4 Strömung von Fluiden 2 4.1 Grundbegriffe...
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
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4 Strömung von Fluiden ..............................................................................................................................2 4.1 Grundbegriffe ....................................................................................................................................................................................... 2
4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes ..................................................................................... 2 4.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen .................................................................................................. 3 4.1.3 Bahnlinie und Stromlinie .............................................................................................................................. 5 4.1.4 Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche ................................................................................................ 9
4.2 Kontinuitätsgleichung .................................................................................................................................................................. 11
4.3 Energieerhaltungssatz ................................................................................................................................................................. 14
4.3.1 Satz von Bernoulli ...................................................................................................................................... 14 4.3.2 Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleichung ........................................................... 29 4.3.3 Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung ..................................................... 31 4.3.4 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern -verlustfrei ................................................................................... 33 4.3.5 Ausfluß aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen .......................................................................... 37 4.3.6 Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser ........................................................................................... 38 4.3.7 Ausströmen von Gasen aus Behältern in die Atmosphäre .................................................................. 39 4.3.8 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter ................................................................................ 41
4.4 Strömung mit Energietransport ............................................................................................................................................. 44
4.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten ........................................................... 44 4.4.2 Turbine ......................................................................................................................................................... 49 4.4.3 Pumpe, Gebläse ......................................................................................................................................... 54
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4 Strömung von Fluiden
4.1 Grundbegriffe
4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes
tzyxTTtzyxtzyxpptzyxcc ,,,,,,,,,,,,,,,
Geschwindigkeitsfeld tzyxcc ,,, stellt ein Vektorfeld dar
Druck, Dichte und Temperatur stellen Skalarfelder dar
Zur Lösung des Gleichungssystems existieren 6 Gleichungen:
- Drei Bewegungsgleichungen (drei Komponenten)
- Kontinuitätsgleichung
- Energiesatz
- Thermische Zustandsgleichung
Ideale Flüssigkeit: Keine Temperaturabhängigkeit der Zustandsgrößen
Ideale Gase: Aus dem Wertetripel Tp ,, müssen immer nur zwei bekannt sein
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c, p, T,
A
A
4.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen
Unterscheidung in stationäre und instationäre Strömung in Abhängigkeit von dem zeitlichen
Verhalten der Zustandsgrößen V, p, T und
stationär
0dtd
dtdT
dtdp
dtdc
quasistationär
0dtd
dtdT
dtdp
dtdc
Instationär
0,0,0,0 dtd
dtdT
dtdp
dtdc
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Stationäre Strömung - Kontinuierliche Rohrströmung
- keine zeitliche Änderung des Massestroms Acm
Instationäre Strömung - Ausfluss aus einem Behälter
- Massestrom ändert sich in Abhängigkeit vom Füllstand h
- Ausflussgeschwindigkeit hgc 2 (Torricelli'sche Ausflussgleichung)
c
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4.1.3 Bahnlinie und Stromlinie
Bahnlinie
- Kurve, die ein Fluidelement zu unterschiedlichen Zeitpunkten ( ntttt ,....,, 10 ) durchläuft
- Sichtbarmachung z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen und Langzeitbelichtung
Wasserkanalaufnahme von NACA 64A015, = 0° (ONERA, Werlé 1974)
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Stromlinie
- Tangentenkurve an die Geschwindigkeitsvektoren eines Strömungsfeldes
- Sichtbarmachung z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen und Kurzeitbelichtung
- Strömungsfeld lässt sich durch eine Kurvenschar darstellen, die in jedem Punkt den
zughörigen Geschwindigkeitsvektor tangieren
t = t0
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Stromlinien
- Stromlinien können beliebig dicht zueinander definiert werden
- Zwischen zwei Stromlinien liegt immer ein konstanter Massestrom vor
- Stromlinienverdichtung Strömungsbeschleunigung
- Stromlinienerweiterung Strömungsverzögerung
- Kein Massetransport über die Stromlinien
- Stromlinien haben keine Unstetigkeitsstelle (Knick) oder Überschneidungen
- Bei stationären Strömungen fallen Bahnkurven und Stromlinien zusammen
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Stromlinie und Bahnlinie
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4.1.4 Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche
Stromröhre - Bündel von Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve im Raum treten
Stromfaden - Stromröhre mit infinitesimalem Querschnitt dA, eindimensionale Strömung
Stromfläche - Umhüllende Mantelfläche der Stromröhre
- Massestrom nur durch Ein- bzw. Austrittsfläche A1 und A2 möglich
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4.2 Kontinuitätsgleichung Volumenstrom V
smAcV
3
Massestrom m
skgAcVm
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Kontinuitätsgleichung
Kontinuitätsgleichung
.constmm 21
.constAcAc 222111
Differentielle Form der Kontinuitätsgleichung
0 Acd
0 cdAAdcAcd Ac
1
0cdc
AdAd
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Bsp.: Rohrverzweigung eines Abwasserrohrs
geg.: D1 = D2 = 100 mm
1V = 42,4 m³/h
32 :VV = 2:1
13 cc
ges.: 1. D3 (Durchmesser Abzweigungsrohr)
2. c2 (Geschwindigkeit im Querschnitt 2)
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4.3 Energieerhaltungssatz
4.3.1 Satz von Bernoulli
Energieerhaltungssatz
- Thermodynamische Betrachtung eines offenen, durchströmten Systems
- Verlustbehafteter behafteter Strömungsprozess mit Austausch von Wärme und Arbeit
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Luft Abgasstrahl
Zapfluft Enteisung
Kerosin Zapfluft Kabinendruck
Stromversorgung
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zum abab qm ,
2,2 , LabL qm zuB qm ,1Lm
elw
Systemgrenze
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Energien im Kontrollraum zwischen Eintrittsebene (1) und Austrittsebene (2) - Wt,12 [J/kg] Technische Arbeit, die dem Fluid zugeführt wird
- Q12 [J/kg] Wärme, die dem Fluid zugeführt wird
- EDiss [J/kg] Dissipierte Energie (Verluste, z.B. infolge von Reibung)
- Ekin,12 [J/kg] Kinetische Energie
- Epot,12 [J/kg] Potentielle Energie
- H12 [J/kg] Enthalpie
Energiebilanz über die Systemgrenze
gienSystemener
potkin
nergienTransporte
Diss HEEEWQ 1212,12,1212 (erster Hauptsatz der Thermodynamik)
Transportenergien
Energien, die über die Systemgrenze transportiert werden
Systemenergien
Energien, die sich innerhalb der Systemgrenze ändern
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Energieterme und spezifische Energieterme auf die Systemmasse m bezogen
Wärme: 12Q spez. Wärme:
kgJ
mQq 12
12
Arbeit: 12W spez. Arbeit:
kgJ
mWw 12
12
Dissipationsenergie: DissE spez. diss. Energie:
kgJ
mEe diss
diss
kinetische Energie: 21
2212, 2
ccmEkin spez. kin. Energie:
kgJ
mE
e kinkin
12,12,
potentielle Energie: 1212, zzgmEpot spez. pot. Energie:
kgJ
mE
e potpot
12,12,
Enthalpie: VpUH spez. Enthalpie:
kgJ
mHh
innere Energie: TcmU v spez. innere Energie:
kgJ
mUu
Druckenergie: Vp spez. Druckenergie:
kgJ
mVpvp
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Enthalpie
- Summe aus innerer Energie U und Druckenergie pV
VpUH bzw. vpumHh (spez. Enthalpie)
Kalorische Zustandsgleichungen
dv
vudT
Tudu
T
c
v
v
, vTcTuc v
vv ,
spez. isochore Wärmekapazität
dp
phdT
Thdh
T
c
p
p
, pTcThc p
pp ,
spez. isobare Wärmekapazität
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Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen (inkompressibel, d.h. v = const.)
cdTduTcTc vp
1212 TTcTuTu Änderung der spez. inneren Energie u
112121122 ,, vppTTcpThpTh Änderung der spez. Enthalpie h
Innere Energie und Enthalpie idealer Gase
TcdTduc vv dTTcdu v
2
1
12
T
Tv dTTcuu
TcdTdhc pp dTTcdh p
2
1
12
T
Tp dTTchh
RTcTc vp spez. Gaskonstante, ist keine Temperaturfunktion Bei konstanten Werten für cp und cv
1212 TTcuu v Änderung der spez. inneren Energie u
1212 TTchh p Änderung der spez. Enthalpie h
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Erster Hauptsatz der Thermodynamik für ein offenes, stationär durchströmtes System
gienSystemener
potkin
nergienTransporte
Disst heeewq 1212,12,12,12
bzw.
ieDruckenergspezu
v
ee
Disst ppvTTczzgccewqpot
kin.
1212122
12
212,12
1212,12,
21
oder
Enthalpiespeze
e
Disst hhzzgccewqpot
kin.
12122
12
212,12
12,12,
21
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Bsp.: Stationär durchströmte Gasturbine - Ein- und Austrittsebene der Turbine auf gleiche Höhe
- Isentrope Expansion von 14049 m³/h Heißgas von
bar,p 9181 auf bar,p 0212
- Turbineneintrittsquerschnitt 21 019420 m,A
- Turbinenaustrittsquerschnitt 22 43060 m,A
- Turbineneintrittstemperatur CT 9801
- spez. Gaskonstante KkgJ,R 1287
- Isentropenexponent 341,
- Konstante spez. Wärmekapazitäten cp, cv = const.
ges.: - Volumenstrom in der Austrittsebene
- spez. technische Arbeit wt,12
- Wellenleistung P
T1, p1, z1, A1
(1) (2)1m 2m
P, wt,12
T2, p2, z2, A2
Isentrope Zustandsänderung
1
1
2
1
2
pp
TT
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Mögliche Vereinfachungen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik q12 = 0: kein Wärmefluß über die Systemgrenze (adiabates System) wt,12 = 0: keine technische Arbeit über die Systemgrenze ediss = 0: keine Reibung an der Systemgrenze (reibungsfreies System) T1 = T2: konstante Temperatur im System (isothermes System) z1 = z2: kein Höhenunterschied zwischen Zustand (1) und (2) Zusätzliche weitere Vereinfachungen
System wird stationär durchströmt, d.h. .constm Inkompressibles Fluid, d.h. .const führen den ersten Hauptsatz der Thermodynamik
ieDruckenergspezu
v
ee
Disst ppvTTczzgccewqpot
kin.
1212122
12
212,12
1212,12,
21
in den Satz von Bernoulli über
12122
12
2210 ppvzzgcc
Allgemein: Die Energie oder der Gesamtdruck längs eines Stromfadens ist konstant
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Unterschiedlichen Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung
.constEVpzgmcm
gieGesamtener
gesieDruckenergEnergieepotentiell
Energiekinetische
2
2
(Energieform)
Division durch die Masse m
.constevpzgc
gieGesamtener.spez
gesieDruckenerg.spezEnergieepotentiell.spez
Energiekinetische.spez
2
2
(spez. Energieform)
Multiplikation mit = 1/v
.constppzgc ges 2
2 (Druckform)
Division durch g
.consthg
pzg
cges
2
2
(Höhenform)
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Zusammenfassung – Anteile der Bernoulli-Gleichung
dynamischer
Anteil
potentieller
Anteil
statischer
Anteil
Gesamtenergie,
-druck bzw. -höhe
spezifische
Energiegleichung
2
2c
hg p
.consteges
2
2
sm
kgmN
Druckgleichung
2
2c
hg
p
.constpges
PamN
2
Höhengleichung
g
c2
2
h gp
.consthges
m
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Energieanteile in einem durchströmten System ohne Berücksichtigung von Reibung und Arbeit
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Weitere Möglichkeit zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung - Euler-Gleichung
Kräftebilanz an einem Volumenelement Annahmen:
- keine Berücksichtigung der thermischen Energie
- keine Berücksichtigung der inneren Energie
- keine Reibung
cos gm dFdF , dsdz
cos
.constppzgc ges 2
2 Druckform der Bernoulli-Gleichung
s, c
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4.3.2 Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleichung
1. Überprüfung der Annahmen - Keine Arbeitsmaschine (Pumpe, Turbine, Kompressor,…) im System
- Keine Wärmeübertragung (Wärmetauscher, Kühler, Brennkammer, …) im System
- Reibungsverluste vernachlässigbar
- Konstante Temperatur
- Stationäre, inkompressible Strömung
2. Definition von Start- und Endpunkt der Bilanz - Wo sind Parameter bekannt?
- Wo sollen Parameter bestimmt werden?
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Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleichung 3. Aufstellen der vollständigen Bilanz vom Start- zum Endpunkt, z.B. von (1) nach (2)
222
2112
1 22pzgcpzgc
ergibt eine Gleichung mit sechs Unbekannten
4. Eliminieren von fünf Unbekannten - Geeignete Wahl von Start- und Endpunkt
- Geschwindigkeiten:
Kontinuitätsgleichung für = const. 222111 AcAc 1
221 A
Acc
5. Aufstellen der reduzierten Bilanz
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4.3.3 Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung Venturi-Rohr
Ziel
- Messung des Volumenstroms V
Messgrößen - Druckmessstellen an der Zuströmseite (1) und im
engsten Querschnitt (2)
Annahmen - Reibungsfreie Strömung: eDiss = 0
- Eindimensionale Strömung: keine Änderung
der Strömungsgrößen über den Querschnitt
- horizontale Anordnung: z(1) = z(2), epot = 0
- inkompressible Strömung: .21 const
c1 c2
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Bsp.: Venturi-Rohr: Verlustfreie, inkompressible Strömung
geg.: d1 = 150 mm
d2 = 100 mm
Luft = 1,225 kg/m³
p1 - p2 = 250 mmWS
= const.
ges.: Volumenstrom V
c1 c2
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4.3.4 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern -verlustfrei
c2
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Ausfluß aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck -verlustfrei
c2
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Bsp.: Ausfluß aus einem Behälter unter Überdruck -verlustfrei
geg.: P1Ü = 1 bar
h1 = 2 m
d2 = 2 cm
H2O = 1000 kg/m³
ges.:
c2, V
1
c2
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Bsp.: Ausfluß aus einem Benzinschlauch unter Überdruck - verlustfrei
geg.: P1Ü = 4 bar
h2 = 0.2 m
d1 = 10 mm
d2 = 2 mm
Benzin = 780 kg/m³
ges.: c2 Ausströmgeschwindigkeit
c2
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4.3.5 Ausfluß aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen
Bisherige Betrachtungen
- Ausfluss durch gerundete Düsen Strahlquerschnitt Astr = Düsen- oder Lochquerschnitt AL
Realität - Strahlgeschwindigkeit c2 wird in der Ausströmöffnung nicht erreicht
- Strahleinschnürung
Kontraktionszahl
1L
Str
AA
611.02
(Näherungswert für lange Spalte,
runde Ausströmöffnungen)
1 (ausgeformte Düse)
c2
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4.3.6 Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser
Ausströmen von Fluiden in ein ruhendes Fluid - Strahlkontraktion
- Strahl vermischt sich nach kurzer Entfernung mit dem ruhenden Fluid
- Umwandlung kinetischer Energie in Wärme (Dissipation)
Grenzen der Bernoulli-Gleichung - Bilanz (1) - (3) aufgrund der Durchmischung
( Dissipation) nicht zulässig
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4.3.7 Ausströmen von Gasen aus Behältern in die Atmosphäre
Ausströmen von Gasen in die freie Atmosphäre - Strahlkontraktion
- Turbulente Durchmischung mit der Umgebung (= Dissipation)
- Dem Strahl wird der Umgebungsdruck p0 aufgeprägt (Freistrahl)
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Bsp.: Auslegung eines Belüftungssystems
Belüftungsrohr mit Ausblaslöchern (scharfkantig)
geg.:
sm,V 370 Luftstrom
mmd 10 Bohrungsdurchmesser
PapÜ 1100 Überdruck im Rohr 321 mkg,Luft Luftdichte
60, Kontraktionszahl
smczu 10 Zuströmgeschwindigkeit
ges.: - Durchmesser des Rohres
- Anzahl der Bohrungen?
- Annahme der Inkompressibilität korrekt?
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4.3.8 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter
Verlustfreies Ausströmen (Torricelli)
- Verlustfreier Ausströmvorgang: th,th, hgc 12 2 (Torricelli’sche Ausflussgleichung)
- Verlustfreie Höhe der Fontäne: h1,th
Realität - Ausströmgeschwindigkeit c2 < c2,th
112 22 hghhgc Vth,
- Reibungsbehaftete Höhe der Fontäne th,hh 11
Verlustziffer
- Abminderung der Geschwindigkeit
th,th,th, h
hhghg
cc
1
1
1
1
2
2
22
� �
�
� � �
� � �� �
� � �
�
�
� �
� � �
�
� �
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Kontraktionszahl
12
*2
AA
AA
L
Str
Ausflußkoeffizient
- Zusammenfassung von Kontraktionszahl und Verlustziffer
Volumenstrom
th,th, hgAcAV 12 2
� �
�
� � �
� � �� �
� � �
�
�
� �
� � �
�
� �
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scharfkantige Öffnung BORDA-Mündung
Öffnung Verlustziffer Kontraktionszahl Ausflußkoeffizient
scharfkantig 0.97 0.61 - 0.64 0.59 - 0.62
gerundet 0.97 - 0.99 1 0.97 - 0.99
DIN 1952: Werte für Blenden und Venturirohre
c2* c2*
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4.4 Strömung mit Energietransport
4.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten
Arbeit - System enthält Baugruppen, die Arbeit zuführen (Pumpe) oder abführen (Turbine)
- Berücksichtigung im 1. Hauptsatz durch Arbeitsterm
spezifische Arbeit wt12
Totaldruckänderung pM
Förderhöhe, Nutzhöhe H oder HNutz
Verluste - Reale, reibungsbehaftete Strömung
- Berücksichtigung der dissipierten Energie durch Verlustterm
spezifische dissipierte Energie, eDiss bzw. eV
Totaldruckverlust, pV
Höhenverlust hV
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Besonderheiten bei Pumpen und Turbinen Spezifische Förderarbeit (Pumpen) Y
- Dem Fluid zugeführte mechanische Arbeit
- entspricht der spezifischen technischen Arbeit wt12 (Thermodynamik)
- Y = wt12 [Nm/kg = m²/s²]
Totaldruckänderung infolge Arbeit
- Produkt aus aus der Förderarbeit Y und Dichte
Ypt [Pa]
Förderhöhe H
- Förderhöhe (Pumpe) bzw. Nutzfallhöhe (Turbine) H oder HNutz
gYH [m]
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Hydraulische Leistung Ph
HgVYVYmPh [W]
bzw. wegen Y = wt12 HgVwVwmP tth 1212
Pumpenwirkungsgrad P
- Verhältnis der an das Fluid übertragenen hydraulischen Leistung Ph zu der an Welle
zugeführten mechanische Leistung PW, P < 1
W
hP P
P
Turbinenwirkungsgrad T
- Verhältnis der an der Welle zugeführten mechanische Leistung PW
zur hydraulischen Leistung Ph, T < 1
h
WT P
P
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Zusammensetzung der Energieanteile unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten
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Zusammenfassung - Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten
Spezifische Energiegleichung
dissepzgcYpzgc
2
2
221
1
21
22
Höhengleichung
Vhg
pzg
cHg
pzg
c
2
2
221
1
21
22
Druckgleichung
Vt ppzgcppzgc 222
2112
1 21
21
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4.4.2 Turbine Energie wird über die Systemgrenze abgeführt
012 ,tw
p0
Systemgrenze
wt12 < 0
(1)
(2) p0
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Höhengleichung (1) – (2)
Vhg
pzg
cHg
pzg
c
2
2
221
1
21
22
Annahmen für Turbine: p1 = p2 konstanter Umgebungsdruck
c1 = c2 = 0 keine Strömungsgeschwindigkeit an
Ober- und Unterwasserspiegel
z1 = H1 Oberwasserspiegel
z2 = 0 Unterwasserspiegel
T1 = T2 konstante Temperatur
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Höhengleichung (1) – (2)
Vhg
pzg
cHg
pzg
c
2
2
221
1
21
22
VhHH 1
Nutzfallhöhe H = hNutz
0121 ,VNutz hHh
Spezifische technische Arbeit wt,12
012, Nutzt hgw
Turbinenleistung
012, NutztTurbine hgmwmP
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 52 von 57
Druckgleichung (1) – (2)
Vt ppzgcppzgc 222
2112
1 21
21
VTurbine ppHg 1
Druckabsenkung durch Turbine pTurbine
01 VTurbine pHgp
Spezifische technische Arbeit wt,12
012,
Turbine
tpw
Turbinenleistung
012, Turbine
TurbinetTurbine pVpmwmP
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 53 von 57
Strömungen mit Energietransport - Turbine Wellenleistung PWelle
NutzTurbineNutzTurbineTurbineTurbineWelle hgVhgmPP
bzw.
NutzmechhydrWelle hgVP ..
oder
0.. TurbinemechhydrWelle pVP
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 54 von 57
4.4.3 Pumpe, Gebläse
Energie wird über die Systemgrenze
zugeführt
012 ,tw
p0
Systemgrenze
wt12 > 0
(2)
p0 (1)
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 55 von 57
Höhengleichung (1) – (2)
Vhg
pzg
cHg
pzg
c
2
2
221
1
21
22
Annahmen für Pumpe: p1 = p2 konstanter Umgebungsdruck
c1 = c2 = 0 keine Strömungsgeschwindigkeit an
Ober- und Unterwasserspiegel
z1 = 0 Unterwasserspiegel
z2 = H2 Oberwasserspiegel
T1 = T2 konstante Temperatur
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 56 von 57
Höhengleichung (1) – (2)
Vhg
pzg
cHg
pzg
c
2
2
221
1
21
22
VhHH 2
Förderhöhe H = hNutz
012,2 VNutz hHh
Spezifische technische Arbeit wt,12 = Y [Nm/kg]
012, Nutzt hgw
Pumpleistung
012 Nutz,tPumpe hgmYmwmP
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 57 von 57
Druckgleichung (1) – (2)
VPumpe ppzgcppzgc 222
2112
1 21
21
VPumpe pHgp 2
Druckerhöhung durch Pumpe pPumpe
0 Pumpep
Spezifische technische Arbeit wt,12 = Y [Nm/kg]
012,
Pumpe
t
pYw
Pumpleistung
012 Pumpe
Pumpe,tPumpe pV
pmwmP