Geometría PRE

5/24/2018 Geometra PRE

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Geometra: Segmentos y ngulos.1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E tal

que: (AD)(BE) = 80m2, calcule: si AD BE si: AC + BC + CD + CE= 18m (AD > BE)

2. En una recta se ubican consecutivamente los puntos P, Q, M y S;siendo M punto medio de BC. Calcule el valor de la siguienteexpresin:Q = (PQ)2+ (PM)2/(PM)2+ (QM)2

3. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D y E de modo que B yD son puntos medios de AD y CE respectivamente. Si: AC DE =

8. Calcule BC.

4. En una recta se ubican los puntos A, B, C y D de modo que: m(BC)= n(CD), BD = m y AD = n, (m n). calcule BC en funcin de m y n.

5. En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que:4 (AB) BD 2(CD) = 4, AB = 3 y AC = 4.Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de ABy AD.

6. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que: BC= AB + 1 y CD = AB 3. Calcule AD; si AB es mnimo entero.

7. Si la suma del complemento del suplemento de un ngulo quemide x con el suplemento de 3x es igual a 130, calcule elsuplemento de x.

8. Cuando a un ngulo se le resta su complemento, el resultado esigual a la cuarta parte de su suplemento. Calcule la medida dedicho ngulo.

9. Se tienen dos ngulos; si la diferencia entre el complemento de ladiferencia de dichos ngulos y el suplemento de la suma de losmismos ngulos es 30, halle la medida de uno de dichos ngulos.

10. Si la diferencia de los ngulos formados por las bisectricesde dos ngulos adyacentes suplementarios y el lado comn es 8,calcule el complemento del menor de dichos ngulos adyacentessuplementarios.


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11. En la figura, las rectas m y r son paralelas. Calcule x, si: 3x +y = 180.

12. En la figura, las rectas m y r son paralelas. Calcule el mnimovalor entero de x, si el ngulo w es agudo.


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13. En la figura L1 L2; + + = 90. Halle el valor de x.

Geometra: TringulosLas soluciones se encuentran al finalizar los enunciados.

1. Se tiene una triangulo ABC en cuyo lado AC, se toma un punto G yen AB el punto M tal que el ngulo MGA es recto. En laprolongacin de GM se toma el punto R tal que BM = MR. Hallar la

medida del MBR.

2. En un triangulo ABC, las bisectrices interiores BP y CQ se cortanen O. en el interior del cuadriltero AQOM se toma el punto R.calcular la medida del menor ngulo formado por lasperpendiculares que de R se trazan a OQ y OP. Si la mA = 80o

3. En un triangulo ABC se trazan la bisectriz interior AM y la cevianainterior BN. En el triangulo BNC se traza la bisectriz exterior interiorNL. Si los ngulos ABN y NLC miden cada uno 2 y el ngulo AMB

mide 3 . Hallar

4. En un triangulo issceles ABC (AB = BC) se toman los puntos Men AB y N en BC tal que BM = MN = AN = AC


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5. En la figura: m, n y p son nmeros pares consecutivos y m < n < p.calcular c b si a d = 20o.

6. En un triangulo rectngulo ABC, recto en B cuyo cateto mayor BC,una recta que pasa por B corta en M y N a las bisectricesexteriores de los ngulos A y C respectivamente tal que el nguloCNB mide 60o. Calcular la medida del mayor ngulo formado pordicha recta y AM

7. Se tiene el triangulo ABC donde la diferencia de los ngulosinternos A y C es 48o. calcular la medida del menor ngulo queforman la mediatriz de AC al interceptarse con la bisectriz delngulo exterior del ngulo B.

8. En un triangulo ABC se trazan las bisectriz interior AF y la bisectrizdel ngulo ACB, las cuales se cortan en G. calcular la medida delmayor ngulo que forman al cortarse la bisectriz del ngulo FGC yla bisectriz exterior del ngulo C si el ngulo ABC mide 80o

9. En un triangulo rectngulo ABC, recto en B, la altura BH = 5, labisectriz exterior del ngulo A corta en M a la prolongacin de CB yen N a la prolongacin de B. hallar NH si BM = 12

10. En la figura, calcular: a + b + c + d, si la suma de lasmedidas de los ngulos A, B y C es 110o.


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Geometra: Congruencias de Tringulos1. En la figura, MR = ID y MR + LD = 24. Halle MD

2. En la figura, si los tringulos ABC y CDA son congruentes;entonces el valor de x es:

3. En el triangulo PQR se traza la mediana PM. Si PQ = 3, PM = 2 y

QR = 5. Halle la mMQR.

4. En un triangulo rectngulo issceles ABC, recto en B, E es elexcentro relativo a AC; se traza BM, que es perpendicular a laprolongacin de EA. Calcule EA si BM = 2

5. En un triangulo rectngulo ABC, recto en B, la altura BH y labisectriz interior AF se cortan en G. halle la distancia de F a AC. SiBG = 6.

6. En un triangulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior AF talque la mFAC =2mFAB calcule la distancia de B a AF, si ladistancia de F a C es 6.

7. En un triangulo ABC la suma de las medidas de los ngulos BAC yACB es 20. Las mediatrices de AB y BC intersecan en P y Q aAC, respectivamente. Halle la mPBQ

8. En un triangulo rectngulo ABC, recto en B, la mediatriz de ACcorta en M a BC. Si MC = 2 BM halle mBCA.


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9. En la prolongacin del lado AG de un triangulo ABG se ubica elpunto M y en el lado BG se ubica el punto R tal que RG = RB. SimMAB = mRMA y AB = 18, halle MR.

10.En un triangulo ABC se traza la mediana AM y la altura BH, lascuales se cortan en G, tal que AG = GM. Halle m BAC, si lossegmentos AB y CH estn en la relacin 5 a 6.

11.En un triangulo rectngulo ABC, recto en B, M es el punto mediode AC y P un punto de BC tal que AM = BP. Halle mPMC, simBAC = 50

12.En la figura mC = 20, mIBC = 10 y AM = Mc = BI. Halle lamBIM

13. En la figura, ABCD y BCFG son cuadrado; M es un puntomedio de AC y N es punto medio de AD. Si MN = 5m, calcule AG.

Geometra: Polgonos


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1. Califique verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientesproposiciones:

I. Un pentgono convexo tiene 5 diagonales.

II. En un hexgono regular su ngulo interior es el doble de suangulo exterior.

III. En un cuadriltero convexo, la suma de sus ngulosinteriores es igual a la suma de sus ngulos exteriores.

IV. En un decgono regular su ngulo central mide 30.

V. En un octgono equingulo convexo su ngulo exterior mide45.

2. Cul es el polgono en el cual, al duplicarse el nmero de lados,la suma de sus ngulos internos se cuadriplica?

3. Las medidas de los ngulos interiores de un pentgono convexoestn en progresin aritmtica. Calcule el mayor valor entero quepuede ser la razn.

4. A, B y C son tres ngulos consecutivos de un hexgono convexoABCDEF que miden 90 cada uno. Si los otros tres ngulos soncongruentes, halle la medida del ngulo que forman las

mediatrices de DE y EF.

5. En cierto polgono regular halle su ngulo central, si el numero detringulos obtenidos al unir un vrtice con los otros vrtice es 7.

6. Si de 4 vrtices consecutivos de un polgono convexo equingulose trazan 33 diagonales, Cunto vale uno de sus ngulosinteriores?

7. En la figura, halle: + + + + +


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8. En un hexaedro equingulo ABCDEF cuyo permetro es 18cm., secumple: AB = CD = FE = n; y BC = DE = FA = 2n. halle elpermetro del triangulo que resulta al unir los puntos medios de AB,CD y FE.

9. Dado los polgonos regulares cuyos nmero de lados sonconsecutivos. Calcule el numero de lados del polgono de mayorngulo central, si la diferencia entre las medidas de sus ngulosexteriores es 12.

10. En la figura, ABCDEF y APQRF son polgonos regulares.Halle la medida del ngulo x.

11. Si un polgono de n lados tuviera (n 3) lados menos,entonces, tendra (n + 3) diagonales menos. Calcule la suma delas medidas de sus ngulos interiores.

12. Calcule el nmero de diagonales de un polgono regularABCDEF, de n lados, si n es un numero par y la mACE =144.

Geometra: Cuadrilteros1. Se tiene un cuadrado ABCD, se dibujan los tringulos equilteros,

interno AED y externo CFD, calcule la medida del ngulo EFD.

2. En un paralelogramo ABCD, mBAD = (4x), mABC = (3x+40)y mADC = (x+y). Calcule y/x.

3. Exterior a un rombo ABCD, se dibuja el triangulo equiltero ABE.Si mEDC = 108, calcule la medida del ngulo AED.


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4. En un trapecio issceles ABCD (BC//AD) y los lados no paralelosmiden 6cm y mBAD = 60. Si AD = 10cm; entonces, la medianadel trapecio mide:

5. En un cuadriltero convexo ABCD, la suma de las medidas de losngulos internos en A y B es 220. Calcule la medida del mayorngulo que forman al interceptarse las bisectrices interiores dengulos C y D.

6. En un paralelogramo ABCD en el lado BC se ubica el punto P, talque AB = BP = PD. Si mAPD = mPCD; entonces, la medida delngulo PAD es:

7. En un rombo ABCD, se traza BH perpendicular a AD (H en AD).Calcule la medida del ngulo ABH si es igual a la medida del

ngulo BCD.

8. La base mayor de un trapecio mide 10cm, calcule la longitud de labase menor si es igual al doble de la longitud del segmento queune los puntos medios de las diagonales.

9. En un trapecio la relacin entre el segmento que une los puntosmedios de las diagonales y la mediana es 3/5. Calcule que existenentre las bases del trapecio (base menor sobre la base mayor).

10. En un trapecio ABCD de bases AB y CD (AB < CD), setrazan las bisectrices de los angulos A y D que se cortan en R ylas bisectrices de los angulos B y C que se cortan en S. halle RS,sabiendo que: AB = 4cm, CD = 12cm, AD = 7cm y BC = 9cm

11. En un triangulo equiltero ABC, de lado igual a 8cm, setrazan las alturas AH y BI. Determine la longitud del segmento queune los puntos medios de dichas alturas.

12.En la figura, halle la medida del ngulo x, si m BCD mBAD =

66


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Geometra: Circunferencia1. En la figura, y son tangentes, los valores de x e y son:

2.

En la figura, si + = 150, calcule m ACE

3. En la figura, calcule el valor de

4. En una circunferencia de centro O, si las diagonales de unrectngulo inscrito forman un ngulo que mide 60, halle la medidadel ngulo establecido por la diagonal con el lado mayor.


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5. En la figura, calcule la medida del angulo x, si AB = BC; y P, Q y Rson puntos de tangencia.

6. En la figura, a + b = 80; calcule: (x + y + z)

7. En la figura, calcul la medida del ngulo x, si y sontangentes y O es centro de la circunferencia.


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8. En la figura, O y P son centros y L es una recta tangente. Calculeel valor de x.

9. En la figura, halle la medida del angulo x; si mABC = 50; y, P, Q,R, S, T son puntos de tangencia.


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10. En la figura O es centro de la circunferencia mayor; y P, Q,R, S, T y U son puntos de tangencia. Calcule el valor de x.

Geometra: Proporcionalidad y Semejanzade Tringulos.

1. En un trapecio ABCD de bases BC y AD, se traza PQ paralela adichas bases (P en AB y Q en CD). Si BP = (x 1)cm, AP = (x +5)cm, CQ = (x + 1)cm y QD = (x + 9)cm, calcule el valor de x.

2. En un rectngulo ABCD, M es punto medio de BC. Si AM

intercepta a BD en el punto P y BD = 12cm, calcule la longitud deBP.

3. En un triangulo ABC (mABC = 120), se traza la bisectriz BE (Een AC) y la paralela EF al lado AB (F en BC). Si AB = 12cm y BC =24cm, calcule la longitud de BF.

4. En un trapecio rectngulo ABCD, se dibuja una semicircunferenciacon dimetro AB y tangente al lado CD en T. Si BC = 4cm y AD =6cm, calcule la distancia del punto T al lado AB.

5. Calcule el permetro de un cuadriltero convexo ABCD, si mABC= mADC = 90, AB = BC, CD = 1cm y AD = 7cm

6. Tres rectas paralelas determinan en una recta secante S1lossegmentos parciales AB = (n + 2)cm y BC = (2n + 1)cm; y sobreotra recta secante S2se determinan los segmentos PQ = (n + 4)cmQR = (2n + 4)cm. Calcule el valor de n.

7. En un triangulo ABC, se traza EF paralela al lado AC (E en AB y F

en BC). Si AB = 10cm y BC = 15cm, calcule la longitud de BE si esigual a la longitud de CF.


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8. La base mayor y la altura de un trapecio rectngulo miden 18cm y6cm respectivamente. Calcule el permetro del trapecio si los otrosdos lados son congruentes.

9. En un triangulo rectngulo ABC (recto en B), las medianas AM yBN se interceptan perpendicularmente. Si AB = 4cm, calcule lalongitud de BC.

10. En un triangulo rectngulo ABC (recto en B), M es puntomedio de AC, con dimetro AM se dibuja una semicircunferenciatangente a BC en T. Si BC = 12cm, calcule la longitud de CT.

11. En el triangulo ABC (AB > BC) se traza la bisectriz exteriorBF. Si AB = 8, AC = 10 y CF = 15, halle BC.

12. Se tiene el cuadrado ABCD inscrito en una circunferencia; enel arco BC se ubica el punto F, tal que la cuerda BF mide 12; FA yFD que cortan en M y G a BC, respectivamente. Calcule MG, si BM= 156/17 y FG = 5.

13. En la figura, FMGL es un cuadrado. Si AG = 10 y LC = 15, calculeMG.

14. En un triangulo rectngulo ABC, recto en B, se inscribe el

cuadrado PQRS (P en AB, Q en BC; y R y S en AC). Calcule SR,si (AP.PB.BQ.QC)= 1296


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15. En la figura, AC = 9, CF = 8 y ( + ) = 90. Halle BF, si BC = BF.

Geometra: Puntos Notables Asociados alTringulo

1. En un triangulo rectngulo ABC recto en A, de incentro I y excentroE relativo a AB, si BC = IE, calcule mABC.

2. En la figura, calcule el valor de x.

3. En un triangulo ABC, mABC mACB = 20 y E es el excentrorelativo al lado AC. Calcule la medida del mayor ngulo que formanal cortarse las bisectrices de los ngulos AEC y BCE.

4. En un triangulo ABC de ortocentro O, las bisectrices de los ngulosOAC y OBC se intersecan en Q. halle la medida del ngulo AQB


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5. En la figura, I es el incentro del triangulo ABC y el ngulo A mide70. Calcule z w.

6. En un triangulo acutngulo ABC de circuncentro O, la mABC =45. Si la distancia de O al circuncentro del triangulo AOC es 12,calcule la distancia del baricentro al ortocentro del triangulo AOC.

7. Se tienen el triangulo rectngulo issceles ABC, recto en B, y eltriangulo equiltero FBG, dispuestos de tal forma que AC y FG sonparalelos y que AC pasa por el baricentro del triangulo BFG.Calcule la distancia del incentro del triangulo FBG al lado FG, si en

el triangulo ABC, la distancia del circuncentro al ortocentro es 18.

8. En un triangulo ABC; F, M y G son los puntos medios de los ladosAB, BC y AC, respectivamente; y O su ortocentro. Qu puntonotable es O en el triangulo FMG?

9. En un triangulo ABC se traza la ceviana interior BM. Luego seubican los ortocentros H1y H2 en los tringulos ABM y BMCrespectivamente. Si mABC = 80o. Calcule mH1MH2

10.En un triangulo ABC por el baricentro se traza una recta Lsecante

a los lados AB y BC. Luego se traza AH L, tal que:y mBGH = 90. Calcule mAGC.

Geometra: Relaciones Mtricas en unTringulo


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1. En un tringulo rectngulo ABC de altura BH y recto en B; en HCse ubica el punto P, de modo que AB = BP y BH = AP. Si AC =10m, calcule la longitud de CP.

2. En la figura, calcule AB, si BC = 12 y (CD2+ ED2+ AE2) = 96

3. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se traza la cevianainterior BF tal que AF = 2 y FC = 10. Calcular BF si el ngulo Cmide 30.

4. Calcule la longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo, siel menor cateto mide 6m y las longitudes de las proyecciones delos catetos sobre la hipotenusa se diferencian en 1m.

5. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, BH es altura. Por H setrazan las perpendiculares a los lados AB y BC que las cortan en My N respectivamente. Si la hipotenusa mide 7cm y AH = 3cm,calcule MN.

6. Exteriormente a un romboide ABCD se construye el cuadradoADFG. Se traza BH (H en AC) Perpendicular a FG. Calcular: FH2GH2si el ngulo ABD mide 90, CD = 4 y BD = 7.

7. En un triangulo rectngulo ABC (recto en B), en la altura BH, seubica un punto M y con radio MH se dibuja una semicircunferenciatangente al cateto AB. Si AH = 2m y CH = 6m, calcule la longitudMH.


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8. En la figura, AB = 13, BC = 20, CD = 10 y AD = 17. Calcule lalongitud de la proyeccin de AD sobre la recta que contiene a AB.

9. En la figura ABCD es un cuadrado, P es el punto de interseccinde las diagonales, PR = 13 y RC = AB/2. Calcule la longitud del lado del cuadrado.

10. En un romboide la suma de los cuadrados de dos ladosconsecutivos es 8. Calcule la suma de los cuadrados de las

longitudes de sus diagonales.11. En un triangulo issceles ABC (AB = BC = a). se traza la

altura AH. Hallar HC si AC = b.

12. En un triangulo ABC, las medianas AM y BN sonperpendiculares. Hallar la longitud de la tercera mediana si AC =48 y BC = 32

Geometra: Relaciones Mtricas en laCircunferencia


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1. Se tienen 2 circunferencias secantes. La prolongacin de la cuerdaBC de la circunferencia mayor es tangente en A a la otracircunferencia y corta en M a la prolongacin de la cuerda comn,tal que MC = 2 y BC = 5. Calcular AM.

2. Por un punto B exterior a una circunferencia se trazan la tangenteBA y la secante BFC tal que la cuerda AF mide igual que AB.Hallar BF si AF = 4 y AC = 7.

3. En una circunferencia se traza la cuerda AD y en el menor arco ADse toma el punto E y se trazan las cuerdas ABF y ECG tal que AC> AB, AB = CD, BE = 3, BF = 4 y EC = 2. Hallar CG.

4. En la figura O es el centro del arco AB, FM = MG = 2 y AF = OF.Calcular AM.

5. En una circunferencia de centro O se trazan dimetrosperpendiculares AB y CD y en el arco AC se toma el punto F talque AF y OD son congruentes. Hallar la de distan de F a CD, si CD= 24.

6. Se tiene una semicircunferencia de dimetro AM y de centro O. porun punto P de AO se traza una perpendicular a AO, que corta en Lal arco AM. Una recta que pasa por A corta en C y G a unacircunferencia que pasa por M y P tal que C y G son puntos

exteriores a la semicircunferencia. Hallar AC si: CG = 4 AL = 2

7. En una semicircunferencia de dimetro AB = 10, se toman losarcos AD y BE tal que el arco AD mide el triple del arco BE (el arcoAE es mayor que el arco AD). La recta que pasa por D y E corta enF a la prolongacin de AB. Calcular ED si FB = 4.

8. Por un punto B exterior a una circunferencia se trazan la tangenteB y la secante BFC tal que la cuerda AF mide igual que AB. HallarBF si AF = 4 y AC = 7.


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9. Desde un punto P exterior a una semicircunferencia de dimetroAB, se traza PH AB (H AB) adems PA y PH intersecan a lasemicircunferencia en T y N respectivamente. Luego se traza HL AP (L AP). Si: (AP).(LT) = 27 u2. Calcule HN

10.En una circunferencia de dimetro AB se ubica un punto P y setraza PH AB (H AB). Luego con dimetro AH se trazainteriormente una semicircunferencia. Si AH = 40 y PH = 20.Calcule el radio de la circunferencia tangente al arco AP, a lasemicircunferencia y a PH.

Geometra: Polgonos Regulares1. En un triangulo acutngulo ABC de ortocentro H, se sabe que AH

es de igual longitud al lado de un hexgono regular inscrito en lacircunferencia circunscrita al triangulo y CH es de igual longitud allado de un cuadrado inscrito en la misma circunferencia. BH es deigual longitud al lado de un polgono regular inscrito en la mismacircunferencia. a qu polgono regular corresponde?

2. Se tiene un hexgono regular ABCDEF inscrito en unacircunferencia, de tal modo que L y S son los puntos medios de losmenores arcos EF y CD respectivamente; si el circunradio de dichohexgono regular es: (2- 3) calcular PS, siendo P la interseccin de AL y BS.

3. Se tiene en un cuadrante AOB de centro O; luego se traza unacircunferencia que contiene al punto medio N del arco AB y a suvez es tangente a OB en B; la prolongacin de AN interseca a lacircunferencia en Q. si OB = (2 + 2); calcular BQ.

4. Exteriormente y relativo al lado CD de un cuadrado ABCD, seubica el punto L; tal que: CD = CL = 5 + 1 y m CDL = 63.Calcular la distancia de C a BL.

5. Interiormente a una semicircunferencia de dimetro AB y centro O,se traza la semicircunferencia de dimetro AO; si P es el puntomedio del arco AO y M un punto del arco PO, las prolongacionesde AM y OP intersecan a la semicircunferencia de dimetro AB enQ y E, respectivamente, y adems las prolongaciones de MP y QEse intersecan en C. si QM = (2+ 2); calcular CA.

6. Desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan lasrectas tangentes PA y PB (A y B puntos de tangencia); adems se

traza la recta secante PQC, tal que AC es la cuerda mxima de


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dicha circunferencia. Si mAPC mBPC =36 y AC = 5 + 1; calcular QB.

7. En un pentgono regular ABCDE, la mediatriz de AB interseca aBE en M; si EC = 4. Calcular BM.

8. En el dimetro AD de una circunferencia se ubica el punto H y setraza el rectngulo HBCD de modo que BC es tangente a lasemicircunferencia en T y BH interseca a dicha semicircunferenciaen M, tal que BM = MH y la distancia de B a MC es 2. Calcular CD.

9. Interiormente a un cuadrado a un cuadrado ABCD se traza unasemicircunferencia de dimetro AD, luego se inscribe un cuadradoen dicha semicircunferencia (un lado de este cuadrado contenidoen el dimetro AD). Calcular la razn de las apotemas de dichos

cuadrados.

10. Interiormente a una triangulo ABC, se ubica el punto P tal que:mPBC = 52, mPCB =18 y la longitud de PB es igual a lalongitud de la seccin aurea del circunradio de dicho triangulo.Calcular la mBAC.

Geometra: reas de Regiones

Triangulares1. En la figura, MON es un cuadrante de radio 20, m OPM = 90 y

el arco MR mide 53. Calcule el rea de la regin triangular PNR.

2. Desde un punto M exterior a una circunferencia cuyo radio es 3 se trazan las rectas tangentes MN y MP (N y P puntos detangencia), luego en el triangulo MNP se trazan las cevianasinteriores NQ y PR que se intersecan en un punto A de la

circunferencia, tal que el cuadriltero MQAR es inscriptible y NR =2. Calcular el rea de la regin triangular MRQ.


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3. En un triangulo equiltero ABC en el lado BC, se ubica un punto Dque dista de los lados AB y AC 3 2 y 2 2 respectivamente. Calcule el rea de la regin triangular ABC.

4. En un triangulo ABC de lados AB y BC congruentes, se ubica elpunto P en AB y se traza PQ perpendicular a BC (Q en BC) tal queAP = PQ/4 = BQ/3. Calcule la razn n estn las areas de lasregiones triangulares BPQ con ABC.

5. El permetro de un triangulo rectngulo es igual a 56. Si suhipotenusa mide 25, calcular el rea del triangulo.

6. Exteriormente a un triangulo rectngulo ABC se construye eltriangulo el triangulo equiltero BPC. Si AC = 15 y el rea de laregin triangular BPC es 30 2, calcule el ares de la regin

triangular ABP.

7. En un triangulo equiltero PQR, se traza la altura QA, luego setrazan: AB perpendicular a QR y BC perpendicular a AR. Hallar larelacin entre las reas de los tringulos BCR y PQR.

8. En la figura, A, B y C son puntos medios de PB, QR y AR,respectivamente. Si el area de la regin triangular PQR es 64, halleel rea de la regin triangular PCR.

9. Calcular el rea de un triangulo rectngulo sabiendo que lacircunferencia inscrita determina sobre la hipotenusa dossegmentos que miden 4u y 9u.

10.En un triangulo ABC, en el cual la m ABC = 105; se traza laaltura CH y luego las perpendiculares HP y PR a BC y ACrespectivamente (P en BC y R en AC). Si las prolongaciones deRP y CH se intersecan en Q. calcular la razn de reas de lasregiones triangulares PHQ y ABC


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Geometra: Prisma1. El are total de un paraleleppedo rectngulo es 569m2; sus aristas

estn en progresin aritmtica, siendo la suma de ellas 36m.

Calcule el volumen.2. En un paraleleppedo rectangular las diagonales de las caras

miden 43, 85 y 47cm. El volumen del paraleleppedo en m 3, es:

3. Calcule el volumen de un prisma recto ABCD EFGH, si elsegmento que tiene por extremos el punto de interseccin de ACcon BD, y el punto medio de CG mide 10cm; adems los ngulosentre dichos segmentos y los planos que contienen a las regionesABCD y CDHG miden 30 y 45 respectivamente.

4. La altura de un prisma recto mide 8u; la base es un rectngulocuyo lados estn en la relacin 1:2. Si el rea total es de 256u 2,calcule las longitudes de las diagonales del prisma.

5. La seccin recta de un prisma oblicuo es un triangulo equiltero decircunradio 2m; si la altura del prisma mide 9 3 y forma con la arista adyacente un ngulo de 30. Hallar el volumen del prisma.

6. Se tiene un prisma hexagonal oblicuo cuya seccin recta es unaregin poligonal regular; el rea de su superficie lateral es S, sualtura mide H y sus aristas laterales forman con el plano de la baseun ngulo que mide . Calcule el volumen del prisma.

7. Dos prismas rectos semejantes tienen reas totales de 18m2y50m2. Encontrar la razn en que estn los lados de las bases.

8. Calcule el volumen de un prisma triangular regular cuya arista de labase mide 3u, si la arista lateral es el doble del dimetro de lacircunferencia inscrita en la base.

9. Un prisma recto tiene su base limitada por un trapecio isscelescuyos laterales son de longitud 13m y las bases son de 10m y 20mde longitud. Por la base mayor del trapecio se traza un planosecante al prisma, que determina con la base de dicho prisma unngulo diedro cuya medida es 53 y la altura del prisma mide 30m.Calcule la razn entre los volmenes de los slidos determinados.

10. Se tiene un tronco de prisma triangular, si la seccin rectatiene por rea 40m2y la longitud del segmento que une losbaricentros de las bases es de 9m. calcule el volumen del prisma.


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Geometra: reas de regionescuadrangulares y circulares.

1. Calcule el rea, en funcin de m y n, de un rectngulo de permetro4m, si se encuentra inscrito en una circunferencia de radio 2n

2. En un cuadrado ABCD, se toman centros en A y D, y se inscribenlos cuadrante BD y AC los cuales se cortan en un punto N; en ellado AD se toma el punto medio M; BM y MC cortan a lasdiagonales en los puntos P y Q respectivamente. Hallar el area delcuadriltero PNQM, si el lado del cuadrado es igual a 5u.

3. Un trapecio issceles est circunscrito a una circunferencia, si unode los ngulos del trapecio es 60 y el rea de la regin limitadapor el trapecio es S. calcule la longitud del lado congruente deltrapecio en funcin de S.

4. Se tiene un paralelogramo ABCD, en la diagonal AC se toma unpunto K y por l se trazan: EF paralelo a BC y GH paralelo a AB(E en AB, F en CD, G en BC y H en AD). Si el rea delparalelogramo EBGK es 45u2. Calcular el rea del paralelogramoHKFD.

5. En la figura, O es centro y AB = 12u. Calcule el rea de la regin

sombreada.

6. En los lados BC y AD de un trapezoide ABCD, se ubican suspuntos medios M y N respectivamente, AM y BN se intersecan enP, MD y CN se intersecan en Q. Calcular el rea del cuadrilteroBMQN, si las reas de los tringulos APN, MQC, CQD y NQDmiden; 5, 4, 12 y 6u2respectivamente.


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7. Calcule el rea de la regin sombreada en la figura, si el lado deltriangulo equiltero ABC mide 10; C es el centro del arco AB yO es centro de la semicircunferencia.

8. En el lado AB de un paralelogramo ABCD, se ubica un punto E, talque ED interseca a la diagonal AC en un punto F. Calcular el readel paralelogramo, si las reas de los tringulos AEF y FCD son25u2y 49u2respectivamente.

9. La circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD es tangente a loslados AB, BC, CD y AD en E, F, G y H respectivamente. Luego en

los menores arcos EF y HG se ubican los puntos M y Nrespectivamente tal que: m BMC = m DNC = 90 y AB = 4.Calcular el rea del segmento circular menor determinado por MN.

10. Se tiene un cuadrado y tomando a cada vrtice como centrose trazan arcos de circunferencia cuyos radios son iguales a lamitad de la longitud de la diagonal del cuadrado y adems dichosarcos intersecan a los lados del cuadrado; si la longitud del ladodel cuadrado es L, calcular el rea de la regin poligonal cuyosvrtices son los puntos de interseccin de los arcos con los lados

del cuadrado.11.

Geometría PRE

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