3er_Seminario Geometría PRE 2014-1

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. En un triángulo equilátero ABC, con

diámetro AC se traza una

circunferencia que intersecta a AB en

el punto M y a BC en F , luego se

traza la tangente BQ Q FC .Si

AB 2u , entonces QM (en u) es

A) 6

3 B)

2 3

2

C) 3 6

3

D) 3

E) 6

02. En la figura se muestra a dos

circunferencias. Si BC 2u y

CD 3u , entonces AB (en u) es

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

03. En un triángulo rectángulo ABC (recto

en B), se traza la altura BH , P es un

punto de AH , la prolongación de la

altura BH interseca a la

semicircunferencia de diámetro PC en T y la tangente a la semicircunferencia en T pasa por A.

Si AT au y la prolongación de TP

interseca a AB en Q y QC bu ,

entonces AC (en u) es

A) ab B) 2 2a b

C) a b

2

D) 2 ab

E) 2 2a b

2

04. En el gráfico mostrado

AO OB R u , O1 y O2 son centros.

Calcule la longitud del radio (en u) de la circunferencia de centro O2.

A) R

9 B)

2R

9 C)

4R

9

D) 5R

9 E)

8R

9

05. Dos circunferencias C1 y C2 son

secantes en los puntos A y B, en C1 se inscribe el cuadrilátero ABCD y en C2 el cuadrilátero ABSQ, de manera

que DC AB QS P . Desde P se

traza la tangente PM a C1 y desde Q

la tangente QN a C2. Además si

C-B-Q y 2 2 2PM QN , entonces PQ es

A) 2 B) 3

2 C)

D) 3

4 E)

2

A

B

C

D

A B O O1

O2



06. En la figura B y E son puntos de tangencia. Si DE 3u , AC 8u y

CD 7u , entonces AB (en u) es

A) 2 6 B) 3 3 C) 4 3

D) 4 6 E) 2 2

07. En una circunferencia de diámetro

AQ y centro O, se traza la cuerda ED

perpendicular a AO en el punto C. La

cuerda AM intercepta a EC en el

punto B, y la prolongación de MC intercepta a la circunferencia en el

punto F. Las proyecciones de AF y

ED se interceptan en el punto k. Si BC 4m , CK 12m y OC 1m ,

entonces la longitud (en m) de OA es A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

08. En una circunferencia se intersecan 2

cuerdas AB y CD . Si el producto de las longitudes de los segmentos determinados en cada cuerda es 231 cm2 y el radio mide 20 cm, entonces la distancia (en cm) del centro de la circunferencia al punto de intersección de las cuerdas es A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

09. En la figura AE = a, BF = b, DH = d. Entonces CG es

A) ab

d B)

ad

b C)

bd

a

D) 2

2

a b

d E)

2b

a d

10. En un triángulo ABC, AB 13cm ,

AC 14cm y BC 15cm en su altura

BH se ubica el punto T .Si TH 3cm ,

entonces la longitud (en cm) del circunradio del triángulo BTC es

A) 10 B) 3

102

C) 2 10

D) 5

102

E) 3 10

11. En un triángulo ABC los lados son

números enteros consecutivos. Si la altura relativa al lado de medida

intermedia AC mide 12 u, entonces la longitud (en u) del circunradio es

A) 8 B) 65

8 C) 9

D) 12 E) 17

12. ABC es un triángulo (recto en B) se

traza la bisectriz BD D AC de

manera que 2AD DC . Si AB 2u ,

entonces la longitud (en u) de BD es

A

B

C

N

D E

M

A

B E

F G

D

C H



A) 4 2 B) 4 2

2

C) 4 2

3 D) 4 5

E) 4 3

2

13. En un triángulo acutángulo ABC de

circuncentro “O” se traza la bisectriz

interior BD , tal que m BDO 90 . Si BC a y AB c , entonces la longitud

de BD es

A) ac B) 2 2a c C) 2ac

a c

D) ac

2 E)

2 2a c

2

14. Se tienen las circunferencias C1, C2 y

C3 de manera que C1 y C2 son tangentes exteriores en el punto D; ambas son, además, tangentes interiores a C3. Los puntos A, B y C de la circunferencia C se obtienen de la

siguiente manera: BC es la tangente

exterior a C1 y C2; DA es la tangente común interior a C1 y C2 de manera que D y A están a un mismo lado de la recta BC; la recta AD intercepta a

BC en P. Entonces AP2 es

A) 2AB AC

BP CP

B) AB AC BP CP

C) AB AC BP CP

D) 2 2 2 2AB BP AC CP

E) 2AB AC

BP CP

15. En un triángulo ABC, m ABC 60 , I

es el incentro y T es el circuncentro del triángulo AIC. Si AB BC 24 cm ,

entonces la longitud (en cm) de TB es

A) 7 2 B) 8 3 C) 9 3

D) 10 2 E) 12 3

16. ABCD es un cuadrado, en los lados

BC y CD se ubican los puntos medios M y N respectivamente. Si

AM BN T y AB 4u , entonces

la longitud (en u) de TD es A) 2 B) 3 C) 4

D) 2 5 E) 3 5

17. En un cuadrilátero ABCD inscrito en

una circunferencia AB BD AD .

Si CD2

, entonces la longitud del

segmento que une los puntos medios

de AC y BD es

A) 6 22

B) 5 134

C) 3

D) 5

E) 10 2 55

18. En una circunferencia se inscribe un

triángulo ABC de incentro I, la

prolongación de BI intersecta a la circunferencia en el punto P. Si BC a y AB c entonces

2 2BP IP es

A) ac B) 2 2a c

C) 2 2

2 2

a c

a c D) 2ac

E) 2 2a c

2

19. En un heptágono regular ABCDEFG

2 2FC AC FC 48u .Entonces el

perímetro (en u) del heptágono es

A) 28 3 B) 36 3 C) 38 3

D) 48 E) 56



20. Un pentágono regular ABCDE está inscrita en una circunferencia. Si en el

arco AE se ubica el punto P,

entonces PA PC PE

PB PD

es

A) 1

4 B)

1

2 C) 1

D) 3

2 E) 2

21. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Si un hexágono convexo es

equilátero y tiene un punto interior que equidiste de los lados, entonces dicho hexágono es un polígono regular.

II. Si un pentágono es convexo y tiene un punto interior que equidista de cuatro de sus lados, y los ángulos que determinan los vértices con dicho punto interior mide 72 cada uno; entonces el pentágono es un polígono regular.

III. Si un pentágono es equiángulo y tiene un punto que equidista de las rectas que contienen a cuatro de sus lados, entonces dicho pentágono es un polígono regular.

A) FFF B) FVF C) VFF D) VVF E) VVV

22. En un polígono regular de doble

número de lados 2n inscrito en una

circunferencia cuyo radio mide R. Demuestre que la longitud de la

apotema 2nap del polígono regular

de doble número lados es

2n

existen n 1 radicales, n 3

R 2 2 2 2.... 2

23. En una circunferencia están inscritos los polígonos regulares de n, 2n y 6 lados cuyas longitudes de lados son

n , 2n y 6 . Si 2 2 2n 2n 62

entonces el valor de n es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

24. En un triángulo rectángulo ABC se

traza la bisectriz BD del ángulo recto. Si AC 4u y BD AB , entonces la

longitud (en u) de la altura relativa a la hipotenusa es

A) 2 B) 2

2 C)

2

3

D) 2

4 E)

2

5

25. En una circunferencia se inscribe el

cuadrilátero ABCD tal que

mAB 120 , mBC 30 y mCD 60 .

Si AB 3 2u y BD 2 3 u ,

entonces AD (en u) es

A) 1 3 B) 2 3

C) 3 3 D) 12 6 3

E) 2 3 3

26. En una circunferencia se inscribe un

hexágono regular ABCDEF. En el

arco AB se ubica el punto P tales que PF a y PB b , (a > b). Entonces la

longitud de PD es

A) a b 3

2

B)

b a 3

2

C) a + b D) 2ab

a b

E) ab 3

a b



27. En un octógono regular ABCDEFGH, cuya longitud de su lado es

4 2 2 u , se ubica el punto P en la

diagonal AE tal que m DPE 30 .

Entonces, la longitud (en u) de BP es

A) 2 2 3 B) 2 3

C) 3 3 2 D) 3 2

E) 3 2 2

28. En un hexágono regular ABCDEF de centro O, la suma de las distancias de

O hacia CA y CD es de 2 3 1 u .

Entonces el perímetro (en u) del hexágono es

A) 22 B) 23 C) 24

D) 30 E) 33

29. Se tiene el semioctógono regular

ABCDE inscrito en una semicircunferencia de diámetro AE, donde AE 2R , se ubica el punto medio P del arco BC y el punto medio Q del lado DE. Entonces PQ es

A) R

6 22

B) R

8 22

C) R

16 3 22

D) R 5 3 2

E) R

12 22

30. En una semicircunferencia de centro

O y diámetro AB , se ubica el punto

medio M del arco AB y con centro en M se traza un arco tangente a la

semicircunferencia de diámetro AO que interseca a la semicircunferencia mayor en los puntos P y Q. Entonces

la medida del arco PMQ es

A) 60 B) 72 C) 90

D) 108 E) 120

31. En un sector circular AOB, se inscribe el cuadrado MNPQ cuyo lado mide

2 2 cm . Si m AOB 45 ,

entonces la longitud (en cm) de OA es

A) 2 B) 3 C) 1

D) 1,5 E) 5

32. En un cuadrado ABCD, M es un punto

de AB , N de AD y E es un punto de

AN tales qué BN y MD se intersecan

en un punto de AC y ME // BN . Si AM 4 m y AE 1m , entonces AB

(en m) es. A) 20 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24

33. En una circunferencia de radio R, se inscriben 10 circunferencias de radio r (R > r) de manera que estas últimas sean tangentes entre sí y tangentes a la circunferencia mayor. Entonces el perímetro de la figura geométrica que se obtiene al unir los centros de las circunferencias de radio r es

A) 10R 5 2 B) 12R 5 2

C) 15R 5 2 D) 18R 5 2

E) 20R 5 2

34. En la figura

AB BC CD 10 2 5 u

Entonces BD (en u) es

A

D

4

3

2

B

C



A) 5 B) 2 5 C) 10

D) 2 10 E) 5 1

35. En un pentágono regular ABCDE, se

traza la diagonal BE y se ubica el

punto F, punto medio de CD . Si

BE AF H y 11 11u

AH AF

,

entonces la longitud (en u) del lado del pentágono es

A) 10 2 5 B) 12 2 5

C) 10 2 5 D) 10 5

E) 15 5

36. En un polígono regular de 13 lados;

ABCDE … LM. Si 2AD AD AE k ,

entonces la longitud de DJ es

A) k

3 B)

k

2 C) k

D) 2k E) 4k

37. En un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una circunferencia de

centro O y radio R 5 2 2 u ; las

prolongaciones de AC y ED se intersectan en el punto P, entonces la

longitud (en u) de OP es

A) 17 B) 21 C) 23

D) 5 E) 5 2

38. En la gráfica mostrada, AB es el lado de un polígono regular y AOB el ángulo central correspondiente, si EF es el polígono regular isoperimétrico, entonces indique el valor de verdad de las proposiciones:

I. E y F son puntos medios de AC y

CB . II. El apotema del polígono regular

es mayor que el apotema del polígono regular isoperimétrico.

III. H es el punto medio de CD .

IV. El apotema del polígono regular isoperimétrico es igual a la semisuma del apotema y el radio del polígono regular.

A) VFVV B) VVFF C) VFFV D) FVFV E) VFFF

39. Sea a la longitud del apotema de un

polígono regular de n lados n 3 y

R la longitud de la circunferencia circunscrita al polígono regular. Entonces, la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita al polígono regular de 2n lados que sea isoperimétrico con el polígono regular de n lados es

A) R R a B) 2R R a

C) R R 2a D) R 2R a

E) 2R R a

40. En un pentágono regular ABCDE la

longitud de su lado es 5 1 u

entonces, la longitud (en u) del lado del pentágono regular determinado al trazar los segmentos cuyos extremos son los puntos medios de dos lados no consecutivos es A) 1,0 B) 3,0 C) 4,0 D) 5,0 E) 5,5

41. El simétrico del triángulo ABC respecto a la recta que contiene a la

bisectriz interior AD , es el triángulo

1 1AB C . Si AB c , BC a y AC b

(a > c), entonces la longitud de 1B C

es

A B

E F

C

O

D

H



A) b c

2

B) b – c C)

b c

2

D) b c

4

E)

a b c

4

42. En una circunferencia C de diámetro

AB , P es un punto exterior a C tal que P es simétrico de A y B respecto a los puntos M y N respectivamente. Si M y N pertenecen a C, entonces la medida del ángulo APB es A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

43. En un cuadrado ABCD cuyo lado

mide 6 u; M es punto medio de BC y F es el simétrico de D respecto a la

recta AM . Entonces FB (en u) es

A) 72

5 B)

115

3

C) 23 D) 109

3

E) 37

44. En una circunferencia de centro O, se

traza un sector circular AOB cuyo ángulo central mide . Se ubica el

punto P en el radio OB , de manera

que OP 1

OB 3 . En el arco del sector

AOB se ubica el punto Q, con

PQ // OA , tal que al trazar con radio

PB , un arco, éste intersecta a PQ en

T. Si la longitud del arco AB es 12 m, entonces la longitud (en m) del arco

TB es

A) 8 B) 12

5 C)

14

3

D) 16

5 E) 7

45. En la figura mostrada el radio de la semicircunferencia es 12 u. Entonces la suma de las longitudes (en u) de las circunferencias de centro O1 y O2 es

A) 8 3 2 1 B) 8 3 2 1

C) 8 4 2 3 D) 8 2 2 2

E) 8 3 2 2

46. Se tiene el triángulo equilátero ABC,

con diámetro BC se traza una semicircunferencia que no intercepte al triángulo, se ubica el punto D en

BC y F en CD de manera que

BD DF FC

2 4 3 , las rectas AD y AF

interceptan a la semicircunferencia en P y Q respectivamente. Entonces la longitud del arco PQ es

A) 2

AB9

B)

2AB

7

C) AB5

D) AB

4

E) 3

AB5

47. En un cuadrado cuyo lado mide L,

haciendo centro en cada vértice y con radio de longitud L se trazan arcos interiores, que al interceptarse determinan un cuadrilátero curvilíneo. Entonces, el perímetro del cuadrilátero curvilíneo es

A B O

60

O2 O1



A) 3 L

4

B)

2 L

3

C)

L

5

D) 3 L

5

E)

48. En un cuadrado ABCD cuyo lado

mide L, con centro en A se traza el

arco BD . Calcule la longitud de la

circunferencia con centro en CD ,

tangente al arco BD y al lado BC en C.

A) L

4

B)

L

3

C)

L

2

D) L

5

E)

2 L

3

49. En un triángulo rectángulo ABC /

m B 90 , está inscrito una

circunferencia C si: AB 3u ;

BC 4u ; entonces la longitud de la

circunferencia tangente a C y a los

catetos es A) 2 B) 1,5

C) 10 1

210 1

D) 0,34

E) 5 1

25 1

50. La longitud del lado del cuadrado

ABCD es 6 cm, con centros en los vértices A y D, se trazan los arcos BD y AC, secantes entre sí en el punto M. Con diámetro BC, se traza una semicircunferencia que interseca a los arcos anteriores en los puntos E y F, respectivamente. Entonces la suma de longitudes (en cm) de los arcos EF y FM es A) B) 3 C) 2

D) 5

3 E)

7

3

51. En un cuadrante AOB se inscribe el cuadrado PQRT de modo que Q y R pertenecen al arco AB, P y T pertenecen a los radios OA y OB respectivamente. Si el perímetro del cuadrado es 16u entonces la longitud (en u) del arco AB es

A) 10 B) 3 C) 2

D) 5

3 E)

7

3

52. Calcule YW X Z , para la vigésima posición:

Posición 1 Posición 2 Posición 3 … vigésima posición

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

53. Para la secuencia:

Calcule 3 48x x

A) 6 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8

0 2

–2 1

0 –2

2 –1

1 0

2 –2 Z Y

W X

1

1

1

1

1

x1 x2 x3

1 1

1 … ,

1



54. ¿Qué figura continúa en la secuencia; en la posición 11?

A) B) C) D) E)

55. ABCD es un cuadrado de longitud de lado L. Se realiza la construcción de un cuadrado uniendo los puntos medios de los lados y se repite la secuencia 40 veces. Calcule el perímetro del último cuadrado.

A) 16

L

2 B)

17

L

2 C)

18

L

2

D) 19

L

2 E)

20

L

2

56. En la siguiente serie:

Determine el número correspondiente al polígono de 51 lados. A) 22 B) 21 C) 26 D) 24 E) 25

57. Indique la figura que continua la secuencia

A) B) C) D) E)

58. Calcule el valor de x + y, en la secuencia:

A) 13 B) 18 C) 17 D) 16 E) 14

59. es a como es a: A) B) C) D) E)

0 2 2 3 5 4 x y

1 2 3

00

1

2 1

0

3

2 …

0



60. x, y, z, w son cuatro términos consecutivos en la serie de Fibonacci, con los que se obtiene la figura:

donde: a = xw b = 2yz Entonces, el valor de c, se obtiene de:

A) 2 2x y B) xy zw

C) xz yw D) 2x yz

E) 2 2

x y y z

61. es a , como es a:

A) B) C) D) E)

62. Deben ser escritos los dígitos del 1 al 8, en:

de tal manera que dos consecutivos no sean “vecinos”, en forma diagonal, horizontal o vertical. Análogamente, en: los dígitos a considerar son del 1 al 6. Si en cada caso, un dígito ocupa un casillero, entonces xyz – vw es A) 9 B) 10 C) 12 D) 11 E) 10

63. Indique la figura que corresponde:

A) B) C) D) E)

64. es a , como es a:

a

b c

x y

x y

z

?

5 5 4

3 3

5

5

4

4

3

2

2

2

2



A) B) C) D) E)

65. Determine el símbolo que completa mejor la relación de analogía entre las figuras dadas: A) B) C) D) E)

66. Si es a

, entonces es a: A) B) C) D) E)

67. En un triángulo se trazan las

bisectrices interiores AD y CE intersectándose en el punto I tal que los ángulos AEC y ADC son suplementarios. Si las áreas de las regiones triangulares AIE y CID son 2 u2 y 3u3, entonces el área (en m2) de la región triangular EID es

A) 1 B) 3

2 C)

4

3

D) 5

6 E)

6

5

68. En un cuadrado ABCD, P y Q son

puntos medios de AB y BC

respectivamente. Si DQ y PC se intersecan en el punto M y

PM 6 5 cm , entonces el área (en

cm2) de la región cuadrada ABCD es A) 225 B) 280 C) 380 D) 400 E) 469

2

2

2 2

1

1

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2

2

2

? ?



69. Dado un cuadrado ABCD en AB se ubica el punto P, la circunferencia de

centro O1 es tangente DA ; AP y DP y la circunferencia de centro O2 es

tangente a DP ; DC y BC . Si los radios de las circunferencias miden 3 u y 2 u respectivamente, entonces el área (en u2) de la región cuadrada es A) 18 B) 36 C) 48 D) 64 E) 72

70. En un triángulo acutángulo ABC se

trazan las cevianas AD y la altura BH

tal que AD DC y AD BH P ,

luego en BP y HC se ubican los puntos M y N tal que HMDN es un rectángulo. Si BP a y AC b ,

entonces el área de la región rectangular HMDN es

A) ab

2 B)

ab

4 C) ab

D) 2ab E) 4ab

71. Calcule el área máxima de una región rectangular de perímetro 2p.

A) 2p

4 B)

2p

2 C)

2p

8

D) 2p

16 E) 2p 2

72. Calcule las dimensiones del

rectángulo que limita la mayor área inscrita en un triángulo tal que un lado del rectángulo este contenido en un lado del triángulo, la altura y el lado correspondiente a ese lado del triángulo miden h y b.

A) h b

;2 2

B) h b

;3 3

C) h b

;4 4

D) 3 h

h;2 2

E) b h

;4 3

73. En un triángulo ABC recto en B, la prolongación de la bisectriz interior

BD intercepta a la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo en el punto P. Si BD a y DP b , entonces el área de la región triangular ABC es

A) b a b

2

B)

a a b

2

C) 2ab

D) ab

2 E)

3ab

2

74. En un triángulo rectángulo isósceles

ABC (AB = BC), se ubica el punto interior T. Tal que m ATB 90 y

m BAT m TBC . Si BT 8cm ,

entonces el área (en cm2) de la región BCT es A) 28 B) 30 C) 32 D) 35 E) 40

75. En una semicircunferencia de

diámetro AB , se ubica el punto medio M del arco AB y un punto F en la

prolongación del diámetro AB . La

secante FM intercepta a la semicircunferencia en Q. Si MQ a y

QF b , entonces el área de la región triangular AQB es

A) ab

4 B)

ab

2 C) ab

D) 2ab E) 2 2

2 2

a b

a b

76. En un triángulo ABC, se trazan

la altura BH y la mediana

BM M HC . Si AB 8 cm y

m ABH m HBM m MBC , entonces el área (en cm2) de la región triangular ABC es

A) 30 3 B) 32 3 C) 35 3

D) 40 2 E) 45 2



77. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia cuyo radio mide 4 cm. Dicha circunferencia determina sobre uno de los lados, segmentos cuyas longitudes son 6 cm y 8cm. Entonces,

el área (en cm2) de la región triangular ABC es A) 48 B) 64 C) 72 D) 84 E) 96

78. El perímetro de un triángulo es 2p. Entonces, el área máxima de la región triangular es

A) 24p 3

9 B) 21

p8

C) 21p 3

9 D) 21

p16

E) 21p

3 3

79. Si en un triángulo, el inradio mide r,

entonces el área de la región mínima triangular es

A) 23r 3 B) 23r C) 22r

D) 2r 3 E) 26r 2

80. En un triángulo ABC las longitudes de

sus alturas son 3 cm, 4 cm y 5 cm. Entonces la longitud del radio de la circunferencia inscrita es

A) 60

47 B)

70

47 C)

80

47

D) 90

47 E)

100

47

81. En un triángulo ABC, AC b , AB c ,

BC a , el radio de la circunferencia

exinscrita relativa al lado BC es el doble del radio de la circunferencia inscrita. Demuestre que b + c = 3a

82. En un triángulo ABC, cuyos lados AB ,

BC y AC miden respectivamente 13 m, 14 m y 15 m, se trazan las

alturas AD y CE . Si el punto O, es el circuncentro del triángulo, entonces el área (en m2) del cuadrilátero EBDO es

A) 375

8 B)

375

16

C) 275

8 D)

275

16

E) 435

16

83. Las longitudes de los lados de un

triángulo son 5 cm, 6 cm y 7 cm. Entonces la longitud (en cm) del circunradio es

A) 3 2 B) 2 5

C) 5 6

4 D)

35 6

24

E) 3 6

2

84. El circunradio de un triángulo

isósceles mide 8 u y su altura relativa al lado desigual mide 10 u. Entonces el área (en u2) de la región que limita el triángulo isósceles es

A) 2 15 B) 10 10

C) 12 10 D) 5 15

E) 20 15

85. En un triángulo ABC recto en B, la

longitud del radio de la circunferencia

exinscrita relativa al lado AC es rb y la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo es r. Entonces, el área de la región triangular ABC es

A) b2r r B) br r C) br r

2

D) b3r r

2 E) b3r r



86. Sea el triángulo ABC, r y ra son el inradio y el exradio relativo al lado BC. Si S es el área de la región triangular, entonces la longitud del lado BC es

A) a

a

S r r

r r B) a

a

Sr r

r r

C) a

Sr

r r D)

a

a

S r r

r r

E) a

a

S r r

r r

87. En un triángulo ABC el ortocentro es

O. En las prolongaciones de las alturas se ubican los puntos M, N y Q, tales que M, N y Q son exteriores

relativos a AB , BC y AC respectivamente. Si m AMB m BNC m AQC 90 y

AMB 1S S ; BNC 2S S y AQCS ;

demostrar 2 2 2 2ABC 1 2 3S S S S

88. En un triángulo CPE, una circunferencia de centro O es tangente en el punto B a la

prolongación de EC y a PC en el

punto A. Se ubica el punto D en EC tal que OP OD y PC CE .

Entonces la razón entre las áreas de las regiones BPC y DPE es

A) 2

2 B)

3

4 C)

2

3

D) 1

2 E) 1

89. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan las bisectrices

interiores AD y CE tales que se intersectan en el punto I. Si las áreas de las regiones triangulares AIE y CID son 2 u2 y 3 u2 entonces el área (en u2) de la región triangular EID es

A) 0,5 B) 1 C) 2

D) 1,5 E) 2

2

90. En un triángulo ABC, sobre AB y BC

se ubican los puntos E y F,

respectivamente, de modo que EF

sea paralelo a AC . Luego, en AC se ubica un punto cualquiera P y se

trazan PE y PF . Si las áreas de las regiones EBF y ABC son 4 cm2 y 25 cm2, entonces el área (en cm2) de la región triangular EPF es A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

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