TUGAS KALKULUS

OLEH:I MADE ASTARIKA DWI TAMA

0904105055

UNIVERSITAS UDAYANAJIMBARAN

2009BILANGAN KOMPLEK

1. Sistem Bilangan KompleksSecara umum bilangan kompleks dapat diartikan sebagai suatu bilangan yang

terdiri dari bilangan riil dan bilangan imajiner (γ). Mungkin dengan kata-kata ini kalian akan terlalu paham mengenai bilangan kompleks, maka dari itu mari kita lihat contoh di bawah ini:Simbol: ĵContoh soal:Selesaikanlah persamaan kuadrat: 5x² - 8x + 5 = 0

Berapa akar (-36)?................. 6 atau -6Kedua angka di atas adalah bukan akar dari 36 atu -36, sesungguhnya akar dari -36 tidak dapat dinyatakan dengan bilangan biasa, karena tidak ada bilangan riil yang kuadratnya negative. Maka dari itu bilangan tersebut dapat kita sederhanakan menjadi seperti di bawah ini: √(-36) -36 = -1 x 36, sehingga dpt ditulis √(-36) = √(-1 x 36) = √ (-1) x √36 = 6 √ (-1) Jika kita anggap ĵ = √ (-1), maka √(-36) = ĵ6Jadi ĵ di sini yang kita sebut sebagai bilangan imajiner, sedangakan 6 di sini kita sebut sebagai bilangan riil. Pangkat dari ĵ:

Dari contoh di atas dapat kita ketahui bahwa, bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan riil dengan bilangan imajiner (ĵ).Jadi coba kita selesaikan contoh soal di bawah ini!x² - 8x + 4 = 0

di atas √-100 dapat kita ganti menjadi ĵ10, maka akan didapatkan hasil sebagai berikut:X1= 2+ĵ5 atau X2= 2- ĵ5.Di sini 2 disebut bilangan riil dari X, dan 5 disebut bilangan imajiner dari X.

2. OPERASI BILANGAN KOMPLEKOperasi-operasi dalam bilangan kompleks

(a + ĵb) + (c + ĵd) = (a + c) + ĵ(b + d)

(a + ĵb) - (c + ĵd) = (a - c) + ĵ(b - d)

PenjumlahanContoh soal:(2 + ĵ4) + (3 – ĵ3)

= (2 + 3) + (ĵ4 – ĵ3)

= 5 + ĵ

PenguranganContoh soal:(5 + ĵ8) - (3 – ĵ4) 5 + ĵ8 – 3 + ĵ4= 2 + ĵ12

PerkalianContoh soal:(3 + ĵ4) . (2 + ĵ5)

= (3 x 2) + (3x ĵ5) + (ĵ4 x 2) + (ĵ4 x ĵ5) ….. ĵ² = -1

= 6 + ĵ15 + ĵ8 + ĵ²20…… ĵ²= -1= 6 + ĵ23 -20

(5 + ĵ8) . (5 – ĵ8)

= 25 + ĵ40 – ĵ40 - ĵ²64) ….. ĵ² = -1

= 89Ini disebut bilangan komplek konjungaf yang hasilnya selalu bilangan riil.

PembagianContoh soal:7 + ĵ5 3Maka hasilnya, 7/3 + 5/3 ĵ

Untuk soal yang berikutnya:4 – ĵ62 + ĵ4Dikalikan dengan bilangan komplek konjungaf penyebutnya sehingga hasilnya nanti selalu bilangan riil.4 – ĵ6 . 2 - ĵ42 + ĵ4 2 - ĵ4

8- ĵ28 + ĵ²24 4 + 16

8- ĵ28 - 24 20

-16 - ĵ28 20

= -0,8 - ĵ²1,4

Kesamaan Bilangan Kompleks 1. (a + ĵb) = (6 - ĵ3) a = 6 dan b = -3

2. (a + ĵb) + ĵ (a - b) = 7 + ĵ2 (a + b) = 7 2a = 9 à a = 4,5 (a – b) = 2 2b = 5 à b = 2,5Dengan demikian dua bilangan komplek dikatakan sama jika:

(i) Kedua bagian riilnya sama(ii) Kedua bagian imajinernya sama

3. PERNYATAAN BILANGAN KOMPLEK SECARA GRAFIS

Garis yang menyatakan besar dan arah disebut vektor. Jika (+3) dikalikan dengan faktor (-1) maka didapat (-3) Faktor (-1) menyebabkan vektor berbalik arah 180° Mengalikan dengan (-1) setara dengan mengalikan ĵ², yaitu Mengalikan dengan faktor ĵ.ĵ.Jadi mengalikan sekali dengan sebuah faktor ĵ memiliki akibat separuhnya.

0-2 -1 1 2 3

+3-3

-3

Faktor J selalu memutar vektor sebesar 90° dalam arah positif pengukuran sudut, yaitu dalam arah berlawanan dengan putaran jarum jam.

0-3 -2 -1 1 2 3

+3-3

J3 xj

0-3 -2 -1 1 2 3

+3-3

J3 xj

Sekala sepanjang sumbu X = sumbu riil dan sepanjang sumbu Y = sumbu imajiner.

PERNYATAAN BILANGAN KOMPLEK SECARA GRAFIS dengan DIAGRAM ARGAND

Nyatakan bilangan komplek (2+ĵ3), maka jumlahkan vektor 3 dengan vektor ĵ2

0-3 -2 -1 1 2 3

+3-3

J3 xj

0-2 -1 1 2 3

J3 xj2+J3

-3

Contoh soal:\Gambarkan bilangan komplek: (i) z1 = 4 + ĵ2 (ii) z2 = -5 + J3

(iii) z3 = 3 – J5 (iv) z4 = -3 – J2

Jumlahkan bilangan komplek: (i) z1 = 4 + ĵ2 (ii) z2 = 5 + J3

0-3 -2 -1 1 2 3

Z1=4+J2

-4-5 4 5

Jumlahkan bilangan komplek: (i) z1 = 3 + ĵ2 (ii) z2 = 2 + J2

0-3 -2 -1 1 2 3-4-5 4 5

BENTUK KUTUB BILANGAN KOMPLEK

bilangan komplek: z1 = a + ĵbNyatakan dalam bentuk kutub……..r² = a² + b² maka r² = a² + b²tan θ = b/a maka θ = arkus tan b/az = r cos θ + Jr sin θ z = r (cos θ + J sin θ)

0-3 -2 -1

r

a

bθ

P

Contoh Bilangan Kompleks: 3 + J4Nyatakanlah dalam bentuk bilangan kompleks!r² = a² + b² maka r² = a² + b²

r²= 3² + 4²r²= 9 + 16r²= 25r = 5

tan θ = b/a maka θ = arkus tan b/a = 4/3 maka θ = 53,13°

Bentuk kutub bilangan kompleks adalah sebagai berikut:z = r cos θ + Jr sin θ

z = r (cos θ + J sin θ) z = 5 (cos 53,13° + J sin 53,13° )

Ada nama khusus untuk r dan θ : z = a + ĵb = r (cos θ + J sin θ)

(i), r disebut modulus dari bil z atau mod

(ii), θ disebut argumen dari bil z atau arg Contoh di atas, maka argumen z = 53,13°

BENTUK EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEK

Bila untuk dan diganti x dengan jθ, maka didapatkan

Dengan demikian r (cos θ + j sin θ) dapat ditulis

JADI ADA 3 CARA MENYATAKAN BILANGAN KOMPLEK

Cara menyatakan bilangan komplek, z = (a + ĵb) z = r (cos θ + J sin θ) bentuk kutubz = bentuk eksponensial

Contoh soal….Ubahlah dalam bentuk kutub, bilangan kompleks di bawah ini.2 + J4Solusi:Cari dulu r dari bilangan kompleks tersebut.r²= a² + b²r²= 2² + 4²r²= 4 + 16r²= 20r= √20tan θ= b/a…… tan θ= 4/2=2θ= 63,43°

z= r(cos θ + sin θ)z= √20(cos θ + sin θ)z= √20(cos 63,43° + sin 63,43°)

Contoh soal kedua…..Ubahlah bentuk kutub di bawah ini ke dalam bentuk eksponen!4(cos 60° + sin 60°)Solusi:Harga r sama, sedangkan dalam bentuk sudut bilangan komplek dalam bentuk eksponensial selalu dalam radial.4(cos 60° + sin 60°)r= 4θ= 60, ubah ke dalam bentuk radial θ = 60° = π/3 radianjadi 4(cos 60° + sin 60°) =

2. Penerapan Dalam Bidang Teknik Sipil.

Sesungguhnya penerepan bilangan kompleks dalam bidang teknik sipil sangatlah sederhana. Sesuai dengan contoh di atas, bahwa √-36 tidak dapat dinyatakan dengan menggunakan bilangan biasa. Karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya negative, sehingga kita bisa menggunakan simbol j sebagai salah satu bagian dari √-36 yaitu √-1. Jadi intinya bilangan kompleks dapat digunakan saat kita menemukan perhitungan-perhitungan struktur bangunan yang menghasilkan angka yang bernilai √ minus.

Kita bisa ambil salah satu contoh rumus yang sederhana, misalnya rumus yang saya temukan pada salah satu buku yaitu rumus untuk mencari nilai radius girasi dalam bidang teknik sipil. r =Dimana : I = inersia tampang kolom A = luas tampang kolom

Jika nilai inersia tampang kolom di atas memiliki nilai minus, maka secara langsung nilai yang akan dihasilkan yaitu √ minus, missal:

Maka nilai dari √-1/2 dapat kita sederhanakan dalam bentuk bilangan kompleks, yaitu √-1 dan √1/2. √-1 di sini dapat kita sederhanakan menjadi simbol j, maka nilai dari √-1/2 yaitu √1/2 j.Jadi bilangan kompleks dapat digunakan dalam perhitungan bangunan.

Z1=4+J23