo di interesse viene calcolato come la somma del:• numero effettivo di giorni in quella parte di periodo di calcolo degli interessi che

cade in un anno bisestile diviso 366;• numero effettivo di giorni in quella parte di periodo di calcolo degli interessi che

cade in un anno non bisestile diviso 365.

Actual/Actual(ICMA)

Indica il numero di giorni a partire dalla data in cui gli interessi cominciano a decorrere (inclusa) sino alla data in cui gli interessi sono dovuti (esclusa), diviso il numero effettivo di giorni nel relativo periodo di calcolo degli interessi moltiplicato per il numero dei periodi di calcolo previsti nell’anno.Se il periodo di calcolo degli interessi è maggiore del regolare periodo cedolare (trimestre, semestre, anno, ecc...), il rateo è ottenuto moltiplicando la cedola annua per la somma:• del numero di giorni del periodo di calcolo che ricade nel regolare periodo

cedolare nel quale iniziano a maturare gli interessi, diviso per il prodotto tra il numero di giorni all'interno del periodo regolare e il numero di periodi regolari all'interno di un anno;

• del numero di giorni del periodo di calcolo che ricade nel successivo periodo regolare diviso per il prodotto tra il numero di giorni all'interno del periodo regolare e il numero di periodi regolari all'interno di un anno.




(segue)

Actual/365 (fixed) Indica il numero effettivo di giorni diviso per 365.

Actual/360 (ICMA)

Indica il numero effettivo di giorni diviso 360.

Actual/365 (Sterling)

Indica il numero effettivo di giorni diviso 365, oppure 366, nel caso la data di pagamento degli interessi cada in un anno bisestile.

30/360 Indica il numero di giorni diviso 360. Il numero di giorni viene calcolato sulla base di un anno di 360 giorni con dodici mesi di 30 giorni, salvo i seguenti casi:• l'ultimo giorno del periodo di calcolo degli interessi sia il giorno 31 di un mese,

ma il primo giorno del periodo di calcolo degli interessi sia un giorno diverso dal giorno 30 o 31 di un mese, nel qual caso il mese che include tale ultimo giorno non deve essere ridotto ad un mese di 30 giorni;

• l'ultimo giorno del periodo di calcolo degli interessi è l'ultimo giorno del mese di febbraio, nel qual caso il mese di febbraio non deve essere esteso ad un mese di 30 giorni).



I regimi finanziariSconto commerciale (in ipotesi di struttura piatta dei tassi)

Nel regime della capitalizzazione composta in ipotesi di struttura piatta del tasso di interesse (e quindi con leggi finanziarie dipendenti dalla sola durata dell’operazione finanziaria) il fattore di attualizzazione di un’operazione di durata pari a ! periodi unitari è

" ! = "$ = 1 + ' ($ = 1 + )1 − )

($= (1 − ))$

Ci proponiamo di sviluppare in serie di MacLaurin ()- = 0) la / ) = (1 − ))$. Si ha:

/ ) = 1 − ) $ ⇒ / 0 = 1 − 0 $ = 1/1 ) = −! 1 − ) $(2 ⇒ /1 0 = −! 1 − 0 $(2= −!/1′ ) = !(! − 1) 1 − ) $(4 ⇒ /11 0 = !(! − 1) 1 − 0 $(4 = !(! − 1)/1′′ ) = −!(! − 1)(! − 2) 1 − ) $(6 ⇒ /′′′(0) = −! ! − 1 ! − 2 1 − 0 $(4

= −!(! − 1)(! − 2)⋮ ⋮

/(8) ) =(−1)8! ! − 1 … (! − : + 1) 1 − ) $(8 ⇒

/(8) 0 == (−1)8! ! − 1 …(! − : + 1) 1 − 0 $(8= (−1)8! ! − 1 … (! − : + 1)

⋮ ⋮




Sarà pertanto

! " = ! 0 + !& 01! " − 0 + !

&′ 02! " − 0 , + !

&′′ 03! " − 0 . + ⋯+ !

0 01! " − 0 0 + ⋯

dalla quale, sostituendo

! " = 1 − 2 3 " + 2 2 − 12! ", + 2 2 − 1 2 − 23! ". +⋯+ −1 0 2 2 − 1 … 2 − 1 + 1

1! "0 +⋯




Dalla

(1 − $)&= 1 + ) * −$ + ) ) − 12! −$ - + ) ) − 1 ) − 23! (−$)/+⋯

si deduce che, essendo $ < 1, per ) < 1 (cioè per operazioni finanziarie aventi duratainferiore al periodo unitario), la serie risulta a termini di segno negativo e decrescenti,cioè

0 > ) * (−$) > ) ) − 12! (−$)-> ) ) − 1 ) − 2

3! (−$)/> ⋯

Pertanto, arrestando lo sviluppo ai primi due addendi, si commette un errore pereccesso e si ottiene l’approssimazione

(1 − $)&≅ 1 − $ * )




Il regime finanziario definito dalle leggi

! " = 1 − & ' " (39)

& " = & ' " (40)

((") = ++,-'. (41)

/(") = -'.+,-'. (42)

Prende il nome di sconto (o capitalizzazione) commerciale.

OsservazioneLa relazione (39) è stata derivata dal regime della capitalizzazione compostasviluppandone in serie di potenze il fattore di attualizzazione e pervenendo così aduna legge approssimata di (1 − &)..Tale procedimento ha natura esclusivamente analitica. È pertanto opportuno costruireil regime della capitalizzazione semplice anche muovendo da ipotesi finanziarie.



I regimi finanziariSconto commerciale

Con riferimento allo scadenzario

il regime dello sconto commerciale (per lo più impiegato in operazioni di anticipazionebancaria di breve durata) può dedursi in via finanziaria assumendo che lo sconto!"#$%&,"#$ prodotto tra ( + * − 1 e ( + * (* = 1,… , /), sia proporzionale:

• al capitale da scontare dall’epoca ( + * all’epoca ( + * − 1;• alla durata (su base unitaria) dell’operazione;• al tasso di sconto vigente nel periodo (( + * − 1, ( + *)Cioè !"#$%&,"#$ ≔ 34%$ ( + *, ( + / − 34%$#& ( + * − 1, ( + /

= 1 5 (( + * − ( + * − 1 ) 5 6&(( + * − 1, ( + *)= 6&(( + * − 1, ( + *)

dalla quale segue, per * = 1,… , /34%$ ( + *, ( + / = 34%$#& ( + * − 1, ( + / + 6&(( + * − 1, ( + *) (43)

( ( + * − 1 ( + * ( + /( + 1 ( + 2 . . . . . .

34((, ( + /)34%&(( + 1, ( + /)

34%8(( + 2, ( + /)34%$#&(( + * − 1, ( + /)

34%$(( + *, ( + /)1



I regimi finanziariSconto commerciale

Osservazioni• La (44) esprime il fattore di attualizzazione nel regime dello sconto commercialeattraverso la successione dei tassi di sconto a pronti ed è una relazione lineare. Dalla(44), assumendo una struttura piatta dei tassi, si ricavano banalmente le (39)-(42).

• La linearità del tasso di sconto (! " = ! $ ") implica che il tasso effettivo di scontoriferito all’%-esima parte del periodo unitario, in ipotesi di struttura piatta, diventa

!&/( = ! $ 1% = !%

• per conservare significato finanziario, nelle (39), (41) e (42) deve essere

1 − ! $ " > 0 ⟺ " < &/ =

&011 (45)

•La (45) costituisce un vincolo logico nelle relazioni che definiscono il regime dellosconto commerciale.

Dalla (32), procedendo iterativamente come già visto per il regime di capitalizzazionesemplice, segue

23 ", " + 6 = 1 − ∑89&3 !& " + : − 1, " + : (44)



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

! = 10,0%' = 0,0909%

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

! = 10,0%' = 0,0909%

! = 7,5%' = 0,0697%

! = 5,0%' = 0.0476%

! = 2,5%' = 0,0244%

/ < 1/ 0,0909 = 11/ < 1/0,0697 = 14,3 / < 1/0,0244 = 41/ < 1/0,0476 = 21

I regimi finanziariSconto commerciale in ipotesi di struttura piatta dei tassi

Grafici delle leggi finanziarie del regime dello sconto commercialeal variare del tasso di interesse (3 = 4, 5%; 5, 7%; 8, 5%; 97, 7%)

Grafico della funzione : / = 1 − ' < / =>

/ /

:(/) !(/)

Grafico della funzione !(/) = ' < //(1 − ' < /)! = 7,5%

' = 0,0697%

! = 5,0%' = 0,0476%

! = 2,5%' = 0,0244%



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

! = 10,0%' = 0,0909%

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

! = 10,0%' = 0,0909%

! = 7,5%' = 0,0697%

! = 5,0%' = 0.0476%

! = 2,5%' = 0,0244%

/ < 1/ 0,0909 = 11/ < 1/0,0697 = 14,3 / < 1/ 0,0244 = 41

/ < 1/ 0,0476 = 21

I regimi finanziariSconto commerciale in ipotesi di struttura piatta dei tassi

Grafici delle leggi finanziarie del regime dello sconto commercialeal variare del tasso di interesse (3 = 4, 5%; 5, 7%; 8, 5%; 97, 7%)

Grafico della funzione : / = 1 − ' < /

/ /

:(/) '(/)

Grafico della funzione '(/) = ' < /! = 7,5%' = 0,0697%

! = 5,0%' = 0,0476% ! = 2,5%

' = 0,0244%



I regimi finanziariConfronto tra regimi finanziari

Grafico del fattore di capitalizzazione dei tre regimi finanziari analizzati

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Capitalizzazionesemplice

Capitalizzazionecomposta

Scontocommerciale

! < 1A chi investe conviene il regimedella capitalizzazione sempliceA chi si finanzia conviene ilregime dello sconto commerciale

! > 1A chi investe conviene il regimedello sconto commercialeA chi si finanzia conviene il regimedella capitalizzazione semplice

1 + &

!

'(!)



I regimi finanziariConfronto tra regimi finanziari

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Grafico del fattore di attualizzazione dei tre regimi finanziari analizzati!(#)

Capitalizzazionesemplice

Capitalizzazionecomposta

Scontocommerciale

11 + '

#

1



5-Sapienza-Regimi finanziari 2019-20

Documents

Transcript of 5-Sapienza-Regimi finanziari 2019-20