5 flujo (2)

Model ado de Si s t emas de Pot enci a

Flujo de carga en Sistemas de Potencia.

CONTENI DO:

• Concept os básicos.

• Plant eo del pr oblema del f luj o de car ga.

• Solución del f luj o de car ga.

• Mét odo de Newt on Raphson par a la r esolución del f luj o de car ga.

• Mét odo Desacoplado r ápido.

•Mét odo de Gauss-Seidel.

PROPÓSI TO DEL FLUJO DE CARGA:

Determinación de voltajes, intensidades y

potencias activas y reactivas en distintos puntos

de una red eléctrica.

HI PÓTESI S DE TRABAJO:

Sistemas en régimen, equilibrados, sinusoidales,

sin anomalías.

I mport anci a de l os f l uj os de carga

• Per mit e det er minar los f luj os de pot encia act iva y r eact iva en una r ed eléct r ica.

• Per mit e det er minar los volt aj es en las bar r as de una r ed eléct r ica.

• Per mit e calcular las pér didas en una r ed eléct r ica.

• Per mit e est udiar las alt er nat ivas par a la planif icación de nuevos sist emas o ampliación de los ya exist ent es.

• Per mit e evaluar los ef ect os de pér didas t empor ales de gener ación o de cir cuit os de t r ansmisión.

I mport anci a de l os f l uj os de carga

• Per mit e evaluar los ef ect os de r econf igur ar los cir cuit os de un SEP (por ej emplo ant e la pér dida de una línea de t r ansmisión).

• Per mit e evaluar las mej or as que se pr oducen ant e el cambio en la sección de los conduct or es de un SEP.

Conceptos básicosProbl ema del f l uj o de carga

Ej emplo: Pr oblema de f luj o de car ga par a una r ed eléct r ica de dos bar r as:

Vs∠0º

Vs -dadoj X

Vr ∠θ ?

G Ps, Qs = ?

Pr, Qr - dado

(car ga)

Conceptos básicosPot enci a compl ej a

Pot encia complej a const ant eent r egada a la car ga.

Car ga P & Qconst ant es.

ϕ

Q = P tan ϕ

V

II

VIVS ˆ=

ϕϕ sencos jVIVIjQPS +=+=

Conceptos básicosProbl ema de f l uj o de carga

Relación no lineal!r

rrrs

rs

V

jQPjXVV

IVS

IjXVV

ˆ

ˆ

−=−

=

=−

Vs ∠0

jX

Vr ∠θ ?

G Ps, Qs = ?

Pr, Qr - dado

(car ga)I


Solución Analít ica: (posible solo par a casos muy simples)

r

rrrs V

jQPjXVV

−⋅=−

)(ˆ)( rrrrs jQPjXVVV −⋅=⋅−

rrrrs XQjXPVjVV +=−− 2)sen(cos θθ

rrs

rrrs

XPVV

XQVVV

−==−

θθ

sen

cos 2


rrs

rrrs

XPVV

XQVVV

−==−

θθ

sen

cos 2

2222222 )()()sen(cos rrrrs XPXQVVV −++=+ θθ

rrrrsrr VQPXVVXQV ⇒=++⋅−+ 0)()2( 222224

θθ ⇒−= senX

VVP rsr


0)()2( 222224 =++⋅−+ rrrsrr QPXVVXQV θsenX

VVP rsr −=

Dat os:

008779.0

9112.0

0008.092.0

0008.092.0

)(1.0

)(4.08.0

2

1

22

24

==

⇓

=+⋅−⇒=

=+⋅−

=+=+⇒

H

H

HHVH

VV

puX

pujjQP

r

rr

rr

Posibles soluciones

Vr θ comentario

+0.9545 -4.807 buena

+0.0937 -58.93 mala

-0.9545 +4.807 mala

-0.0937 +58.93 mala

Número de soluciones posibles:

!22

Un procedimiento iterativo (Gauss Seidel)

r

rrrs

V

jQPjXVV

ˆ−⋅=−

El algor it mo:

1. Fij ar el índice de it er ación i en 0.

2. Pr obar con un valor inicial par a Vr (i) (módulo y f ase - usualment e V=1 θ=0)

3.Calcular

4. Calcular nuevo

5. Calcular

6. Si el cr it er io de conver gencia no es sat isf echo, f ij ar i=i+1 e ir a 3.

)(ˆ iV

jQPjXVV

r

rrrs

−⋅=−

)(ˆ 1+iVr

ε≤−+ )()1( iViV rr

Cálculo de las potencias de entrada

Ps, Qs = ?

Vs ∠0

jX

Vr ∠θ

G Ps, Qs = ?

Pr, Qr - dado

(car ga)I

( )4878080

8074807495450

4080

..

).sen().cos(.

..

ˆˆ

jjQP

j

jjQP

V

jQPVIVjQP

ss

ss

r

rrssss

+=+−+−

+=+

+==+

Transporte de potencia activa(Qr=0)

Pr

Vs ∠0 jX

Vr ∠θ

Ps,Qs

Pr Vr θ Ps Qs

0.5 0.999 -2.87 0.5 0.025

1 0.995 -5.77 1 0.1

1.6 0.987 -9.33 1.6 0.26

Qr

Vs ∠0 jX

Vr ∠θ

Ps,Qs

Transporte de potencia reactiva(Pr=0)

Qr Vr θ Ps Qs

0.5 0.947 0 0 0.53

1 0.887 0 0 1.127

1.6 0.8 0 0 2

Control de potencia activa y reactiva

rrs

rrrs

XPVV

XQVVV

−==−

θθ

sen

cos 2

)(

sen

rsrs

r

rsr

X

VVP

X

VVP

θθ

θ

−≈

−=

)(

)cos(

rsr

r

rsr

r

VVX

VQ

VVX

VQ

−≈

−= θ

La pot encia act iva depende en f or ma pr opor cional de la dif er encia ent r elos ángulos de f ase de los volt aj es de las bar r as.

La pot encia r eact iva depende en f or mapr opor cional de la dif er encia ent r e losmódulos de los volt aj es de las bar r as.

Ejercicio

Realizar el cálculo de f luj o de car ga par a el sist ema de dos bar r as:

Vs ∠0 R+jX

Vr ∠θ ?

Ps,Qs=? Pr,Qr dados

Pr=0.5pu, Qr=0.3pu, R=0.01pu, X=0.1 pu

(Vr=0.9677 ∠-2.99º)

Flujo de carga para dos barras inter- conectadas mediante una línea

de transmisión.

Línea de t r ansmisión de 110kV

V1 V2 = 110kV

20MW10MVar

P1,Q1=?

Long. de linea 1-2 Resistenciar’[Ω/km]

Reactanciax’[Ω/km]

SusceptanciaShuntb’ [µS/km]

60km 0.200 0.430 2.60

Modelo de línea de transmisión.

i kikik jXR +

2sjB

2sjB

Balance de Potencia.

ikik jXR +

G+T L

2/sy 2/sy

1 2

1V 2V

1P

1Q

'1P

'1Q

'2P

'2Q 2P2P

20Q20P10P10Q

01888.012110156

21322..0121

8.25

099174.0121

12

6 =⋅⋅=⋅=

===

===

−b

b

b

ZBb

Z

Xx

Z

Rr

Parámetros de líneas de transmisión.

SLbB

LxX

LrR

µ1566062

82560430

126020

===Ω===

Ω===

*.'*

.*.'*

*.'*

MVAS

kVV

b

b

100

110

==

Ω=== 121100

11022

b

bb S

VZ

Cálculo de balance de Potencia.

2

2V

'2P

'2Q 2P2P

20Q20P

Demanda de Carga

1.0

2.0

2

2

==

Q

P

09056.000944.01.0'

2.0'

944.0

00944.02

01888.01

2

2022

22

20

2220

=−=−===

=

=⋅=⋅=

QQQ

PP

MVArQ

bVQ

Cálculo de caída de tensión.

0336630039140

099174009056021322020

213220090560099174020

2

22

2

2221

..

)....(

)....(

''''

jV

j

V

V

rQxPj

V

xQrPVVV

+=∆⋅−⋅+

⋅+⋅=∆

=−++=∆=−

Voltaje de entrada

º.

.

..

..

861

37114

0336630039141

033663003914001

1

1

21

=

=

=+=+++

=∆+=

θV

j

jj

VVV

Cálculo de las pérdidas en la línea

MVArjMWS

jS

j

jS

Z

V

Z

VVIVS

se

se

se

sese

sese

031480

0103000480

2132200991740

03366300391402

2

..ˆ

..ˆ

..

..ˆ

ˆˆ

ˆˆ

+=

+=

−+

=

∆=

∆⋅∆=⋅∆=

Generación.

G+T

2/sy

1

1V

1P

1Q

'1P

'1Q

10P10Q

100860

20480

090560

20

0103000480

1

1

2

2

.'

.'

.'

.'

..

==

==

+=

Q

P

Q

P

jS se

Generación.

G+T

2/sy

1

1V

1P

1Q

'1P

'1Q

10P10Q

09065001020100860

20480

010202

01888003971

2

039710336630039141

1011

11

2110

11

...'

.'

..

.

...

=−=−===

=⋅=⋅=

=⇒+=

QQQ

PP

bVQ

VjV

Resumen del balance de potencia

ikik jXR +

G+T L

2/sy 2/sy

1 2

1V 2V

1P

1Q

'1P

'1Q

'2P

'2Q 2P2P

20Q20P10P10Q

09065.0

2048.0

1

1

==

Q

P

00944.0

0048.0

==

loss

loss

Q

P

1.0

2.0

2

2

==

Q

P

Carga, generación y modelado de la red en análisis de f lujo de carga.

Modelado de los componentes del sistema.

• Líneas de transmisión - cir cuit o Pi

• Transformadores - impedancia

• Generadores - Pot encia act iva const ant e con

capacidad de cont r ol (limit ado) de volt aj e del

pr imar io (P = ct e, V= ct e).

• Cargas - Pot encia complej a const ant e (P = ct e,

Q= ct e).

Línea de transmisión.i k

ikik jXR +

2sjB

2sjB

i kikY

2sjB

2sjB

Generadores y Cargas.

•Generadores

Pot encia Act iva - inyección const ant e

Pot encia r eact iva - r egulación de volt aj e

•Demanda de carga

I nyección const ant e de pot encia act iva y r eact iva

Flujo de carga & Balance de potencia

Carga

i

1

k

n

giS

diS

iS

1iS

ikS

inS

Análisis Vol t aj e - Corri ent e versus

Análisis vol t aj e - pot enci a.

Carga

i

1

k

n

giI

diI

iI

1iI

inI

∑=

==−=

nk

kikdigii IIII

1

Análisis Vol t aj e - Corri ent ey la Matriz Ybus

Carga

i

1

k

n

giI

diI

iI1iI

inI

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]injbus

shunti

n

iikii

ikik

businj

nk

kikdigii

IYV

YYy

kiYy

VYI

IIII

⋅=

+=

≠−=

⋅=

=−=

−

=

=

=

∑∑

∑

1

1

1

,

Vtierra=0

Sistema de ecuaciones lineales

Análisis Vol t aj e - Pot enci a

i

1

k

n

giS

diS

1iS

ikS

inS

G

Inyección en la red

∑=

==−=

nk

kikdigii SSSS

1

iii IVS ˆ⋅=

∑∑=

=

=

=⋅=

⋅=

nk

kkiki

nk

kkikii VyVVyVS

11

ˆˆ*

Sistema de ecuacionesno lineales

Forma de las ecuaciones de f lujo de carga.

∑=

=⋅=

nk

kkikii VyVS

1

ˆˆ

Voltaje en forma polar Voltaje en forma rectangular

Admitancia en forma polar Admitancia en forma rectangular

ijii eVV θ=

ikjikik eyy δ=

imi

reii jVVV +=

ikikik jbgy +=

Forma polar de las ecuaciones de f lujo de carga

∑

∑

=

=

=

=

−⋅+⋅⋅=

−⋅⋅⋅=

nk

kikikikikkii

nk

kikik

jkii

jbgjVVS

jbgeVVS ik

1

1

)()sen(cos

)(

θθ

θ

El voltaje está expresado en coordenadas polares, mientras que la admitancia está expresada en coordenadas rectangulares.

Balance de potencia activa y reactiva.

i

1

k

n

giQ

diQ

1iQ

ikQ

inQ

G

i

1

k

n

giP

diP

1iP

ikP

inP

G

∑=

=

=−=nk

kikdigii PPPP

1∑

=

=

=−=nk

kikdigii QQQQ

1

Ecuaciones de f lujo de carga

∑

∑=

=

=

=

−⋅⋅=

+⋅⋅=

nk

kikikikikki

calci

nk

kikikikikki

calci

bgVVQ

bgVVP

1

1

)cossen(

)sencos(

θθ

θθ

i=1,2,3...n

calci

spi

calci

spi

QQ

PP

=

=

balance de pot. activa y reactiva

especificadofunciones de voltajescomplejos desconocidos

calci

spi

calci

spi

QQ

PP

=

=

Ecuaciones de f lujo de carga

digispi

digispi

QQQ

PPP

−=

−=

Si la potencia activa o reactiva para la barra i no es especificada, la ecuación de balance de energía no puede ser definida.

(si la barra i no tiene generación o carga, la potencia especificada es igual a cero.)

Potenciales variables desconocidas:

iiii VQP θ,,,

Tipos de barras

• Barras de carga (PQ):

• No hay generación

• Potencia activa y reactiva

especificada

• Barras de generación (PV):

• Voltaje constante y especificado

• Potencia activa especificada

dispi

dispi

QQ

PP

−=

−=

spii

digispi

VV

PPP

=

−=

Número de incógnitas y número de ecuaciones

• Hipótesis: Sistema de n barras

Ng - cantidad de barras de generación y voltaje controlado

Nd - cantidad de barras de carga

n = Ng + Nd

• Para cada barra de generación tengo:

• una ecuación de balance de potencia activa

• el voltaje de la barra especificado

• Para cada barra de carga tengo:

• una ecuación de balance de potencia activa

• una ecuación de balance de potencia reactiva

calci

spi PP =


spii VV =

calci

spi PP =

calci

spi QQ =


• Cuatro variables por cada barra: iiii VQP θ,,,

ecuaciones dcalci

spi NQQ =

ecuaciones nPP calci

spi =

incógnitas V

incógnitas

i d

i

N

nθ

Las potencias reactivas Qi de las barras de generación pueden ser calculadas una vez determinados los voltajes de las barras (módulos y fases)

Barra f lotante

• ¿Es posible especificar la potencia activa inyectada por todos los generadores y la potencia activa consumida por las cargas en forma independiente?

∑ ∑−= digipérdidas PPP

Las pérdidas RI2 no son conocidas inicialmente

Barra f lotante

• Una barra del sistema puede realizar el balance de potencia activa demandada y potencia activa consumida (BARRA FLOTANTE)

• ¿Es este criterio razonable?

• La potencia activa se transmite “bien” a través del sistema

Barra f lotante

• ¿Cómo se realiza el balance de potencia reactiva en el sistema?

• ¿Es posible utilizar una única barra para realizar el balance de reactiva en el sistema?

• La potencia reactiva no se transmite “bien” a través del sistema (produce caídas de tensión importantes)

• Cada barra PV realiza el balance de reactiva en forma local

Modelado de sistemas de potencia.

Resolviendo el pr oblema de f luj o

de car ga.

Ejercicio: Ecuaciones de f lujo de carga.

• For mar Mat r iz Ybus del sist ema.

• Det er minar t ipos de bar r as.

• List ar var iables conocidas y desconocidas.

• Escr ibir las ecuaciones de f luj o de car ga.

12

3

P=0.5V=1

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8

Ybus.

−−

−=+=

945

41410

51015

jjj

jjj

jjj

jBGY

Tipos de barras.

Bar r a 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)

Bar r a 2: Bar r a PQ (V2 y θ2

desconocidos)

2 ecuaciones - balance de

pot encia act iva y r eact iva.

Bar r a 3: Bar r a PV - θ3 desconocido

(V3 especif icado)

1 ecuación: balance de

pot encia act iva.

1 2

3

P=0.5V=1

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8

Ecuaciones.

[ ]

[ ]

[ ])cos(4cos10148.0

cos

)sen(4sen51

sen

)sen(4sen105.1

sen

32321222

12222

232313

13333

323212

12222

θθθ

θ

θθθ

θ

θθθ

θ

−+−=−

⋅−=

−+=

⋅=

−+=−

⋅=

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

VVVV

bVVQ

VVV

bVVP

VVV

bVVP

nk

kkkk

nk

kkkk

nk

kkkk

Métodos para resolver las ecuaciones de f lujo de carga.

• Ecuaciones de f lujo de carga:

Sist ema de ecuaciones algebr aicas no lineales.

• Métodos:

Mét odo de Gauss-Seidel.

Mét odo de Newt on-Raphson.

Algor it mo de desacoplado r ápido de f luj o de

car ga.

Método de Newton Raphson.Idea básica.

1 4 6

?,0)(

,045)( 2

===+−=

xxf

xxxf 60 =x

Método de Newton - Raphson.Ejemplo

,045)( 2 =+−= xxxf 60 =x

xxdx

xdffxf

xdx

xdf

xdx

xdfxfxxf

x

xx

rr

r

∆+=∆⋅+≈∆+

−=

≈∆⋅+≈∆+

=

=

710)(

)6()6(

52)(

0)(

)()(

6

¿Qué tan buena es esta aproximación?

Método de Newton Raphson.Ejemplo

08.449.157.4

49.014.4/04.2

014.404.2)(

)57.4()57.4(

57.443.16

43.17/10

0710)(

)6()6(

57.4

6

=−=∆+=−=−=∆

=∆+=∆⋅+≈∆+

=−=∆+=−=−=∆

=∆+=∆⋅+≈∆+

=

=

xxx

x

xxdx

xdffxf

xxx

x

xxdx

xdffxf

oldnew

x

oldnew

x

Método de Newton Raphson.Ejemplo

0)4(

408.008.4

08.016.3/24.0

016.324.0)(

)08.4()08.4(08.4

=

=−=∆+=−=−=∆

=∆+=∆⋅+≈∆+=

f

xxx

x

xxdx

xdffxf

oldnew

x

Método de Newton- Raphson.Ejemplo

,045)( 2 =+−= xxxf 60 =x

000.4002.0004.306.0002.44

002.4077.0157.3242.0079.43

079.4492.0142.4039.2571.42

571.4429.1000.700.10000.61

)( 1

−−−−

∆ +rr xxdx

dfxfxr

Método de Newton- Raphson.Resumen

El caso de una dimensión:,045)( 2 =+−= xxxf 60 =x

xxx

dx

xdfxfx

xdx

xdfxfxxf

rr

xx

r

xx

rr

r

r

∆+=

⋅−≈∆

≈∆⋅+≈∆+

+

−

=

=

1

1)(

)(

0)(

)()(

Sistemas de ecuaciones no lineales.

f1,...fn, son funciones dadas, x1,...xn, son incógnitas.

Sistema general de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas.

=

==

0),...,(

.........

0),...,(

0),...,(

1

12

11

nn

n

n

xxf

xxf

xxf

=

nf

f

f

F...2

1

=

nx

x

x

x...2

1

0)( =xF

Método de Newton- Raphson

Aproximación lineal por Taylor:

nn

nnnn

nn

nn

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

∆∂

∂++∆∂

∂+≈∆+

∆∂

∂++∆∂

∂+≈∆+

∆∂

∂++∆∂

∂+≈∆+

)(....

)()()(

...............

)(....

)()()(

)(....

)()()(

11

21

1

222

11

1

111


Supongamos que tomamos una estimación inicial de la solución x=xr

0)(

....)(

)()(

...............

0)(

....)(

)()(

0)(

....)(

)()(

11

21

1

222

11

1

111

=∆∂

∂++∆∂

∂+≈∆+

=∆∂

∂++∆∂

∂+≈∆+

=∆∂

∂++∆∂

∂+≈∆+

==

==

==

n

xxn

n

xx

nrn

rn

n

xxnxx

rr

n

xxnxx

rr

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

rr

rr

rr


Estimación del error ∆x:

=

∆

∆∆

⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

0

...

0

0

...

)(......

)(............

)(...

)()(

)(...

)()(

)(

...

)(

)(

2

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

n

n

nn

n

n

rn

r

r

x

x

x

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xfx

xf

x

xf

x

xf

xf

xf

xf


∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

n

nn

n

n

r

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xfx

xf

x

xf

x

xf

xJ

)(......

)(............

)(...

)()(

)(...

)()(

)(

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

=

)(

...

)(

)(

)( 2

1

rn

r

r

r

xf

xf

xf

xF

∆

∆∆

=∆

nx

x

x

x...2

1

Matriz Jacobiana Vector de apartamiento

estimador lineal del error


⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−≈

∆

∆∆

−

)(

...

)(

)(

)(......

)(............

)(...

)()(

)(...

)()(

...2

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

rn

r

r

n

nn

n

n

n xf

xf

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xfx

xf

x

xf

x

xf

x

x

x

estimador lineal del error


∆

∆∆

+

=

+

+

+

nrn

r

r

rn

r

r

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.........2

1

2

1

1

12

11

Estimador mejorado del valor supuesto inicialmente

Método de Newton Raphson.Aplicación al f lujo de carga del sistema de

potencia

Elegir las var iables de est ado (x):

(a) Par a bar r as PQ, elegir la magnit ud del volt aj e de bar r a y su ángulo de f ase asociado.(b) Par a bar r as PV, elegir el ángulo de f ase (la magnit ud del volt aj e es f ij a)

Par a bar r a f lot ant e (r ef er encia), t ant o magnit ud de volt aj e como ángulo de f ase son cant idades especif icadas.

=V

xθ PQ&PV

PQ


potencia

0)(

)()(

)(

)(

=

−−

=

=

=

sp

sp

ispi

ispi

QxQ

PxPxF

xQQ

xPPespecificado funciones de x desconocidas

∑

∑=

=

=

=

−−=∆

+−=∆

nk

kikikikikki

spii

nk

kikikikikki

spii

bgVVQQ

bgVVPP

1

1

)cossen(

)sencos(

θθ

θθ


potencia

0)(

)()( =

∆∆

−=r

rr

xQ

xPxF

)()(0)()( rrrr xFxxJxxJxF −=∆⋅=∆⋅+

[ ]

∆∆

=

∆∆

⋅)(

)(r

r

xQ

xP

VJ

θ PQ&PVPQ

PQ&PVPQ

∆∆

=

∆

∆⋅

)(

)(

/ r

r

rr

rr

xQ

xP

VVLM

NH θ


potencia

( )

( ))cossen(

)sencos(

ikikikikkik

iik

iiiriii

nk

ikk

ikikikikkii

iii

bgVVP

H

VbQH

gbVVP

H

θθθ

θθθ

−=∂

∆−∂

−=

−=∂

∆−∂

=

=

≠=

= ∑2

1


potencia

( )

( ))sencos(

)sencos(

ikikikikkik

iik

iiiriii

nk

ikk

ikikikikkii

iii

bgVVQ

M

VgPM

bgVVQ

M

θθθ

θθθ

+−=∂

∆−∂

−=

+=∂

∆−∂

=

=

≠=

= ∑2

1


potencia

ikk

ikik

iiiri

i

iiii

ikk

ikik

iiiri

k

iiii

HV

QVL

VbQV

QVL

MV

PVN

VgPV

PVN

=∂

∆−∂=

−=∂∆−∂

=

−=∂

∆−∂=

+=∂

∆−∂=

)(

)(

)(

)(

2

2


potencia

PQ&PVPQ

∆∆

=

∆

∆⋅

)(

)(

/ r

r

rr

rr

xQ

xP

VVLM

NH θ

∆∆

⋅

=

∆

∆−

)(

)(

/

1

r

r

rr

rr

xQ

xP

LM

NH

VV

θ

∆∆

+=+

Vxx rr θ1


potencia

Car act er íst icas del mét odo:

1. Velocidad de conver gencia ‘cuadr át ica’ (el númer o de cif r as signif icat ivas se duplica luego de cada it er ación)

2. Conf iable, no sensible a la elección de la bar r a f lot ant e.

3. Solución pr ecisa obt enida luego de 4-6 it er aciones.

4. J debe ser r e-calculada e inver t ida luego de cada it er ación. (J es una mat r iz espar sa, t iene est r uct ur a simét r ica, per o los valor es no son simét r icos)

Método de Newton RaphsonEjemplo

12

3

V=1, θ=0

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8

Resolver el pr oblema de f luj o de car ga usando el mét odo de NR:

Método de Newton- RaphsonEjemplo

1 2

3

V=1, θ=0

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8Bar r a 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)

Bar r a 2: Bar r a PQ

(V2 y θ2 desconocidos)




(V3 especif icado)


pot encia act iva.


=

−−

−=+=

222322

323332

222322

2

3

2

232

945

41410

51015

LMM

NHH

NHH

Q

P

PV

J

jjj

jjj

jjj

jBGY

θθ


[ ]

[ ]

[ ])cos(4cos1014cos

)sen(4sen5sen

)sen(4sen10sen

32321222

12222

2323131

3333

3232121

2222

θθθθ

θθθθ

θθθθ

−+−=−=

−+==

−+==

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

VVVVbVVQ

VVVbVVP

VVVbVVP

nk

kkkk

nk

kkkk

nk

kkkk


0,0,0,1,1,1 03

02

01

03

02

01 ====== θθθVVV

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ][ ] 00cos140cos1101114

)cos(4cos1014

00sen140sen151)sen(4sen5

00sen140sen1101)sen(4sen10

323212222

2323133

3232122

=⋅+⋅−⋅=−+−=

=⋅+⋅=−+=

=⋅+⋅=−+=

θθθ

θθθ

θθθ

VVVVQ

VVVP

VVVP


∑

∑=

=

=

=

−−=∆

+−=∆

nk

kikikikikki

spii

nk

kikikikikki

spii

bgVVQQ

bgVVPP

1

1

)cossen(

)sencos(

θθ

θθ

−

−=

−−−−−

=

∆∆∆

8.0

0.1

5.1

08.0

00.1

05.1

2

3

2

Q

P

P


−

−=

+−−−−+−−−

−−+−=

0001400000000

000000090004

0000000400014

144

494

414

2

3

2

232

22232322

32322333232

23232222

2

3

2

232

...

...

...................

)sen(

)sen()cos(

)cos(

Q

P

PV

J

VQVVP

VVVQVV

PVVVQ

Q

P

P

V

J

θθ

θθθθθθ

θθθθ


=−

0714.00000.00000.0

0000.01273.00364.0

0000.00364.00818.01J

−

−⋅

=

∆∆∆

8.0

0

5.1

0714.00000.00000.0

0000.01273.00364.0

0000.00364.00818.0

/ 22

3

2

VV

θθ

−

−=

∆∆∆

0571.0

0727.0

0864.0

/ 22

3

2

VV

θθ


9429.00571.011

0727.00727.00

0864.00864.00

2

202

02

12

303

13

202

12

=⋅−=∆+=

=+=∆+=

−=−=∆+=

V

VVVV

θθθθθθ

Est o complet a la pr imer it er ación.Ahor a r e-calculamos las pot encias de la bar r a con los nuevos valor es de las var iables de est ado:


0727.0,0864.0,0,1,9429.0,1 13

12

11

13

12

11 =−===== θθθVVV

[ ][ ]

[ ] 6715.0)cos(4cos1014

9608.0)sen(4sen5

4107.1)sen(4sen10

323212222

2323133

3232122

−=−+−=

=−+=−=−+=

θθθθθθ

θθθ

VVVVQ

VVVP

VVVP

−

−=

−−−+−

=

∆∆∆

1285.0

0392.0

0893.0

6715.08.0

9608.00.1

4107.15.1

2

3

2

Q

P

P


−−

−−=

+−−−−+−−−

−−+−=

7742115975041071

597507106872383

4107172383117213

144

494

414

2

3

2

232

22232322

32322333232

23232222

2

3

2

232

...

...

...

)sen(

)sen()cos(

)cos(

Q

P

PV

J

VQVVP

VVVQVV

PVVVQ

Q

P

P

V

J

θθ

θθθθθθ

θθθθ


−−=−

0861.00022.00086.0

0022.013707.00369.0

0086.00369.00876.01J

−

−⋅

−−=

∆∆∆

1285.0

0392.0

0893.0

0861.00022.00086.0

0022.013707.00369.0

0086.00369.00876.0

/ 22

3

2

VV

θθ

−

−=

∆∆∆

0119.0

021.0

075.0

/ 22

3

2

VV

θθ


9316.09429.00119.09429.0

07485.00021.00727.0

09385.00075.00864.0

2

212

12

22

313

23

212

22

=⋅−=∆+=

=+=∆+=

−=−−=∆+=

V

VVVV

θθθθθθ

Est o complet a la segunda it er ación.Ahor a r e-calculamos las pot encias de la bar r a con los nuevos valor es de las var iables de est ado:


07485.0,09385.0,0,1,9316.0,1 23

22

21

23

22

21 =−===== θθθVVV

[ ][ ]

[ ] 7979.0)cos(4cos1014

9995.0)sen(4sen5

4987.1)sen(4sen10

323212222

2323133

3232122

−=−+−=

=−+=−=−+=

θθθθθθ

θθθ

VVVVQ

VVVP

VVVP

−

−=

−−−+−

=

∆∆∆

0021.0

0005.0

0013.0

7979.08.0

9995.00.1

4987.15.1

2

3

2

Q

P

P


−−

−−=

+−−−−+−−−

−−+−=

3529116257049871

625706596867363

4987177363948812

144

494

414

2

3

2

232

22232322

32322333232

23232222

2

3

2

232

...

...

...

)sen(

)sen()cos(

)cos(

Q

P

PV

J

VQVVP

VVVQVV

PVVVQ

Q

P

P

V

J

θθ

θθθθθθ

θθθθ


−−=−

0895.00024.00097.0

0024.01313.00370.0

0097.00370.00888.01J

−

−⋅

−−=

∆∆∆

1285.0

0392.0

0893.0

0895.00024.00097.0

0024.01313.00370.0

0097.00370.00888.0

/ 22

3

2

VV

θθ

−

−=

∆∆∆

00020.0

00002.0

00012.0

/ 22

3

2

VV

θθ


9314.09316.00002.09316.0

7486.000002.007485.0

09397.000012.009385.0

2

222

22

32

323

33

222

32

=⋅−=∆+=

=+=∆+=

−=−−=∆+=

V

VVVV

θθθθθθ

Est o complet a la t er cer a it er ación.El mét odo ha conver gido ya que el vect or de apar t amient o es casi cer o.


07486.0,09397.0,0,1,9314.0,1 33

32

31

33

32

31 =−===== θθθVVV

[ ][ ]

[ ] 8.0)cos(4cos1014

1)sen(4sen5

5.1)sen(4sen10

323212222

2323133

3232122

−=−+−=

=−+=−=−+=

θθθθθθ

θθθ

VVVVQ

VVVP

VVVP

=

∆∆∆

0

0

0

2

3

2

Q

P

P

Desacoplado rápido del f lujo de carga (FD)Desacoplando las ecuaciones

VVLQVVLM

HPVVNH

Q

P

VVLM

NH

//

/

/

∆≈∆=∆⋅+∆⋅∆≈∆=∆⋅+∆⋅

∆∆

=

∆

∆⋅

θθθ

θ PQ&PV

PQ

Desacoplado rápido del f lujo de carga (FD)Desacoplando las ecuaciones

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]QVVL

PH

∆=∆⋅

∆=∆⋅

/

θ PQ&PV

PQ

Las ecuaciones están desacopladas pero los coeficientes de las matrices H y L son interdependientes: H depende del módulo del voltaje, L depende del ángulo de fase. Este esquema requiere evaluación de las matrices en cada iteración.

Simplif icaciones de Stott & Alsac

1. Las diferencias entre los ángulos de fase de barras típicas del sistema son usualmente pequeñas:

2. Las susceptancias de línea Bikson mucho mayores que las conductancias de línea Gik:

3. La potencia reactiva inyectada en cualquier barra es mucho menor que la potencia reactiva que circularía si todas las líneas que parten de esa barra se corticircuitaran al neutro del sistema:

1≈− )cos( ki θθ kiki θθθθ −≈− )sen(

)cos()sen( kiikkiik BG θθθθ −<<−

iiii BVQ2<<

Elementos JacobianosPotencia activa

kikiik

ikikikikkiik

iiiiii

iiiriii

VbVH

bgVVH

VbVH

VbQH

⋅⋅−=

−⋅⋅=

⋅⋅−=

−−=

)cossen( θθ

2

Elementos JacobianosPotencia reactiva

kikiik

ikikikikkiik

iiiiii

iiiriii

VbVL

bgVVL

VbVL

VbQL

⋅⋅−=

−⋅⋅=

⋅⋅−=

−−=

)cossen( θθ

2

Modif icaciones posteriores

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]QVVVBV

PVBV

∆=∆⋅⋅⋅−

∆=∆⋅⋅⋅−

/''

' θ PQ&PV

PQ

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]VQVVVB

VPVB

//''

/'

∆=∆⋅⋅−

∆=∆⋅⋅− θ PQ&PV

PQ

Modif icaciones posteriores

PQ&PV

PQ

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]VQVVVB

VPVB

//''

/'

∆=∆⋅⋅−

∆=∆⋅⋅− θ

PQ&PV

PQ

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]VQVB

VPB

/''

/'

∆=∆⋅−

∆=∆⋅− θ

Desacoplado rapidode las ecuaciones.

Método de desacoplado rápidoCaracterísticas

PQ&PV

PQ

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]VQVB

VPB

/''

/'

∆=∆⋅−

∆=∆⋅− θ

1. B’ y B’’ son matrices esparsas reales.

2. B’ y B’’ son aproximaciones del Jacobiano con gradiente constante. (El resultado final es el correcto!)

3. Aunque FD requiere más iteraciones, la solución se puede obtener mucho más rápido.

4. FD es más robusto que NR (puede encontrar soluciones donde NR falla)

5. Problemas potenciales en redes con R>X.

Método de desacoplado rápidoEjemplo

12

3

V=1, θ=0

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8

Resolver el pr oblema de f luj o de car ga usando el mét odo FD:


1 2

3

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8Bar r a 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)

Bar r a 2: Bar r a PQ

(V2 y θ2 desconocidos)




(V3 especif icado)


pot encia act iva.


[ ] [ ]22222

3

2

3332

2322

33

22

945

41410

51015

VbVQ

bb

bb

VP

VP

jjj

jjj

jjj

jBGY

∆⋅−=∆

∆∆

⋅

−=

∆∆

−−

−=+=

/

/

/

θθ


∆∆

⋅

=

∆∆

∆∆

⋅

−

−−=

∆∆

∆∆

⋅

−=

∆∆

33

22

3

2

3

2

33

22

3

2

3332

2322

33

22

1273003640

0364008180

94

414

VP

VP

VP

VP

bb

bb

VP

VP

/

/

..

..

/

/

/

/

θθ

θθ

θθ

Método de desacoplamiento rápidoEjemplo

0,0,0,1,1,1 03

02

01

03

02

01 ====== θθθVVV

[ ] [ ]

[ ] [ ]

−=

∆∆

=⋅+⋅=−+=

=⋅+⋅=−+=

1

51

0014015145

001401101410

033

022

2323133

3232122

.

/

/

sensen)sen(sen

sensen)sen(sen

VP

VP

VVVP

VVVP

θθθ

θθθ

Apartamiento de potencia activa


0727300727300

0863600863600

072730

086360

1

51

1273003640

0364008180

303

13

202

12

3

2

3

2

..

..

.

.

.

..

..

=+=∆+=

−=−=∆+=

−=

∆∆

−⋅

=

∆∆

θθθθθθ

θθ

θθ


[ ] [ ] [ ]22222 VbVQ ∆⋅−=∆ / [ ] [ ] [ ]222 14 VVQ ∆⋅=∆ /

[ ] [ ] [ ]222 07140 VQV /. ∆⋅=∆

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

93660063410

0634108878007140

8878010878080

0878041014

02

12

2

22

323212222

..

...

./)..(/

.)cos(cos

=−=

−=−=∆−=−−=∆

=−+−=

VV

V

VQ

VVVVQ θθθ

Apartamiento depotencia reactiva


072700864001936601 13

12

11

13

12

11 .,.,,,., =−===== θθθVVV

931440000040074860093970000050000060

93144000042007486093960000570000700

0931470005070074810093920005820008270

931860061970074390093410043190098640

93660887800727300863600015001223232

......

......

......

......

......

−−−−−−−−−−−−−−−

∆∆∆ VQPP θθ

5 flujo (2)

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Transcript of 5 flujo (2)