4 respfrec
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Respuesta Frecuencial
ITIS - SAC Tema2: Herramientas de análisis y simulación - Respuesta frecuencial
Introducción
• Respuesta frecuencial: – Estudio del comportamiento de la amplitud y fase de la
señal de entrada a un sistema frente a la amplitud y fase de la señal de salida.
• Para sistemas lineales:– Entrada: x=Asen(wt) Salida: y=Bsen(wt+f)– La respuesta ante una señal senoidal es otra señal
senoidal de la misma frecuencia y con distintas amplitud y fase.
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• Obtención de la respuesta frecuencial.– A partir de la FdT:
– FdT senoidal:
( )
==
))(Re(
)(Im
)(
)()(
jwG
jwGatanArgumento
jwGMódulo
sGjwGjws
)(
)()(
jwX
jwYjwG =
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• Ventajas del estudio en frecuencia:
– Estudio de estabilidad sin calcular raíces.• Estabilidad absoluta y relativa.
– Obtención experimental.
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Diagramas de Bode
• Representación gráfica que consta de dos curvas en función de la frecuencia (en escala logarítmica):
– Curva de magnitud: Módulo de la respuesta frecuencial expresado en decibelios.
– Curva de fase: Argumento de la respuesta frecuencial expresado en grados.
( ))(log20)( 10 jwGwM =
)()( jwGw ∠=φ
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• Ventajas de los diagramas de Bode:
– Representación compacta del espectro.• La escala logarítmica en la frecuencia permite tener en el
mismo gráfico tanto las bajas como las altas frecuencias.
– Facilidad para la obtención de respuestas de factores simples combinados.
• La magnitud en decibelios transforma los productos en sumas.
• Con la fase ocurre lo mismo.
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Ejemplo de diagrama de Bode
– El comportamiento de la curva de magnitud se analiza en función de la pendiente. Se mide en:• Decibelios por década: magnitud en w y en 10w.
• Decibelios por octava: magnitud en w y 2w.
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Diagramas de Bode de los factores básicos
• Factor constante: k
Diagrama de k=10.
• La curva de magnitud se mantiene contante en 20log10(k).
• La fase es 0.
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• Factor integral: 1/s– G(jw)=1/(jw)
• Magnitud: M(10w)=20log10(|1/(j10*w)|) = 20log10|1/(jw)|-20=M(w)-20 (pendiente de -20dB/década)
• Fase constante en -90º.
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• Factor derivativo: s– G(jw)=jw
• Magnitud: M(10w)=20log10(|j10*w|) = 20log10|jw|+20=M(w)+20 (pendiente de +20dB/década)
• Fase constante en +90º.
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• Factor de primer orden: 1/(1+sT)– G(jw)=1/(1+jwT)
• Frecuencias bajas -> factor constante.
• Frecuencias altas -> integrador.
Diagrama de 10/(s+10).
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• Factor de primer orden: 1+sT– G(jw)=1+jwT
• Frecuencias bajas -> factor constante.
• Frecuencias altas ->derivador.
Diagrama de (s+10)/10.
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• Factor cuadrático: 1/(1+2ξjw/wn+(jw/wn)^2)– Frecuencias bajas -> constante– Frecuencias altas -> integrador^2– Frecuencia y pico de resonancia
Diagrama de 10/(s^2+s+10).
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• Factor cuadrático: 1+2ξjw/wn+(jw/wn)^2– Frecuencias bajas -> constante– Frecuencias altas -> derivativo^2
Diagrama de (s^2+s+10)/10.
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• Factores combinados– Frecuencias bajas -> número de polos/ceros en el origen– Frecuencias altas -> exceso de polos-ceros
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Aplicaciones: estabilidad absoluta y relativa
• Definiciones previas:– Frecuencia de cruce de ganancia:
• aquella en la que la magnitud de la respuesta frecuencial es unitaria (pasa por cero decibelios)
• |G(jwg)| = 0 dB
– Frecuencia de cruce de fase:• donde la fase de la respuesta frecuencial vale -180º
∀ ∠ G(jwf) = -180º
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Fcg≈1.2 rad/seg, Fcf≈2.2 rad/seg
– Ejemplo:
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– Margen de ganancia:• inversa de la magnitud de la respuesta frecuencial en la Fcf,
expresada en decibelios
• |1/G(jwf)|
– Margen de fase:• 180 más la fase de la respuesta frecuencial en la Fcg
• 180 + ∠ G(jwg)
• Márgenes de ganancia y de fase.
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r(t) y(t)e(t) u(t)
s(s+1)(s+5)K
-
1
• K=10
– Fcg ≈ 1.2 rad/seg
– Fcf ≈ 2.2 rad/seg
– Mg ≈ +9.5 dB
– Mf ≈ +25º
– Ejemplo 1
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• K=30
– Fcg≈Fcf≈2.2 r/s
– Mg≈0dB, Mf≈0º
• K=100
– Fcg≈3.9 r/s, Fcf≈2.2 r/s
– Mg≈-10.5dB, Mf≈-23.5º
– Ejemplo 1 (cont.)
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– Para que un sistema sea estable en bucle cerrado su respuesta frecuencial en bucle abierto debe tener márgenes de ganancia y fase positivos.
– Valores deseables:• Margen de fase 30-60º
• Margen de ganancia 6 dB
• Pendiente de la curva de magnitud en Fcg menor que -40 dB/década
• Criterio de estabilidad.
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)5)(4)(3)(2)(1()(
2
+++++=
sssss
sKsG
Curvas de Bode para K=3000
Fcg ≈ 12 rad/seg
Fcf ≈ 9 rad/seg
Mg ≈ -9 dB
Mf ≈ -25º
INESTABLE
– Ejemplo 2
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Lugar de las raíces y polos en bucle cerrado para K=1000.
– Ejemplo 2 (cont.)
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Relación entre respuesta frecuencial y temporal
– Margen de fase: • Relación directa con el coeficiente de amortiguamiento.
– Frecuencia de resonancia:• Relación directa con las oscilaciones, e inversa con el tiempo de
establecimiento.
– Pico de resonancia: • Relación directa con la magnitud de la sobreoscilación, e inversa
coeficiente de amortiguamiento.
– Ancho de banda: • Relación directa con la sensibilidad al ruido.
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Otras representaciones: Diagramas de Nyquist
• Representación frecuencial alternativa que emplea un único diagrama.
[ ] [ ]
+=+=+
=)(cos
)()()(Im)(Re)(
φφφ jsinAAe
wjYwXjwGagjjwGaljwG j
– Representación parte real, parte imaginaria.– Coordenadas polares.
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Ejemplo de diagrama de Nyquist
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