4 Böen- und Wirbelerregung eines Schornsteins
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4 Böen- und Wirbelerregung
eines Schornsteins
Berechnungsbeispiel nach DIN 1055-4
Dr.-Ing. Mathias Clobes Dipl.-Ing. Andreas Willecke
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4.1 Tragwerk
Außendurchmesser Da = 1067…813 mm
Höhe h = 40 m
Wandstärke t = 6,3 mm
Rohdichte Stahl ρSt = 7,85 to/m³
Strukturdämpfung δs = 0,014 (Innenrohr & Dämmung, h/Da > 26, DIN V 4133:2007-07)
Fußring Kerbfall 71
4.2 Standort
Standort Braunschweig
Windzone 2 Bild A.1
Geländekategorie II Tab. B.1
Topographiebeiwert ct = 1,0 Gl. (B.1)
(Kein exponierter Hügel oder Geländesprung)
Referenzwindgeschwindigkeit vm,10min = vref = 25,0 m/s Bild A.1
Luftdichte ρ = 1,25 kg/m³ 7.1 (2)
Mindesthöhe zmin = 4 m Tab. B.2
Kopfmasse
(In
nen
roh
r u
nd
Däm
mu
ng
)
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4.3 Tragwerk und Standort StTools
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4.4 Statische Windlast
Die Lasten werden für jeden Bauwerksabschnitt j ermittelt und in Knoten zusammen-gefasst. Für jeden Abschnitt j ist die
Windlast infolge Böenreaktion ( )wj fj m j refF G c q z A= ⋅ ⋅ ⋅ Gl. (C.1)
wj,mG F= ⋅
Es wird zunächst die Windlast infolge des 10-min-Mittel Windes berechnet. Die Er-mittlung des Böenreaktionsfaktor G erfolgt in Abschnitt 4.7.
Die Datenermittlung für jeden Bauwerksabschnitt erfolgt sinnvoller Weise in einer Tabelle. Hier wird eine Teilung in 10 Abschnitte vorgenommen. Diese Tabelle wird im Zuge dieses Rechenbeispiels fortlaufend ausgefüllt.
4.4.1 Bezugsflächen in den Bauwerksabschnitten
Abschnittslänge lj
Abschnittsbreite bj (hier Außendurchmesser)
Bezugsfläche ref , j j jA l b= ⋅ Gl. (33)
Kno
ten Höhe
z [m]
lj
[m]
b
[m]
Aref
[m²]
10 40,0 4,6 0,813 3,74
9 35,4 4,6 0,813 3,74
8 30,8 4,6 0,813 3,74
7 26,2 4,6 0,813 3,74
6 21,6 4,6 0,813 3,74
5 17,0 1,0 0,940 0,94
4 16,0 4,0 1,067 4,27
3 12,0 4,0 1,067 4,27
2 8,0 4,0 1,067 4,27
1 4,0 4,0 1,067 4,27
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4.4.2 Profil der mittleren Windgeschwindigkeit
Windgeschwindigkeit (Gk II) 0,16
m
zv (z) 1,00 25
10
= ⋅ ⋅
für z > zmin Tab. B.2
m
v (z) 0,86 25= ⋅ für z ≤ zmin
Geschwindigkeitsdruck ( )2
m
m
v zq (z)
1600= Gl. (3)
4.4.3 Profil der Böenwindgeschwindigkeit
Böenwindgeschw. (GK II) 0,12
zv (z) 1,45 25
10
= ⋅ ⋅
für z > zmin Tab. B.2
v(z) 1,3 25= ⋅ für z ≤ zmin
4.4.4 Aerodynamischer Kraftbeiwert
Bei Kreiszylindern ist der aerodynamische Kraftbeiwert eine Funktion der Reynolds-Zahl und der Rauhigkeit der Oberfläche, bei schlanken Bauwerken darüber hinaus ebenso von der Schlankheit.
f f ,0c c λψ= ⋅ Gl. (30)
Grundkraftbeiwert cf,0 = cf,0(Re,k/b) Bild 19
Reynolds-Zahl Re = b v / ν Gl. (31)
mit ν = 1,5⋅10-5 m²/s (kinem. Zähigkeit der Luft)
v = Böenwindgeschwindigkeit
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Kno
ten Höhe
z [m]
lj
[m]
b
[m]
Aref
[m²]
vm,j
[m/s]
qm,j
[kN/m²]
v
[m/s] Re
10 40,0 4,6 0,813 3,74 31,2 0,61 42,8 2,3·106
9 35,4 4,6 0,813 3,74 30,6 0,59 42,2 2,3·106
8 30,8 4,6 0,813 3,74 29,9 0,56 41,5 2,2·106
7 26,2 4,6 0,813 3,74 29,2 0,53 40,7 2,2·106
6 21,6 4,6 0,813 3,74 28,3 0,50 39,8 2,2·106
5 17,0 1,0 0,940 0,94 27,2 0,46 38,6 2,4·106
4 16,0 4,0 1,067 4,27 27,0 0,45 38,4 2,7·106
3 12,0 4,0 1,067 4,27 25,7 0,41 37,1 2,6·106
2 8,0 4,0 1,067 4,27 24,1 0,36 35,3 2,5·106
1 4,0 4,0 1,067 4,27 21,5 0,29 32,5 2,3·106
Rauhigkeitshöhe k = 0,2 mm (Stahl, beschichtet) E-DIN4133
Bild 19 – Grundkraftbeiwert cf,0 von Zylindern mit unedlicher Schlankheit
cf,0 = 0,77 … 0,79
4 4
0, 2 0,2
813 1067
1,9 10 2,5 10
k b
− −
=
= ⋅ ⋅
…
…
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Da es sich um einen einzeln stehenden Schornstein handelt, muss kein Erhöhungs-faktor für den Grundkraftbeiwert berücksichtigt werden. (12.7.2)
Kno
ten Höhe
z [m]
lj
[m]
b
[m]
Aref
[m²]
vm,j
[m/s]
qm,j
[kN/m²] Re cf,0
10 40,0 4,6 0,813 3,74 31,2 0,61 2,3·106 0,79
9 35,4 4,6 0,813 3,74 30,6 0,59 2,3·106 0,79
8 30,8 4,6 0,813 3,74 29,9 0,56 2,2·106 0,79
7 26,2 4,6 0,813 3,74 29,2 0,53 2,2·106 0,79
6 21,6 4,6 0,813 3,74 28,3 0,50 2,2·106 0,79
5 17,0 1,0 0,940 0,94 27,2 0,46 2,4·106 0,78
4 16,0 4,0 1,067 4,27 27,0 0,45 2,7·106 0,78
3 12,0 4,0 1,067 4,27 25,7 0,41 2,6·106 0,78
2 8,0 4,0 1,067 4,27 24,1 0,36 2,5·106 0,78
1 4,0 4,0 1,067 4,27 21,5 0,29 2,3·106 0,77
4.4.5 Abminderungsfaktor für die Schlankheit
Tabelle 16 – Effektive Schlankheit λ für Zylinder (Auszug)
effektive Schlankheit [ ]50 min 0,7 l / b ; 70 0,7 50 / 0,92 38λ≥ = ⋅ = ⋅ =
(mit gemittelter Breite b)
[ ]15 min l / b ; 70 15 / 0,92 16λ< = = =
40
16 3838 10m 32
35mλ
−= + ⋅ = (lineare Interpolation)
Völligkeitsgrad ϕ = 1,0 Gl. (40)
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λ
Bild 29 - Abminderungsfaktor ψλ in Abhängigkeit von der effektiven Schlankheit λ und für verschie-dene Völligkeitsgrade ϕ
Damit sind alle Angaben zur Berechnung der Windlasten infolge des 10-min-Mittel Windes vorhanden.
10-min Mittelwert der Windlast ( )wj,m fj m j refF c q z A= ⋅ ⋅
Kno
ten Höhe
z [m]
lj
[m]
b
[m]
Aref
[m²]
vm,j
[m/s]
qm,j
[kN/m²] Re cf,0 ψλ cf
Fwj,m
[kN]
10 40,0 4,6 0,813 3,74 31,2 0,61 2,3·106 0,79
0,83
0,66 1,51
9 35,4 4,6 0,813 3,74 30,6 0,59 2,3·106 0,79 0,66 1,46
8 30,8 4,6 0,813 3,74 29,9 0,56 2,2·106 0,79 0,66 1,38
7 26,2 4,6 0,813 3,74 29,2 0,53 2,2·106 0,79 0,66 1,31
6 21,6 4,6 0,813 3,74 28,3 0,50 2,2·106 0,79 0,66 1,23
5 17,0 1,0 0,940 0,94 27,2 0,46 2,4·106 0,78 0,65 0,28
4 16,0 4,0 1,067 4,27 27,0 0,45 2,7·106 0,78 0,65 1,25
3 12,0 4,0 1,067 4,27 25,7 0,41 2,6·106 0,78 0,65 1,14
2 8,0 4,0 1,067 4,27 24,1 0,36 2,5·106 0,78 0,65 1,00
1 4,0 4,0 1,067 4,27 21,5 0,29 2,3·106 0,77 0,64 0,79
0,833
32
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4.5 Eigenfrequenzen und -formen (z.B. aus FE-Berechnung)
Der Schornstein wird zu dessen rechnerischen Beschreibung in zehn Abschnitte un-terteilt. Die Massen werden in Knoten zusammengefasst.
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4.6 StTools: Eigenfrequenzen
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4.7 Böenreaktionsfaktor
Böenreaktionsfaktor 2 2
v e o xG 1 2 g I (z ) Q R= + ⋅ ⋅ ⋅ + Gl. (C.4)
4.7.1 Winddaten in der effektiven Höhe
effektive Höhe e
min
z 0,6 h 0,6 40 24 m
4 m z
= ⋅ = ⋅ =
≥ = Bild C.1
mittl. Windgeschwindigkeit ( )0,16 0,16
em e ref
z 24v z 1,0 v 1,0 25 28,8 m s
10 10
= ⋅ = ⋅ =
Tab. B.2
Turbulenzintensität ( )0.16 0,16
ev e
z 24I z 0,19 0,19 0,17
10 10
− − = = =
Tab. B.2
Integrallängenmaß ( ) ei e
zL z 300
300
ε = ⋅
Gl. (C.9)
Exponent (GKII) 0, 26ε = Tab. C.1
( )0,26
i e
24L z 300 155 m
300
= ⋅ =
4.7.2 Böengrundanteil
� Hinweis: über b und h wird die Korrelation der Bauwerksdrücke in horizontaler und vertikaler Richtung berücksichtigt. Bei abgestufter Breite führt die Wahl des kleinsten Durchmessers zur konservativen Lösung beim Böengrundanteil!
Bauwerksbreite b 0,81m =
Bauwerkshöhe h 40m=
Böengrundanteil 2
0 0,63
i e
1Q
b h1 0,9
L (z )
= +
+ ⋅
Gl. (C.10)
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i e
b h 0,81 400,26
L (z ) 155
+ += =
2
0 0,63
1Q 0,72
1 0,9 0, 26= =
+ ⋅
4.7.3 Spektrale Dichtefunktion (Windspektrum)
Frequenz der Grundschwingung 1,x 1n f 0,50Hz= =
Normierte Eigenfrequenz 1,x i e
1,x
m e
n L (z ) 0,50 155N 2,69
v (z ) 28,8
⋅ ⋅= = = Gl. (C.13)
Dimensionsloses Windspektrum ( )( )
1,x
N 1,x 5 3
1,x
6,8 NR N
1 10, 2 N
⋅=
+ ⋅ Gl. (C.12)
( )N 5 3
6,8 2,69R 0,069
1 10, 2 2,69
⋅= =
+ ⋅
Bild C.5 – Dimensionslose spektrale Dichtefunktion RN
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,001 0,010 0,100 1,000 10,000
(b+h)/Li(ze)
Q02
2,7
0,069
0,72
0,26
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4.7.4 Aerodynamische Übertragungsfunktion
aerodynamische
Übertragungsfunktion -2
l 2
1 1R - (1- e )
2
η
η η⋅= ⋅
⋅ für η > 0 Gl. (C.14)
lR 1= für η = 1
1,x
i e
4,6 N l
L (z )η
⋅ ⋅= mit l = h, b.
Für die Gebäudehöhe 1,x
h
i e
4,6 N h 4,6 2,69 403,19
L (z ) 155η
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = Gl. (C.15)
( )-2 3,19
h 2
1 1R - 1- e 0, 264
3,19 2 3,19
⋅= ⋅ =⋅
Für die Gebäudebreite 1,x
b
i e
4,6 N b 4,6 2,69 0,810,06
L (z ) 155η
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = Gl. (C.16)
( )-2 0,06
b 2
1 1R - 1- e 0,961
0,06 2 0,06
⋅= ⋅ =⋅
Bild C.6 - Aerodynamische Übertragungsfunktionsfunktion Rl (l=h bzw. b)
⇒ erfasst die Windlastreduktion
infolge der Korrelationsbeziehun-
gen des Winddrucks über die Ge-
bäudebreite b und die Gebäude-
höhe h.
3,19hη =0,06bη =
0, 26
0,96
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4.7.5 Log. Dämpfungsdekrement
s a d
δ δ δ δ= + + Gl. (F.7)
Strukturdämpfung s
δ für Stahlschornsteine DIN V 4133: 2007-07
0,014s
δ = Seite 4-2
äquivalente Masse in der 1.EF
2
1,
01,
2
1,
0
( )
( )
h
x
x h
x
m z dz
m
z dz
⋅Φ
=
Φ
∫
∫
Kno
ten
Höhe z [m]
∆z [m]
Mj [kg] Φ Φ2
Mj⋅Φ2 ∫Φ2
10 40,0
714 1 1 714
4,6 3,857 9 35,4 1129 0,823 0,677 764
4,6 2,523 8 30,8 1129 0,648 0,420 474
4,6 1,502 7 26,2 1129 0,483 0,233 263
4,6 0,794 6 21,6 1129 0,334 0,112 126
4,6 0,361 5 17,0 697 0,213 0,045 31,6
1,0 0,041 4 16,0 702 0,191 0,036 25,6
4,0 0,098 3 12,0 1139 0,113 0,013 14,5
4,0 0,032 2 8,0 1139 0,053 0,003 3,2
4,0 0,006 1 4,0 1139 0,014 0,000 0
4,0 0
0
0 0 0
2416 9,213
1,
2416kg262 kg/m
9,213mx
m ≈ =
Aerodynamische Dämpfung ( )fa m e
1,x 1,x
b cv z
2 n m
ρδ
⋅ ⋅= ⋅
⋅ ⋅ Gl. (F.9)
a
1, 25 0,81 0,6628,8 0,073
2 0,50 262δ
⋅ ⋅= ⋅ =
⋅ ⋅
( ) ( )
( )( ) ( )
102 2
1, 1,
10
2 29
2, 1, 12
1,
002
=
+
=
⋅Φ ≈ ⋅Φ
Φ + ΦΦ ≈ ⋅∆
∑∫
∑∫
h
x j x j
j
hx j x j
x
j
m z dz M z
z zz dz z
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4.7.6 Resonanz-Antwortanteil
Resonanz-Antwortanteil 2
2
x N h bR R R R2
πδ
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
Gl. (C.11)
2
2
xR 0,069 0,264 0,961 0,992 (0,014 0,073)
π= ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ +
4.7.7 Statistischer Spitzenfaktor
Statistischer Spitzenfaktor E
E
0,6g 2 ln( t)
2 ln( t)ν
ν= ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ Gl. (C.5)
erwartete Frequenz Gl. (C.6) der Böenreaktion
erwartete Frequenz Gl. (C.7) der Böenrektion bei quasi-statischem Trag- verhalten
i e i e
b h b hS 0, 46 10,58
L (z ) L (z )
+ ⋅= ⋅ + ⋅
Gl. (C.8)
0,81 40 0,81 40
S 0, 46 10,58 0,51155 155
+ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
E,0 0,615
28,8 10,25 Hz
155 1,11 0,51ν = ⋅ =
⋅
2 2
E
0, 25 0,72 0,50 0,990,42 Hz
0,72 0,99ν
⋅ + ⋅= =
+
Spitzenfaktor g 0,6
g 2 ln(0,42 600) 3,502 ln(0, 42 600)
= ⋅ ⋅ + =⋅ ⋅
Böenreaktionsfaktor G 2 2
v e o xG 1 2 g I (z ) Q R= + ⋅ ⋅ ⋅ +
G 1 2 3,50 0,17 0,72 0,99 2,55= + ⋅ ⋅ ⋅ + =
2 2 2 2
E,0 0 1,x x
E 2 2
0 x
Q n R
Q R
νν
⋅ + ⋅=
+
m eE,0 0,615
i e
v (z ) 1
L (z ) 1,11 Sν = ⋅
⋅
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4.8 StTools Böenreaktionsfaktor
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4.9 Schnittgrößen und Biegespannungen
Auf sicherer Seite liegend werden die Windkräfte in der Handrechnung vollständig am oberen Elementende angesetzt.
Kno
ten Höhe
z [m]
lj
[m]
b
[m]
Aref
[m²]
vm,j
[m/s]
qm,j
[kN/m²] Re cf,0 ψ cf
Fwj,m
[kN] G
Fw
[kN]
Mw
[kNm]
10 40,0 4,6 0,813 3,74 31,2 0,61 2,3·106 0,79
0,83
0,66 1,51
2,55
3,84 0
9 35,4 4,6 0,813 3,74 30,6 0,59 2,3·106 0,79 0,66 1,46 3,71 17,7
8 30,8 4,6 0,813 3,74 29,9 0,56 2,2·106 0,79 0,66 1,38 3,52 52,4
7 26,2 4,6 0,813 3,74 29,2 0,53 2,2·106 0,79 0,66 1,31 3,34 103
6 21,6 4,6 0,813 3,74 28,3 0,50 2,2·106 0,79 0,66 1,23 3,14 169
5 17,0 1,0 0,940 0,94 27,2 0,46 2,4·106 0,78 0,65 0,28 0,72 250
4 16,0 4,0 1,067 4,27 27,0 0,45 2,7·106 0,78 0,65 1,25 3,18 268
3 12,0 4,0 1,067 4,27 25,7 0,41 2,6·106 0,78 0,65 1,14 2,9 354
2 8,0 4,0 1,067 4,27 24,1 0,36 2,5·106 0,78 0,65 1,00 2,55 452
1 4,0 4,0 1,067 4,27 21,5 0,29 2,3·106 0,77 0,64 0,79 2,02 559
Am Fußpunkt: 675
Verlauf der Windbelastung über die Bauwerkshöhe
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4.10 StTools: Schnittgrößen
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4.11 Wirbelerregung in der Grundschwingungsform (1.EF)
Querschwingungsamplitude F w lat 2
1 1max y b K K c
St Sc= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Gl. (D.4)
4.11.1 Kritische Windgeschwindigkeit
kritische Windgeschwindigkeit 1,y
crit ,1
b nv
St
⋅= Gl. (D.1)
Breite im Bereich der Wirbel- 0,81 b m= Seite 4-2 erregung
1. Eigenfrequenz 1,y 1,xn n 0,50Hz= = Seite 4-3
Strouhalzahl St = 0,18 Tab. D.1
Tabelle D.1 - Strouhalzahl St und aerodyn. Erregerkraftbeiwert clat,0 für versch. Querschnittsformen (Auszug)
crit ,1
0,81 0,50 mv 2, 25 s0,18
⋅= =
keine Wirbelerregung wenn crit ,1 m,Ljv 1,25 v> ⋅ Gl. (D.2)
Da Lj noch nicht feststeht, wird Lj zu 6 b = 4,9 m geschätzt. Tab. D.3
m,Lj crit ,1
4,9m mv (40m ) 30,9 vs2
− = ≫
⇒ Wirbelerregung muss untersucht werden.
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4.11.2 Aerodynamischer Erregerkraftbeiwert
Grundwert clat,0 = clat,0(Re) Bild (D.2)
Reynolds-Zahl ( ) crit ,1 5
crit ,1 5 5
b v 0,81 2, 25Re v 1,22 10
1,5 10 1,5 10− −
⋅ ⋅= = = ⋅
⋅ ⋅ Gl. (D.6)
Bild D.2 - Grundwert des aerodyn. Erregerkraftbeiwertes clat,o für Kreiszylinder in Abhängigkeit der Reynoldszahl Re (vkrit)
lat,0c 0,7=
Der aerodynamische Kraftbeiwert ist abhängig vom Verhältnis der kritischen Windge-schwindigkeit zur mittleren Windgeschwindigkeit
crit ,i
m,Lj
v 2,250,07 0,83
v 30,9= = < Tab. D.2
lat lat ,0c c 0, 7⇒ = =
Tabelle D.2 – Aerodynamischer Erregerkraftbeiwert clat in Abhängigkeit vom Verhältnis der kritischen Windgeschwindigkeit vcrit,i/vm,Lj
0,70
1,2⋅105
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4.11.3 Scrutonzahl
Scrutonzahl 1,y
2
2 mSc
b
δ
ρ
⋅ ⋅=
⋅ Gl. (D.5)
Äquivalente Masse 1,y 1,xm m 262kg / m= = vgl. Seite 4-15
Log. Dämpfungsdekrement 0,014s
δ δ= = vgl. Seite 4-2
� Achtung: Die aerodynamische Dämpfung ist nur bei Starkwindereignissen in Windrichtung wirksam vorhanden. Deshalb darf diese hier nicht angesetzt werden.
1,y
2 2
2 m 2 262 0,014Sc 8,95
b 1,25 0,81
δ
ρ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅
4.11.4 Beiwert der Schwingungsform
Beiwert der Schwingungsform
( )
( )
1,
0
2
1,
0
4
h
y
h
y
z dz
K
z dzπ
Φ
=
⋅ Φ
∫
∫ Gl. (D.10)
oder einfacher 0,13K ≈ Tab. D.4
Tabelle D.4 - Wirklängenfaktor KW und Beiwert der Schwingungsform K (Auszug)
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4.11.5 Wirklängenfaktor (Korrelationslängenfaktor)
Wirklängenfaktor
( )
( )
,
1
1,
0
j
n
i y
j L
w h
y
z dz
K
z dz
=
Φ
=
Φ
∑ ∫
∫ Gl. (D.7)
oder einfacher 2
/ / /13 1
/ / 3 /
j j j
w
L b L b L bK
h b h b h b
= − +
Tab. D.4
� Hinweis: Die Wirklänge Lj ist abhängig von der gesuchten Querschwingungsamp-litude (Lock-in-Effekt). Deshalb muss die Wirklänge Lj zunächst geschätzt und die Schätzung am Ende überprüft werden. Gegebenenfalls sind mehrere Iterationsschrit-te (i.d.R weniger als 4) erforderlich.
1. Iterationsschritt
bezogene Wirklänge (geschätzt)
Wirklängenfaktor 2
4,86 / 0,81 4,86 / 0,81 1 4,86 / 0,813 1
40 / 0,81 40 / 0,81 3 40 / 0,81w
K
= − +
0,318w
K =
Querschwingungsamplitude F w lat 2
1 1max y b K K c
St Sc= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Gl. (D.4)
F 2
1max y 0,81 0,318 0,13 0,7 0,081m
0,18 8,94= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅
Überprüfung der Wirklänge
Tabelle D.3 – Wirklänge in Abhängigkeit von der Schwingwegamplitude yF,j
bezogene Wirklänge (vorhanden) j
j
L6 L 6 0,81m 4,86m
b= ⇒ = ⋅ = √ Tab. D.3
Iterationsende
→ max yF = 0,081m
F, jy 0,0810,1
b 0,81= =
j
j
L6 L 6 b 6 0,81m 4,86m
b= ⇒ = ⋅ = ⋅ =
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4.11.6 Einwirkung infolge Querschwingungen
Erregerkräfte ( ) ( ) ( )2
1 j j 1,y 1,y j FF z M 2 n z max yπ= ⋅ ⋅ ⋅ Φ ⋅ Gl. (D.3)
Kno
ten Höhe
z [m]
lj
[m]
Mj
[kg]
n1,y
[Hz] Φ
maxyF
[m]
F1
[kN]
10 40,0 4,6 714
0,50
1
0,081
0,57
9 35,4 4,6 1129 0,823 0,74
8 30,8 4,6 1129 0,648 0,58
7 26,2 4,6 1129 0,483 0,44
6 21,6 4,6 1129 0,334 0,30
5 17,0 1,0 697 0,213 0,12
4 16,0 4,0 702 0,191 0,11
3 12,0 4,0 1139 0,113 0,10
2 8,0 4,0 1139 0,053 0,05
1 4,0 4,0 1139 0,014 0,01
Maximale Spannung (charakteristisch) 215 N mmσ =
4.11.7 Spannungsschwingspiele
Anzahl der Schwingspiele
2
crit ,i
0
v2
vcrit ,i7
i,y 0
0
vN 6,3 10 T n e
vε
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Gl. (D.9)
N 200 T≥ ⋅
Entwurfslebensdauer T 50= Jahre
0 m,Lj
1 1v v 30,9 6,18m / s
5 5= ⋅ = ⋅ =
0 0,3ε =
22 2,25
7 6,18
7
2,25N 6,3 10 50 0,50 0,3 e
6,18
5, 48 10
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
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4.12 StTools: Wirbelerregung in der Grundschwingungsform (1.EF)
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4.13 Wirbelerregung in der 2. Eigenform
4.13.1 Kritische Windgeschwindigkeit
kritische Windgeschwindigkeit 2,y
crit ,2
b nv
St
⋅= Gl. (D.1)
Breite im Bereich der Wirbel- b 0,81m = Seite 4-2 erregung
2. Eigenfrequenz 2,yn 2,51Hz=
crit ,2
0,81 2,51 mv 11,30 s0,18
⋅= =
m,Lj crit ,2
4,9m mv (40m ) 30,9 vs2
− = ≫ Gl. (D.2)
⇒ Wirbelerregung muss untersucht werden.
4.13.2 aerodynamischer Erregerkraftbeiwert
Reynolds-Zahl ( ) 5kritcrit 6
b v 0,81 11,30Re v 6,1 10
15 10ν −
⋅ ⋅= = = ⋅
⋅ Gl. (D.6)
lat ,0c 0, 2⇒ = Bild (D.2)
crit ,2
m,Lj
v 11,290,37 0,83
v 30,9= = < Tab. D.2
lat lat ,0c c 0, 2⇒ = =
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4.13.3 Äquivalente Masse
in der 2. EF 2,ym vgl. Seite 4-12
Kno
ten Höhe
z [m]
∆z
[m]
Mj
[kg] Φ Φ2 Mj⋅Φ2 ∫Φ2
10 40,0
714 1 1 714
4,6 2,604
9 35,4 1129 0,363 0,132 149
4,6 0,400
8 30,8 1129 -0,204 0,042 47,0
4,6 0,959
7 26,2 1129 -0,612 0,375 423
4,6 2,286
6 21,6 1129 -0,787 0,619 699
4,6 2,599
5 17,0 697 -0,715 0,511 356
1,0 0,482
4 16,0 702 -0,672 0,452 317
4,0 1,342
3 12,0 1139 -0,468 0,219 249
4,0 0,564
2 8,0 1139 -0,250 0,063 71,2
4,0 0,136
1 4,0 1139 -0,073 0,005 6,1 4,0 0,010
0 0
0 0 0
3031 11,382
2,y
3031kgm 266 kg/m
11,382 m≈ =
4.13.4 Scrutonzahl
Scrutonzahl 2,y
2
2 mSc
b
δ
ρ
⋅ ⋅=
⋅ Gl. (D.5)
2
2 266 0,014Sc 9,09
1, 25 0,81
⋅ ⋅= =
⋅
( ) ( )
( )( ) ( )
102 2
2, 2,
10
2 29
2, 2, 12
2,
002
=
+
=
⋅Φ ≈ ⋅Φ
Φ +ΦΦ ≈ ⋅∆
∑∫
∑∫
h
y j y j
j
hy j y j
y
j
m z dz M z
z zz dz z
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4.13.5 Beiwert der Schwingungsform
Beiwert der Schwingungsform
( )
( )
1,
0
2
1,
0
4
h
y
z
h
y
z
z dz
K
z dzπ
=
=
Φ
=
⋅ Φ
∫
∫ Gl. (D.10)
Kno
ten Höhe
z [m]
∆z
[m] Φ ∫|Φ| Φ2 ∫Φ2
10 40,0
1
1
4,6 3,135 2,604 9 35,4 0,363 0,132
4,6 1,304 0,400 8 30,8 -0,204 0,042
4,6 1,877 0,959 7 26,2 -0,612 0,375
4,6 3,218 2,286 6 21,6 -0,787 0,619
4,6 3,432 2,599 5 17,0 -0,715 0,511
1,0 0,694 0,482 4 16,0 -0,672 0,452
4,0 2,280 1,342 3 12,0 -0,468 0,219
4,0 1,436 0,564 2 8,0 -0,250 0,063
4,0 0,646 0,136 1 4,0 -0,073 0,005
4,0 0,146 0,010
0 0 0
18,190 11,382
18,190
0,1274 11,382
Kπ
= =⋅ ⋅
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1. Iterationsschritt
bezogene Wirklänge (geschätzt) 1 21 2
L L6 L L 6 0,81m 4,86m
b b= = ⇒ = = ⋅ =
Wirklängenfaktor
( )
( )
,
1
1,
0
j
n
i y
j L
w h
y
z dz
K
z dz
=
Φ
=
Φ
∑ ∫
∫
4,86 1 0,33 0,69 0,750,64 0,77
2 2 2 2 2
18,190
0,373
wK
+ + + + + =
=
Querschwingungsamplitude F w lat 2
1 1max y b K K c
St Sc= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Gl. (D.4)
F 2
1 1max y 0,81 0,373 0,127 0,2 0,026m
0,18 9,09= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
Überprüfung der Wirklänge F,2y 0,0230,029 0,1
b 0,81= = <
F,1y 0,0230,77 0,020 0,1
b 0,81= ⋅ = <
bezogene Wirklänge (vorhanden) j
j
L6 L 6 0,81m 4,86m
b= ⇒ = ⋅ = Τ
Iterationsende
→ max yF = 0,026m
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4.13.6 Einwirkung infolge Querschwingungen
Erregerkräfte ( ) ( ) ( )2
2 j j 2,y 2,y j FF z M 2 n z max yπ= ⋅ ⋅ ⋅ Φ ⋅ Gl. (D.3)
Kno
ten Höhe
z [m]
lj
[m]
Mj
[kg]
n2,y
[Hz] Φ
maxyF
[m]
F1
[kN]
10 40,0 4,6 714
2,51
1
0,029
5,15
9 35,4 4,6 1129 0,363 2,96
8 30,8 4,6 1129 -0,204 -1,66
7 26,2 4,6 1129 -0,612 -4,98
6 21,6 4,6 1129 -0,787 -6,41
5 17,0 1,0 697 -0,715 -3,59
4 16,0 4,0 702 -0,672 -3,40
3 12,0 4,0 1139 -0,468 -3,38
2 8,0 4,0 1139 -0,250 -2,05
1 4,0 4,0 1139 -0,073 -0,60
Maximale Spannung (charakteristisch) 231N mmσ =
4.13.7 Spannungsschwingspiele
Anzahl der Schwingspiele
22 11,30
7 6,1811,30N 6,3 10 50 2,51 0,3 e
6,18
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
82,80 10= ⋅
Praxisseminar 2006 (Aktualisierung 2011)
Institut für Stahlbau – TU Braunschweig Seite 4-31
4.14 Wirbelerregung in der 3. Eigenform
4.14.1 Kritische Windgeschwindigkeit
kritische Windgeschwindigkeit crit ,3
0,81 7,04 m mv 31,7 1, 25 30,9s s0,18
⋅= = < ⋅
⇒ Wirbelerregung müsste untersucht werden. Vorgehen wie zuvor. Wird hier nicht gezeigt.
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4.15 Schadensakkumulation am Fußpunkt
Kerbfall 71 2
A 71N mmσ∆ =
2
R A0,73 0,73 71 51,8 N mmσ σ∆ ≈ ⋅∆ = ⋅ =
Schadensakkumulation nach Palmgren-Miner
Eigenform Spannungs-
schwingbreite ∆σ = 2 · σ [N/mm²]
Bruchlast-spielzahl
n
Anzahl der Schwingspiele
N
Schädi-gung n/N
1. 2 · 15 = 30 7,8⋅107 5,48⋅107 0,70
2. 2 · 31 = 62 3,1⋅106 2,80⋅108 90
90,7 >>1
Der Schornstein erreicht durch Schwingungen in der 2. Eigenform die Entwurfsle-bensdauer von 50 Jahren nicht.
Hinweis: die Verweise E-DIN 4133 in diesem Dokument beziehen sich auf den Anhang A des Nor-menausschusses DIN 4133 vom Januar 2006.