VI OLIMPIADA DE MATEMATICA MERCEDARIA 2013

I.E.P “Nstra. Sra. De Las Mercedes” 4º Secundaria

4º Secundaria

I .E .P .

VI OLIMPIADA DE MATEMATICA MERCEDARIA 2013

I.E.P “Nstra. Sra. De Las Mercedes” 4º Secundaria

1. En cierta proporción geométrica continua la diferencia entre el término mayor y menor es 5 y entre el término medio y el menor de los extremos es 2. Determinar la suma de los términos. a)15 b)25 c)30 d)32 e)35

2. La media aritmética de 2 números que diferencian en 24, excede a su media geométrica en 4. Hallar el número menor. a)8 b)10 c)12 d)14 e)16

3. Determinar el mayor número menor de 600 tal que al restarle su complemento aritmético de como resultado un múltiplo de 17.Dar como respuesta la suma de sus cifras. a)15 b)21 c)17 d)18 e)20

4. La distancia entre 2 líneas de una vereda de 1,2m, si se empieza a caminar pisando raya con una velocidad de 3m/s y 0,75m de longitud de paso ¿Cuánto tiempo se debe de caminar para pisar raya por 81ava vez? a)90s b)110 c)120 d)140 e)160

5. Se impone un capital al 6% durante 4 años y 3 meses después se retira al capital más de los intereses y se impone todo el 8% ¿Cuál era el capital inicial si ahora se recibe como renta anual 180,72?. a)s/2000 b)2500 c)8000 d)1000 e)1800

6. Para efectuar una obra cuenta con 2 cuadrillas.La primera cuadrilla cuenta con 40 hombres puede concluir la obra en 30 días.La segunda tiene 60 hombres y puede terminar en 20 dias.Si sólo tomamos ¾ de la primera y los 2/3 de la segunda cuadrilla.¿En cuantos días se terminará la obra? a)19 1/7 días b)18 1/7 c)16 1/7 d)16 1/7 e)17 1/7

7. Se tiene un cuadrilátero ABCD, en el cual ∠ 𝐵 = ∠ 𝐷 = 90° 𝑌 ∠ 𝐶 = 60°.La longitud es de 3cm.Hallar BD.

a)4 3𝑐𝑚 b) 5 3𝑐𝑚 c) 6 3𝑐𝑚

d)6cm e)N.A

8. Un prisma tiene “C” caras luego el número de aristas es : a)3(C - 2) b)3(C + 2) c) C – 2 d) C + 2 e)3 (C- 1)

9. Una región triangular al ser proyectado sobre un plano, determina otra región triangular, cuya área es la mitad de la región triangular inicial. Calcular la medida del ángulo diedro determinado por la región triangular inicial y el plano de proyección. a)15° b)30° c)60° d)45° e)90°

10. El inradio de un triángulo mide 4cm, y la circunferencia inscrita determina sobre uno de los lados,segmentos de longitudes 6 y 8cm.Hallar el área del triángulo.

a)40𝑐𝑚2 b)50 c)100 d)25 e)84

11. Sobre la hipotenusa 𝐴𝐶 de un triángulo rectángulo, se dibuja exteriormente el cuadrado ACEF ,de centro O. Hallar la medida del ángulo OBC. a)60° b)30° c)80 d)45° e) 53°

12. En la figura mostrada. Hallar : “α”

a) 30° b) 22,5 c)10 d)17,5 e) 12,5

13. Se divide un terreno rectangular en parcelas lográndose 108 parcelas cuadradas de 121

𝑚2 cada uno. En cada esquina de las parcelas, se coloca un poste, empleándose en total 130 postes. Halle la diferencia entre el largo y el ancho del terreno rectangular.

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a)33m b)2 c)10 d)15 e)35

14. Dentro de 8 años, la edad de un padre será el doble de la edad que tendrá su primer hijo; dentro de 10 años, la edad del padre será el doble de la edad que tendrá su segundo hijo y, dentro de 16 años, la edad del padre será el doble de la edad de su tercer hijo. Si la edad del padre excede en 4 años a la suma de las edades de sus tres hijos, ¿cuántos años tiene el padre? a)17 años b)20 c)26 d)31 e)35

15. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 3h17min 20s? a) 4°20’ b) 3°10’ c) 5°15’ d) 4°15’ e) 5°20’

16. De un recipiente que está lleno de agua, saco 1/4 de lo que no saco. Luego se extrae 2/3 de lo que no se extrae. Si todavía quedan 24 litros, halla la capacidad del recipiente:

a) 10litros b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

17. Sea f una función :

𝑓(𝑥) =𝑎𝑥+1−2𝑎

𝑥+2 ; 𝑥 ∈ ℝ - {-2}

Además f*= f ; donde f

* es la función

inversa. Calcule f*(4)

a) 1/4 b) 1/2 c) -1/2 d) -1/4 e) -1/3

18. Sea S el conjunto de puntos (a; b) con

0 ≤ 𝑎 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝑏 ≤ 1 ; tal que la

ecuación x4 + ax3 – bx2 + ax + 1 = 0

tiene al menos una raíz real. Determine

el área generada por la gráfica de S.

a) 1/8 b) 2 c) 1 d) 1/4 e) 1/2

19. Luego de resolver :

𝐿𝑜𝑔4 9𝑥 − 3𝑥 − 1 ≤ 𝐿𝑜𝑔2 5

Se obtiene < log3∝; 𝛽 ] como conjunto

solución. Halle : ∝ + 𝛽

a) 𝟓+𝟑

𝟐 b)

5+4

2 c)

5+1

2

d) 5

2 e)

1− 5

2

20. La sucesión de números 1; 4; 10; 19 posee

la propiedad de que la diferencia de dos

números vecinos forman una progresión

aritmética; donde el término enésimo es

𝑎𝑛 = 𝑎 +𝑏

𝑐𝑛(𝑛 − 1) y la suma

enésima de los términos es

𝑠𝑛 =1

𝑑𝑛 𝑛2 + 1 .

Halle : a + b + c + d

a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) 11