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$: 39 - revistasuma.fespm.es · El fracaso de la matemática moderna (M. Kline). 20 Años de olimpiada mate-mática en Aragón (G. Dorda). Las matemáticas de los cuentos y las canciones$

IDEAS Y RECURSOS

ARTÍCULOS

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Índice39

febrero 2002

EDITORIAL3

5 Sobre la enseñanza de las matemáticas en la Educación Secundaria española.Tomás Recio

13 Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato. ¿Dos mundos com-pletamente separados?Josep Gascón

27 Programación lineal y diccionarios.C. González Martín y G. Herrera Rodríguez

33 Distintas formas de deducción de las fórmulas trigonométricas de suma o restade ángulos.Jaume Munné i Munné

37 El IPC en la vida cotidiana.Andrés Nortes Checa

47 Programar en Logo: enseñar al ordenador el cálculo con fracciones.Guido Angelo Ramellini

53 La demostración en el currículo: una perspectiva histórica.Marcelino J. Ibañes Jalón y Tomás Ortega del Rincón

63 (re)Descubrimiento automático del teorema de Simson y las generalizaciones deSteiner y Guzmán.José Luis Valcarce Gómez y Francisco Botana Ferreiro

69 El problema del dado con partidas no jugadas.Jesús Basulto Santos y José Antonio Camúñez Ruiz

77 Geometría de ayer y de hoy.José Antonio Mora

83 Tres profesores de Matemáticas en el supermercado.Mercedes Rodríguez Sánchez, José María Chamoso Sánchez y William B. Rawson

DirectoresEmilio Palacián GilJulio Sancho Rocher

AdministradorJosé Javier Pola Gracia

Consejo de redacciónJesús Antolín Sancho

Eva Cid CastroBienvenido Cuartero Ruiz

Faustino Navarro CirugedaRosa Pérez GarcíaDaniel Sierra Ruiz

Consejo EditorialJosé Luis Aguiar BenítezJavier Brihuega NietoM.a Dolores Eraso Erro

Ricardo Luengo GonzálezLuis Puig Espinosa

EditaFederación Española de Sociedades

de Profesores de Matemáticas

Diseño portadaPablo Cano

Diseño interiorConcha Relancio y M.a José Lisa

MaquetaciónE. Palacián, J. Sancho, D. Sierra

Revista SUMAICE Universidad de Zaragoza

C. Pedro Cerbuna,1250009-ZARAGOZA

Tirada: 6.800 ejemplaresDepósito Legal: Gr. 752-1988

ISSN: 1130-488XImpresión: INO Reproducciones. Zaragoza

Las ilustraciones de este número proceden de manuales de texto de Preescolar y EGB de

diversas editoriales.

2

Asesores

Pilar Acosta SosaClaudi Aguadé BruixAlberto Aizpún López

José Luis Álvarez GarcíaCarmen Azcárate GiménezManuel Luis de Armas Cruz

Antonio Bermejo FuentesJavier Bergasa Liberal

María Pilar Cancio LeónMercedes Casals Colldecarrera

Abilio Corchete GonzálezJuan Carlos Cortés López

Carlos Duque GómezFrancisco L. Esteban AriasFrancisco Javier FernándezJosé María Gairín SallánJuan Gallardo Calderón

José Vicente García SestafeHoracio Gutiérrez FernándezFernando Hernández Guarch

Eduardo Lacasta ZabalzaAndrés Marcos GarcíaÁngel Marín Martínez

Félix Matute CañasOnofre Monzo del OlmoJosé A. Mora Sánchez

María José Oliveira GonzálezTomás Ortega del Rincón

Pascual Pérez CuencaRafael Pérez GómezAntonio Pérez Sanz

Ana Pola GraciaIsmael Roldán Castro

Modesto Sierra VázquezVicent Teruel Marti

Carlos Usón Villalba

SUMAno se identifica necesariamente

con las opiniones vertidasen las colaboraciones firmadas

99 Taller de problemas: El problema isoperimétrico y el Cálculo de Variaciones.Grupo Construir las Matemáticas

103 Mates y medios: Cambio de moneda.Fernando Corbalán

107 Juegos: Juegos numéricos.Grupo Alquerque

111 Recursos en Internet: Matemáticas en la RedAntonio Pérez Sanz

115 Desde la Historia: El Renacimiento (II). Matemáticas más allá de las Matemáticas.Ángel Ramírez Martínez y Carlos Usón Villalba

RINCONES

RECENSIONES121

El fracaso de la matemática moderna (M. Kline). 20 Años de olimpiada mate-mática en Aragón (G. Dorda). Las matemáticas de los cuentos y las canciones(M.D. Saá). Andanzas y aventuras de las ecuaciones cúbica y cuártica a su pasopor España (R. Moreno). Matemáticas del cuerpo humano ( L. Cachafeiro). Aten-ción a la diversidad (J.M. Cardeñoso y otros –Edits.–). Pluriculturalidad y apren-dizaje de la matemática en América Latina (A. Lizarzaburu y G. Zapata –Edits.–).

CRÓNICAS133

XII Olimpiada Matemática Nacional. V Simposio sobre Aportaciones de la Di-dáctica de la Matemática a diferentes perfiles profesionales. Jornadas Nacionalesde la APMEP.

CONVOCATORIAS139

II Concurso de material didáctico. XX Concurso de Resolución de Problemas.VI Simposio de la SEIEM. III Jornadas Regionales sobre Educación Matemática(Murcia). X Congreso Thales. VIII Congreso SEHCYT. VII Seminario Castellano-Leonés de Educación Matemática.

MISCELÁNEA

95 El grabado prehistórico de la cueva de Calafí Vell (Menorca) y la rectifica-ción del círculo.Vicente Ibáñez Orts

ACE ALGO MÁS DE UN AÑO, concretamente en el número 35 deSUMA, de noviembre de 2000, utilizaba esta tribuna para haceruna valoración del proceso previo a la promulgación del decretode reforma del currículo de la Educación Secundaria, que enaquellos momentos se empezaba a conocer. Denunciabaentonces la forma en que nos llegaban las noticias, a través dela prensa, la ausencia total de debate y la nula participación denuestra Federación en un proceso tan importante como aquél.También resaltaba la legitimidad de la Federación para exigirque se la oyera, justificándolo fundamentalmente por el elevadonúmero de profesores y profesoras que representa (más de5.000) y su amplio conocimiento de un tema que ya había sidotratado en profundidad en diversos seminarios y jornadas.

Parece que ahora la historia se repite: estamos en vísperas de lapromulgación de una ley que previsiblemente modificará deforma sustancial los tres pilares básicos de la actual educaciónno universitaria, LODE, LOGSE y LOPEG y nuevamente nosvamos enterando de ello a través de la prensa, que reflejadeclaraciones de la propia ministra y de otros altos cargos delMinisterio de Educación, Cultura y Deporte (MECD). Incluso, ala vista de lo que se vislumbra, da la sensación de que sondeclaraciones interesadas, que ponen especial cuidado endestacar solamente aquellos aspectos sobre los que se quieredesviar la atención. Así, a raíz de estas primeras noticias vansuscitándose debates y opiniones diversas, que a menudo secentran en cuestiones que, casi con toda seguridad, no van aser lo más relevante de la futura Ley de Calidad, como es el casode la tan traída y llevada reválida. Las consecuencias que puedetener el establecimiento de los itinerarios, tanto para laeducación de los futuros ciudadanos como para la

3

La historia se repite

EDITORIAL

H

39

febrero 2002

configuración de la red pública de enseñanza parece que quedan enun segundo plano en estos momentos.

Desconocemos el contenido de esta ley y lo mismo se puede decir sobrelos estudios o informes en los que se fundamenta. Los responsablesministeriales hacen alusión reiteradamente al elevado nivel delfracaso escolar en España o a los pobres resultados que se obtienen enpruebas internacionales, pero las argumentaciones que se hacen son,cuanto menos, bien poco precisas. En ocasiones estos resultados sepresentan de un modo demasiado alarmante y catastrofista, como esel caso del último informe de la OCDE, cuando a partir de los mismoscabe hacer otras interpretaciones que en nada justificarían lasmedidas que se anuncian. No se aportan datos rigurosos, endefinitiva, que justifiquen que la Reforma deba ir en la dirección quese ha elegido.

Pero seguramente lo más urgente ahora es que se abra un debateamplio sobre la Ley de Calidad y que se nos dé la oportunidad departicipar en el mismo. Es preciso recordar que a propósito de esta leynuestra Federación fue convocada por el MECD en febrero de 2001. Senos ofreció entonces la posibilidad de realizar cuantas sugerenciasnos pareciera oportuno en relación con las tres leyes anteriormentecitadas a las que se trataba de reformar. Pocos días después remitimosal Ministerio un documento en el que se recogían un buen número depropuestas y recomendaciones, provenientes todas ellas de los diversosseminarios que hemos celebrado en los últimos años. También hemosenviado este documento a sindicatos, grupos parlamentarios,asociaciones de padres y Consejo Escolar del Estado.

Hace unos días nos hemos dirigido a la Ministra de Educación,Cultura y Deporte pidiendo información sobre el Proyecto de Ley quehan elaborando, así como una valoración o una respuesta a laspropuestas y recomendaciones que en su momento les hemos remitido.Esperamos poder contar pronto con un borrador de la Ley de Calidadque inmediatamente difundiremos a todas las sociedades. Será elmomento entonces de abrir nuestro propio debate, pues aunque no esuna ley que afecte en exclusiva a la enseñanza de las Matemáticas,creo que será necesario que nos posicionemos sobre la misma. En lapróxima reunión de la Junta de Gobierno concretaremos la forma enque se llevará a cabo este debate.

José Luis Álvarez García

Secretario General de la FESPM

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NTRODUCCIÓN

El pasado abril de 2001 se puso en marcha, dentro de laComisión de Educación, Cultura y Deporte del Senadoespañol, una Ponencia específica, en la que colaboran lastres Reales Sociedades de Matemáticas (a través de su vice-presidente y portavoz, Prof. Manuel de León), Física yQuímica, para estudiar la situación de las enseñanzas cien-tíficas en la educación secundaria.

Como es habitual, el trabajo de la Ponencia incluye la com-parecencia, en distintas sesiones, de diferentes personasque son llamadas al Senado para expresar su opinión antelos miembros de la Ponencia. En este momento ya ha habi-do tres sesiones (septiembre y octubre de 2001, febrero de2002) y están previstas varias más en esta primavera.Muchos detalles (incluyendo enlaces al Diario de Sesiones,textos completos de las intervenciones, etc.) aparecen enla página de la Comisión de Educación de la RSME:

http://www.rsme.es/comis/educ/inicio.html

Lo que sigue es el texto íntegro de mi comparecencia, talcomo fue entregado1 a los Senadores al término de la sesióndel 21 de febrero pasado. Debe entender el lector, portanto, que es un texto para ser presentado oralmente, loque posibilita aclaraciones y matizaciones complementarias.

Antecedentes

Sus Señorías llevan ya una andadura de cierta longitud enesta Ponencia sobre la Enseñanza de las Ciencias. Han

Este artículo recoge elcontenido de la intervenciónde su autor el 21 de febrerode 2002 ante la Ponenciasobre «La Situación de las

Enseñanzas Científicas en laEducación Secundaria»

creada en la primavera de2001 en la Comisión de

Educación, Cultura y Deportedel Senado español, y en la

que colaboran las RealesSociedades de Matemáticas,

Física y Química.

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Sobre la enseñanza de lasmatemáticas en la EducaciónSecundaria española

Tomás Recio

ARTÍCULOS

I

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febrero 2002, pp. 5-11

1 Con pequeñas correcciones que se introdujeron verbalmente en la exposi-ción del texto.

escuchado una descripción general de la situación y tam-bién algunas soluciones, como las que planteó nítidamen-te el prof. Manuel de León en su primera intervención,hace meses, y que me gustaría resumir a mi modo:

• matizar la obligatoriedad hasta los 16 años;

• limitar la comprensividad;

• adecuar la formación inicial/continua de los profeso-res (de secundaria y de primaria) a las necesidades dela escuela de hoy;

• promover el esfuerzo como elemento de progreso enel sistema escolar;

• reforzar la figura del profesor en el ejercicio de susfunciones;

• establecer en la sociedad la percepción de un vínculoentre educación y profesión, entre el éxito en el estu-dio y el éxito en la vida profesional;

Estas propuestas tienen, en mi opinión, la virtud de reco-ger, sintéticamente y con claridad, la opinión de sectoresbastante amplios del profesorado. Quisiera añadir que, enel ámbito más particular de la enseñanza de las Mate-máticas (o, más generalmente, de las Ciencias) algunosprofesores mencionan, como soluciones urgentes parapaliar la situación actual:

• la segregación de los alumnos que no hayan supera-do determinados objetivos y no hayan alcanzadodeterminados niveles;

• el incremento en el número de horas docentes de susmaterias, a costa de otras de menor enjundia científica;

• el retorno a unas directrices metodológicas en las quepredomine:

– lo cuantitativo sobre lo descriptivo o cualitativo,

– lo intenso sobre lo superficial,

– lo formal sobre lo divulgativo,

– lo determinado sobre lo abierto,

– lo básico sobre lo transversal o lateral,

– la argumentación lógica sobre la prueba intuitiva ola visualización,

– el conocimiento sobre la actitud,

– el estudio personal sobre la actividad grupal

• la obligatoriedad de cursar determinadas asignaturasde Matemáticas en el Bachillerato, para optar a unacarrera científico-tecnológica;

• la implantación de una materia optativa, en ese nivelde Bachillerato, de profundización matemática, paraevitar el alto índice de fracaso en los primeros años deuniversidad.

El reciente anuncio de la preparación,por parte de las autoridades ministeria-les, de una ley que contemplaría cier-tas medidas coincidentes (en parte)con las arriba expuestas, no hace sinocorroborar la amplitud de esta corrien-te de opinión.

Algo de lógica

Inevitablemente, dicho anuncio estácontribuyendo a la polarización (ya depor sí muy elevada) del debate entorno a la búsqueda de soluciones efec-tivas a los problemas del sistema edu-cativo. Y en el calor del debate se olvi-dan algunas cosas bastante obvias, depura lógica, que he creído convenienterecordar aquí.

1. Aunque tratemos aquí de la ense-ñanza de las Matemáticas no cabeolvidar que hay una componenteideológica (política, epistemológica,etc.) importante (y legítima) en lasdistintas opciones que se planteancomo remedio para los males delsistema. Esto es natural y así debe-ría ser asumido. Creo que esconderu obviar este hecho, planteando laevidente superioridad de unas pro-puestas concretas por ser, pretendi-damente, el resultado de un análisisaséptico de la realidad y del sentidocomún, es incorrecto.

2. También creo que una parte impor-tante de la comunidad educativaestima que el actual sistema educa-tivo tiene determinados defectos yque estos requieren una urgentesolución. El consenso en la denun-cia de los problemas no debe,empero, utilizarse como argumentoen favor de determinadas solucio-nes, ni la oposición a determinadassoluciones debe ser esgrimidacomo una negativa al reconoci-miento del problema. De «no pode-mos continuar así» no se concluyelógicamente que «por tanto debe-mos hacer esto o aquello».

3. Aunque sea una forma legítima derazonamiento el incluir la tesis

…dicho anuncioestá contribuyendoa la polarización(ya de por sí muy

elevada)del debateen torno

a la búsquedade soluciones

efectivasa los problemas

del sistemaeducativo.

Y en el calordel debatese olvidan

algunas cosasbastante obvias,de pura lógica…

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entre las hipótesis de un argumen-to (estableciendo, por tanto, unatautología), no me parece que seande interés las proposiciones queasí se obtengan. Es tal vez necesa-rio recordar esta obviedad, paraevitar propuestas del tipo «paraque los alumnos se esfuercen enaprender más matemáticas esnecesario que se esfuercen enaprender más matemáticas», va-riantes de las cuales se han oídoestos días.

4. Tampoco parece razonable, enbuena lógica, que se incremente eléxito de un sistema educativo noincluyendo, en la tasa de fracasosdel sistema, a los que fracasan. Nique mejore la convivencia en laescuela o instituto excluyendo de lamisma a los que la perturban.Muchos profesores pueden pensarque medidas de esta índole signifi-carán, para ellos, la posibilidad deuna docencia más fructífera y másdedicada a los contenidos de sudisciplina. Pero el argumento –tanutilizado hoy– de que son muchoslos alumnos que deben seguir otrositinerarios (en un sentido amplio),significa también que serán muchoslos profesores que deberán encar-garse de ellos en otro lugar del sis-tema educativo.

5. Con frecuencia se invoca, comoargumento supremo para explicar lanecesidad de determinados cambiosen el sistema educativo preuniversi-tario, el hecho de que «la universi-dad» exige esto o aquello. Comoprofesor universitario no dejo desorprenderme del valor absolutoque se le otorga a las decisiones delos órganos académicos universita-rios, su posición de inmunidad fren-te a los problemas del sistema.

A nadie se le ocurre, al parecer,reclamar legítimamente el que launiversidad adapte sus enseñanzasa las condiciones de los alumnosque ingresan en ella. En el caso delas Matemáticas (para matemáticoso para no matemáticos) es obvio,

para mí, que el nivel de exigencia de las enseñanzasuniversitarias de primer y segundo ciclo es, injustifi-cadamente, uno de los más altos del mundo occi-dental. Más de una década de intercambios Erasmus/Sócrates no nos han dejado lugar a dudas. No espara estar orgullosos: dicho nivel suele ser inversa-mente proporcional al de las enseñanzas de tercerciclo (y, por tanto, al peso científico internacional deun país).

Como conclusión de estas observaciones triviales, me per-mito señalar que sería preciso buscar soluciones

• relativizando el valor de las mismas y sin descalificarcomo incoherentes o sesgadas otras posibles alterna-tivas;

• evitando la confusión entre fines y métodos;

• proponiendo medidas adecuadas para los alumnoscon problemas (y no sólo para los que no los tendráno los tendrán en menor medida);

• incluyendo al sistema universitario en la considera-ción global del sistema educativo.

Algunas opiniones personales

Quisiera comentar aquí alguna de las opiniones de mi res-petado colega, amigo y compañero de la Comisión deEducación de la RSME, con cuyo recuerdo he iniciado estacomparecencia. En todos los casos no se trata de manifes-tar mi discordancia con la intención declarada de sus pro-puestas (la mejora de la sistema educativo), sino argu-mentar mi escepticismo sobre su efectividad o poner demanifiesto ciertos aspectos de tales propuestas que tal vezno hayan sido tenidos en cuenta.

Frente a la «matización» de la escolarización obligatoria,creo que es difícil, en una sociedad europea de hoy, redu-cir de facto la escolarización obligatoria hasta los 16 años.Un eufemismo de moda, la «inserción laboral temprana»,simplemente traslada el problema formativo del Ministeriode Educación al de Trabajo, si no al de Interior o al deAsuntos Sociales…

Frente a la limitación de la comprensividad, pienso que elestablecimiento de itinerarios educativos (en el sentidosegregador que hoy lleva implícita esta expresión) dife-renciados pudiera tener, en la práctica, un efecto de«rebote», por el que amplias capas de la población tratende que sus hijos sigan el itinerario más prestigioso, aun-que no estén capacitados para ello, lo que acabaría incre-mentando el fracaso escolar que se trataría de reducir(piénsese en la situación de la Formación Profesionalaños atrás), por la vía expeditiva de trasladarlo a otroámbito.

A nadiese le ocurre,al parecer,reclamar

legítimamenteel que

la universidadadapte

sus enseñanzasa las condicionesde los alumnosque ingresan

en ella.

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La confianza en la deseable actuación sobre la formacióninicial/continua del profesorado tendrá, en mi opinión,limitados efectos en el sistema educativo actual, como sededuce de la consideración de distintos parámetros esta-dísticos (edad media del profesorado actual, descensodel número de vocaciones, reducción acusada de lanatalidad en la última década), junto con otras conside-raciones, como la escasa virtualidad de la denominadacarrera docente. Si apenas ingresarán nuevos profesoresen un futuro inmediato y no se incentiva el esfuerzo delos que ya existen, la mejora de la formación inicial ycontinua puede tener una escasa repercusión en el sis-tema educativo.

La mejora de la valoración social del esfuerzo es, desdeun punto de vista sociológico, un tema demasiado com-plejo como para pensar que se puede actuar sobre él conéxito, simplemente desde el sistema escolar. Como ocu-rriría si planteáramos en el mismo sistema, por ejemplo,una educación en el valor de la abstinencia sexual paraevitar los altos índices de embarazos en adolescentes, o elvalor de la fidelidad y del sacrificio conyugal, para evitarel creciente número de fracasos matrimoniales. Nadieconfiaría en que la vía del consejo y la advertencia resol-vería estos problemas. Seguiría siendo necesario poner enmarcha otras medidas (profilácticas, de asistencia social,etc.) que traten ambos problemas de manera más global.Análogamente, aún siendo positiva la introducción en elmundo educativo de mecanismos de valoración delesfuerzo (tales como utilizar el mérito como criterio endeterminadas situaciones escolares), resulta necesarioconcebir el desarrollo de las enseñanzas en el contextoactual de los niños y jóvenes, desde la escala de valoressocialmente en vigor.

Otro tanto cabe decir del refuerzo de la figura del profe-sor (o del policía, o del padre, etc.), un deseo que com-partimos, pero que difícilmente puede plantearse comosolución genérica (aún reconociendo, por ejemplo, laconveniencia de incentivar a los profesores) para los pro-blemas concretos de la escuela, en el seno de una socie-dad que, como todas las occidentales, es cada vez máspermisiva.

Por otra parte me parece curioso que se reclame, precisa-mente por los defensores de un modelo de sociedad cadavez más liberal en materia económica, el apoyo institucio-nal al estrechamiento de los vínculos entre el éxito en losestudios y los logros profesionales (es decir, el que losalumnos perciban que no se puede triunfar en la vida sinalcanzar una formación adecuada). Por coherencia con esemodelo de sociedad, éste vínculo debería confiarse a lasfuerzas del mercado; desde la posición dominante hoy día,parece que sería más bien la escuela la que debería adap-tarse a la valoración que el mercado tiene del producto delas enseñanzas impartidas.

En resumen, creo que no es posibleresolver los problemas urgentes de unsistema educativo basándonos en lahipótesis voluntarista de que éste modi-fique, por decreto, los valores, usos ycostumbres imperantes en la sociedadactual. Antes bien, es preciso proporcio-nar soluciones realistas, adaptadas a lasociedad de hoy, en la que un simpleprograma de televisión tiene másinfluencia entre los jóvenes que muchoscientos de horas de adoctrinamientoescolar. Son otros los mecanismos quetienen las autoridades para influir en losvalores predominantes en nuestra socie-dad: mejora decidida de las condicioneslaborales de los padres y madres defamilia, en tanto que tales padres omadres, desarrollo de alternativas socia-les de ocio juvenil que potencien latolerancia, la convivencia y el esfuerzopersonal, etc.

Y, sobre todo, son precisos los diagnós-ticos finos, identificando el perfil de esealumno desmotivado o provocador,torpe o vago, y describir las condicionessocioeconómicas de su entorno… Novaya a ser que las matizaciones a laescolarización obligatoria, la limitaciónde la comprensividad, la exigencia deun mayor esfuerzo y de un mayor nivelacadémico recaiga, justamente, sobrelas capas más desfavorecidas de lapoblación. Si así fuera, parece que lasolución al problema sería, precisamen-te, la mejora de las condiciones escola-res de tales alumnos, mediante una polí-tica de refuerzo positivo, y no su segre-gación del sistema educativo, en unasociedad que debe ofrecer oportunida-des para todos.

El currículo dematemáticas en la ESO

Parece claro que la educación primariay secundaria obligatoria deberían pro-porcionar a todos los ciudadanos unaalfabetización numérica, simbólica ygeométrica que les permitiera manejarseen el mundo de hoy, cualquiera quefuese su profesión en el futuro. Pero,

…creo queno es posible

resolverlos problemas

urgentesde un sistema

educativobasándonos

en la hipótesisvoluntaristade que éstemodifique,por decreto,los valores,

usosy costumbresimperantes

en la sociedadactual.

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¿qué significa «alfabetización»? La adqui-sición de cierta destreza en las rutinasdel cálculo y en la resolución de pro-blemas estandarizados fue uno de lospilares de la enseñanza de las matemá-ticas en la escuela «moderna» surgida afinales del siglo XIX, pero este hechoestá unido a la Revolución Industrial,que requirió que grandes capas de lapoblación tuviesen unos conocimientosbásicos de aritmética y medida.

El planteamiento, hoy día, ha de ser, porfuerza, diferente. La economía actualtiene otros requerimientos matemáticosbásicos, relacionados con la capacidadde estimación, con el análisis y el trata-miento de la información, con la habili-dad para modelar situaciones abiertas ypara resolver problemas no tipificadosen un contexto real.

Teniendo en cuenta este marco, yo creoque sería conveniente abordar el análi-sis del currículo de la ESO, diferencian-do los tres primeros cursos del cuarto yúltimo (aún a sabiendas de la rupturade la estructura de ciclos que esto com-porta). En general, tenemos un currícu-lo de mínimos en los tres primeros cur-sos de la ESO con unos objetivos (queson comunes a los dos ciclos) y unoscriterios de evaluación (de primer cicloy de tercer curso) que me parecen razo-nables y que están en la línea de esaalfabetización numérica, simbólica ygeométrica a la que he hecho referen-cia. Así aparecen objetivos del siguien-te tenor:

Utilizar las formas de pensamiento lógicoen los distintos ámbitos de la actividadhumana.

Aplicar con soltura y adecuadamente lasherramientas matemáticas adquiridas asituaciones de la vida diaria.

Utilizar con soltura y sentido crítico los dis-tintos recursos tecnológicos (calculadoras,programas informáticos) de forma quesupongan una ayuda en el aprendizaje yen las aplicaciones instrumentales de lasMatemáticas.

Aplicar los conocimientos geométricos paracomprender y analizar el mundo físico quenos rodea.

Emplear los métodos y procedimientosestadísticos y probabilísticos para obtener

conclusiones a partir de datos recogidos en el mundo de la infor-mación.

Y criterios de evaluación del siguiente tipo:

Utilizar de forma adecuada los números enteros, las fracciones ylos decimales para recibir y producir información en actividadesrelacionadas con la vida cotidiana.

Utilizar las unidades angulares, temporales, monetarias y del sis-tema métrico decimal para estimar y efectuar medidas, directas oindirectas, en actividades relacionadas con la vida cotidiana o enla resolución de problemas y valorar convenientemente el gradode precisión.

Interpretar las dimensiones reales de figuras representadas enmapas o planos, haciendo un uso adecuado de las escalas,numéricas o gráficas.

Obtener información práctica de gráficas sencillas en un contex-to de resolución de problemas relacionados con fenómenos natu-rales y la vida cotidiana.

Identificar y utilizar los distintos tipos de números racionales pararecibir y producir información en situaciones reales de la vidacotidiana y elegir, al resolver un determinado problema, el tipode cálculo adecuado (mental, manual, con calculadora), dandosignificado a las operaciones, procedimientos y resultados obte-nidos, de acuerdo con el enunciado.

Aplicar traslaciones, giros y simetrías a figuras planas sencillasutilizando los instrumentos de dibujo habituales, reconocer el tipode movimiento que liga dos figuras iguales del plano que ocupanposiciones diferentes y determinar los elementos invariantes y loscentros y ejes de simetría en formas y configuraciones geométri-cas sencillas.

En mi opinión, estos y otros ítems del decreto de ense-ñanzas mínimas, hasta el tercer curso de la ESO, reflejan,esencialmente, lo que puede hoy entenderse como alfa-betización numérica (simbólica y geométrica). Falta, talvez, una referencia a la nueva matemática que precisa eluso generalizado de los ordenadores (es decir, a la mate-mática para el ordenador, en vez de la referencia al auxi-lio del ordenador y de la calculadora para las matemáticasclásicas). Pero el problema fundamental no son los objeti-vos ni los criterios de evaluación, sino la interpretación yorientación que se dé a los mismos, tanto a través de ladescripción de contenidos como mediante la metodología–y los medios– empleada para su enseñanza.

Por ejemplo, uno de los contenidos de Segundo Cursohabla de las «raíces cuadradas aproximadas». Este temase puede considerar como un recurso para la prácticade estrategias de estimación y redondeo, o se puedeconcebir de modo algorítmico (la regla para extraer raí-ces cuadradas). Las operaciones con fracciones admitenun tratamiento en el que se prime la adquisición de ladestreza en la operatoria y simplificación de las fraccio-nes (1/3+1/6=?), pero también pueden ser una ocasiónpara «producir información en actividades relacionadascon la vida diaria» (como se indica en los criterios deevaluación).

La economíaactual

tiene otrosrequerimientosmatemáticos

básicos,relacionados

con la capacidadde estimación,con el análisis

y el tratamientode la información,con la habilidad

para modelarsituaciones

abiertasy para resolver

problemasno tipificados

en un contextoreal.

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En estos dos ejemplos, una de las alternativas es más aca-démica y la otra es más alfabetizadora… Creo que el pro-blema fundamental de nuestra ESO, en matemáticas, esreconocer de facto (ya lo está de jure) el predominio de laalfabetización matemática en contextos, frente a la «disci-plina» matemática. Y también la confusión (generosamen-te extendida entre los distintos agentes del mundo educa-tivo) entre lo que se enseña y lo que se aprende. Tenemosunos programas razonables, pero ¿qué parte de los mis-mos es asimilada de modo fehaciente por los alumnos? Talvez sería necesario enseñar menos contenidos, paraaprender más. Porque,

• ¿Cuántos conciudadanos tienen, tras la enseñanzaobligatoria, instrumentos matemáticos personales paraestimar, aún groseramente, las cuotas mensuales deamortización de una hipoteca de 100.000 euros, a 15años y con un interés fijo del 5%?

• ¿Cuántos entienden que si los impuestos suponen unaretención del 15% del salario, para ganar 6000 euroslíquidos no basta con solicitar un salario bruto de6000 + 15% de 6000?

• Y, ¿cómo entenderán la calificación obtenida en unconcurso en el que hay dos ejercicios, valorados enuna escala 1-10, pero en el que uno de ellos pesa el40% y el otro el 60% en la nota final?

• ¿Cuántos pueden hacer un cálculo mental para decidirque se han equivocado un orden de magnitud alhacer la declaración de la renta? ¿O para anticipar cuálsería –aproximadamente- el resultado final de lamisma si incluyeran tal ingreso de rentas del trabajo,que se les había casualmente «olvidado» al realizar elprimer borrador de la declaración?

• ¿Qué número de aficionados al deporte rey se haríauna idea del número de viviendas que se puedenconstruir (100 metros cuadrados por vivienda, cuatropor planta, seis plantas, 15% del solar para jardín) siderriban el viejo estadio municipal?

• ¿Qué ecologista de pro pondría sobre la mesa, en unadiscusión con los amigos, el volumen de escombrosque acarrearía la construcción de tal túnel del nuevotrazado de un ferrocarril, o las dimensiones pertinen-tes que habría de tener el lugar que se considera idó-neo para ubicarlos?

• ¿Quién se hace una idea de si es fácil o difícil dedu-cir quién ganó una carrera, ante una gráfica (porejemplo, lineal) que muestre la velocidad a la que cir-culan los vehículos a lo largo de diversos puntos deun circuito?

Pero, sobre todo, ¿cuántos acudirán de modo «natural» alas matemáticas que aprendieron para abordar estos pro-blemas sin depender del empleado del banco, sin usar el

programa de ordenador que entregaHacienda…? Hace falta, en resumen,que el momento de la extensión de laenseñanza obligatoria sea el momento,también, de la Educación Matemáticapara todos.

El currículo dematemáticasen el Bachillerato

Si anteriormente asumía como razona-ble buena parte del currículo de los tresprimeros años de la ESO, me resultanmás discutibles los contenidos de algu-nos criterios de evaluación de cuartocurso, tales como

Simplificar expresiones numéricas irracio-nales sencillas (que contengan una o dosraíces cuadradas).

Determinar e interpretar el espacio muestraly los sucesos asociados a un experimentoaleatorio, simple o compuesto sencillo, y uti-lizar la Ley de Laplace, los diagramas enárbol, las tablas de contingencia u otrastécnicas combinatorias para calcular pro-babilidades simples o compuestas…

Creo que sus Señorías convendrán con-migo que no es fácil asumir que todoslos ciudadanos deberían superar crite-rios de evaluación de esta índole paraobtener el título terminal de su educa-ción obligatoria: me pregunto cuántaspersonas adultas de extraordinaria cul-tura (humanística y científica) estaríanen condiciones de saber de qué tratandichos ítems.

Sin embargo muchos profesores desecundaria nos dirían que, en la prácti-ca escolar, el problema señalado no estal, dado que estos y otros criterios soninterpretados de modo muy superficial,con un nivel de dificultad muy bajo.¿Merece entonces la pena introducirlos?O que se hace distinción entre unasMatemáticas A y unas Matemáticas B encuarto curso… También podrían decir-nos que, sencillamente, no se impartenlos contenidos correspondientes, porfalta de tiempo.

El problema del tiempo es universal entodas las materias; aumentar la carga hora-

…¿cuántosacudirán

de modo «natural»a las matemáticasque aprendieron

para abordarestos problemas

sin dependerdel empleado

del banco,sin usar

el programade ordenadorque entregaHacienda…?

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ria de aquellas de mayor dificultad y abs-tracción frente a las más asequibles y pró-ximas al alumno no hace sino disminuir,en el nivel obligatorio, las oportunidadesde los alumnos mas desfavorecidos.

Yo creo que no sería disparatado pen-sar en la traslación a Bachillerato debuena parte de los contenidos del últi-mo curso de la ESO, aligerando así loscontenidos de ésta y derivando los con-tenidos del último año de Bachillerato(según las modalidades del mismo) a laUniversidad (álgebra lineal; límites,derivación e integración; geometríaanalítica tridimensional; inferencia esta-dística); algo que, de todas formas, yase está asumiendo la Universidad demanera no reglada. Tal vez sería posi-ble desarrollar esa materia optativa quese reclama desde algunos sectorescomo un anticipo de lo que se va aimpartir de modo más sistemático en laUniversidad… O considerar un Bachi-llerato de tres años, a costa de reducirun año el carácter unitario de la ESO,pero formulando adecuadamente unavía de escolarización obligatoria paralos alumnos que no vayan a proseguirsus estudios.

Por otra parte tengo que señalar queestoy totalmente de acuerdo con lapropuesta de modificación, ya señala-da por otros colegas, para que elacceso a las carreras científicas y téc-nicas tenga, como requisito, el cursardurante los dos años de Bachilleratolas correspondientes materias dematemáticas.

El tan traído tema de la necesidad derevalidar, mediante un examen generaly obligatorio, de carácter externo yesencialmente único, los conocimientosde los Bachilleres me parece menosrelevante que la resolución de los pro-blemas acuciantes a los que todoshemos hecho referencia.

Conclusiones

Creo que podría sintetizar mi interven-ción en unas pocas conclusiones:

1) Debemos buscar soluciones:

• Relativizando el valor de nuestras propuestas y sindescalificar como incoherentes o sesgadas otras posi-bles alternativas. La búsqueda de la calidad es unasunto demasiado técnico y sutil para pensar queexistan medidas milagrosas.

• Evitando la confusión entre fines, deseos y modos deconseguirlos.

• Proponiendo medidas adecuadas para los alumnoscon problemas (y no sólo para los que no los tendráno los tendrán en menor medida).

• Incluyendo al sistema universitario en la considera-ción global del sistema educativo.

• Cuidando de que el esfuerzo en pos de una mayorcalidad del sistema educativo no perjudique, justa-mente, a las capas más desfavorecidas de la población.

• Mejorando las condiciones escolares de esos alumnos,mediante una política de refuerzo positivo, y nomediante el fácil recurso de su segregación del siste-ma educativo, en una sociedad que debe ofreceroportunidades para todos.

2) Debemos potenciar el carácter predominantemente alfa-betizador de la educación matemática en la ESO, tal comoaparece en el currículo de mínimos:

• Acomodando el estilo docente a ese carácter.

• Enfatizando lo que realmente pueden aprender yaprenden los alumnos frente a la ilusión de enseñar loque está reglamentado.

• Disminuyendo los contenidos matemáticos de la ESO(cuarto curso).

• Modificando, en consecuencia, los contenidos delBachillerato y remitiendo parte de los mismos al niveluniversitario.

• Analizando cuidadosamente las necesidades matemá-ticas básicas de la sociedad de la información e intro-duciendo, en su caso, las adaptaciones de contenidocorrespondientes (y no sólo, como ocurre ahora,usando las nuevas tecnologías como herramienta parala docencia de contenidos tradicionales).

3) A tal fin, se debe.

• Apoyar decisivamente una modificación substantivaen la formación inicial del profesorado, para que éstetenga los conocimientos y recursos necesarios para laspeculiaridades de su docencia.

• Establecer un incentivo real para la formación conti-nua del profesorado en ejercicio (carrera docente).

• Poner en marcha auténticos planes generales de for-mación continua.

Tomás RecioCatedrático de la Universidad

de Cantabria.Sociedad Matemática deProfesores de Cantabria.

Presidente de la Comisión deEducación de la RealSociedad Matemática

Española.

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Debemosbuscar soluciones:

Relativizandoel valor

de nuestraspropuestas

y sin descalificarcomo incoherentes

o sesgadasotras posiblesalternativas.

FEDERACIÓN ESPAÑOLA DE SOCIEDADES DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS

Comisión Ejecutiva

Presidente (en funciones): Serapio García Secretariados:Secretario General: José Luis Álvarez García Prensa: Antonio Pérez SanzVicepresidente: Serapio García Revista SUMA: Emilio Palacián/Julio SanchoTesorera: Claudia Lázaro Relaciones internacionales: Carmen Azcárate/Luis Balbuena

Actividades: Xavier Vilella MiróPublicaciones: Ricardo Luengo González

Sociedades federadas

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Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas«Isaac Newton»Presidenta: Dolores de la CobaApartado de Correos 329. 38201-LA LAGUNA (Tenerife)

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Sociedade Galega do Profesorado de EducaciónMatemática (AGAPEMA)Presidente: Manuel Díaz RegueiroApartado 4188. 15080-A CORUÑA

Societat d’Educació Matemàtica de la ComunitatValenciana «Al-Khwarizmi»Presidente: Luis Puig EspinosaDepartament de Didàctica de la Matemàtica.Apartado 22045. 46071-VALENCIA

A INTRODUCCIÓN de la geometría analítica por Descartesy Fermat proporcionó nuevas técnicas que permitían nosólo abordar muchos de los problemas geométricos noresueltos hasta ese momento, sino también plantear proble-mas geométricos más profundos. A principios del siglo XIX,después de más de 100 años de dominio de los métodosanalíticos, se empezó a replantear cuál debía ser el papel delos diversos métodos en la construcción de la geometría e,indirectamente, en la educación matemática. En esa época,varios matemáticos importantes (Poncelet, Chasles yMonge, entre otros), reivindicaron la importancia de losmétodos sintéticos de la geometría pura, que proporcionanpruebas simples e intuitivas, frente a los potentes métodosanalíticos, que no revelan el sentido de lo que se consigue.

Empezaremos recordando la discusión, que utilizandoargumentos extraídos de esa vieja controversia, fue reini-ciada por prestigiosos matemáticos (Choquet, Dieudonné,Artin, Godement, Freudenthal y Santaló, entre otros) en ladécada de los sesenta (Piaget y otros, 1978). Dicha discu-sión, aunque está actualmente bastante olvidada, ha teni-do una influencia directa en la comunidad escolar y serefiere al tipo de geometría que debía formar parte de laEnseñanza Secundaria. Aunque en estos momentos se haalcanzado un cierto consenso –al menos aparentemente–confinando la geometría sintética en la enseñanza obliga-toria y la geometría analítica en la post-obligatoria, es pre-visible que la citada controversia vuelva a aparecer, pues-to que no ha sido cerrada con argumentos sólidos y, loque es más evidente, no se ha dado ninguna respuesta a

En este trabajo pretendemosmostrar que la presunta

alternativa entre geometríasintética y geometría

analítica es, en realidad, unafalsa alternativa fruto de un

análisis epistemológicosuperficial. Proponemos una

forma de conectar, en laenseñanza de la geometríaen Secundaria, las técnicas

sintéticas con las analíticas afin de poner de manifiesto su

complementariedad.

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Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato. ¿Dos mundos completamenteseparados?*

Josep Gascón

ARTÍCULOS

L

39

febrero 2002, pp. 13-25

* Algunas de las ideas que figuran en este trabajo fueron presentadas por pri-mera vez en el marco del Seminario de Didáctica de las Matemáticas y, másen concreto, en la asignatura Reformulació de problemes clàssics dins elmarc de l’enfoc antropològic, incluida en el Programa de Doctorado deMatemáticas de la Universitat Autònoma de Barcelona, correspondiente alcurso académico 1997/1998.

la flagrante discontinuidad entre la geometría sintética dela ESO y la geometría analítica del Bachillerato.

Uno de los aspectos centrales de la controversia, tal comose planteaba en los años sesenta, hacía referencia al tipode geometría que debería estar presente en la formaciónmatemática básica de todo ciudadano. Simplificando abu-sivamente la cuestión, podría decirse que la discusión sepolarizó entre los partidarios de una geometría sintética,propia del modelo «euclidiano», basada en una axiomáticamás o menos explícita, y los partidarios de una geometríaanalítica, propia del modelo «cartesiano», cuya práctica sesustenta en las técnicas del álgebra lineal y cuya axiomá-tica suele quedar más implícita.

Se trata de una controversia «curricular» que se sitúa habi-tualmente en el ámbito del eslogan y que sólo raramentehace intervenir argumentos didáctico-matemáticos. Elobjetivo principal de este trabajo consiste precisamente enplantear el problema didáctico-matemático subyacente aesta controversia. Pretendemos poner de manifiesto, par-tiendo de este caso particular, que únicamente la reformu-lación didáctica de un problema docente proporciona lainformación y los medios necesarios para que la sociedadpueda decidir democráticamente sobre la estructura y loscontenidos del currículo obligatorio de matemáticas1.

La cuestión es análoga a la que se presenta con otros pro-blemas docentes que, como el que trataremos aquí, suelenplantearse como controversias curriculares, pero raramen-te han sido abordadas por la didáctica de las matemáticas.Curiosamente suelen presentarse como cuestiones zanja-das o resueltas mediante principios pedagógicos2 presunta-mente incuestionables y cuya mayor o menor pertinenciano queremos prejuzgar a priori. Entre dichos principios (oideas dominantes) podemos citar los siguientes3:

• La enseñanza de las matemáticas debe centrarse en(o girar en torno a) la actividad de resolución deproblemas.

• El juego es un medio natural y eficaz para enseñar yaprender matemáticas.

• La motivación de los alumnos y su actitud hacia lasmatemáticas es uno de los principales factores paraexplicar el éxito o el fracaso del aprendizaje.

• Debe aumentarse la relación entre las matemáticasescolares y la vida cotidiana como uno de los mediospara motivar a los alumnos y mejorar su actitud hacialas matemáticas.

• La interdisciplinariedad es preferible a la enseñanzade las matemáticas aisladas.

• Las herramientas informáticas son eficaces paraenseñar matemáticas porque potencian la visualiza-ción y ahorran los cálculos pesados y rutinarios alestudiante.

• La educación matemática debe sercada vez más individualizada ypersonalizada (idea dominanteligada a la exigencia de atención ala diversidad).

• Es preferible innovar que seguircon la enseñanza tradicional de lasmatemáticas.

Queremos subrayar la necesidad de lle-var a cabo investigaciones didáctico-matemáticas sistemáticas para dilucidarel alcance de cada uno de los citadosprincipios. Pero, sobre todo, queremosllamar la atención sobre la obligaciónineludible de clarificar la problemáticamatemática subyacente en cada uno deesos problemas docentes presuntamen-te zanjados. De no hacerlo así corremosel riesgo de contribuir a trivializar laproblemática de la enseñanza de lasmatemáticas y, por tanto, de seguir pos-poniendo indefinidamente el problema.

En este trabajo mostraremos que la pre-sunta controversia entre geometría sinté-tica y geometría analítica (que no hasido resuelta todavía como lo demuestrael que aparezcan absolutamente separa-das en la Enseñanza Secundaria4) es, enúltima instancia, una falsa controversiafruto de un análisis epistemológicosuperficial. Postulamos que, análoga-mente, cada uno de los principios (oideas dominantes) citados pretende zan-jar un problema docente que, si bienresponde a una verdadera y legítimainquietud de los profesores, es fruto deun planteamiento equívoco.

Planteamientode la discusión:¿geometría sintéticao geometría analítica?

Artin (1963) plantea muy claramente lacontroversia inicial hablando de un «con-junto convexo» de opiniones determina-do por tres opiniones extremas. Se trata,en realidad, de una especie de «triángulode opiniones» dentro del cual puedensituarse la mayor parte de los puntos devista de la «noosfera» (Chevallard, 1985):

1 Para un análisis de las relacio-nes entre los problemas docen-tes genéricos, los problemasdocentes específicos y los pro-blemas didácticos, ver Gascón(1999b).

2 Denominamos «pedagógicos»a aquellos principios que pue-den formularse independiente-mente de la disciplina de estu-dio concreta de la que se trate.En los que siguen, la disciplina«matemáticas» es intercambia-ble por otra cualquiera sin queel contenido del eslogan cam-bie sustancialmente.

3 La lista de «principios incuestio-nables» o «ideas dominantes»en la cultura escolar que citamosaquí no es, ni podría ser,exhaustiva. Creemos, sin embar-go, que en conjunto representabastante bien la ideología domi-nante respecto a la enseñanza yel aprendizaje de las matemáti-cas. Dicha ideología estáenvuelta por la etiqueta del«constructivismo» que sueleinterpretarse como una amalga-ma de elementos extraídos delas teorías de Piaget, Vigotski,Ausubel y el procesamiento dela información, sin tener encuenta que dichas teorías partende presupuestos distintos y, ade-más, pretenden explicar cosasdiferentes (Delval, 1997).

4 No parece casual que estaseparación contribuya a refor-zar el carácter «prealgebraico»de las organizaciones matemá-ticas que se estudian en laE.S.O. (Gascón, 1999a).

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Choquet (1964) considera que las axio-máticas de Euclides-Hilbert ocultan laestructura vectorial del espacio porquese basan en las nociones de longitud,ángulo y triángulo. En estas axiomáticasse veía el triángulo, pero se estaba ciegopara el paralelogramo que hubiese lle-vado a la noción de vector.

Por cuestiones estrictamente «matemáti-cas», Choquet es partidario de enseñar lageometría elemental partiendo del álge-bra lineal. En esto coincide esencial-mente con el punto de vista de Artin ycon el de Godement (1963).

Por su parte Dieudonné (1964) tambiéncoincide con Choquet en lo que respec-ta al avance y simplificación que repre-senta el álgebra lineal si se compara conlos axiomas de Euclides-Hilbert. Dieu-donné llega a equiparar el avance deGrassmann y Cayley respecto a la geo-metría clásica con el que representa elCálculo Infinitesimal respecto a los com-plicados y limitados métodos de Eudo-xio y Arquímedes. En este puntoDieudonné se pregunta con cierta iro-nía: ¿Por qué nadie ha reivindicado elvalor «formativo» y «motivador» así comola «belleza» de los métodos de Arquí-medes? ¿Cuáles son las causas de quehayan sido aceptados universalmente–también en la enseñanza secundaria–los métodos del cálculo diferencialmoderno?

Como argumentos para respaldar suopinión extrema a favor de la enseñan-za del álgebra lineal, Dieudonné expo-ne: la continuidad de la enseñanza,esto es, la ventaja de enseñar un tipo degeometría que no precisará de ningúnrompimiento para pasar posteriormente

a la matemática superior;5 el aprendizaje precoz de losmétodos «modernos» que, de por sí, no son más difícilesque los tradicionales; y la unificación de las disciplinasenseñadas (trigonometría, geometría proyectiva, geometríano euclídea, números complejos, geometría pura…), enlugar de tratarlas independientemente, como si se tratasede universos no relacionados entre sí. Dieudonné criticaque la «geometría euclídea tradicional» ponga en un mismosaco las propiedades afines y las propiedades métricassiendo como es tan fácil de distinguir entre unas y las otrasdesde el punto de vista del álgebra lineal. Es interesanteobservar que aunque Dieudonné en su libro ÁlgebraLineal y Geometría Elemental se restringe a los espacios dedimensión 2 y 3 y al cuerpo R de escalares (para respetarla línea de demarcación trazada por la «intuición» que nosha dado la naturaleza), no introduce en el texto ningunafigura con la intención inequívoca de mostrar que no sonnecesarias. De hecho, propone explícitamente liberar alalumno de la «camisa de fuerza de las figuras» así como delmayor fastidio de la enseñanza clásica: la limitación de losinstrumentos de dibujo a la regla y el compás.

Hans Freudenthal (1967) en su crítica a Dieudonné subra-ya que éste utiliza el modelo epistemológico «euclidiano»en el desarrollo del texto Álgebra Lineal y GeometríaElemental, especialmente paradójico máxime cuando elautor (Dieudonné) es el mismo que lanzó el célebre «¡AbajoEuclides!». Aunque Freudenthal no lo acaba de expresarcon demasiada claridad, parece que lo que critica delpunto de vista de Dieudonné es el hecho de que ésteesconda los problemas que hay detrás de las conjeturas, lasrazones de la elección de unos axiomas en lugar de otrosy, en definitiva, la ocultación de la problemática que da ori-gen a la geometría como organización matemática.

Entre los matemáticos españoles que participaron, aun-que algo tardíamente, en la controversia y que han sidocríticos con el punto de vista de Dieudonné (dominantedurante la revolución de la llamada «matemática moder-na») citaremos al catalán Luis Antonio Santaló6. Este autorcree que, por lo que respecta a la enseñanza de la geo-metría, se ha caído repetidamente en el error de pensarque los fundamentos de una ciencia, por el hecho departir de cero, son la parte más fácil y simple de la mismay que, por tanto, deben ser el punto de partida para suestudio. Este error hizo que se intentaran utilizar losElementos de Euclides (obra dirigida a especialistas queeran los únicos que podían entender la genialidad de susistema axiomático) como texto para aprender geometría.Este mismo error se repitió veintitrés siglos más tarde conlos Fundamentos de Hilbert. También, en este caso, sequiso adaptar la obra a la enseñanza secundaria y apare-cieron textos con «postulados a lo Hilbert» formando mes-colanzas pesadas e indigestas sin utilidad y sin rigor. Elresultado fue, según Santaló, una geometría en cuya

5 Este argumento de Dieudonnépresupone que entre la geome-tría sintética y la geometríaanalítica debe haber forzosa-mente un «rompimiento». Eneste trabajo pretendemos mos-trar precisamente lo contrario,esto es, que la separación odiscontinuidad que se da, dehecho, entre la geometría sinté-tica y la geometría analítica (yque es especialmente visible enel currículo actual de laEnseñanza Secundaria entre lageometría de la ESO y la delBachillerato) no obedece arazones intrínsecas –ni episte-mológicas ni didácticas– sino acausas circunstanciales quepueden ser modificadas.

6 Resumiremos aquí el punto devista de Santaló expresado enun artículo que publicó en ladesaparecida Revista deBachillerato (Santaló,1980).

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Álgebra Lineal

Hilbert

Euclides

Figura 1

Dieudonné(1964)

también coincidecon Choquet

en lo que respectaal avance

y simplificaciónque representa

el álgebra linealsi se compara

con los axiomasde

Euclides-Hilbert.

pseudofundamentación se perdía el tiempo y se confun-día a los alumnos7.

Según Santaló el mismo fenómeno se repitió con la eclo-sión alrededor de 1960 de la matemática moderna. Seintentó (por parte de Dieudonné, entre otros) el objetivoimposible de una construcción impecable y rigurosa de lageometría sin salirse del nivel elemental y sin rebasar lacapacidad de aprendizaje de los alumnos y –siempresegún Santaló– como esto resultaba imposible se optó porsuprimir la geometría o trasladarla al álgebra lineal, con laconsiguiente pérdida total de sus características de bellezay armonía que la habían adornado desde la antigüedad.

En particular, Santaló critica el tour de force que realizantanto Choquet como Dieudonné en sus respectivas intro-ducciones a la geometría elemental. Cita explícitamente aDieudonné que se congratula de poder introducir toda lageometría euclidiana del plano independientemente detoda medida de ángulos con números reales. Para Santalólas dificultades de la enseñanza de la geometría en Secun-daria, que motivaron la supresión casi total de la misma(en 1980), provenían precisamente del prurito de que laenseñanza tuviera una estructura lineal y estuviera riguro-samente fundamentada. Superada esta pseudo-necesidad,la geometría en el sentido clásico tiene mucho que ofrecercomo gimnasia razonadora y como depósito de ejemplosque ayuden a comprender el mundo, la matemática y lasciencias naturales.

El cuestionamiento epistemológicode la «geometría»

Hasta aquí no hemos salido del planteamiento inicial de lacontroversia, esto es, nos hemos mantenido dentro deltriángulo de opiniones citado por Artin. Éste podría sercaracterizado globalmente diciendo que está formado poropiniones que no cuestionan, en absoluto, el modelo epis-temológico ingenuo (Brousseau, 1987) de las matemáticasen general y de la geometría en particular.

En efecto, en las diversas posturas descritas por Artin(1963) aparecen argumentos matemáticos «técnicos» relati-vos a la potencia, simplicidad y unificación de las técnicasmatemáticas, aderezados con algunos principios del «sen-tido común» y con ideas preconcebidas respecto a la«belleza» y «utilidad» de la geometría así como a su pre-sunta «capacidad formadora para el razonamiento». Pero latotalidad de las opiniones que pueden incluirse en eltriángulo de opiniones de Artin, coinciden en un puntoesencial; en todas ellas la naturaleza de la geometría se dapor sentada, es transparente y, por tanto, no se cuestiona.

André Revuz (1971) introduce en la controversia elementosque no pueden ser reducidos de ninguna manera al citado

triángulo de opiniones. Siguiendo con lametáfora del «conjunto convexo de opi-niones» habría que decir que la posturade Revuz debe situarse no sólo fuera deltriángulo de Artin, sino incluso fuera delplano que contiene dicho triángulopuesto que, como veremos, introduceuna nueva dimensión en la controversia,la dimensión epistemológica.

La primera pregunta que se planteaRevuz tiene ya un carácter claramenteepistemológico: «¿existe, hoy día, la geo-metría como una parte relativamenteindependiente de las matemáticas?»Veremos que su respuesta a esta prime-ra pregunta es negativa. Curiosamente asu segunda pregunta: «¿debe enseñarsegeometría en las escuelas?», respondecon un rotundo «sí, sin la menor duda».

A fin de explicar esta aparente contra-dicción André Revuz siente la necesidadde explicitar su punto de vista respectoa lo que él denomina «contexto en elque nacen y se desenvuelven las mate-máticas» y a la forma cómo puede apli-carse dicho punto de vista al caso de lageometría. Desde el marco de la didác-tica de las matemáticas podría decirse(aunque Revuz no lo exprese en estostérminos) que el autor siente la necesi-dad de explicitar su modelo epistemoló-gico general del conocimiento matemá-tico a fin de poder utilizar un modeloespecífico de la geometría que le per-mita construir las nociones de «geome-tría» y «enseñar geometría», entre otras8.

El modelo epistemológico de las mate-máticas que Revuz propone consta detres componentes básicos: situaciones,modelos y teorías.

(A) Llama situación a una parte de larealidad (se refiere a la realidad física)que queremos considerar en sí misma,relativamente independiente del restodel universo.

(B) Un modelo matemático de una situa-

ción es una esquematización de ésta pormedio de sus características «esenciales»las cuales deben ser descritas en térmi-nos matemáticos a fin de poder trabajardentro del modelo. Las cualidades quedebe poseer un modelo son:

7 En este punto Javier de Lorenzopone el dedo en la llaga alseñalar que, en realidad, «...no es a Euclides a quien sequiere volver, sino a unaGeometría mezcla de un atisbode deductivismo y constructivis-mo concretos con regla y com-pás y con pretendidas ventajasde visiones espaciales» (deLorenzo, 1980: 34).

8 Desde el ámbito de la didácti-ca de las matemáticas podríadecirse que Revuz tiene lanecesidad de tratar la proble-mática de la enseñanza de lageometría tomando el cuestio-namiento epistemológico (de lageometría) como puerta deentrada a dicha problemática.Este será, en cierta forma, elpunto de partida de un nuevoPrograma de Investigación endidáctica de las matemáticas:El Programa Epistemológico(Gascón, 1998, 1999b).

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La primerapregunta

que se planteaRevuz

tiene yaun carácterclaramente

epistemológico:«¿existe,hoy día,

la geometríacomo una parterelativamente

independiente delas matemáticas?»

(i) Facilidad de utilización como talmodelo. Por ejemplo, los espaciosvectoriales son más fáciles de utili-zar como modelos de una situa-ción que las teorías euclídea y hil-bertiana.

(ii) Multivalencia: el modelo debepoder dar cuenta (modelizar mate-máticamente) de muchas situacio-nes distintas. Por ejemplo, los espa-cios vectoriales constituyen unmodelo multivalente.

(iii) Adecuación del modelo a la situa-ción que pretende modelizar. Setrata de un carácter no matemático.

(C) Revuz llama teoría a un modelomatemático cuando se le consideraindependientemente de las posiblessituaciones modelizadas por él. Esto es,cuando se toma en cuenta únicamentela estructura misma del modelo.

Utilizando esta representación de losobjetos que aparecen en la actividadmatemática, nuestro autor deduce unaconsecuencia muy importante para laenseñanza de las matemáticas: segúnRevuz es fundamental que en la ense-ñanza de las matemáticas se pase tantode situaciones a modelos y de modelos ateorías como, en la dirección contraria,de teorías a modelos y de modelos asituaciones (figura 2) y alerta de los dos

• Peligro 2: confundir situaciones y modelos. Este peligroincapacita para alcanzar el nivel de las teorías, puestoque no permite liberarse de la situación modelizada.

¿Cómo aplicar este bosquejo de modelo epistemológicogeneral de las matemáticas, propuesto por Revuz, al casode la geometría? ¿Cuáles son las situaciones, los modelos ylas teorías en geometría? Lo más difícil para Revuz es iden-tificar las situaciones geométricas debido, en nuestra opi-nión, a su noción tan restringida y absoluta de situación.Implícitamente identifica situación geométrica con situa-ción relativa al espacio real. Por otra parte, es fácil ver queexisten teorías matemáticas (álgebra Lineal, Espacios deHilbert, Topología, Teoría de la Medida, Teoría deRetículos, Geometría Diferencial, etc.) a las que se lespuede considerar, pero sólo muy parcialmente, como teo-rías geométricas: con la misma razón cabría llamarlas «arit-méticas», «algebraicas», «analíticas», «topológicas», etc.

Por lo que se refiere a los modelos, identifica los modelosgeométricos con los que se utilizan en las diversas geome-trías elementales (afín, euclidiana, proyectiva, topología…)en un sentido amplio.

Del anterior intento de caracterización de las situaciones,los modelos y las teorías «geométricas», Revuz deduce tresconsecuencias importantes:

(I) El adjetivo «geométrico», en la matemática actual, nopuede ser aplicado estrictamente para caracterizar teo-rías; sólo puede aplicarse propiamente a situaciones ya modelos. Así, según Revuz, podemos hablar de situa-ciones geométricas y de modelos geométricos pero notiene sentido hoy día hablar de teorías geométricas.

(II) En consecuencia no podemos considerar la geometríacomo una parte independiente de las matemáticas ni,por tanto, plantearnos la enseñanza de la geometríade esa forma.

(III) El problema fundamental de la enseñanza de la geo-metría lo plantea Revuz de la siguiente forma: «¿cuál esla forma de pasar, en la enseñanza de la geometría, desituaciones geométricas a modelos geométricos quepermitan posteriormente conectar con ciertas teorías?».

Revuz responde con algunas recetas que, en su opinión,ayudarían a mejorar la enseñanza de la geometría en estesentido:

• Receta 1: la geometría no debe enseñarse separada-mente de los demás aspectos de las matemáticas (arit-mética, álgebra, combinatoria, probabilidad...).

• Receta 2: En la modelización (geométrica) de las situa-ciones geométricas (esto es, las relativas al «espacioreal») deben utilizarse todo tipo de modelos «geomé-tricos» (topológicos, métricos, afines, proyectivos...).

• Receta 3: La enseñanza de la geometría debe comen-zar en el jardín de infancia.

La geometríano debe enseñarse

separadamentede los demásaspectos de

las matemáticas(aritmética,

álgebra,combinatoria,

probabilidad...).

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Situaciones Modelos Teorías

Figura 2

peligros siguientes que, según él, sonmuy comunes en la enseñanza de lasmatemáticas:

• Peligro 1: aislar totalmente la situa-ción del modelo, lo que comporta obien quedarse del lado del modelodescontextualizado (lo que sueleacabar enseñando puramente teo-rías); o bien quedarse del lado dela situación, estudiándola directa-mente sin utilizar ningún modelomatemático, lo que comporta reali-zar una actividad no matemática.

La enseñanzade la geometría

debecomenzar

en el jardínde infancia.

• Receta 4: Es imposible e indeseable una enseñanza dela geometría totalmente deductiva (antes de los 15-16años).

• Receta 5: Tanto en la «creación matemática» como enel aprendizaje de las matemáticas son muy importan-tes las «imágenes geométricas». Éstas no provienenúnicamente del espacio real ni tampoco del espaciomatemático de la geometría euclídea.

Generalización y flexibilizaciónde la noción de «modelizaciónmatemática»

El punto de vista de Revuz podría sintetizarse diciendoque la geometría que debe enseñarse en las escuelas con-siste en la modelización «geométrica» (esto es, topológica,proyectiva, afín o euclídeana) de situaciones relativas alespacio «real».

Se trata de una posición interesante que no deja de pre-sentar fuertes dificultades y limitaciones debidas a la rigi-dez y, en cierta forma, al carácter relativamente «simplista»de su modelo epistemológico general. Estas limitacionesse ponen de manifiesto en la noción excesivamente estre-cha de modelización geométrica que se desprende de suforma de interpretar y describir el conocimiento matemá-tico en general.

Si utilizamos la noción más amplia de modelización mate-mática tal como aparece en Chevallard (1989), entonces seráposible flexibilizar y enriquecer la noción de modelizacióngeométrica. Para ello debemos empezar generalizando lastres nociones principales que usa Revuz en su modelo:

(A’) Sistema modelizable matemáticamente: cualquierámbito de la realidad, sin ningún tipo de restricciones,siempre que pueda ser aislado del resto –aunque sea hipo-téticamente–, será considerado como un sistema poten-cialmente modelizable matemáticamente. En esta nociónde «sistema» se incluyen muy especialmente los sistemasmatemáticos (como, por ejemplo, los números primos, lospoliedros, las cónicas, las funciones holomorfas, las varie-dades algebraicas o un cierto tipo de algoritmos, entreotros muchos), por lo que hemos ampliado significativa-mente el dominio de la noción de «situación» de Revuz quesólo era aplicable a ámbitos extramatemáticos.

(B’) Modelo matemático: en lugar de interpretar, comohace Revuz, un modelo matemático como una esquemati-zación más o menos representacionista (de un sistema)obtenida mediante la selección de sus características esen-ciales, diremos simplemente que un modelo matemático9

es el resultado de un proceso de modelización matemáti-ca de un sistema matemático o extramatemático que cons-ta esencialmente de cuatro etapas:

• 1.ª etapa: elección de ciertos aspectosdel sistema (sin presuponer que setrate de las características esenciales)que se operativizan mediante varia-bles x, y, z, a, b, c,... Se trata de unaelección relativamente arbitraria ynecesariamente sesgada (no exhaus-tiva) que está guiada por lo que elinvestigador considera como aspec-tos «relevantes» respecto al estudioque se quiere hacer del sistema y altipo de fenómenos que se quierendescribir. Las variables citadas pue-den tomar valores en un conjunto deobjetos matemáticos cualesquiera(no es necesario que estos valoressean numéricos). En esta etapa pue-den empezar a formularse, con pocaprecisión, preguntas y cuestionesrelativas al sistema.

• 2.ª etapa: establecimiento de uncierto número de relaciones mate-máticas entre dichas variables. Esteconjunto de relaciones suele consi-derarse el modelo matemático pro-piamente dicho. El disponer dellenguaje y de las técnicas propiasdel modelo matemático, permitiráformular con más precisión los pro-blemas enunciados provisionalmen-te en el estadio anterior.

• 3.ª etapa: esta etapa incluye, ade-más del trabajo técnico dentro delmodelo, la interpretación de estetrabajo y de sus resultados dentrodel sistema modelizado. El citadotrabajo técnico dentro del modelotiene por objetivo obtener conoci-mientos relativos al sistema modeli-zado. En esta etapa se decide si elmodelo es interesante, fecundo, ypertinente, en la medida que per-mite generar conocimientos relati-vos al sistema que no eran fácil-mente obtenibles sin la utilizacióndel modelo.

• 4.ª etapa: en esta última etapa de laactividad de modelización matemá-tica se pueden enunciar problemasnuevos cuya naturaleza puede sercompletamente imprevisible desdela lógica del sistema de partida.Esto significa que los problemas

9 La metáfora adecuada para losmodelos matemáticos es la de«máquina» o «instrumento» útilpara producir conocimientosrelativos al sistema modeliza-do. La pertinencia de un mode-lo matemático se mide entoncespor su mayor o menos capaci-dad para aumentar los conoci-mientos sobre el sistema ynunca por su capacidad de«representar» a dicho sistemade una manera más o menos«fidedigna» o «fotográfica».

18

Tantoen la «creación

matemática»como en

el aprendizaje delas matemáticas

sonmuy importantes

las «imágenesgeométricas».

Éstasno provienenúnicamente

del espacio realni tampocodel espaciomatemático

de la geometríaeuclídea.

Estado inicial Estado final

que se estudian en la tercera etapapueden desarrollarse hasta llegar aindependizarse completamente delsistema inicial y generar nuevostipos de problemas.

(C’) Teoría matemática: en lo que serefiere a las teorías, seguiremos tambiénla nomenclatura de Chevallard (1989)que denomina teoría o modelo regionalsimplemente a un modelo cuyo alcancees tal que engloba ciertos modelos loca-les. Esto significa que las nociones de

modelo (local) / teoría( = modelo regional)

son relativas. Además, se asigna a lamodelización matemática un carácterreversible (el sistema matemáticopuede, a su vez, ser considerado comomodelo de su modelo) por lo que lasnociones: sistema / modelo y sus res-pectivas funciones dentro del procesode modelización matemática, tambiénson relativas. En total tenemos que pue-dan considerarse series recurrentes y, enparte, reversibles del tipo:

sistema / modelo / teoría

Actividad «geométrica»como modelización«geométrica»

Si identificamos la actividad matemáticacon la actividad de modelización, enton-ces nos veremos abocados a identificar«aprender matemáticas» con el proceso deconstrucción de conocimientos matemáti-cos, relativos a un sistema matemático oextramatemático, que se lleva a cabomediante la utilización de un modelomatemático de dicho sistema. Este es elpunto de vista sustentado por el «modeli-zacionismo» que, como modelo docente,supera las limitaciones más burdas de losmodelos docentes clásicos (teoricismo ytecnicismo) y del modernismo, aunquesigue presentando insuficiencias relativasa las funciones del desarrollo de las téc-nicas matemáticas y que citaremos másadelante (Gascón, 1994 y 2001).

Desde el punto de vista del modeliza-cionismo resultará que «aprender geo-

metría» deberá relacionarse con la modelización geométri-ca, esto es, con un tipo de modelización matemática en elque o bien el sistema o bien el modelo (o ambos) puedanconsiderarse «geométricos». Tenemos, por tanto, dos for-mas alternativas (y no excesivamente precisas10) de inter-pretar la modelización geométrica:

Proceso de construcción de conocimientos matemáticosllevado a cabo mediante la utilización de un modelo«geométrico»

10 La ambigüedad proviene de lafalta de precisión –en términosde un modelo epistemológicode las matemáticas– del adjeti-vo «geométrico» (y del sustanti-vo «geometría»). Esta ambigüe-dad no es específica de la geo-metría sino que es compartidapor todas las demás disciplinasen que tradicionalmente se hadividido la «matemática» («arit-mética», «álgebra», «cálculo»,etc.). En otro lugar hemoscaracterizado las «modeliza-ciones algebraicas» así comolos indicadores del «grado dealgebrización» de una organi-zación matemática cualquiera(Bolea, Bosch y Gascón,1998a, 1998b y 2001), peroeste trabajo no ha sido realiza-do todavía en el caso de la«geometría».

19

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos dos recipientes iguales con lamisma cantidad de líquido. Los líquidos son diferentes peroperfectamente miscibles. Se extrae una pequeña cantidad delíquido del primer recipiente y se vierte en el segundo; a con-tinuación se mezclan bien los líquidos del segundo recipientey se extrae de éste la misma pequeña cantidad de líquido paraverterla en el primer recipiente en el que también se mezclaperfectamente. Al final del proceso, ¿en cuál de los dos reci-pientes es mayor la concentración de líquido «extraño»?

Primerrecipiente

Segundorecipiente

Figura 3

En este caso es posible utilizar un modelo, consideradogenuinamente «geométrico», que permite responder a lascuestiones planteadas. Se trata de un modelo elaboradocon rectángulos que representan como va evolucionandola cantidad de líquido de cada recipiente a medida que sevan haciendo los trasvases de líquido. El color gris clarorepresenta el líquido que contiene inicialmente el primerrecipiente y el gris oscuro el líquido contenido inicial-mente en el segundo recipiente (figura 3).

Si identificamosla actividadmatemática

con la actividadde modelización,

entoncesnos veremos

abocadosa identificar

«aprendermatemáticas» con el proceso

de construcciónde conocimientosmatemáticos…

El trabajo dentro de este modelo requiere únicamente uti-lizar la aditividad del área para mostrar que, en el estadofinal, los dos recipientes tienen la misma concentración delíquido «extraño» y que, por tanto, el resultado final esindependiente de cuál sea el recipiente del que extraemoslíquido la primera vez.

Proceso de construcción de conocimientos matemáticosllevado a cabo mediante la modelización matemáticade un sistema geométrico

Eliminando la incógnita auxiliar x (querepresenta la distancia del centro de lacircunferencia al lado «desigual» deltriángulo) se obtiene el modelo alge-braico:

4s4 – 4s2d2 + d2b2 = 0

que permite expresar cada una de lasvariables como función de las otras dos:

11 Llamamos modelizacionismo almodelo docente que interpreta«aprender matemáticas» comoun proceso de construcción deconocimientos matemáticos rela-tivos a un sistema matemático oextramatemático que se lleva acabo mediante la utilización deun modelo matemático de dichosistema (Gascón, 2001).

12 La TAD se sitúa dentro del quedenominamos Programa Episte-mológico de Investigación endidáctica de las matemáticas(Gascón, 1998). Una introduc-ción a dicha teoría se encuentraen Chevallard, Bosch y Gascón(1997). La primera propuestasistemática se encuentra enChevallard (1992) y los últimosdesarrollos pueden verse enChevallard (1997 y 1999).

13 En el momento exploratorio,que consideramos como unade las dimensiones de la activi-dad matemática, juega unpapel importante lo que Polyallamó razonamiento plausible oconjetural, que se manifiesta enla formulación de hipótesis,conjeturas y contraejemplos, enla contrastación de su validez,en la reformulación de éstas,en el ensayo de técnicas, en lamodificación de definicionesya establecidas y, en definitiva,en el trabajo con lo «probableo verosímil» (Polya, 1954).

20

Ejemplo 2

Partimos de la situación problemática constituida por una fami-lia de triángulos isósceles inscritos en una circunferencia dediámetro d. Designamos por s la longitud de cada uno de loslados iguales y por b el (potencialmente) desigual. Inicialmentepueden plantearse, entre otras, las siguientes cuestiones(Polya, 1962-65):

(a) ¿Qué relación hay entre b y s?

(b) ¿Cómo debe ser b para que el triángulo isósceles sea rec-tángulo?

(c) ¿En qué casos el triángulo es equilátero?

(d) Fijada una de las variables, ¿Cuáles son los límites devariación de las dos restantes?

En este caso el sistema (familia de triángulos isósceles ins-critos en una circunferencia) es considerado genuinamen-te «geométrico» por la comunidad escolar (figura 4).Podemos utilizar un modelo «algebraico» para responder alas cuestiones planteadas.

Figura 4

ss

b/2

d/2

b/2

x

xd b

s+ÊËÁ

ˆ¯̃

+ ÊËÁ

ˆ¯̃

=2 2

2 22

xb d2

2 2

2 2+ Ê

ËÁˆ¯̃

= ÊËÁ

ˆ¯̃

b ss

d

2 22

24

4= -

ds

s b

24

2 2

4

4=

-

s d d d b2 2 2 21

2= ± -Ê

Ëˆ¯

El estudio elemental de estas funcionespermite contestar todas las preguntasplanteadas en el problema así comoplantear y resolver nuevas cuestionescomo, por ejemplo: ¿Cuánto mide ellado b si s = d/2 = radio de la circunfe-rencia? Utilizando cualquiera de las tresfunciones, se obtiene el resultado:

sd

bd= fi =

2 23

Las técnicas «analíticas»como desarrollode las técnicas «sintéticas»

El modelizacionismo11 presenta todavíaimportantes limitaciones relacionadascon el olvido del momento del trabajo dela técnica y, en consecuencia, con elolvido del papel del desarrollo de lastécnicas matemáticas en el proceso deestudio (Bosch y Gascón, 1994). En losúltimos desarrollos de la TeoríaAntropológica de lo Didáctico (TAD)12

se está haciendo un esfuerzo por com-pletar el modelizacionismo (que relacio-na dos dimensiones o momentos de laactividad matemática: el momento tec-nológico teórico y el momento explora-torio13) con las principales aportaciones

El modelo algebraico viene dado por dos relaciones fun-damentales que se obtienen, ambas, aplicando el teoremade Pitágoras:

del procedimentalismo (que relaciona elmomento exploratorio y el momento deltrabajo de la técnica) para integrar demanera funcional las tres dimensionescitadas de la actividad matemática.

Este punto es crucial en el caso que nosocupa dado que la tesis principal quedefenderemos aquí que denominaremos«tesis de la continuidad entre las geo-metrías sintética y analítica», requiere,por una parte, interpretar la actividadmatemática como una actividad demodelización y, por otra, tomar en con-sideración el papel del desarrollo de lastécnicas matemáticas en el proceso deestudio. La citada tesis puede formular-se como sigue:

Aquí nos limitaremos a presentar algunos indicios de suverosimilitud en el caso de un tipo particular de proble-mas. Tomaremos‚ para ello, un problema de construccióngeométrica con regla y compás y mostraremos quemediante pequeñas variaciones del enunciado se amplía elcampo de problemas de tal forma que la técnica inicial(formalizada mediante el Patrón de Análisis/Síntesis)muestra limitaciones que provocan la aparición del PatrónReformulado el cual incluye la técnica ecuacional. Es fácilver que el siguiente problema es resoluble mediante laespecificación del Patrón de Análisis/Síntesis clásico alcaso particular de los problemas de construcción de doslugares geométricos (Polya, 1962-1965; Gascón, 1989, 1993y 1993-1994).

14 Es interesante recordar que clá-sicamente el álgebra era consi-derada por el propio Descartescomo el «arte analítico»; deahí que se utilice el adjetivo«analítico» casi como un sinó-nimo de «algebraico» (Lakatos,1977: 121).

21

Tesis de la continuidad entre lasgeometrías sintética y analítica

Si partimos de un campo de problemasconsiderados por la comunidad matemáti-ca como representantes genuinos de lageometría sintética (o «pura») –como son,por ejemplo, los problemas de construc-ción geométrica con regla y compás– y uti-lizamos las técnicas sintéticas clásicas deestudio de este campo, puede mostrarseque el desarrollo de estas técnicas (parale-lo a la ampliación progresiva del campode problemas) provoca rápidamente laaparición de las técnicas analíticas carac-terísticas de la geometría cartesiana.

Lo anterior significa que, cuando seempieza a explorar un campo de pro-blemas de la geometría sintética apare-ce la necesidad (como en cualquier pro-ceso de estudio de un campo de pro-blemas) de introducir pequeñas varia-ciones en los problemas de dichocampo y, muy rápidamente, nos encon-tramos con problemas para los cuales latécnica inicial presenta determinadaslimitaciones. Se produce entonces lanecesidad epistemológica y didáctica devariar la técnica inicial y esta variaciónsuele desembocar en la producción detécnicas denominadas «analíticas» «carte-sianas» o «algebraicas» porque su justifi-cación e interpretación natural se dadentro del álgebra14.

Naturalmente que esta tesis merece ser(de)mostrada además de enunciada.

Ejemplo 3

Construir con regla y compás un triángulo ABC dados la lon-gitud de un lado AB = c, y las longitudes de la altura hc y lamediana mc relativas a dicho lado c.

Basta reducir el problema a la construcción del tercer vér-tice C del triángulo. Este punto se obtiene como intersec-ción de dos lugares geométricos construibles con regla ycompás a partir de los datos: la circunferencia de centro elpunto medio MAB de AB y radio mc y las rectas paralelas aAB a distancia hc (figura 5).

C

hc

A BMAB

mc

Figura 5

Mediante pequeñas variaciones del problema anteriorpodemos enunciar otros problemas del mismo tipo, esdecir, problemas que siguen siendo resolubles median-te la misma técnica sintética clásica de dos lugares geo-métricos:

…cuandose empiezaa explorarun campo

de problemasde la geometría

sintéticaaparece

la necesidad(como en

cualquier procesode estudio

de un campode problemas)de introducir

pequeñasvariaciones

en los problemasde dicho campo

y, muyrápidamente,

nos encontramoscon problemaspara los cuales

la técnica inicialpresenta

determinadaslimitaciones.

En este caso el problema se reduce a la construcción delbaricentro G del triángulo y éste se obtiene, de nuevo,como intersección de dos lugares geométricos construiblescon regla y compás a partir de los datos: la circunferenciade centro el punto medio MAB del lado AB y radio mc/3 yla circunferencia de centro A y radio 2ma/3 (figura 7).

vez situado el punto G y los extremosde una de las medianas (sean, porejemplo, MAB y C), no es evidente apriori que podamos conseguir construirninguno de los puntos (A, B, MBC yMAC) que resolvería el problema comointersección de dos lugares geométri-cos construibles con regla y compás15

(figura 8).

15 Lo que no significa que el pro-blema en cuestión no sea reso-luble mediante otras técnicassintéticas e incluso como inter-sección de dos lugares geomé-tricos no «evidentes» a priori.De hecho, puede demostrarseque la construcción de un trián-gulo del que se conocen sus tresmedianas ma, mb y mc puedereducirse, mediante técnicassintéticas, a la construcción deun triángulo de lados 2ma, 2mby 2mc (Puig Adam, 1973: 209).

22

C

MBC

A B

mahc/2

hc/2

Figura 6

Ejemplo 5

Construir con regla y compás un triángulo ABC dados la lon-gitud de un lado: AB = c, y las longitudes ma y mc de las media-nas relativas respectivamente a los lado a y c.

Figura 7

Ejemplo 6

Construir con regla y compás un triángulo ABC dadas las lon-gitudes de las tres medianas: ma, mb y mc.

Al intentar resolver este problema mediante el Patrón deAnálisis/Síntesis clásico, en su modalidad de los dos luga-res geométricos, aparecen dificultades debido a que una

Figura 8MAB G C

d A Gm

xc

yma a,( ) = ¤ +Ê

ËÁˆ¯̃

+ =2

3 2

4

9

22

2

d M Gm

x ym

ABc c,( ) = ¤ + =

3 92 2

2

Dado que c, ma y mc son datos del pro-blema, las dos ecuaciones anterioresconstituyen lugares geométricos cons-truibles con regla y compás a partir delos datos y, como ambos contienen al

Ejemplo 4

Construir con regla y compás un triángulo ABC dados la lon-gitud de un lado: AB = c, la altura hc relativa al lado c y lamediana ma relativa al lado a.

En este caso el problema se reduce a la construcción delpunto medio MBC del lado BC el cual se obtiene comointersección de dos lugares geométricos construibles conregla y compás a partir de los datos: la circunferencia decentro A y radio ma y las rectas paralelas a AB a distanciahc/2 (figura 6).

¿Cuál es la diferencia esencial entreeste último problema y los anteriores?¿Cómo podemos explicar que median-te una pequeña variación del enuncia-do salgamos del dominio de aplicabili-dad de la técnica sintética clásica (conregla y compás) de los dos lugares geo-métricos?

Podemos dar una respuesta en el ámbi-to de la geometría analítica. Para ellocompararemos las características de lasimbolización global de las condicionesde ambos problemas. Si en el ejemplo 5tomamos el baricentro G(x, y) comoincógnita, la recta AB como eje de abs-cisas y el punto MAB(0, 0) como origende coordenadas, tenemos:

¿Cómo podemosexplicar

que medianteuna pequeña

variacióndel enunciado

salgamosdel dominio

de aplicabilidadde la técnica

sintética clásica(con regla y

compás)de los dos lugares

geométricos?

C

GMBC

MAB

BA

2ma/3

mc/3

baricentro G, éste se obtiene como laintersección de dichos lugares (figura 9).

que son equivalentes, respectivamente, a [1] y [2].

Se trata de dos lugares geométricos construibles con regla

y compás a partir de los datos. El punto incógnita A(x, y)

puede construirse como intersección de la circunferencia

[1], que tiene centro en el punto G(0, 0) y radio (2/3)ma,

y la circunferencia [2] que tiene centro en el punto

(–(2/3)mc, 0) y radio (2/3)mb (figura 10).

16 La «evidencia matemática»hace siglos que no se reduce ala «evidencia sintética». Desdeel nacimiento del instrumentoalgebraico los matemáticoshan descubierto y utilizado elenorme alcance de la «eviden-cia analítica» que, en ciertamanera, es una evidencia aposteriori. Pero de ningunamanera se trata de evidenciascontrapuestas. Tal como hemosmostrado en el ejemplo ante-rior el instrumento algebraicopuede servir para convertir un«problema por resolver», delque se desconoce completa-mente el objeto incógnita, enun «problema por demostrar»,del que se conoce el resultadoy únicamente se trata de pro-barlo (Polya, 1957).

17 El profesor Josep Vaquer, maes-tro de muchas generaciones dematemáticos catalanes, explica-ba en una entrevista publicadaen el número 11 delSCM/Notícies (del Institutd’Estudis Catalans, de julio de1999) que el reto que supusopara él, a los 14 años de edad,la resolución del problema delas tres medianas fue un acicateimportante en su futura vocaciónde matemático. [Agradezco alprofesor Agustí Reventós estacomunicación, así como la lectu-ra y crítica de una versión preli-minar de este trabajo].

23

C

A(–c/2,0)

B(c/2,0)

x

MBC

MAB

y

Figura 9

Bm

x yc= - - -ÊËÁ

ˆ¯̃

2

3,

Mx y

BC = - -ÊËÁ

ˆ¯̃2 2

,

Mx m y

ACc= +Ê

ËÁˆ¯̃2 3 2

,

A partir de las condiciones que cumplenlos puntos A, B, MBC y MAC, se obtienenlas siguientes ecuaciones:

d G Am

x yma a,( ) = ¤ + =2

3

4

92 2

2[1]

d G Bm m

x ymb c b,( ) = ¤ +Ê

ËÁˆ¯̃

+ =2

3

2

3

4

9

22

2[2]

d G Mm x y m

BCa a,( ) = ¤ Ê

ËÁˆ¯̃

+ ÊËÁ

ˆ¯̃

=3 2 2 9

2 2 2

[3]

d G Mm x m y m

ACb c b,( ) = ¤ +Ê

ËÁˆ¯̃

+ ÊËÁ

ˆ¯̃

=3 2 3 2 9

2 2 2[4]

Y al imponer las condiciones que hande cumplir MBC y MAC se obtienen lasecuaciones:

A (x, y)

B

GC’(–2mc/3,0)

C(2mc/3,0)

x

MAC

y

MBC

(–x/2,–y/2)

G

MAB

(–mc/3,0)

Figura 10

Análogamente, en el ejemplo 6 pode-mos tomar el baricentro G(0, 0) comoorigen de coordenadas y como eje deabscisas la recta que contiene a lamediatriz mc. Aquí los datos del proble-ma son ma, mb y mc (lo que permitesuponer, por ejemplo, que los puntos Cy MAB tienen coordenadas conocidas) ypodemos tomar como incógnita unocualquiera de los puntos A, B, MBC oMAC. Dado que en nuestro sistema dereferencia C(2mc/3, 0) y MAB(–mc/3, 0),podemos tomar A(x, y) como puntoincógnita y entonces se tiene: La diferencia fundamental entre los ejemplos 5 y 6, desde

el punto de vista de la técnica sintética de dos lugares geo-

métricos, radica en que mientras en el primero aparecen

dos lugares geométricos (circunferencias) a los que perte-

nece el punto incógnita que son construibles e interpreta-

bles directamente a partir de los datos del problema, en el

segundo el lugar geométrico [2] presenta unas característi-

cas un poco diferentes. En efecto, si consideramos única-

mente los datos del problema y las propiedades que se

deducen inmediatamente de la definición de mediana, no

es «directamente evidente»16 que el punto incógnita A(x, y)

diste del punto C ’ (simétrico de C respecto de G) una dis-

tancia igual a BG = (2/3)mb. Aparece así una limitación de

dicha técnica que deberá ser modificada y ampliada para

poder abordar el problema en cuestión.

Ya hemos dicho que existen ampliaciones «puramente sin-

téticas» de la técnica de dos lugares geométricos que per-

miten resolver el problema de las tres medianas17, pero una

ampliación natural de dicha técnica consiste precisamente

en utilizar las técnicas analíticas tal como hemos mostrado,

construir con regla y compás las dos circunferencias cita-

das y, a posteriori, si se prefieren los argumentos «pura-

mente geométricos» o «sintéticos», justificar el resultado sin

utilizar coordenadas. En nuestro ejemplo, una vez obteni-

da mediante los métodos analíticos, la igualdad

AC ’ = BG = (2/3)mb

puede justificarse sin más que observar que los triángulos

MABGB y MABC’A son iguales puesto que MAB es el punto

medio de los segmentos AB y C’G, y los dos ángulos que

tienen vértice MAB son iguales porque son opuestos por el

vértice (figura 11).

preciso que se estableciese un nuevo

dispositivo didáctico cuya función

principal fuese la de retomar aquellos

problemas matemáticos que, habién-

dose propuesto en la ESO, hubiesen

quedado sin resolver por limitaciones

de las técnicas matemáticas disponi-

bles. Sólo así podría mostrarse la con-

tinuidad de la problemática geométrica

y la complementariedad entre los dife-

rentes tipos de técnicas geométricas.

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18 Recíprocamente, sería tambiénmuy útil proponer en elBachillerato problemas geomé-tricos cuya resolución fuesemucho más sencilla y «natural»con técnicas sintéticas que contécnicas analíticas. Tambiénsería necesario proponer pro-blemas geométricos que si bienrequieren la utilización de téc-nicas analíticas para ser resuel-tos con toda generalidad, nece-sitan de manera casi imprescin-dible la utilización previa detécnicas sintéticas a fin de dise-ñar la estrategia que se llevaráa cabo posteriormente con lastécnicas analíticas. Se pondríaasí de manifiesto otro aspectoimportante de la complementa-riedad entre ambos tipos detécnicas.

24

CC’

B

A B’

A’

MAB G

Figura 11

Tenemos, en resumen, que la presunta alternativa entre

geometría sintética y geometría analítica es una falsa alter-

nativa, dada la continuidad y hasta complementariedad

que existe entre ambas. Queremos acabar reivindicando la

necesidad imperiosa de seguir investigando cómo deberían

conectarse, en la geometría de Secundaria, las técnicas sin-

téticas con las analíticas. Dado que son precisamente las

limitaciones de las técnicas sintéticas las que dan sentido

(son las razones de ser) a las técnicas analíticas no tiene

ningún tipo de justificación hacer aparecer éstas en el

Bachillerato, como por arte de magia, sin ningún tipo de

continuidad con la problemática de la geometría sintética

estudiada en la ESO.

En lugar de «dejar morir» la problemática que se estudia

en la ESO, y crear una pseudoproblemática geométrica

con ejercicios bastante formales para intentar justificar la

utilización de las incipientes técnicas analíticas introdu-

cidas bastante artificialmente como objetos de enseñan-

za, deberían retomarse en el Bachillerato algunos tipos

de problemas geométricos que se abordaron en la ESO.

Se podría empezar mostrando, en el Bachillerato, deter-

minadas limitaciones de las técnicas sintéticas clásicas18

que pueden solventarse mediante el uso de técnicas ana-

líticas. Para que esta práctica docente fuese eficaz sería

Se podríaempezar

mostrando,en el Bachillerato,

determinadaslimitaciones

de las técnicassintéticas clásicas

que puedensolventarsemedianteel uso detécnicas

analíticas.

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Josep GascónDepartamento

de Matemáticas. Universitat Autònoma

de Barcelona

25

Preescolar

S INDUDABLE que la Programación Lineal es una de laspartes de más interés y utilidad de la InvestigaciónOperativa. Además, desde el punto de vista histórico, haservido para iniciar el gran desarrollo posterior de estanueva ciencia. Es conocido que la aparición del Método delSimplex en 1947, debido al matemático y estadístico G. B.Dantzig, constituye uno de los hitos de la ciencia del sigloXX y marca el comienzo de la expansión de un nuevocampo científico de gran importancia en la actualidad. ElMétodo del Simplex es, esencialmente, un procedimientode resolución de un sistema de ecuaciones lineales deacuerdo con un determinado criterio de búsqueda. Dantzig,para intentar resolver los problemas de optimización cata-logados más tarde como de Programación Lineal, estudióformas eficientes de resolver sistemas de ecuaciones linea-les (entre otros, los provenientes de las tablas Input-Outputintroducidas por Leontief para explicar determinados fenó-menos de la economía de Norteamérica ocurridos a finalesdel primer cuarto del siglo veinte). El análisis de los dife-rentes problemas desde una vertiente económica posibilitóuna búsqueda eficaz de soluciones con atributos de opti-malidad. La visión exclusiva desde las Matemáticas de losmismos problemas, había sido incapaz, hasta entonces, deproponer un método que los resolviera adecuadamente.

El Método del Simplex se ha desarrollado y enriquecidohasta la actualidad con aportaciones de un número impor-tante de grandes científicos que han extendido sus aplica-ciones a multitud de problemas de la economía, ingenie-rías, ciencias de la gestión, administraciones públicas y pri-vadas, etc. Su aplicación se ve favorecida por una cantidadimportante de paquetes de programas de ordenador queincorporan distintas adaptaciones a la especificidad de losproblemas que se intentan resolver.

Después de la reducción del problema de optimización aun sistema de ecuaciones, la actuación del Método del

Por la importancia que tiene,por las aplicaciones

prácticas y por su sencillez,dentro de los contenidos

básicos de las Matemáticasde Bachillerato seríaobligado incluir una

introducción a laProgramación Lineal.Actualmente, dichos

contenidos sólo se impartenen los Bachilleratos de

Ciencias Sociales,resolviendo algunos

problemas sencillos con laayuda del método gráfico.En este trabajo se propone

un método alternativoconsistente en la utilizaciónde una herramienta sencillay eficaz (los denominadosdiccionarios) para resolverproblemas de ProgramaciónLineal sin explicar el Método

del Simplex y sin utilizaroperaciones matriciales.

Esencialmente, elprocedimiento introducido(ver, por ejemplo, Chvàtal

(1983) o Vanderbei (1996))consiste en resolver unsistema de ecuaciones

lineales por un método desustitución dirigido.

27

Programación linealy diccionarios

C. González MartínG. Herrera Rodríguez

ARTÍCULOS

E

39

febrero 2002, pp. 27-32

Simplex en cada una de sus iteraciones, tiene un eje cen-tral constituido por el cálculo de la inversa de una matrizdenominada base y la transformación del sistema a travésde la multiplicación por dicha inversa. Sin embargo, desdela perspectiva didáctica, existen maneras alternativas deexplicar su desarrollo sin la necesidad explícita de mane-jo de inversas de matrices. Una de estas formas es el usode la herramienta que Chvàtal (1983) o Vanderbei (1996)denominan diccionarios.

Los diccionarios funcionan, esencialmente, como la reso-lución de un sistema de ecuaciones lineales por el méto-do de sustitución, fijando un criterio para seleccionar lavariable que hay que despejar y la ecuación sobre la quese ha de ejecutar. Luego se sustituye en el resto de ecua-ciones y, en su caso, se itera despejando y sustituyendo.En cada iteración se tiene, de una manera clara, una solu-ción básica del sistema de ecuaciones, la cual, cuandocorresponda, se constituirá en solución óptima del proble-ma planteado originalmente.

Por la forma de trabajo que exigen, los diccionarios pue-den ser considerados en la enseñanza del Bachilleratocomo alternativa a la simple utilización del método gráfi-co para resolver problemas sencillos de ProgramaciónLineal. Estamos convencidos de la necesidad de que todoslos alumnos que cursan Matemáticas en Bachillerato debe-rían conocer los elementos básicos de la ProgramaciónLineal y de algunas de las problemáticas más sencillasplanteadas sobre Grafos y Redes. Estos conocimientos pre-sentan el denominador común de la facilidad de motiva-ción desde distintas situaciones reales y de la sencillez desu planteamiento como problemas de Matemáticas.También de su estudio se derivan métodos sencillos deresolución que se pueden desarrollar desde un plantea-miento exclusivamente práctico.

En el presente trabajo hacemos una explicación de cómose pueden usar diccionarios para desarrollar las ideas delMétodo del Simplex.

Fundamentos básicos del Métododel Simplex

El Método del Simplex resuelve problemas de Progra-mación lineal, es decir, problemas de optimización de unafunción objetivo lineal en un contexto definido por res-tricciones (ecuaciones o inecuaciones) también de tipolineal. Para fijar las líneas básicas de la aplicación de estemétodo, consideremos el siguiente caso particular:

Para afrontar la resolución de este pro-blema, es fundamental formalizar unmodelo adecuado. Si representamos porx1 (variable de decisión asociada a laprimera actividad) al nivel que ha dealcanzar la actividad I y por x2 al corres-pondiente nivel de la actividad II, el cri-terio que gobierna la búsqueda de solu-ciones es el de maximizar la expresión(función objetivo):

2x1 + x2

Por otro lado, las condiciones expresa-das más arriba (restricciones) imponenque:

x1 + x2 ≤ 6x1 ≤ 4

x2 ≤ 5x1, x2≥ 0

La resolución gráfica de este problema(figura 1) indica que los niveles óptimospara las actividades I y II son, respecti-vamente, 4 y 2 con un beneficio máxi-mo de 10 millones.

Los diccionariosfuncionan,

esencialmente,como la resolución

de un sistemade ecuaciones

linealespor el métodode sustitución,

fijandoun criterio para

seleccionarla variable que

hay que despejary la ecuaciónsobre la que seha de ejecutar.

28

Una empresa dispone de seis millones de pesetas para repar-tir entre dos actividades productivas (I y II). La cantidad des-tinada a la primera actividad no debe sobrepasar cuatromillones, mientras que el dinero dedicado a la segunda acti-

vidad debe ser menor o igual quecinco millones. El beneficio obtenidopor cada unidad de actividad tipo I esigual a dos millones, mientras que elcorrespondiente a cada unidad tipo IIes igual a un millón. Si la empresaquiere maximizar los beneficios globa-les de su actividad productiva, ¿cuálesson los correspondientes niveles ópti-mos de las dos actividades?

(1, 5)(0, 5)

(0, 0) (4, 0)

(4, 2)

Figura 1

¿Cómo encuentraesta solución el Métododel Simplex?

En primer lugar, expresando el anteriorproblema como un sistema de ecuacio-nes. Para ello se hace necesario consi-derar variables de holgura que convier-tan en ecuaciones cada una de las tresinecuaciones planteadas anteriormente,de forma que todas las variables dedecisión sean no negativas. Esto nospermite obtener:

x1 + x2 + x3 = 6x1 +x4 = 4

x2 +x5 = 5x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Las variables de holgura se incorporan ala función objetivo multiplicadas por cero.

En segundo lugar, es necesario identifi-car, para cada una de las ecuaciones, unavariable básica; es decir una variable quetenga coeficiente igual a 1 y que aparez-ca en una sola de las ecuaciones (existencasos en los que la búsqueda de varia-bles básicas iniciales exige desarrollarmétodos auxiliares específicos). En estecaso, es fácil señalar a x3, x4 y x5 comovariables básicas iniciales. Si las variablesque restan, que denominaremos no bási-cas, toman valores iguales a cero, tene-mos entonces una solución básica delanterior sistema. Dicha solución es:

x1 = x2 = 0, x3 = 6, x4 = 4, x5 = 5

siendo el valor de la función objetivoigual a cero. En dimensión dos, esta solu-ción se corresponde con (0,0) (figura 2).

Propiedad Fundamental

Una vezestablecidoel conceptoy realizadoslos cálculosde los costos

relativosde las variables

no básicasen la soluciónbásica actual,

podemosconcretar

si ésta es óptimao es necesario

encontrarotra mejor.

29

(0, 0)Figura 2

Se demuestra que si un problema de Programación Lineal,como el anteriormente planteado, tiene solución óptima fini-ta, esta se alcanza en una solución básica. Además, el núme-ro de soluciones básicas de un problema de ProgramaciónLineal es siempre finito.

Por ello, es válido plantear un esquema de búsqueda desoluciones que, si no detecta la no acotación del proble-ma, cambie iterativamente de una solución básica a otramejor. De esta forma, el proceso de búsqueda acaba inde-fectiblemente en un número finito de iteraciones.

¿Cómo se busca una solución básica mejorque la actual?

Respecto a la solución básica actual introducida previa-mente, es posible concretar si es óptima o puede existirotra mejor (con mayor valor de la función objetivo) utili-zando el concepto de costo relativo. Los costos relativos,asociados a cada una de las variables no básicas en lasolución básica actual, representan el incremento que seproduce en el valor objetivo, respecto al alcanzado endicha solución básica, cuando se utiliza una solución fac-tible en la que la correspondiente variable no básica esincrementada en una unidad, manteniendo el resto devariables no básicas a nivel cero y haciendo que las varia-bles básicas adapten sus valores para que se satisfagan lasecuaciones del sistema. Se puede entender entonces queel costo relativo representa el incremento en el valor de lafunción objetivo por unidad incrementada a la correspon-diente variable no básica.

En el ejemplo que hemos manejado anteriormente, para lasolución básica:

x1 = x2 = 0, x3 = 6, x4 = 4, x5 = 5

Si x1 = 1, x2 = 0, x3 = 5, x4 = 3, x5 = 5, obtenemos una solu-ción factible con valor objetivo igual a 2. Por tanto, el costorelativo asociado a x1, representado por c-1 es igual a2 – 0 = 2 (valor objetivo de la nueva solución factible – valorobjetivo de la solución básica actual). Con un razonamien-to similar llegaríamos a la conclusión de que c-2 = 1.

Una vez establecido el concepto y realizados los cálculosde los costos relativos de las variables no básicas en lasolución básica actual, podemos concretar si ésta es ópti-ma o es necesario encontrar otra mejor. Si, como en elcaso que estamos resolviendo, el problema planteado esde máximo, la optimalidad de una solución básica seestablece cuando todos los costos relativos de las varia-bles no básicas son menores o iguales que cero (el incre-mento de una unidad en el valor actual de una variableno básica no representa una mejora en el valor de la fun-ción objetivo).

¿Cuál es la nueva solución básica?

Como c-1 = 2, parece lógico incrementar el valor actualde x1. Sabemos que el valor que debe tomar esta varia-ble debe ser mayor o igual que cero y que por cada uni-dad que se incremente el valor actual (igual a cero), elvalor de la función objetivo aumenta en 2 unidades. Poresta razón nos planteamos encontrar el valor mayorposible para x1. Si x1 = l ≥ 0 y x2 = 0, para tener unasolución factible es necesario que x3 = 6 – l ≥ 0,x4 = 4 – l ≥ 0 y x5 = 5. Por tanto, el mayor valor posiblepara l es igual a 4. Si l = 4, entonces la solución facti-ble que resulta es:

x1 = 4, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 4, x5 = 5

Esta solución se corresponde, en dimensión dos, con (4,0)(figura 3).

Diccionarios y su aplicación

Dado el problema anterior:

máx 2x1 + x2

s.a. x1 + x2 ≤ 6x1 ≤ 4

x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0

añadiendo variables de holgura y lla-mando z al valor de la función objetivo,podemos escribir:

z = 0 +2x1 + x2

x3 = 6 – x1 – x2

x4 = 4 – x1

x5 = 5 – x2

Esta representación del problema ante-rior es lo que se denomina (por simili-tud) diccionario. Se observa que six1 = x2 = 0, en las tres últimas líneas sepuede leer directamente la soluciónbásica inicial que se señaló anterior-mente. En la primera fila aparece elcorrespondiente valor de la funciónobjetivo y los costos relativos. Segúnrazonamos previamente, interesa incre-mentar el valor actual de x1, mantenien-do x2 = 0 y haciendo que el resto de lasvariables sigan tomando valores mayo-res o iguales que cero.

Se observa que si l ≥ 0 es el valor quese le asigna a x1, siempre que x2 = 0,los valores que toman el resto de lasvariables son:

x3 = 6 – l ≥ 0, x4 = 4 – l ≥ 0, x5 = 5

Tenemos entonces que el valor mayorposible para x1 es igual a 4 (coincidecon el mayor valor que puede tomar l).Como esta conclusión se saca a partir dela tercera ecuación, despejamos de ellax1 y sustituimos en el resto de las ecua-ciones. Obtenemos el diccionario:

z = 8 + x2 – 2x4

x3 = 2 – x2 + x4

x1 = 4 – x4

x5 = 5 – x2

Donde, de nuevo se lee la soluciónbásica:

x1 = 4, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 0, x5 = 5

con valor objetivo igual a 8.

Estarepresentacióndel problema

anteriores lo que

se denomina(por similitud)diccionario.

30

(0, 0) (4, 0)Figura 3

Esta solución es también básica y tiene asociado un valorobjetivo igual a 8 (2 veces el valor que toma l). Para estanueva solución básica se calcularían los costos relativos delas variables no básicas y se repetiría el razonamiento queacabamos de efectuar.

Hay que señalar que si, al llevar a cabo la tarea anterior,resulta que el valor que puede tomar l no está acotadosuperiormente, entonces el problema que estamos resol-viendo resulta no acotado.

Las ideas anteriores merecen un desarrollo más amplio,pero dicho estudio, contenido en cualquier buen librosobre Programación Lineal, no es el objeto de este traba-jo. Trataremos a continuación de aplicar las referidas ideassobre los diccionarios.

Se observa que el nuevo costo relativode x2 es c-2 = 1, mientras que c-4 = –2. Porello, la solución básica actual no es ópti-ma y cada unidad que incrementemos ax2 produce un aumento de una unidaden el valor actual de la función objetivo.Si x2 = l ≥ 0 y x4 = 0, el valor mayorposible para l es igual a 2 y se obtienede la segunda ecuación. Despejando x2

de esa ecuación y sustituyendo en elresto, obtenemos:

z =10 – x3 – x4

x2 = 2 – x3 + x4

x1 = 4 – x4

x5 = 3 + x3 – x4

La solución básica que se lee ahora es:

x1 = 4, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 3

y el valor correspondiente de la funciónobjetivo es z = 10.

En la figura 4 se completa el recorridorealizado por el procedimiento sobre lacorrespondiente región factible dedimensión dos.

Como los costos relativos de las varia-bles no básicas (x3 y x4) son, respecti-vamente, iguales a –1 y –1, concluimosque la actual solución básica es óptimay, por ello, la resolución del problemaplanteado anteriormente ha concluido.

Dificultades que se pueden presentar

Fundamentalmente se concretan en el cálculo de la soluciónbásica inicial. Puede suceder que no podamos encontrardirectamente dicha solución como lo hemos hecho en elanterior ejemplo (esto ocurre cuando las restricciones inicia-les son ecuaciones o cuando alguna de dichas restriccionesson inecuaciones de la forma ≤ pero los correspondientestérminos independientes son negativos). En estos casospodemos utilizar variables artificiales (mayores o iguales quecero y colocadas convenientemente) jugando el papel de lasvariables básicas no disponibles inicialmente. Estas variablesartificiales se tratarán de eliminar utilizando de forma ade-cuada el método previamente desarrollado. Para conseguir-lo se puede utilizar, en una primera fase, un problema auxi-liar en el que se minimice la suma de variables artificialesañadidas sobre la región factible del problema en la que sehan incluido dichas variables. La resolución correspondien-te concluirá con que la suma de las variables artificiales nose puede anular (en este caso, el problema original no tienesolución) o que dicha suma es igual a cero. En este últimocaso, eliminando en el diccionario resultante las variablesartificiales y la fila de la función objetivo considerada hastaahora y poniendo en su lugar (expresada convenientemen-te) la función objetivo original, se afronta la segunda fase enla que se concluye la resolución del problema.

Ejemplo

Sea el problema siguiente:

máx 4x1 + 3x2

s.a: x1 – x2 + x3 = 4–x1 + 2x2 + x3 = 6

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

Resolución

Fase I

En esta fase se resolverá el problema auxiliar en el que seminimizará la suma de las dos variables artificiales que esnecesario añadir, es decir:

mín x4 + x5

s.a: x1 – x2 + x3 + x4 = 4–x1 + 2x2 + x3 + x5 = 6

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0

Por tanto, el primer diccionario de la fase I es :

w = 10 – x2 – 2x3

x4 = 4 – x1 + x2 – x3

x5 = 2 + x1 – 2x2 – x3

Es claro que x3 pasa a ser básica en sustitución de x4. Portanto, se despeja x3 en la segunda ecuación del dicciona-rio anterior y se sustituye en el resto de las ecuaciones. Elnuevo diccionario es:

…podemosutilizar

variablesartificiales(mayoreso igualesque cero

y colocadasconvenientemente)

jugandoel papel

de las variablesbásicas

no disponiblesinicialmente.

31

(0, 0)(4, 0)

Figura 4

(4, 2)

w = 2 + 2x1 – 3x2 + 2x4

x3 = 4 – x1 + x2 – x4

x5 = 2 + 2x1 – 3x2 + x4

Ahora pasa x2 a ser básica sustituyendo a x5. Después dedespejar x2 en la tercera ecuación y sustituir en el resto,obtenemos el diccionario:

w = 0 + x4 + x5

x3 = (14/3) – (1/3)x1 – (2/3)x4 – (1/3)x5

x2 = (2/3) + (2/3)x1 + (1/3)x4 – (1/3)x5

Como el valor de la función objetivo del problema auxiliarde la fase I es igual a cero, podemos iniciar la fase II.

Fase II

Planteamos el problema:

máx 4x1 + 3x2

s.a: (1/3)x1 + + x3 = 14/3(–2/3)x1 + x2 = 2/3

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

El correspondiente diccionario es:

z = 2 + 6x1

x3 = (14/3) – (1/3)x1

x2 = (2/3) + (2/3)x1

Como ahora tenemos un problema de

máximo, x1 debe ser básica sustituyen-

do a x3. Por tanto, despejando x1 en la

segunda de las anteriores ecuaciones y

sustituyendo en el resto se obtiene:

z = 86 – 18x3

x1 = 14 – 3x3

x2 = 10 – 2x3

Este diccionario es óptimo, siendo la solu-

ción óptima la dada por x1 = 14, x2 = 10,

x3 = 0, con valor objetivo igual a 86.


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C. GonzálezDepartamento de Estadística,

Investigación Operativay Computación.

Universidad de La Laguna

G. HerreraIES San Matías.

La Laguna.Sociedad Canaria

de Profesores de Matemáticas«Isaac Newton»

32

Preescolar

A BIBLIOGRAFÍA nos ofrece un abanico de posibilidadespara enfrentarnos al problema cotidiano de razonar, cohe-rente y deductivamente, las fórmulas trigonométricas típi-cas de adicción o sustracción de ángulos.

Sabido es que cuando se ha deducido una sola, seasen (a + b), sen (a – b), cos (a + b), o bien cos (a – b) parados ángulos a y b cualesquiera, las demás se obtienen porsimple aplicación de las relaciones trigonométricas deángulos complementarios y de ángulos opuestos.

Como un buen referente histórico cabe citar a JohannWerner (1468-1528) que estableció el cálculo prostaferéti-co para convertir productos en sumas o restas, aplicandoexpresiones del tipo

Se pretende desarrollar lasdiferentes formas

demostrativas que los autoresde los libros de texto de

matemática básica(bachillerato,...) nos aportan

para deducir las fórmulastrigonométricas de suma o

resta de ángulos, y presentartres nuevas formas no

detectadas en la bibliografíaconsultada.

El objetivo final es mostrarqué distintos caminos pueden

llevarnos a un mismoresultado. Es el profesionalde la enseñanza el que ha

de adoptar uno u otrocamino, o simultanear variospara que el alumno llegue a

tener más recursosdeductivos.

33

Distinas formas de deducciónde las fórmulas trigonométricasde suma o resta de ángulos

Jaume Munné i Munné

ARTÍCULOS

L

39

febrero 2002, pp. 33-36

sen sen a b a b a b◊ = - - +[ ]1

2cos( ) cos( )

cos cos cos( ) cos( )a b a b a b= - + +[ ]1

2al objeto de facilitar cálculos astronómicos de la época,hasta que el escocés John Neper (1550-1617) generó elcálculo logarítmico.

No es de extrañar que, tal como desarrolla Campbell(1956) en La trigonométrie, usando proyecciones llegue adeducir las expresiones de Werner, y combinándolasobtenga el cos (a + b) y el cos (a – b ).

Se pretende dar aquí las diferentes alternativas queen la actualidad aplican los escritores de los librosde texto, indicando en cada caso los conocimientosprevios necesarios y presentar tres nuevas formasdistintas de enfocar el problema para llegar a lasmismas expresiones.

1La mayoría de los textos actuales de Bachillerato deducenel seno (y el coseno) de una suma de ángulos haciendo

Esbozo deductivo

• Del triángulo OAB, OB—

= 1, cos b = OA—

y sen b = AB—

.

• Del triángulo OPB,

de dos vectores unitarios. El únicoinconveniente es la forma de desarrollarel currículo que obliga a analizar prime-ro los vectores en el plano antes que latrigonometría en estudio.

Esbozo deductivo:

Tal como presenta la figura 2, si uÆ y vÆ

son dos vectores unitarios (módulo 1)de componentes (cos a, sen b) y (cos b,sen b) respectivamente, su productoescalar resulta:

cos a · cos b + sen a · sen b == 1 · 1 · cos (a + b)

o sea

cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b [2]

34

cos( )a b+ = =OP

OBOP

• Como PB—

= QA—

+ AC—

, dado que QA—

= OA—

· sen a == cos b · sen a y AC

—= AB

—cos a = sen b · cos a, se

deduce PB—

igual

sen (a + b) = sen a · cos b + cos a · sen b [1]

Análogamente,

• Del triángulo OPB,

intervenir cuatro triángulos rectángulos y aplicando con-ceptos de semejanza tal como queda patente en la figura 1.

Figura 1

BC

PO Q

Aa

1

a

b a + b

cos b

sen b

cos( )a b+ = =OP

OBOP

• Dado que OP—

= OQ—

– PQ—

, OQ—

= OA—

· cos a = cos b · cos ay PQ

—= BC

—= AB

—sen a = sen b · sen a, resulta ser OP

—

cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b

2

El libro de Besora (1998) presenta una deducción atracti-va partiendo como concepto conocido el producto escalar

uÆ= (cos a, sen a)

vÆ= (cos b, sen b)a – b

ba

Figura 2

3

Otros autores usando la circunferenciade radio unidad, construyen un triángulocon ángulo central a – b, para luego tras-ladarlo al origen de ángulos. Con cálcu-los de distancias entre puntos obtienen elcos (a – b) . Eso sí, hacen intervenir lafórmula fundamental de trigonometríasen2 a + cos2 a = 1 para cualquier a.

Esbozo deductivo

En la figura 3 se consideran los puntosde la circunferencia de radio unidadA(cos a, sen a) y B(cos b, sen b).Apicando la distancia entre los puntosAB—

queda

AB—2 = (cos a – cos b)2 + (sen a– sen b)2 =

= cos2 a + cos2 b – 2 + sen2 a ++ sen2 b – 2 sen a sen b =

2 –2(cos a cos b – sen a sen b) [3]

Al girar el triángulo, haciendo coincidirel punto B con el C(0, 1), el punto A setraslada al D con las componentes (cos

(a – b), sen (a – b)); como la distanciaAB—

igual a la DC—

, y

DC—2 = [cos (a – b) – 1]2 + [sen (a – b) – 0]2 =

= 2 – 2cos (a – b) [4]

Por igualación de las dos se deduce [2].

4

Thomas-Finney (1984) utilizan un pro-ceso análogo al anterior, con la únicavariante de hacer intervenir el teoremade los cosenos.

Esbozo deductivo

La figura 4 es muy parecida a la figura3. AB

—2 es el dado en [3], pero luego lorecalcula aplicando el teorema de loscosenos según

AB—2 = OA

—2 + OB—2 – 2 · OA

—· OB

—· cos (a – b) =

= 2 – 2cos (a – b)

idéntica a DC—2 de [4].

libros consultados, se presentan ahora tres alternativas queparten de la aplicación de los teoremas del seno y delcoseno (haciendo intervenir cuando conviene propiedadesfundamentales de trigonometría).

5.1

Según el triángulo oblicángulo de la figura 5, que tiene ungran parecido al que se emplea para deducir los teoremasdel cateto y de la hipotenusa de los triángulos rectángulos,si proyectamos los lados a y b sobre c se obtiene con faci-lidad la relación

c = b · cos a + a · cos b [5]

Al aplicar, acto seguido, el teorema de los senos tenemos

35

Figura 3

B

A a - bb

a

D

a - b C(0, 1)

A = (cos a, sen a) B = (cos b, sen b)

1

ba

1

O

Figura 4

a b c

sen sen sen a b a b= =

- +[ ]180 ( )

Como sen (180 – x) = sen x para cualquier x, aislando a yb queda

ac

bc= ◊

+= ◊

+sen

sen

sen

sen

aa b

ba b( )

;( )

sustituyendolos en [5] queda

cc c= ◊

++ ◊

+sen

sen

sen

sen

aa b

b ba b

a( )

cos( )

cos

multiplicando toda la igualdad por cos (a + b)/c quedademostrada [1].

ba

c

b a

Figura 6

5.2

En la figura 6 se presenta un trozo de circumferencia deradio unidad OCB, lo que genera un triángulo rectánguloOAB de ángulo b en O. Acto seguido, se ha trazado la rectatangente a la circunferencia en C y otra nueva recta desdeO formando un ángulo a con el segmento OC

—, incidiendo

las dos en el punto E. Por tanto, se tiene dibujado unnuevo triángulo rectángulo OCE. Finalmente la prolonga-ción del segmento AB

—hasta CE

—termina de completar el

triángulo oblicángulo ODE con el que se pretende trabajar.

Por tratarse de circunferencias de radio unidad DC—

= tan by EC

—= tan a. Aplicando el teorema de Pitágoras a los trián-

gulos ODC y OEC obtenemos que OD—

= 1/cos b y OE—

=1/cos a pues 1 + tan2 x = 1/cos2 x para cualquier ángulo x.El ángulo en D se obtiene como 180 – (90 – b) y el ángu-lo en O por construcción es a –b.

5

Visto el estado actual en que tratan eltema en cuestión los autores de los

5.2.1

Aplicando el teorema de los senos al triangulo ODE quedaJaume Munné

EUPVGDepartamento de Matemática

AplicadaIES Francesc X. Lluch Rafecas

Vilanova i la GeltrúSocietat d’enseyants

de matemàtiques del Garraf

36

O A

1

C

90 + bD

E

y

tan b

tan a

a - b

O

90 + b

D

E

y

a - b

ba

B1/cos b

Figura 6

y

sen sen ( )

/ cos

( )a bab-

=+

1

90

tan tan

( ) cos cos

a ba b a b-

-=

sen

1

dado que sen (90 + b) =cos b e y = tan a – tan b,

resultando

sensen sen

( ) cos cos (tan tan ) cos coscos cos

a b a b a b a b aa

bb

- = - = -ÊËÁ

ˆ¯̃

de donde sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a

5.2.2

Aplicando al mismo triángulo OEC el teorema de los cose-nos, se tiene

(tan a – tan b)2 = (1/cos a)2 + (1/cos b)2 –– 2(1/cos a)(1/cos b)cos (a – b)

desarrollándola queda

tan tan tan tan tan tancos( )

cos cos2 2 2 22 1 1

2a b a b a b a ba b

+ - = + + + - -

o bien

- - = - -2 22

tan tancos cos

cos( )a ba b

a b

dividiendo por –2 y aislando queda

cos( ) cos cos ( tan tan ) cos coscos cos

a b a b a b a b aa

bb

- = + = +ÊËÁ

ˆ¯̃

1 1sen sen

Conclusiones

Si bien cada forma de deducción tienesus atractivos, se ha pretendido ofrecerlas distintas posibilidades deductivasque pueden ser empleadas, tanto paraseleccionar una única manera de proce-der, como para verificar que distintoscaminos pueden llevarnos a unas mis-mas expresiones.

BibliografíaALFA NAUTA (Programa Educativo Temático)

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VIZMANOS, J. R., M. ANZOLA (1997): Mate-màtiques (Ciències de la naturalesa i lasalut-Tecnologia) Batxillerat, Cruïlla,Barcelona.resultando la expresión [2].

L 16 DE ENERO de 1998 el diario El País en una doblepágina de economía (51 y 52), publicaba estos titulares ysubtitulares:

Los precios tocan suelo. Los precios subieron un 2 % en 1997, unmínimo histórico que permite la incorporación al Euro

El primer año completo de Gobierno del PP se cierra con la infla-ción más baja de los últimos 35 años. Economía y la CEOE pidenmoderación salarial para mantener el control de la inflación

El mismo día el diario El Mundo dedicaba una página deeconomía, la 31, al IPC con los siguientes titulares:

1997 cierra con la inflación más baja de los últimos 35 años.Pensionistas y trabajadores ganan poder adquisitivo

El 16 de enero de 1999 el diario El País en su página 46de economía publicaba:

Los precios cierran 1998 con un mínimo histórico del 1,4 %, peseal alza de los servicios. Economía recomienda el 1,5 % comoreferencia para las subidas salariales de este año

Ese mismo día el diario El Mundo su página 40 de eco-nomía la dedicaba al IPC con los siguientes encabeza-mientos:

El aumento de precios cierra el año cinco décimas por debajo dela previsión oficial. En 1998, el IPC finalizó en el 1,4 %, lo quesupone el menor incremento desde 1962

El 15 de enero de 2000 el diario El País dedicaba sus dospaginas de economía, la 49 y 50, al IPC con los siguientestitulares y subtitulares:

La inflación sube al 2,9 % y desborda los salarios. El fuerte repun-te del IPC obligará a revisar casi cinco millones de sueldos, mien-tras que otros seis pierden el poder adquisitivo

El resultado de 1999 rompe la trayectoria a la baja de los pre-cios en los últimos nueve años. El Gobierno no ha cumplido ni elobjetivo inicial del 1,8 % ni el revisado después hasta el 2,4 %

El IPC es un dato quemensualmente publica el INE

y es una medida de laevolución del conjunto deprecios de los bienes y

servicios que consume lapoblación española y su

publicación tiene una granrepercusión en todos los

sectores económicos del país.En este artículo hacemos una

breve descripción de lahistoria del IPC, de las

Encuestas de PresupuestosFamiliares –que sirven para

determinar lasponderaciones–, de lostrabajos de campo y del

proceso que se sigue hasta supublicación. Por último,

presentamos cómo se obtienela variación del IPC de formapráctica y su aplicación a dos

casos de enormetrascendencia: las pensiones yla sentencia de la Audiencia

Nacional sobre el aumento desueldo de los funcionarios.

Este artículo es unacercamiento de las

matemáticas a la vidacotidiana, ya que tiene unaaplicación inmediata en elbloque de tratamiento de la

información y en el denúmeros, con los cálculos de

porcentajes.

37

El IPC en la vida cotidiana

Andrés Nortes Checa

ARTÍCULOS

E

39

febrero 2002, pp. 37-46

Ese mismo día el diario El Mundo encabezaba su página36 de economía así:

1999 se cierra con una inflación del 2,9 %, la más alta en tresaños. El IPC se dobla respecto a 1998 por el encarecimiento delcrudo y de los alimentos

El 11 de enero de 2001 el diario El País en su primerapágina decía: «Los precios subieron el 4 % en 2000, eldoble de la previsión oficial», un editorial con el título Elprecio de la inflación y las páginas 57 y 58 de economíacon los siguientes titulares y subtitulares:

La inflación acabó el año en el 4 %, el doble del objetivo. A lacrisis del petróleo se ha unido el encarecimiento de los alimentospor el mal de las «vacas locas».

El 71 % de los trabajadores con convenio tendrá revisión salarial.La desviación supondrá un sobresueldo de más de 200.000millones

Ese mismo día el diario El Mundo en su primera páginaanunciaba: «El 4 % del IPC del 2000 duplica la previsióndel Gobierno y es el más alto desde 1995». En su página36 de economía estos eran los encabezamientos:

El año 2000 acaba con un IPC del 4 %, el más alto desde 1995.Los alimentos relevan a la energía como el componente másinflacionista

Estos titulares ponen de manifiesto que el IPC es algo muyimportante en nuestro país porque lo relaciona con eleuro, la inflación, el poder adquisitivo, los convenios, lassubidas salariales, etc. El Índice de Precios de Consumo,conocido por IPC, es el índice regulador de la economíade nuestro país. De ahí que su variación se siga con enor-me interés y sobre todo los índices que cierran año comolos indicados anteriormente de 1997, 1998, 1999 y 2000.Por la trascendencia que tiene el IPC en nuestra vida coti-diana, exponemos de forma breve en las líneas que siguealgunos aspectos importantes de su obtención y cálculo,así como el proceso seguido a lo largo de la historia, yalgunas de sus aplicaciones.

¿Qué es el IPC?

El Instituto Nacional de Estadística (INE) nos dice que «elIPC es una medida estadística de la evolución del conjun-to de precios de los bienes y servicios que consume lapoblación residente en viviendas familiares en España».

Para llegar a comprender el significado del IPC tendremosque comenzar diciendo qué es un número índice y unnúmero índice es un número abstracto que nos muestralos cambios de una variable entre dos situaciones tempo-rales, una de ellas tomada como referencia o periodo base.Por tanto el IPC va a ser un número que nos mostrará loscambios de los precios de consumo.

El IPC se denominaba antes Índice delCoste de la Vida, pero se modificó poruna Orden Ministerial de la Presidenciade Gobierno de 23/2/77, que en supunto primero dice:

El Sistema de Índices del Coste de la Vidase denominará en lo sucesivo Índices dePrecios de Consumo.

En Europa se empezó sustituyendo elnombre de Índices del Coste de la Vidapor el de Índices de Precios al Consu-midor, nombre reducido del empleadoen EE.UU. cuyo título «Índices dePrecios al consumidor para familias deingresos moderados, en las grandes ciu-dades» se adoptó en agosto de 1945. EnInglaterra en 1953 se utilizó el nombrede «Índices de precios al por menor»considerando que el término Índice delCoste de la Vida era más amplio.

Tres son las causas que contribuyen adeterminar el coste de la vida:

1) Los precios.

2) El nivel de consumo.

3) Las distintas situaciones socio-eco-nómicas de las familias.

El IPC estudia la variación de los preciosmanteniendo constantes los otros dos,estableciendo periodos de tiempo paraque no cambien ni los productos ni lascantidades necesarias para satisfacer lasnecesidades de una familia.

Para poder establecer un Sistema deÍndices de Precios de Consumo hay queconsiderar un periodo de referencia, unaño base, siendo en la actualidad 1992.Para ello se calculó el índice mensual de1992 utilizando este nuevo sistema, seobtuvo la media aritmética de los docemeses y se igualó a 100.

Las encuestasde presupuestos familiares

Con la finalidad de establecer un Sistemade Índices de Precios de Consumo seefectúa una Encuesta de PresupuestosFamiliares (EPF) que proporcione lainformación básica sobre los gastos delos hogares en bienes y servicios.

Estos titularesponen

de manifiesto queel IPC es algo

muy importanteen nuestro país

porquelo relacionacon el euro,la inflación,

el poderadquisitivo,

los convenios,las subidas

salariales, etc.

38

Las Encuestas de Presupuestos Fami-liares (EPF) tiene su origen en una en-cuesta en EE.UU. en el periodo 1888-1890 sobre 5.288 familias de trabajado-res elegidos por las nóminas de salario,y en otra encuesta en 1901-02 que abar-có a 25.000 familias obreras y cuyoobjetivo principal era obtener una pon-deración adecuada para un Índice delCoste de la Alimentación. Dentro deEuropa, Inglaterra, Suecia y Suiza fue-ron los primeros países en realizarlas deforma opinática hasta que en 1947 secomenzó a seleccionar las familias deforma aleatoria.

En España en marzo de 1958 el InstitutoNacional de Estadística (INE) realizó laprimera EPF que se llamó Encuesta deCuentas Familiares y que sirvió de basepara la estructura de un nuevo sistemade índices que sustituyera al que estabaen vigor de base julio de 1936. Para ellose seleccionaron 4.192 familias coningresos anuales inferiores a 80.000 pts.,representantes de todo el territorionacional y la duración fue de 1 mes.

Posteriormente se llevó a cabo la EPF de1964-65, que tuvo una duración de 1año y empezó en marzo de 1964. Lamuestra estaba formada por 20.800hogares con salarios del sustentadorprincipal comprendido entre 21.600 pts.y 120.000 pts.

En julio de 1973 se puso en marcha unanueva EPF 73/74 que duró un año ycuyo estrato de referencia eran familiascon ingresos anuales entre 81.000 pts. y720.000 pts. y cuyo sustentador princi-pal es activo

Desde el 1 de abril de 1980 hasta el 31de marzo de 1981 duró la nueva EPF80/81, aplicada al conjunto de hogarespluripersonales, tanto activos comoinactivos con ingresos comprendidosentre las 322.575 pts. y los 2.000.000 pts.

La última, realizada en nuestro país, EPF90/91, duró desde el 1 de abril de 1990al 31 de marzo de 1991. Para ello setomó un grupo de población para quesu estructura de gastos sirviera de basea la selección de artículos representati-vos, al tiempo que sirviera para calcularlas ponderaciones de los mismos. Ese

grupo de población o estrato de referencia lo ha com-puesto la población residente en España y a una muestrarepresentativa se le computó el gasto que hacían dedica-do al consumo. Sólo se tiene en cuenta los gastos realesque realiza la población, excluyendo el gasto por auto-consumo, autosuministro, salario en especie, consumossubvencionados, alquiler imputado, etc.

En la EPF 90/91 se computaron 900 partidas de gasto,seleccionando finalmente 471 artículos que se clasifican enocho grupos: 1) Alimentación; 2) Vestido; 3) Vivienda; 4)Menaje; 5) Medicina; 6) Transporte; 7) Cultura; y 8) Otros.La evolución de precios de estos artículos representa atodos los bienes y servicios de consumo y constituyen la«cesta de la compra».

Encuestas continuasde presupuestos familiares

Las encuestas de objetivo coyuntural se inician en elsegundo trimestre de 1977 con la Encuesta Permanente deConsumo (EPC) y desde el primer trimestre de 1985 hastael segundo de 1997 la Encuesta Continua de PresupuestosFamiliares.

La nueva encuesta ECPF 1997, aglutina los objetivos de lasdos encuestas, la continua de 1985 y las periódicas fijas de1958, 1964/65, 1973/74, 1980/81 y 1990/91, a las que vienea sustituir en nuestro sistema estadístico oficial español,manteniendo los objetivos tradicionales de las EPF de pro-porcionar información estructural para la estimación delconsumo privado y suministrar el conjunto de pondera-ciones para la elaboración del IPC.

Para ello la Encuesta Continua de Presupuestos Familiaresiniciada en 1985 ha sido objeto de una reforma metodoló-gica a partir del tercer trimestre de 1997 ajustando la mecá-nica de recogida e incrementando el tamaño muestral parapermitir establecer estimaciones sobre las ComunidadesAutónomas. Además, se introduce una nueva clasificaciónde bienes y servicios para adecuar los gastos efectuadospor los hogares españoles a las necesidades de laContabilidad Nacional y facilitar la comparación europea einternacional, según los requisitos de la Oficina de Esta-dística de la Unión Europea.

Las Encuestas Continuas de Presupuestos Familiares pro-porcionan unos resultados trimestrales, se recogen datosde todo el territorio nacional y se investigan al conjunto dehogares que residen en viviendas familiares principales.

El muestreo que se realiza es bietápico con estratificaciónde las unidades de primera etapa, secciones censales, ysiendo las unidades de segunda etapa las viviendas fami-liares principales. En la estratificación se sigue el criteriogeográfico de asignar el estrato según el tamaño del muni-

El muestreoque se realizaes bietápico

con estratificaciónde las unidades

de primera etapa,secciones censales,

y siendolas unidades

de segunda etapalas viviendas

familiaresprincipales.

39

cipio al que pertenece la sección, estableciendo lossiguientes estratos: 1) Municipios capital de provincia; 2)Municipios con más de 100.000 habitantes; 3) Municipiosde 50.000 a 100.000 habitantes; 4) Municipio de 20.000 a50.000 habitantes; 5) Municipios de 10.000 a 20.000 habi-tantes; y 6) Municipios con menos de 10.000 habitantes.Dentro de cada estrato geográfico las secciones censales seagrupan en subestratos de acuerdo con la categoría socio-económica de los hogares de cada sección definida segúnlos siguientes grupos: 1) Agricultores; 2) Trabajadores porcuenta propia; 3) Directivos y profesionales por cuentaajena y personal administrativo; y 4) Resto de trabajadores.

La muestra la constituyen 1.008 secciones censales, investi-gándose 8 viviendas de cada una de ellas, lo que suponeuna muestra teórica de 8.064 viviendas por trimestre. Se harealizado una afijación uniforme de una parte de la mues-tra y el resto se ha afijado proporcionalmente al tamañopoblacional de las Comunidades garantizando una muestrapor Comunidad de al menos 24 secciones censales.

Los resultados sobre los gastos de consu-mo se publican trimestralmente de formaglobal y mas detallados, por grupos, enel boletín mensual del INE. Así, porejemplo, los gastos de consumo corres-pondientes al segundo trimestre de 1998aparecen en la tabla 1, y los gastos tota-les y medios por hogar sin desglosar porgrupos, se muestran en la tabla 2.

También se publican los resultados porComunidades Autónomas y por otrasvariables.

Grupos, ponderacionesy bases

Para el cálculo del IPC se ha seguido elcriterio de elegir los gastos y servicios de

40

Total Por hogar Por persona(Mill. pts.) % (miles pts.) (miles pts.)

1. Alimentos y bebidas no alcoh. 1.687.050 19,49 140,3 43,22. Beb. alcoh., tabaco y narcóticos 235.300 2,72 19,6 6,03. Artículos de vestir y calzado 615.932 7,12 51,2 15,84. Viv., ag., elec., gas y otros comb. 2.294.251 26,51 190,8 58,75. Mob., equip. hogar y otros gastos 419.049 4,84 34,9 10,76. Salud 218.260 2,52 18,2 5,67. Transportes 1.202.562 13,89 100,0 30,88. Comunicaciones 172.089 1,99 14,3 4,49. Ocio, espectáculos y cultura 430.472 4,97 35,8 11,0

10. Enseñanza 128.066 1,48 10,7 3,311. Hoteles, cafés y restaurantes 785.155 9,07 65,3 20,112. Otros bienes y servicios 467.497 5,40 38,9 12,0

Total 8.655.683 100,00 719,8 221,4

Tabla 1. Gastos de consumo, año 1998, segundo trimestre

Alimentos, Resto de Gastos medios Alimentos, Resto deAño/Trimestre Gastos totales bebidasy tabaco gastos por hogar bebidas y tabaco gastos

1998 I 8.602.179 1.890.132 6.712.047 715.407 157.194 558.213II 8.655.683 1.922.350 6.733.333 719.730 159.845 559.885III 8.778.169 1.901.297 6.876.872 725.544 157.149 568.395IV 9.102.139 2.002.039 7.100.100 746.796 164.260 582.536

1999 I 9.052.564 1.918.058 7.134.506 737.389 156.238 581.151II 9.008.458 1.925.867 7.082.591 729.415 155.937 573.478III 9.154.879 1.956.288 7.198.591 739.493 158.021 581.472IV 9.802.908 2.068.089 7.734.819 783.364 165.264 618.100

2000 I 9.908.625 2.012.051 7.896.574 789.347 160.285 629.062II 9.852.257 2.083.792 7.768.465 781.064 165.198 615.866III 10.142.334 2.145.901 7.996.433 794.894 168.183 626.711

Tabla 2

los artículos que representan más del0,03‰ del gasto familiar y clasificarlospor grupos siguiendo las recomendacio-nes internacionales. Hasta 1976 existíancinco grupos: Alimentación, Vestido y cal-zado, Vivienda, Gastos de casa y Gastosdiversos. En 1977 la O.M. de 23 de febre-ro de 1977 en la que se establecía el«Sistema de Números Índices de Preciosde Consumo, base 1976» amplió a 8 losgrupos, quedando establecidos lossiguientes: 1) Alimentación, bebidas ytabaco; 2) Vestido y calzado; 3) Vivienda;4) Menaje y servicios para el hogar; 5)Servicios médicos y conservación de lasalud; 6) Transporte y comunicaciones; 7)Esparcimiento, deportes, cultura y ense-ñanza; y 8) Otros gastos. Cada grupo, sub-grupo y artículo tiene una ponderación.

La ponderación es la importancia opeso que tiene cada artículo en el totalde la cesta de la compra y permanecefija durante el periodo de vigencia deun Sistema de Indices de Precios deConsumo. Se indica por wi, represen-tando la proporción del gasto efectuadopor ese artículo respecto del repartototal y se expresa en tanto por ciento oen tanto por mil.

Todos los sistemas van referidos a unaño, que recibe el nombre de año basey sirve para establecer el punto de par-tida de las cantidades consumidas o gas-tadas por las familias. Se obtienen lascantidades consumidas de los artículosde la cesta de la compra y sus preciosen el año base y posteriormente se vantomando los precios en los mesessiguientes para poder determinar elaumento o disminución de los Índicesde Precios de Consumo.

Los sistemas de Índices de Precios deConsumo hay que actualizarlos con elpaso del tiempo porque los gustos cam-bian, el nivel de vida varia y los gastosfamiliares se reparten de distinta forma.Prueba de ello es el cuadro adjunto (tabla3) en donde presentamos las ponderacio-nes obtenidas de las tres últimas EPF yque sirvieron de base en los Sistemas debase 1976, 1983 y 1992. Las ponderacio-nes indican la cantidad que se gasta decada mil pesetas en cada grupo.

Los Sistemas de Índices que han sido utilizados en nuestropaís desde la puesta en marcha del IPC (antes ICV) son:

Índices base julio 1936

• Vigencia: desde julio de 1939 hasta diciembre de 1960.

• Estrato de referencia: familias de clase media consti-tuida por cuatro o cinco personas con un ingresomensual de unas 600 pesetas de 1939.

• Encuesta base para obtener ponderaciones: estudiosrealizados sobre las cuentas familiares en 1939.

• Desagregación geográfica: índices para cada capital deprovincia y un índice para el conjunto de capitales.

• Número de artículos de la cesta de la compra: varian-do de 95 a 139 artículos según capital de provincia.

Índices base 1958

• Vigencia: desde enero de 1961 hasta diciembre de 1968.

• Estrato de referencia: hogares cuyo sustentador prin-cipal es activo con ingresos anuales inferiores a 80.000pesetas de marzo de 1958.

• Encuesta base para obtener ponderaciones: Encuestade Cuentas Familiares de marzo de 1958.

• Desagregación geográfica: índices para cada capitalde provincia, Ceuta y Melilla, el conjunto nacional, elconjunto de capitales y el de municipios no capitales.

• Número de artículos de la cesta de la compra: 181.

Índices base 1968

• Vigencia: desde enero de 1969 hasta diciembre de1976.

• Estrato de referencia: hogares pluripersonales cuyosustentador principal es activo, con ingresos anualescomprendidos entre 21.600 y 120.000 pesetas delaño 1968.

La ponderaciónes la importancia

o pesoque tiene

cada artículoen el totalde la cesta

de la compray permanecefija duranteel periodo

de vigenciade un Sistema

de Indicesde Precios

de Consumo.

41

Grupo Base 1976 Base 1983 Base 1992

1. Alimentación 405,2 330,3 293,62. Vestido 81,7 87,4 114,83. Vivienda 140,0 185,6 102,84. Menaje 77,5 74,2 66,85. Medicina 33,8 23,9 31,36. Transporte 97,4 143,8 165,47. Cultura 69,4 69,6 72,78. Otros 95,0 85,2 152,6

Total 1000,0 1000,0 1000,0

Tabla 3

• Encuesta base para obtener ponderaciones: Encuestade Presupuestos Familiares realizada de marzo de1964 a marzo de 1965, entrevistando a 20.000 familias.

• Desagregación geográfica: índices para cada capitalde provincia, conjunto nacional urbano, conjuntonacional no urbano y conjunto nacional total.


Índices base 1976

• Vigencia: desde enero de 1977 hasta julio de 1985.

• Estrato de referencia: familias pluripersonales cuyosustentador principal es activo, con ingresos anualesentre 81.000 y 720.000 pesetas de 1973-74.

• Encuesta base para obtener ponderaciones: Encuestade Presupuestos Familiares realizada de julio de 1973a julio de 1974.

• Desagregación geográfica: índices para el conjuntonacional total, urbano y no urbano, capitales de pro-vincia, Ceuta, Melilla y agrupaciones regionales.


Índices base 1983

• Vigencia: desde agosto de 1985 hasta diciembre de1992.

• Estrato de referencia: conjunto de hogares pluriperso-nales, tanto activos como inactivos, con ingresos com-prendidos entre las 322.575 y 2.000 pesetas de 1980-81.

• Encuesta base para obtener ponderaciones: Encuestade Presupuestos Familiares realizada del 1 de abril de1980 al 31 de marzo de 1981.

• Desagregación geográfica: Indices para los conjuntosnacional total, urbano y no urbano, capitales de pro-vincia, Ceuta, Melilla y comunidades autónomas.


Índices base 1992

• Vigencia: desde enero de 1993 hasta enero de 2001.

• Estrato de referencia: conjunto de todos los hogares.

• Encuesta base para obtener ponderaciones: Encuestade Presupuestos Familiares realizada del 1 de abril de1990 al 31 de marzo de 1991.

• Desagregación geográfica: índices para el conjuntonacional total, provincias, Ceuta, Melilla y comunida-des autónomas.


El mes de enero de 200l entró en vigor la primera fase delproceso de cambio del IPC con la publicación el 13 defebrero de los datos de enero. La segunda se implantará elpróximo año cuando se establezca completamente el

nuevo Sistema con base año 2001. Enesta primera fase el IPC se ha adaptadoa la clasificación internacional de con-sumo (COICOP) para los grandes gru-pos, que supone que los ocho gruposestablecidos, para los que se publicabaníndices hasta ahora pasen a ser estosdoce: 1) Alimentación y bebidas noalcohólicas; 2) Bebidas alcohólicas ytabaco; 3) Vestido y calzado, 4)Vivienda; 5) Menaje, 6) Medicina, 7)Transporte; 8) Comunicaciones, 9) Ocioy cultura; 10) Enseñanza; 11) Hoteles,cafés y restaurantes; y 12) Otros. Cadauno de estos grupos, así como los sug-brupos y artículos tiene una ponderación.La nueva estructura de ponderaciones,comparada con la utilizada hasta ahora esla presentada en esta nueva tabla:

El mes de enerode 200l

entró en vigorla primera fase

del procesode cambio

del IPC.

42

Grupo Ponderación PonderaciónIPC-92 IPC-92*

1. Alimentos y bebidas no alcohólicas 267,767 215,0522. Bebidas alcohólicas y tabaco 25,834 32,182

y calzado 114,792 100,3844. Vivienda 102,801 114,6135. Menaje 64,329 63,5746. Medicina 24,743 28,7187. Transporte 135,783 157,3318. Comunicaciones 14,434 25,3749. Ocio y cultura 67,908 65,238

10. Enseñanza 12,916 16,87811. Hoteles, cafés y restaurantes 109,572 113,25912. Otros 59,121 67,398

Total 1.000,000 1.000,000

Tabla 4

*Ponderaciones actualizadas en enero de 2001

La metodología también ha cambiadoen esta primera fase y es el tratamientode los artículos de recogida centralizadaen donde antes para el cálculo del pre-cio medio de cada uno de estos artícu-los se tenía en cuenta el número de uni-dades y ahora se utilizan las pondera-ciones de las variedades que los com-ponen medidas por el gasto que se hayarealizado en cada una de ellas.

Este nuevo sistema llevará incorporadouna revisión anual de las ponderacionesy la inclusión de nuevos productos en elmomento en que su consumo resulte

La segundase implantará

el próximoaño…

significativo. Además se irán introdu-ciendo de forma inmediata las modifica-ciones metodológicas que se vayan pro-duciendo, tanto a nivel nacional comointernacional.

Cálculo del IPC

El Índice de Precios de Consumo (IPC)tiene una cobertura en todo el territorionacional, calculándose tres tipos de índi-ces: Índices por capitales, Ceuta y Melilla;Índices autonómicos e Índices para elconjunto nacional urbano, no urbano ytotal. Para cada uno de ellos se obtiene elíndice total y por grupos. También paralas 57 rúbricas que se mantienen desde elSistema de base 1976.

Para calcular el IPC se utiliza una mediaaritmética ponderada, denominada fór-mula de Laspeyres, siendo el índicecorrespondiente al periodo t:

una mayor variabilidad en sus precios, mientras que enlos restantes grupos predominan los productos no pere-cederos.

La muestra de establecimientos representa a todos losestablecimientos de la localidad y su selección la lleva acabo personal especializado de las delegaciones provin-ciales del INE teniendo en cuenta una serie de normasde carácter general, no pudiendo recoger más de un pre-cio de un mismo artículo, pero sí de artículos diferentes.La muestra de establecimientos permanece fija a lo largodel tiempo y solo serán sustituidos los que cierren ocambien de actividad o cesen de comercializar el artícu-lo medido.

La recogida de precios se realiza mediante visita personala los establecimientos entre el 1 y el 22 de cada mesencargándose de ello un agente entrevistador que para losartículos perecederos toma sus precios tres veces a lo largodel mes, siempre el mismo día, en cada uno de los esta-blecimientos de las capitales de provincia y una vez en losestablecimientos del resto. Para el resto de artículos visitauna vez al mes el establecimiento para tomar los preciossalvo para aquellos otros que por su mayor estabilidad enel precio se hace la toma trimestral. Los artículos estacio-nales con grandes fluctuaciones de precios tienen un tra-tamiento especial para que no influya su variación en losresultados finales del IPC.

La organización y desarrollo del trabajo de campo en cadaprovincia la llevan a cabo los entrevistadores-encuestado-res que recogen los precios y las incidencias, los inspec-tores de entrevistadores que comprueban la representati-vidad e idoneidad de los artículos y establecimientos con-trolando el trabajo realizado por los entrevistadores a sucargo, y el inspector de la encuesta que es el responsablemáximo encargado de organizar y distribuir el trabajo,planificar las visitas y en general resolver los problemasque surjan durante la recogida de precios.

Los precios se toman en 130 municipios (50 capitales deprovincia, Ceuta, Melilla y 78 municipios no capitalescon más de 50.000 habitantes) informando 29.000 esta-blecimientos y un total de 150.000 precios aproximada-mente.

Los IPC se publican entre el 11 y el 14 de cada mes y elINE ofrece los datos del mes anterior, tanto del índicegeneral como por grupos, por Comunidades Autónomasy por provincias. Además del número índice se publicanvariaciones en tanto por ciento respecto al mes anterior,en lo que va de año y en un año. También los índicesnacionales de rúbricas, en total 57. Así en Alimentaciónaparecen como rúbricas: cereales, pan, huevos, leche,carne de vacuno...; en Vestido: prendas de vestir dehombre, de mujer, de niño y de bebé, calzado de hom-bre...; en Vivienda: en alquiler...; en Menaje: muebles yrevestimientos del suelo, textiles y accesorios para el

La muestra deestablecimientos

representaa todos los

establecimientosde la localidad…

La recogidade preciosse realiza

mediante visitapersonal a los

establecimientos…

43

I w I wp

pt i it iit

iii

= = ÂÂ100 1000

en donde:

• pit = precio del artículo i-ésimo enel periodo t.

• pi0 = precio del artículo i-ésimo enel periodo 0.

• wi = proporción del gasto efectua-do por el artículo i-ésimo en elperiodo 0.

El tratamiento de la información seefectúa en tres fases: 1) Toma directa delos artículos mediante un cuestionario ysu posterior depuración; 2) Análisis dela serie de precios; y 3) Procesamientoen los Servicios Centrales de todos losdatos enviados por las delegacionesprovinciales. Previamente se ha selec-cionado el número de establecimientosinformantes que proporcionan mensual-mente los precios de los artículos, quese clasifican en cuatro tipos, de acuerdocon la variabilidad de sus precios y elconsumo según la Encuesta de Pre-supuestos Familiares, siendo los dos pri-meros bienes perecederos en su totali-dad como carnes, pescados, huevos,frutas y hortalizas frescas que presentan

hogar, electrodomésticos...; en Medicina: servicios médi-cos y similares...; en Transporte: transporte personal,público urbano...; en Cultura: objetos recreativos, publi-caciones, esparcimiento...; y en Otros: artículos de usopersonal...

Así, por ejemplo, el IPC de noviembre de 2000 (datosnacionales), se presentó de esta manera:

inflación prevista por el Gobierno en lospresupuestos del estado y la subida realdel IPC, y la otra correspondiente a lasentencia de la Audiencia Nacionalsobre la subida salarial a los funciona-rios.

Ejemplo 1. Obtención de la variacióndel IPC en el año 2000

Hemos de comparar el índice dediciembre de 2000 con el de diciembrede 1999 y obtener la variación en % así:

44

% variación Sobre mes en lo que En un

Grupo Índice anterior va de año año

1. Alimentación 127,2 0,2 2,1 2,92. Vestido 123,8 0,5 2,2 2,33. Vivienda 140,3 0,2 4,5 5,04. Menaje 125,4 0,2 2,9 3,15. Medicina 133,4 0,2 3,4 3,56. Transporte 141,6 0,7 6,3 6,77. Cultura 128,1 0,4 2,9 2,98. Otros 141,9 0,3 4,4 5,0

Índice general 132,9 0,2 3,6 4,1

Tabla 5. Índices de precios de consumo. Base 1992.Noviembre 2000. Datos provisionales.Índices nacionales: general y de grupos

Obtención de las variaciones del IPC

En la tabla 6 presentamos los índices de los últimos añosdel siglo XX, que nos servirán para hacer algunos casosprácticos y para dos actividades cuya relevancia ha tenidomucha importancia. Me refiero a la paga extra de los pen-sionistas en los dos últimos años por desajuste entre la

Índices 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Enero 170,6 180,6 103,2 108,3 113,1 117,5 120,8 123,2 125,1 128,7Febrero 170,4 182,0 103,2 108,4 113,6 117,8 120,8 122,9 125,2 128,9Marzo 170,9 182,0 103,6 108,7 114,3 118,2 120,8 123,0 125,7 129,4Abril 171,3 182,5 103,6 109,2 114,9 118,9 120,9 123,3 126,2 129,9Mayo 171,8 182,9 104,3 109,4 114,9 119,3 121,0 123,5 126,2 130,2Junio 172,3 182,9 104,6 109,5 115,1 119,2 121,0 123,5 126,2 130,6Julio 174,4 183,5 105,0 109,9 115,1 119,3 121,3 123,5 126,8 131,3Agosto 175,1 185,2 105,6 110,7 115,4 119,7 121,8 124,0 127,3 131,9Septiembre 176,5 186,7 106,2 111,0 115,8 120,0 122,4 124,3 127,5 132,2Octubre 177,6 186,8 106,6 111,2 116,1 120,1 122,4 124,4 127,5 132,6Noviembre 177,9 186,9 106,8 111,4 116,4 120,1 122,6 124,3 127,7 132,9Diciembre 178,0 187,5 107,3 111,9 116,7 120,5 122,9 124,7 128,3 133,4Variación 5,5 5,3 4,9 4,3 4,3 3,2 2,0 1,4 2,9 4,0

Tabla 6Nota: Coeficiente de enlace K = 0,545261

VI

ID DD

D00 99

00

991 100- = - ◊ =( )

133 4

128 31 100 3 975= - ◊ =(

,

,) ,

La variación es del 3,98 %

Ejemplo 2. Variación del IPC en el año1993

En este caso como indice D92 está enbase 83 y D93 está en base 92 hay queexpresarlos en la misma base para locual el índice de base 83 se multiplicapor el coeficiente K de enlace, por tanto:

VI

ID DD

D93 92

93

921 100- = - ◊ =( )

107 3

187 5 0 5452611 100 4 952=

◊- ◊ =(

,

, ,) ,

La variación es del 4,95 %

Ejemplo 3

Un piso se alquila el 1 de agosto de1996 a un precio de 100.000 pts. habien-do en el contrato una cláusula que indi-ca que se aumentará cada año el preciosegún la variación del IPC. ¿Cuál será elprecio del alquiler cada año hasta el2001?

• Aumento de julio de 1996 a julio de1997:

(,

,) ,

121 8

119 31 100 2 1- ◊ =

Alquiler del 1 de agosto de 1997 a 1 agos-to de 1998: 100.000 · 1,021 = 102.100 pts.


(,

,) ,

123 5

121 31 100 1 81- ◊ =

Alquiler del 1 de agosto de 1999 al 1agosto de 200: 103.948 · 1,0267 == 106.723 pts.


dió no descontar esa cantidad. Sin embargo, en los dos

últimos años la inflación anual referida al mes de noviem-

bre ha sido mayor a la prevista por el Gobierno y en este

caso se establece una paga extra para compensar el dese-

quilibrio, paga a recibir antes del 1 de abril, según la Ley

de Pensiones.

En 1999 la previsión del Gobierno fue del 2 % y la infla-

ción, del 4,1 %. Esta diferencia cifrada en 355.000 millones

de pesetas es la cantidad que se abonó a los pensionistas

en una paga extra en Enero del 2001.

Así, un pensionista que durante el año 2000 recibiera

una pensión de 100.000 pesetas, durante 1999 era de

98.039 pesetas, ya que como el aumento previsto por el

Gobierno era del 2 % (100.000/1,02 = 98.039 pts.) y el

aumento debió de ser del 4,1 %, esas 98.039 se habrían

traducido en 102.059 pts. (98.030 x 1,041) en lugar de

las 100.000 pts. que estuvo cobrando. Esa diferencia

mensual de 2.059 pts. multiplicada por 14, supone la

paga extra de 28.826 pts. que recibió en el mes de

enero. Además sobre esta cantidad de 102.059 pts. se

fija la pensión para el 2001 que según las previsiones

del Gobierno es de un 2 %, y por lo tanto 104.100 pts.

es lo que percibirá dicho pensionista durante el año

2001.

Sentencia de la Audiencia Nacionalsobre el sueldo de funcionarios

Con motivo de la publicación el 11 de enero de 2001 del

IPC de diciembre de 2000 que daba un aumento durante

ese año del 4 %, muchos especialistas volvieron a retomar

el tema de la subida del IPC, ya que es una cuestión de

vital importancia en nuestro país. Basta recordar que

debido a estos datos el 71 % de los trabajadores con con-

venio tendrán una revisión salarial y que supondrá a los

trabajadores una retribución estimada en 200.000 millones

ya que el aumento establecido en los convenios no llega-

ba al 2,2 %, pero debido a una cláusula de revisión del

salario según el aumento del IPC hace que casi 6 millo-

nes de trabajadores no pierdan poder adquisitivo, cosa

que no ha ocurrido con los trabajadores de la Admi-

nistración.

Pues parecía un anticipo a la sentencia que se produjo a

finales de enero emitida por la Audiencia Nacional en la

que textualmente se dice «... declarando el derecho de los

funcionarios incluidos en el ámbito del Acuerdo de 15 de

septiembre de 1994 objeto de autos a percibir el incre-

mento de su retribución, según la previsión presupuesta-

ria del crecimiento del IPC en el año 1997, más las canti-

dades dejadas de percibir durante los años sucesivos

Un caso quetiene mucharepercusión

a nivel nacional esel aumento

de las pensiones.Cada añocuando

el Gobiernopresenta

los Presupuestosdel Estado parasu aprobaciónen el Congreso

de los Diputadosestablece

una previsiónde la subidadel IPC para

el año siguiente,y en función deesta previsión

estableceel aumento

de las pensiones.

45

Alquiler del 1 de agosto 1998 al 1 agos-to de 1999: 102.100 · 1,081 = 103.948 pts.


(,

,) ,

126 8

123 51 100 2 67- ◊ =

(,

,) ,

131 3

126 81 100 3 55- ◊ =

Alquiler del 1 de agosto de 2000 al 1 deagosto de 2001: 106.723 · 1,0355 == 110.512 pts.

Acontecimientosimportantes en los queel IPC ha sido referentediario en los mediosde comunicación

Pensiones

Un caso que tiene mucha repercusión a

nivel nacional es el aumento de las

pensiones. Cada año cuando el

Gobierno presenta los Presupuestos del

Estado para su aprobación en el

Congreso de los Diputados establece

una previsión de la subida del IPC para

el año siguiente, y en función de esta

previsión establece el aumento de las

pensiones.

La Ley de Pensiones de 1997, para que

los pensionistas no perdieran poder

adquisitivo, estableció el mes de

noviembre como referencia de actuali-

zación. Si el aumento durante un año en

noviembre era menor que la previsión

del Gobierno los pensionistas tendrían

que devolver una cantidad y en caso

contrario el Gobierno tendría que abo-

narles esa diferencia. Hubo dos años en

donde la subida del IPC fue menor que

la prevista por el Gobierno y éste deci-

como consecuencia de la inaplicación del señalado incre-

mento, y ordenamos a la Administración demandada que

proceda a llevar a efecto en el menor plazo posible, nego-

ciaciones sobre el incremento retributivo previsto en el

artículo VI, titulo II del acuerdo señalado, con efectos al

año 1996, momento en que dicha negociación debió pro-

ducirse...»

Según han publicado todos los medios de comunicación

el acuerdo entre Sindicatos y Administración abarcaba tres

años 1995, 1996 y 1997. En 1997 la previsión de inflación

prevista por el Gobierno era del 2,6 % –previsión a la que

se ha ajustado el Gobierno los dos últimos años 1999 y

2000 para las subidas salariales de los funcionarios, con-

cretamente 1,8 % y 2 %, si bien la subida del IPC fue de

2,9 % y 4 % respectivamente– mientras que la subida del

IPC fue del 2 %. Si nos atenemos a lo que ha hecho el

Gobierno en estos dos últimos años, en esta negociación

a la que «obliga» la Audiencia Nacional entre Sindicatos y

Administración debería de aplicarse el mismo criterio que

en estos dos últimos años y establecer esa subida en el

2,6%. Y esto, ¿qué representa?

Un trabajador que en 1996 cobrara 100.000 pesetas, en

1997 debió cobrar 100.000·1,026 = 102.600 pts. mensuales,

luego se le adeuda 2.600·14 = 36.400 pts. A esta cantidad

hay que aumentarle los porcentajes previstos por el

Gobierno, luego:

• Año 1998: se incrementa esta cantidad en el 2,1 %, es

decir 37.164 pts.

• Año 1999: se incrementa esta cantidad en 1,8 %, es

decir 37.833 pts.

• Año 2000: Se incrementa esta cantidad en 2 %, es

decir 38.590 pts.

A este trabajador que en 1996 cobraba 100.000 pesetas

mensuales la Administración por la sentencia de la

Audiencia Nacional debe abonarle por una sola vez una

paga de: 149.987 pesetas.

A modo de conclusión

A lo largo de las páginas anteriores hemos realizado

un rápido recorrido de las aplicaciones del IPC en la

vida cotidiana, hecho que nos obliga a los docentes

a tratar estos temas con nuestros alumnos. Si bien no

aparece como contenido específico dentro del área

de matemáticas en Secundaria sí es un contenido

que debamos de tratar ya que tiene una aplicación

en el estudio de porcentajes, tiene una aplicación en

el estudio de gráficas y tiene una

aplicación en el estudio del trata-

miento de la información.

Las matemáticas que están presentes en

nuestra vida cotidiana deben de ser

conocidas y aplicadas con toda soltura

por nuestros alumnos, para que temas

como el del IPC que interviene en tan-

tos aspectos económicos, como el del

aumento de las pensiones, el aumento

de los salarios, en los convenios o en el

alquiler de un piso, queden dentro de la

alfabetización matemática que los alum-

nos han de tener al finalizar la enseñan-

za obligatoria.

Bibliografía

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Madrid

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dos de 1988, INE, Madrid


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trimestre de 1997). Metodología, INE,

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Andrés NortesFacultad de Educación.Universidad de Murcia.

Sociedad Andaluzade Educación Matemática

«Thales».Sociedad Canaria

de Profesores de Matemáticas«Isaac Newton».

Sociedad de EduaciónMatemática de la Región de

Murcia

46

Las matemáticasque estánpresentes

en nuestra vidacotidiana

deben de serconocidas

y aplicadascon toda soltura

por nuestrosalumnos…

E PUEDE considerar este trabajo como la continuaciónde la actividad: «Cómo calcular el Máximo ComúnDivisor y el Mínimo Común Múltiplo», que forma partedel artículo: «Algunos contenidos matemáticos con Logo»(Ramellini, 1999).

Por qué Logo1

En la premisa del artículo citado, daba un cuantas razonesque nos llevaron a escoger Logo como lenguaje de pro-gramación, una vez decidido empezar una alfabetizacióninformática en el último trienio de la Escuela Primaria y enel primero bienio de la ESO2.

Me limité a exponer estas razones para evitar abrir undebate sobre si es necesario enseñar a programar o si,dado el escaso tiempo y los limitados medios que tenemosen las escuelas, no es más conveniente concentrar losesfuerzos en que los alumnos aprendan a ser usuariosconscientes de los grandes medios que ofrece el softwaredidáctico y, sobre todo, la red.

Mantendré esta prudencia, porque el tema necesita tiem-po y competencias que no poseo, pero me gustaría citarunas declaraciones de Umberto Eco3 para Liberation en lainauguración del sitio Internet sobre la educación de ladiversidad (www:\\academie-universelle.asso.fr):

[...] Existe el riesgo de un universo a lo Orwell, fundado sobretres clases, pero no en sentido marxista: la clase de los que inte-raccionan activamente con la red, que reciben y emiten mensa-jes; la pequeña burguesía de los usuarios pasivos, y el proleta-riado que se limita a mirar lo que pasa la televisión [...].

Para evitar la tecno-exclusión «[...] tenemos que buscar lasolución fuera de la red, en las escuelas. Para permitirque cada niño sea parte de esa aristocracia de masa, la

El autor, a modo decontinuación de un artículo

suyo publicado en el número32 de Suma, presenta un

desafío aún mayor, en el quelos alumnos deben enseñaral ordenador cómo resolvercálculos y expresiones confracciones, expresando en

fracción el resultado.

47

Programar en Logo: enseñaral ordenador el cálculocon fracciones

Guido Angelo Ramellini

ARTÍCULOS

S

39

febrero 2002, pp. 47-52

escuela debe enseñarle a programar y no sólo a utilizarprogramas».

Enseñar a los niños a programar «[...] es la cosa más fácildel mundo, porque esta generación nace con un talentopara el ordenador».

Evidentemente, ni creo haber resuelto el debate con estaspalabras, de fuente tan competente, ni comparto total-mente el optimismo de la última afirmación: enseñar a losniños a programar es difícil, en parte porque requiereesfuerzo, tiempo, una estrategia correcta y eficaz, medios,objetivos claros y, especialmente, una sociedad que estévolcada a incentivar en los niños la participación activa.Desdichadamente, estoy convencido de que el modelocultural dominante induce, por el contrario, a la pasividady que ésta juega un papel importante en la crisis quesufren los modelos educativos democráticos, que incenti-van la participación crítica.

El cálculo con fracciones

Creo que todos los compañeros que trabajamos con niñosde primaria o de los primeros años de secundaria com-partimos la impresión de que se ha perdido de forma con-siderable la capacidad de cálculo a todos los niveles.

No sé de qué depende: si del estímulo social de habilida-des distintas (Hidalgo y otros, 1999), o de un uso excesi-vo y equivocado de los aparatos tecnológicos de cálculo,si del rechazo de contenidos áridos y repetitivos compar-tido por el alumnado y por parte del profesorado, o si deun poco de todo esto.

En los Programmi della Scuola Media 4, las indicacionesfinales para la enseñanza de las matemáticas, dicen tex-tualmente:

Se desaconseja insistir en aspectos puramente mecánicos y mne-mónicos, y por esto de escaso valor formativo. [...] Por ejemplo,argumentos como la descomposición en factores primos, el cál-culo del Máximo Común Divisor y el Mínimo Común Múltiplo, elcálculo de largas expresiones aritméticas, el algoritmo para laextracción de la raíz cuadrada, el cálculo literal sin referenciasconcretas, no deben de tener un valor preponderante en la ense-ñanza, y menos aún en la evaluación.

Esta postura oficial, que recogía las experiencias pedagógi-cas más avanzadas, ayudó a cambiar las prioridades y lametodología de la enseñanza de las matemáticas en Italia,que, hasta aquel momento (a pesar de que experiencias tanrenovadoras como la de Emma Castelnuovo son de los añoscincuenta), estaba basada en la repetición mecánica y eter-na de expresiones aritméticas antes y ecuaciones después.

Es difícil no compartir esta postura, pero tampoco pode-mos cruzarnos de brazos ante las dificultades de cálculo,que sigue siendo un instrumento fundamental para el

desarrollo de capacidades matemáticasmás elevadas.

Objetivos

Continúo pensando que, además dequerer reforzar el aprendizaje de loscontenidos matemáticos (esenciales, enesto caso), e informáticos, que resulta-rán evidentes en la explicación de nues-tra experiencia, trabajar con un lengua-je para ordenador implica para el alum-no el esfuerzo de traducir sus estrategiasy razonamientos en algo que la máqui-na pueda «entender» y aplicar.

Este esfuerzo, que comporta una refle-xión profunda sobre los contenidos dis-ciplinares y la comparación entre distin-tas maneras de aproximarse a ellos, meparece el principal aspecto formativodel trabajo con el ordenador en estaetapa escolar.

Un trabajo sistemático de este tipo resal-ta las diferencias en la forma de trabajardel ordenador y la del ser humano, yasienta la capacidad de buscar solucio-nes alternativas y el hábito de modificarla propia forma de pensar.

Prerrequisitos

• Haber trabajado en clase con frac-ciones y con las reglas del cálculo.

• Haber desarrollado en el laborato-rio de informática los procedimien-tos para calcular con el ordenadorel Máximo Común Divisor y elMínimo Común Múltiplo.

Actividadcon el ordenador

Primeros pasos

Se propone a los alumnos que experi-menten las respuestas del ordenador adistintos input con fracciones. Es:

PRINT 2/3 Æ 0,666666666666667PRINT 2*2/3 Æ 1,33333333333333

1 Microsoft Windows Logo, ver-sión 6.2g, Softronics, Inc.:http://www.softronix.com

2 Las Escuelas Italianas de Madridsiguen los planes de estudio ita-lianos y están divididas entre: 5años de primaria, 3 de secun-daria de I grado y 5 de II grado.Los alumnos trabajan en el labo-ratorio de informática 1 hora ala semana a partir del IV año dePrimaria. No se trabaja exclusi-vamente con Logo.

3 En La Repubblica,(8 de enerode 2000: 13) La traducción esmia.

4 Los Programmi della ScuolaMedia Inferiore de 1979, quehan sido una de las fuentes deinspiración de la LOGSE queha reformado la escuela espa-ñola, recogen los objetivos, loscontenidos, la metodología ylas comprobaciones de todoslos currículos de las materiasque se imparten en el primernivel de la Escuela SecundariaItaliana. La traducción es mia.

48

…enseñara los niños

a programares difícil…

PRINT 1/6*6/5 Æ 0,2PRINT 2/3 + 5/3 Æ 2,33333333333333…

El ordenador reconoce las fracciones,pero las transforma en números deci-males para poder resolver las operacio-nes y darnos el resultado. Podemos así:

a) transformar el resultado de númerodecimal en fracción (input = fracciónÆ cálculo = número decimal Æ out-put = fracción);

b) «enseñar» al ordenador a trabajarcon fracciones, sin pasar a través delos números decimales.

Esta estrategia comporta una dificultaddifícilmente superable, porque el orde-nador no distingue entre números deci-males finitos e infinitos periódicos (tra-bajando a partir de fracciones, evidente-mente nunca obtendremos númerosdecimales infinitos no periódicos).

La estrategia que debemos utilizar es lade introducir y operar separadamentecon los numeradores y los denominado-res de las fracciones.

¿Con qué operaciónempezamos?

Podemos dejar que cada alumno escojapor qué operación empezar. O bien,podemos asignar una operación distinta acada alumno (o pareja de alumnos), segúnlas distintas habilidades y competencias. Ytambién podemos proponer a la clase unbrain storming en el que se evidencia:

• que el algoritmo de la adición, porel que todos los alumnos proponenempezar, no es el más fácil con losnúmeros fraccionarios;

• que hay unas evidentes y fuertesrelaciones entre los algoritmos deadición y sustracción (en un caso sesuman y en el otro se restan losnumeradores) y los de multiplica-ción y división (dividir es igual amultiplicar por la fracción inversa);

• que el resultado final tiene que seruna fracción primitiva, o sea sim-plificada.

Podemos además ponernos de acuerdopara empezar operando con sólo dos

fracciones, y por lo tanto tendremos cuatro variables dife-rentes: los dos numeradores (n1 y n2) y los dos denomi-nadores (d1 y d2).

Preparación de los procedimientos básicos

Para calcular el MCD

TO MCD :a :b Para calcular el MCD entre a y b

MAKE “r REMAINDER :a :b se llama r el resto de a/b

IF :r=0 [MAKE “MCD :b PRINT [MCD= ] si r=0, b es el MCD, se imprime

PRINT :MCD STOP] y se termina el trabajo

MAKE “a :b MAKE “b :r si r > 0, b se convierte en a y r

en b

MCD :a :b se repite el procedimiento

END hasta que r = 0

Para calcular el MCM

TO MCM :a :b

MCD :a :b

MAKE “MCM :a*:b/:MCD

PRINT :MCM

END

Para simplificar una fracción n/d

TO SEM :a :b

MCD :a :b (eliminando, si no nos sirven, las

MAKE “a :a/:MCD MAKE “b :b/:MCD instrucciones para imprimir el

MCD)

END

Algoritmo de la multiplicación

TO PRO :n1 :d1 :n2 :d2

***(SEM :n1 :d1 ***estas líneas sirven para simpli-

MAKE “n1 :a “d1 :b ficar las fracciones iniciales:

SEM :n2 :d2 son opcionales, se pueden

MAKE “n2 :a “d2 :b)*** añadir a los cuatro procedi-mientos***

MAKE “n :n1*:n2 MAKE “d :d1*:d2 se multiplican los dos númera-dores y los dos denominadores

SEM :n :d se simplifica el resultado

PRINT (LIST :n “/ :d) se imprime el resultado en forma

END de fracción

Algoritmo de la división

TO CUO :n1 :d1 :n2 :d2

PRO :n1 :d1 :d2 :n2 sólo es necesario invertir numerador y deno-

END minador de la segunda fracción y multiplicar

Algoritmo de la potencia

No tiene secretos: una vez comprobado si numerador ydenominador se pueden simplificar, se multiplican cadauno por sí mismo las veces indicadas por el exponente:

La estrategiaque debemos

utilizares la de introducir

y operarseparadamente

conlos numeradores

ylos denominadoresde las fracciones.

49

TO PT :n1 :d1 :e

SEM :n1 :d1

MAKE “n :n1 MAKE “d :d1

REPEAT :e [MAKE “n :n*:n1 MAKE “d :d*:d1]

PRINT (LIST :n “/ :d)

END

Algoritmos de la adición y de la resta

Se puede enfocar el trabajo de dos formas distintas (pro-fundizaremos en la discusión las dos opciones):

a) obteniendo pragmáticamente, en modo rápido y sim-ple, el resultado correcto;

b) desarrollando didácticamente los contenidos: MCD,MCM, común denominador, etc.

a)

TO SUMA :n1 :d1 :n2 :d2

MAKE “d :d1*:d2 el denominador común es el producto

de los denominadores y no el MCM

MAKE “n1 :n1*:d2

MAKE “n2 :n2*:d1

MAKE “n :n1+:n2

SEM :n :d es fundamental simplificar el resultado

END

TO RES n1 :d1 :n2 :d2 TO RES n1 :d1 :n2 :d2

MAKE “n2 :n2*-1 SUMA :n1 :d1 -:n2 :d2

SUMA :n1 :d1 :n2 :d2 END

END

b)

TO SUMA :n1 :d1 :n2 :d2

MCM :d1 :d2 el denominador común es el MCM

MAKE “d :mcd

MAKE “n1 :n1*:mcm/:d1

MAKE “n2 :n2*:mcm/:d2

MAKE “n :n1+:n2

SEM :n :d simplificar el resultado no tiene la misma

END importancia que en el otro procedimiento

TO RES n1 :d1 :n2 :d2 TO RES n1 :d1 :n2 :d2

MAKE “n2 :n2*-1 SUMA :n1 :d1 -:n2 :d2

SUMA :n1 :d1 :n2 :d2 END

END

Ejercicios más complejos

Una vez construidos los procedimientos básicos, podemosaprovechar la estructura modular de Logo para elaborarsuper-procedimientos que resuelvan expresiones.

Siguen unos ejemplos, algunos fáciles y otros más com-plejos:

TO EXP1

;(3/5+2/3)*5/19=1/3

SUMA 3 5 2 3

MAKE “n1 :n MAKE “d1 :d

PRO :n1 :d1 5 9


END

TO EXP2

;(2/5*15/8-1/18:5/6)*30/41

PRO 2 5 15 8

MAKE “z1 :n MAKE “v1 :d

CUO 1 18 5 6

MAKE “z2 :n MAKE “v2 :d

RES :z1 :v1 :z2 :v2


PRO :n1 :d1 30 41


END

TO EXP3

;[13/5-(3/20*2/3)]^3:(7/6+4/3)^4

PRO 3 20 2 3


RES 13 5 :n2 :d2

PT :n :d 3

MAKE “nn1 :nn MAKE “dd1 :dd

SUMA 7 6 4 3

PT :n :d 4

MAKE “nn2 :nn MAKE “dd2 :dd

CUO :nn1 :dd1 :nn2 :dd2


END

TO EXP4 (este ejercicio combina los dos

precedentes: EXP2 y EXP3)

;[(2/5*15/8-1/18:5/6)*30/41]*[13/5--(3/20*2/3)]^3:(7/6+4/3)^4

EXP2

;MAKE “nt1 :n MAKE “dt1 :d

EXP3

MAKE “nt2 :n MAKE “dt2 :d

PRO :nt1 :dt1 :nt2 :dt2


END

La estructura modular de Logo evidenciael procedimiento de resolución de lasexpresiones y las reglas para su resolu-ción. Si la expresión es larga, se puedepartir en distintos trozos, resolverlosseparadamente y, finalmente, llegar alresultado final:

TO EXP5

;(2/5+8/15-1/3)*(7/6-4/3+4/4)

EE1

La estructuramodularde Logo

evidenciael procedimiento

de resoluciónde las expresiones

y las reglaspara

su resolución.Si la expresión

es larga,se puede partir

en distintos trozos,resolverlos

separadamentey, finalmente,

llegaral resultado

final.

50


EE2


PRO :n1 :d1 :n2 :d2


END

TO EE1

;(2/5+8/15-1/3)

SUMA 2 5 8 15

RES :n :d 1 3


END

EE2

;(7/6-4/3+1/2)

RES 7 6 4 3

SUMA :n :d 1 2


END

Conclusiones

Como decía esquematizando los objeti-vos, la actividad presentada permitereforzar algunos contenidos y compe-tencias muy importantes, que muchosalumnos aprenden normalmente deforma superficial y mecánica, y olvidan,aún cuando mantengan algunas habili-dades y sepan resolver operaciones confracciones.

Sin adentrarme demasiado en el tema,creo que muchos profesores conocemosla facilidad con que alumnos de capaci-dad suficiente, después de meses enque han resuelto ejercicios largos ycomplejos, se equivocan todavía antesimples operaciones como: 2 + 3/5(donde contestan 5/5), 1/2 – 1/4 (convarios errores posibles), 1/4 : 1/2 (quenormalmente resulta igual a 1/8), ymuchas otras del mismo tipo.

De poco sirve que les hayamos obliga-do a imaginar tartas, que las hayan dibu-jado en papel cuadriculado, coloreado,recortado con tijeras: en sus casas, losalumnos nunca cortan tartas, que, ade-más, está claro que no llevan cuadrícu-las, sino, como mucho, guindas, que nosiempre ayudan a una repartición mate-máticamente correcta.

No pretendo afirmar que las actividades con el ordenadorresuelvan por sí solas este tipo de problemas, pero recon-ducen los contenidos a un ambiente operativo distinto, endonde las reglas, por abstractas que sean, adquieren unaoperatividad, producen una respuesta de la máquina,correcta o no, realizan un feed back.

Esta interacción con la máquina me parece un aspecto muyimportante cuando trabajamos con contenidos abstractos(evidentemente, las operaciones con las fracciones no tie-nen en un contexto social amplio la misma centralidad queles otorga el currículo de matemáticas) o formalizado.

El ordenador puede convertir en concreto (y personal) lo que esformal. (Papert, 1980)

Es evidente que mejores serán las respuestas de un mayornúmero de alumnos cuanto más cercanos, concretos y moti-vadores sean los temas que el laboratorio de informática lessabe proponer, respetando de este modo el principio de con-tinuidad (la relación entre las matemáticas y los conoci-mientos personales), el principio de potencia (permitiendo alos alumnos la elaboración de proyectos significativos) y elprincipio de resonancia cultural (la materia debe de tenerun sentido en un contexto social más amplio) (Papert, 1980).

Por otro lado, es inútil forzar la significatividad o la prag-maticidad de unos contenidos: el riesgo es aumentar aúnmás la artificialidad de la situación.

Podemos aprovechar el hecho de que el trabajo con elordenador ejerce una fuerte fascinación sobre los alumnosy tiene una aceptación social muy positiva. Tiene tambiénreglas, lenguajes, situaciones comunicativas propias, aveces muy rígidas y áridas; otras veces mucho más diná-micas que algunas de las tareas que ofrecemos día a díaen nuestras clases.

Además, se puede potenciar el valor comunicativo de laactividad, organizando a los alumnos por parejas o peque-ños grupos y permitiendo la confrontación de las ideas.

Otro aspecto importante que se manifiesta a menudo en eltrabajo con el ordenador es la relativización de la impor-tancia de los contenidos.

Sin considerar el aspecto formal y conceptual, si compa-ramos la importancia operativa, en el contexto de las ope-raciones con fracciones, parece evidente que el MCMdesarrolla un papel mucho más importante que el MCD.Saber calcular el MCM es fundamental para sumar y restarfracciones, si queremos evitar cálculos complicados, mien-tras que, en la tarea de simplificar fracciones, el rol delMCD puede ser sustituido eficazmente por unas simplesdivisiones progresivas.

En los procedimientos del ordenador, por el contrario, noparece en absoluto necesario calcular el MCM (la compu-tadora no teme los grandes números) y resulta esencialcalcular el MCD (procedimiento SEM).

De poco sirve queles hayamos

obligadoa imaginar

tartas,que las hayan

dibujadoen papel

cuadriculado,coloreado,recortado

con tijeras:en sus casas,los alumnos

nuncacortan tartas,que, además,

está claroque no llevancuadrículas,

sino,como mucho,

guindas,que no siempre

ayudana una reparticiónmatemáticamente

correcta.

51

El cálculo del MCM aparece sólo si decidimos acercar las

tareas del ordenador a nuestra forma de proceder (ADD,

versión 2).

En todo caso, el ordenador no es una medicina definitiva

ni, mucho menos, inmediata.

Así, el objetivo transversal de conducir los alumnos a refle-

xionar sobre su forma de pensar no se mide con compro-

baciones rápidas, al terminar una tarea, sino a lo largo de

varios años y en situaciones concretamente problemáticas.

Empecé a ver cómo los niños que habían aprendido a programarun ordenador podían utilizar modelos informáticos para reflexio-nar sobre cómo se piensa, para aprender cómo se aprende, y, deeste modo, para desarrollar sus capacidades de psicólogos yepistemólogos. (Papert, 1980)

Referencias bibliográficasHIDALGO ALONSO S. y otros (1999):

«Evolución de las destrezas básicas parael cálculo y su influencia en el rendi-miento escolar en matemáticas», Suman.° 30, 37-45.

HIDALGO ALONSO S. y otros (1999): «Ladestreza para el cálculo elemental comofactor de aprovechamiento en Matemá-ticas en el primer ciclo de la ESO», enActas de las 9as JAEM, 538-541.

RAMELLINI, G. A. (1999): «Algunos conteni-dos matemáticos con Logo», Suma, n.°32, 91-97.

PAPERT, S. (1980): Mindstorm, Basic Book,New York.

Guido Angelo RamelliniScuola Media Statale Italiana.

Madrid.Sociedad Madrileña

de Profesores de Matemáticas«Emma Castelnuovo»

52

3.° EGB

L PRIMER plan de estudios de enseñanza secundaria seremonta al 4 de agosto de 1836 (Ministerio de EducaciónNacional, 1964). Con él se inicia una larga lista: veintedurante los dos últimos tercios del siglo XIX y diez a lolargo del siglo XX, cuyas características generales –en cuan-to a la asignatura de Matemáticas– pueden verse en Ibañes(1993). Un análisis detenido de los últimos se encuentra enRico y Sierra (1994). A continuación se hace una lecturamás específica –en lo que se refiere al tema de la demos-tración (prueba)– de los planes más recientes.

Plan de 1934 (Ministerio de InstrucciónPública y Bellas Artes, 1934a y b)

En este plan el Bachillerato consta de 7 cursos, y el cues-tionario de Matemáticas consiste en una enumeracióndetallada de los contenidos de cada curso. Al final hay unapartado de Observaciones que incluye los siguientespárrafos:

En el tercer año se inicia el estudio racional de la Aritmética y dela Geometría, sin que esto quiera decir que se explique Arit-mética y Geometría de carácter abstracto. Por el contrario, seprocurará limitar el grado de abstracción de las materias ense-ñadas en todos los cursos, adaptándolo a la edad mental de losalumnos. En cambio, los cursos intuitivos no deben reducirse auna mera exposición de recetas para resolver ejercicios prácti-cos, sino que se hará razonar al alumno en todo momento, siem-pre dentro de los límites que imponga su desarrollo mental.

La dosificación de la intensidad y grado de abstracción de lasmaterias estudiadas es una cuestión de tacto, fundamental en elarte de la enseñanza, y que ha de ser confiada a los profesores,pues solamente ellos pueden resolverla en cada caso particularcon el criterio que les dicte su experiencia.

No hay referencias explícitas de la demostración (prueba),y como muestra la cita anterior, simplemente se hace una

En la primera parte de esteartículo se hace un breve

análisis histórico deltratamiento que los distintos

planes de estudios,cuestionarios o sistemaseducativos que se han

sucedido en España en lasúltimas décadas, han dado a

las demostraciones(pruebas). Finalmente,teniendo en cuenta la

investigación que desdehace unos años venimosdesarrollando en nuestra

Universidad, desde la ópticade la Didáctica de la

Matemática, se comentan lasaportaciones del currículoactual, que suponen una

mejora sobre los anteriores,y las deficiencias

observadas, que podrían sersubsanadas con la propuestacurricular que se hace aquí.

53

La demostración en el currículo:una perspectiva histórica

Marcelino J. Ibañes JalónTomás Ortega del Rincón

ARTÍCULOS

E

39

febrero 2002, pp. 53-61

llamada de atención a la transición de los «cursos intuiti-vos» a los de «estudio racional», que deja al buen criteriode los profesores.

Plan de 1938 (Ministerio de EducaciónNacional, 1938 y 1939)

En este plan el Bachillerato consta de 7 cursos. El cuestio-nario de Matemáticas consiste en una enumeración deta-llada de los contenidos de cada curso. Después de los cur-sos primero, tercero, quinto y séptimo, se especifican unasInstrucciones metodológicas, de las que extraemos lossiguientes comentarios:

Las materias que componen el cuestionario de este primer cursose expondrán de forma intuitiva sin demostraciones y con el únicoobjeto de que el alumno se habitúe a la nomenclatura y notaciónpropia de la Aritmética y de la Geometría…

Durante el segundo y tercer curso podrán iniciarse ya los alumnosen las demostraciones y razonamientos elementales que justifiquenlos enunciados y teoremas de la Aritmética y Geometría que vayanaprendiendo. De manera que comiencen a adquirir nociones delrigor y exactitud lógicos, así como el proceso sistemático que exigela ciencia. La exactitud analítica y el rigor lógico nunca serán, sinembargo, llevados a una exageración tal que resulten repulsivospara las inteligencias vivas e imaginativas de los niños. Siempre,sobre todo, en presencia de conceptos y figuras nuevas, se utiliza-rá el método intuitivo y directo en la medida de lo posible…

Durante el cuarto y quinto cursos podrán exigirse ya de los alum-nos la precisión, el rigor lógico y el espíritu sistemático propiosde las Ciencias Exactas; de manera que sus espíritus se formen yse desarrollen según estas saludables directrices.

Las demostraciones y razonamientos no sobrepasarán, sinembargo, del nivel elemental…

Hay algunas referencias explícitas a las demostraciones,aunque no se orienta sobre qué proposiciones pueden serdemostradas, ni se especifica nada acerca de las técnicas dedemostración adecuadas o exigibles. Se establece una gra-dación en cuanto al rigor y abstracción de los razonamien-tos, en la que se observa cierta prisa respecto a la adquisi-ción, por parte de los alumnos, del razonamiento hipotéti-co deductivo. En este sentido, parece muy exagerado pre-tender que en los cursos cuarto y quinto –14 y 15 años–puedan «exigirse de los alumnos la precisión, el rigor lógi-co y el espíritu sistemático propios de las Ciencias Exactas».Además, este comentario está en contradicción con elsiguiente párrafo: «Las demostraciones y razonamientos nosobrepasarán, sin embargo, del nivel elemental…».

Plan de 1953 (Ministerio de EducaciónNacional, 1953 y 1954)

En este plan el Bachillerato consta de 6 cursos, más uncurso preuniversitario. El cuestionario de Matemáticas con-

siste en una enumeración detallada delos contenidos de cada curso. Al final seincluyen unas Orientaciones metodológi-cas, que se especifican para cada curso,y de las que extraemos los siguientescomentarios:

En el primer curso inicial de Matemáticas seomitirá todo razonamiento abstracto. Laspropiedades numéricas esenciales se haránnotar con la repetición de ejercicios. Lomismo cabe decir con las propiedades geo-métricas…

La Geometría queda circunscrita en estecurso segundo a una parte de la Geometríaplana, y con ella han de iniciar los alumnosel razonamiento lógico, que es una de lasfinalidades de la enseñanza de laMatemática en el Bachillerato. Sin embar-go, no se estima lo anterior como un desi-deratum, pues es imposible que los niñosde once a doce años puedan realizar unrazonamiento lógico perfecto…

El tercer curso, en el que se han de exponersomeramente, pero con carácter lógico, losfundamentos de la teoría de los númerosexige por parte del profesor una atenciónprofunda para no recargar al alumno conteoremas innecesarios. No parece conve-niente tratar la teoría de la divisibilidad porla de congruencias, aunque la eleganciaque éstas imprimen en las demostracionessea manifiesta. Ello obligaría a recargar elestudio del alumno con varias propiedadesque pueden dejarse de lado, empleandootros caminos de demostración…

En el segundo ciclo del Bachillerato, lasMatemáticas deben desarrollarse, sindejar de presentarlas en contacto con larealidad, dándoles un carácter más riguro-so, en un desarrollo lógico deductivo,intensificando, además, el propio «descu-brir» del alumno, haciendo a los estudian-tes pensar más y reduciendo al mínimo lainformación directa; es preciso despertar elinterés, que, por otra parte, es el mejorestímulo del trabajo.

Hay referencias explícitas a la clase derazonamiento y a las demostraciones. Seindica alguna materia en la que puedellevarse a cabo el razonamiento hipoté-tico deductivo, y, también, qué clase dedemostraciones no proceden. No seespecifican las técnicas de demostraciónadecuadas o exigibles. Igual que en elPlan anterior, el razonamiento lógico seinicia en el segundo curso; sólo en pri-mero se omite del razonamiento abs-tracto, pero no se señalan vías alternati-vas de razonamiento intuitivo.

…parecemuy exagerado

pretenderque en los cursoscuarto y quinto–14 y 15 años–

puedan«exigirse

de los alumnosla precisión,

el rigor lógicoy el espíritusistemático

propiosde las Ciencias

Exactas».

54

Plan de 1957 (Ministerio deEducación Nacional, 1961)

En este plan el Bachillerato consta de 6cursos, más el curso preuniversitario. Elcuestionario de Matemáticas consiste enuna enumeración detallada de los con-tenidos de cada curso, divididos, a suvez, en lecciones. Al final se incluyenunas Orientaciones metodológicas paratodos los cursos, de las que extraemoslos siguientes comentarios:

En el primer curso la enseñanza de laMatemática tendrá un carácter práctico eintuitivo, debiendo renunciar el profesor aexplicar siguiendo cualquier clase de razo-namiento abstracto…

La Geometría debe tratarse por procedi-mientos preferentemente empíricos. Se recu-rrirá, por tanto, al empleo de pliegues,papel transparente para el transporte ysuperposición de figuras, hilos, etc. La fre-cuente resolución de ejercicios gráficos conregla y compás, y la construcción y obser-vación de modelos geométricos sencillospermitirá al alumno captar multitud de pro-piedades geométricas. La «evidencia sensi-ble» debe preceder a la «evidencia racio-nal», y, en muchas ocasiones, la primeraserá suficiente. Hay que prescindir, por con-siguiente, de la justificación de propieda-des evidentes. No debe darse al alumno laimpresión de que el buen sentido es inútil.Será preferible, por ejemplo, que el alumnorealice ejercicios de construcción y super-posición de triángulos con los datos ade-cuados, a obligarle a una justificaciónracional de los casos de igualdad…

Los cursos tercero y cuarto constituyen unciclo que podemos considerar de transiciónentre el método empírico practicado en pri-mero y segundo cursos y el método racionalque habrá de seguirse en el BachilleratoSuperior. Se puede considerar, por tanto,como un ciclo intuitivo de tendencia racio-nal, y en él no será necesario presentar losconocimientos matemáticos constituyendouna estructuración lógica perfectamenteeslabonada. Por este motivo no se conside-ra imprescindible empezar los estudios deÁlgebra de los números racionales siguien-do directrices de carácter lógico…

En Geometría no deben abandonarse pre-maturamente las consideraciones de tipopráctico-intuitivo. Se hará ver al alumno,poco a poco, lo procedente de las demos-traciones, en la seguridad de que sólocuando consiga un espíritu fino, sentirá sunecesidad con carácter imperioso. Se pres-cindirá de teoremas secundarios o de esca-sa utilidad, presentando sólo los verdade-ramente esenciales.

También debe iniciarse la Geometría del espacio mediante pro-cedimientos intuitivos y prácticos que permitan al alumno vislum-brar las primeras propiedades del espacio geométrico por evi-dencia racional simple, y poder abordar rápidamente el estudiode los poliedros…

En todo caso, se procurará aprovechar las situaciones creadaspor las cuestiones concretas como introducción a los desarrollosteóricos y que el alumno adquiera la experiencia de los entes yrelaciones matemáticas antes de iniciarle en el razonamientodeductivo.

En cuanto a la metodología de los cursos que integran el GradoSuperior, de carácter preeminentemente racional, importa exten-der progresivamente la construcción deductiva de la Matemáticay favorecer la iniciativa individual tanto como el trabajo en equi-po; dar prioridad a la reflexión y al razonamiento antes que aladiestramiento…

Hay referencias explícitas a las demostraciones y, sobretodo, al tipo de razonamiento. En este sentido, cabe desta-car la consideración de tres ciclos: los cursos primero ysegundo son de carácter empírico; en tercero y cuarto, debeproducirse una transición entre el método empírico y elracional; éste último es el adecuado para los cursos quinto ysexto. En comparación con los planes anteriores se mejoranotablemente, puesto que se establecen con más claridad laspautas para una evolución progresiva del razonamiento,retrasándose la edad en la que se exige el pensamiento lógi-co. Además –a diferencia de los anteriores–, cuando se reco-mienda un planteamiento intuitivo, se establecen alternativasal razonamiento deductivo, indicando actividades manipula-tivas concretas para el aprendizaje de la Geometría. No seespecifica nada acerca de las técnicas de demostración ade-cuadas o exigibles, aunque sí hay algunas orientacionesacerca de cuándo procede o no hacer demostraciones.

En el programa de quinto curso se incluye una lección –laprimera– titulada Iniciación al método racional, cuyo índi-ce de conceptos es:

Postulados.– Teoremas: hipótesis y tesis; demostración.– Cadenasdeductivas. Teoremas directos, recíprocos y contrarios.– Condiciónnecesaria y suficiente.– Ejemplos de aplicación.– Ejercicios.

Así pues, se introduce una terminología y se abordan losconceptos relativos al razonamiento hipotético-deductivo:postulados, teoremas, hipótesis y tesis, y demostración.También se distinguen diversos tipos de teoremas: direc-tos, recíprocos y contrarios. Por último, se explican lasexpresiones condición necesaria y condición suficiente.Como aplicación inmediata de estos conocimientos, en laslecciones 2 a 7, el programa oficial propone:

Dedíquense seis lecciones como mínimo y ocho como máximo aldesarrollo racional de un capítulo de la Aritmética y un capítulode la Geometría libre elección del autor del texto o del profesor.

En el temario de este mismo curso hay varias referenciasa los métodos matemáticos que se proponen utilizar. Así,las lecciones ocho a once se dedican a los Métodos deresolución de problemas y a los Métodos especiales de laGeometría métrica.

…cabe destacarla consideración

de tres ciclos:los cursos

primero y segundoson de carácter

empírico;en terceroy cuarto,

debe producirseuna transiciónentre el método

empíricoy el racional;

éste últimoes el adecuadopara los cursos

quintoy sexto.

55

A lo largo del temario del último ciclo –tanto en quinto cursocomo en sexto– se propone el estudio de multitud de teo-remas referidos no sólo a la Geometría, sino también a otrasramas de las Matemática: Aritmética, Álgebra y Análisis.

En este plan de estudios, que introduce tantas novedades,se nota la influencia del profesor D. Pedro Puig Adam –enla Nota de la Redacción titulada «Balance de cuatro años delabor» e incluida en la obra de Puig Adam (1960: 132-136)se detalla el trabajo de éste, entre los años 1953 y 1956,para modernizar la enseñanza de las Matemáticas y susrepercusiones en los programas oficiales–. La influencia dePuig Adam no se reduce al plan de 1957, sino que reapa-rece en los primeros movimientos de reforma del sistemaeducativo de los años ochenta, que toman como referenciasus publicaciones didácticas (Rico y Sierra, 1994: 192).

Plan de 1970 (Ministerio de Educacióny Ciencia, 1975 y 1978)

En este plan el Bachillerato consta de 3 años, más el Cursode Orientación Universitaria. Los cuestionarios de Matemá-ticas consisten en una enumeración bastante escueta delos contenidos de cada curso. Después de cada uno deellos se incluyen unos comentarios en los que se mezclanla formulación de objetivos, la enumeración más detalladade conceptos y algunas orientaciones. No hay referenciasa la demostración (prueba) y muy pocas referencias direc-tas al razonamiento; no obstante, a continuación se repro-ducen algunas citas. En lo concerniente al Bachillerato, enuna breve presentación para el Área de las Ciencias Mate-máticas y de la Naturaleza, se alude a la formación de losalumnos en cuanto al razonamiento:

El área de las ciencias matemáticas y de la naturaleza tratará decapacitar al alumno para comprender los fenómenos naturales,científicos y técnicos de su entorno. Se resaltará la importanciadel mecanismo lógico implícito en el razonamiento científicohabituando al alumno a los métodos deductivo e inductivo y a laexperimentación.

El enfoque estructuralista característico de este plan deestudios (Rico y Sierra, 1994: 148) se deja ver en el iniciodel comentario correspondiente al primer curso, donde seexpone que:

Partiendo de los conceptos de anillo y cuerpo introducidos en lasegunda etapa de Educación General Básica, se pretende…[enumera los objetivos para el primer curso].

No hay otras instrucciones explícitas en este sentido en losprogramas de Bachillerato, pero la excesiva –en nuestraopinión– tendencia al formalismo se inicia ya en laEducación General Básica y esto va a condicionar el trata-miento de la «demostración». En unas orientaciones dictadaspor el Ministerio de Educación y Ciencia (1971) se dice que:

La segunda etapa de E.G.B. (11-14 años)pretende ir hacia una mayor profundidaden el formalismo matemático. Se hace pre-ciso desarrollar en el alumno la capacidadde elaborar los sistemas formales necesa-rios en la resolución de problemas.

Y, entre los objetivos para el octavocurso de EGB figura el siguiente:

Construcción rigurosa del conjunto Q de losnúmeros racionales.

Se puede resumir lo anteriormenteexpuesto para los planes de estudioscomprendidos entre 1934 y 1970 en lossiguientes puntos:

• Hay muy pocas referencias explíci-tas a las demostraciones (pruebas),aunque sí hay más alusiones a laclase de razonamiento –sobre todohipotético-deductivo.

• En los planes de 1934, 1938 y 1953se advierte una excesiva –a nuestrojuicio- prisa en la introducción delrazonamiento deductivo, lo que sehace en el segundo curso. Esto escorregido en el plan de 1957, yaque esa introducción se retrasa altercer curso.

• También en los planes de 1934,1938 y 1953 se propone que laadquisición del razonamientodeductivo se haga de forma gra-dual, pero no se clarifica cómodebe hacerse el escalonamiento.

• En el plan de 1957 se establecenclaramente tres fases: la empírica, lade transición y la deductiva.

• En el plan de 1970 se pretende unainiciación muy prematura en el for-malismo matemático, y un predo-minio excesivo del enfoque estruc-turalista.

• No hay comentarios sobre las dis-tintas técnicas de demostración quepodrían utilizarse.

• Salvo lo ya mencionado para elplan de 1957, no hay propuestasconcretas a una exposición deducti-va de los temas.

• Destaca, por el lado positivo, laincorporación –en el plan de 1957–de un tema para exponer los con-

…en los planesde 1934, 1938

y 1953se propone quela adquisición

del razonamientodeductivose haga

de formagradual,pero no

se clarificacómo

debe hacerseel escalonamiento.

56

ceptos de teorema, demostración,etcétera, e introducir el lenguajematemático asociado.

Currículo de la LOGSE

En el currículo de la ESO (MEC, 1991a),en la Introducción del apartado corres-pondiente a Matemáticas (véanse laspáginas 74 a 81 del Anexo) se puedenleer las siguientes citas:

… la tradicional idea de las matemáticascomo ciencia puramente deductiva, ideaciertamente válida para el conocimientomatemático en cuanto producto desarrolla-do y ya elaborado, ha de corregirse con laconsideración del proceso inductivo y deconstrucción a través del cual ha llegado adesarrollarse ese conocimiento. La especialtrascendencia que para la educación mate-mática tiene el proceso, tanto históricocomo personal, de construcción empírica einductiva del conocimiento matemático, yno sólo formal o deductiva, invita a resaltardicho proceso de construcción…

Es preciso, por tanto, que el currículo refle-je el proceso constructivo del conocimientomatemático, tanto en su progreso histórico,como en su apropiación por el individuo.La formalización y estructuración del cono-cimiento matemático como sistema deducti-vo no es el punto de partida, sino más bienun punto de llegada de un largo proceso deaproximación a la realidad, de construc-ción de instrumentos intelectuales eficacespara interpretar, representar, analizar,explicar y predecir determinados aspectosde la realidad…

Y, a continuación (página 75), se enun-cian tres principios de selección y orga-nización de los contenidos, de los quereproducimos el primero:

Las Matemáticas han de ser presentadas aalumnos y alumnas como un conjunto deconocimientos y procedimientos que hanevolucionado en el transcurso del tiempo, yque, con seguridad, continuarán evolucio-nando en el futuro. En esa presentación, hande quedar resaltados los aspectos inductivosy constructivos del conocimiento matemáti-co, y no sólo los aspectos deductivos de laorganización formalizada que le caracteri-za como producto final. En el aprendizajede los propios alumnos hay que reforzar eluso del razonamiento empírico inductivo enparalelo con el uso del razonamiento deduc-tivo y de la abstracción.

Después –en la misma página–, se dice:

… El desarrollo de la competencia cognitiva general de los alumnos,en estos años, y, en concreto, la posibilidad de llevar a cabo razo-namientos de tipo formal abre nuevas posibilidades para avanzar enel proceso de construcción del conocimiento matemático, aseguran-do niveles intermedios de abstracción, simbolización y formalización.

Esas posibilidades aparecen en una doble línea. En primer lugar,la capacidad que el adolescente tiene de abstraer relaciones y rea-lizar inferencias, no sólo a partir de operaciones concretas conobjetos físicos, como en la etapa educativa anterior, sino tambiéna partir de operaciones sobre representaciones simbólicas referidasa dichos objetos, permite avances sustanciales en el conocimientomatemático. En segundo lugar, y en estrecha relación con lo ante-rior, la capacidad del adolescente de trascender las informacionesconcretas sobre la realidad y los datos de la experiencia inmedia-ta, dando entrada a las conjeturas e hipótesis como forma de pen-samiento y de razonamiento, hace posible la introducción del pen-samiento hipotético deductivo y abre una vía de acceso a los com-ponentes más formales del conocimiento matemático.

De todas formas, debe reconocerse que los contenidos más com-plejos, formales y deductivos de las matemáticas siguen estandoa menudo fuera de las posibilidades de comprensión de los alum-nos, incluso al final de la educación obligatoria…

También en la misma página 75, se añade:

… En consecuencia, en el currículo básico deben incluirse los con-tenidos más generales del conocimiento matemático, los que sontransversales a sus distintos ámbitos e incluyen conceptos y proce-dimientos de carácter más común, a la vez que más funcional.

Y, cita las habilidades en la comprensión y en el uso delos diferentes lenguajes matemáticos, las rutinas y algorit-mos particulares, las estrategias heurísticas, y las compe-tencias relativas a la toma de decisiones, pero no hacereferencia a los procedimientos de verificación.

En los Objetivos generales (página 76), se formulan diez,de los que destacamos el segundo:

2. Utilizar las formas de pensamiento lógico para formular y com-probar conjeturas, realizar inferencias y deducciones, y organi-zar y relacionar informaciones diversas relativas a la vida coti-diana y a la resolución de problemas.

En las páginas 76 a 80 se especifican los Contenidos. A con-tinuación se indican aquellos que se relacionan con lademostración (prueba). En el primer bloque de contenidos,Números y operaciones, en el procedimiento 22, se dice:

Formulación de conjeturas sobre situaciones y problemas numéri-cos, y comprobación de las mismas mediante el uso de ejemplosy contra-ejemplos, el método de ensayo y error, etc.

En el tercer bloque, Representación y organización delespacio, hay varios procedimientos que nos conciernen:

8. Utilización del Teorema de Tales para obtener o comprobarrelaciones métricas entre figuras.

9. Búsqueda de propiedades, regularidades y relaciones encuerpos, figuras y configuraciones geométricas.

14. Formulación y comprobación de conjeturas acerca de pro-piedades geométricas en cuerpos y figuras y de la solución deproblemas geométricos en general.

…citalas habilidades

en la comprensióny en el uso

de los diferenteslenguajes

matemáticos,las rutinas

y algoritmosparticulares,las estrategiasheurísticas,

y las competenciasrelativasa la toma

de decisiones,pero no hacereferencia a

los procedimientosde verificación.

57

16. Utilización de métodos inductivos y deductivos para laobtención de propiedades geométricas de los cuerpos y de rela-ciones entre ellos.

En el mismo bloque, en Actitudes, se cita:

2. Reconocimiento y valoración de las relaciones entre diferentesconceptos, como la forma y el tamaño de los objetos, y entre losmétodos y lenguajes matemáticos que permiten tratarlos.

5. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configura-ciones y relaciones geométricas.

Por último, el procedimiento 10 del quinto bloque,Tratamiento del azar, es:

Formulación y comprobación de conjeturas sobre el comporta-miento de fenómenos aleatorios sencillos.

En el resto de los bloques de contenido no hay referenciasa los procedimientos de verificación.

El currículo de Matemáticas se finaliza con la formulaciónde trece Criterios de evaluación (página 81), ninguno delos cuales parece relacionarse con el tema que nosocupa.

Para facilitar a los centros de enseñanza secundaria eldesarrollo del currículo, el MEC publicó unas orientacio-nes para la distribución de objetivos, contenidos y criteriosde evaluación para cada uno de los ciclos (MEC, 1992a).A continuación, se detallan las citas que tienen relacióncon el aprendizaje de la demostración (prueba). Para elprimer ciclo, en el bloque de Organización y representa-ción del espacio, se indica (página 9868):

Otro aspecto destacable en el que inciden estos contenidos es elque se refiere a la utilización de las distintas formas de razona-miento. De entre ellas cabe resaltar la importancia que debentener aquí las formas inductivas y, en menor medida, una ciertapresencia del razonamiento deductivo.

En el resto de los bloques de contenido no hay referenciasa los procedimientos de verificación. Y, en los procedi-mientos (página 9869):

Junto a técnicas de recogida y organización de la información,en algún caso ya indicadas, se pueden poner en práctica, entareas de resolución de problemas, algunas estrategias talescomo la búsqueda de casos particulares, los métodos de ensayoy error, etc. Todo ello en situaciones suficientemente conocidaspor los alumnos, o sobre las que tengan la posibilidad de mane-jar y experimentar con los objetos a los que se refiere.

En contraposición, para el segundo ciclo, en el bloque deOrganización y representación del espacio, se indica(página 9869):

En definitiva, se trata de llevar a cabo un estudio más profundode las propiedades de las figuras geométricas en todos sus aspec-tos: reconocimiento, representación, propiedades métricas, etcé-tera. Se puede esperar, por otra parte, una utilización más ajus-tada de las distintas formas de razonar, con una presencia mayorde los métodos deductivos.

En el resto de los bloques de contenidono hay referencias a los procedimientosde verificación. Y, en los procedimientos(página 9870):

Junto a ello, los alumnos de este ciclo estánmás capacitados para la formulación ycomprobación de conjeturas y para reali-zar generalizaciones en situaciones diver-sas, que constituyen herramientas de granpotencia, en particular, en tareas de resolu-ción de problemas.

En todos los ámbitos de la actividad mate-mática, en el tratamiento de distintos objetosy en diferentes situaciones, pueden en esteciclo introducirse un mayor «rigor» en cuan-to a la justificación de las conclusiones,tanto las obtenidas por el propio alumnocomo las que obtengan o le presenten otros.Llegar a la justificación, que en algún casopuede ser demostración, pero no necesaria-mente siempre, requiere ir desarrollandopaulatinamente ideas y actitudes más ajus-tadas sobre el rigor y la coherencia en laargumentación, sobre la necesidad de pre-cisión al utilizar términos y al realizar medi-das, sobre la exactitud y control del error enla utilización de cantidades.

Termina el documento con unas especifi-caciones para el cuarto curso –en el que,como se sabe, hay dos opciones:Matemáticas A y Matemáticas B–. En ellas(páginas 9870 y 9871), no hay ningunareferencia a la demostración (prueba).

En el Curriculum del Bachillerato (MEC,1992b) se establecen los objetivos, con-tenidos y criterios de evaluación paratodas las materias. En el apartadocorrespondiente a Matemáticas I y II, enla Introducción (página 97 del Anexo)se pueden leer las siguientes citas:

Las Matemáticas… Les caracteriza la natu-raleza lógico-deductiva de su versión aca-bada, el tipo de razonamientos que utilizany la fuerte cohesión interna dentro de cadacampo y entre unos campos y otros…

En la Educación Secundaria Obligatoria losalumnos se han aproximado a varios cam-pos del conocimiento matemático queahora están en condiciones de asentar y uti-lizar. Esta será la base sobre la que se apo-yará el desarrollo de capacidades tanimportantes como la de abstracción, la derazonamiento en todas sus vertientes, la deresolución de problemas de cualquier tipo,matemático o no, la de investigación y lade analizar y comprender la realidad…

El conocimiento matemático, en el Bachi-llerato, debe tener un cierto respaldo teórico.

Para facilitara los centros

de enseñanzasecundariael desarrollodel currículo,

el MEC publicóunas orientaciones

parala distribución

de objetivos,contenidos

y criterios deevaluación

para cada unode los ciclos.

58

Las definiciones, demostraciones y los enca-denamientos conceptuales y lógicos, entanto que dan validez a las intuiciones y con-fieren solidez y sentido a las técnicas aplica-das, deben ser introducidos en estas asigna-turas. Sin embargo, este es el primer momen-to en el que el alumno se enfrenta con ciertaseriedad a la fundamentación teórica de lasmatemáticas, y el aprendizaje, por tanto,debe de ser equilibrado y gradual.

En los Objetivos generales (página 97),se formulan nueve, de los que destaca-mos el primero y el cuarto:

1. Comprender los conceptos, procedi-mientos y estrategias matemáticas que lespermitan desarrollar estudios posterioresmás específicos de ciencias o técnicas yadquirir una formación científica general.

4. Utilizar, con autonomía y eficacia, lasestrategias características de la investiga-ción científica y los procedimientos propiosde las matemáticas (plantear problemas,formular y contrastar hipótesis, planificar,manipular y experimentar) para realizarinvestigaciones y, en general, explorarsituaciones y fenómenos nuevos.

En las páginas 97 y 98 se especifican losContenidos, pero no hay referenciasdirectas a los procedimientos de verifi-cación (pruebas o demostraciones).

Para finalizar, se formulan los Criteriosde evaluación (páginas 98 y 99). Haynueve en Matemáticas I y ocho enMatemáticas II. Solamente uno en cadauna de estas asignaturas se podría rela-cionar con las pruebas (demostracio-nes). En Matemáticas I, el número 9:

Organizar y codificar informaciones, selec-cionar estrategias, comparándolas y valo-rándolas, para enfrentarse a situacionesnuevas con eficacia, y utilizar las herra-mientas matemáticas adquiridas.

Se pretende que el alumno utilice la mode-lización de situaciones, la reflexión lógico-deductiva, los modos de argumentaciónpropios de las matemáticas y las destrezasmatemáticas adquiridas para realizarinvestigaciones enfrentándose con situacio-nes nuevas.

Y, en Matemáticas II, el número 8:

Realizar investigaciones en las que hayaque organizar y codificar informaciones,seleccionar comparar y valorar estrategiaspara enfrentarse a situaciones nuevas coneficacia, eligiendo las herramientas mate-máticas adecuadas en cada caso.

Se pretende evaluar la madurez del alumno para enfrentarse consituaciones nuevas, utilizando la modelización de situaciones, lareflexión lógico-deductiva, los modos de argumentación propiosde las matemáticas y las destrezas matemáticas adquiridas.

En las recién aparecidas modificaciones a las enseñanzasmínimas de ESO y bachillerato (MECD 2001a y 2001b) nohay ninguna novedad en el tema que nos ocupa.

De todo lo dicho en este apartado y teniendo en cuenta eltrabajo de investigación desarrollado por los autores,(Ibañes, 1993, 1996 y 2001; Ibañes y Ortega, 1997), se pue-den extraer las siguientes reflexiones:

1. En primer lugar, hay que constatar que se intuye la pre-sencia de la demostración (prueba) en muchos de loscomentarios de las distintas disposiciones que desarrollanla LOGSE, lo que ya, en sí mismo, es un aspecto muy posi-tivo, pero, además, supone una mejora muy importanterespecto de planes de estudios anteriores. A continuaciónse recogen las principales aportaciones en este sentido:

• Múltiples referencias al razonamiento matemático.

• Distinción entre el proceso de construcción de lasMatemáticas y su presentación como ciencia elabora-da, con la consiguiente consideración y diferenciaciónde las clases de razonamiento propias de cada una deestas fases: inductivo en la primera y deductivo en lasegunda.

• Esta distinción en las Matemáticas como ciencia indu-ce a una secuenciación para su aprendizaje. En primerlugar, se atiende a la construcción de instrumentosintelectuales para interpretar, analizar y explicar larealidad; y, después se busca la formalización yestructuración del conocimiento matemático como sis-tema deductivo. De ello se pueden extraer pautaspara la elección de los procedimientos de verificaciónadecuados a cada fase.

• Apuesta por una conjugación de los fines funcional yformativo de la enseñanza de las matemáticas, con elconsiguiente enriquecimiento en la diversidad derazonamientos y estrategias que deben aplicarse.

• Propuesta de una transición gradual, en función de lacompetencia cognitiva de los alumnos, del razona-miento inductivo con objetos físicos concretos a laintroducción del pensamiento hipotético deductivo.Esta evolución se observa en las propuestas para elprimer ciclo de ESO, para el segundo ciclo, y para elBachillerato.

2. Pero, también es preciso señalar algunas deficiencias:

• Hay muy pocas referencias explícitas a los procedi-mientos de verificación.

• No se indica qué clase de pruebas –comprobacio-nes, justificaciones, explicaciones, demostracio-nes…– se puede esperar de los alumnos; y, por

Propuestade una transición

gradual,en función dela competencia

cognitivade los alumnos,

del razonamientoinductivo

con objetos físicosconcretos

a la introduccióndel pensamiento

hipotéticodeductivo.

59

supuesto, tampoco se dice nada de las distintas téc-nicas de demostración.

• Entre los objetivos que se formulan, tanto en la ESOcomo en el Bachillerato, hay varios que pueden rela-cionarse con las demostraciones (pruebas). Sin embar-go, no se produce la correspondiente presencia deestos procedimientos en los contenidos, en los que,como se ha podido observar en los comentarios ante-riores, hay muy pocas citas.

• Ajustándonos a los contenidos, no hay un equilibrioadecuado entre las referencias a la demostración enGeometría y en otras áreas. Es de sobra conocido quela Geometría constituye un campo muy adecuadopara introducirse en el razonamiento deductivo, y asíse ha hecho tradicionalmente; pero ello no justificaque se vuelva a un viejo y persistente vicio en la ense-ñanza de las Matemáticas, consistente en llevar a caboun razonamiento muy riguroso en Geometría, paraabandonarlo en el resto de los temas, con el consi-guiente desconcierto de los alumnos.

• Parece también incongruente con los objetivos enun-ciados que los procedimientos de verificación no seantenidos en cuenta a la hora de formular los criteriosde evaluación, ya que, como se ha comentado ante-riormente, éstos no incluyen referencia alguna a lasdemostraciones (pruebas).

3. Se propone corregir estas deficiencias curriculares,incluyendo referencias explícitas a los procedimientos deverificación, indicando qué clase de pruebas se puedeesperar de los alumnos, formulando distintas técnicas dedemostración, guardando un equilibrio en toda las áreas,teniendo en cuenta los procedimientos de verificación enlos criterios de evaluación.

Referencias bibliográficasIBAÑES, M. (1993): «Matemáticas en la secundaria a través de los

planes de estudios», Sigma, n.° 15, 25-31.

IBAÑES, M. (1996): «Alumnos de bachillerato interpretan unademostración y reconocen sus funciones», Uno, n.° 13, 95-101.

IBAÑES, M. (2001): Aspectos cognitivos del aprendizaje de lademostración matemática en alumnos de primer curso debachillerato, Universidad de Valladolid. Valladolid

IBAÑES, M., y T. ORTEGA (1997): «La demostración en Mate-máticas. Clasificación y ejemplos en el marco de la educa-ción Secundaria», Educación Matemática, vol. 9, n.° 2, 65-104.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA (1971): Nuevas orien-taciones pedagógicas para la segunda etapa de E.G.B.,Madrid.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA (1975a): Orden de 22de marzo de 1975 por la que se desarrolla el Decreto 160/75de 23 de enero, que aprueba el Plan de Estudios de bachille-

rato y se regula el Curso de OrientaciónUniversitaria, B.O.E. de 18 de abril de1975.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA(1975b): Resolución de 21 de agosto de1975 por la desarrolla la disposicióntransitoria 4.a de la Orden Ministerial de22 de marzo, referida al Curso deOrientación Universitaria, B.O.E. de 6de septiembre de 1975.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA(1978): Resolución de 1 de marzo de1978 sobre contenidos y orientacionesmetodológicas para el Curso de Orien-tación Universitaria, B.O.E. de 17 demarzo de 1978.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA(1990): Ley Orgánica 1/1990, de 3 deoctubre, de Ordenación general delSistema Educativo, B.O.E. de 4 de octu-bre de 1990.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA(1991a): Real Decreto 1345/1991, de 6 deseptiembre por el que se establece el currí-culo de la Educación SecundariaObligatoria, B.O.E. de 13 de septiembrede 1991.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA(1991b): Real Decreto 1700/1991, de 29de Noviembre, por el que se establece laestructura del Bachillerato, B.O.E. de 2de diciembre de 1991.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA(1992a): Resolución de 5 de marzo de1992, de la Secretaría de Estado deEducación, por la que se regula la ela-boración de proyectos curriculares parala Educación Secundaria Obligatoria, yse establecen orientaciones para la dis-tribución de objetivos, contenidos y cri-terios de evaluación para cada uno delos ciclos, B.O.E. de 25 de marzo de1992.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA(1992b): Real Decreto 1179/1992, de 2 deoctubre por el que se establece el currícu-lo del Bachillerato, B.O.E. de 21 de octu-bre de 1992.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURA YDEPORTE (2001a): Real Decreto3473/2000, de 29 de diciembre, por elque se modifican el Real Decreto1700/1991, por el que se establece laestructura del bachillerato y el RealDecreto 1178/1992, por el que se estable-cen las enseñanzas mínimas de bachille-rato, B.O.E. de 16 de enero de 2001.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURA YDEPORTE (2001b): Real Decreto3474/2000, de 29 de diciembre, por elque se modifica el Real Decreto

Parece tambiénincongruente

con los objetivosenunciados que

los procedimientosde verificaciónno sean tenidos

en cuentaa la hora

de formularlos criterios

de evaluación.

60

1007/1991, por el que se establecen lasenseñanzas mínimas correspondientes ala educación secundaria obligatoria,B.O.E. de 16 de enero de 2001.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL(1938): Ley de 20 de septiembre de 1938de Reforma de la segunda enseñanza,B.O.E. de 13 de septiembre de 1938.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL(1939): Orden de 14 de abril de 1939aprobando los Cuestionarios de Ense-ñanza Media, B.O.E. de 8 de mayo de1939.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL(1953): Decreto de 12 de junio de 1953por el que se establece el Plan de Estudiosde Bachillerato, B.O.E. de 2 de julio de1953.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL(1954): Orden Ministerial de 21 deEnero de 1954 por la que se establecen

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (1961): Legislación de

Enseñanza Media. Tomo I, Publicaciones de la Revista«Enseñanza Media», Madrid.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (1964): Legislación de

Enseñanza Media. Tomo V: Planes de Estudio (1787-1938),Publicaciones de la Revista «Enseñanza Media», Madrid.

MINISTERIO DE INSTRUCCIÓN PÚBLICA Y BELLAS ARTES(1934a): «Decreto de 29 de agosto de 1934 por el que se esta-blece un nuevo plan de Estudios», Gaceta de 21 de octubrede 1934.

MINISTERIO DE INSTRUCCIÓN PÚBLICA Y BELLAS ARTES(1934b): «Cuestionarios del plan de 1934», Gaceta de 21 deoctubre de 1934.

PUIG ADAM, P. (1960): La matemática y su enseñanza actual,Publicaciones de la Revista de Enseñanza Media, Madrid.

RICO, L., M. y SIERRA (1994): «Educación matemática en laEspaña del siglo XX», en KILPATRICK, RICO y SIERRA:Educación matemática e investigación, Síntesis. Madrid.

Marcelino J. IbañesInstituto «Vega del Prado»

Valladolid. Tomás Ortega

Facultad de Educación.Universidad de Valladolid

61

3.° EGB

62

ESCRIBIMOS aquí, con ánimo ilustrador, una aplicación deun prototipo experimental de programa de computadoraque une las capacidades de un entorno de geometría diná-mica con las funcionalidades de un sistema de cálculo sim-bólico. Se trata de (re)descubrir, de manera sencilla, el teo-rema de Simson y dos de sus generalizaciones por unusuario dotado de regla y compás virtuales y conocedorde unos pocos conceptos geométricos básicos.

Consideremos un triángulo ABC y un punto X, desde elque trazamos perpendiculares a los lados del triángulo,siendo M, N y P los pies de éstas. Si hacemos esta cons-trucción en un entorno de geometría dinámica (aquí y enlo que sigue utilizaremos REX (Valcarce y Botana, 1999))tendremos un diagrama similar al mostrado en la figura 1.

Arrastrando el punto X se observa que, a veces, los puntosM, N y P aparentan estar alineados. La pregunta surge demodo natural: ¿qué circunstancias en el diagrama produ-cen esta alineación? Puesto que lo único que hemos hechoes arrastrar el punto X, parece razonable reformularla enestos términos: ¿cuáles son las posiciones, es decir, el lugargeométrico, de X para las que M, N y P están alineados?El lector bien informado habrá recordado al punto uno delos teoremas más conocidos de la geometría euclídea, elteorema de Simson, que establece como condición nece-saria para el alineamiento buscado, la pertenencia de X alcircuncírculo del triángulo. Este teorema se utiliza comoprimer ejemplo ilustrador de un trabajo de Roanes yRoanes (1999) acerca de la búsqueda automática de luga-res geométricos, donde también se referencian sus demos-traciones usual y automática. El propósito declarado dedicho artículo es «el de contribuir a la divulgación demodernos métodos de investigación en Geometría» –con-cretamente utilizan el método de Wu (1994)–, «presentán-dolos desprovistos de todo formalismo, de modo que seanaprovechables por los no especializados en técnicas de

Describimos aquí, con ánimoilustrador, una aplicación deun prototipo experimental deprograma de computadoraque une las capacidades de

un entorno de geometríadinámica con las

funcionalidades de unsistema de cálculo simbólico.Se trata de (re)descubrir, demanera sencilla, el teorema

de Simson y dos de susgeneralizaciones por un

usuario dotado de regla ycompás virtuales y

conocedor de unos pocosconceptos geométricos

básicos.

63

(re)Descubrimiento automáticodel teorema de Simsony las generalizacionesde Steiner y Guzmán

José Luis Valcarce GómezFrancisco Botana Ferreiro

ARTÍCULOS

D

39

febrero 2002, pp. 63-67

Álgebra Computacional». El camino para esta divulgaciónpasa por la exploración experimental del teorema en unentorno de geometría dinámica y, posteriormente, por eldescubrimiento del lugar geométrico mediante la realiza-ción, por el usuario, de los cálculos necesarios para elalgoritmo de Wu en un sistema de cálculo simbólico. Recio(1998) estudia las posibilidades didácticas de la conexióninformática entre geometría y álgebra, poniendo por elloel énfasis en el descubrimiento de teoremas, más que ensu demostración automática. También aquí es utilizado elteorema de Simson para ilustración de las técnicas pro-puestas: tras la exploración geométrica del problema, elusuario ha de utilizar un sistema de cálculo simbólico que«sepa» calcular bases de Groebner para obtener la ecua-ción analítica del lugar buscado.

La necesidad de que el usuario, en ambas aproximaciones,maneje un sistema de cálculo simbólico constituye la princi-pal dificultad para su repercusión escolar. Recio señala que«la simplificación fundamental vendría de la mano del esta-blecimiento de una Comunicación entre el programa gráficoy el programa (o programas) de Cálculo Simbólico» y que«los primeros años de la enseñanza superior pueden ser, enel estado actual de las cosas, el marco idóneo» (70-71). Elprototipo que aquí se ilustra une REX, un entorno de geo-metría dinámica desarrollado por los autores, con el progra-ma Mathematica (Wolfram, 1996) en su versión 3.0, en uninterfaz que permite describir gráficamente la construccióny, de manera transparente para el usuario, utiliza los recur-sos simbólicos necesarios para el descubrimiento. Se amplíaasí el uso de estas técnicas a los alumnos de Secundaria.

REX ha sido ya descrito en Valcarce y Botana (1999),donde también se presenta una breve comparación conotros entornos de geometria dinámica en el terreno de lademostración automática. REX obtuvo el segundo premioen el concurso de software educativo de las IX JAEM. Elejecutable se encuentra también disponible en el CD IXJAEM (1999). Estas referencias aluden a un entorno degeometría dinámica originalmente construido como sopor-te gráfico a la implementación de métodos automáticos deprueba en geometrıa enclídea que posteriormente derivó

a un programa estándar de geometríadinámica. Actualmente hemos abando-nado parcialmente esa línea para enfo-carnos en el descubrimiento automático(Recio, 1998) y en la obtención automá-tica de lugares geométricos (Roanes yRoanes, 1999). En cuanto al descubri-miento automático en geometría ele-mental, el prototipo aquí descrito harequerido leves cambios en REX (rela-cionados principalmente con la comuni-cación entre él y Mathematica) y eldesarrollo de un package de Mathe-matica encargado de la automatizaciónde los cálculos simbólicos necesarios.E1 interfaz se describe, pues, no a nivelde código, sino de producción. Losejemplos que siguen dan pautas sufi-cientes para remedar «a mano» el proce-so seguido. Empero, se ha insertado elcódigo de Mathematica con las tareasque el package realizaría sobre losejemplos. Así las tres tareas (generaciónde ecuaciones analíticas, eliminación devariables en sistemas de ecuacionespolinómicas y factorización de polino-mios, y generación de enunciados lin-guísticos y matching entre éstos y ecua-ciones) pueden ser realizadas a manode manera cuasi automática.

Primer (re)descubrimiento:el teorema de Simson

Tras haber realizado la construcción dela figura 1, REX «conoce» la existencia desiete puntos y de seis relaciones geo-métricas. De los primeros, A, B, C y Xpueden situarse en cualquier posicióndel plano, mientras que M, N y P no tie-nen ningún grado de libertad. El pro-grama asigna coordenadas simbólicas alos puntos, distinguiendo sus tipos porel nombre: Un indica una coordenadalibre y x[m] una ligada. Además puedefijarse un sistema de referencia esco-giendo dos puntos con coordenadaslibres. Finalmente la información de REXrelativa a los puntos de la construcción ysus coordenadas simbólicas es:A (0, 0), B(1, 0), C(U5, U6), X(U7, U8),M (x[1], x[2]), N (x[3], x[4]) y P (x[5], x[6]).Las relaciones geométricas son

REX obtuvoel segundo premio

en el concursode softwareeducativo

de las IX JAEM.

64

Figura 1

Alineados(M, A, B), Perpendicula-res(AB, MX), Alineados(N, A, C),Perpendiculares(AC, NX), Alineados(P,B, C) y Perpendiculares(BC, PX). Lacondición impuesta a los pies de lasperpendiculares, Alineados(M, N, P), seañade a las anteriores y se generan lascorrespondientes ecuaciones analíticas:

(0 – x[2]) * (1 – 0) – (0 – 0) * (0 – x[1]) = 0,

(0 – 0) * (x[2] – U8)+(1 – 0) * (x[1] – U7) = 0,

(0 – x[4]) * (U5 – 0) – (U6 – 0) * (0 – x[3]) = 0,

(U6 – 0) * (x[4] – U8)+(U5 – 0) * (x[3] – U7) = 0,

(0 – x[6]) * (U5 – 1) – (U6 – 0) * (1 – x[5]) = 0,

(U6 – 0) * (x[6] – U8) + (U5 – 1) * (x[5] – U7) = 0,

(x[6] – x[4]) * (x[1] – x[5]) – (x[2] – x[6]) * (x[5] –– x[3]) = 0.

REX pasa entonces el control aMathematica, que trata de eliminar en elanterior sistema de ecuaciones las varia-bles x[m], devolviendo la ecuación

U6^2 * (U5 – U5^2 – U6^2) * U8 + U6^3 ** U8^2 = U6^3*(1 – U7) * U7.

Cualquier asignación de coordenadasque haga verdaderas las ecuaciones delsistema, también convertirá en identidadla ecuación resultante de la eliminación,la cual establece restricciones única-mente para las variables libres de laconstrucción. La ecuación, factorizada,puede reescribirse como:

U6^2 *((U5 – U5^2 – U6^2) * U8 + U6 ** U8^2 – U6*(1 – U7) * U7) = 0.

En resumen, para que las ecuacionesdel sistema sean identidades ha de ocu-rrir que al menos una de las siguienteslo sea también:

U6=0, o

(U5 – U5^2 – U6^2) * U8 + U6 * U8^2 –– U6*(1 – U7) * U7 = 0.

La transcripción de la sesión enMathematica es:

En este punto REX asume de nuevo el control y busca enuna base de enunciados linguísticos relativos a la construc-ción cuáles de ellos se traducen analíticamente en alguna delas anteriores ecuaciones. Nótese que bajo el rótulo «Searchcriterio» en la figura 2 aparece una ventana con propieda-des geométricas. Así por ejemplo, si un criterio de búsque-da es «aligned» se generará un enunciado linguístico («Lospuntos –, – y – están alineados») y la correspondiente ecua-ción polinómica por cada triple de puntos distintos.

En el ejemplo la primera ecuación casa con la del enun-ciado «Los puntos A, B y C están alineados» y la segundacon «Los puntos X, A, B y C están en una circunferencia».Nótese que el programa ha encontrado una condición dedegeneración (para la cual M = N = P) y una condiciónnecesaria no trivial para la alineación buscada. La razónpor la que el segundo enunciado no habla explícitamentedel circuncírculo del triángulo es doble: en primer lugar,en la construcción hecha no aparece el circuncentro porlo que ningún enunciado linguístico lo incluye; en segun-do lugar, razones de eficiencia nos han impedido introdu-cir en el prototipo conocimiento del tipo «la circunferenciaque pasa por los tres vértices de un triángulo no degene-rado se llama circuncírculo».

Segundo (re)descubrimiento: el teoremade Steiner

Puesto que la alineación de los puntos M, N y P equivalea la nulidad del área del triángulo con esos vértices, cabepreguntarse cuál es el lugar geométrico de los puntos Xque mantienen constante el área de dicho triángulo.Steiner enunció que este lugar es una circunferencia decentro el circuncentro del triángulo ABC.

65

ecs= {(0 – x[2]l*(1-0) – (0-0)* (0-x[1] == 0,

(0 – 0) * (x[2] – U8) + (1 – 0) * (x[1] – U7) == 0,

(0 – x[4]) * (U5 – 0) – (U6 – 0) * (0 – x[3]) == 0,

(U6 – 0) * (x[4] – U8) + (U5 – 0) * (x[3] – U7) == 0,

(0 – x[6]) * (U5 – 1) – (U6 – 0) * (1- x[5]) == 0,

(U6 – 0) * (x[6] – U8) + (U5 – 1) * (x[5] – U7) == 0,

(x[6] – x[4]) * (x[1] – x[5]) – (x[2] – x[6]) * (x[5] – x[3]) == 0};

Eliminate, {x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]}]

U62 (U5 – U52 _ U62) U8 + U63 U82 == U63 (1 – U7) U7

pol = %[[1]] – %[[2]]

–U63 (1 – U7) U7 + U62 (U5 – U52 – U62)U8 + U53 U82

Factor [pol]

–U62 (U6U7 – U6U72 – U5U8 + U52 U8 + U62 U8 – U5U82)

Figura 2

Para el descubrimiento automático de este lugar usaremosde nuevo la construcción de la figura 1. Como en laSección anterior, escogemos como referencia el punto A ycomo unidad el segmento AB, e introducimos, por mediode un editor de línea, la condición de la constancia delárea del triángulo MNP: area(M, N, P)=2.

Cuando seleccionamos la opción Descubrir, se abre uncuadro de diálogo en el que indicamos cuáles son los pun-tos relevantes para el eventual hecho a descubrir y cuáleslas condiciones sobre las que trabajar (figura 2).

El programa devuelve la siguiente condición necesaria:

dio: puesto que la mayoría de los luga-res en geometría elemental son rectas ycircunferencias, un sencillo análisis sim-bólico de la ecuación obtenida permiti-rá su traducción lingüística. En este aná-lisis también serán consideradas las sec-ciones cónicas.

Volviendo a la ecuación obtenida, pode-mos obtener un aprovechamientodidáctico con alumnos de Bachillerato onivel superior si se plantea su reconoci-miento como una ecuación polinómicade grado dos en las variables U7 y U8que tienen iguales coeficientes, es decir,una circunferencia.

66

Figura 3

siendo ahora la sesión de Mathematica como sigue

ecs = {(0 – x[2]) * (1- 0) – (0 – 0) * (0 – x[1]) ==.0,

(0 – 0) * (x[2] – U8) + (1- 0) * (x[1] – U7] == 0,

(0 – x[4]) * (U5 – 0] – [U6 – 0) * (0 – x[3]) == 0,

(U6 – 0) * (x[4] – U8] + (U5 – 0) * (x[3] – U7] == 0,

(0 – x[6]) * [U5 – 1) – (U6 – 0) * (1 – x[5]) == 0,

(U6 – 0) * (x[6] – U8) + (U5 – 1) * (x[5] – U7) == 0,

Det[{{x[1], x[2], 1}, {x[3], x[4], 1}, {x[5], x[6], 1}}]/2 == 2};

Elineinatele[ecs, {x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]}]

U62 (U5 – U52 – U62) U8 + U63 U82 ==

4 U52 – 8 U53 + 4 U54 + 4 U62 – 8 U5 U62 + 8 U52 U62 + 4 U64 + U63 U7 – U63 U72

pol = %[[1]] – %[[2]]

-4 U52 + 8 U53 – 4 U54 – 4 U62 + 8 U5 U62 – 8 U52 U62 –

4 U54 – U63 U7 + U63 U72 + U62 (U5 – U52 – U62) U8 + U63 U82

Factor[pol]

-4 U52 + 8 U53 – 4 U54 – 4 U62 + 8 U5 U62 – 8 U52 U62 – 4 U64 -

U53 U7 + U63 U72 + U5 U62 U8 – U52 U62 U8 – U64 U8 + U63 U82

Obsérvese que no puede haber ahora condiciones dedegeneración debido a la exigencia explícita de no aline-amiento de los puntos M, N y P. Por otra parte, no se haobtenido la forma lingüística de la condición debido a queninguna de las que se generan acerca de los puntos selec-cionados (A, B, C y X) incluye un enunciado de la forma«X está en la circunferencia de centro O», punto este últi-mo que ni siquiera aparece en la construcción. Esta cues-tión, aparecida en la sección anterior y que volveremos aencontrar en la siguiente, es actualmente objeto de estu-

Coefficient[%, U7, 2]

U63

Coefficient[%%, U8, 2]

U69

Puede ampliarse la propuesta a la deter-minación de su centro, que, dice Steiner,es el circuncentro de ABC. Esta cuestión,aún no resuelta en nuestro prototipo yque implica el uso por el alumno del sis-tema de cálculo simbólico, es sin dudainteresante pero nos aleja del objetivo deeste artículo, la automatización efectivadel descubrimiento.

Tercer (re)descubrimiento:el teorema de Guzmán

Guzmán (1999) ha considerado el casoen que las proyecciones desde X a loslados del triángulo ABC sigan tres direc-ciones fijas cualesquiera, salvo que seanparalelas a los respectivos lados. Ellugar geométrico de los puntos X quedeterminan un triángulo MNP de áreaconstante es una cónica. La construc-ción de esta situación se muestra en lafigura 4, donde las tres direcciones fijasse muestran en la esquina superiorizquierda.

Tras un proceso idéntico al seguido en elteorema de Steiner (origen A, unidad AB,area(M, N, P) = 2), el programa devuelveuna ecuación en las variables U5,…,U16con ¡154 términos y cada término, enmedia, 5 factores! Tal longitud es en gran

parte debida a las ocho variables U9, …,U16, que corresponden a los puntos quefijan las direcciones de proyección. Unanálisis análogo al realizado para Steiner,esta vez con el concurso altamente reco-mendable del sistema de cálculo simbó-lico, muestra que la ecuación obtenida es

la correspondiente a una cónica para las variables U7 y U8,coordenadas del punto X.

BibliografíaCD IX JAEN: <\soft\rex\> (debido al compilador utilizado para la

ejecucuón de REX sitúe el calendario de su PC en 1999)

GUZMÁN, M. (1999): «An extension of the Wallace-Simson theo-rem: projecting in arbitrary directions», American Math.Monthly, n.° 106 (6), 574-580.

RECIO, T. (1998): Cálculo simbólico y geométrico, Síntesis, Madrid.

ROANES MACÍAS, E. y E. ROANES LOZANO (1999): «Búsquedaautomática de lugares geométricos», Boletín de la Sociedad«Puig Adam» de Profesores de Matemáticas-Congreso IMACS-ACA’99, n.° 53, 67-77.

VALCARCE, J. L. y F. BOTANA (1999): «REX: un recurso para elestudio de la geometría», Actas de las IX Jornadas para elAprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas, Lugo, 260-262. <http://www-mapo.uvigo.ees/dg/rex>

WOLFRAM, S. (1996): The Mathematica book, CambridgeUniversity Press, Cambridge.

WU, W. T. (1994): Mechanical Theorem Proving in Geometries,Springer, Viena.

José Luis Valcarce IES Pontepedriña

SantiagoFrancisco Botana

Departamento de MatemáticaAplicada

EUET ForestalUniversidad de Vigo

67

Figura 4

5.° EGB

El problema de los puntos,–que ya habían abordado

autores, como Pacioli,Tartaglia y Cardano–, es unproblema de decisión bajo

incertidumbre, que motivó lacorrespondencia entre Pascal

y Fermat en 1654. Ahorabien, en la primera carta que

escribe Pascal a Fermat,introduce un nuevo problema

sobre dados, también dedecisión bajo incertidumbre,«el problema de las partidas

no jugadas», que ha motivadoel presente trabajo. Aunquemás sencillo que el problemade los puntos, ambos tienen

cosas en común. Fermataportará soluciones a estosproblemas basadas en laenumeración de todos losposibles resultados, lo que

Pascal denomina «el métodocombinatorio». Al tratar deevitar las enumeraciones detodos los resultados, Pascal

descubrirá lo que llamó«método universal»: laesperanza matemática.

Igualmente, y a requerimientosde Pascal, Fermat, descubrirálo que llamamos el modelo dePascal o modelo geométrico.

En el presente trabajoaplicamos estos nuevos

métodos al problema de laspartidas no jugadas, lo quepermitirá apreciar el trabajo

que desarrollaron ambosmatemáticos.

69

El problema del dadocon partidas no jugadas

Jesús Basulto SantosJosé Antonio Camúñez Ruiz

ARTÍCULOS

D

39

febrero 2002, pp. 69-76

URANTE EL VERANO DE 1654 se produce la famosacorrespondencia entre Pascal y Fermat. Esta correspon-dencia ha dado lugar a una literatura posterior más omenos fundamentada, que sitúa el origen del cálculo deprobabilidades en el contenido de dichas cartas.

El primer contacto entre ambos autores (que nunca llegarona conocerse personalmente) se cree que fue una carta quePascal dirigió a Fermat. Decimos «se cree» porque esta cartaestá perdida, pero, por los contenidos de las cartas poste-riores, hay indicios de que existió. En ella se supone quePascal planteaba ciertos problemas sobre juegos, problemasque ya existían en el ambiente y que de alguna forma yahabían sido estudiados y resueltos, aunque a veces consoluciones erróneas, por los matemáticos italianos del Rena-cimiento (Pacioli, Tartaglia, Cardano, Peverone, Forestani)en el siglo XVI (ver Coumet, 1965). Parece ser que, en dichacarta, Pascal también proponía sus propias soluciones aesos problemas, rogándole a Fermat algún juicio sobre ellas.

Entre esos problemas había uno que conoceremos a par-tir de ahora como el problema del dado con partidas no

jugadas, núcleo de la carta escrita por Fermat que F. N.David (1962) sitúa como respuesta a la anterior (la carta,aunque se conserva, no tiene fecha). Una traducción alcastellano de esta carta puede encontrarse en De MoraCharles (1989).

Este problema tiene estrecha relación con el conocido his-tóricamente como el problema de los puntos o problema de

las partidas o regla de los repartos, que constituye el núcleofundamental de la correspondencia entre Pascal y Fermat.La solución que propone Fermat al problema del dado conpartidas no jugadas es la misma que utilizará, al final de lacorrespondencia entre Pascal y Fermat (la carta del 25 deseptiembre de 1654), para resolver el problema de los pun-tos, tanto para dos jugadores como para tres o más.

Ambos problemas, el del dado con partidas no jugadas yel de los puntos, tienen en común el hecho de tratarse deproblemas de decisión bajo incertidumbre. Las decisionesson las diferentes proporciones del total apostado quedeben darse a cada uno de ellos, en el caso del problemadel dado con partidas no jugadas, o los repartos que debe-mos hacer entre dos o más jugadores, en el caso del pro-blema de los puntos. La incertidumbre entra al no jugarseuna o más partidas en el primer caso o al interrumpirse eljuego en el problema de los puntos. En ambas situaciones,tanto al no jugar como al interrumpirse, los jugadores noson ganadores ni perdedores, es decir, desconocen cuálsería el resultado final del juego.

A partir de aquí, el trabajo consiste en lo siguiente: en elsiguiente epígrafe introducimos, usando la carta de Fermata Pascal, el problema del dado con partidas no jugadas ylo comparamos con el problema de los puntos; en la sec-ción titulada la solución de Fermat al problema de losdados, queda recogida ésta; y en la siguiente sección pro-ponemos una explicación de la solución de Fermat yresolvemos el problema por el método universal dePascal. Finalizamos el trabajo con un ejemplo ilustrativodel problema del dado con partidas no jugadas.

Planteamiento del problema

En la carta de Fermat a Pascal comentada anteriormente,Fermat recoge el planteamiento del problema del dadocon partidas no jugadas que Pascal propuso en su cartaperdida. Siguiendo las palabras de Fermat:

Pero Vd me propone en el último ejemplo de su carta (utilizo suspropios términos) que si intento encontrar el seis en ocho partidasy si ya he jugado tres veces sin encontrarlo, si mi jugador (el juga-dor contrario) me propone que no juegue mi cuarta y quieredesinteresarme de ello porque podría obtenerlo (el seis), me per-tenece 125/1296 de la suma total de nuestras apuestas.

En el planteamiento de Pascal, (descrito aquí por Fermat)parece que se acepta que el jugador ya ha jugado tres par-tidas y no ha ganado y decide dejar de jugar en la cuarta.El planteamiento de Fermat cambia, y es en dicho «cam-bio» donde radica el «error» de Pascal en la proporciónanterior. Así Fermat propone el problema de la siguienteforma:

Si intento hacer un punto (determinado) con un solo dado, enocho partidas; si convenimos cuando el dinero ya está en juego,que yo no jugaré la primera partida… Que si todavía después deeso con venimos en que yo no jugaré la segunda partida… Y sidespués de eso convenimos en que no jugaré la tercera partida…Y si después de eso todavía convenimos en que no jugaré la cuar-ta partida…

Nosotros interpretamos el problema planteado por ambosmatemáticos de la siguiente forma:

Uno de los jugadores, el jugador B,apuesta una cierta cantidad a que el otro,el jugador A, no logrará en ocho lanza-mientos (partidas) de un dado perfectosacar un seis. El jugador A apuesta unacantidad frente a la de B, y afirma quelogrará sacar un seis en las ocho partidas.El jugador B puede estar interesado endisminuir el número de partidas quepuede hacer el jugador A, así, por ejem-plo, el jugador A puede convencerse deno jugar la segunda partida, habiendo nosacado en la anterior un seis. Ahora bien,el jugador B debe compensar al A por nojugar éste la segunda partida. Surgeahora el siguiente problema: ¿cuál debeser la proporción del total apostado quedebe llevarse el jugador A como com-pensación? En el planteamiento dePascal, éste considera que el jugador Aha jugado ya las tres primera partidas sinéxito y decide no jugar la cuarta partida.El problema surge igualmente cuando eljugador A se convenza de no jugar lascuatro primera partidas, como en el plan-teamiento de Fermat.

Antes de hacer comparaciones con elotro problema, el de los puntos o repar-tos, vamos a recordar, por medio de unejemplo, en qué consiste el mismo. Dosjugadores, A y B, juegan a cara y cruzcon una moneda perfecta, ganando Aun punto si en la partida (lanzamiento)sale cara, y en el otro caso, si sale cruz,el punto lo ganaría B. Ambos jugadoreshacen sus apuestas y deciden que el pri-mero que logre r éxitos (r puntos) sellevará el total apostado. El problemasurge cuando ambos jugadores decidende común acuerdo interrumpir el juegocuando al jugador A le faltan a partidas(le faltan a puntos para completar los r),a < r, y al otro jugador b partidas, b < r,y deben repartirse el total apostado.

Comparando ambos problemas, vemosque en el del dado el número de parti-das es conocido (8 en nuestro caso),mientras que en el de los puntos, elnúmero de partidas es aleatorio, aunquese sepa el número máximo de partidasque se jugaría. También, en el problemadel dado se puede no jugar las cuatroprimeras partidas pero retomar el juegocon la quinta, mientras que en el pro-

70

Fermat

Pascal

blema de los puntos, el juego se inte-rrumpe a partir de un número de parti-das jugadas. Ambos problemas sonejemplos de toma de decisiones bajoincertidumbre, donde las decisiones sonlas distintas proporciones que debe reti-rar el jugador A, como en el caso deldado con partidas no jugadas, o losdiferentes repartos del total apostadoentre los jugadores, como en el proble-ma de los puntos. La incertidumbresurge ya sea porque el jugador decideno jugar alguna partida, caso del pro-blema del dado, o interrumpir el juego,caso del problema de los puntos. El nojugar ciertas partidas conduce a que notengamos un ganador o un perdedor, esdecir, desconocemos el resultado deestas partidas y así, las decisiones debentomarse bajo incertidumbre.

Veamos a continuación cómo resolvióFermat el problema que aquí nos ocupa.

La solución de Fermat alproblema del dado

En la carta de Fermat a Pascal, Fermatresuelve el problema del dado con par-tidas no jugadas de la siguiente forma:

…si intento hacer un punto (determinado)con un solo dado, en ocho tiradas; si con-venimos cuando el dinero ya está en juego,que yo no jugaré la primera partida es nece-sario, según mi principio, que extraiga deljuego 1/6 del total para desinteresarme (delmismo), en razón de dicha primera partida.

Y añade

si todavía después de eso convenimos enque no jugaré la segunda tirada, para miindemnidad deberé retirar una sexta partedel resto, que es 5/36 del total.

Y sigue:

y si después de eso convenimos en que nojugaré la tercera tirada, para mi indemni-dad deberé retirar la sexta parte del resto,que es 25/216 del total.

Y termina:

y si después de eso, todavía convenimos enque no jugaré la cuarta tirada, deberé reti-rar un sexto del resto, que es 125/1296 deltotal y convengo con vos que ese es el valorde la cuarta tirada.

Fermat continúa su carta con un punto en el que comen-ta y rechaza la solución que daba Pascal a una determina-da situación de este problema. Leemos:

Usted me propone en el último ejemplo de su carta que si intentoencontrar el 6 en ocho tiradas y si ya he jugado tres veces sin encon-trarlo, si mi jugador me propone que no juegue mi cuarta tirada yquiere desinteresarme de ello porque podría obtenerlo (el seis), mepertenecerá 125/1296 de la suma total de nuestras apuestas.

Lo cual, sin embargo, no es cierto según mi principio. Pues eneste caso, al no haber obtenido nada en las tres primeras tiradasel que tiene el dado en su poder, y siguiendo en juego la sumatotal, el que tiene el dado y conviene en no jugar su cuarta tira-da, debe tomar para su indemnidad 1/6 del total.

Para Fermat, entonces, las tres primeras partidas jugadaspor el jugador A sin éxito, es decir, sin haber obtenido elseis, no contribuyen a la valoración de las partidas nojugadas. La independencia de los sucesivos lanzamientosdel dado, que en el caso de un juego más general descri-biría la hipótesis de que los jugadores no aprenden con laexperiencia y, por lo tanto, sus habilidades no cambian,hace que las partidas ya jugadas no contribuyan al cálcu-lo o valoración de las que están por jugarse.

Vemos pues que Fermat corrige la solución errónea dePascal, 125/1296, frente al valor de 1/6 de Fermat.

Este error de Pascal, así como otros que surgirán en lacorrespondencia entre ambos autores, han conducido amuchos investigadores a disminuir la importancia dePascal en su contribución al cálculo de probabilidadesfrente a Fermat. Recogemos las siguientes líneas de M. DeMora Charles (1989), tomadas de F.N. David (1962), comomuestra de esta opinión negativa:

Siempre fue tras él (tras Fermat) en los descubrimientos referentesal cálculo de probabilidades y tardó mucho más en comprenderlos problemas que el propio Fermat. Se insinúa incluso la influen-cia que su fracaso como geómetra pudo tener en su decisión deabandonar las matemáticas y convertirse por segunda vez (suconversión al jansenismo). La personalidad de Pascal no aparecefavorable a través de sus cartas y de sus otras obras, en cambioFermat parece haber sido un hombre que incluso después de tres-cientos años atrae a todos los que lo leen.

Una respuesta, que nosotros compartimos, frente a estaopinión de David, es la dada por A.W.F. Edwards (1987):

David omite mencionar cualquier contribución de Pascal, y enton-ces atribuye (como muchos otros investigadores) el concepto deesperanza a Huygens, aunque no solo fue usado por Pascal, sinoque Huygens conocía este hecho antes de que publicase su librode De ratiociniis in alea ludo (1667), como veremos. No hay dudade que esta opinión de David proviene de su falta de familiaridadcon el relevante libro de Pascal, su Traité du triangle aritmétique(1665), en el que él resuelve completamente el problema de lospuntos, haciendo uso del concepto de esperanza matemática.

Veamos a continuación una explicación de la solución queFermat da en su carta al problema del dado con partidasno jugadas, así como una aplicación del método universalde Pascal a este problema del dado.

Este errorde Pascal,

así como otros quesurgirán en la

correspondenciaentre ambos

autores,han conducido

a muchosinvestigadoresa disminuir

la importanciade Pascal

en su contribuciónal cálculo

de probabilidadesfrente aFermat.

71

La solución de Fermat y Pascal: una explicación

Consideremos un juego con un dado perfecto, donde unjugador A va a jugar 8 partidas, o sea, va a efectuar 8 lan-zamientos consecutivos y ganará el total apostado K sisaca un seis en una de las partidas. En caso contrario, si eljugador A no obtiene seis en ninguno de los 8 lanzamien-tos, entonces el total apostado será para el jugador B. Si eljugador A decide no jugar las cuatro primeras partidas, esdecir, quiere asegurarse una parte de lo apostado, veamosque la solución de Fermat es equivalente a que la canti-dad que retira el jugador A, del total apostado K, debe serproporcional al número de alternativas que le harían ganarsi se jugasen esas cuatro primeras partidas.

Dividamos el total de alternativas favorables al jugador A encuatro grupos: el primero, el jugador A ganaría el juego de lascuatro partidas, si sale un seis en la primera partida, y esto loconsigue con 1 alternativa favorable de un total de 6. Todasestas alternativas son iguales de probables. Segundo, el juga-dor gana si sale un seis en la segunda partida, es decir, en laprimera no sale un seis, lo que supone 5 alternativas en con-tra de un total de 6, y en la segunda sale un seis que es 1alternativa favorable de un total de 6. En el lanzamiento dedos veces consecutivas de un dado hay 62 = 36 alternativasde igual probabilidad de las que 5 representan la situacióndescrita en segundo lugar, o sea, 5 son favorables al jugadorA. Tercero, el jugador gana si sale un seis en la tercera parti-da, es decir no sale un seis ni en la primera ni segunda par-tida y si sale en la tercera. Tendríamos 5 alternativas en la pri-mera, 5 en la segunda y 1 en la tercera. Lanzando tres vecesconsecutivas el dado tenemos 63 = 216 alternativas igual-mente probables de las que 52 = 25 son favorables al jugadorA. Representamos parcialmente el árbol de decisiones queayuda a ilustrar los cálculos anteriores:

Y cuarto, el jugador A gana si sale unseis en la cuarta partida. En este caso eltotal de alternativas es 1296 y todas soncomparables. Las alternativas favorablesal jugador A son 125.

En la tabla siguiente recogemos todoslos cálculos:

72

Ahora bien, mientras que las alternativasdentro de cada grupo son comparables,al ser igual de probables, esto no ocurresi queremos comparar alternativas dedistintos grupos. Por ejemplo, la proba-bilidad de que el jugador A saque unseis en la primera partida es 1/6, mien-tras que la probabilidad de sacar uncinco en la primera partida y un seis enla segunda es 1/36, con lo que no pode-mos sumar las alternativas de los distin-tos grupos. Vamos a resolver este pro-blema por medio de sumergir el juegode las cuatro partidas, que como hemosvistos puede acabar con una, dos, tres ocuatro partidas, en un juego imaginarioque siempre finalice con cuatro parti-das. Este método fue utilizado porFermat y Pascal para resolver el proble-ma de los puntos (carta de Pascal aFermat del 24 de agosto de 1654.)

En este juego imaginario que siemprefinaliza con cuatro partidas, el primergrupo debe ampliarse a un total de 1296alternativas, todas comparables, y dondelas alternativas favorables al jugador Ason 216. Es decir, siempre lanzaremos eldado cuatro veces, de ahí los 1296 posi-bles resultados, y una vez ha salido unseis en la primera partida, todos losresultados que provienen de lanzar tresveces el dado, un total de 216, son lasalternativas favorables al jugador A. Elsegundo grupo se amplía a un total de1296 alternativas, y una vez ha salido unseis en la segunda partida, este resultado

Salir un 6 Alternativas favorables Total deen la partida al jugador A alternativas

1ª 1 6

2ª 5 62 = 36

3ª 52 = 25 63 = 216

4ª 53 = 125 64 =1296

123456

123456

123456

1 de 6 5 de 36 25 de 216

Donde suponemos que salen flechas de todos los círculos-óvalos en blanco y no así de los que están rayados, ya queahí se ha producido el éxito y, por tanto, la terminacióndel juego.

…mientras quelas alternativas

dentrode cada grupo

son comparables,al ser igual

de probables,esto no ocurresi queremoscomparar

alternativasde distintos

grupos.

ocurre con 5 alternativas, todos los resul-

tados que provienen de lanzar dos veces

el dado, un total de 36, lo que hace un

total de 5·36 = 180 alternativas favora-

bles al jugador A. No vamos a continuar

por no cansar al lector. Recogemos los

cálculos en la siguiente tabla:

Vamos a ver que es la misma solución

que la propuesta por Fermat en su carta.

Operando en la expresión [1]:

73

A partir de sacar Alternativas Total deun 6 en la partida favorables alternativas

1ª 50·63 = 216 64 =1296

2ª 51·62 = 180 64 =1296

3ª 52 ·61 = 150 64 =1296

4ª 53·60 = 125 64 =1296

K K6 5 6 5 6 5

6

1

6

5

6

5

6

5

61

3 2 2 3

4 2

2

3

3

4

+ ◊ + ◊ +È

ÎÍ

˘

˚˙ = + + +

È

ÎÍ

˘

˚˙ [ ]

K

KK

KK

KK

K

KK

KK

KK

KK

1

6

5

6

5

6

5

6

6 6

1

6 6 6

1

6

1

6

6 6

1

6 6

2

2

3

3

4+ + +

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1

6

1

6

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6

ÊËÁ

ˆ¯̃

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¸˝˛

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

Donde lo que retira el jugador A por nojugar las cuatro primera partidas es iguala la sexta parte de K (primer término delsegundo miembro), que Fermat identifi-ca por el valor de la primera partida, y,por tanto, lo que se llevaría el jugador Apor no jugarla. De lo que queda:

KK

K K-ÊËÁ

ˆ¯̃

= ◊ -ÊËÁ

ˆ¯̃

= ◊6

11

6

5

6

KK

KK-Ê

ËÁˆ¯̃

- -ÊËÁ

ˆ¯̃

È

ÎÍ

˘

˚˙6 6

1

6

el jugador vuelve a retirar la sexta parte(segundo término del segundo miem-bro), que Fermat identifica como valorde la segunda partida. De nuevo, de loque queda:

el jugador retira su sexta parte (tercer término del segun-do miembro), lo que Fermat identifica como valor de latercera partida. Por último, de lo que queda, el jugador Avuelve a tomar su sexta parta (último término del segun-do miembro), que Fermat identifica como valor de la cuar-ta, y por tanto, la indemnidad por no jugarla.

De la expresión [1], el total de lo que se lleva el jugador A porno jugar las cuatro primeras partidas se puede escribir como:

K K K

61

5

6

5

6

5

6 6

1 5 6

1 5 6 61

5

6

2 3 4 4

+ + ÊËÁ

ˆ¯̃

+ ÊËÁ

ˆ¯̃

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

=-

-ÊËÁ

ˆ¯̃

= - ÊËÁ

ˆ¯̃

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

( )

Lo que queda, K·(5/6)4 es la apuesta que permanece en eljuego, a partir de la quinta partida.

El artificio de sumergir el juego original en un juego ima-ginario, pretende, como hemos visto, operar con resulta-dos comparables, con las mismas probabilidades. Este arti-ficio será utilizado por Fermat y Pascal en la resolución delproblema de los puntos. Ahora bien, como es conocido,Pascal tuvo que defenderse de las dudas que le planteó elmatemático Roberval. Este método de enumerar todas lasalternativas fue llamado por Pascal como el método com-binatorio frente a su método universal de la esperanzamatemática. Sabemos que cuando Pascal quiso aplicar elmétodo combinatorio al problema de los puntos con treso más jugadores, se encontró con dificultades que nologró resolver por este método (carta del 24 de agosto1654). Pascal acabará su carta solicitando ayuda a Fermat.

Tanto las dudas presentadas sobre el método de sumergir eljuego original en un juego imaginario, como las dificultadesque encontró Pascal en la resolución del problema de lospuntos con tres jugadores, conducirán a Fermat a trabajarcon lo que hoy conocemos como el modelo geométrico.Con este nuevo método introducido por Fermat en su cartadel 25 de septiembre de 1654, se resolverá definitivamenteel problema de los puntos con dos o más jugadores.

Veamos que la solución de Fermat al problema del dado conpartidas no jugadas coincide con la suma de probabilidades,mediante la función de cuantía de un modelo geométrico (ocon la función de distribución del propio modelo).

De la primera tabla, el jugador A saca un seis en las cuatropartidas siempre que el seis salga en la primera, segunda, ter-cera o cuarta. También, obsérvese que estos cuatro sucesosson excluyentes y exhaustivos, con lo que la probabilidad deque el jugador A saque un seis en las cuatro partidas es:

Ahora, al ser todas las alternativas com-parables (son igualmente probables),podemos sumar las favorables de cadauno de los cuatro grupos. La cantidadque el jugador A debe retirar, del totalapostado K, es:

1

6

5

6

5

6

5

62

2

2

3

3

4+ + + [ ]

y entonces, el jugador A debe retirar, por no jugar las cuatropartidas, la cantidad que resulta de multiplicar K por el valorde la expresión [2], que es precisamente la expresión [1].

Si ahora recordamos el concepto de variable aleatoria geo-métrica X, como el número de lanzamientos de un dadoque debemos efectuar hasta lograr obtener un seis, porprimera vez, con valores en los enteros {1, 2,…}. Su fun-ción de probabilidad o cuantía viene dada por la siguien-te expresión:

fX(x) = qx–1p

donde q = 1 – p y p = 1/6 en nuestro problema.

La expresión [2} es ahora equivalente a:

fX(1) + fX(2) + fX(3) + fX(4)

O sea, la suma de los cuatro primeros valores de la fun-ción de probabilidad de un modelo geométrico (o el valorde la función de distribución del modelo geométrico).

Veamos a continuación cómo por medio del método uni-versal de Pascal (como él lo llamaba) podemos resolver elproblema del dado con partidas no jugadas. Este métodouniversal fue introducido por Pascal en su Traité duTriangle aritmétique (aunque publicado en 1665, tres añosdespués de la muerte de Pascal, las ideas fundamentalesexpresadas en el Traité ya habían sido desarrolladas porél mismo cuando se produjo el intercambio de correspon-dencia con Fermat en 1654, como lo atestigua la propiacorrespondencia), una exposición de parte de este libropuede verse en A. W. F. Edwards (1987). Vamos a recor-dar, en primer lugar, sus dos principios y los dos corola-rios que se sigue de ellos, y que dan lugar al nacimientode la esperanza matemática.

El primer principio afirma que en la lotería: «lanzar unamoneda perfecta, si sale cara el jugador gana K unidadesmonetarias y si sale cruz también gana K unidades mone-tarias». Entonces si el jugador no juega debe llevarse la can-tidad K.

El segundo principio afirma que en la lotería: «lanzar unamoneda perfecta, si sale cara el jugador gana K unidadesmonetarias y si sale cruz cero unidades monetarias. Esdecir, pierde todo lo apostado». Entonces, el jugador debellevarse la mitad de la apuesta, es decir, K/2, si decide noparticipar en el juego.

A partir de estos dos principios, Pascal propone lossiguientes corolarios.

Corolario I: En la lotería, «lanzar una moneda perfecta, si salecara entonces el jugador gana K + W unidades monetarias(u.m.), y si sale cruz gana K unidades monetarias», entonces eljugador debe llevarse la cantidad de K + W/2, si no participaen el juego.

En este corolario debe observase que el jugador tieneseguras K unidades monetarias, ya que por el primer prin-cipio le pertenecen. El resto, W, puede ganarlo si sale cara,o perderlo si sale cruz. En consecuencia, por el segundoprincipio, el jugador debe retirar W/2. En resumen, eljugador retira K + W/2 por no jugar a dicha lotería.

Corolario II: En la lotería, «lanzar unamoneda perfecta, si sale cara entonces eljugador gana K + W unidades monetarias(u.m.), y si sale cruz gana K unidadesmonetarias», entonces el jugador debe lle-varse la cantidad de (K + K + W)/2 si noparticipa en el juego.

Es evidente que este último corolario esequivalente al primero.

Si representamos la siguiente lotería: «lan-zar una moneda perfecta, si sale cara eljugador gana 30 u.m. y si sale cruz gana20 u.m», por {30, 1/2; 20, 1/2}, donde 1/2es la probabilidad de salir cara. El corola-rio I valora esta lotería por la cantidad:

…cómo por mediodel métodouniversalde Pascal(como él

lo llamaba)podemos resolver

el problemadel dado

con partidasno jugadas.Este métodouniversal

fue introducidopor Pascal

en su Traité duTriangle

aritmétique…

74

2030 20

230

1

220

1

2+ - = ◊ + ◊

123456 K

123456 K

123456 K

123456 K

00000

que es precisamente la esperanza mate-mática de la lotería.

En nuestro problema del dado, si eljugador saca un seis en una partida,gana K, el total apostado, y si no saca elseis no retira cantidad alguna. Esta lote-ría es de la forma {K, 1/6; 0, 5/6}, dondela probabilidad de salir el seis es 1/6.Esta lotería es equivalente a la siguiente:{K, 1/6; 0, 1/6; 0, 1/6; 0, 1/6; 0, 1/6; 0, 1/6},que por el segundo principio de Pascal,que nosotros extendemos a un númerofinito de alternativas comparables yexhaustiva, es valorada por la cantidadK/6. En consecuencia, la lotería {K, 1/6; 0,5/6} es valorada por K/6 + 0·(5/6) = K/6En general, la lotería {K1, 1/6; K2, 5/6},con K1 > K2, será valorada por la cantidadK2 + (K1 – K2)·(1/6), que coincide con laesperanza matemática K1·(1/6) + K2·(5/6)como se deduce del Corolario de Pascalextendido a nuestro problema.

Veamos ahora como aplicamos estasideas de Pascal al problema del dado conpartidas no jugadas. El árbol de decisiónde nuestro problema es:

donde sólo hemos desarrollado algunasde las ramas del árbol. También, hemos

indicado que si sale el seis, el jugador A selleva todo lo apostado, K, y en otro casono se modifica el total apostado. Si valora-mos las últimas loterías del este árbol, esdecir, {K, 1/6; 0, 5/6}, por K/6, segundoprincipio. Esta lotería es equivalente a:

Si valoramos de nuevo las últimas lote-rías del este tercer árbol, es decir, {K, 1/6;K/6 + (5K)/62, 5/6}, por K/6 + (5K)/62 +(52K)/63, por el Corolario, entonces estalotería es equivalente a:

75

123456 K

123456 K

123456 K

K/6K/6K/6K/6K/6

123456 K

123456

K/6 + (5K)/62

K/6 + (5K)/62

K/6 + (5K)/62

K/6 + (5K)/62

K/6 + (5K)/62

K

123456

K/6 + (5K)/62 + (52K)/63

K/6 + (5K)/62 + (52K)/63

K/6 + (5K)/62 + (52K)/63

K/6 + (5K)/62 + (52K)/63

K/6 + (5K)/62 + (52K)/63

K

Si valoramos ahora las últimas loteríasdel este segundo árbol, es decir, {K, 1/6;K/6, 5/6} por K/6 + (5K)/62, por elCorolario. Esta lotería es equivalente a:

portamiento de los individuos en situaciones de toma dedecisiones bajo incertidumbre.

El segundo principio de Pascal reduce la función de utilidada una función lineal, con pendiente positiva, del dinero, esdecir, Pascal describe situaciones de individuos bajo condi-ciones de riesgos neutros. Aquí, Pascal está más interesadoen un problema de justicia, ya que supone que ambos juga-dores son «iguales» en todo. No se trata de la toma de unseguro entre un individuo y una empresa de seguros,donde las diferencias, las necesidades y la aversión al ries-go del individuo, son utilizadas por la empresa en su pro-vecho. Respecto del primer principio, sirve para reducir aloterías ciertas las apuestas totales de ambos jugadores.

Obsérvese que si definimos una función h(x) donde xtoma los valores enteros 1, 2, 3 y 4, que valora la espe-ranza matemática en cada una de las cuatro partidas. Esfácil de comprobar que h(x) es solución de la siguienteecuación en diferencias finitas:

Esta ecuación en diferencias finitas se resuelve fácilmentepor medio de sustituciones hacia adelante, siendo su solu-ción, como puede comprobar el lector, igual a:

h xK

h x h( ) ( )= + +6

156

donde (4)= k 6

y esta última lotería, es por el corolariode Pascal, valorada por K/6 + (5K)/62 +(52K)/63 + (53K)/64, coincidiendo con laexpresión [1] de Fermat.

Estas sustituciones de loterías compues-tas por otras loterías, al sustituir loteríassimples por valores, es semejante alaxioma 3 del Herstein y Milnor (1953).Este axioma fundamental permite aestos dos autores obtener el criterio delvalor esperado de la utilidad del dinerocomo la regla para valorar loterías. Estecriterio del valor esperado, donde lasprobabilidades entran de forma lineal,será criticado por M. Allais (1953), pormedio de experimentos, sobre el com-

h x Kx

( ) = - ÊËÁ

ˆ¯̃

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

-

15

6

5

El valor h(1) coincide con la expresión [1] de Fermat si seusa la suma de una progresión geométrica finita. Por ejem-plo, si el total apostado es K = 100 u.m., la cantidad queretira el jugador por no jugar las cuatro primeras partidases de h(1) = 51,774 u.m. ¿Qué han apostado cada uno delos jugadores antes de comenzar el juego? La respuesta es:la apuesta del jugador A es 100·[1 – (5/6)8] = 76,74 u.m., yla del jugador B es 100 – 76,74 = 23,26 u.m. Obsérvese queel jugador A ahorró la cantidad de 51,774 por no jugar lascuatro primeras partidas, apostando para las siguientescuatro partidas la cantidad de 76,74 – 51,774 = 24,996, loque genera un total de 24,996 + 23,26 = 48,226 u.m. Elvalor que espera ganar el jugador B, una vez que el juga-dor A ha decido no jugar las cuatro primeras partidas, es48,226 – 48,226·[1 – (5/6)4] = 23,26, que es lo apostado, alcomienzo, por el mismo.

Vamos a finalizar esta sección con el planteamiento y lasolución de Pascal, del problema del dado con partidas nojugadas. Pascal plantea el problema bajo la situación deque el jugador A decide no jugar la cuarta partida cuandono ha tenido éxito en las tres primeras.

La solución de Pascal es 125/1296, que como señala Fermates errónea, siendo la solución verdadera igual a 1/6.

Las tres primeras partidas jugadas por el jugador A, sin éxi-tos, sin haber salido un seis, no contribuyen al cálculo de losvalores de las partidas no jugadas. En su carta, Fermat seña-

la que la cantidad apostada K no se modifica después decada una de estas partidas jugadas sin éxito. La indepen-dencia de los sucesivos lanzamientos del dado justifica lasolución correcta de Fermat. Estas partidas jugadas sin sacarun seis no modifican, por ejemplo, la probabilidad de sacarun seis en la cuarta partida, que como sabemos es de 1/6.

Si, por ejemplo, las probabilidades 1/6 y 5/6 midiesen lashabilidades de los jugadores A y B, respectivamente, lahipótesis de independencia entre los sucesivos lanzamien-tos del dado recogería el hecho de que ambos jugadores«no se cansan», «no se deterioran», «en cada nueva partidalos jugadores se encuentra como en la primera partida», ymantienen sus habilidades.

Un ejemplo ilustrativo

Un juego semejante al del dado con partidas no jugadaspuede ser observado actualmente cuando un jugador (unaempresa de seguros), B, propone abonar la cantidad K2,valor de un cierto bien, en el caso de que éste se pierda,asegurándose dicho bien, por ejemplo, por períodos de unmes hasta un máximo de 10 meses. El jugador A, que esdueño del bien valorado en K2, puede necesitar asegurar-lo durante 8 meses. El problema surge sobre qué cantidad,K1 debe pagar el jugador A al B para que, en el caso depérdida del bien en un período de 8 meses, el jugador Babone el valor del bien, K2 al jugador A.

Si la cantidad K1 es elevada para el jugador A, éste puedeestar interesado en jugar (en este caso, no asegurar), algu-nas partidas, (durante algunos meses). De nuevo surge elproblema de calcular la cantidad que el jugador A debeabonar al B por los meses asegurados, es decir, no juga-dos. En este último caso, el jugador A corre el riesgo deperder el bien en aquellos meses no asegurados.

Si suponemos que la probabilidad de perder el bien es1/6, igual que la de ganar el jugador A en el caso del dado,entonces es fácil ver que si el jugador A quiere asegurar 8meses el bien, debe abonar al jugador B la cantidad:

Mientras, en el juego del seguro, si eljugador A decide asegurar sólo los dosprimeros meses, no jugar las dos prime-ras partidas, entonces debe abonar aljugador B la cantidad:

Un juegosemejante

al del dadocon partidasno jugadaspuede serobservado

actualmentecuando

un jugador(una empresade seguros), B,

propone abonarla cantidad K2,

valor deun cierto bien,

en el caso de queéste se pierda,asegurándosedicho bien,por ejemplo,por períodosde un mes

hasta un máximode 10 meses.

76

K2

8

15

6- Ê

ËÁˆ¯̃

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

K 15

6

8

- ÊËÁ

ˆ¯̃

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

que coincide con el valor que espera perder el jugador Asi corre el riesgo durante los 8 meses.

Mientras que, en el caso del dado, si el jugador A quierejugar las 8 partidas, debe apostar la cantidad:

donde, recordemos, K es la cantidad total apostada porambos jugadores.

También, en el problema del dado, cuando el jugador Ano jugaba las dos primeras partidas, entonces podía retirarla cantidad:

K 15

6

2

- ÊËÁ

ˆ¯̃

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

K2

2

15

6- Ê

ËÁˆ¯̃

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

Por último, si en el juego del dado, eljugador A no ha tenido éxito en las tresprimeras partidas, y decide no jugar lacuarta, entonces sabemos que el juga-dor A debe retirar la cantidad:

K 15

6- Ê

ËÁˆ¯̃

È

ÎÍ

˘

˚˙

Mientras que en el juego del seguro, si eljugador A ha jugado las tres primeras par-tidas y «no ha tenido éxito», es decir, nose ha perdido el bien en los tres primerosmeses no asegurados. Si el jugador Adecide asegurar el cuarto mes, entoncesdebe pagar al jugador B la cantidad:

K2 15

6- Ê

ËÁˆ¯̃

È

ÎÍ

˘

˚˙

que por la hipótesis de independencia, laspartidas jugadas «sin éxito» no contribuyena los pagos por la partidas aseguradas.

Vemos que si lo apostado en el juegodel dado es K, en el juego del seguro loapostado es K2.

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me rationnel devant le risque: critique despostulats et axiomes de l’ecole americane»,Econometrica, Vol 21, 503-546.

COUMET, E. (1970): La thèorie du hasard es-elle neè par hasard?, Annales: Economies,Societes, Civilisation. Vol 25, 574-598.

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DE MORA CHARLES, M.S. (1989): Los Iniciosde la Teoría de la Probabilidad: siglosXVI y XVII, Servicio Editorial de la Uni-versidad del País Vasco.

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HERSTEIN, I.N y J. MILNOR (1953): «An axio-matic approach to measurable utility»,Econometrica, Vol 21, 291.297.

Jesús BasultoJosé Antonio Camúñez

Facultad de CienciasEconómicas y Empresariales.

Universidad de Sevilla

A SOCIEDAD de Educación Matemática de la ComunidadValenciana «Al-Khwarizmi» propuso a finales de 1999 larealización de un omnipoliedro con motivo de los actosconmemorativos en Alicante del año 2000, como AñoMundial de las Matemáticas, con el fin de contribuir a ladivulgación de los contenidos matemáticos en la sociedad.En su construcción se implicó el IES Leonardo da Vinci deAlicante y, posteriormente, se firmó un convenio con laConcejalía de Educación del Ayuntamiento de Alicantepara su financiación. Esta colaboración dio como resulta-do la colocación de la escultura en el Parque Temático delMonte Tossal de Alicante el curso pasado y continúa estecurso con la realización de una actividad educativa en laque participan los centros de la ciudad (figura 1).

Omnipoliedro significa «todos los poliedros». Es una com-posición realizada con los armazones de los cinco sólidosplatónicos o poliedros regulares, conocidos y utilizadosdesde hace más de 4000 años. La estructura se ha reali-zado de forma que los cinco están inscritos uno dentro deotro (figura 2). En el interior se encuentra el octaedro(amarillo), sus vértices se sitúan en el centro de las aris-tas del tetraedro (rojo). Los cuatro vértices del tetraedrocoinciden con otros tantos del cubo (verde). Cada una delas aristas del cubo se encuentra sobre una cara del dode-caedro (morado). Y, por último, el icosaedro (azul) pro-porciona rigidez al dodecaedro ya que las aristas deambos se cortan en los puntos medios para que los vérti-ces del icosaedro queden situados en los centros de lascaras del dodecaedro y viceversa. De esta forma, pode-mos estudiar las relaciones entre unos y otros, además deconseguir una estructura de gran belleza estética.

Algunos de los cálculos para que cada poliedro encaje enel siguiente no son complicados, aplicar el teorema dePitágoras o tener alguna idea feliz, son suficientes para eloctaedro, el tetraedro y el cubo. Para los dos poliedros

Se describe la experienciaconsistente en la construcción

de un omnipoliedro, pormedio de una estructura de

varillas formada por losarmazones de los cinco

sólidos platónicos encajadosuno dentro de otro.

77

Geometría de ayer y de hoy

José Antonio Mora

IDEASY

RECURSOS

L

39

febrero 2002, pp. 77-82

que van por el exterior –el dodecaedro y el icosaedro– hayque aplicar la proporción áurea, concepto que ha sidoaplicado por científicos y artistas de todas las épocas. Laproporción áurea es la relación geométrica que tienen encomún la Pirámide de Keops en Egipto, el Partenón deAtenas, San Marcos en Venecia, Nôtre Dame en París o eledificio de las Naciones Unidas en Nueva York (figura 3).Las medidas para que estas inclusiones sean posibles sehan tomado de los estudios de Pedro Puig Adam que, ensu libro Didáctica de la Matemática Moderna, describe elproceso de construcción de esta estructura y aporta losdatos necesarios. El propio profesor Puig Adam construyóun gran icosaedro en el patio de su instituto.

La adopción de la propuesta por el IESLeonardo da Vinci vino promovida porel significado tan especial que tienepara el instituto, ya que conecta con laobra de este genio. Como otros artistasdel Renacimiento, Leonardo utilizó dise-ños en perspectiva de los poliedros ensus obras, pero su trabajo fue más lejosen la creación de dibujos de gran origi-nalidad para los armazones de los polie-dros en el libro La divina proporción deLuca Paccioli. Son los que llamó absci-sus vacuus y en la figura 4 tenemos eldiseño del dodecaedro.

Las medidaspara que estas

inclusionessean posibles

se han tomadode los estudios dePedro Puig Adamque, en su libro

Didácticade la Matemática

Moderna,describe el proceso

de construcciónde esta estructura

y aportalos datos

necesarios.El propio profesor

Puig Adamconstruyó

un gran icosaedroen el patio

de su instituto.

78

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

El omnipoliedro conecta con la obra deartistas alicantinos como Eusebio Sempereque legó a la ciudad de Alicante laescultura Como una estrella, tambiénconocida como Estrella Varada, que seencuentra en uno de los cruces másconcurridos de la ciudad (figura 5). Enella un dodecaedro regular está situadosobre un eje giratorio coincidente conuno de los ejes de rotación del poliedroque lo atraviesa por el centro de doscaras opuestas, mientras de cada carasurgen varillas de acero.

También hay otras obras que conectancon los sólidos platónicos: SeccionsAurees de los arquitectos Pérez y Fríasen la avenida de Denia (figura 6) es unaréplica del Icosaedro en el Aire deBuckmister Fuller de 12 metros de altu-ra en la que se combina la rigidez de

seis barras de hierro con seis tensores de acero que conec-tan los extremos de las barras según los vértices de un ico-saedro regular con un resultado realmente espectacular,porque la estructura sólo se mantiene como la vemos bajotensión, de hecho tres de las barras están en el aire.

En varias plazas nos encontramos fuentes con diseñosgeométricos, en los juegos infantiles de algunos parquesde la ciudad podemos identificar un poliedro que, no sien-do regular, le falta poco; es el sólido de Kelvin, que resul-taría de cortar las seis esquinas a un octaedro para formarun poliedro con seis cuadrados y ocho hexágonos regula-res (figura 7).

Edificios como la iglesia de Santiago en la playa de laAlbufereta (figura 8) o el Museo de la Universidad deAlicante tienen mucho que ver con el cubo. También enel museo de la Asegurada tenemos esculturas de clarocontenido geométrico de Eduardo Chillida, VíctorVasarely, Julio González, Andreu Alfaro y el propioEusebio Sempere.

Después de ver algunas conexiones de los poliedros regu-lares con la ciudad de Alicante, pasaremos a analizar algu-

El omnipoliedroconecta

con la obrade artistas

alicantinos comoEusebio Sempere

que legóa la ciudadde Alicantela escultura

Como una estrella,también

conocida comoEstrella Varada…

79

Figura 6

Figura 5

Figura 8

Figura 7

nas de las características del omnipoliedro construido. Parala elección de los colores de las barras se ha tenido encuenta la simbología clásica que relacionaba los sólidosplatónicos con los cuatro elementos por los que los griegoscreían que estaba constituida la materia: tetraedro-fuego-rojo (que vemos en la figura 9 la ilustración de J. Keplerpara su libro Harmonice Mundi) o icosaedro-agua-azul.Por otra parte, se ha atendido a la armonía cromática: elpoliedro con menor presencia debe tener un color másluminoso que lo haga resaltar. Así, el octaedro, que sólosupone un 11% del total de las barras utilizadas, se ha pin-tado de color amarillo, mientras que el que más aparece, elicosaedro, supone el 40% y se ha pintado de color azul.

En los Talleres de Carrocería del IES Leonardo da Vinci sehan estudiado distintas alternativas para la pintura deltubo de aluminio. Se resolvió el problema de la adheren-cia de la pintura mediante una imprimación, se pintó conuna pistola de aerografía y el secado se consiguió concalor en cabina (figura 10).

El tamaño ha sido otra de las preocupaciones, debía sergrande para que se pueda apreciar en un espacio abierto,pero no tanto que impidiera su montaje con cierta facilidad,las dimensiones podían ser «humanas». Para la arista del

cubo –y también del icosaedro–, se hatomado una longitud igual a la media deestaturas de la población adulta españo-la. El problema surgió con la obtenciónde esa medida, ya que no hay estadísti-cas en los organismos oficiales sobre lasestaturas ni en las instancias a nivelnacional ni en las que corresponden a laComunidad Valenciana. Hay algunosdatos de las mediciones de los reempla-zos que hacían el servicio militar, peroempiezan a estar anticuados y, lo que esaún peor, no tienen en cuenta la estatu-ra de las mujeres. Por fin, encontramosalgunas investigaciones médicas que esti-maban, mediante la utilización de mues-tras, en 1,67 metros el promedio de esta-turas de la población adulta española.

Una de las características más interesan-tes del omnipoliedro realizado es quepuede ser desmontado para volverlo aconstruir. Basta con cortar las bridas deplástico que realizan las uniones de losvértices (figura 11), soltar todas las vari-llas y realizar un nuevo montaje de laestructura. Así, la construcción se con-vierte en un diseño interactivo, términomuy de moda en todo lo que envuelvea las nuevas tecnologías, y que aquícobra especial relevancia al permitir lamanipulación del omnipoliedro paradesarrollar la imaginación y servir devehículo para plantear preguntas eintentar encontrar las respuestas. Todosestos aspectos son fundamentales en la

Una delas característicasmás interesantesdel omnipoliedro

realizadoes que puede

ser desmontadopara volverloa construir.

80

Figura 9

Figura 10 Figura 11

comprensión de las ideas y los métodosde las matemáticas.

A lo largo del trabajo de montaje (figu-ras 12, 13 y 14) los estudiantes puedenreflexionar sobre problemas de la geo-metría del espacio como la rigidez deciertas estructuras y su utilización en lasconstrucciones humanas, se estudianlos planos de simetría y ejes de rotacióncomunes a dos o más poliedros, se ana-

liza por qué se han tomado determinadas medidas paralas barras, qué relación hay entre las caras, las aristas y losvértices de los poliedros –la fórmula de Euler–, o se pien-sa en el resultado de truncar los vértices de los poliedrosregulares para obtener nuevos poliedros como el balónde fútbol y también abordar conceptos complejos comola dualidad. Podemos salirnos de los contenidos estricta-mente geométricos e ir a otros campos para recordar enqué manifestaciones encontramos los poliedros y en quéobjetos de uso cotidiano o construcciones de nuestra ciu-dad tenemos ejemplos de su utilización. También pode-mos tratarlo desde una perspectiva funcional y analizar elporqué de su utilización, encontraremos que unas veceslos motivos son estéticos, para proporcionar belleza a losdiseños, mientras otras son económicos o funcionales conel fin de obtener un mayor rendimiento de las construc-ciones. Podemos pasar al arte y estudiar la representaciónde los poliedros que hicieron los artistas del Renacimientocomo una forma de dar armonía a sus composiciones yllegar a la obra de Maurits C. Escher, Salvador Dalí yEusebio Sempere.

La posibilidad de realizar el montaje del omnipoliedro se hautilizado para una segunda fase en la colaboración entre laSEMCV «Al-Khwarizmi» y la Concejalía de Educación delAyuntamiento de Alicante. En el curso 2000-2001 la SEMCV«Al Khwarizmi» ha firmado un segundo convenio por mediodel cual se ha editado la guía didáctica Un Omnipoliedropara el Monte Tossal de Alicante (figura 16) y se ha diseña-do una actividad educativa para que los profesores de mate-máticas acompañen a los grupos de estudiantes a montar laestructura. Durante este curso participan cerca de mil alum-nos en treinta grupos de quince centros educativos de laciudad que imparten Secundaria. Para esto se ha construido

…y estudiarla representaciónde los poliedros

que hicieronlos artistas

del Renacimientocomo una formade dar armonía asus composiciones

y llegara la obra de

Maurits C. Escher,Salvador Dalí

y Eusebio Sempere.

81

Figura 12

Figura 13

Figura 14

Figura 15

otro omnipoliedro algo más pequeño: la arista del cubo esde un metro de longitud, tiene dos metros de diámetro y 15kilos de peso, que se guarda desmontado en el ParqueTemático. La tarea consiste en que son los estudiantes losque construyen el omnipoliedro con la supervisión de unmonitor.

La guía didáctica detalla el proceso que se ha seguido enel diseño del omnipoliedro y conecta el estudio de lospoliedros con otros campos artísticos y científicos y con lautilización que los artistas alicantinos han hecho de ellos.Hay un capítulo dedicado al proceso de construcción enel que se relata el procedimiento para armar el omnipo-liedro y los problemas que pueden surgir. También se haelaborado un cuaderno para el estudiante con una colec-ción de diez actividades para realizar en la clase de mate-máticas con el fin de que la actividad de construcción delomnipoliedro se pueda enmarcar dentro del estudio quese realiza en la clase de Matemáticas en los cursos deEducación Secundaria.

En la figura 17 vemos el omnipoliedro que se ha instaladoen el Monte Tossal. Se ha colocado sobre una base dise-ñada para la ocasión, está formada por dos pentágonos,uno de ellos anclado al suelo y el otro es el que sirve desoporte al omnipoliedro haciéndolo descansar sobre unode los pentágonos del dodecaedro. La conexión entre losdos pentágonos se hace con barras que se cruzan unien-do sus vértices. En las instalaciones del Parque Temáticose encuentran las noventa varillas de colores del segundo

omnipoliedro preparadas para realizarla actividad educativa de construcción.

Se puede obtener información adicionalacerca del modelo construido en lapágina de Internet:

http://teleline.terra.es/personal/joseantm/

allí se encuentra una secuencia fotográ-fica de la construcción realizada por losestudiantes del instituto Leonardo daVinci.

José Antonio MoraIES Leonardo da Vinci.

Alicante.Societat d’Educació

Matemàtica de la ComunitatValenciana «Al-Khwarizmi»

82

Figura 16 Figura 17

Figura 18

CERCAR las Matemáticasa la vida corriente

Unos puntos de vista

Existe una antipatía generalizada hacia las Matemáticas, nosólo entre los estudiantes sino en la sociedad en general.La mayor parte de las personas están de acuerdo en laimportancia de tener una buena cultura, a lo cual consi-deran que contribuye la Geografía, la Historia, la Lengua,la Literatura, el Arte, los Idiomas, etc. Pero, sin embargo,muchos se preguntan: ¿para qué sirven las Matemáticas?,¿para qué sirven las funciones, traslaciones, cónicas, matri-ces, polinomios…?

Para mucha gente las Matemáticas no forman parte de lacultura. Ven en ellas más los problemas que acarrean quelos beneficios que proporcionan.

Para muchos ciudadanos adultos el único signo de visibilidad queconceden a las Matemáticas es su carácter de obstáculo social.Sufrieron en la escuela un duro aprendizaje de conceptos y algo-ritmos a los que no concedían y no conceden interés ni utilidad másallá del ámbito escolar. (Herrero Pérez y Lorenzo Blanco, 1998)

Parece que los estudiantes tienen ese mismo sentimientohacia las Matemáticas: no les gustan, no les encuentran sen-tido, no les parecen útiles… Las ven como algo ajeno, quese transmite de unas personas a otras (normalmente de pro-fesor a alumno), y luego se olvidan y abandonan porque noson más que un lastre que no forma parte de la vida.

Sin embargo es evidente, al menos para los matemáticos,que las Matemáticas invaden nuestras vidas de un modoinnegable en multitud de aspectos, tanto en la vida coti-diana, como ayuda o complemento a casi todas las cien-cias, en la organización de cualquier empresa, en buenaparte de la economía, en la tecnología e incluso en el arte.

Hay muchos factores queinfluyen en la existente

actitud negativageneralizada hacia las

Matemáticas. Uno de ellospuede ser la desconexión

entre lo que se entiende porMatemáticas y la realidad

cotidiana diaria. Por ello sequiere mostrar una forma de

trabajo que considere elentorno circundante,concretamente en un

supermercado. De estaforma, a partir de una

situación real, se presentauna serie de actividades

clasificadas según diferentestópicos matemáticos. Para

finalizar se ofrecen algunassugerencias acerca de cómose podían llevar actividades

similares al aula conestudiantes, así como

algunas conclusiones deltrabajo efectuado.

83

Tres profesores de Matemáticasen el supermercado

Mercedes Rodríguez SánchezJosé María Chamoso SánchezWilliam B. Rawson

IDEASY

RECURSOS

A

39

febrero 2002, pp. 83-93

Entonces, ¿por qué aparece esa aparente contradicciónentre la invasión de las Matemáticas en la vida corriente decualquier ciudadano y la percepción de éste de la escasapresencia de las mismas? Este fenómeno, la paradoja de larelevancia, describe la existencia simultánea de la relevan-cia objetiva con la irrelevancia subjetiva de las Matemáticas.

Esta irrelevancia subjetiva se puede ver en la supuestaseparación entre las Matemáticas y la vida cotidiana.Muchos ciudadanos no ven relación entre las que apare-cen en los centros educativos y libros de texto, y las de lavida ordinaria. Realmente no consideran su uso comofamiliar. Esto se debe, en parte, a la forma en que se hanaprendido: siempre en clase, con un libro y en forma delecciones del profesor. Es decir, son algo del aula. En lacalle «no hay Matemáticas».

Sin embargo, los profesores de Matemáticas no podemosdesentendernos de la responsabilidad de formar ciudada-nos con una cultura general acorde con el estado de lacivilización actual. Durante los años de enseñanza obliga-toria el alumno debe ser instruido, junto con las técnicascorrientes específicas de cada materia y que son de utili-dad inmediata para la vida laboral, en la cultura generalque constituye la base de nuestro concepto actual delmundo (MEC 1992a y b). El NCTM (1991) recomendabaque los estudiantes estudiaran mayormente la mismamatemática que se enseñaba pero con un enfoque distin-to, de forma que los fines que deberían conseguir todoslos alumnos en relación con la importancia de la instruc-ción matemática deberían ser: que aprendan a valorar laMatemática, que se sientan seguros de su capacidad dehacer Matemáticas, que lleguen a resolver problemasmatemáticos, que aprendan a comunicarse matemática-mente y que aprendan a razonar matemáticamente.

Hay que tener en cuenta esas circunstancias. Quizás modi-ficando la metodología de enseñanza se puedan cambiarlas creencias existentes acerca de las Matemáticas. Se quie-re trabajar de forma distinta para que dejen de ser algo ais-lado y se conviertan en parte de la sociedad. Con ello seintenta desmitificar la inutilidad de las mismas. En ese casoes fundamental el papel del profesor, porque en susmanos está la imagen que sus alumnos reciben de la mate-ria, así como la forma de su utilización.

Una propuesta de enseñanza

Los objetivos prioritarios son intentar conseguir una for-mación integral del estudiante a través de un aprendiza-je significativo con el que se espera mejorar su rendi-miento y su actitud. Esto se quiere hacer mediante unaforma de enseñanza más abierta y participativa, más cer-cana a la calle y al ciudadano usual. Se espera que losalumnos se den cuenta de que lo que estudian en el aulaexiste realmente fuera de ella. Es decir, se desea que

entiendan el mundo a través de lasMatemáticas.

Y para ello pretendemos buscar situacio-nes cercanas a la vida diaria que seanenriquecedoras, es decir, que tengan encuenta las experiencias previas y los dife-rentes intereses, y permitan encontrar acti-vidades para el disfrute, la motivación y elestímulo. De esa forma las Matemáticas seconvierten en algo cotidiano y familiar,algo que podemos encontrar en cualquierlugar y con lo que estamos conviviendodiariamente. Las Matemáticas pasarían deser algo extraño a ser parte de la vida real,de la propia vida.

Es decir, más específicamente, con lasMatemáticas queremos conseguir:

• Que sean parte de la vida real, de lasociedad y de la cultura.

• Hacerlas cercanas, útiles, interesan-tes, divertidas y cotidianas.

• Enculturar y dar sentido a conteni-dos matemáticos.

• Conseguir diferentes formas de pre-sentación de una situación.

• Conectar actividades.

• Facilitar la exploración y expresión.

• Orientar y dar fluidez a las tareas.

• Desarrollar técnicas visuales y derecodificación.

• Construir relaciones sociales.

• Trabajar de forma cooperativa.

• Organizar discusiones.

• Desarrollar argumentaciones y ra-zonamientos.

• Tratar la diversidad.

• Fomentar un espíritu de innovacióny creatividad.

• Aprender de una forma diferente.

Y para ello queremos buscar lasMatemáticas en la calle. Se dice queéstas se pueden encontrar en todas par-tes, pero queremos demostrar que real-mente es así. De esa forma se quierenorganizar una serie de actividades mate-máticas que permitan conseguir losobjetivos pretendidos, según el siguien-te esquema:

…¿por quéaparece

esa aparentecontradicción

entre la invasiónde las Matemáticas

en la vidacorriente

de cualquierciudadano

y la percepciónde éste

de la escasapresencia

de las mismas?

84

Con esas actividades estaríamos inte-grando las Matemáticas en el contextodel alumno, aumentando así su moti-vación y consiguiendo que adquirieranunos conocimientos más significativosy, por tanto, más duraderos. Es difícilrecordar aquello que nos es ajeno. Sin

embargo, resulta más sencillo recordar con lo que con-vivimos diariamente. Así, si integramos las Matemáticasen nuestra vida quizás no sea tan difícil entenderlas yrecordarlas.

De compras en el supermercado

Con el propósito de poner en práctica nuestras ideas ele-gimos una forma de trabajo distinta que posteriormente sepudiera aplicar en el aula con los estudiantes. Ya se habíarealizado un trabajo similar rebuscando datos del entornofísico, social y cultural del estudiante, de forma que sepudieran desarrollar actividades matemáticas con conteni-dos de historia, arte, tradiciones, población, nivel cultural,etc., del lugar en el que viven. De esa forma se les animaa no dar la espalda a la abrumadora cantidad de cifras queles invade diariamente, y a que conozcan y se impliquenen la sociedad en la que viven (Chamoso, Rawson yRodríguez, 1997).

Pero en esta ocasión los tres profesores decidimos ir alsupermercado. Nos encaminamos hacia él y, una vez allí,cada uno se dirigió hacia lugares diferentes con lápiz ypapel en mano. No era necesario mucho tiempo. Sólo elsuficiente para descubrir que era posible encontrar mate-rial referido a diferentes aspectos matemáticos. Ése eranuestro objetivo.

Al cabo de media hora nos volvimos a reunir en la cafete-ría. Tomando un café ordenamos nuestras notas y empe-zamos a charlar sobre lo que cada uno había observado.Posteriormente clasificamos las sugerencias que habíanaparecido en nuestro paseo individual, ahora ya global-mente en forma de problemas distribuidos en diversas sec-ciones que se explican a continuación.

Observa el entorno

Nada más entrar en el supermercado, lo primero que pudi-mos ver fue la sección de flores. Sin embargo, tardamos enencontrar la sección del pan (estaba al fondo del estable-cimiento). ¿Sabrías explicar por qué?

Junto o separado (numeración)

En la sección de frutería, las manzanas rojas se podíancomprar en paquetes de 6, 4 o por unidades sueltas. Losprecios del kilogramo eran 160, 245 y 199 pesetas respec-tivamente según las distintas situaciones (observa la suce-sión). Si necesitara 6 manzanas, ¿qué debería comprar? ¿Ysi quisiera únicamente 5? Y si me bastara con 4, ¿qué inte-resaría más? ¿Cuánto pagaría en cada caso? (un kilogramocontiene 4 manzanas aproximadamente).

85

Examinandoun monumento En un bar

En una plazaEn el propiohogar

Paseando por unacalle de una ciudad

En un colegioDe compras en unsupermercado o encualquier almacén

En un almacén

Se puede encontrarMatemáticas

Con ellas se pueden organizar actividades matemáticas de:

• Reconocimiento (resolver, reconocer o recordar un concepto específico,una definición, un teorema, etc.).

• Repetición o algorítmicas (reforzar fórmulas y expresiones matemáticas,potenciar habilidades de cálculo).

• Traducción sencilla o compleja (si están formulados en un contexto, tra-ducirlos matemáticamente).

• Proceso (posibilidad de conjeturar varios caminos para resolverlos).• Reales (plantear actividades en situaciones reales).• Investigación matemática (búsqueda de algún modelo para encontrar

la solución o generalizar resultados).• Puzzles (matemáticas recreativas o circunstancias extrañas y llamativas).• Historias Matemáticas (cuentos o aspectos históricos que puedan suge-

rir un planteamiento didáctico o que sirvan para explicar el proceso delentendimiento).

Que permitan:

• Idear, abstraer, generalizar, inferir, conjeturar.• Ordenar, clasificar, organizar, representar.• Diseñar y desarrollar modelos.• Analizar, comparar, aplicar, sintetizar.• Explicar, validar, convencer.• Calcular, contar, medir.

Esquema 1. Actividades matemáticas

Operaciones con números

Números naturales

La mayor parte de los productos del supermercado esta-ban situados en estantes. Sin embargo los paquetes deazúcar de 1 kg estaban en palés rectangulares. Éstos esta-ban colocados tumbados de forma ordenada, rellenandodiferentes capas del palé. Observando la capa inferior, lamás cercana al suelo del supermercado, se veían, desde elexterior por la parte más estrecha del palé, la parte lateralque ocupa más espacio de 5 paquetes de azúcar tumba-dos y, por la parte más ancha del palé, la base de 12paquetes de azúcar tumbados. En la capa inmediatamentesuperior los paquetes se habían ordenado, también tum-bados, de forma perpendicular a los anteriores. En ésta sedistinguían, también desde el exterior y por la parte másestrecha del palé, la base de 7 paquetes de azúcar y, porla parte más ancha del palé, la parte mayor de 8 (figura 1).En la capa tercera, empezando desde abajo, había tantoscomo en la más inferior y ordenados de la misma forma.Y así sucesivamente. ¿Por qué?

Operaciones numéricas

Las Cajas Rojas de Nestlé estaban hechasde distinto material y tenían formas dife-rentes, así como distintos preciosdependiendo de su tamaño y compo-nentes. Se resumen en la siguiente tabla:

Compruebaque salía

más baratocomprar2 cajas

de 100 gramosque 1 de 200.

86

Figura 1

Capa inferior del palé (capa 1)

Capa 2 del palé

Desde el lateral se veían 14 alturas de las cuales las 3 últi-mas no estaban completas. Concretamente, en la capa 12faltaba una fila de 12 (y por tanto también faltaba esamisma fila en las capas superiores). En la capa 13 faltaban,además, otros 5 paquetes de azúcar (y por tanto tambiénen la superior). En la capa 14 faltaban 8 más que en lacapa 13. ¿Cuántos paquetes de azúcar había en total?¿Cuántos kilos suponen? Si el kilogramo de azúcar costaba149 pesetas, ¿cuánto se podría obtener de la venta de todoel azúcar que había en ese momento en el palé?

Peso Precio Forma Material (en gramos) (en pesetas)

Rectangular Cartón 800 2565Oval Hojalata 500 1805Rectangular Cartón 400 1360Petaca Hojalata 400 1445Oval Hojalata 250 1095Rectangular Cartón 200 745Rectangular Cartón 100 325

Comprueba que salía más barato com-prar 2 cajas de 100 gramos que 1 de200. O 4 cajas de 100 gramos que 1 de400, todo ello del mismo material.¿Observas más circunstancias llamativas?

Propiedad conmutativa

Observamos los botes de suavizanteLenor que estaban colocados en losestantes. En uno de ellos se podía verque ocupaban 7 filas con 4 botes cadauna, mientras que en otro ocupaban 4filas con 7 botes cada una. Si contába-mos todos ellos, en ambos casos obser-vábamos que ambas cantidades coinci-dían. Por tanto se verificaba la propie-dad conmutativa.

Múltiplos y divisores

Las latas de comida para animales, todasde igual tamaño, estaban ordenadas enfilas y columnas de la siguiente forma:la marca Félix ocupaba 4 filas y 6columnas, Cat Chow completaba 3 filasy 4 columnas y una tercera, Friskies, 2filas y 3 columnas. Calcula el área querellenaba cada marca y observa que losresultados son múltiplos o divisores de12. ¿Por qué? Halla el mínimo comúnmúltiplo y el máximo común divisor.

Sucesiones de números naturales

Los botes de mermelada Bonne Mamanestaban colocados de forma llamativa,

Tabla 1

en filas con una unidad creciente encada caso. Así, en la parte superiorhabía 1 bote, en la inmediata inferior 2,en la siguiente hacia abajo 3, en la infe-rior a ésta 4 y en la más baja 5. Se obser-va que se trataba de una sucesión cre-ciente de números, precisamente la delos números naturales: 1, 2, 3, 4 y 5.¿Cuántos tarros había en total? No esdifícil adivinar cuántos habría en cadafila si hubiera 9 filas, en vez de 5, man-teniendo la misma ordenación; en esecaso, ¿cuántos envases habría en total?¿Y si hubiese otro número cualquiera defilas de botes de mermelada colocadosde la misma forma? ¿Se podría generali-zar a cualquier número de filas?

Números enteros

En la sección de juegos estaba la lista delos más vendidos. Esta semana aparecíaen primer lugar un cierto juego que lasemana pasada ocupaba el tercer puesto.Sin embargo, el que la semana pasadaestaba en primer lugar, en ésta se encon-traba en el quinto. ¿Podrías explicar quésucedió con ambos juegos en términos denúmeros positivos y negativos? Se podríahacer algo similar con los demás juegos eincluso considerando más semanas.

Proporciones

Había diversas marcas de piña en roda-jas. Se relacionan a continuación consus respectivos precios y pesos:

tenían fotografías de mayor tamaño, estaban situados enlos estantes superiores, mientras que los que tenían másespacio reservado para la escritura estaban en los inferio-res. ¿Por qué ocurría eso? Estudia el porcentaje de espacioque ocupan las fotografías en cada página de cada una delas diversas publicaciones (periódicos y revistas).

Ofertas

La mayor parte de las ofertas proporcionaban situacionesque permiten trabajar con fracciones y proporciones.

1

Según los artículos se observaba que unas veces la ofertase presentaba en forma de descuento global (por ejemplo,descuento de 100 pesetas), otras veces se hacía en formade porcentaje (por ejemplo, descuento del 20 %) y otrasen forma de fracción (por ejemplo, descuento de 1/3 delprecio total).

Veamos algunas situaciones de cada tipo:

• 3 kg de patatas para freír costaban 299 pesetas, perotenían un descuento de 100. Por tanto el precio finalera 199 pesetas.

• Las bolsas de sopa Knorr de 84 g costaban 168 pese-tas, pero tenían un descuento de 1/3. Por tanto el pre-cio final era 112 pesetas.

• Los paquetes de spaghetti carbonara de 170 g estabande oferta. Costaban 260 pesetas pero tenían un des-cuento del 20 %. Por tanto su precio final era 208pesetas.

Sin hacer cuentas, ¿qué artículo piensas que tenía más des-cuento, la sopa o los spaghetti? ¿Y si comparamos la sopacon las patatas? ¿Y entre los tres artículos? (observa, porejemplo, que si el precio inicial de las patatas fuese 300pesetas entonces el descuento de las patatas y la sopasería el mismo).

Rellena la siguiente tabla:

La mayor partede las ofertas

proporcionabansituaciones

que permitentrabajar

con fraccionesy proporciones.

87

Peso PrecioMarca (en gramos) (en pesetas)

Del Monte 820 283Carrefour 820 225Dole 836 295Del Monte 560 217Carrefour 567 179Dole 567 225

Tabla 2. Piña en rodajas

Señala si el precio de las diversas mar-cas guardaban relación similar entre losdos tamaños que presentaban cada una.

Proporciones

En la sección dedicada a periódicos yrevistas se podía observar que, los que

Descuento de Descuento de Descuento Mejor Precio inicial 100 pesetas un 20 % de 1/3 precio final

PatatasSopaSpaghetti

Tabla 3

¿Hay un tipo de descuento que es más favorable para elcliente en todos los casos? ¿Eso ocurre con cualquier pro-ducto y cualquier cantidad? ¿Por qué?

2

Había otros tipos de descuento, como los de aquellos pro-ductos cuyos precios estaban «congelados por un año». Porejemplo, un paquete de bolígrafos BIC costaba 195 pesetasdurante un año. ¿Cómo se podía medir el descuento de eseproducto? ¿Quizás considerando la subida del IPC anual?

3

Otras veces el descuento no era tal, sino que al comprar elproducto entregaban, además, otro artículo diferente. Porejemplo, al comprar el vídeo Toy Story regalaban un pati-nete. ¿Cómo se podía considerar ese tipo de descuento?

4

Una lavadora Balay costaba 77.900 pesetas pero en eseprecio ya se incluía un descuento del 10 %. ¿Cuál era suprecio inicial, antes de haber hecho ese descuento?

5

En un mismo estante había dos ofertas de cereales: cadacaja de Corn Flakes de 750 g costaba 398 pesetas pero, alcomprar 2 cajas, por la segunda sólo se pagaba la mitad.Las cajas de Corn Flakes de 500 g también estaban de ofer-ta y costaban 315 pesetas cada una.

Si se comprase un solo paquete, ¿cuánto costaban 100 gen cada caso?

Teniendo en cuenta la primera oferta, ¿cuánto costaban 100g de Corn Flakes si se compraran los 2 paquetes de 750 g?

Si se tuviese pensado comprar 1 kg, ¿qué se compraríapara pagar lo menos posible?

Si la ración diaria que una persona suele tomar fuese de50 g, ¿cuántos días le duraría la compra?

Supón que esa persona tuviese que realizar un viaje den-tro de 11 días. ¿Qué cantidad sobraría si todo se desarro-llara con normalidad? ¿Qué haría con ello si no pudiera lle-várselo?

6

Una pizza de 8-10 raciones costaba 359 pesetas, pero teníaun 20 % de descuento. ¿Cuántas personas comerían gratis?Por otro lado, con una pizza se pueden tratar los concep-tos de diámetro, radio, circunferencia, círculo, secante,cuerda, arco… Y, conocido el diámetro de la circunferen-cia, se pueden calcular longitudes de arco, áreas, etc.

Curiosidades y ofertas que no son tales

1

Los recambios de fregona estaban de oferta si se compra-ban en paquetes de 2. De esa forma se podía adquirir unpaquete por 495 pesetas cuando antes costaban 575. Era

una buena rebaja a no ser que uno sediese cuenta de que esos mismosrecambios se podían comprar de formaindividual a 230 pesetas cada uno.

2

La comida para gatos de Kitekat estabaen oferta: se anunciaba que comprandodos latas de 400 g te regalaban unabolsa de 100 g del mismo producto,todo ello al precio de 225 pesetas. Sinembargo 400 y 100 g costaban, com-prándolos sueltos, 95 y 55 pesetas res-pectivamente. Comprueba que, efectiva-mente, salía más barato comprar todojunto que hacerlo de forma individual,pero que no era cierto que si se com-praban dos latas de 400 gramos la bolsade 100 fuese de regalo. Si únicamente sequisiesen las latas, ¿comprarías la ofertao las individuales? ¿Por qué?

3

Las toallitas húmedas tenían precios muydiversos dependiendo del número quecontenían en cada envase. Referida auna misma marca, los paquetes de 24 yde 80 unidades costaban 175 y 299 pese-tas respectivamente, una caja de 80 salíaa 389 pesetas y un bote de 200 costaba259 pesetas. ¿Qué llama la atención detoda esa información? Aparentemente noparece haber ninguna circunstancia queaclare ese extraño desajuste. ¿Se te ocu-rre alguna causa?

Medida-Volumen

1

Las patatas estaban muy bien colocadas.Había cajas grandes que contenían 3 pisosde cajas más pequeñas. Cada uno de esospisos contenía 6 de esas cajitas. Cada caji-ta pesaba 750 g y costaba 60 pesetas.

Con los datos que hay, ¿qué unidad demedida se podría utilizar para calcularel volumen de la caja grande?

¿Cuánto pesaba el contenido de patatasde esa caja grande? ¿Cuál sería ahora launidad de medida?

¿Cuánto costaba esa caja grande? Yahora, ¿cuál sería la unidad de medida?

…con una pizzase pueden tratar

los conceptosde diámetro,

radio,circunferencia,

círculo,secante,cuerda,arco…

Y, conocidoel diámetro de

la circunferencia,se puedencalcular

longitudes de arco,áreas, etc.

88

2

Los cartones de leche nos hicieron pen-sar en la superficie exterior del tetrabrik.¿Qué cantidad de cartón se necesitaríapara envasar 300 litros de leche en car-tones de 1 l? ¿Y en cartones de 2 l? ¿Haymucha variación entre uno y otro? ¿Enqué sentido? ¿Por qué?

3

A muchos niños les gustan los chicles.Había dos cajas de igual tamaño y, enambas, se podía ver que contenían 2filas, cada fila con 5 paquetes de chicles.Pero observamos que en una de lascajas cada paquete tenía 5 chicles, mien-tras que en la otra cada uno tenía 7.Observando con mayor detalle descu-brimos que la caja que contenía lospaquetes de 5 chicles tenía 3 pisos,mientras que la otra tenía 2.

Si te dejasen elegir una de las dos cajas,¿cuál elegirías? ¿Por qué? ¿Cuál tenía máschicles?

Conversiones

1

En casi todos los artículos estaban mar-cados los precios de dos formas dife-rentes: en pesetas y en euros. Veamosun ejemplo. Los discos que se introdu-cen en las barras para hacer pesas yejercitar los músculos estaban coloca-dos, unos encima de otros, en columnasverticales según su tamaño y su peso.

Es decir, a partir de la equivalencia marcada en un pro-ducto, sería interesante calcular la equivalencia entre pese-ta y euro. Después se puede comprobar en otros casos.

Si se quiere empezar a hacer pesas inicialmente con 2 kga cada lado de la barra, ¿qué discos interesa comprar? ¿Quépunto de vista has seguido? ¿Por qué?

2

Al fijarse en la equivalencia entre euros y pesetas alguiencomentó la diferencia de capital que se conseguiría entreingresar 1 peseta en un banco un millón de veces o hacer-lo con 1 millón de pesetas en una sola operación (se sabeque, en la actualidad, en el ingreso bancario no figura eldinero en pesetas sino su equivalente en euros). Recuerdaque en los bancos se hace la correspondencia directa eneuros, considerando únicamente dos cifras decimales.Comprueba que hay una diferencia superior a mediomillón de pesetas de un caso a otro. ¿Es cierto que se con-seguiría la misma anotación en la libreta si se ingresase 1peseta que si se ingresase 2?

El resultado anterior, ¿demuestra que los dirigentes econó-micos europeos cometieron un error en sus directrices gene-rales de cambio? ¿Es factible realizar 1 millón de operacionesbancarias? Estima cuánto tiempo se emplearía en ello.

166,386 pesetas = 1 euro.

Escalas

1

En la sección de quesos pudimos descubrir que los habíade distintos tipos y que cada uno tenía un precio. Si serefiere a la marca de un determinado producto, los precioseran los siguientes:

…a partir dela equivalencia

marcadaen un producto,sería interesante

calcularla equivalencia

entre pesetay euro.

89

N.° de columnas N.° de discos Precio de Precio de de ese en cada cada disco cada disco

Peso (en kg) tipo de discos columna (en pesetas) (en euros)

0,5 2 18 y 3 130 0,71 3 3, 6 y 11 280 1,682 1 6 530 3,13 3 13, 4 y 6 795 4,74 1 14 995 5,985 3 13, 13 y 3 1090 6,55

20 2 13 y 2 4635 27,8

Tabla 4

¿Es correcta la equivalencia a euros entodos los casos? ¿Cuánto vale un euro? Sino lo sabes, ¿cómo podrías saberlo conesos datos?

Tierno Semicurado Curado Extra

Pesetas por kg 1175 1395 1795 1995

Tabla 5

Organiza una escala para catalogar los quesos. Según tuescala, ¿qué lugar ocupaba el semicurado? ¿Y el tierno?

¿Sabrías escribir otra escala distinta con otro criterio?

El queso extra estaba de oferta pues costaba sólo 797pesetas los 500 g. Ese dato, ¿cambiaría el orden de lasdiversas escalas que has elegido?

2

Según estábamos tomando café, Bill se refirió al ruido quehabía en la cafetería. Dijo que lo puntuaría con un 3.¿Había mucho o poco ruido?

Nos preguntó si estábamos de acuerdo con dicha puntua-ción y cuál sería la nuestra. No supimos contestar. ¿Por qué?

¿Que ocurriría con la puntuación de Bill si utilizó una esca-la de 0 a 6? ¿Y si fuese de 1 a 10? ¿Y de 0 a 3?

3

Era curioso observar las distancias entre las estanterías delas distintas secciones. Por ejemplo, en la sección demoda la distancia era de 6 baldosas, en la de alimentación9, en la de bebidas 11, en la de aseo 6 y en los cajeros3,5. ¿Sabrías encontrar alguna explicación para estas can-tidades?

Estimación

1

¿Cuántos días duraría una caja de galletas de 200 g si cadadía comieses 4 galletas? Recuerda que los sábados ydomingos sueles comer 6.

2

La receta para hacer una tarta indica que se necesitaemplear 150 g de azúcar, pero no hay posibilidad de utili-zar una báscula. ¿Cómo se podría calcular cuántas cucha-radas de azúcar se deben poner?

3

El papel higiénico se vendía en paquetes de 12, 18, 24 y32 rollos. Lo que más nos llamó la atención es que, entodos los casos, tenían los paquetes envueltos en plásticosegún las siguientes ordenaciones respectivas: 2 pisos de2 x 3, 3 pisos de 2 x 3, 3 pisos de 2 x 4, 4 pisos de 2 x 4.¿Qué sugieren esos datos? Observa distintas formas deempaquetarlo e investiga cuál utiliza menos plástico comoenvoltorio.

Organización de la información

1

En la sección de moda estuvimos observando camisas. Lastallas eran S (pequeña), M (mediana), L (grande) y XL(extra-grande). Todas estaban desordenadas, y al ordenar-las vimos que había 4 de la M, 5 de la L y 1 de la XL. Nohabía ninguna de la S. ¿Sabrías calcular la media, la media-na y la moda?

2

Siguiendo con la moda, en la sección infantil había carte-les para las tallas que indicaban que los niños de 4-5 añosmiden 110 cm de alto y 58 cm de ancho, mientras que losde 5-6 años miden 116 cm de alto y 60 cm de ancho. Sesupone que estas medidas se obtuvieron después de

hacer un promedio. ¿Podrías decir sison acertadas? Por ejemplo, observa alos niños de tu colegio y contesta si sonciertas.

3

Observando los datos del ejercicio 1del apartado de conversiones, el que serefiere a los discos para hacer pesas, ysin utilizar lápiz ni papel, ¿cómo sepodría calcular la media, la mediana yla moda de los discos en sus diferentesmodalidades? ¿Qué resultados seobtendrían?

Funciones

1

Los huevos estaban empaquetadossegún diferentes cantidades y según dis-tinto tamaño. Se vendían en paquetes de6, 12 o 18 huevos. Y, según su tamaño,en pequeños, medianos o grandes. Así,por ejemplo, un paquete de 6 huevosmedianos costaba 96 pesetas, uno de 12suponía 180 y uno de 18 era 252.¿Cuánto valdría una unidad en cada caso?

Escribe la información en forma detabla e intenta extrapolar el valor deuna caja de 15 huevos, en caso de queexistiera, así como el precio por unidaden esa situación. Representa gráfica-mente la situación. Escribe una funciónque la describa.

2

Las mesas-camilla tenían diferentes pre-cios dependiendo de la medida del diá-metro del círculo de su tablero superior.Así:

Era curiosoobservar

las distanciasentre

las estanteríasde las distintas

secciones.

90

Diámetro del tablero Precio (en cm) (en pesetas)

40 165050 169560 295070 325090 3995

Tabla 6

El precio de cada mesa-camilla, ¿eraproporcional a la medida del diámetro

de cada tablero superior? Para com-probarlo representa una función queasigne a cada mesa, según su diáme-tro, el precio que tenía marcado. ¿Esuna función lineal definida por unarecta? ¿Por qué?

3

Los precios de los rellenos nórdicosvariaban dependiendo de sus tamañossegún la siguiente tabla:

Observando la gráfica, ¿cuánto gastaría diariamente unafamilia de 4 miembros en pan? ¿Y al mes? ¿Y al año?

Teoría de colas

1

El supermercado tenía 22 cajas para cobrar. Fuimos unmartes normal y a las 11:00 sólo había 11 abiertas.¿Cuándo crees que habría abiertas más cajas? ¿Y menos?¿Por qué?

En la caja del supermercado

Al terminar, uno de los profesores tenía que pasar por cajapara abonar unas cuantas cosas que quería comprar. Losotros dos decidieron acompañarle. Mientras se dirigíanhacia allí comentó que se había dado cuenta cómo todosupermercado plantea multitud de posibilidades, aunquevaría de unos a otros.

Mientras esperaban en la cola, otro de los docentes dijoque siempre le gustaban las cajas de los supermercados,pues se imponía el reto de organizar y guardar los pro-ductos en bolsas de plástico de forma suficientementerápida para llevar el ritmo del bip del escáner cuando elgénero pasa por él. Éste es un láser que lee códigos debarras, un fenómeno común que ocurre en la mayoría delos supermercados de todo el mundo.

El profesor contó que el código de barras actual tiene suorigen en 1948. En esas fechas se dice que un estudiantelicenciado en el Instituto Tecnológico de Drexel (Fila-delfia), Plata de Bernardun, escuchó casualmente una con-versación al presidente de una cadena alimenticia local.Pedía a uno de sus trabajadores que investigara un siste-ma automático para obtener información en la caja regis-tradora de cada uno de los productos. Plata se lo dijo a suamigo Joseph Woodland Normando, que se puso a traba-jar en el problema.

El primer escáner fue el denominado Producto UniversalCodificado (UPC) y se instaló en los supermercadosPantano en Troy (Ohio) en 1974. El primer artículo entener un código de barras fue el chicle Wrigley. Hoy estecódigo es tan familiar que aparece en los productos queencontramos en los estantes de las tiendas de todas par-tes del mundo. Aquí hay una muestra de algunos de losnúmeros de los productos que compramos. Por ejemplo,las bolsas con 4 paquetes de chicles Orbit de menta sinazúcar tenían 4 009900 012683 (mientras que cadapaquete interior tenía código 5017 3204); Mini TostasBIMBO 8 000270 018004; desodorante en cremaLancaster 3 414200 068635; Laca fijación sana dePantene Pro-V 5 601059 481847; yogurt DanoneVitalínea 8410 5806.

El primerartículoen tener

un códigode barras

fue el chicleWrigley.

91

Medida del relleno nórdico Precio sin descuento Precio con descuento(en cm) (en pesetas) (en pesetas)

150 x 200 9995 7995200 x 220 13995 11195220 x 240 15995 12795

Tabla 7

¿Qué significan esas medidas dadas enforma de 150 x 200? ¿Son medidas linea-les o de superficie? El resultado de eseproducto, ¿en qué unidades se daría?

Representa una función que asigne acada relleno nórdico, dependiendo desus medidas, su precio sin descuento.Representa otra que asigne a cada relle-no nórdico, dependiendo de sus medi-das, su precio con descuento. Observaambas funciones. ¿Existe alguna rela-ción entre ellas? Si cada una de ellasdefiniese una recta y ambas fuesenparalelas, ¿qué significaría eso?

4

Había muchos tipos de pan y sus pre-cios eran distintos. Así una cantidad de250 g costaba, según el tipo de pan y enpesetas, 55 (rosco castellano), 65 (sinsal), 75 (fabiola), 85 (espiga), 91(pagés), 95 (libreta), 135 (cereales) y135 (centeno).

Si cada persona comiera dos rebana-das diarias de media, escribe una fun-ción que represente el gasto diario enpan de una familia según la clase depan que coma y el número de miem-bros de la familia. Represéntalo gráfi-camente.

Algo que enseguida observamos en estos códigos es queson diferentes unos de otros. El espesor de las líneas varía.Esto parece obvio porque pertenecen a distintos artículoscomo galletas y chicles. Los números también son dife-rentes. Algunos códigos empiezan con 8; otros con 5, 4, 3,etc. Parece claro que cada número se corresponde con unúnico producto.

Los ejemplos anteriores muestran diferentes códigos debarras de 8 y 13 dígitos. Son un ejemplo del Número delArtículo Europeo (EAN), una adaptación del UPC. Pro-porcionan información acerca del fabricante y el produc-to, así como un sistema que asegura que el escáner haleído correctamente el número del código.

Seleccionar un código cualquiera nos permite explorar laimportancia de los números y barras paralelas. ¡Esto debellevar más tiempo que el fragmento de segundo quededica el escáner! Por ejemplo, el código 8 410128000318 tiene 3 pares de barras paralelas delgadas en laparte izquierda, centro y derecha del código. Son ligera-mente más largas que el resto y actúan como barras con-trol. Los números son «de lectura humana» y no son exa-minados por el láser. Por cierto, los números de laizquierda y derecha de las barras del centro tienen dife-rente codificación.

El último dígito es importante porque se elige para com-probar que el láser del escáner ha leído el resto delnúmero correctamente. Para llevar esto a cabo la com-putadora hace el cálculo que se detalla a continuación deforma que, si la lectura es correcta, el resultado es divi-sible por 10.

Empezando por el lado derecho, pero sin contar el dígitode control, se suman los números alternativos y se multi-plican por 3:

(1 + 0 + 0 + 2 + 0 + 4) ¥ 3 = 21.

Se suman los números restantes excluyendo el dígito decontrol:

(3 + 0 + 8 + 1 + 1 + 8) = 21.

Se suman ambos totales:

21 + 21 = 42

Y finalmente se agrega el dígito de control a ese total,

42 + 8 = 50

que es un número divisible por 10.

Un examen más profundo de la organización de las líneasparalelas revelará su estructura básica. Cada dígito,excepto el primero, se representa con un par de líneasque varían en anchura y espaciado. El escáner del láserlee cada línea espaciando. Cada par de líneas para cadadígito ocupa un espacio que tiene siete unidades deancho. Este código se compone de negro (n) y luz (l)

Se puede decir mucho más sobre laestructura de los códigos de barras. Yno digamos sobre los tiques de com-pra que había en las papeleras de lascajeras. Y sobre otras muchas cosas.Pero era nuestro turno y estaba sonan-do el bip según se acercaban al escá-ner los productos que queríamos com-prar.

Conclusiones

Se observa que surgieron actividadesde muy diverso tipo. Entre ellas elija-mos algún ejemplo de cada unasiguiendo el esquema anterior, aunquemuchas podrían pertenecer a variasclases:

• Reconocimiento: 1 y 3 de Orga-nización de la información.

• Algoritmos: 2 y 7 de Operacionescon números.

• Traducción simple o compleja: 2 deMedida-Volumen.

• Procesos: 2 de Estimación.

• Situaciones reales: 4 de Operacionescon números y 5 de Ofertas.

• Investigación matemática: 3 deEstimación y 5 de Operaciones connúmeros.

• Puzzles: 1 y 3 de Curiosidades yofertas que no son tales.

• Historias matemáticas: En la cajadel supermercado.

Ahora falta lo más importante: llevarloal aula con estudiantes para ver sirealmente se consiguen los objetivosque se pretenden. ¿Cómo se podríahacer?

Seleccionarun códigocualquieranos permite

explorarla importanciade los números

y barrasparalelas.

92

dentro de estos siete espacios. Porejemplo, el dígito 4 es lnlllnn:

Una posibilidad podría ser realizando

rutas matemáticas. Diversos autores se

refieren a las ventajas de trabajar de esa

forma (Cross, 1997). Se trataría de orga-

nizar una serie de actividades matemáti-

cas en la calle o en un cierto entorno

concreto, normalmente fuera del aula,

que faciliten conseguir ciertos conoci-

mientos a los estudiantes. El objetivo es

convertir las Matemáticas en algo coti-

diano y familiar, algo que se puede

encontrar en cualquier lugar y con lo

que se convive diariamente. Las Mate-

máticas pasarían de ser algo extraño a

ser parte de la vida real, de la propia

vida (Rawson, 1990; Rawson y Cha-

moso, 1998).

Se pueden plantear distintas formas de

hacer una ruta:

• Pasear y discutir sobre cualquier

aspecto que se vea con relación a

las Matemáticas.

• Ir a sitios concretos, marcados pre-

viamente para ver cosas determi-

nadas.

• Hacerla basándose en un tema

concreto: por ejemplo, la propor-

cionalidad.

• Mirar los objetivos de la unidad

didáctica que se está trabajando y

usar la ruta para conseguirlos.

• Hacer la ruta, anotar todo lo que se

ocurra y posteriormente observar si

se cumplen los objetivos iniciales.

Se pueden hacer fuera del aula, o en

clase simplemente discutiendo sobre

fotografías o un vídeo hecho por el pro-

fesor o un alumno. Se pueden utilizar

para presentar una unidad o para afian-

zar conceptos. O de muchas otras for-

mas. Pero, si se decidiese trabajar de esa

manera, antes de organizar la ruta sería

fundamental tener en cuenta las carac-

terísticas y edades de los estudiantes a

los que se vaya a dirigir, la parte de las

Matemáticas sobre las que se quiere

hacer hincapié, el tiempo del que se dis-

pone y las personas que van a ayudar a

supervisar el trabajo de los alumnos.

Una vez analizado todo lo anterior, habrá que organizar

cómo se quiere desarrollar el trabajo. Se decide si los estu-

diantes lo van a hacer de forma individual o en grupo (en

este caso habría que considerar el número de miembros

de cada uno de ellos), cómo se va a enfocar la supervi-

sión, el material necesario, y cómo se completará el traba-

jo de la ruta en sesiones posteriores en el aula (Ashworth,

Cobden, y Johns, 1991, dan algunas sugerencias concretas

para ello).

Para terminar, sólo un apunte acerca de la denominada

«paradoja de la relevancia». ¿Qué significan esas quejas

acerca de la importancia de las funciones, las traslacio-

nes, las cónicas, las matrices, los polinomios…? Hay una

diferencia entre el profesor y el estudiante. El primero

conoce la importancia del conocimiento y uso, por ejem-

plo, de las matrices, mientras que el segundo no lo sabe.

Las Matemáticas que se enseñan en el aula tienen su sig-

nificado en situaciones de la vida cotidiana. Este artícu-

lo trata de explicar esa relevancia. Y el deber del docen-

te es buscar formas para poder demostrar que eso es así.

Aunque puede ser distinto en las Matemáticas superio-

res, cuyo significado y trascendencia es, en ocasiones,

desconocido por los investigadores, aunque esperen que

otras generaciones posteriores consigan profundizar y

aplicar su trabajo.


ASHWORTH, F., D. COBDEN y J. JOHNS (1991): «Maths Trailing

in Dorset», Mathematics in School, enero 1991, 2-7.

CHAMOSO, J.M.a, W.B. RAWSON y M. RODRÍGUEZ (1997): «Co-

nocimiento de Toro, investigando sus cifras en el aula de Ma-

temáticas», AULA, Universidad de Salamanca, 421-436.

CROSS, R. (1997): «Developing Maths Trails», Mathematics

Teaching, n.° 158, 38-39.

HERRERO PÉREZ, J.L. y J. LORENZO BLANCO (1998): «La invisi-

bilidad de las Matemáticas», Suma, n.° 28, 27-30.

MEC (1992): Primaria. Área de Matemáticas, Secretaría de Estado

de Educación, Madrid.

MEC (1992): Secundaria Obligatoria. Área de Matemáticas, Secre-

taría de Estado de Educación, Madrid.

N.C.T.M. (1991): Estándares curriculares y de la evaluación para

la Educación Matemática, Sociedad Andaluza de Educación

Matemática «Thales», Sevilla.

RAWSON, W.B. (1990): «Trails on Trial», Mathematics in School,

marzo 1990, 2-5.

RAWSON, W.B., y J.M.a CHAMOSO (1998): «Ruta matemática en

Toro», Actas V Seminario Regional Castellano-Leonés de Edu-

cación Matemática (Toro), 259-271.

El objetivoes convertir

las Matemáticasen algo cotidiano

y familiar,algo que se puede

encontraren cualquier lugar

y con lo quese convive

diariamente.

93

Mercedes RodríguezEU Magisterio. Zamora.

Sociedad Castellano-Leonesade Profesores de Matemáticas

José María ChamosoFacultad de Educación.

Universidad de Salamanca.Sociedad Castellano-Leonesade Profesores de Matemáticas

William B. RawsonLecturer in Mathematics

Education.School od Education.University de Exeter.

PUBLICACIONES DE LA FEDERACIÓN

OS GRABADOS e ideogramas de carácter inciso que seencuentran en las paredes de algunas cuevas de enterra-miento menorquinas son de muy diversos tipos. Entreellos destacan los de carácter geométrico, siendo algunosde ellos muy elaborados y complejos. La mayoría los des-cubrió el incansable e intrépido investigador MascaróPasarius en el año 1952, comenzando por el ideograma dela Cova de s´Encantament, situada en la finca de Biniguar-da Vell (Alayor). Sus resultados los publicó en periódicosy revistas locales, y en Mascaró (1953). Desde aquellaslejanas fechas nadie les ha prestado una atención quepudiéramos llamar matemática, y ello a pesar de que algu-nos de estos grabados están constituidos por rectas, cur-vas y círculos que se prestan fácilmente a dar una inter-pretación geométrica de los mismos.

Sobre todos ellos persiste el grave problema de su crono-logía, si bien para los realizados con esta técnica la finapátina calcárea que recubre la incisión parece corroborarsu antigüedad. Algo más tarde, el propio Mascaró (1983)contradice su primera opinión, que proponía para todosuna datación prehistórica, y matiza esta consideración,especialmente para los de aspecto cruciforme y, al igualque otros muchos investigadores coetáneos, sitúa estosdibujos incluso en época medieval.

El sorprendente grabado geométrico que vamos a comen-tar se encuentra en una cueva del predio de Calafí Vell.Este «lloc» está en la margen izquierda de la carretera quede Ferreries va a Cala Galdana. La cueva se debe deencontrar mas allá de la casa predial y debe de ser una delas muchas que bordean el límite de la finca con el barran-co de Trebalúger, ya que en dicho punto hay un pequeñoaltozano rocoso horadado de cuevas y rodeado de male-za. Mascaró se limita a indicar que dicho grabado está enesa finca de labor, sin concretar más su ubicación. A pesarde nuestros intentos, no lo hemos podido localizar y, por

Este breve artículo pretendeúnicamente que la

comunidad matemáticaconozca la existencia de unenigmático grabado rupestrede carácter inciso que existe

en una cueva deenterramiento menorquina,en el predio de Calafí Vell

(Alayor). La figura estáformada por rectas y arcosde círculo, y hasta la fecha,

nadie le ha pretendidobuscar una explicación que

se pueda llamar matemática.A nuestro modo de ver se

trata de un intento derectificar el círculo, lo quesupone que la persona quela trazó conocía el valor del

número p.

95

El grabado prehistóricode la cueva de Calafí Vell(Menorca) y la rectificacióndel círculo

Vicente Ibáñez Orts

MISCELÁNEA

L

39

febrero 2002, pp. 95-97

tanto, nos basamos únicamente en el dibujo que de él rea-lizo Mascaró y que se recoge en la publicación citada, enla que viene identificado con el número 3.

El grabado es realmente enigmático, como puede observarel lector en la figura 1. En él aparecen dos cuadrantes decírculo concéntricos, cuyo centro en el dibujo inferiorhemos marcado con la letra A. En el punto que hemosdenominado O puede observarse una cruz de lados desi-guales, cuyo ramal derecho se prolonga ingrávido en elvacío de una manera exagerada y misteriosa. Intrigante es,así mismo, el segmento inclinado que parte de A y queforma con la recta AB un ángulo de 21°. Dado que no lohemos podido visitar personalmente, todo lo que vamos aespecular sobre él está sujeto a este grave inconveniente yforzosamente nos hemos de fiar de la exactitud de la copiaque sacó Mascaró. Al menos en la Cova de s’Encantamentcuyo ideograma central sí que conocemos, y que repre-senta una estrella de cinco puntas frente a la que hay arro-dillado un hombre desnudo y esquemático con cabeza detriángulo, esta correspondencia entre la reproducción y larealidad es buena.

En el dibujo se aprecia que el radio del cuadrante del cír-culo interior es la mitad del mayor. Ambos deberán tra-zarse completamente para intentar comprender el proble-ma geométrico que ocultan. La circunferencia mayor concentro en A es tangente a la recta DE en el punto O. Seaprecia que esta recta DE es igual al diámetro de dicho cír-culo, pero está ligeramente desplazada hacia la parte infe-rior. Si el segmento AG se gira 90°, obtenemos la recta AH,

que corta a la recta DE en el punto I. Asu vez, con centro en este punto sepuede trazar una circunferencia cuyodiámetro es el segmento DE. Por tanto,ambos círculos son iguales. Faltaría, úni-camente, un último paso que consistiríaen trazar correctamente el enigmáticosegmento OF.

Para nosotros esta figura geométricarepresenta un intento de «rectificar elcírculo», esto es, tratar de extendersobre una línea recta la longitud de unacircunferencia. Obviamente esta opera-ción matemática de desenrollar un cír-culo es imposible, ya que por ser elnúmero p un número trascendente, noexiste solución al problema de encon-trar un segmento que mida exactamen-te esta longitud. Como es conocido, enel mundo helénico este problema seenunciaba como la cuadratura del círcu-lo, a saber, encontrar un cuadrado cuyasuperficie coincidiera exactamente conel área de una circunferencia dada. Sibien el problema no tiene solución, nosiempre se ha sabido que esto era así,por lo que numerosas inteligencias sehan desvelado en encontrar solucionesgeométricas aproximadas que resuelvaneste problema con razonable precisión,llegando incluso en muchos casos apensar que lo habían resuelto correcta-mente. Para nosotros, el segmento OFque se prolonga excesivamente hacia laderecha del punto O, casi en el espaciotenebroso, es justamente la longitud delcírculo cuyo centro es A, y presupone elconocimiento del mismísimo número p.De hecho, si Mascaró trazó a escala sudibujo, y sobre él se mide el segmentoBC, y esta longitud se multiplica por3,14, se obtiene el segmento OF. Es unahipótesis razonable, y de ser así, el enig-ma de quién y cuándo se trazó esta figu-ra es interesante y crucial. Además, hayque tener presente que el grabado estárealizado de manera tal que lo debeinterpretar el espectador. Es él quiendebe reflexionar para completar los cír-culos y conjeturar que el segmento de laparte derecha es la rectificación delmayor. Siendo esto así, ¿quién lo pudodibujar? Dado que Pitágoras fallecióalrededor del año 500 a. C. y que la des-

Para nosotrosesta figurageométricarepresenta

un intento de«rectificarel círculo»,

esto es,tratar de extender

sobreuna línea recta

la longitudde una

circunferencia.

96

H

O

I

E

G DB

A

C

F

2pr

Figura 1.Parte superior: grabado rupestre inciso de carácter

geométrico que se encuentra en la pared de una cuevade Calafí Vell, Mascaró (1953).

Parte inferior: reconstrucción hipotética de la figurageométrica del grabado anterior. Según este modelo

se trataría de un método para rectificar el círculo.El segmento OF correspondería a la longitud

de la circunferencia de centro A y diámetro BC.

trucción de su escuela y la diáspora desus seguidores se produjo hacia el año450 a. C., tras la matanza de Metaponto,al menos podemos arriesgarnos a tomaresta fecha como límite superior.

Frente a la hipótesis de que el ideogra-ma de la Cova de s’Encantament repre-senta una estrella de cinco puntas opentagrama, formada por las diagonalesde un pentágono regular, símbolo yemblema de la escuela pitagórica, ocualquier otra explicación estelar o ini-ciatica, y dado que también aparecenpentágonos estrellados en las jambasdel portal de entrada de la Cova deSanta Ana (Mahón) y en Alcaidús deDalt, lo que podría suponer algún tipode contacto entre miembros de la escue-la pitagórica y Menorca en los siglos IV

o III a. C., surge el grave inconvenientede que, tal como cita Mascaró (1983), enel muro exterior de piedra de la ermitade la Consolació (Santanyí, Mallorca)hay grabada una estrella similar.

En los libros de geometría analítica(véase González, 1992; o Rodríguez deAbajo, 1992), suelen aparecer numero-sos métodos aproximados para rectificarun círculo, ya que se trata de una ope-ración geométrica cotidiana que suelenutilizar los delineantes en su trabajo dia-rio, pero no hemos encontrado ninguno

que remita al método expuesto en la pared de Calafí Vell.Por otra parte, en los textos de historia de las matemáticasapenas si se le da importancia a esta cuestión, dada laimposibilidad de su solución. En Gardner (1986), recopila-ción de los divertidos artículos publicados por este notablematemático en la revista Scientific American se incluye eltitulado «El trascendente número p», que es una forma sen-cilla y deliciosa de introducirse en estas cuestiones.

La figura de Calafí Vell se puede interpretar como unintento de encontrar de forma geométrica la longitud deuna circunferencia, si bien el problema está planteadocomo un acertijo que hay que resolver y lleva aparejada lavisita de algún pitagórico a la isla. Claro que toda estabella hipótesis se basa en la fidelidad de la copia que rea-lizó Mascaró y en que no se trate de un grabado realizadocomo pasatiempo por algún matemático ocioso de épocamuy posterior.

BibliografíaGARDNER, M. (1986): Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza

Editorial, Madrid.

GONZÁLEZ, M. y J. PALENCIA (1992): «Trazado geométrico», edi-tado por los autores, Sevilla.

MASCARÓ PASARIUS, J. (1953): «Las cuevas prehistóricas y losgrabados rupestres de Menorca», Ampurias XV-XVI, Barcelona,345-349.

MASCARÓ PASARIUS, J. (1983): «Los grabados rupestres»,Geografía e Historia de Menorca, vol. IV, Menorca, 55-63.

RODRÍGUEZ DE ABAJO, F. J. y V. ÁLVAREZ BENGOA (1992):Curso de dibujo geométrico y de croquización, Editorial Do-nostiarra, San Sebastián.

Vicente IbáñezSocietat de d’Educació

Matemàticade la Comunitat Valenciana

«Al-Khwarizmi»

97

7.° EGB

7.° EGB

UÁL ES EL CAMINO más corto entre dos puntos del plano? ¿Y del espa-cio?

¿Y sobre una superficie cualquiera?

¿Qué forma tiene el tobogán más rápido?

¿Cuál es la curva plana que encierra mayor área entre todas las que tie-nen una misma longitud?

99

El problema isoperimétrico y elCálculo de Variaciones

Grupo Construir las Matemáticas*

TALLERDE

PROBLEMAS

¿C

39

febrero 2002, pp. 99-102

* Los componentes del Grupo Construir las Matemáticas son Rafael Pérez, IsabelBerenguer, Luis Berenguer, Belén Cobo, M.a Dolores Daza, Francisco Fernández,Miguel Pasadas y Ana M.a Payá.

Estos son algunos problemas de optimización que se consideran clásicosy supusieron, a finales del siglo XVII, la génesis de una nueva rama delas matemáticas: el Cálculo de Variaciones.

En esta ocasión haremos una breve revisión del problema de los isope-rímetros desde la perspectiva de esta nueva teoría y se determinarán sussoluciones que son, respectivamente, las líneas geodésicas, la cicloide y,naturalmente, la circunferencia.

Los problemas del Cálculo deVariaciones

El Cálculo de Variaciones tiene por objeto los problemasde extremos, es decir, máximos y mínimos, de naturalezamás complicada que los problemas de extremos ordinariosde los que se ocupa el cálculo diferencial. Estos últimos,como es sabido, permiten determinar valores de una ovarias variables (geométricamente, coordenadas de ciertospuntos) para los cuales una función dada de estas varia-bles alcanza el mayor o el menor valor.

Cuestiones geométricas como el camino más corto entredos puntos, el problema de la braquistócrona (curva dedescenso más rápido) o el problema isoperimétrico,resueltos en principio por Johan Bernouilli y LeonardEuler por métodos del cálculo diferencial ordinario, nopueden ser tratados de una manera rigurosa y completamás que por otras teorías más complejas.

El Cálculo de Variaciones consiste en la búsqueda de con-diciones bajo las cuales tienen lugar los extremos de unacantidad, que puede ser una integral definida (el caso másfrecuente), la solución de una ecuación diferencial, etc.,dependiente de funciones incógnita, que se deben deter-minar.

Se hace, por tanto, jugar a las funciones el papel atribui-do, en el cálculo diferencial, a las variables.

Otros problemas clásicos son: la superficie de revoluciónde área mínima, superficies minimales, sistemas de partí-culas en campos conservativos, osciladores armónicos,péndulos, trayectoria de propagación de la luz, cuerda ymembrana vibrantes, flexión de vigas y placas, etc.

Breve revisión histórica

La historia del Cálculo de Variaciones se divide de formanatural en tres períodos.

El primero debe ser considerado como preparatorio y sepuede fijar su origen en un intercambio epistolar entreJohan Bernouilli y G. W. Leibniz. El problema del sólidode revolución de menor resistencia, considerado por IsaacNewton en 1687, el problema de la braquistócrona, pro-puesto por Johan Bernouilli en 1696, y el problema isope-

rimétrico, propuesto por Jacob Bernouilli en 1697, fueronla base de las investigaciones que condujeron a la nuevateoría del Cálculo de Variaciones.

Los hermanos Jacob y Johan Bernouilli imaginaron, paraestos dos últimos problemas, métodos de resolución quese redujeron a reemplazar un arco infinitésimamentepequeño de la curva buscada por una línea poligonal y acalcular esta última con la ayuda del cálculo diferencial

ordinario. Leonard Euler generalizó el procedimientoempleado.

J. L. Lagrange inaugura el segundo período con la creacióndel «método de las variaciones». En principio, el objetivode este método fue resolver problemas isoperimétricoscon cosideraciones geométricas, pero pronto se extiende aimportantes cuestiones de mecánica. Asimismo, con el finde determinar condiciones suficientes para la determina-ción de soluciones, este método fue desarrollado por otrosgrandes matemáticos como A. M. Legendre, C. G. J. Jacobio A. Chebychev.

El tercer período comienza con los trabajos de W.Weierstrass, quien, en su curso sobre el Cálculo de Va-riaciones, desarrollado en la Universidad de Berlin entre1865 y 1890, no sólo mostró los errores existentes en lateoría desarrollada hasta entonces, sino que fijó las basesde la teoría actual. Una próximo entrega sobre el proble-ma isoperimétrico estará dedicada a las aportaciones deWeierstrass a la determinación de la existencia de soluciónpara el problema.

En un curso en la Universidad de París, en 1866, G. Dar-boux, utilizando el teorema de Gauss sobre las coordena-das curvilíneas, e independientemente de los estudiosdesarrollados por Weierstrass, desarrolló un nuevo méto-do en el que determinaba condiciones suficientes para losproblemas de extremos, referidos a las líneas geodésicas ya ciertas cuestiones de mecánica.

Por otra parte, antiguos alumnos de Weierstrass, como H.Hancock, E. Sérmelo, W. F. Osgood y, sobre todo, A.Knesser divulgan los descubrimientos de su maestro o, enotros casos, desarrollan sus indicaciones, preparando asílos progresos más importantes realizados al principio delsiglo XX. A Weierstrass se le debe, como se ha indicado,las primeras investigaciones sobre la existencia de solu-ciones para problemas del Cálculo de Variaciones, comoaplicación de ciertos teoremas de soluciones de ecuacio-nes diferenciales, a partir de los cuales David Hilbert, en1900, desarrolla una nueva perspectiva de esta teoría.

En nuestros días, parece haber nacido un cuarto períodogracias a la influencia de las ideas del Cálculo Funcional ya la generalización de la noción de variación. Convieneseñalar aquí el importante descubrimiento realizado porD. Hilbert, en 1904, sobre la relación existente entre el cál-culo diferencial, la teoría de ecuaciones integrales y la deecuaciones diferenciales, demostrando que las ecuacionesintegrales lineales pueden ser aplicadas a la resolución delproblemas del Cálculo de Variaciones. Por otra parte, D.Hilbert da un gran valor a la idea de considerar estos pro-blemas como cuestiones del cálculo diferencial en unainfinidad de variables, lo que, en efecto, generaliza losproblemas diferenciales. Todo esto contribuirá, sin duda, aacelerar el progreso del Cálculo de Variaciones.

100

101

Condiciones necesarias y suficientespara la existencia de extremos

El problema más usual del cálculo de variaciones es hallarlos extremos de una expresión integral dependiente deuna función:

Hallar una curva paramétrica (x(t), y(t)) t Œ [0, 1]cerrada –esdecir, tal que x(0) = x(1) e y(0) = y(1)– y simple tal que sea míni-mo el funcional de área de la región interior que determina:

F[ ] ( , , ')y F x y y dxx

x= Ú

0

1

F[ , ] ( , , , ', ')x y F t x y x y dtt

t= Ú

0

1

o bien de varias funciones. Por ejemplo, para dos funcio-nes sería del tipo:

A este tipo de expresiones que varían según una o variasfunciones y algunas de sus derivadas se les denomina fun-cionales.

Una condición necesaria para que un funcional del tipo(1) alcance un extremo (máximo o mínimo) en una ciertafunción y es que se verifique la siguiente ecuación dife-rencial:

(1)

(2)

F x y yd

dxF x y yy y( , , ' ) ( ( , , ' ))'=

A esta condición se le conoce como ecuación de Euler-Legendre. Asimismo, en el caso de funcionales del tipo (2),una condición necesaria para que el funcional F alcanceun extremo en el par de funciones (x, y) es que se verifi-que el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales deEuler-Lagrange:

F t x y x yd

dtF t x y x y

F t x y x yd

dtF t x y x y

x x

y y

( , , , ' , ' ) ( ( , , , ' , ' ))

( , , , ' , ' ) ( ( , , , ' , ' ))

'

'

=

=

A lo largo del desarrollo histórico del Cálculo deVariaciones se han determinado diferentes condicionessuficientes para que un funcional alcance un máximo o unmínimo en una solución de la ecuación o ecuaciones deEuler-Lagrange (llamadas extremales). Las más conocidasson la condición de Jacobi-Legendre o aquéllas que sededucen para funcionales de tipo convexo.

El problema isoperimétrico

Se trata de:

Hallar, de entre todas las curvas cerradas y simples de perímetroL, la que encierra una región de mayor área.

Desde el punto de vista del cálculo de variaciones se tratade un problema de extremos condicionados para el queLagrange desarrolló su conocido método de los multipli-cadores. En concreto, el problema se puede formular de lasiguiente forma:

A[x, y] = (x(t)y'(t)- y(t)x'(t))dt0

1

Ú

x'(t) y'(t) L2 2+Ú =dt0

1

entre todas aquellas cuya longitud es L , es decir,

En este caso, mediante el método de los multiplicadoresde Lagrange, se trata de hallar una curva paramétricacerrada y simple que verifica el sistema de ecuaciones:

yd

dt

x

x y

xd

dt

y

x y

x t y t dt L

''

' '

''

' '

' ( ) ' ( )

-+

=

- -+

=

+ =Ú

l

l

2 2

2 2

2 2

0

1

0

0

una de cuyas soluciones, para un cierto valor del multipli-cador l, es:

x tL

sen t

y tL

tt

( )

( ) cos[ , ]

=

=Œ2

2

22

0 1pp

pp

es decir, la circunferencia de radio L/2p.

El problema de la braquistócrona

Este problema, propuesto por Johan Bernouilli en 1696, hasido relevante en el desarrollo del cálculo de variacionesy puede ser considerado como el inicio de esta teoría.

Se trata del siguiente problema:

Dados dos puntos A y B del campo gravitatorio terrestre, el pri-mero a mayor altura que el segundo, se trata de encontrar lacurva que posea la propiedad de que un punto material se desli-ce de A a B en el menor tiempo posible, llamada braquistócrona.

En otros términos, podemos decir que se trata de encon-trar el tobogán más rápido.

En principio, observamos que la solución no es la recta yaque, aunque la recta determina la menor distancia entre

Braquistócrona

g

B

A

C

dos puntos, otras curvas de mayor pendiente en sus ini-cios producirán mayor velocidad y compensarán con elloel hecho de que el camino se alargue.

Analíticamente, fijamos el origen en A (0, 0), y suponemosque B(x1, y1) y que el sentido positivo en el eje de orde-nadas es hacia abajo. Representamos la curva como la grá-fica de la función y = y(x), con xŒ[0, 1], que cumple quey(0) = 0 e y(x1) = y1.

102

s y

mg

A

B(x1, y1)m(x, y)

Aplicando el principio de la conservación de la energía, yteniendo en cuenta que el vector velocidad es la derivadadel vector de posición en cada instante, se deduce que:

dx

dt

dy

dtgy x

ÊËÁ

ˆ¯̃

+ ÊËÁ

ˆ¯̃

=2 2

2 ( )

Por último, como x es función monótona de t, podemosexpresar t en función de x, t = t(x), de donde, fácilmente,se obtiene la siguiente expresión para el tiempo de desli-zamiento de una partícula para ir de A a B:

t yy x

gy xdx[ ]

' ( )

( )= +Ú 1

2

2

0

1

Se trata, por tanto, de un funcional de tipo (1) cuya ecua-ción de Euler-Lagrange asociada es la ecuación diferencial:

1

2 2 1

2

2

+ -+

=y

gyy

y

gy ycte

''

'

( ' ).

Considerando una solución en forma paramétrica adecua-da se obtiene que las extremales del funcional de tiemposon de la forma:

x tC

t sen t D

y tC

tC D

( ) ( )

( ) ( cos ), |

= - +

= -Œ2

2 2

21 2

R

Se trata de una familia de cicloides de la que las condi-ciones y(0) = 0, y(x1) = y1 determinarán la única solucióndel problema.

Luego,

¡un tobogán debe ser un arco de cicloide!

Cicloide

OMO EN EL CUENTO del lobo, tras recordatorios variados y anunciando

desgracias sin cuento, por fin el euro está entre nosotros. Casi se diría a

estas alturas que escribo (¡y mucho más cuando lo leas!) que aquí está

desde siempre, que la peseta es la prehistoria. Parece que había descon-

fianza sobre la numerización de la sociedad ante la resurrección de los

números decimales, por los redondeos o por otros conceptos que hasta

el presente estaban confinados en las clases de matemáticas y que de

golpe han aparecido en nuestra vida cotidiana. Lo cierto es que no ha

llegado la sangre al río (debe ser que no lo habíamos hecho tan mal los

profes de matemáticas), pero algún rasguño sí que ha habido. Y de algu-

nos de sus reflejos en los medios nos vamos a ocupar.

Reglas mnemotécnicas

La escuela proporciona un variado muestrario de reglas mnemotécnicas

para aprender los conceptos, nombres o duraciones de los aspectos más

variados (desde el número de días de cada mes, pasando por cuál es la

que sube de las estalactitas y las estalagmitas, a los reyes o las capitales

de los países). La mayoría de una utilidad dudosa cuando no francamente

nula.

Pero ahora ha aparecido una de uso cotidiano y de gran importancia para

hacerse una composición de lugar de los precios, ampliamente publici-

tada durante meses en los diferentes medios. Me refiero a la fórmula

mágica:

6 Euros ≈1000 pesetas

que hacía desaparecer la rebuscada equivalencia entre euros y pesetas.

En nuestro país hemos tenido una regla sencilla, pero en los otros once

que también han cambiado al euro, ¿cómo se lo han montado? ¿También

tenían alguna regla? Hasta donde yo he rebuscado en los medios de

nuestro país nadie se ha hecho eco de su (presumible) existencia. Como

no hay constancia de ella (y es un buen ejercicio de imaginación) os pro-

pongo que busquemos (o propongamos a nuestros alumnos) reglas de

103

Cambio de moneda

Fernando Corbalán

M A T E SY

M E D I O S

C

39

febrero 2002, pp. 103-105

conversión adecuadas para cada uno de los países. Por sino tenéis a mano las equivalencias de todas las monedaslas reproducimos a continuación.

Lo que sí ha conseguido el Euro es hacer cifras «redondas»

(o casi) en esa moneda que nunca se hubieran hecho en

pesetas. Así el anuncio de Ford (¿os imagináis «166.386 pts

por el morro»?) o fascículos a 2,95 euros (491 pts).

104

Peseta 166,386Marco alem. 1,995583Franco fr. 6,55957Libra irl. 0,787564Lira italiana 1936,27Franco blega 40,3399Franco lux. 40,3399Florín 2,20371Chelín aust. 13,7603Escudo 200,482Marco fin. 5,94573Dracma G. 340,75

Espero vuestras propuestas que contrastaremos con lasrealmente utilizadas, a las que no dudéis que les vamos aseguir la pista.

Redondeo

Es otro concepto técnico-matemático que parecía propiode la rijosidad de los matemáticos que no sólo ha salidoa la calle sino que hasta se han dado por parte de lasautoridades las normas para hacerlo. Eso sí, con una con-ciencia generalizada de que era un buen argumento parasubir los precios y, por consiguiente, que aumentara lainflación. ¿Qué ha pasado realmente? Apelando a losmedios nos quedamos sin saber qué responder, porqueen el mismo día, unos dicen que sí (y además destacado:El País, 12/1/02) y otros que no (y en pequeño: Heraldode Aragón, 12/1/02).

Y es que la introducción del euro nos ha planteado otroproblema del redondeo, en el que quizás no habíamos«caído», porque a pesar de que en la calle los precios seredondeaban a múltiplos de 5 pts (de duro) en claseseguíamos redondeando a unidades decimales de ordensuperior o inferior (así tomamos 2,9 por 2,87 o bien 4,12en vez de 4,123). Con la moneda común los redondeos enalgunos países (como Finlandia por ley, según recogieronlos medios) ya se han hecho también a los 5 céntimos deeuro, retirando de la circulación las monedas de 1 y 2 cén-timos. Y en nuestro país (La Vanguardia, 19/01/02, des-tacado en portada) la práctica lleva a algo parecido,haciendo incluso redondeos a la baja para evitar esasmonedillas.

La calculadora

También la introducción del euro aporta argumentos paraesa perpetua discusión sobre la pertinencia de la calcula-dora en las aulas de matemáticas, un tanto añeja pero que

no acaba de superarse (esos comentarios de «si usan la cal-culadora en vez del lápiz y el papel nunca sabrán calcu-lar»). Cuando ha habido que tratar un tema importantepara los poderes constituidos, como es lo tocante a la eco-nomía, y se ha querido eficacia no se ha admitido ningu-na discusión. Ni entre los que decidían ni entre los usua-rios: no sólo se ha recomendado el uso de la calculadora,sino que ha sido prácticamente obligatoria. Era el argu-mento de autoridad en todos los posibles diferendos yerrores. Que los había (y aún sigue habiendo) y frecuen-tes, porque durante un tiempo parecía que estuviéramosde turismo pagando con unas monedas que no conocía-mos, con una dificultad añadida: quien nos cobraba tam-bién era algo parecido a un turista (quizás con algunosdías más de estancia en el país). Lo cual de paso servíapara un ejercicio de confianza y desprendimiento que megustaría sobreviviera a estos meses: se entregaba al quetenía que cobrar todo el dinero que uno llevaba (sobretodo las monedas) y era él quien las cogía. O sea quedurante un tiempo no sólo no se agarraba con ambosmanos el dinero para que no nos lo quitaran sino que seentregaba con confianza.

Más errores

Lo que sí que ha traído el euro a los medios de comuni-cación es todavía más errores en las equivalencias de can-tidades de dinero. A los clásicos y habituales de los «billo-nes» sajones o franceses (mil millones) traducidos pornuestros billones (un millón de millones) se añaden ahoratransformaciones con equivalencias variables.

Un ejemplo de esos cambios es el de un pie de foto en ElPaís de 13/01/02 (en la reducción, la letra es excesivame-nete pequeña) que decía: «Silvio Berlusconi en un mitin enNápoles el pasado mes de mayo, donde prometió invertir20,3 trillones (más de 10.000 millones de euros) de liras enel sur de Italia si ganaba las elecciones». Parece como siesos problemas de rechazo que ha provocado el euro enItalia (dicen que en parte provocado por el enorme factor

de conversión con la lira) hubieran llegado hasta el redac-tor de esa conversión. Aprovechando la equivalencia queaparece más arriba podéis hacer algunos cálculos y veréisque hay un «ligero» error de magnitud de un 1 seguido dealgunos ceros.

En cuanto al segundo aspecto ese mismo 13/01/02 «Eldefensor del lector» de El País ya recoge lo siguiente:

Casero [un comunicante ‘tenaz cazador de gazapos’] ha encon-trado varios errores en la edición del pasado día 9 y ha adverti-do de ellos: «... que supone un desembolso de 45 millones deeuros (7.487 millones de pesetas)». «O lo que es lo mismo, uneuro vale 174.38 pesetas». «Fichado por 10.5 millones de euros(2.500 millones de pesetas)». «O sea, que un euro en esta pági-na vale 238.095 (difuntas) pesetas».

Como se ve cambios variados e inexactos. Que nos ten-drían que permitir durante algunos meses o semanas apro-vechar para hacer (no sólo en clase sino nosotros mismos)otra tarea de cálculo importante: la estimación de las can-tidades. Puesto que la equivalencia entre pesetas y euroses tan enrevesada (esa es otra protesta popular: «Bien quehayan hecho una equivalencia rara en pesetas: ¡pero miraque llegar hasta los decimales y tres nada menos!») no esfactible una equivalencia exacta, sobre todo en los preciosgrandes (pisos, coches...) y una vez más se ve que unahabilidad interesante, mucho más que la exactitud, es elorden de magnitud del resultado.

Vemos que los grandes problemas de la numerización hanpasado por unos días a ser de dominio común y no patri-monio de los profes de matemáticas: el redondeo (la apro-ximación), la estimación, cómo fiarse más de los cálculos(si por algoritmos de lápiz y papel o con calculadora)... Ybueno sería que siguieran ahí, fuera de las aulas (por lomenos en nuestros intereses como objetivo de la ense-ñanza).

105

XI JAEMCanarias

2, 3, 4 y 5 Julio 2003

Sociedad Canaria «Isaac Newton»de Profesores de Matemáticas

Día Escolar de las Matemáticas

ESDE QUE los griegos inventaron la Matemática como disciplina, la esen-cia de los números ha constituido un aspecto muy atractivo para los estu-diosos de todas las épocas. Desde su clasificación, búsqueda de núme-ros con características especiales (primos, capicúas, amigos, perfectos,etc.), hasta el estudio de sus propiedades, estos problemas han fascina-do a los matemáticos; incluso algunos han inscrito su nombre en la his-toria por su relación con ellos traspasando los límites del mundo mate-mático, como los casos evidentes de la escuela pitagórica, Pierre deFermat o Srinivasa Ramanujan.

Esta fascinación no sólo hace mella en los matemáticos sino que también enquienes son ajenos a ese mundo es observable cierta atracción hacia esosproblemas. Se ve claramente en la gran cantidad de pasatiempos numéricosque aparecen regularmente en la prensa. No es raro tampoco que al orga-nizar alguna actividad de matemática recreativa, sean gymkanas, concursosde ingenio, pruebas individuales o por equipos, etc. estén presentes los pro-blemas numéricos, pues son de los que más aceptación tienen.

Pensamos que el éxito de este tipo de problemas se debe a que sonentretenimientos que se basan en operaciones básicas conocidas portodo el mundo, que sin embargo no suelen ser evidentes; es más, algu-nos pueden entrañar bastante complejidad en su resolución.

Para nosotros como profesores, esos problemas numéricos tienen carac-terísticas didácticas atractivas, como las siguientes:

a) Son altamente motivadores (por lo explicado anteriormente).

b) Sirven para introducir cualquier tema del bloque numérico, tomándo-los directamente de la prensa o de libros de matemáticas recreativas,o adaptándolos a nuestra conveniencia (ver Muñoz y otros, 1998).

c) Complementan o refuerzan el bloque numérico de la EducaciónPrimaria o Secundaria.

d) Agilizan el cálculo mental.

107

Juegos numéricos

Grupo Alquerque*

J U E G O S

D

39

febrero 2002, pp. 107-109

* Los componentes del Grupo Alquerque de Sevilla son Juan Antonio HansMartín (C.C. Santa María de los Reyes), José Muñoz Santonja (IES Macarena),Antonio Fernández-Aliseda Redondo (IES Camas), José Blanco García (IESAlcalá del Río) y Josefa M.a Aldana Pérez (C.C. Inmaculado Corazón de María–Portaceli–).

Juegos numéricos

La cantidad de pasatiempos de este tipo que pueden usar-se en clase es muy amplia. Nosotros los clasificamos endos grandes bloques: por un lado los de ordenación, enlos que hay que colocar los números en determinadoslugares según unas exigencias previas, y por otro lado losde cálculo, en los que se puede ir desde los más simplescon sumas, hasta las operaciones más complicadas.

Hemos seleccionado ocho juegos con nivel adecuado paraser usados en Primaria, aunque, por supuesto, son activi-dades atractivas para cualquiera, como hemos comproba-do cuando las hemos sacado a la calle y presentado a per-sonas de todas las edades y formación.

Siete números en la Y griega

El cuadro de números

108

Coloca las cifras del 1 al 7 en el siguiente tablero, demanera que dos números consecutivos no estén juntos nivertical, ni horizontal, ni diagonalmente.

La rueda numérica

Sitúa los números del 1 al 9 en los cuadros del tablero, deforma que todas las líneas de tres números sumen 15.

El triángulo que suma igual

Con los números del 1 al 9 realiza la suma que aparece enel tablero, colocando los números pares en los cuadradosy los impares en los círculos.

La serpiente súmica

Distribuye las cifras del 1 al 6 en el tablero, de forma quela suma de cada lado del triángulo sea la misma.

Coloca los ocho primeros números en el tablero, de formaque cada número que esté en un cuadrado, sea la dife-rencia de los que están en los círculos a sus lados.

Ocho números en línea

Coloca las cifras del 1 al 8 en los cuadros de la siguientelínea, de forma que la diferencia, en un orden o en otro,entre dos números vecinos, no sea nunca menor que 4.

Pares e impares en una suma

+

= 13

= 13

=

13

=

13

Sitúa sobre los círculos de la serpiente los números del 1al 9, de manera que cada línea de tres números, sume 13.

El producto con nueve números

¥

Coloca las cifras del 1 al 9 sobre el tablero, de forma queel producto resultante sea correcto.

109

Aclaraciones

En la mayoría de los juegos hay varias soluciones. Si elnivel de conocimiento de los alumnos lo permite, se lespuede pedir que busquen todas las posibles.

En el enunciado del segundo juego, se pide que los diá-metros de la rueda sumen 15, si se hace el juego en cur-sos superiores, la condición conviene expresarla diciendoque deben sumar igual, sin decirles el valor.

En el tercer juego hay diversas soluciones (los tres núme-ros suman 9, 10, 11, 12). Si se considera conveniente paraalumnos pequeños, se les puede decir el valor de la sumapara que les sirva de pista. Este juego, con el mismo table-ro y fichas, puede complicarse modificando las exigencias;basta pedir que cuando se coloquen los seis números,cada lado del triángulo sume distinto, pero que en lassumas se obtengan tres números consecutivos.

El cuarto juego se ha presentado como diferencia para queno fuese casi todo sumas, pero se puede plantear tambiénel colocar los nueve números de manera que los que que-den en los cuadros negros, sean la suma de los que estánen los círculos vecinos.

Cómo presentar los juegos

Como se puede apreciar en los ejemplos anteriores, todosestos juegos se pueden hacer perfectamente con lápiz ypapel, pero tenemos comprobado que el aspecto manipu-lativo es muy importante en la enseñanza, especialmenteen Primaria, por lo que aconsejamos que se haga comojuego de tablero y fichas, presentando el dibujo del table-ro en cartón o sobre panel, y los números en cartulina osoporte de más consistencia (cartón pluma, panel, DM,etc.). Esto facilita la resolución pues los intentos nuevos nopasan por borrar lo hecho antes sino por cambiar las cifrasde lugares. De esta manera es como la presentamos noso-tros en los montajes que realizamos de «Matemáticas en laCalle». En este sentido, durante una magna exposición demateriales didácticos y recreativos, que se desarrolló duran-te el IX Congreso de Matemáticas THALES, celebrado elpasado Septiembre en San Fernando (Cádiz), compañerosde la SAEM THALES de Córdoba presentaron materiales enesta línea, utilizando como tableros alfombras del cuarto debaño pintadas, y como fichas los números de goma usadosnormalmente en Preescolar, que se pueden encontraractualmente en las tiendas de «Todo a Cien».

BibliografíaMUÑOZ, J., J. FERNÁNDEZ y V. CARMONA (1998): «Jugando con potencias y raíces», Números, 33, Tenerife, 27-38.

8.° EGB

PUBLICACIONES DE LAS SOCIEDADES

N LOS ARTÍCULOS de los números precedentes de esta sección de SUMAhemos podido comprobar una de las ventajas, quizás la más evidente, deInternet relacionada con las matemáticas: la posibilidad de acceder a unaingente cantidad de información relacionada con nuestra asignatura.

Quienes hayáis seguido esta sección disponéis ya de un amplio catálogode direcciones y sitios con mucho, y a veces bueno, material para utilizaren la clase. Muchas de estas direcciones han podido contribuir incluso aalgunos cambios metodológicos a la hora de enfocar nuestra asignatura,mostrándonos materiales novedosos o sencillamente otras formas de pre-sentar los contenidos curriculares de matemáticas en todos los niveles.

Es decir, hasta ahora, Internet ha aparecido como un instrumento incre-íble... en manos del profesor.

Pero, ¿qué pasa con los alumnos?

La penetración de la tecnología informática y multimedia en un cada díamás alto porcentaje de los hogares españoles; la explosión de las ofertasde tarifas planas y el abaratamiento del uso de Internet en casa y últi-mamente la aparición de nuevas tecnologías de comunicación a preciosasequibles, la RDSI o la ADSL nos han colocado en una doble situaciónimpensable hace un par de años.

Por un lado, cada vez es más alto el número de alumnos que puedentener acceso libre a la Red desde su propio domicilio.

Por otro, los centros empiezan a contar con aulas en red local con cone-xiones operativas a Internet, lo que permite la navegación en tiempo realy no simulada de todo un grupo de alumnos.

Y ahora, que parece que al menos tenemos vencidos los aspectos tec-nológicos y de comunicación, cómo integramos este nuevo recurso ennuestras clases de matemáticas. ¿Qué hacemos con los alumnos? O mejor,¿qué pueden hacer los alumnos con Internet?

Intentando responder a esta pregunta ha aparecido recientemente, den-tro de la colección «Materiales 12-16 para la Educación Secundaria», coe-

111

Matemáticas en la Red

Antonio Pérez Sanz

RECURSOSEN

INTERNET

E

39

febrero 2002, pp. 111-113

ditada por el MECD y Narcea Ediciones una carpeta titula-da Matemáticas en la Red, elaborada por tres profesorascon una amplia experiencia en formación del profesorado,las tres desarrollan su trabajo en departamentos deDidáctica de las Matemáticas: Inés Gómez Chacón, Lour-des Figueiras y Margarita Marín.

112

nuevas formas de interacción social, rompiendo la burbu-ja estanca del aula y el modelo de comunicación jerarqui-zada y unidireccional profesor-alumno.

II. El segundo cuaderno, junto a una breve historia de lared, nos proporciona un amplio listado de direccionesinteresantes de Internet, clasificadas en cuatro grandesbloques: webs con amplios recursos, apoyo al currículode secundaria, popularización de las matemáticas y socie-dades matemáticas. Pero también nos proporciona instru-mentos, en forma de cuestionarios para evaluar las actitu-des de los alumnos ante las matemáticas y ante el mediotecnológico. En el CD-ROM que contiene las actividadesse incorpora un mapa de humor del alumno ante el orde-nador, que permite conocer su estado de ánimo y su acti-tud a lo largo de cada actividad desarrollada.

Termina este cuaderno con herramientas de evaluacióndel proceso de aprendizaje y de páginas web. Estos ins-trumentos de evaluación constituyen un buen punto departida, sobre todo para aquellos profesores que conside-ran que la utilización de Internet es más bien una activi-dad transversal de imposible evaluación.

III y IV. Proyectos telemáticos. En estos cuadernos seplantean hasta 11 proyectos distintos que proporcionanun buen campo de ideas para experimentar e investigaren clase. Están clasificados en tres grandes apartados:

– Proyectos para trabajar contenidos matemáticos ocul-tos:

• Matemática discreta. Nuevos aprendizajes demodelos matemáticos.

• Grafos, colores y números cromáticos.

• Envío de mensajes...shhh...secretos.

• Música y matemáticas.

– Acciones características del uso de Internet en la acti-vidad matemática:

• Mira a tu alrededor y dime: ¿para qué sirve medir?

• Geometría dinámica en Internet.

• El gran juego: una lectura con diferentes lecturas.

• Edición escolar en Internet. Revista de Mate-máticas.

– Relación con otras disciplinas:

• Música y matemáticas.

• Prismáticos, binoculares y catalejos.

• Medir la Tierra desde la Luna.

• Encuentros telemáticos con la historia: los geóme-tras y los algebristas.

Algunos de estos proyectos se pueden desarrollar en clasesin necesidad de conectarse a Internet, de hecho la suge-

La carpeta consta de cuatro cuadernos en los que se desa-rrollan los siguientes temas:

I. Planteamiento didáctico del proyecto, que incluye unareflexión sobre la incidencia y repercusión de las tecno-logías informáticas y telemáticas tanto en los contenidoscurriculares como, sobre todo, en los aspectos metodoló-gicos y de integración de nuevos sistemas de representa-ción, de acceso y procesamiento de la información, queya están alterando la forma de aproximación de los alum-nos a las matemáticas escolares, primando el pensamien-to visual, abriendo las puertas del aula a una matemáticamás inductiva y más abierta y, sobre todo, posibilitando

rencia de direcciones se realiza más para completar las

actividades que como herramienta imprescindible para el

desarrollo del proyecto (proyectos 1, 2 y 5), a medida que

avanzamos la información y las herramientas informáticas

obtenidas en la red se convierten en el núcleo vertebrador

del auto-aprendizaje del alumno. De hecho, en los últimos

Encuentros telemáticos con la historia, la herramienta fun-

damental es el correo electrónico.

Completando el material impreso de la carpeta hay un CD-

ROM con el desarrollo íntegro de alguno de los proyectos.

En concreto, podemos desarrollar de forma autónoma, es

decir sin conectarnos obligatoriamente a la red los pro-

yectos:

• Mira a tu alrededor y dime... ¿para qué sirve medir?

• Los algebristas en formato PDF.

• Medir la Tierra desde la Luna.

Aunque lo ideal es aplicarlos con posibilidad de conectar-se a Internet para completar las actividades.

Se trata, sin duda, de una publicación pionera cuyo prin-cipal mérito es el de abrir un camino, un enorme caminoque pronto se convertirá en carretera y más tarde en unaautopista, el de la utilización de Internet dentro del aula ycon conexiones en tiempo real y en manos de los alum-nos. No pretende agotar las posibilidades de utilización dela Red sino, al contrario, sugerir y dar pistas sobre las acti-vidades que podemos abordar con los alumnos.

Damos la bienvenida a esta publicación con la esperanzade que en poco tiempo cunda el ejemplo entre el profe-sorado y podamos encontrar en librerías y en la Red unamplio catálogo de experiencias de aula de aplicacionesde Internet a la enseñanza de las Matemáticas.

113

ENVÍO DE COLABORACIONES

Revista SUMAICE Universidad de ZaragozaPedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA

8.° EGB

ESEÑÁBAMOS en «Unos siglos que cambiaron el mundo II» (Suma, n.°35) la importancia que la filosofía y la ciencia islámica habían tenido enla definición del racionalismo europeo y del importante papel que habíajugado el noreste peninsular en esa transformación. Y establecíamos enel capítulo anterior1 una sólida línea de continuidad aritmética desde al-Mu’taman, Ibn Sayyid o al-Jayyani a través de los al-Muawalat y del LiberMahameleth hasta el Libro de Arismética que es dicho Alguarismo y laSumma de l’art d’Aritmètica, en un proceso que conservaba perfectassimilitudes con lo que había sucedido en otros países europeos. Así pues,eliminado aquel tópico abismo que nos separaba tanto de Europa comode la ciencia árabe, nos hemos situado, casi sin darnos cuenta, a las puer-tas del siglo maldito.

El siglo XVI, un siglo para la polémica

La obsesión por la modernidad de Rey Pastor, sin duda el matemáticoespañol más relevante de principios del siglo XX, cerró de un aldabonazo2

la polémica acerca del valor de la producción matemática del siglo XVI.

Su sesgado análisis acaba por imponer un forzado optimismo en el futu-ro –injustificado pero políticamente correcto en ese momento– con elque termina su alocución3:

Seamos optimistas porque sin fe no se ganó ninguna batalla; seámoslo con exa-geración, confiando ciegamente en nuestras fuerzas, –porque ya pondrá la durarealidad un dique a nuestras ambiciosas aspiraciones– y contestemos a la preguntade Europa con decisión entusiasta: En España no ha habido matemáticos, es cier-to; pero los habrá en este siglo.

Más dura y contundente fue su conclusión acerca de lo acontecido en elsiglo XVI4. Con ella dilapidaba sin contemplaciones el trabajo de PedroCiruelo, Juan Martínez Guijarro (Silíceo), Gaspar Lax, Miguel Francés,Francisco Ortega y Álvaro Tomas5. Catedráticos unos, profesores otros,todos ellos brillaron con luz propia en la Sorbona en la primera mitaddel siglo XVI. Y es que, Rey Pastor comparte con su época esa concep-ción de la ciencia como un edificio en permanente construcción, erigido

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El Renacimiento (II)Matemáticas más alláde las Matemáticas

Ángel Ramírez MartínezCarlos Usón Villalba

DESDELA

HISTORIA

R

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febrero 2001, pp. 115-120

al servicio y mayor gloria del espíritu humano6, del quesólo importa la altura alcanzada en cada momento. Ese eli-tismo impuso a don Julio un criterio tan exclusivista quele impidió relativizar la importancia de la creación mate-mática al ámbito en el que se desarrolló hasta el punto dehacerle sentir vergüenza: «... el magisterio de los españo-les en la Universidad de París, es más bien motivo paraentristecerse, que para enorgullecernos» 7.

Con tan enérgico desaire se cerraba la polémica que inicia-ra en 1782 Masson de Morvilliers en su Enciclopedia Metó-dica de forma no menos solemne y airada: «¿Qué se debe aEspaña? Desde hace dos siglos, desde hace cuatro, desdehace seis, ¿qué ha hecho por Europa? […] En España noexisten ni matemáticos, ni físicos, ni astrónomos, ni natura-listas». Tan tendenciosa pregunta no pudo por menos quecaer como un jarro de vinagre sobre la herida abierta por elpesimismo en el acomplejado orgullo hispano, a pesar deprovenir de un profundo desconocedor de la realidad espa-ñola y de haber dejado constancia expresa de ello.

Ahondaron en la herida8, por una parte Manuel de laRevilla, José del Perojo, Gumersindo Azcárate y Echegarayque no encontraba en todo el siglo XVI, en este país«donde no hubo más que látigo, hierro, sangre, rezos, bra-seros y humo», sino «libros de cuentas y geometrías de sas-tres», y que concluía como Morvilliers que «la ciencia mate-mática nada nos debe: no es nuestra; no hay en ella nom-bre alguno que labios castellanos puedan pronunciar sinesfuerzo». Por otra Felipe Picatoste, centrando la desgraciade este país en sus hijos que «lejos de defenderle le acri-minan», además de Gumersindo Laverde, Alejandro Pidal yMon, Fernández Vallín y Menéndez Pelayo para quien«nuestra historia científica distaba mucho de ser un pára-mo estéril e inclemente».

Con semejante panorama cualquiera se atreve a entrar adiscutir desde estas líneas lo que unos hubieron y otrosdebieron. Sería un atrevimiento por nuestra parte tratar deterciar en semejante polémica, entre otras razones porqueno nos interesa. Es más, pretendemos situarnos en elextremo opuesto para hablar, precisamente, de las mate-máticas que no hicieron historia. De las que se desarrolla-ron al amparo de la necesidad, porque nacieron de ella,engendradas en algunos casos por la urgencia del momen-to. Y en este sentido, en lo que atañe a Aragón9 que es lazona que conocemos con mayor detalle, nos centraremostan sólo en la aritmética.

Con tantas restricciones autoimpuestas el conjunto de lasobras a las que hagamos referencia debería de ser casivacío y sin embargo el catálogo da de sí para diferenciarcuatro tipos de aritméticas10: especulativas, humanísticas,comerciales y contables.

De las primeras, que son las únicas que preocupan a lamuy loable historia de la albañilería científica, no diremos

ni palabra. Nos conformaremos con las cuatro líneas queles dedican los manuales al uso. Son, qué duda cabe, lasque escribieran los ilustres de París que tuvieron la malasuerte11 de adscribir empeño e inteligencia al decadenteescolasticismo francés: Ciruelo, Lax, etc. De hecho, el ape-lativo de especulativas alude intencionadamente al títulode una de las obras12 de Gaspar Lax de la que casi todoshablan y casi nadie sabe a ciencia cierta lo que contiene.

Aritméticas mercantiles

Incluimos bajo este epígrafe dos tipos de libros escritos enromance y caracterizados por una marcada ambicióndidáctica. Unos orientados a la enseñanza13 y los otrosdirigidos a las autoridades y demás gestores municipalescomo apoyo al desarrollo de sus funciones14.

De los primeros hay que decir que sus títulos son a vecesmás elocuentes que su contenido. Como sucede, porejemplo, con el Arte breve y muy provechoso de quenta

castellana y arithmetica de Juan de Yciar cuyo encabeza-miento poco tiene que ver con lo que a priori se pudierapensar que contiene. Otros, sin embargo, estarían máscerca de lo que habitualmente entendemos por una arit-mética mercantil italiana aunque su contenido resulte algomás empobrecido que el de aquellas.

Destinados los segundos a la lucha contra el fraude, care-cen de pretensiones doctas o investigadoras y adquierensu razón de ser en la utilidad que prestan a la ciudadaníaen general y al comercio en particular. Pero también a losreiterados intentos de unificación de los sistemas tradicio-nales de medida por parte de la realeza. Una pretensiónglobalizadora que chocó contra la tenaz resistencia delestamento nobiliario intentando mantener sus prebendas yel profundo arraigo de un modelo perfectamente adapta-do a las necesidades métricas de la población15. Matemá-ticamente hablando estos textos no son sino un catálogode resultados escritos en forma literal, pero jugaron elmismo papel de compilación y consulta que desempeña-ron en su época las tablas de logaritmos y que hoy corres-ponde ejercer a las calculadoras.

Aritméticas humanísticas

Dirigidas al estudio y la consulta, incluimos en este segun-do grupo una serie de obras escritas en latín y nacidas deuna doble necesidad. Por una parte la de establecer crite-rios científicos que permitieran fijar de forma rigurosa elcalendario eclesiástico y por otra adoptar un modelo sóli-do que posibilitase una correcta interpretación de laBiblia. Pero son además una respuesta de modernidad al

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movimiento humanista que recorre Europa. Una necesidadpara entender en su justa medida a los clásicos y poderobtener una valoración precisa del contenido de sus obras.

Sirva como ejemplo la obra de Guido Morel publicada en1536 bajo el título de Minervae Aragoniae, assis Budeanisupputatio compendiora ad monetam: ponderaque &mesura Hispaniae nostrae. Una adaptación al ámbito ara-gonés de los trabajos métricos de Guillaume Buddeo (oBudé). La sola referencia al erudito y filólogo francés, aquien Erasmo denominara el prodigio de Francia, es sufi-ciente para remarcar su adhesión a la corriente humanistaque representaba el Colegio de Francia frente a la fideli-dad incondicional a la tradición encarnada por la Sorbona.

Aritmética contable

Podemos incluso ser más pretenciosos y plantearnos quétipo de aritmética usaba la población, para matizar esa eté-rea certidumbre, más implícita que explícita, según la cualla numeración y los algoritmos indoarábigos habían deja-do de estar en uso entre la población cristiana muchoantes incluso de la expulsión de los moriscos. Es ciertoque si se revisan libros del siglo XV e incluso de la primeramitad del XVI eso parece una realidad. Se escribe connúmeros romanos o en forma literal. No hemos encontra-do constancia alguna en sentido contrario. Ahora bien, lapregunta que debemos plantearnos es ¿de qué libros esta-mos hablando? Es más, ¡estamos hablando de libros! y esoimplica por sí mismo una fuerte reduccionismo.

¿Qué había pasado con la tradiciónislámica?

Salgamos pues de las bibliotecas y echemos un vistazofuera. A los protocolos notariales y a los libros de cuen-tas16 de las instituciones laicas y religiosas. El panorama escompletamente distinto de lo esperado.

A finales del XV se usaban de forma casi exclusiva lascifras romanas, tanto para numerar los folios como en losasientos de contabilidad. Incluso para denotar el año, aun-que en este caso compartieran protagonismo con la nota-ción literal. De hecho, en ocasiones, el día aparece escri-to de este modo y el año con cifras romanas.

Pero esa exigencia de literalidad se adaptaba mal a la prác-tica numérica real y, a partir de 1519, el año aparecerá deforma generalizada en notación indoarábiga, iniciándoseun proceso tan imparable como irreversible que culmina-rá al final de la centuria consignando los asientos porduplicado: en notación indoarábiga y en números roma-nos. Una evolución que evidencia el hecho de que la

numeración actual se había impuesto y resultaba más cer-cana a la ciudadanía que la romana.

En cuanto al método de cálculo empleado para llevar lacontabilidad nada hacía presuponer a priori que fueraalgorista. Y, sin embargo, hemos encontrado pruebas deque ese era el método utilizado para realizar sumas y sus-tracciones. Nada nos hace suponer que las multiplicacio-nes y divisiones se hicieran de otro modo. Aunque, si bienes cierto que ambas son prácticamente innecesarias en elámbito que nos ocupa, también lo es el hecho de queparecen evitarlas en algunos casos en los que su uso aho-rraría esfuerzos.

Más sorprendente, si cabe, resulta la batalla que libra elcinco hasta 1590 por dotarse de una personalidad propiae inequívoca. Sin duda, un paso previo a esa definitivaunificación de la grafía que algunos autores fijan, en lazona mudéjar y morisca, a principios de la década de losochenta.

¿Qué cifras y algoritmos se usaron en«al-Andalus» tras la conquistacristiana?

Gracias a los estudios de A. Labarta y C. Barceló17 dispo-nemos de bibliografía sobre la utilización de cifras y algo-ritmos entre la población mudéjar y morisca. Tomandocomo referencia sus trabajos, centrados en el análisis deactas notariales y documentación privada redactada enárabe y aljamiado, podemos establecer similitudes y dife-rencias en lo que afecta al uso popular de la aritméticaentre las poblaciones morisca y cristiana.

Las autoras recogen cinco sistemas de numeración dife-rentes asociados, tanto a fechas, recuentos y cantidades,como a operaciones aritméticas a lo largo de la EdadMedia y el Renacimiento. Ni que decir tiene que ni moris-cos ni mudéjares hicieron uso de los números romanos enningún momento.

1. Notación literal: Es la forma más habitual de escribirlos números cuando se quiere garantizar su fiabilidad.Una costumbre que se mantiene hoy día para asegu-rar una certera interpretación y tratar de evitar falsifi-caciones. De hecho, se usaban siempre en las actasnotariales y en la documentación oficial del mundoárabe. El mismo precepto se respetó en los reinos cris-tianos de la península18, aunque aquí conviviendo conla numeración romana19.

2. Huruf al-yummal o Abyad: Asigna un valor a las letrasdel alfabeto árabe: las nueve primeras corresponden alas unidades, las siguientes a las decenas y así sucesi-vamente. Este tipo de numeración se usó con asidui-dad en los tratados astronómicos y astrológicos pero

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no en documentos notariales o privados. Las autorastan sólo citan un inventario en aljamiado con este tipode numeración en la zona aragonesa fechado alrede-dor de 1492.

4. De bases cinco y diez: Existen tan sólo tres ejemplos quehacen uso de este modelo. Los tres en la Corona deAragón. De carácter aditivo, tan sólo usaba signos para1, 5 y 10 (en ocasiones uno especial para el cuatro).

5. Valor posicional. Qalam al-gubar: Hay constancia do-cumental de que eran usados a mediados del s. XV enAragón y Valencia para anotar fechas y cantidadesmonetarias pero también para realizar cuentas. Lascifras gubaríes constituyen el sistema de numeraciónmás usual en el Aragón mudéjar donde, al parecer,nunca se usaron cifras rumíes21. El parecido de estetipo de grafía con la actual resulta evidente. Muchomás a partir de 1580, momento en el que al parecer seestablece de forma definitiva la del 4 y la del 5. Unparalelismo con lo que habíamos visto en el mundocristiano que a estas alturas del relato ya no resulta sor-prendente.

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3. Rasm al-zimam al-rumi: También llamadas cifras deFez, constan de cincuenta signos y se usaban enMarruecos a mediados del siglo XVI. Sin embargo, lasque aparecen en los documentos arábigos de al-Andalus presentan algunas diferencias con el sistemanorteafricano. Existen referencias documentalesdesde finales del XII y se seguían usando en Valen-cia20 y Granada en los siglos XV y XVI. Y sin embar-go todo hace suponer que no se utilizaron en la zonade Navarra y Aragón.

Unidades fraccionarias

¿Qué pasaba por entonces en Europa?

Pero si de medir el secular atraso español se trata, no vienemal echar un vistazo a lo que pasaba por esas mismasfechas en la «culta» Europa por boca de Ifrah y recordar lastres elocuentes anécdotas que relata en Las cifras22. Hablaprimero de un rico mercader a finales del siglo XV al que,tras preguntar cómo dar una buena formación comercial asu hijo, le contestan: «Si sólo quiere aprender a sumar y res-tar, cualquier universidad alemana o francesa le servirá. Siquiere que llegue a multiplicar y dividir (si es que es capaz)entonces deberá enviarle a Italia». Relata después cómo lasituación afectó en 1626 a un agregado de la Marina deGuerra Británica quien, incapaz de cuantificar las necesida-des en madera de la flota inglesa y tras una sucesión deconstantes madrugones, en los que involucró a su mujer,culminó su empeño de aprender las cuatro operacionesrecorriendo Europa en busca de formación aritmética.«Aunque a ella (su esposa) no la quisiera perturbar con lapráctica de la división». O el caso de Montaigne, uno de loshombres más eruditos de su tiempo, poseedor de unaamplia biblioteca e incansable viajero, quien en 1580 con-fesaba: «no sé contar ni con fichas, ni a pluma».

¿Realmente hubo que esperara Marco Aurel?

Parece ser que no sólo eran las mujeres y demás personas

que no sabían o no querían escribir las que utilizabanaquella adaptación del ábaco romano con fichas comoasegurara Rey Pastor en su discurso. Ni que hubiera queesperar a Marco Aurel. Más bien da la sensación de que,en lo que a aritmética se refiere, llegó a terreno abonado.Todos los autores y obras que hemos ido señalandocubren esa laguna aritmética que, según don Julio, siguióa los primeros veinte años del s. XVI.

Los tópicos se repiten una y otra vez, por algo son tópi-cos. El salvador, cómo no, había de ser extranjero. Pero esque además el propio Marco Aurel (1552) se encargó depublicitar su obra en base a esa misma concepción de lapobreza:

Assi que por ser cosa nueua la que trato, y jamas vista, ni decla-rada, y podrá ser, que ni aun entendida ni imprimida en Españame he atreuido a tratarla y escriuirla en lengua tan por enterorepugnante a la mia.

Al-Qalasadi (¿1412?, 1486)

Pero debemos ser justos: aunque el libro de Marco Aurelcomience con aritmética y dedique a ella los diez prime-ros capítulos, Rey Pastor se refería al álgebra23. Y aunquehemos afirmado al principio que no íbamos a entrar adebatir si, desde su particular punto de vista, tenía o norazón, sí que nos gustaría reverenciar aquí a esa figuracuya gloria reclamara don Julio24 y cuya hipotética ausen-cia alimentó la polémica. Ahora bien, esa anhelada figuracuyo reconocimiento hubiera zanjado de una vez portodas la deuda, debida y no pagada, que con tanta viru-lencia nos reclamara Masson de Morvilliers, surge, una vezmás, de la parte islámica de nuestro pensamiento.

Nacido en Baza en fecha imprecisa, al-Qalasadi es sinduda el algebrista hispano más señero del Renacimiento.Su obra Desvelando los secretos de la numeración posicio-

nal25 es la primera en la que aparece un simbolismo com-pleto que permite expresar todas las operaciones alge-braicas y aritméticas de su época. A él se debe, entreotros26, el haber introducido en la educación matemáticade al-Andalus y el Magreb el concepto de número realpositivo –diferenciado del entero y del racional– que ante-riormente desarrollara Abu Kamil en Oriente. Pero sobretodo, si por algo es relevante su trabajo y el de los mate-máticos de la zona es por el uso del simbolismo. Un sim-bolismo que A. Djebbar considera fruto de la creacióncolectiva y que caracteriza, y diferencia, el desarrollo delálgebra en esta zona frente a otras líneas de trabajo cen-

tradas en la resolución de ecuaciones. Un inapreciable ser-vicio al desarrollo de la matemática en general –de la puraen particular– como reconociera el propio Rey Pastor enel discurso de Oviedo por boca de Poincaré27, aunquehaciendo referencia a Marco Aurel (1552).

A modo de colofón

Debemos asumir el inmenso daño que el cristianismo his-pano hizo al desarrollo de la ciencia en estos lares por sudesprecio a la tradición judía y musulmana. La expulsiónde Abraham Zacuto28 y la inadvertida presencia de al-Qalasadi son dos excelentes ejemplos. Pero ello no quitapara saber situar el trabajo de la mayoría de los matemáti-cos españoles del XVI inmerso en el ámbito fijista, aisladode la línea renovadora que marcaría el quehacer intelec-tual de alemanes e italianos29. Es desde esa perspectiva,desde la que, a nuestro juicio, deberían ser juzgadas susaportaciones.

Pero, además, sería bueno ampliar el objeto de estudiopara aceptar la existencia en este siglo maldito de dostipos de matemáticas, unas abstractas que no supierontraspasar el umbral de los hitos, y otras, nacidas de lanecesidad y relacionadas de una u otra forma con elcomercio, la enseñanza y el humanismo, cuyo nivel departida contó con el acotado impulso de una burguesíacon una no menos limitada capacidad económica.

Notas1 «Mucho más que un matrimonio de conveniencia», Suma, n.° 38.

2 Oviedo, 1913. Discurso inaugural del curso académico 1913-1914.

3 En realidad lo cierra con una alusión al romancero: ...si no vencí reyesmoros, engendré quien los venciera.

4 «¿Corresponden sus obras al nuevo modo de ser de la matemática? Es decir¿son obras modernas? (...) bastaría con hojear aquellos libros, o simple-mente ver sus índices, para poder contestar sin vacilaciones. Pues bien, seño-res, esta contestación es desgraciadamente negativa».

5 A los astrónomos ni los nombra. Algunos de ellos como Francisco M.Zarzoso también publicaron su obra en París.

6 Parafraseando una vez más a Jacobi.

7 Seguramente fue su patriotismo el que le movió a una cierta indulgencia: «...¿es justo que condenemos en juicio sumarísimo a aquella pléyade de espa-ñoles que laboraron fuera de su patria, honrándola grandemente, paraluego traer a sus Universidades los frutos sazonados de su ciencia? No enverdad; ya que sus obras nacieron con un pecado original, el de no sermodernas».

8 Fue el botánico Antonio José de Cavanilles el primero en dar «cumplida res-puesta» a Morvilliers en 1784. Antes de finalizar el siglo se formarían ya dosbandos. Por un lado Juan Pablo Forner, Martín Fernández de Navarrete,Jovellanos y Campomanes, por el otro: Iriarte, García de la Huerta y VargasPonce.

9 Resulta imprescindible concretar, no tanto porque en el siglo que nos ocupaEspaña como tal no existía, sino porque al nivel al que se desarrolla el artícu-lo resulta difícil abarcar todo el territorio peninsular.

10 Para un estudio más detallado de algunas de estas obras véase la aporta-ción de E. Ausejo, M. Hormigón y C. Usón al Coloquio Internacional deBeaumont de Lomagne Commerce et Mathématiques: Las aritméticas mer-cantiles en la Zaragoza del s. XVI. 1999. C.I.H.S.O. Toulouse.

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11 Esa que decide a posteriori la historia oficial en función de la época que pro-mueve el análisis y del propio –e imprevisible– desarrollo interno de la cien-cia. Una postura difícil de mantener con criterios actuales, pues pocas vecesen la historia de este país ha habido más matemáticos españoles impartien-do docencia en una universidad extranjera.

12 Arithmetica speculativa magistri Gasparis Lax aragonensis de Sarinyena duo-decim libris demonstrata.

13 Resultan sobradamente elocuentes algunos títulos como: Libro subtilissimo porel qual se enseña a escreuir y contar pfectamente el qual lleua el mesmo hor-den que lleua vn maestro con su discípulo.

14 Dos de las obras a las que hacemos referencia están dirigidas a los juradosde la ciudad de Zaragoza y a los diputados del reino de Aragón, respecti-vamente, aun cuando su finalidad era servir de base a los almutazafes tantoen el control métrico como en la imposición de penas a los defraudadores.

15 Resulta sorprendente hasta qué punto la psicología individual (colectiva eneste caso), y el peso que impone la tradición en ella, está ausente de laHistoria de la Ciencia, a pesar del grado de determinismo que le aplica enmuchos casos.

16 Su carácter documental les exige criterios de corrección y de falta de ambi-güedad casi notarial.

17 Números y cifras en los documentos arábigohispánicos. Universidad deCórdoba, 1988.

18 Así lo ordenaba Alfonso X en las Partidas.

19 En los documentos de los siglos XI y XII consultados por las autoras en Huesca,Tudela o Toledo nunca se usó otra notación numérica que no fuera la literal.

20 Donde se usaban tres puntos para designar el cero.

21 Al contrario de lo que sucede en Granada donde no hay constancia del usode la notación gubarí. Valencia sería la zona de intersección de ambosmodelos, conviviendo pacíficamente desde finales del XV. Y de hecho nosólo convivieron sino que cohabitaron en algunas ocasiones en un mismonúmero.

22 G. Ifrah, 1998. Las cifras. Historia de una gran invención. Madrid, A.E.

23 «... el álgebra fue ignorada por los españoles hasta que el alemán MarcoAurel se la dió a conocer en 1552 con un libro vulgar y atrasado».

24 De hecho, aunque lo nombra en su discurso, resulta evidente que al-Qalasadino tiene cabida en su particular concepción de lo hispano.

25 Haremos referencia aquí a la traducción de Mohamed Souissi editada porla Maison Arabe du Livre. A ella remitimos para mayor información sobre suvida y obra.

26 Al-Qatrawani (s. XIV), Ibn Qunfudh (¿, 1406) o Ibn Ghazi (¿, 1513)

27 La cita, que a buen seguro suscita un acuerdo unánime, es tan habitual quese ha convertido en máxima: «Una buena notación tiene en las ciencias mate-máticas tanta importancia, como una buena clasificación en las naturales».

28 La expulsión de Abraham Zacuto le puso en contacto con Andrea Alpago,quien probablemente introdujo en Italia la idea de la circulación pulmonarde Ibn al-Nafis (luego difundida por M. Servet) y el lema de Nasir al-Din Tusique reaparece en De Revolutionibus de Copérnico. Un ejemplo sin más paravalorar el retroceso que supuso el triunfo de la cerrazón y el dogmatismo cris-tiano.

29 Al parecer, a pesar de matemáticos como Juan Escrivá, los hermanosTorrellas o Pérez de la Oliva que estudiaron en Italia.

* Las ilustraciones están tomadas del libro de Ana Labarta y Carmen Barceló(1988): Números y cifras en los documentos arábigohispanos, Universidadde Córdoba.

* De los múltiples errores que a buen seguro se cuelan en cada artículo, aveces detectamos alguno. En el anterior, por ejemplo, en el epígrafe «Unacontinuidad obligada» la inercia nos llevó a escribir judeo-cristiana dondedebiera poner judeo-musulmana.

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EL FRACASO DE LA MATEMÁTICA MODERNAMorris KlineEdición en castellano:Siglo XXI Editores S.A.Madrid 1976Primera edición, en inglés:Why Johnny Can´t Add: The Failure of the New MathSt. Martin´s PressNew York 1973

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RECENSIONES

¿Os acordáis de los conjuntos? 39

febrero 2002

Una historia personal

Cuando a finales de la década de los setenta del siglo pasado (¡ay!) comencé a dar clases de1.° de BUP en un instituto rural encontré que mis alumnos tenían un libro de texto de tapas naran-jas (muy difundido entonces). En su interior se les proponía tareas matemáticas tan «motivado-ras» para los adolescentes como ésta:

“... en el anillo ˙[x] de los polinomios con coeficientes reales,la ecuación f g = h donde f , h 0 ˙[x] , f ≠ 0 y g es un poli-nomio desconocido no posee en general solución ... El propósi-to de este tema es construir un cuerpo que contenga a ˙[x] y enel que esa ecuación tenga solución.

Tras doce páginas de laboriosa construcción, se llegaba a estatriunfante conclusión:

El cuerpo (˙(x) , + , · ) así construido contiene un subconjunto˙(x)1 isomorfo al anillo de polinomios ˙[x].

Para un recién licenciado en Matemáticas que aterrizaba en larealidad tras cinco años de vuelo por los espacios matemáticos(n dimensionales) era de lo más loable que se mostrasen deforma tan diáfana y democrática las estructuras matemáticas alos jóvenes estudiantes. Suponía que esto les iba a allanar deforma considerable su posterior camino en los estudios... de laLicenciatura de Matemáticas, claro. Pero pronto constaté quetanto énfasis (editorial y mío) por la estructura y el rigor chocabasimplemente con la vida que a los quince años llama ya «...como un aullido interminable» (J.A. Goytisolo). Que mis alum-nos, y no por ingratitud, no apreciaban la belleza del citadoisomorfismo; ni tampoco disfrutaban, un curso después al estu-diar los límites funcionales en 2.° de BUP, con la búsqueda y cap-tura de una expresión de e como función de un d conocido... Enlugar de ofrecerles sugerencias que les animasen a desarrollarsus intuiciones matemáticas, ideas que reconocieran como pro-pias y así pudieran hacerse un lugar en esa misteriosa y suge-rente vida, con mi enseñanza les estaba dando argumentos parahacer suya la archiconocida frase de Bertrand Russell: «Las mate-máticas pueden definirse como una materia en la que nuncasabemos de qué estamos hablando ni si estamos diciendo la ver-dad». Y lo que en boca de un lógico profesional constituía unaorgullosa declaración de independencia formal respecto de larealidad, en la formación intelectual de los futuros ciudadanos seconvertía en un drama que sellaba en muchos casos una ene-mistad de por vida con las Matemáticas.

Tal vez si alguien hubiese puesto en mis manos durante la carre-ra o en el proceso de habilitación para la enseñanza El fracasode la matemática moderna, tanto mis alumnos como yo noshabríamos evitado unas cuantas decepciones, aburrimiento ycomplejos de inutilidad (como estudiantes y como profesor).

Un libro en el momento oportuno

El libro comienza con una muy explícita cita de Goethe: «Yo pre-gunto si es natural, si es incluso prudente, que te hastíes tú mismoy aburras a los estudiantes». Y en el capítulo 1 (Una muestra dela Matemática Moderna) hace una esperpéntica, pero bastantereal en aquellos años, recreación de una serie de preguntas yrespuestas en el aula donde queda en evidencia la ridiculez desustituir en la escuela el sentido numérico por la precisión con-juntista. Recreación que por sí misma ya explica el título originalde la obra en inglés: Por qué Juanito no sabe sumar.

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En los años setenta se vivía la explosión dela llamada Matemática Moderna, que pre-tendía llevar desde la Universidad a lasenseñanzas básica y secundaria el métodoaxiomático, el lenguaje lógico–simbólico ylas estructuras algebraicas que habían ser-vido durante el siglo precedente para unifi-car las Matemáticas (creando también nue-vas incertidumbres de profundidad abisal,como mostró Kurt Gödel). En el paroxismode su propósito totalizador, se llegó a pro-poner la introducción en la EducaciónSecundaria del Lenguaje de Categorías(abstracciones de segundo orden queestructuran aspectos comunes a diversasestructuras), con un programa de 17 teore-mas y conceptos como los funtores «quetoda persona bien educada debe conocer»(Peter J. Hilton. Conferencia en el PrimerCongreso Internacional de ZWIN. 1972.Centro Belga de Pedagogía Matemática).Era un pequeño consuelo pensar que lascosas aún podían haber llegado más lejos.

Los impulsores de esa corriente eran losmatemáticos bourbakistas que al grito«¡Muerte al triángulo! ¡Abajo Euclides!», ypor una conjunción de razones que Klinedescribe en su libro, consiguieron imponersu criterio en el sistema norteamericano deeducación. En poco tiempo ocurrió lomismo en Europa. ...Y así se llegó tambiénen nuestro país a los libros de tapas naran-jas y otros.

La obra de Kline tuvo en su tiempo el valorde saber denunciar los errores del sistematradicional memorístico y a la vez alertarsobre los nuevos desastres que la arrolla-dora modernidad conjuntista traía a lasescuelas e institutos. Al hacerlo se enfrenta-ba a los defensores de ambos sistemas. Lohacía en el momento oportuno, previendola nueva situación. Y no caía en el tonoapocalíptico de quien sólo describe fraca-sos pasados y predice fracasos futuros,sino que argumentaba las razones paraunos y otros, a la vez que sentaba los prin-cipios fundamentales para la necesariareforma de la enseñanza de las matemáti-cas en dichos niveles.

Así, respecto al sentido de la presencia dela educación matemática en el currículodecía:

La obra de Klinetuvo en su tiempoel valor de saber

denunciarlos erroresdel sistematradicionalmemorísticoy a la vez

alertar sobrelos nuevosdesastres

que la arrolladoramodernidadconjuntista

traíaa las escuelase institutos.

No se debería intentar preparar profesio-nales de las matemáticas ni habría quepreocuparse por lo que el futuro estudio delas matemáticas pudiera requerir. [...] Elconocimiento es un todo y las matemáticasson una parte del todo. [...] De esta formamodelaríamos y enseñaríamos más allá delas propias matemáticas, las relaciones delas matemáticas con otros intereses huma-nos; en otras palabras, un plan de mate-máticas culturalmente amplio que buscaríasu íntima unión con las principales corrien-tes del pensamiento y de nuestra herenciacultural.

Y respecto a la metodología a seguir:

Las matemáticas no deberían desarrollarsedeductivamente sino constructivamente.[...] Enseñar a descubrir no es de ningúnmodo un trabajo sencillo. Exige que losestudiantes aprendan a usar la intuición, ahacer suposiciones, a tantear, a generali-zar resultados conocidos, a relacionar loque se busca con los resultados ya conoci-dos, a utilizar interpretaciones geométricasde las proposiciones algebraicas, a medir,y docenas de otros procedimientos. [...]Pero, casi siempre, el enseñar a descubrirexige la preparación de una serie de pre-guntas sencillas que gradualmente condu-cen a las conclusiones deseadas.

Descripcióndel contenido

La obra es de fácil lectura y se compone de11 capítulos (el primero ya comentado).

Capítulo 2: El plan tradicional

En este capítulo Kline describe las carenciasdel plan tradicional de Matemáticas enEE.UU. Se componía fundamentalmente de:Álgebra mecánica, colección de procedi-mientos inconexos para que los alumnos lle-gasen a realizar operaciones algebraicas yque abocaban a un aprendizaje memorísti-co; y Geometría euclídea deductiva, en laque la cadena lógica en su perfección linealno enseñaba a pensar pues no desvelabacuáles eran las dificultades abordadas nitampoco las ideas motrices que llevaron asuperarlas, conduciendo por otra vía tam-bién a la memorización. Ambas ramas eranpresentadas con frialdad y motivadas conrazones de tipo estético, propedéutico o deun futuro muy restringido, bien alejadas dela realidad práctica en estos niveles. El valor

intelectual de las Matemáticas sólo puede ser apreciado desdecierta madurez.

Capítulo 3: Origen del movimiento de la matemáticamoderna

El lanzamiento en 1957 del primer Sputnik por la URSS propicióen EE.UU. la alarma sobre la inferioridad nacional en los cam-pos científico y tecnológico. En esa coyuntura, al constatar elbajo nivel norteamericano en educación matemática, surgió laidea, secundada en los ámbitos políticos y económicos, de queera necesaria una reforma. Para ello, se supuso que era precisoabandonar la enseñanza del plan tradicional, unas Matemáticascon contenidos separados y anteriores a 1700, sustituyéndolaspor otras más «modernas». Dada la importancia de lasMatemáticas abstractas en el último siglo, con la unificación desus ramas mediante conceptos generales y estructuras, se propu-so reconstruir las Matemáticas de la enseñanza elemental desdeese punto de vista global. Y se vio la necesidad de reeducar alos profesores, comenzando por doquier los cursillos de Teoríade Conjuntos. Pero, como apunta Kline:

Un plan que pudiera ser ideal para la formación de futuros mate-máticos no puede ser el correcto para la formación básica detoda la población.

Capítulo 4: La interpretación deductivade las matemáticas

Se argumentaba que si se construían todas las matemáticas ele-mentales lógicamente, comenzando por axiomas y definiciones yavanzando con teoremas y propiedades, paso a paso, como laGeometría euclídea en el plan tradicional, se podrían comprendertodas las Matemáticas. Extendiendo este enfoque a la Aritmética,por ejemplo, los enteros se definen como clases de equivalencia.¿De verdad así comprende un niño lo que es un entero?

El error residía en ofrecer a los aprendices la versión última yperfeccionada de una ciencia que, sin embargo, fue creada conintuiciones, intentos, aproximaciones y también fracasos instruc-tivos. Se transmitía así una visión falsa del pensamiento mate-mático, distante y frío en su perfección. Kline, en apoyo de sutesis, acude a ejemplos en la historia de las Matemáticas: el ceroy los complejos fueron adoptados por simple pragmatismo; niNewton ni Leibnitz pudieron formular correctamente los concep-tos básicos del cálculo infinitesimal; los grandes matemáticos dels. XVIII y XIX realizaron enormes avances sin tener una definiciónprecisa de los conjuntos numéricos; y sólo a finales del XIX sesientan los fundamentos lógicos de las ramas más importantes.Concluye que «la intuición de los grandes hombres es más pode-rosa que su lógica».

En definitiva, para alcanzar un nivel de pensamiento hay quepasar por las experiencias previas que lo han propiciado. Comodijera Lebesgue, las Matemáticas no surgen de la lógica deduc-tiva sino del trabajo de la imaginación creadora, guiada poranalogías, intuiciones e incluso ideales estéticos; la lógica actúadespués, sólo como control. No se puede sustituir este proceso

Como dijeraLebesgue,

las Matemáticasno surgen

de la lógicadeductiva

sino del trabajode la imaginación

creadora,guiada

por analogías,intuicionese incluso

ideales estéticos;la lógica

actúa después,sólo como control.

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de conocimiento por la palabrería lógica, si no es destruyendola vida y el espíritu de las Matemáticas.

Muchos profesores salen de sus clases muy satisfechos consigomismos después de haber expuesto una serie de semejantes teo-remas y demostraciones. Pero los estudiantes no quedan satisfe-chos. No han comprendido de qué iba, y todo lo que puedenhacer es aprender de memoria lo que han oído. No conocían elpensamiento original y no han sacado nada en limpio de lasrepulidas demostraciones.

Capítulo 5: El rigor

Kline denuncia la obsesión por el rigor en la enseñanza secun-daria como mera artificialidad alejada de los significados. Losmodernistas tildaban de incompletas a las demostraciones deEuclides porque su desarrollo deductivo no era riguroso, al usarimplícitamente axiomas y teoremas no citados por evidentes.Pero, si durante dos mil años los mejores matemáticos no advir-tieron la falta de esos axiomas y teoremas, ¿cómo puede espe-rarse que los jóvenes vean su necesidad? Además, paradójica-mente, algunos teoremas son más evidentes que los axiomasrequeridos para poder demostrarlos.

Estas frases sentencian claramente su opinión:

El rigor puede salvar a las Matemáticas, pero seguramente per-derá a los alumnos.

Lo que es lógicamente prioritario no es pedagógicamente deseable.

Es más fácil hacer sofisticados los temas triviales que dar unaexposición clara e intuitiva de las ideas más difíciles.

Capítulo 6: El lenguaje de las matemáticas

Se explica cómo los modernistas criticaban la imprecisión de laMatemática tradicional y pasaron del necesario simbolismo a laprofusión de símbolos que a menudo aturde, tan sólo a cambiode un reducido ahorro de espacio; y también desembocaron enel exceso de terminología, al final de palabrería (por ejemplo, sehacía una severa distinción en la enseñanza básica ente númeroy numeral). Y se recuerda que:

Las ideas y los argumentos con los que trabaja el matemático tie-nen una realidad física, intuitiva y geométrica mucho antes deser expresados mediante símbolos.

Capítulo 7: La matemática por la matemática

En la Matemática Moderna se consideraba a las Matemáticasautosuficientes. En el aula los diversos conjuntos de números sejustificaban por la insuficiencia de los ya conocidos para resol-ver nuevos tipos de ecuaciones. Entonces parecía que el hechode que las estructuras así construidas se ajustaran a algunosfenómenos físicos y situaciones reales fuera casual.

El autor recuerda que las Matemáticas existen sobre todo paraayudar al hombre a comprender y dominar el mundo físico y, enalguna medida, los mundos económico y social. Están al serviciode determinados fines y propósitos que no se deben ocultar.Unas Matemáticas por y para sí mismas no pueden ser atractivaspara los jóvenes.

Además, ¿cómo se va a valorar la impor-tancia de las estructuras matemáticas si nose conocen abundantes ejemplos concretosdonde advertir su presencia o su singulari-dad por oposición con otros donde no seencuentran? ¿Qué valor tiene insistir en laconmutatividad en una edad en que sólo seconocen operaciones conmutativas?

Pero se razonaba de forma inversa:

Se pide a los estudiantes que aprendanconceptos abstractos con la esperanza deque si lo consiguen podrán entender auto-máticamente sus concreciones. […] Peroen sentido estricto es imposible enseñaruna abstracción.[...] Sólo se puede unificarlo que ya conocemos.

Ese error de enfoque epistemológico es denun-ciado a través de casi todos los capítulos.

Capítulo 8: El nuevo contenidode la nueva matemática

¿Qué conceptos se introdujeron así en los pla-nes de enseñanza? Fundamentalmente, laTeoría de Conjuntos. Kline la considera undespilfarro de tiempo pues opina que nopasa de ser un lenguaje que por sí mismo noofrece resultados que puedan seducir al estu-diante con sensibilidad matemática. Y comen-ta ácidamente que se le dio tanta importanciaporque era sin duda «uno de los pocos temasde Matemáticas Modernas que los creadoresde este plan podían comprender».

Además, la numeración en bases no deci-males, la Lógica Simbólica, el Álgebra deBoole, las congruencias y las estructurasalgebraicas. Un caso que repite por afectar-le especialmente es el de las funciones, queeran definidas como conjuntos de paresordenados, ocultando el hecho esencial dela variación dependiente.

El formalismo de este plan solamentepuede conducir a una disminución de lavitalidad de las matemáticas y a una ense-ñanza autoritaria, al aprendizaje mecáni-co de nuevas rutinas, mucho más inútilesque las rutinas tradicionales.

Termina el capítulo con ironía, al indicar quequizá la crítica más decisiva de los progra-mas de matemática moderna la hizo incons-cientemente un profesor que estaba satisfe-cho con ella:

Si vamos a suspenderles en matemáticas,por lo menos les suspenderemos en unasbuenas matemáticas.

Klinedenuncia

la obsesiónpor el rigor

en la enseñanzasecundariacomo mera

artificialidadalejada de

los significados.

Unas Matemáticaspor y parasí mismas

no pueden seratractivas

para los jóvenes.

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Capítulo 9: El testimoniode los exámenes

En este capítulo se señalaba la falta de cri-terios objetivos para valorar los planes tra-dicional y moderno. Por una parte, los exá-menes tradicionales miden ante todo lacapacidad de memorizar, que ayuda perono es precisamente lo esencial para pensarmatemáticamente. Por otra, las evaluacionesrealizadas en la fase inicial de un nuevoplan son sospechosas, por centrarse en losprofesores pioneros y más implicados en él(de esto también supimos algo por estospagos, años más tarde). Termina con unmanifiesto que firmaban 75 matemáticos deprestigio de EE.UU. y Canadá alertandosobre los peligros del nuevo plan.

Capítulo 10: La verdadera justificaciónde las nuevas matemáticas

¿Por qué se adoptaba una reforma de esetipo? Kline lo explica en la oportunidad con-cedida a los matemáticos profesionales (yacomentada en el Capítulo 3) para legislaren un terreno en el que los auténticos enten-didos, profesores de Primaria y Secundariay pedagogos no tuvieron voz ni la reclama-ron. Y éstos no lo hicieron por temor reve-rencial a los doctores universitarios, a su vezpoco o nada interesados por la psicologíadel aprendizaje ni la didáctica. Por ocuparcátedras en las principales universidades seles consideró expertos en áreas en las queeran totalmente ignorantes. Y aprovecharonla ocasión para imponer su estilo y sus cri-terios de valor.

Además se jugó propagandísticamente conlas connotaciones del término «moderna»como algo nuevo, vital e importante, frentea lo «tradicional» como antiguo; contraposi-ción nada justificada desde el momento quese trataba tan sólo de una nueva interpreta-ción. Pero que tampoco se llevaba de formacoherente a los libros de texto, refritos derutinas tradicionales y terminología moder-na. Estos libros, «tan sólo mejoran nuestracomprensión de una cosa: muestra que haymatemáticos competentes que son ineptospara la pedagogía».

Esos matemáticos profesionales, segúnKline, están tan absorbidos en progresar ensus investigaciones que apenas se ocupande la historia o el significado humano y cul-

tural de su disciplina, «forman una cofradía cerrada», ocupadostan sólo en jugar con sistemas generales abstractos de acuerdocon unas reglas. Por ello, citando a Courant dice: «No a unadivisión entre Matemáticas Puras y Matemáticas Aplicadas»; yconsidera que si esa división se consuma, estas últimas las desa-rrollarán físicos o ingenieros, sin que los matemáticos tengancontacto con los nuevos descubrimientos.

Pero, sobre todo, dice: «No en educación al abandono del idealdel método socrático a favor de los métodos del dogmatismocatequético» que considera inevitablemente unidos a la ense-ñanza ordenada y bien definida de unas abstracciones para lasque el alumno carece de la base concreta necesaria. Nada másalejado del «matematizar» como actividad humana creadora.

Capítulo 11: La dirección conveniente para una reforma

En este último capítulo se señala en qué dirección, según el autor,debería orientarse una reforma eficaz de la enseñanza en general:

Una formación más amplia que profunda, en la que los estu-diantes no sólo aprendieran cuál es el contenido de cada mate-ria, sino también qué papel juega en nuestra cultura y en nues-tra sociedad.

y de la enseñanza de las Matemáticas en particular, con pala-bras de alguien tan poco tachable de desconocedor de la granmatemática como Alfred North Whithead, quien decía ya en1912:

Las matemáticas elementales [...] deben ser depuradas de todoelemento que sólo pueda justificarse de cara a estudios poste-riores. No puede haber nada más destructivo para una verda-dera educación que el gastar largas horas en la adquisición deideas y métodos que no llevan a ningún sitio. [...] Los elementosde matemáticas deberían tratarse como el estudio de un conjun-to de ideas fundamentales, cuya importancia pueda apreciar elestudiante inmediatamente.

Convencido de que es más fácil interesar a los jóvenes por losproblemas reales que por las matemáticas abstractas, sugieresustituir la secuenciación matemática habitual por la presenta-ción de conceptos y técnicas que se van precisando para cadaobjetivo planteado. Se trataría de estructurar el currículo alrede-dor de la resolución de problemas, propuesta que hoy sigue sien-do «revolucionaria» en la mayoría de nuestras aulas.

Propone así un desarrollo constructivo, la recreación matemática,que cree posible en el marco del pensamiento intuitivo, no en eldeductivo. Considera más importante desarrollar intuiciones quedemostraciones; los argumentos heurísticos y los razonamientospor analogía deben preceder a las bases lógicas. Y se apoya enel llamado principio genético: el orden y el estilo (mediante apro-ximaciones, conjeturas, comprobaciones y revisión de errores) pre-sentes en el desarrollo histórico de las Matemáticas son los ade-cuados para los estudiantes. La demostración sería el paso final.

Es deplorable que demos la impresión de que los matemáticosrazonan directa e indefectiblemente hacia sus conclusiones.

Termina la obra declarando su convencimiento de que, muchomás importante que el plan de enseñanza es la formación de los

Se trataríade estructurar

el currículoalrededor dela resolución e problemas,

propuestaque hoy

sigue siendo«revolucionaria»en la mayoría

de nuestrasaulas.

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profesores en un sentido amplio. Y que éstos deberían ser losárbitros que en cada situación decidan qué se debe enseñar ycómo debe enseñarse.

Un mal profesor y un buen plan darán una mala enseñanza,mientras que un buen profesor superará las deficiencias de cual-quier plan.

Cualquier tiempo pasado...ya pasó

En los 25 años transcurridos desde la publicación en España deEl fracaso de la matemática moderna se anunciaron unas refor-mas y se produjeron otras; pero ante todo cambió la realidadsocial de la educación. Ahora que se pretende redimir al sistemade sus males actuales con reválidas y criterios empresariales decalidad; ahora que algunos nostálgicos volverán a confundirinteresadamente el nivel de la enseñanza con el nivel de los con-tenidos expuestos por el profesor, en lugar de fijarse en el nivelreal del aprendizaje conseguido por los alumnos; ahora vuelvea ser muy útil la lectura de este libro. Y recordar aquellos tiem-pos pasados, aquellos fracasos fuera del aula (cuando la aten-ción a la diversidad consistía en un 40% de alumnos de 15 añosfuera del sistema educativo) y dentro del aula (con un nivel muyalto sí... de suspensos entre alumnos ya previamente selecciona-dos). Es muy útil, por si tuviéramos la tentación de volver a tiem-pos pasados, que por otra parte es tarea imposible.

José María Sorando Muzás

20 AÑOS DE OLIMPIADAMATEMÁTICA EN ARAGÓNGuillermo Dorda AbaunzaEditado por el autorZaragoza, 2001157 páginas

De las múltiples olimpiadas, concursos, torneos,rallies, canguros, etc. de matemáticas que en laactualidad se desarrollan hay uno, con carac-terísticas especiales, que fue el pionero detodos ellos. Se trata de la Olimpiada Mate-mática para estudiantes de 17-18 años (inicial-mente de PREU, luego de COU, ahora deBcahillerato LOGSE) que se inició en 1964 con-vocado y organizado por la Real Sociedad MatemáticaEspañola. Ha constado de dos fases, una que se realizaba en losdistintos distritos universitarios y una fase nacional y en muchasocasiones los ganadores de ésta participaban en la correspon-diente Olimpiada Internacional.

Aunque, como es sabido, la Real SociedadMatemática Española ha tenido una etapa,digamos, de letargo invernal, la Olimpiadase ha ido celebrando año tras año, debidoal entusiasmo de una serie de profesores uni-versitarios y de bachillerato que creían en elproyecto. Uno de ellos es el inspectorGuillermo Dorda que, desde 1980, se hizocargo de esta actividad en el DistritoUniversitario de Zaragoza, en la que hanparticipado cerca de tres mil estudiantesdurante este periodo.

Junto a su tenacidad por sacar adelante laOlimpiada, Guillermo Dorda posee una cua-lidad como es la de guardar lo que él con-sidera interesante, que le ha llevado a dis-poner de un archivo con listas, problemaspropuestos, soluciones a los mismos, etc. ylo cual le ha permitido escribir el libro queestamos comentando.

Se trata de una recopilación de la resoluciónde todos los problemas propuestos en elDistrito Universitario de Zaragoza duranteestos últimos veinte años, en total cerca deun centenar y medio de problemas. En lamayoría de los casos, las soluciones son delos propios alumnos y alumnas participan-tes, con lo cual se presentan una gran varie-dad de enfoques y de estilos de «pensa-miento matemático». En algunos problemasse reproducen las soluciones de dos o másalumnos. Por supuesto, algún problema noera resuelto por ningún estudiante o la solu-ción no era excesivamente elegante; enestos casos los problemas son resueltos porel propio autor.

El libro se acompaña de un CD, realizadopor el profesor José Luis García Rodrigo,que incorpora apartados como el tituladoCabri, en el que se resuelven dinámicamen-te muchos de los problemas geométricosplanteados, utilizando el programa CabriGeométre II.

La aparición tanto del libro como del CDserá recibida de forma muy satisfactoria, nosólo por profesores y estudiantes que pien-sen en una preparación futura de esta olim-piada, sino por todos aquellos que gustanenfrentarse a problemas nada obvios con uncierto grado de dificultad.

Emilio Palacián

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LAS MATEMÁTICASDE LOS CUENTOSY LAS CANCIONESMaría Dolores Saá RojoEditorial EOSMadrid, 2002398 páginas

La autora, profesora de laFacultad de Educación de laUniversidad de Murcia, nos pre-senta un minucioso trabajo desti-nado a los profesores deEducación Infantil. El libro está dividido endos partes, la primera dedicada al «Interésmatemático de cuentos y canciones» y lasegunda a «Los cuentos y las canciones enel aula», completando con un anexo de lascanciones y poemas utilizados en estaparte.

La profesora Saá en su presentación indicala finalidad de la primera parte de su libroy dice «pretendemos concienciar al profesordel gran potencial matemático que tienenlos relatos, mostrándole múltiples situacionesde carácter matemático que subyacen enellos», mientras que en la segunda plantea«un esquema de trabajo de los relatos en elaula en general aplicándolo después a uncuento y una canción».

El primer capítulo lo dedica al «tiempo comosucesión de acontecimientos» deteniéndoseen su identificación, localización de suce-sos, sucesos ordenados de acontecimientos,descripción de posiciones temporalesmediante ordinales y los ciclos del tiempo.

En el segundo capítulo detalla la autora«propiedades y relaciones de objetos ycolecciones», comenzando su identifica-ción, pasando por decir lo que es unacolección, relacionando después objetos ycolecciones así como su transformación ysituaciones de intercambio. En la organiza-ción interna de una colección menciona lasrelaciones binarias, la ordenación, la parti-ción y las diversas formas de organizar unamisma colección. Cuando describe relacio-nes entre colecciones menciona las corres-pondencias especificando los conjuntos queintervienen, los tipos de correspondencias,composición de correspondencias entre

conjuntos ordenados; todo ello con ejemplos de citas de cuen-tos donde se dan tales correspondencias. También los concep-tos de subconjunto, la intersección de conjuntos y el conjuntocomplementario, completando este capítulo con las aplicacio-nes de los cuantificadores.

El tercer capítulo lo dedica a «cantidades discretas» comentandola autora cómo se trata en los relatos la evaluación, compara-ción, composición y descomposición de cantidades, aclarandocon ejemplos de cuentos una serie de consideraciones que pre-viamente ha establecido. Así, cuando trata distintas formas deevaluación acude a citas de Los bostezos de Pablo, El patito feo,Los siete cabritillos, etc., y desarrolla las formas de expresar lacantidad y otro tanto hace en la ordenación de cantidades apor-tando citas de cuentos tan conocidos como En alta mar, La galli-na Picoreta, La flauta de Bartolo, etc. y de canciones como Lagallina Turuleta. Completa este capítulo con los números ordina-les y la composición y descomposición de cantidades.

El cuarto capítulo está dedicado a «cantidades continuas» y secentra en las propiedades de los objetos y de los acontecimien-tos relacionados con las magnitudes medibles como longitud,tiempo, superficie, volumen o capacidad, diferenciando dos par-tes, una prenumérica y otra numérica. En la comparación de can-tidades cita relatos de comparación directa e indirecta de canti-dades y en la medida de cantidades continuas la profesora Saádice «la comparación de cantidades de magnitudes no determi-nadas numéricamente sirve para aclarar la propia noción demagnitud pero también es la base de la medida» y por ellocomienza con el proceso de medir utilizando unidades arbitra-rias (Hansel y Gretel, Alí Babá y los cuarenta ladrones...), paraa continuación pasar al uso de unidades convencionales(Pulgarcito, La ratita presumida...), etc.

En el quinto capítulo dedicado a «el espacio y las formas» men-ciona los términos relacionados con la exploración espacialrelativos a la verticalidad, frontalidad, lateralidad, a relacionesde separación, de inclusión y otras, relativos a la disposición enlínea y a desplazamientos. Las referencias en «La exploracióndel espacio» están tan documentadas que la autora mencionaen Rosalinda: «Rosalinda se levantó de la cama con el pieizquierdo» o en El conductor: «El conductor va marcha adelan-te, luego va marcha atrás, gira a la derecha y gira a la izquier-da» o en La boda del cerdito: «Un cerdito aplaude con las patasdelanteras». En «Los trayectos o recorridos» menciona a El flau-tista de Hamelín, a Los tres cerditos, a Cabellos de oro, aPatatita, a La casita de chocolate, etc., para aclarar distintostipos de trayectos tanto simples como compuestos o abiertos ycerrados, cíclicos o laberintos. En «Forma de los objetos» laautora menciona que los relatos ilustrados con viñetas «facilitanel proceso de identificación y denominación de algunas de lasformas manejadas en el texto» y especifica que la forma de losobjetos se puede trabajar desde los relatos si se escenifican yde esta experimentación con objetos concretos el niño va des-cubriendo aspectos de la forma, al tiempo que los relaciona,agrupa, clasifica, etc.

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La segunda parte la dedica Saá Rojo a «Los cuentos y las can-ciones en el aula» comenzando con el sexto capítulo: «Unaforma de trabajar los cuentos y las canciones» en el que aportalas tareas que se pueden realizar para trabajar en el aula lasmatemáticas de los relatos mencionando que el niño conoce unrelato cuando es capaz de nombrar sus personajes y elementosprincipales y establecer entre ellos las relaciones destacadas,manejarlos en el orden del relato, narrar escenas puntuales, loca-lizar escenas anteriores y posteriores, etc.

Dedica un amplio apartado a las secuencias gráficas del relatoaportando las de varios cuentos (Los tres cerditos, La ratita pre-sumida, Los músicos de Bremen, etc.) y otro a analizar la lógicadel relato e inventar nuevos relatos y destina 75 páginas a situa-ciones de interés matemático de cuentos y canciones.

En el capítulo séptimo titulado «Un cuento y una canción» comoejemplos desarrolla el cuento Majo el rinoceronte y la canciónpopular Yo tenía diez perritos. En ambos casos los describe,menciona los recursos necesarios, las motivaciones, la dramati-zación, la escenificación, las secuencias gráficas, el análisis dela lógica del relato y el invento de nuevas historias y por últimosituaciones de interés matemático.

Completa con un anexo por orden cronológico con 61 textos decanciones, retahílas y poemas manejados en la segunda partedel libro. Por último la autora aporta una bibliografía compues-ta por 428 referencias que van desde cuentos populares a tra-bajos de psicólogos, matemáticos y pedagogos.

En definitiva un libro muy detallado, actualizado y en dondeanaliza con profundidad los contenidos matemáticos de los cuen-tos y de las canciones. Este trabajo de investigación realizadopor la autora a lo largo de varios años complementa su activi-dad docente como profesora de Didáctica de la Matemática enla especialidad de Maestro de Educación Infantil.

Auguramos un éxito en esta incursión de la profesora Saá en elmundo editorial educativo de la Enseñanza Infantil y la anima-mos a seguir y a ampliar este trabajo para beneficio de las nue-vas generaciones de alumnos infantiles.

Andrés Nortes Checa

ANDANZAS Y AVENTURAS DE LAS ECUACIONES CÚBICA Y CUÁRTICA A SU PASO POR ESPAÑA.UN CAPÍTULO DE LA HISTORIADEL ÁLGEBRA ESPAÑOLA Ricardo Moreno CastilloEditorial ComplutenseColección Línea 300Madrid, 2001ISBN: 84-7491-632-1100 páginas

La editorial de la Universidad Complutenseha publicado un libro titulado Andanzas yaventuras de las ecuaciones cúbica y cuár-tica a su paso por España. Un capítulo dela Historia del álgebra española, asequiblepara alumnos de Educación Secundaria, loque no suele ser su costumbre, ya que lacolección Línea 300, trata de publicar tra-bajos de investigación, que por su especifi-cidad son difíciles de editar en las condi-ciones habituales del ámbito editorial, yque sin embargo así pueden ser dados aconocer tanto en España como internacio-nalmente, en el terreno científico y universi-tario. Se trata de una obra del profesorRicardo Moreno Castillo, que al mismotiempo que es profesor de la UniversidadComplutense, explica Matemáticas en unInstituto de Educación Secundaria. Es evi-dente que la colaboración entre los IES y laUniversidad siempre puede ofrecer investi-gaciones fructíferas que son bienvenidaspor ambos colectivos. En este caso y comoindica Miguel de Guzmán en el prólogo,los requisitos matemáticos necesarios parapoder degustar esta obra son mínimos,tanto que un estudiante de secundariapodría seguir el libro sin problemas técni-cos, pero también es cierto que tendría quetener «suficiente motivación», lo que duda-mos de la mayoría de ellos, en estos tiem-pos difíciles para la matemática, y tambiénpara la historia.

Está claro que el autor de este libro hadedicado mucho tiempo a indagar porbibliotecas y archivos de fondos diversospara poder hacer esta puesta en escenaque como dice en su prólogo Miguel deGuzmán: «el resultado es esta excursión,bien documentada aunque sin pretensiónde exhaustividad». El libro nos muestratodo un paseo por la literatura matemáticainvestigada por el autor, y partiendo delsiglo XV, aunque se hace referencia a épo-cas anteriores, y llega a nuestro recién ter-minado siglo XX, con mención especial amatemáticos españoles, que sin duda hancontribuido al desarrollo y mejora de losprocedimientos de resolución. Siempre hayque agradecer la afición por la historia delas matemáticas, y en esta ocasión hay quefelicitar al autor por realizar un trabajopesado y prolongado en el tiempo paraque al lector le sea fácil experimentar el

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placer de seguir históricamente un procesomatemático. Hay que lamentar que lamisma editorial Complutense facilite con ellibro una fe de erratas, donde se enumerantreinta y nueve detectadas. Creo que sedebería cuidar un poco más la correcciónde éstas en el texto, antes de imprimirlo, yaque en la actualidad contamos con softwa-re y equipos informáticos de impresión quefacilitan estas labores, al mismo tiempoque minimizan el tiempo de edición eimpresión.

El libro está dividido en diecisiete capítulos,junto con la introducción, el prólogo y labibliografía. El prólogo como ya hemoscomentado está realizado por nuestro inter-nacionalmente conocido Miguel deGuzmán, profesor catedrático de AnálisisMatemático de la Universidad Complutensede Madrid, que expone su opinión sobre lanecesidad de trabajos como éste, para favo-recer el progreso de la cultura matemáticaen España.

En la introducción, Ricardo Moreno explicasu concepción de un libro de historia de lamatemática como una narración, dejandoa un lado el ambiente intelectual y la polí-tica científica de cada época, y profundi-zando en el relato de los procedimientosde resolución, tanto los nuevos como losque cada autor propone como novedad,con sus casos particulares y las relacionescon la geometría del triángulo. Así mismoindica que los métodos aproximados o detanteo se dejan fuera del libro, por estarfuera del álgebra, aunque se citan en labibliografía. Por último, realiza una nómi-na de todas las personas a las que agra-dece sus sugerencias e indicaciones, asícomo de las instituciones donde ha consul-tado los fondos de sus bibliotecas, archivosy hemerotecas.

En cada uno de los diecisiete capítulos seexplica el procedimiento de resolución deun autor o de varios. En el primero titulado«De cómo empezó la cosa en Italia», secuenta cómo Luca Pacioli pensaba quenunca se podrían resolver las ecuacionesde tercer grado algebraicamente y cómoGerolamo Cardano las comienza a divul-gar en 1545 con su obra Ars magna…,donde cita a Tartaglia de quien las habríaaprendido. En el capítulo segundo «…Y

continuó en Francia», se refiere al procedimiento de Viète dife-rente al del Ars Manga, para llegar a la misma fórmula. En eltercero «El Álgebra de Pedro Núñez», se cita el primer libro(1567) editado en lengua castellana, aunque de autor lusitano,que habla de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. En elcuarto «La Arithmética especulativa de Andrés Puig», autorcatalán del segundo libro en español publicado en 1672, secuenta cómo éste aprendió un nuevo procedimiento de resolu-ción de ecuaciones cúbicas y cuárticas de su profesor JuanSerrano, en Valencia. En el capítulo V «Los tratados del sigloXVIII» nos cuenta el autor las aportaciones de Thomás Cerdá(jesuita tarraconense), Benito Bails (catalán y profesor de laReal Academia de San Fernando) y Pedro Giannini (italiano yprofesor del Colegio de Artillería de Segovia). En el capítulo VI«Los tratados del siglo XIX», se cita a José Mariano Vallejo (gra-nadino y catedrático de matemáticas del Real Seminario deNobles) con su estudio exhaustivo de las ecuaciones de gradotres y cuatro, y las que de grado superior se pueden reducir aellas, y Alberto Lista (sacerdote sevillano) que además de suresolución algebraica realiza una resolución gráfica medianteintersección de cónicas. El capítulo VII «Una mejora de losmétodos de tanteo de Bézout» se dedica a la aportación querealiza el coronel de Infantería Miguel de Alvear en el año1814. En el capítulo VIII «Un nuevo procedimiento para resol-ver la ecuación cúbica» se expone el nuevo procedimientopublicado por el teniente de Ingenieros Luis Sánchez en laRevista de los Progresos de las Ciencias Exactas Físicas yNaturales. El capítulo IX «Algunos casos sencillos de ecuacio-nes cúbicas y cuárticas» se dedica a la descripción de cuatrotrabajos publicados en el año 1903, en la Gaceta deMatemáticas Elementales por tres autores extranjeros (el italia-no Christoforo Alasia de Quesada, y los franceses ErnestoNapoleón Barisien y Ernesto Lebón), para la resolución ele-mental de casos particulares de ecuaciones de grado tres ycuatro. El capítulo X «Un nuevo procedimiento par resolver laecuación cuártica» se dedica al método publicado en laRevista Trimestral de Matemáticas por el profesor sevillano JoséRuiz Castizo Ariza en el año 1904. Este procedimiento es, enrealidad, una forma diferente de presentar el método de Bézoutpara las ecuaciones cuárticas, mediante determinantes y par-tiendo de las ecuaciones cúbicas. El capítulo XI «La ecuacióncúbica y la geometría del triángulo» se dedica a desarrollar larelación existente entre las ecuaciones cúbicas y algunos pun-tos notables del triángulo determinado por los afijos de las raí-ces, mediante un artículo del sevillano Augusto Krahe de 1905,en la revista Mathesis. En el capítulo XII «Una aportación deRey Pastor» se narra la solución, aportada por D. Julio ReyPastor, que en aquella época era aún principiante, a un pro-blema de ecuaciones cúbicas propuesto por la revista Analesde la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza en1908; así como la propuesta de D. Julio de un problema sobrela ecuación cúbica en la Revista Hispano-Americana, en el año1919, cuyas soluciones geométrica y algebraica fueron reali-zadas por Chosini, además de la solución aportada por D.

Enla introducción,Ricardo Moreno

explicasu concepción

de un librode historia

de la matemáticacomo

una narración,dejando

a un ladoel ambienteintelectual

y la políticacientífica

de cada época…

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José Mª Orts. En 1914 Augusto Krahe entra a formar parte dela Real Academia de Ciencias, y aprovecha su discurso deentrada para hablar sobre las ecuaciones algebraicas, dandonuevas aportaciones a su anterior artículo en la revistaMathesis, siendo éste el contenido del capítulo XIII titulado «Decómo se resuelve una ecuación cuártica convirtiéndola en recí-proca». El capítulo XIV «Un nuevo procedimiento, otro más,para resolver la ecuación cúbica» se dedica al trabajo de F.Candela aparecido en 1930 en la Revista Hispano-Americana.En el capítulo XV «Sobre lo que sucede cuando las solucionesestán en progresión aritmética o geométrica» se tratan los tra-bajos del catedrático del Instituto San Isidro de Madrid, D.Rogelio Masip Pueyo, publicados en la Revista MatemáticaElemental en 1947 y 1948. En los dos últimos capítulos, el XVI«La ecuación cúbica y las funciones hiperbólicas», y el XVII«Sobre la resolución de la ecuación cuártica mediante un pro-cedimiento geométrico», se estudian sendos trabajos apareci-dos en la Revista Gaceta Matemática, de la Real SociedadMatemática Española, de 1957 y 1958, del catedrático deInstituto Juan Torres Noguera.

La bibliografía se divide en dos grandes apartados, en el prime-ro se encuentran las treinta y una fuentes utilizadas para la inves-tigación, y en el segundo, se dan citan un total de treinta y cua-tro obras que explican y detallan las biografías de los autorescitados, además de algunos otros libros de referencia para posi-ble consulta.

Un libro interesante tanto para quienes se dediquen a la historiadel álgebra –para los cuales no sólo será interesante sino tambiénde obligada lectura y consulta–, como para los profanos que gus-ten del álgebra y las ecuaciones en particular, como también paratodos aquellos interesados en la historia de las matemáticas engeneral, y en particular de las aportaciones de los españoles.

Mª Carmen Escribano

MATEMÁTICAS DEL CUERPO HUMANOLuis CachafeiroProyecto Sur de Ediciones, S.AColección 2 puntosGranada, 1999ISBN: 84-8254-306-7140 páginas

En estos tiempos en los que parece que vuelve aser importante para la administración que laenseñanza de las matemáticas se centre en eldesarrollo de destrezas que por sí mismas no proporcionan nin-gún tipo de conocimiento, es conveniente recordar y traer a la

luz textos como el que aquí reseñamos queparten de una perspectiva totalmente opues-ta. Se trata de una colección de problemasde matemáticas planteados en el contextodel cuerpo humano, de forma que su reso-lución proporciona la oportunidad deemplear las matemáticas que se desea queconozcan los alumnos de secundaria ybachillerato.

Cada actividad del libro está precedida deuna explicación de los procesos biológicossobre los que se asienta. El propósito delautor es evitar que, profesores o alumnosque usen el material, deban buscar esainformación con un esfuerzo suplementario,pero también conseguir que los modelosmatemáticos que se empleen sean aproxi-maciones que se ajusten en lo posible a losprocesos biológicos implicados y a los cono-cimientos matemáticos de los alumnos a losque van dirigidos.

Luis Cachafeiro da una serie de buenasrazones para elegir el tema del cuerpohumano como contexto significativo:

• lo llamativo y sorprendente de las cues-tiones tratadas;

• el hecho de que proporciona buenosmodelos para las matemáticas del currí-culo de secundaria;

• que permite el desarrollo de un currículocompleto de educación secundariadesde el punto de vista de una matemá-tica realista;

• el hecho de que la base de nuestro razo-namiento se desarrolla a partir, enbuena parte, de nuestras propias per-cepciones;

• la importancia que han tenido los méto-dos cuantitativos en la mejora generalde la esperanza de vida.

Pero hay que recalcar, además, que laelección del contexto y el planteamientode las actividades no se ha hecho con elúnico propósito de introducir los concep-tos o procedimientos matemáticos que sedesea luego formalizar (abandonando elcontexto una vez dado este salto teórico,como suele ser usual). Ésta no es más queuna de las posibilidades que se le pue-den dar a esta colección de problemascontextualizados. También es posible

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escoger algunas de las situaciones paraexplorar con mayor detalle un tema mate-mático concreto. Por ejemplo, como sesugiere en el texto, con las actividadesrelacionadas con los genes y las enfer-medades hereditarias es posible el trata-miento de muchas de las nociones de laprobabilidad.

Más ambiciosa es la utilización del mate-rial como inicio de un verdadero proble-ma, que primero debe identificarse, orga-nizando la información relativa a él. Luegodeben emplearse matemáticas conocidas odesarrollarse nuevas matemáticas paraobtener una solución al problema. Por últi-mo, la solución debe interpretarse y con-trastarse con la realidad, introduciendo losajustes precisos para su mejora… En defi-nitiva, la realización de un proceso demodelización de una situación real, rela-cionada con nuestro cuerpo.

Otra posibilidad que permiten estos mate-riales consiste en la realización de proyectosinterdisciplinares relacionados con los temastransversales o con otras áreas del currículo:alimentación, drogas, percepción, sonido,herencia genética…

El libro consta de dos partes. En la primerase agrupan las distintas actividades, agru-padas en tres grandes bloques: el cuerpo,los sentidos y los órganos. Todas ellas apa-recen comentadas y resueltas en el últimoapartado de la segunda parte. Además,esta segunda parte del texto contiene unajustificación muy acertada del proyecto,con una descripción de las característicasde las actividades, de las opciones meto-dológicas o de las conexiones con otroscurrículos.

Todo lo expuesto hace que el libro sea unmaterial que puede resultar de gran utili-dad para los profesores ya que en élpodrán elegir, entre la gran cantidad deactividades propuestas, tanto situacionesque sirvan para ilustrar contenidos, conso-lidar destrezas o aplicar conocimientosadquiridos, y también problemas que posi-biliten la realización de trabajos de mode-lización matemática, o proyectos interdis-ciplinares.

Julio Sancho

INVESTIGACIÓN EN EL AULADE MATEMÁTICAS.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADJosé Mª Cardeñoso,

Antonio J. Moreno, Juana Mª Navasy Francisco Ruiz (Editores)

Facultad de Ciencias de la EducaciónGranada, 2001

ISBN: 84-699-6874-2229 páginas

En esta publicación se recogen las actas delas Jornadas de Investigación en el Aula, orga-

nizadas conjuntamente por el Departamento de Didáctica delas Matemáticas de la Universidad de Granada y el equipogranadino de la Sociedad Andaluza de EducaciónMatemática «Thales». En esta ocasión las Jornadas han abor-dado el tema de la atención a la diversidad en la enseñanzade las Matemáticas.

En la presentación, Salvador Guerrero, Presidente de laThales, formula de forma admirable, en un par de páginas, elproblema de la diversidad curricular en matemáticas que cons-tituye uno de los retos más importantes que actualmente tieneel profesorado de nuestra disciplina.

En las actas se recogen los textos de las conferencias, mesaredonda, talleres y comunicaciones presentados en lasJornadas. Las conferencias plenarias fueron.

• «Comprensividad, atención a la diversidad y convivencia»,por Pedro Iguaz de Miguel.

• «Atención a la diversidad y Proyecto de Centro», por An-tonio Mª López y Manuel Zafra.

• «El profesor de matemáticas en secundaria y el desafío dela diversidad», por Pedro Nieto Nieto.

• «Etnomatemáticas», por Mª Luisa Oliveras Contreras.

«Educación en la diversidad» es el título de la Mesa Redondacoordinada por Juana María Navas y en la que intervinieronJosé G. González, Jorge Jiménez, Antonio Miñán y Mª CarmenPrados.

Las actas se completan con cuatro talleres y diecisiete comunica-ciones, algunos de cuyos títulos son: «Las ideas estocásticas delos alumnos y la diversidad en el aula de formación», «Reso-lución de problemas matemáticos y detección de la diversidad enun aula conceptual», «Enseñanza de la probabilidad y atencióna la diversidad de creencias y razonamiento proporcional»,«Evaluación ideal en el aula de matemáticas: ¿es utópica?»,«Factores que condicionan la integración del invidente en el aulade matemáticas», «Internet y la atención a la diversidad en laenseñanza y aprendizaje de las matemáticas», «Atención a ladiversidad y Matemáticas. Desarrollo legislativo en EducaciónSecundaria Obligatoria», «La asociación estadística en laEducación Secundaria Obligatoria»,…

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PLURICULTURALIDAD Y APRENDIZAJEDE LA MATEMÁTICA EN AMÉRICA LATINAEXPERIENCIAS Y DESAFÍOSAlfonso L. Lizarzaburuy Gustavo Zapata Soto (Comps.)Ediciones MorataMadrid, 2001ISBN: 84-7112-465-3271 páginas

Este libro es el fruto de una iniciativa impulsadadesde hace varios años por muy diversos actorescon el fin de efectuar un balance de la situación edu-cativa de los pueblos indígenas de América Latina y encontrarsalidas conceptuales y pedagógicas con los propios sujetos delos programas educativos desarrollados en áreas indígenas yzonas populares de América Latina, entre los cuales se encuen-tran también investigadores y especialistas en la materia.Después de dos actividades centradas en el tema del aprendi-zaje y el desarrollo de las lenguas indígenas y el castellanocomo segunda lengua, en 1997 se realizó en Cuzco (Perú) elseminario sobre «El aprendizaje de la matemática en los pueblosindígenas de América Latina», en el cual participantes prove-nientes de todo el continente presentaron estudios de caso, asícomo resultados de sus investigaciones.

Este seminario forma parte de una seie de seminarios sobre laEducación Intercultural Bilingüe cuyos resultados se presentan enla colección «Educación, culturas y lenguas en América Latina»que se inició con el libro Sobre las huellas de la voz. Socio-lingüística de la oralidad y la escritura en su relación con la edu-cación, publicado en 1998. Estas actividades de reflexión sobrela Educación Intercultural Bilingüe en América Latina son auspi-ciadas y organizadas por la Fundación Alemana para elDesarrollo Internacional (DSE) y la Deutsche Gesellschaft fürTechnische Zusammenarbeit (GTZ), por intermedio del PROPEIBAndes, en cooperación con la Oficina Regional de la UNESCOpara América Latina y el Caribe (OREALC).

Alfonso Lizarzaburu y Gustavo Zapata, editores de esta publica-ción, recopilan algunas de las ponencias presentadas en el semi-

nario de Cuzco, así como artículos de auto-res especializados en el tema. Los títulos yautores de los diferentes capítulos son:

• Matemática y lenguajes. ¿Cómo seguirsiendo amerindio y aprender la matemá-tica de la que se tiene y se tendrá nece-sidad en la vida? (André Cauty).

• La matemática en América Central y delSur: Una visión panorámica (UbiratanD’Ambrosio).

• Nuevos enfoques en la enseñanza de lamatemática y la formación de profesoresindígenas (Kleber Gesteira e Matos).

• Matemática andina: Abordaje psicogené-tico (Ruperto Romero y Gustavo Gottret).

• La enseñanza de la matemática a edu-candos quechuas en el marco de la refor-ma educativa (Adan Pari Rodríguez).

• El aprendizjae de las matemáticas en elProyecto Experimental de Educación Bi-lingüe de Puno y en el Proyecto de Edu-cación Bilingüe Intercultural del Ecuador:Reflexiones sobre la práctica y experien-cias relacionadas (Martha Villavicencio).

• Hacia una didáctica intercultural de lasmatemáticas (Joachim Schroeder).

• Aportaciones a la discusión sobre laenseñanza de las matemáticas a partirde la didáctica y la etnomatemática(Isabel Soto Cornejo).

• La matemática en la vida y en la escuela:Dos décadas de investigación (TerezinhaNunes).

• Algunas consideraciones fundamentalessobre los procesos de enseñanza yaprendizaje de la matemática en rela-ción con los pueblos indígenas deAmérica Latina (Alfonso E. Lizarzaburu).

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ENVÍO DE COLABORACIONES

Revista SUMAICE Universidad de ZaragozaPedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA

OLIMPIADA Matemática Nacional

Prueba individual

Problema n.° 1. Si la Tierra fuese una naranja

Rodea una naranja muy redonda con una cinta roja. Alargadespués la cinta, de modo que rodee la naranja quedandoa un metro de su superficie. Supón que pudieras hacerahora lo mismo con la Tierra (supuesta esférica) con unacinta azul y luego la alargas de manera que rodee la Tierraquedando también a un metro de su superficie.

¿Cuál es el más grande de los alargamientos, el de la cintaroja alrededor de la naranja, o el de la cinta azul alrededorde la Tierra? Explica cómo has llegado a esa conclusión.

133

XII Olimpiada (problemas),Didáctica y perfilesprofesionales, JornadasNacionales de la APMEP

CRÓNICAS

XII

39

febrero 2002

Problema n.° 2. Contando rectángulos

En las siguientes figuras hay tres, nueve y dieciocho rec-tángulos respectivamente:

¿Cuántos rectángulos hay en esta otra figura?

Encuentra un procedimiento para poder contar el númerode rectángulos que habría en las figuras resultantes, conseis, siete… columnas.

Problema n.° 3. La partición astuta

Se trata de dividir esta esfera de reloj en seis partes, de

forma que en cada una de ellas la suma de los números

sea la misma.

El recorridopor la península

va a serlúdico-matemático

134

b) Haz una clasificación de cómocrees que llegarán a la meta los dis-tintos galgos. Explícalo.

5.2.- Rafael y Noemí realizan un juegoque consiste en lanzar al aire dosdados. Calculan el producto de losnúmeros que aparecen en las carassuperiores. Si el producto sale par ganaRafael y si sale impar gana Noemí.

a) ¿Te parece justo el juego? ¿Por qué?

b) Si se repitiera el juego 360 veces,¿cuántas veces crees que ganaríacada uno?

Problema n.° 4. Tanteo y paciencia

4.1.- Con atención, paciencia y con las cifras del 1 al 9, sepueden formar números de tres cifras cada uno. Desdeluego puedes formar muchos, pero tienes que encontrartres de ellos, de manera que, utilizando todas las cifras sinque se repita ninguna, cumplan que: el segundo númerosea el doble del primero y el tercero el triple del primero.

¿De qué números se trata?

1.er Número 2.° Número 3.er Número

4.2.- Recuerda que un número primo es aquel númeronatural mayor que 1 que no tiene más divisores positivosque él mismo y el uno. Existen unos números primos muycuriosos ya que su valor es igual a una potencia de 2menos 1.

Ejemplo: 3 = 22 – 1; 7 = 23 – 1; 31 = 25 – 1; 127 = 27 – 1 ...

Estos números primos se llaman números de MERSENNE.En 1994 el último número de MERSENNE encontrado era2859433 – 1, que tiene un total de 258.716 cifras. Gracias alavance de las tecnologías se han descubierto números deMERSENNE mucho mayores. El último encontrado es26972593 – 1, que tiene 2.098.960 cifras.

¿Sabrías cuál es la cifra de las unidades de este últimonúmero primo? Explica el procedimiento que has seguido

Problema n.° 5. ¿Confías en el azar?

5.1.- Se tienen once galgos con dorsales numerados del2 al 12, ambos inclusive.

Se lanzan dos dados y la suma de las caras superiores deambos indica el galgo elegido, que avanza una FILA.Gana la carrera el galgo que llega primero a la FILAnúmero 10.

a) Si tuvieras que elegir un galgo, ¿qué dorsal prefieres?¿Por qué?

Prueba por equipos

Recorrido turístico-matemático porla península de La Magdalena

Esta mañana vais a conocer uno de loslugares más bonitos de Santander. Elrecorrido por la península va a ser lúdi-co-matemático, ya que para localizar elPalacio, el Paraninfo, el mini Zoo, etc.,tendréis que resolver algunas cuestio-nes que se os plantean a continuación.

a) Observad el mapa cuadriculado quetenéis entre los materiales que se oshan entregado y encaminaros haciael punto de coordenadas (0, 0).

Os encontráis en el ............

(Leed la información sobre esteedificio en la guía)

b) Para localizar en el mapa el puntohacia el que debéis dirigiros a con-tinuación, tenéis que resolver elsiguiente problema que os dará suscoordenadas:

PRIMERA COORDENADA: Un fríodía de invierno en Reinosa (Can-tabria), la temperatura a las 12 a.m.era de 2 °C y descendió a lo largode la tarde 7 °C. ¿Qué temperaturahabía al anochecer?

SEGUNDA COORDENADA: Es unnúmero primo menor que 10 y quese obtiene como la suma de uncuadrado perfecto más 1.

Os encontráis en ..............

(Contemplad el paisaje y anotad loque observéis). .............

c) A continuación, leed detenidamen-te las cinco definiciones siguientes,que corresponden a términos mate-máticos. Con la primera letra decada término, ordenadas conve-nientemente, encontraréis la pala-bra que indica el sitio al que debéisdirigiros.

DEFINICIÓN 1.- Parte de lasMatemáticas que estudia los cuer-pos geométricos.

DEFINICIÓN 2.- Triángulo cuyoslados y ángulos son iguales.

DEFINICIÓN 3.- Palabra cuyo signi-ficado es el mismo que superficiede una figura.

DEFINICIÓN 4.- Cada uno de lossegmentos que limita un polígono.

DEFINICIÓN 5.- Números que sir-ven para contar.

DEFINICIÓN 6.- Nombre del ángu-lo cuya medida es mayor que la deun ángulo recto.

¡Admirad los ............... de VITALALSAR!

(Leed en la guía la informaciónsobre Vital Alsar)

d) Desde este lugar vais a dirigiros alpunto de coordenadas (6, 2) en elplano que se os ha entregado. En eltrayecto, recoged varias hojas de losdistintos árboles que encontréis yguardadlas en el sobre, para quecuando estéis en la residenciahagáis una actividad con ellas.

b) Ya estáis en el PALACIO DE LAMAGDALENA, miradlo con deteni-miento e identificad y anotad las for-mas y figuras geométricas que veáis.

Finalmente, buscad en la guía las respuestas a las siguien-tes preguntas y anotadlas.

• ¿Para quién se construyó el Palacio?

• ¿En qué año comenzó su construcción?

• ¿En qué año se terminó?

• ¿Qué arquitectos lo diseñaron?

• ¿Cuánto costó y quién lo pagó?

• ¿A qué estilo pertenece?

• ¿Con qué materiales está construido?

• ¿A quién pertenece actualmente?

• Medid la altura del Palacio (aproximadamente) y ex-plicad el método que habéis utilizado.

• Como final de este recorrido, dibujad el Palacio o elentorno en la lámina que se os ha dado.

EsteV Simposio

fue un auténticoforo de debate

sobre las diversasnecesidadesque plantea

tanto la docenciacomo

la investigación…

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V Simposio sobre Aportacionesde la Didáctica de la Matemáticaa diferentes perfiles profesionales

Los días 7, 8 y 9 de febrero de 2002 se celebró en laUniversidad de Alicante el «V Simposio sobre Apor-taciones de la Didáctica de la Matemática a diferentesPerfiles Profesionales». Este V Simposio fue un auténticoforo de debate sobre las diversas necesidades que planteatanto la docencia como la investigación, así como sobrelos aprendizajes de los diferentes tópicos matemáticos yde didáctica de la matemática que configuran o deberíanconfigurar el currículo universitario de diferentes perfilesprofesionales. Con este propósito, se reunieron matemáti-cos, profesores de matemáticas de educación secundaria,psicopedagogos, maestros, ingenieros, estadísticos y eco-nomistas, entre otros. Se cumplieron, pues, las expectati-vas del Comité Organizador que asumió el relevo del IVSimposio celebrado en febrero de 2000 en la Universidadde Oviedo.

Ocho preguntas clave organizaron los diversos debates:epistemología e historia; tanteo y creatividad; imaginación y

percepción; experiencia y teoría; afectividad y matemáticas;carácter multicultural de las matemáticas; aprendizaje deconceptos/nociones matemáticas; y, por último, aprendizajede conceptos/nociones de didáctica de la matemática. LasActas del Simposio contienen una importante variedad detrabajos, ya sean de investigación, de innovación o de refle-xión, que certifican la multiplicidad de focos de atenciónrepresentados por los profesionales dedicados a la Didácticade la Matemática. Algunos de estos trabajos suponen unamuestra de los debates coexistentes que están teniendolugar en muchas universidades españolas acerca de las nece-sidades en la formación del profesorado de los diferentesniveles educativos. En este sentido, las reflexiones sobre quépuede aportar la Didáctica de la Matemática a la formaciónde matemáticos para sus diversas salidas profesionales fue-ron, tal vez, las que centraron en mayor medida el interés delos participantes. Cabe destacar la presentación del estadoactual del proyecto Edumat-Maestros realizada por el profe-sor Juan Díaz Godino, artífice junto con su equipo de laUniversidad de Granada de dicho proyecto.

Hubo otros ámbitos de atención también con una fuerterepresentación, tales como la importancia del campo afec-tivo en la Educación Matemática. Fueron analizadas dife-rentes investigaciones centradas en aspectos de tipo afec-tivo desde una perspectiva sociocultural. Se reflexionósobre cómo los alumnos desarrollan su identidad comoaprendices de matemáticas en simultáneas comunidadesde prácticas. Por otra parte, se analizaron cuestiones decomunicación desde un doble enfoque: como un recursosocial usado en el proceso de compartir significados ycomo un vehículo en la construcción del conocimientomatemático. Uniendo la preocupación por las competen-cias básicas que se deben desarrollar y el dominio afecti-vo, se habló de la implicación de la Educación Matemáticaen la formación de profesionales para una sociedad demo-crática. El debate en torno a lo fundamental de la compe-tencia matemática en tanto que competencia democráticapuso de manifiesto el interés incipiente por la dimensiónsocial de los diferentes contextos de práctica matemática.

Se debe destacar también el espacio que en este simposiose dedicó al debate sobre dos documentos relativos a laformación matemática y en didáctica de la matemática delos profesores de Educación Primaria y Secundaria. Estosdocumentos fueron elaborados por profesores de lasUniversidades de Barcelona, Valladolid, Granada y Sevilla,bajo la coordinación del profesor Lorenzo Blanco, de laUniversidad de Extremadura. En el mes de septiembre sedifundió un primer borrador entre los diferentes colectivosprofesionales, recibiéndose aportaciones durante losmeses precedentes, hasta llegar a una redacción final a laque se dará la máxima publicidad.

En estos textos, los profesores implicados en la formacióndel profesorado muestran su preocupación por la defi-

ciente o inapropiada formación inicialen matemáticas o en didáctica de lasmatemáticas, que tienen los maestros ylos profesores de secundaria. Estas defi-ciencias son debidas, en el caso de laformación inicial de maestros, a la esca-sez de materias específicas de matemá-ticas y didáctica de las matemáticas queexisten en los planes de estudio, conuna media del 6,4 % de los créditos tota-les en la especialidad de EducaciónPrimaria, llegándose en el caso de algu-na titulación a no existir ninguna mate-ria de matemáticas ni su didáctica. Encuanto a la formación inicial de los pro-fesores de secundaria, se constata unafalta de orientación profesional en lasFacultades de Matemáticas. Los futurosprofesores de secundaria son instruidospara aprender, no para enseñar, por loque no bastaría con añadir en su carre-ra una formación científica en didácticade la matemática, sino que se necesita-ría, además, un cambio en el conoci-miento del contenido.

Enrique de la Torre y Núria Planas

Jornadas Nacionalesde la APMEP

Los días 29, 30 y 31 de octubre de 2001se celebraron en Lille (Nord Pas deCalais) las Jornadas Nacionales de laAPMEP (Asociación de Profesores deMatemáticas de la Enseñanza Pública deFrancia), bajo el epígrafe «Las matemáti-cas en el carrefour de Europa».

Estas Jornadas se celebran anualmente,con escasas interrupciones desde la crea-ción de la Asociación en 1910.

El programa de las Jornadas era elsiguiente:

• Lunes 29, a las 9 h 30 m sesión ofi-cial de apertura con la intervenciónde Jean Paul Bardoulat, presidentede la APMEP, Pierre Stephan, presi-dente de la regional local organiza-dora, y de las autoridades: repre-sentantes del Consejo Regional,Consejo General, Alcaldía de Lille,el Rector de la Universidad, y el

Las Actasdel Simposiocontienen

una importantevariedad

de trabajos,ya sean

de investigación,de innovacióno de reflexión,que certifican

la multiplicidadde focos

de atenciónrepresentados porlos profesionales

dedicadosa la Didáctica

de la Matemática.

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Decano de la Inspección Nacional.

• A las 10 h 30 m. Conferencia inau-gural plenaria impartida por NicoHirtt, profesor de SecundariaSuperior en Bélgica, y fundador dela Aped (Asociación para el progre-so de la educación democrática),sobre «Los sistemas educativos enEuropa» con un subtítulo «En lahora de la globalización liberal:hacia una escuela sometida al mer-cado».

• Dos periodos horarios en la tardedel lunes de 14 a 15:30 y de 17:15a 18:30 para Talleres. Entre ambos,reunión de las comisiones regiona-les de la APMEP.

• A las 18:30 se presentaron los standsde los expositores de libros y mate-rial didáctico, con un aperitivo.

• A las 20 Concierto, de la orquestadirigida por Ernesto MartínezIzquierdo.

• Martes 30, a las 8:30, conferenciade Miguel de Guzmán, profesor dela Universidad Complutense deMadrid, y ex-presidente del ICME:titulada «La enseñanza de las mate-máticas en Europa».

• A las 10:30 conferencia de JeanPierre Bourgignon, profesor delIHES, y ex-presidente de la SMF(Sociedad Matemática de Francia).

• A las 14 hasta las 15:30 de nuevoTalleres.

• Una hora para la reunión de lasComisiones Nacionales y de 17:15 a18:45 dos conferencias en paralelo,una a cargo de M.J. Durand-Richard, de la Universidad de París-VIII, «La influencia de la escuelaalgebraica inglesa en Europa» y laotra de Jeanne Peiffer, Investiga-dora en el CNRS: «Durero, los sen-deros de la perspectiva».

• A las 20:30 cena oficial de lasJornadas.

• Miércoles, 31 de 8:15 a 9:30, Mesaredonda para debatir sobre la ense-ñanza de las matemáticas, con laintervención de J.P. Bardoulat, C.

Ruget, C. Robert, M. Legrand y J.P. Kahane, moderadapor A.M. Marmier.

• A las 9:45 conferencia de clausura a cargo de JeanPaul Delahaye profesor de informática en el USTL,«Demostraciones con ordenador...».

• A las 11 h 15 m asamblea general, clausura de lasJornadas y presentación de las Jornadas del 2002.

Había también una importante presencia de exposiciones:

– «Los objetos matemáticos» de la APMEP de Lorena.

– «Imágenes de Chryzodos», presentada por la asocia-ción Résonance Transdisciplinaire.

– «De la idea de una lengua universal a la realización dela lengua internacional».

– «Pitágoras,... más que un teorema», presentada por elAthénée Royal de Mons (Bélgica)

– Proyecto «2001 Odisea de las matemáticas», delAthénée Royal de Mouscron.

– «Mujeres en maths... ¿Por qué no tú?», de la AsociaciónFemmes et Mathématiques.

– «Geometría Mudéjar en Aragón: Patrimonio de laHumanidad», presentada por mí, unida a un taller.

Para la celebración de estas Jornadas la APMEP ha conta-do con la ayuda del Consejo Regional de Nord Pas deCalais, el ayuntamiento de Lille, el IREM de Lille, laUniversidad de Ciencias y Tecnología de Lille, el IUFM deNord Pas de Calais, la MGEN, la MAIF, CASIO, TEXASInstruments.

La asistencia a las Jornadas fue bastante numerosa, tenien-do en cuenta que las jornadas se celebran durante lasvacaciones de Todos los Santos. Además de asistir profe-sores de las diferentes regiones francesas, había algunosasistentes de Andorra (1), Argelia (4), Bélgica (15), GranBretaña (1), Lituania (1), Noruega (2), Rumanía (1), Suiza(1) y España (2). En total unos 600 profesores de todos losniveles educativos.

Entre las actividades y trabajos presentados destacaBraMaNet, un programa de traducción de las matemáticasal Braille, desarrollado por la Universidad de Lyon I (paralos que deseen más información sobre este importanteproyecto, la dirección de Bramanet en la Red eshttp://handy.univ-lyon1-fr/projets/bramanet).

Como en casi todas las jornadas, hubo una densidad deactividades importante, baste señalar que en cada uno delos tiempos destinados a Talleres había más de 20 simul-táneos. Los talleres son en realidad comunicaciones deuna hora de duración con discusión posterior.

En uno de ellos tuve ocasión de intervenir presentando mitrabajo sobre Geometría Mudéjar, ligado a la exposiciónfotográfica. El tema fue seguido con bastante interés, pues

Entrelas actividades

y trabajospresentados

destacaBraMaNet,

un programade traducción delas matemáticas

al Braille,desarrollado porla Universidad

de Lyon I.

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en la inscripción previa a las Jornadas se superó el máxi-mo de asistentes. Creo que el interés se debió sobre todoa la presentación de un tema que fusiona, matemáticas,arte y cultura, relacionado además con el mundo musul-mán que tan presente está en estos momentos en Francia.

Quiero destacar algunas palabras del discurso inauguraldel presidente de la APMEP, y también presidente de laFEAPM (Federación Europea de Asociaciones de Pro-fesores de Matemáticas), y de la conferencia de Nico Hirtt:

El prof. Bardoulat insistió, una vez más, en el papel de laenseñanza de las matemáticas, pues emergen de todas lasciencias y las alimentan, desarrollan a la vez la imagina-ción y el rigor. Por ello la APMEP asume la extensión dela enseñanza de las matemáticas, aunque ello conlleve sumasificación: querer dar el mejor nivel posible al mayornúmero posible. Pese a los problemas que implica: ¿Cómoconciliar una democratización de las enseñanzas científi-cas con la reducción de horarios? ¿Por qué se pone enmarcha un sistema que no incita al esfuerzo, que hacepensar a los alumnos que sus estudios no son prioritarios?¿Por qué, quizá, no se tiene suficiente confianza en losenseñantes, (Enseñantes que emplean sus vacaciones y sudinero en asistir, por ejemplo, a estas jornadas)? Terminódiciendo solemnemente al Sr. Ministro: «la enseñanza delas matemáticas, y por tanto sus profesores, merecen con-sideración».

Nico Hirtt hizo una exposición histórica de la evolución delos sistemas educativos, en los últimos años, y del dineropúblico empleado en ello, así como de las directrices quela OCDE señala como necesidades educativas del futuro.Y concluía «la adecuación de la enseñanza con los objeti-vos nuevos de las potencias industriales y financieras tienedos consecuencias dramáticas: la instrumentalización de laEscuela al servicio de la competencia económica y el agra-vamiento de las desigualdades sociales en el acceso alsaber» […] «la evolución actual de los sistemas de ense-ñanza se realiza en detrimento del acceso a los saberesque permiten comprender el mundo. Precisamente, losmás explotados se ven así privados de las armas intelec-tuales que necesitan para luchar con el objetivo de lograrsu emancipación colectiva». «Se baja el nivel de exigenciapara unos (aquéllos que constituirán la masa de la manode obra poco cualificada exigida por la “nueva econo-mía”), incitando a otros pocos a buscar “ofertas educativasinnovadoras” que los harán puntas de lanza de la compe-tencia internacional. Así las desigualdades de clase setransformarán, con mayor eficacia incluso que hoy, endesigualdades de acceso al saber. La escuela pública, loseñala incluso la OCDE, sólo servirá para asegurar elaprendizaje de los que jamás constituirán un mercado ren-table y cuya exclusión de la sociedad en general se acen-tuará a medida que otros continúen progresando […] perotodo ello puede suscitar reacciones, resistencias, lucha.

Esperemos que el Foro Mundial contrala globalización contribuya al desarrollode una lucha mundial para la conquistade una enseñanza pública, democráticay de alto nivel, capaz de dotar a los ciu-dadanos de mañana de los saberes ycapacidades que les hagan militantes deuna sociedad más justa».

Los textos completos de las conferen-cias, la intervención de Bardoulat yalgunos de los talleres pueden leerse(en francés) en la dirección

http://www2.ac-lille.fr/apmep/

o también accediendo directamente a lapágina de la APMEP

http://www.apmep.asso.fr

Las próximas jornadas se celebrarán enRennes (Bretaña). Los días 26 al 28 deoctubre de 2002 bajo el título «Imagende las Matemáticas, matemáticas de lasimágenes».

Florencio Villarroya

138

CONCURSO de material didáctico parala enseñanza de las MatemáticasLa Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales

viene realizando un esfuerzo sostenido por apoyar y pro-

mover el intercambio de información y experiencias entre

el profesorado que imparte Matemáticas con actuaciones

como la edición de la revista Épsilon, la celebración de

Jornadas, Cursos, Olimpíadas, etc. Dentro de este marco,

la SAEM Thales, consciente de la importancia que tiene la

utilización de material en la enseñanza y con el fin de dar

a conocer el material existente y facilitar su uso a todo el

profesorado, convoca un concurso de material didáctico

con los siguientes

Objetivos

• Divulgar y acercar el material existente para difundir-

lo y hacerlo asequible a centros y profesorado.

• Potenciar el papel de los recursos materiales en la

enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas y animar

a su utilización.

Bases

1. Podrá presentar trabajos en este concurso el profeso-

rado vinculado a Centros de Enseñanza andaluces de

todos los niveles y el que, no prestando sus servicios

en Andalucía, sea miembro de alguna sociedad perte-

neciente a la Federación Española de Sociedades de

Profesores de Matemáticas. Los trabajos podrán ser

presentados individual o colectivamente.

2. Se establece una única modalidad a la que se podrán

presentar trabajos de cualquier índole: material mani-

pulativo, material audiovisual, software educativo,

139

Concurso de material didáctico,Simposio de la SEIEM, JornadasRegionales de Murcia…

CONVOCATORIAS

II

39

febrero 2002

desarrollo de actividades con material existente, pági-nas Web, etc.

3. Todos los trabajos deberán ser inéditos, se presen-tarán en lengua castellana y acompañados de unaguía didáctica para su utilización, una descripcióndel material y, en su caso, un prototipo para su ela-boración.

4. La guía didáctica deberá contener una indicación delos niveles en los que se puede usar, objetivos, con-tenidos matemáticos, propuestas de actividades,observaciones sobre la utilización del material, etc. yse deberá adjuntar: a) soporte informático correspon-diente, con indicación del procesador utilizado; b) losdibujos originales con indicación del lugar preciso enel que deben figurar.

5. Acompañará al trabajo una plica en sobre cerrado, encuyo exterior figurará un lema o seudónimo y moda-lidad por la que se concursa. En su interior se expre-sarán los datos completos sobre su autoría: autor oautores, domicilio, teléfono, NIF y correo electrónico(si lo tuviera).

6. Los trabajos se remitirán a: SAEM THALES. Centro deDocumentación THALES Departamento de Matemá-ticas. C. A. S. E. M. Campus del Río San Pedro 11510PUERTO REAL (Cádiz). El plazo de entrega finalizaráel 30 de abril del año 2002.

7. La Junta Directiva de la SAEM Thales nombrará unjurado que evaluará los trabajos presentados yresolverá cualquier eventualidad que pudiera surgir.Ningún concursante podrá formar parte de estejurado.

8. El jurado seleccionará los trabajos atendiendo a crite-rios de calidad, y sus decisiones serán inapelables.

9. Se otorgarán TRES premios, más un número indeter-minado de accésits, a fijar por el jurado. Los premiosconsistirán en una dotación económica de 2.000,1.000 y 500 €, respectivamente. Los premios podránser declarados desiertos.

10. Los autores que obtengan premio o accésit se com-prometen a ceder a la SAEM THALES los derechosde la obra presentada, de acuerdo con la «Base deCesión de Obra» que se encuentra depositada en lasede de la Sociedad a disposición de los concur-santes.

11. La participación en este concurso supone la acepta-ción de las presentes bases.

12. El fallo del jurado se hará público en el X Congresosobre Enseñanza y Aprendizaje de la MatemáticasTHALES que se celebrará en El Ejido (Almería) del 12al 15 de septiembre de 2002.

XX Concurso deResoluciónde Problemas

Está convocado por la Sociedad «PuigAdam» de Profesores de Matemáticas yel Colegio de Doctores y Licenciados enCiencias y en Filosofía y Letras.

Bases del Concurso

Primera: Los alumnos podrán participaren el Concurso en tres niveles:

a) Primer nivel: alumnos de 3.° deESO.

b) Segundo nivel: alumnos de 4.° deESO.

c) Tercer nivel: alumnos de 1.°Bachillerato (3.° BUP y 2.° y 3.° deFP II).

Segunda: Las pruebas consistirán en laresolución de Problemas de Matemáti-cas (los mismos para todos los concur-santes de un mismo nivel) y se realiza-rán en la mañana del sábado 22 de juniode 2002 a partir de las 10 horas en laFacultad de Matemáticas de la Univer-sidad Complutense de Madrid.

Tercera: A los mejores de cada nivel, seconcederán diplomas y premios.

Cuarta: Los Centros que deseen presen-tar alumnos (hasta un máximo de seis)deberán realizar la preinscripción antesdel dia 21 de mayo de 2002, dirigiéndo-se por carta al presidente de nuestrasociedad:

Prof. Javier Etayo Gordejuela

Departamento de Álgebra

Facultad de Ciencias Matemáticas

28040-Madrid

En la preinscripción no es preciso hacerconstar los nombres de los alumnosseleccionados. Si algún centro deseapresentar más de seis alumnos, debesolicitarlo antes de la fecha mencionadaanteriormente.

Quinta: Los centros entregarán a losalumnos que envíen, credenciales indivi-duales en las que se haga constar quehan sido seleccionados por su excepcio-nal aprovechamiento en Matemáticas,

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El fallodel jurado

se hará públicoen el X Congresosobre Enseñanza

y Aprendizajede la Matemáticas

THALESque se celebrará

en El Ejido

así como el curso en que están matricu-lados en el año académico 2001-2002.

Nota importante: Los dos primeros cla-sificados de cada nivel son invitados aparticipar en la Olimpiada Rioplatensede Argentina, en diciembre de 2002 (enel supuesto de que se consigan becaspara pagar los billetes hasta BuenosAires).

VI Simposio de la SEIEM

La Sociedad Española de Investigaciónen Educación Matemática celebrará suVI Simposio en la Universidad de LaRioja desde el 11 hasta el 14 de sep-tiembre de 2002.

El programa científico incluye lassiguientes actividades:

• Investigación sobre la actividadmatemática en el aula.

• Presentación y discusión de Infor-mes de Investigación.

• Reuniones de Grupos de Inves-tigación.

Más información en:

VI Simposio de la SEIEM

Secretaría del Departamento deMatemáticas y Computación

Universidad de La Rioja

Edificio VIVES

Luis de Ulloa s/n

26004 Logroño

Página web: www.ugr.es/local/seiem

III Jornadas Regionalessobre EducaciónMatemática

Convocadas por la Sociedad de Edu-cación Matemática de la Región de Mur-cia (SEMRM), se celebrarán en Murcialos días 11, 12 y 13 de abril de 2002.

Las conferencias plenarias las impartiránlos profesores Claudi Alsina, AntonioPérez Sanz y Nuria Rosich Sala. Ademásestán previstas una serie de comunica-

ciones y talleres y una mesa redonda que girará en tornoal currículo de matemáticas.

Más información:

III Jornadas Regionales sobre Educación Matemática

(A la atención de Manuela Moreno Gil)

CPR II de Murcia

c/ Reina Sofía, 1

30003 Murcia

e-mail: [email protected]

Página web: www.semrm.com

X Congreso sobre Enseñanza yAprendizaje de las Matemáticas Thales

Se celebrará en El Ejido-Adra (Almería), los días 12 al 15de septiembre de 2002.

Cada dos años en la SAEM Thales organizamos nuestroCongreso buscando ofrecer un marco donde los partici-pantes intercambien experiencias e investigaciones ydifundan sus trabajos contribuyendo al desarrollo profe-sional de los demás compañeros. Se trata, en suma, deaprender cosas nuevas, de discutir, de relacionarse.Nuestros objetivos fundamentales son: consolidar los lazoscientíficos y culturales entre los profesionales de la docen-cia e investigación en matemáticas, coordinar esfuerzos depersonas, grupos y movimientos de renovación pedagógi-ca y sociedades relacionadas con la Educación Mate-mática, promover la investigación, analizar el tipo dematemáticas que deben enseñarse, mostrar a toda la socie-dad la cara lúdica, atractiva e interesante de las matemáti-cas, analizar las aportaciones que las diversas culturas hanido haciendo a la construcción del contenido matemáticoa lo largo de la historia...

Los temas prioritarios del Congreso serán:

1. Materiales y recursos.

2. La diversidad cultural y las Matemáticas.

3. Las Tecnologías de la Información y la Comunicación(TICs) en la Educación Matemática.

4. Experiencias matemáticas dentro y fuera del aula.

5. El profesorado de Matemáticas en los cambios educa-tivos.

Entre las actividades programadas figuran: conferenciasplenarias, ponencias, comunicaciones, talleres, mesaredonda «El día a día de la Educación Matemática», talleres,paneles, vídeos, programas matemáticos de ordenador,exposiciones (Fotografía y Matemáticas, chistes matemáti-cos, Matemáticas en la calle, materiales didácticos, divul-gación, sellos matemáticos). Habrá un concurso de

141

Fotografía Matemática entre los asistentes y se editará unboletín informativo diario.

Habrá también actos sociales y actividades lúdico-recreati-vas, así como un programa para acompañantes.

Más información:

XCEAM

IES Murgi; Avda. Principes de España, 17

04700-El Ejido (Almería)

Tfnos.: 950269326; 699334023

Fax: 956016050

Por correo-e: [email protected]

Web del Congreso: http://thales.cica.es/xceam

VIII Congreso SEHCYT

La Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de lasTécnicas anuncia que su VIII Congreso se celebrará enLogroño, del 16 al 20 de septiembre de 2002, en el marcodel Décimo Aniversario de la Universidad de La Rioja.

Se celebrarán conferencias plenarias, además de ponen-cias y comunicaciones agrupadas por secciones, mesasredondas, exposiciones, etc. Está prevista una actividadturístico-cultural seguida de una cena, además de otrosactos sociales breves y un programa para acompañantes.

Están previstas inicialmente las siguientes secciones:

• Ciencia y Técnica en las Universidades.

• Historia de la Química y sus conexiones con laCiencia y la Técnica.

• Patrimonio Científico.

• Ciencia y Técnica en torno a La Rioja.

• Tema libre.

Más información:

Secretaría VIII Congreso SHCYT

Dep. de Matemáticas y Computación.

Universidad de La Rioja

Edificio Vives. C/ Luis de Ulloa, s/n

26006 Logroño

Tfno.: 941 299 445

Fax: 941 299 460

E-mail: [email protected]

Página web: www.unirioja.es/sehcyt

VII Seminario Castellano-Leonés deEducación Matemática

Organizado por la Sociedad Castellano-Leonesa deProfesores de Matemáticas, sección provincial de León, se

celebrará los días 13, 14 y 15 de sep-tiembre de 2002 en Ponferrada (León).

Conferencias plenarias:

a) Historias de Problemas con Histo-

ria. Antonio Pérez Sanz

b) El currículo de Matemáticas en Cas-

tilla y León. Jose Angel HermidaAlonso.

c) Historia de la introducción al cál-

culo infinitesimal en Castilla y

León. Luis Ángel Saiz Montes.

d) Matemáticas y Literatura ¿Saben los

escritores Matemáticas? José del RíoSánchez.

Núcleos temáticos:

1. Matemáticas en Educación Infantil yPrimaria.

2. Atención a la diversidad desde lasMatemáticas en la ESO.

3. Matemáticas en Bachillerato.

4. Las Tecnologías de la Informaciónen Matemáticas.

5. Relación entre las matemáticas yotras ciencias.

6. Investigación en didáctica de mate-máticas.

7. Otros temas ligados a la EducaciónMatemática.

Mesas redondas

1. ¿Qué sabe un alumno al terminarprimaria? ¿Qué debería saber?

2. ¿Qué sabe un alumno al terminarbachillerato? ¿Qué debería saber?

Se celebrarán además talleres, exposicio-nes de matemáticas, rutas matemáticaspor la ciudad, actividades culturales, etc.

Más información actualizada en

http://semimate.f2g.net

o en la página de la sociedad

http://euclides.usal.es

o bien dirigiendose a sede del comitéorganizador:

CPR. DE PONFERRADA

Avda. Huertas del sacramento, 10

24400 Ponferrada (León)

Tel:987427967- Fax 987419822

E-Mail [email protected]

142

NORMAS DE PUBLICACIÓN

1. Los artículos se remitirán por triplicado a la redacción de SUMA (Revista SUMA, ICE de Universidad de Zaragoza, C./Pedro Cerbuna 12, 50009 Zaragoza), impresos a doble espacio, por una sola cara, en formato Din A-4.

2. Los datos de identificación del autor no deben figurar en el texto original ya que éste será enviado a asesores para serreferenciado. Estos en ningún caso serán informados de la identidad del autor o autores del trabajo y aconsejarán laconveniencia o no de la publicación del trabajo, o recomendarán posibles modificaciones, etc.

3. Los gráficos, diagramas y figuras se enviarán en hojas separadas (una para cada gráfico), en tinta negra sobre papelblanco. Así mismo, podrán incluirse fotografías. En el texto debe figurar el lugar donde deben ser colocadas; de igualforma, si tiene que llevar un pie de ilustración, éste se reseñará en la hoja donde aparece la ilustración.

4. Adjunto al artículo se redactará un resumen, de entre cinco y diez líneas, que no necesariamente tiene que coincidircon la Introducción al artículo. Debe ir escrito en hoja aparte. En ese mismo folio aparecerán los datos de identifica-ción del autor o autores: nombre y apellidos; dirección completa; lugar de trabajo; teléfono de contacto; sociedad fede-rada a la que pertenecen (si procede).

5. Si se usa procesador de texto, agradeceremos que además se envíe un disquette con el archivo de texto que contengael artículo, así como tantos archivos gráficos, como figuras elaboradas con el ordenador se quiera incluir. La etiquetadel disquette debe identificarlo sin lugar a dudas. En cuanto al formato de los archivos de texto, se recomienda MS-Word (hasta versión 5.0) en Macintosh, o WordPerfect (hasta versión 5.1) en PC. Los archivos gráficos es preferibleque tengan formato EPS o TIFF.

6. En cualquier caso, tanto un ejemplar del texto como los gráficos, si proceden de impresoras, deben ser originales y nofotocopias.

7. Los trabajos se enviarán completos, aunque por necesidades de edición pudieran publicarse por partes.

8. Las notas a pie de página deben ir numeradas correlativamente, numeradas con superíndices a lo largo del artículo.

9. La bibliografía se dispondrá al final del artículo, por orden alfabético de apellidos, indicando autor(es), año, título delartículo, título de la revista completo (en cursiva o subrayado), volumen y páginas del mismo. Por ejemplo:

TRIGO, V. (1995): «Generación de números aleatorios», Suma, n.° 20, 91-98.

En el caso de libros se indicará el autor(es), año, título completo (en cursiva o subrayado), editorial y lugar de edición.Por ejemplo:

GARDNER, M. (1988): Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas, Labor, Barcelona.

En el caso de artículos que se encuentran en una obra colectiva se indicará el autor(es), año, título del artículo (entrecomillas), título del libro (en cursiva), editorial y lugar de edición. Por ejemplo:

VILLARROYA, F. (1987): «Geometría: construir y explorar», en Aspectos didácticos de matemáticas, 2, ICE Universidadde Zaragoza, Zaragoza.

10. Dentro del texto, las referencias a la bibliografía se indicarán con el apellido del autor y el año entre paréntesis. Porejemplo: …supone un gran avance (Hernández, 1992).

Si el autor aparece explícitamente en el texto tan sólo se pondrá entre paréntesis el año. Por ejemplo: …según Rico(1993).

11. Posteriormente, se notificará a los interesados la aceptación o no del artículo, así como -–en caso afirmativo– la posi-ble fecha de su publicación. En ese momento los autores se comprometerán a retirar el artículo de otras publicacionesa las que lo hayan remitido. No se mantendrá correspondencia sobre las causas de no aceptación de un artículo.

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Señores, les ruego atiendan, con cargo a mi cuenta/libreta y hasta nueva orden, los recibos que periódica-mente les presentará la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) para elpago de mi suscripción a la revista SUMA.

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Fotocopiar y enviar a: Revista SUMA. ICE Universidad de Zaragoza. C./ Pedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA

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