4.7 Kugelumströmung 1 -...
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
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4.7 Kugelumströmung....................................................................................................................... 1
4.7.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung) ....................................... 1
4.7.2 Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel ......................................................................... 2
4.8 Zylinderumströmung ................................................................................................................. 11
4.9 Rohrströmung ........................................................................................................................... 15
4.9.1 Laminare Rohrströmung .................................................................................................... 15
4.9.2 Turbulente Rohrströmung .................................................................................................. 16
4.9.3 Rohrreibungswiderstand .................................................................................................... 17
4.9.4 Rohrreibungszahl ............................................................................................................ 21
4.9.5 Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren .................................................. 26
4.9.5.1 Querschnittserweiterung (Diffusor) .................................................................................. 29
4.9.5.2 Querschnittsverengung ................................................................................................... 34
4.9.5.3 Durchflußmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167) ......................... 39
4.9.5.4 Krümmer - Richtungsänderung ....................................................................................... 42
4.9.5.5 Eintrittsverluste ................................................................................................................ 43
4.9.6 Verlustziffern von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung) ............................. 45
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
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4.8 Kugelumströmung
4.8.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung)
Geschwindigkeit auf der Oberfläche
sin23
ccS
Druckverteilung
22 1
2 cccpp S
S
Druckbeiwert
2
2
2sin
4911
2
cc
c
ppc SSp
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 2 von 56
4.8.2 Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel
laminare Grenzschicht
- Ablösung bei ≈ 70° - 80°
turbulente Grenzschicht
- Ablösung bei ≈ 110° - 120°
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(Milton Van Dyke, 1982)
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 4 von 56
Kugelumströmung – Einfluß der Grenzschicht Strömungsverhältnisse an einer Kugel werden vom Zustand der Grenzschicht dominiert
- Unter- oder überkritischer Zustand der Grenzschicht bestimmt die Lage der Ablösestelle
- Lage der Ablösestelle definiert Größe des Totwassergebiets
- Größe des Totwassergebiets bestimmt Druck- bzw. Formwiderstand
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Widerstandsreduzierung durch Verkleinerung des Ablösegebiets Laminare Grenzschicht (unterkritisch)
- Ablösewinkel ≈ 70° - 80°
Turbulente Grenzschicht nach Stolperdraht (überkritisch)
- Ablösewinkel ≈ 110° - 120°
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 6 von 56
Berechnung des Widerstands einer Kugel bei laminarer Umströmung, 51071 ,Re
Re24
Wc
4.0Re4
Re24
Wc
23056521 ,Re,
Re,cW
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 7 von 56
Umschlag von laminarer (unterkritisch) zur turbulenten (überkritisch) Grenzschicht - Übergangsbereich (kritischer Bereich)
- Ausnahme: Künstliche Transitionsfixierung
- Übergangsbereich: 55 100548531071 ,,Re, , stabil bei 51071 ,Re
- Definition der kritischen Reynoldszahl: 30,cReRe Wkrit
Rekrit = 1,7105 Rekrit = 3,85105
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 8 von 56
Turbulenzfaktor TF
- Natürliche Transition ist eine Funktion der Turbulenz der Zuströmung
3.0Re1005.4
ReRe 5
Wkritkrit
krit
cZuströmunglaminarTF
- vollständig laminare Zuströmung
1TF
- sehr turbulente Zuströmung
4.2TF
- Berücksichtigung des Turbulenzfaktors bei Windkanalmessungen
Berechnungeff TF ReRe
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Turbulenzgrad Tu
222
311 wvu
cTu
wvu ,, : Störgeschwindigkeiten zur Geschwindigkeit der freien Anströmung V
bzw. mit der mittleren Störgeschwindigkeit c , oder mittleren Quergeschwindigkeit
222
31 wvuc
ccTu
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Einfluss der Rauigkeit auf den Widerstand
- Unterkritischer Bereich: Rauigkeit Widerstandsverringerung infolge Transition
- Überkritischer Bereich: Rauigkeit Widerstandserhöhung
relative Rauigkeit k/D glatt 2,510-4 1,510-4 2,510-3 5,010-3 1,2510-2
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4.9 Zylinderumströmung
Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung)
- Annahme: Unendlich langer Zylinder, d.h. zweidimensionale Strömung
- Geschwindigkeit an der Oberfläche
sin2 ccS
- Druckverteilung an der Oberfläche
2sin41 pc
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Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders
- Strömungsverhältnisse am quer angeströmten Zylinder
gleichen denen an der Kugel
- Laminare Grenzschicht (unterkritisch)
Ablösewinkel ≈ 80°
- Turbulente Grenzschicht (überkritisch)
Ablösewinkel ≈ 140°
- Im Nachlauf des Zylinders können sich Wirbelsysteme mit alternierender Drehrichtung bilden
(Karman'sche Wirbelstraße)
- Allgemein gilt für quer angeströmte Körper: Kritische Reynolds-Zahl verschiebt sich mit
zunehmender Rauigkeit zu kleineren Werten
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Umrechnung der cW-Werte für quer angeströmte Zylinder oder Prismen
DhcK
Dhc WW
Höhe/Durchmesser h/D Korrekturfaktor
0 < h/D 4 K 0,6
4 < h/D 8 K 0,7
8 < h/D 40 K 0,8
40 < h/D K 1,0
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Bsp.: Aerodynamischer Widerstand eines Kamins
geg.:
c = 40 [m/s] Windgeschwindigkeit
D = 0,25 [m] Kamindurchmesser
H = 8 [m] Kaminhöhe
T = 20 [°C] Lufttemperatur
p = 1020 [hPa] Luftdruck
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 15 von 56
4.10 Rohrströmung
4.10.1 Laminare Rohrströmung Re-Zahlen Red < 2320
- Anlaufstrecke von ca. dRed,l 060
- Ausbildung einer laminare Strömung
- Parabolisches Geschwindigkeitsprofil
Geschwindigkeitsverteilung
2
max 1Rrcrc , max2
1 ccm
Annahmen - stationär
- inkompressibel
- horizontal
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4.10.2 Turbulente Rohrströmung Re-Zahlen Red > 2320
- Anlaufstrecke von ca. dl 10
- Ausbildung einer turbulenten Strömung
- Überlagerung der Hauptströmungsrichtung
mit Schwankungsbewegungen in Längs- und
Querrichtung
- Erhöhung der Reibungsverluste
Geschwindigkeitsverteilung
nk
Rrcrc
1max
21 k 61
111
n
k, n = f(Re-Zahl, Rauigkeit)
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4.10.3 Rohrreibungswiderstand
Turbulente Rohrströmung
2320
dcdcRed , d = Rohrinnendurchmesser
- Reibungswiderstand an der Rohrwand
Flächebenetzte
Druckdyn
f LdccOW
.
2
2
Kontinuitätsbedingung - Konstanter Rohrquerschnitt bedingt konstante Strömungsgeschwindigkeit
- Verluste = Druckverluste
- Druckgefälle p in Strömungsrichtung
- Natürliches Gefälle hV,12/L in Strömungsrichtung
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Druckgefälle in Strömungsrichtung
AVc
c
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Druckgefälle in Strömungsrichtung
- Kräftebilanz in Strömungsrichtung
21 FWF 2211 ApWAp
mit
4
2
21dAAA
und
LdO
folgt
OccWppA f 221 2
2
2
22
21 24
4
22 cdLc
d
Ldcc
A
Occpp f
ff
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Druckgefälle in Strömungsrichtung
- Rohrreibungszahl
fc4
- Druckverlust 21 ppp
2
2c
dLp
- Umrechnung des Druckverlusts p in eine Verlusthöhe h
hgp
gc
dLhh V 2
2
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4.10.4 Rohrreibungszahl
Unterscheidung bei Rohrströmungen aufgrund der Oberflächenbeschaffenheit der Innenwand
- hydraulisch glatt
- Übergang zwischen glatt und rauh
- vollständig rauh
Hydraulisch glatte Rohre
- Laminare Unterschicht U in der Grenzschicht ist größer als die absolute Rauigkeit k
4Uk
absolute Rauigkeit
Re
d,U
832 Dicke der laminaren Unterschicht U
Re8
dk
relative Rauigkeit
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Rohrreibungszahl - hydraulisch glatte Rohre
- Bis zum Erreichen der kritischen Re-Zahl Rekrit = 2320 gilt für die Rohrreibungszahl
Re64
(Hagen-Poiseuille)
- Bei Re-Zahlen größer als Rekrit gilt die empirische Beziehung
8021 ,Relog oder
51221
,Relog
(Nikuradse)
- Vereinfachungen
4
31640Re
, für 2300 < Re < 105 (Blasius)
oder
2370
221000320 ,Re,, für 2300 < Re < 106 (Nikuradse)
Bei hydraulisch glatten Rohren ist die Rohrreibungszahl nur eine Funktion der Re-Zahl
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Rohrreibungszahl - vollständig raue Rohre
- Bedingung für eine vollständig raue Oberfläche
Re200
dk
- Rohrreibungszahl
14.1log21
kd
oder
kd,log 71321
(Nikuradse)
- Vereinfachung
315000550dk,, (Moody)
Bei vollständig rauen Rohren ist die Rohrreibungszahl nur eine Funktion der Rauigkeit
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Rohrreibungszahl - Übergangsgebiet zwischen glatt und rau
- Bedingung für Übergangsgebiet zwischen glatter und rauher Oberfläche
200Re8 dk
- Rohrreibungszahl
Re,
d,klog 512
71321
(Colebrook)
- Vereinfachung
3
61020000100550Red
k,
Im Übergangsgebiet ist die Rohrreibungszahl eine Funktion der Re-Zahl und der Rauhigkeit
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Moo
dy-D
iagr
amm
R
orhr
eibu
ngsz
ahl a
ls F
unkt
ion
der R
auig
keit
und
Rey
nold
szah
l
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 26 von 56
Hydraulischer Durchmesser dhydr
- Berechnung der Rohrreibungszahl für Rohre mit nicht kreisförmigem Querschnitt
- Berechnung der Verluste in offenen Gerinnen
UAd hydr 4 A = Rohrquerschnittsfläche, U = benetzter Umfang
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 27 von 56
4.11 Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren
4.11.1 Widerstand infolge von Ablösung
Neben dem Reibungswiderstand tritt bei Rohrströmungen noch ein zusätzlicher Widerstand durch
Ablösungen und Verwirbelungen auf infolge von
- Einbauten, Armaturen, Ventilen, Blenden und Drosselklappen
- Richtungsänderungen, Krümmern
- Querschnittsveränderungen, stetig und unstetig
- Rohrein- und -auslauf
Berücksichtigung dieser Verluste durch Verlustbeiwert
2
12 2cpV
(Druckverlust) oder 2
12
2c
pV
gchV
2
2
12 (Verlusthöhe)
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Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten
- Theoretische Erfassung der Verluste infolge von Rohreinbauten nur in Ausnahmefällen möglich
- Empirische Bestimmung der Verlustbeiwerte
- Nachrechnung des Druckverlustes infolge von Einbauten aus der Summe der einzelnen
Teilverluste in den einzelnen Abschnitten
- Erfordert Geschwindigkeitsmessung in den einzelnen Abschnitten
Allgemein - Rohrsystem mit i Querschnitten und k Einbauten
kkk
ii
i
ii cc
dLp 22
2
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4.11.2 Querschnittserweiterung (Diffusor)
Aufgabe - Druckrückgewinn aus kinetischer Energie
Stufendiffusor - Unstetige Querschnittserweiterung
- Strahlartiger Strömungseintritt
- Mischstrecke 210 DLM
Kräfte
111, ApFp , 222, ApFp
121, AApF xW
Massestrom
11 Acm
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Stufendiffusor
- Verlustzahl (turbulente Strömung) 2
2
1
21
12 1
2
AA
c
pV
- Wirkungsgrad St
Druckanstieg bezogen auf isentrope Zustandsänderung, d.h. verlustfreie Druckänderung
012 Vp (isentrop: Index s)
1
212
12
1
2
AApp
pp
sSt
- Druckerhöhung
2
2
12112 1
2 AAcpp St
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 31 von 56
Konischer Diffusor Aufgabe
- Druckrückgewinnung aus kinetischer Energie
Konischer Diffusor - Stetige Querschnittserweiterung
- Optimale Öffnungswinkel
4opt Kreisquerschnitt
5opt Rechteckquerschnitt
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Konischer Diffusor
- Verlustzahl Diff
21
12
2c
pVDiff
- Diffusorwirkungsgrad Diff
Druckanstieg bezogen auf isentrope Zustandsänderung, d.h. verlustfreie Druckänderung 012 Vp (isentrop: Index s)
2
2
1
21
22
21
22
22
21
122
22
1
12
12 111
1
2
2AA
cc
cc
cc
pcc
pppp
Diff
DiffV
sDiff
- Druckerhöhung
2
2
12112 1
2 AAcpp Diff
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 33 von 56
Konischer Diffusor - Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels
Diff Konischer Diffusor
St Stufendiffusor
Öffnungswinkel
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 34 von 56
4.11.3 Querschnittsverengung - Stufendüse
- Unstetige Querschnittsverengung
- Strahlkontraktion auf A2* (1 2*)
- Strahlaufweitung auf A2 (2* 2)
Kontraktionszahl K
2
*2
AA
K 3
1
2
2
1
2
1
2 5110261013306140
AA,
AA,
AA,,K
Verlustzahl
K
K, 151
Totwassergebiet
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 35 von 56
Blende
Volumenstrommessung, Druckminderung
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 36 von 56
Blende
- Reibungsfreie Durchströmung
2
,2*
22
11 *22 scpcp
Bernoulli-Gleichung
*
2,211 * AcAcV s Volumenstrom
mit 2
*2
AA
K folgt aus dem Volumenstrom
1
2,21 *
AAcc Ks
eingesetzt in Bernoulli-Gleichung
*21
2
1
22
,22
1
1* pp
AA
c
K
s
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 37 von 56
Blende
- Berücksichtigung der Reibung durch die Verlustziffer
*s,
*
cc
2
2 Verhältnis von realer zu reibungsfreier Fließgeschwindigkeit
- Volumenstrom im Querschnitt (2)
*
2,2*
2222 ** AcAcAcV s Kscc *,22
W
ahlDurchflußz
K
K pAppA
AA
AcV
22
12
*21
22
1
22
22
mit pW = Wirkdruck, = Durchflußzahl
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 38 von 56
Blende
- Druckverlust pV,13 in Abhängigkeit von Verlustzahl
2
31313, 2cpppV
Für 9500501
2 ,AA. gilt
5
1
2
4
1
2
3
1
2
2
1
2
1
2 833140634353829349798169855747949418AA,
AA,
AA,
AA,
AA,,exp
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 39 von 56
4.11.4 Durchflußmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167)
Blende Düse Venturidüse
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__________________________________________________________________________________________________________ Folie 40 von 56
Durchflußmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167)
- Volumenstrom und Massestrom vor der Drosselstelle
WpdV
42
1
11 Vm
- Wirkdruck
21 pppW
- Expansionszahl beschreibt Einfluss der Kompressibilität
- Für inkompressible Fluide gilt 1
- Durchflußzahl : Empirische Bestimmung aus Kalibrierversuchen mit Drosselgeräten
41Re,
DC, D
d
DcD
1Re
DC Re, Durchflusskoeffizient
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 41 von 56
Mit dem Druckverhältnis 1
2
pp
und
8.0
Re19000
D
A können Durchflusskoeffizient
C und Expansionszahl bestimmt werden Drosselgerät Durchflußkoeffizient C Expansionszahl
Blende mit
Eckdruckentnahme
mmD 12.71
3.06
5.3
7.06
82
Re100063.00188.0
Re10000521.0
216.00261.05961.0
D
D
A
184 193.0256.0351.01
Düse
15.16
15.42
1.4
Re100033.000175.0
2262.099.0
D
11
1
11
1
24
42
Venturidüse 5.4196.09858.0 wie Düse
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 42 von 56
4.11.5 Krümmer - Richtungsänderung
Verluste - Reibungsverluste
- Verluste infolge Ablösung
- Tabellen berücksichtigen in der Regel nur den Verlust infolge der Ablösung
- Erfassung der Reibungsverluste durch Ergänzung der Rohrlänge um gestreckte Krümmerlänge
180
rlKrümmer r = Radius, = Winkel des Rohrbogens
- Einbauelement kann zur Verlustberechnung durch gerades Rohrstück ersetzt werden
2
Re 2v
dLppp Einbauibungges
dL
2
2v
dLLpges
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 43 von 56
4.11.6 Eintrittsverluste
Rohreinlaufströmung: Geschwindigkeitsprofil (a) und Druckabfall (b)
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 44 von 56
Eintrittsverlust
- Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils in der Einlaufstrecke sL bewirkt Dissipationsenergie jsL,
beschrieben durch die Verlustzahl sL
2
2c
jsLsL
turbulent,
,sL 0180
laminar3330
- Druckverlust für ein gerades Rohrstück der Länge L
2
1212 2c
DLjp sL,V
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 45 von 56
4.11.7 Verlustziffern von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung)
Querschnittserweiterung - unstetig (Stufendiffusor)
1
2
2
11
AA
12111
22
21
222
111 22
AA
AA
Querschnittserweiterung - stetig (Diffusor)
2
2
111AA
DiffDiff
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 46 von 56
Querschnittsverengung - unstetig (Stufendüse)
Querschnittsverengung - unstetig (Blende) Für 9500501
2 ,AA, gilt
5
1
2
4
1
2
3
1
2
2
1
2
1
2
833140634353
829349798169
855747949418
AA,
AA,
AA,
AA,
AA,,
exp
3
1
2
2
1
2
1
2 5110261013306140
AA,
AA,
AA,,K
K
K, 151
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 47 von 56
Querschnittsverengung - stetig (Konturdüse)
07500 ,
Querschnittsverengung - stetig (konische Düse)
221
m mittlere Rohrreibungszahl
51
1
2
01
1
2
50
1
2
50
1
2
1
18
,,
,
m
AA
,
AA
AA
AA
tan
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 48 von 56
Richtungsänderung - Rohrbogen, glatt, 5102Re
3...2
opt
K
Dr
Rohrbögen mit Leitblechen
150,
Rohrbögen mit profilierten Leitblechen
050,
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 49 von 56
Richtungsänderung - Segment-Krümmer
rK/D 2 x 45° 3 x 30° 4 x 22,5°
1 0,44 0,42 0,40
2 0,31 0,27 0,24
3 0,35 0,19 0,185
3,25 0,18
4 0,40 0,22 0,19
5 0,45 0,26 0,21
6 0,55 0,29 0,23
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 50 von 56
Richtungsänderung - Rohrknie
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 51 von 56
Verzweigungen - Stromvereinigung
321 AAA
321 VVV
3
1
VV
= 45°
23 13
= 90°
23 13
0,0 0,04 -0,92 0,04 -1,20
0,2 0,17 -0,38 0,17 -0,40
0,4 0,19 0 0,30 0,08
0,6 0,09 0,22 0,41 0,47
0,8 -0,17 0,37 0,51 0,72
1,0 -0,54 0,37 0,60 0,91
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 52 von 56
Verzweigungen - Stromtrennung
321 AAA
321 VVV
3
1
VV
= 45°
32 31
= 90°
32 31
0,0 0,04 0,90 0,04 0,95
0,2 -0,06 0,68 -0,08 0,88
0,4 -0,04 0,50 -0,05 0,89
0,6 0,07 0,38 0,07 0,95
0,8 0,20 0,35 0,21 1,10
1,0 0,33 0,48 0,35 1,28
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 53 von 56
Stromtrennung
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 54 von 56
Üb: 4-11: Rohrströmung
Ein Behälter wird über eine Pumpe mit einem
Volumenstrom V versorgt. Das Wasser verläßt
den Behälter über ein gekrümmtes Abflußrohr
mit einer Gesamtlänge l und einer mittleren
Rauhigkeit k in die freie Umgebung. Der
Wasserspiegel im Behälter bleibt konstant.
geg.:
smV 33106.3 , D = 0,0276 [m], l = 2 [m],
a = 1 [m], H = 6 [m], p0 = 1 [bar], k = 10-6 [m],
E = 0,05, A = 0,05, K = 0,14, = 110-6 [m²/s],
= 1000 [kg/m³]
Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 55 von 56
Üb: 4-11: Rohrströmung
Das Lüftungsventil ist geöffnet 1. Austrittsgeschwindigkeit c2 2. Berechnen Sie die Rohreibungszahl λ im Abflußrohr 3. Wie hoch ist der Wasserspiegel h im Inneren des Behälters? Bei Überschreiten der Pegelhöhe h schließt das Lüftungsventil und bleibt geschlossen. Der neue Volumenstrom beträgt VV 2 und die neue Pegelhöhe h’ bleibt wieder konstant. 4. Neue Austrittsgeschwindigkeit c2’ 5 Berechnen Sie die Rohreibungszahl λ im
Abflußrohr 6. Luftdruck im Behälter als Funktion des
Pegelstandes bei isothermer Kompression 7. Wie hoch ist der Wasserspiegel h’ im Inneren des Behälters?