35 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ความสมพนธและฟงกชน (เนอหาตอนท 6)

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจานวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทนา เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ

- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ

3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน

- ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B

- ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง

6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน - พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน

7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอรสของฟงกชนละฟงกชนอนเวอรส - กราฟของฟงกชนอนเวอรส


2

8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ - โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ

9. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธและฟงกชน 13. สอปฏสมพนธ เรอง อนเวอรสของความสมพนธและฟงกชนอนเวอรส 14. สอปฏสมพนธ เรอง โดเมนและเรนจ 15. สอปฏสมพนธ เรองพชคณตและการประกอบของฟงกชน 16. สอปฏสมพนธ เรองการเลอนแกน

คณะผจดทาหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนสาหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจ ดทาไดดาเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด เนอหา ตอนท 6 (6/7) หวขอยอย 1. อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส 2. กราฟของฟงกชนอนเวอรส จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจบทนยามของอนเวอรสของฟงกชน และฟงกชนอนเวอรส 2. ระบไดวาอนเวอรสของฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนหรอไม 3. หาฟงกชนอนเวอรสจากฟงกชนหนงตอหนงทกาหนดใหได 4. เขาใจความสมพนธระหวางโดเมนและเรนจของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส 5. วาดกราฟของฟงกชนอนเวอรสได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. บอกบทนยามของอนเวอรสของฟงกชน และฟงกชนอนเวอรสได 2. บอกไดวาอนเวอรสของฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนหรอไม 3. หาฟงกชนอนเวอรสจากฟงกชนหนงตอหนงทกาหนดใหได 4. วาดกราฟของฟงกชนอนเวอรสได


4

เนอหาในสอ


5

1. อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส


6

1. อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

เนองจากฟงกชนเปนความสมพนธแบบหนง ทาใหสามารถอนเวอรสของฟงกชนไดโดยสลบบทบาทระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงของฟงกชน ไดเชนเดยวกบการหาอนเวอรสของความสมพนธ ครจงควรทบทวนเรองการหาอนเวอรสของความสมพนธใหนกเรยนไดคนเคยกอน


7

ในทนจะกลาวถงฟงกชนจากสบเซตของจานวนจรงไปยงสบเซตของจานวนจรง ครควรทบทวนเรองฟงกชนใหนกเรยนอกครง กลาวคอ ถา f เปนฟงกชนและ ( , )x y fÎ จะสามารถเขยนสนๆ ไดในรป ( )y f x= ดงนนการแกสมการเพอหา x ททาให ( )f x c= เมอ c เปนคาคงตว กคอการหา x ททาให ( , )x c fÎ นนเอง และเมอทราบวาคอนดบใดอยใน f แลว จะไดทนทวาคอนดบทเกดจากการสลบทระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงนนกจะเปนสมาชกของอนเวอรสของฟงกชน f นนเอง ดงนนครควรย าอยางใจเยนวาเมอกาหนดฟงกชน f มาให จะสามารถหาอนเวอรสของฟงกชน f นนในฐานะท f เปนความสมพนธไดเสมอ

ในตอนนไดพยายามยกตวอยางเพอใหนกเรยนไดขอสรปวาการจบคระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงของโดเมนและเรนจของฟงกชนแบบใดจะสงผลใหอนเวอรสของฟงกชนนนกลายเปนฟงกชนดวย


8

มาถงตอนนนกเรยนควรจะไดขอสรปวาการจบคระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงของโดเมนและเรนจของฟงกชนแบบ many-to-one จะสงผลใหเมอสลบบทบาทระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงแลว การจบคกลายเปนแบบ one-to-many ซงไมเปนฟงกชน แตการจบคแบบหนงตอหนง จะสงผลใหการจบคหลงจากการสลบบทบาทดงกลาวเปนฟงกชน


9

มาถงตอนนจงสรปขอสงเกตทไดจากตวอยางเปนทฤษฎบท และไดใหขอสงเกตเกยวกบความสมพนธระหวางโดเมนและเรนจของฟงกชน กบโดเมนและเรนจของฟงกชนอนเวอรส

เมอมาถงตอนนครอาจใหขอสงเกตเพมเตมกบนกเรยนวา ถา r เปนความสมพนธ แลวจะใชสญลกษณ 1r- แทนอนเวอรสของความสมพนธ r อยางไรกดหาก f เปนฟงกชนสญลกษณ 1f - มกจะสงวนไวสาหรบอนเวอรสของฟงกชนทเปนฟงกชน หรอฟงกชนอนเวอรสเทานน หลงจากนกเรยนเขาใจบทนยามของฟงกชนอนเวอรสแลว ครควรพยายามยกตวอยางฟงกชนหนงตอหนงจาก A และ B ทเปนสบเซตของจานวนจรงหลายๆ ฟงกชน ใหนกเรยนชวยกนสงเกตและอภปรายจนไดขอสรปเหลาน 1. ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนง แลว 1f - ทเปนฟงกชนจะเปนฟงกชนหนงตอหนงดวย แต 1f - จะเปนฟงกชนหนงตอหนงจากเซตใดไปยงเซตใด พสจน บทพสจนนจะพสจนเฉพาะขอความทวา ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนง แลว 1f - ทเปนฟงกชนจะเปนฟงกชนหนงตอหนง สาหรบประเดนหลงขอใหนกเรยนชวยกนคดหาคาตอบเอง สมมตวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง จะไดวา 1f - เปนฟงกชน สาหรบ 11 f

x D -Î และ 12 fx D -Î ให

1 1

1 2( ) ( )f x f x- -= ดงนน 1 1

1 1( , ( ))x f x f- -Î และ 1 1

2 2( , ( ))x f x f- -Î ทาใหไดวา 1

1 1( ( ), )f x x f- Î และ

1

2 2( ( ), )f x x f- Î เนองจาก f เปนฟงกชนทาใหไดวาไมมการใชสมาชกตวหนาซากน ดงนน

1 2x x= นนคอ 1f -

เปนฟงกชนหนงตอหนง


10

2. ถา f เปนฟงกชนสมนยหนงตอหนง แลว 1f - ทเปนฟงกชนจะเปนฟงกชนสมนยหนงตอหนงดวย และ 1f - จะเปนฟงกชนสมนยหนงตอหนงจากเซตใดไปยงเซตใด พสจน สมมตวา f เปนฟงกชนสมนยหนงตอหนง จากขอ 1. ไดพสจนไปแลววา 1f - เปนฟงกชนหนงตอหนง เนองจาก f สมนยหนงตอหนง ดงนน f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B นนคอ

fD A= และ

fR B= ตอมา

เนองจาก 1f - เปนอนเวอรส ของฟงกชน f จงทาใหไดวา 1fD B- = และ 1f

R A- = ดงนน 1f - เปนฟงกชน

สมนยหนงตอหนงจาก B ไป A 3. ถา f เปนฟงกชนเพมแลว 1f - เปนฟงกชนเพม พสจน สมมตวา f เปนฟงกชนเพม สาหรบ 11 f

x D -Î และ 12 fx D -Î ให 1 1

1 2( ) ( )f x f x- -< ดงนน

1 1

1 1( , ( ))x f x f- -Î และ 1 1

2 2( , ( ))x f x f- -Î ทาใหไดวา 1

1 1( ( ), )f x x f- Î และ 1

2 2( ( ), )f x x f- Î เนองจาก f

เปนฟงกชนเพมทาใหไดวา 1 2

x x< นนคอ 1f - เปนฟงกชนเพม 4. ถา f เปนฟงกชนลดแลว 1f - เปนฟงกชนลด พสจน ใหนกเรยนชวยกนทาเปนแบบฝกหด 5. ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงแลว 1 1( )f f- - = พสจน สาหรบคอนดบ ( , )x y ใดๆ ( , )x y fÎ กตอเมอ 1( , )y x f -Î กตอเมอ 1 1( , ) ( )x y f - -Î


11

2. กราฟของฟงกชนอนเวอรส


12

ในชวงนไดยกตวอยางการหาฟงกชนอนเวอรสจากฟงกชนหนงตอหนงทกาหนดให และวาดกราฟของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรสบนระนาบ XY เดยวกน ซงจะมสมบตเชนเดยวกบกราฟของความสมพนธและอนเวอรสของความสมพนธ กลาวคอมเสนตรง y x= เปนแกนสมมาตร

เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางโดยใชฟงกชนทเปนฟงกชนหนงตอหนงในสอตอนอนๆ มาใหนกเรยนฝกหาฟงกชนอนเวอรส นอกจากนยงอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม โดยตวอยางทกาหนดใหตอไปนจะขามขนตอนการตรวจสอบวาฟงกชนทกาหนดมาใหเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม ซงขนตอนนขอใหนกเรยนระลกอยเสมอวาตองตรวจสอบกอน และขอใหนกเรยนชวยกนทาเปนแบบฝกหด

ตวอยาง 1 กาหนดให ; 0 1

( )1; 1

x xf x

x x

ìï £ <ï= íï + ³ïî จงหา 1f - โดยระบโดเมนและเรนจของ 1f - แลววาดกราฟ

ของ f และ 1f - บนระนาบ XY เดยวกน


13

วธทา จากฟงกชนทกาหนดใหตองแยกการพจารณาออกเปนสองกรณ กรณ0 1x£ < จะไดวา ( )y f x x= = เพอจะหาอนเวอรส ทาการสลบบทบาทระหวาง x และ y จะไดวา x y= เมอ 0 1y£ < ดงนนในกรณนจะไดวา 1( )f x x- = เมอ 0 1x£ < กรณ 1x ³ จะไดวา ( ) 1y f x x= = + เพอจะหาอนเวอรส ทาการสลบบทบาทระหวาง x และ y จะไดวา

1x y= + เมอ 1y ³ นนคอ 1y x= - เมอ 1 1x - ³ ดงนนในกรณนจะไดวา 1( ) 1f x x- = - เมอ

2x ³

ดงนน 1; 0 1

( )1; 2

x xf x

x x-

ìï £ <ï= íï - ³ïî โดยสามารถวาดกราฟของ f และ 1f - ทอยคนละระนาบ และ กราฟของ

f และ 1f - ทอยบนระนาบ XY เดยวกนไดดงรป จากกราฟของ 1f - จะเหนไดวา 1 [0,1) [2, )

fD - = È ¥ และ 1 [0, )

fR - = ¥

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 1 2 3 4

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

f f -1


14

ตวอยาง 2 กาหนดให 2( ) ( 1)f x x=- - ทก 1x £ จงหา 1f - โดยระบโดเมนและเรนจของ 1f - แลววาดกราฟของ f และ 1f - บนระนาบ XY เดยวกน วธทา จากโจทยจะไดวา 2( 1)y x=- - เมอ 1x £ เพอจะหาอนเวอรส ทาการสลบบทบาทระหวาง x และ y จะไดวา 2( 1)x y=- - เมอ 1y £ นนคอ 2( 1)y x- = - ทาใหมเงอนไขวา 0x £ และ 1y £ คานวณตอมาจะได

1y x- = - แต 1y £ ดงนน 1y x= - - ในกรณนจะไดวา 1( ) 1f x x- = - - โดยท

1 ( , 0]f

D - = -¥ และ 1 ( ,1]f

R - = -¥ และวาดกราฟของ f และ 1f - บนระนาบ XY เดยวกนไดดงรป

-3 -2 -1 1

-4

-3

-2

-1

1

2

f

f -1

y=x


15

ในชวงนไดยกตวอยางการหา 1f - เมอกาหนดให ( )ax b

f xcx d

+=

+ โดยท , ,a b c และ d เปนจานวนจรงทไม

เทากบศนย

สาหรบตวอยางนถา b และ d ไมเปนศนยพรอมกนกยงคานวณ 1( )f x- ไดเชนกน อยางไรกดสงทสาคญยงประการหนงสาหรบตวอยางน คอ การรบประกนวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง ซงไดยกตวอยางไวในคมอสอตอนท 4

ฟงกชนเบองตน วา ( )ax b

f xcx d

+=

+ จะเปนฟงกชนหนงตอหนง เมอ 0ad bc- ¹ ในทนจะขอแนะนาการวาด

กราฟของฟงกชนในลกษณะน โดยพจารณาจากกรณทไมยงยากกอน กลาวคอ จะวาดกราฟของฟงกชน 1( )f x

x=

ซงครอาจใหนกเรยนชวยกนลงรอยทางเดนของจด เพอสงเกตคาของฟงกชนเมอ 0x < และ 0x > ซงจะไดวากราฟจะมลกษณะดงรป กราฟในลกษณะนจะเรยกวาไฮเพอรโบลามมฉาก สงเกตวากราฟจะไมมทางตด หรอสมผสแกน X และ แกน Y โดยจะเรยกแกนทงสองนวาเสนกากบ กลาวคอกากบ “ความกวาง” ของไฮเพอรโบลาไมใหมากเกนเสนกากบทงสองน

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2


16

นอกจากนยงอาจกลาววาจด (0, 0) เปนจดศนยกลางของไฮเพอรโบลามมฉากรปน เมอมาถงตอนนครอาจใหนกเรยน

ชวยกนคดตอวา หากมการเปลยนรปแบบของฟงกชน 1( )f x

x= ใหอยในรป 1

( )g x kx

= + เมอ k เปนจานวน

จรงทไมใชศนย จะไดวา กราฟของไฮเพอรโบลามมฉากรปเดมจะเลอนในแนวดง k หนวย โดยถา 0k > จะเลอนขน แตถา 0k < จะเลอนลง นนคอจดศนยกลางของไฮเพอรโบลาจะเปลยนไปอยทจด (0, )k และเสนกากบจะกลายเปนเสนตรง y k= และแกน Y ดงรป

ในขณะทการเปลยนรปแบบของฟงกชน 1( )f x


( )h xx h

=-

เมอ h เปนจานวนจรงทไมใชศนย

จะไดวา กราฟของไฮเพอรโบลามมฉากรปเดมจะเลอนในแนวนอน h หนวย โดยถา 0h > จะเลอนไปทางขวา แตถา 0h < จะเลอนไปทางซาย นนคอจดศนยกลางของไฮเพอรโบลาจะเปลยนไปอยทจด ( , 0)h และเสนกากบจะกลายเปนเสนตรง x h= และแกน X ดงรป

ดงนนหากเปลยนรปแบบของฟงกชน 1( )f x


( )r x kx h

= +-

เมอ h และ k เปนจานวนจรงท

ไมใชศนย จะไดวา จดศนยกลางของไฮเพอรโบลาจะเปลยนไปอยทจด ( , )h k และเสนกากบจะกลายเปนเสนตรง x h= และเสนตรง y k= ดงนนในกรณท h และ k เปนจานวนจรงบวกจะไดกราฟของฟงกชน r ดงรป

k > 0

k < 0

h > 0 h < 0


17

เมอมาถงตอนนนกเรยนนาจะพอเชอมโยงไดวา หากเปลยนรปแบบของฟงกชน ( )ax b

f xcx d

+=

+ ในกรณท c และ

ad bc- เปนจานวนจรงทไมเทากบศนย ใหอยในรปแบบทคลายกบฟงกชน ฟงกชน 1( )r x k

x h= +

- กจะ

สามารถรางกราฟของฟงกชนนไดเชนกน การเปลยนรปแบบดงกลาวทาไดโดย

2

1( ) 1

d b d b dxax b a a bc ad acc a c a cf x

cx d c d c d d bc adcx x x

c c c

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷+ + - -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç+ -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= = = + = +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷+ -ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷+ + +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

จะเหนวามพจน 2

bc ad

c

- มาคณอยขางหนา ใหนกเรยนชวยกนอภปรายวา พจนนมผลอยางไรตอลกษณะของกราฟ

โดยเรมจากการพจารณาฟงกชนในรป 1( )f x a

x

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø ในกรณท a เปนจานวนจรงบวก และในกรณท a เปนจานวน

จรงลบกอน


18

สาหรบปญหาชวนคดททงไวทายสอชดน นกเรยนสามารถชวยกนอภปรายโดยพจารณาจากตวอยางเพมเตมทไดใหไวในคมอของสอตอนน ซงจะเหนไดวา กราฟของ f และ 1f - ไมจาเปนตองตดกนเสมอ ดงเชนในตวอยาง 2 ขางตน นอกจากนนกเรยนนาจะไดคาตอบดวยวาถากราฟของ f และ 1f - ตดกนแลวจดตดไมจาเปนตองอยบนเสนตรง y x= กลาวคอถากราฟของฟงกชน f ทมสมมาตรกบเสนตรง y x= อยแลวจดตดของ f และ

1f - จะอยนอกเสนตรง y x= ได เชน ( )f x x= - หรอ 1( )f x

x= เปนตน สงเกตวาตวอยางทงสองนม

สมบตวา 1( ) ( )f x f x-= ทก 1f fx D D -Î Ç ครและนกเรยนควรชวยอภปรายกนตอวา หาก ม

1f fx D D -Î Ç ท 1( ) ( )f x f x-¹ และกราฟของ f และ 1f - ตดกนแลวจดตดจาเปนตองอยบนเสนตรง

y x= หรอไม


19

แบบฝกหดเพมเตมเรองอนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส และกราฟของฟงกชนอนเวอรส สาหรบฟงกชน f ทกาหนดใหตอไปน จงแสดงวาม 1f - จากนนจงหา 1f -

โดยระบโดเมนและเรนจของ 1f - แลววาดกราฟของ f และ 1f - บนระนาบ XY เดยวกน 1. ( ) 1f x x= - ทก 1x £

2. 1 ; 0 1

( )1 1; 1

x xf x

x x

ìï - £ £ïï= íï + - >ïïî

3. 1; 1

( )1; 0

x xf x

x x

ìï + ³ï= íï - <ïî

4. 2( ) 1f x x= - เมอ 0x ³ 5. 2( ) 2 5f x x x= + + เมอ 1x ³-


20

สรปสาระสาคญประจาตอน


21

สรปสาระสาคญประจาตอน


22

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


23

แบบฝกหดระคน

1. กาหนดให ( )f x x= และ 1 2{ | ( ) ( ( )) 2 0}A x f x f x-= Î + - = จงเขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชก 2. กาหนดให f และ g เปนฟงกชนซง [0, )

fD = ¥ โดยท 1 2( )f x x- = ทก 0x ³ และ

1 2( ) ( ( )) 1g x f x- = + ทก 0x ³ ถา 0a > ทาให ( )( ) 19f g a+ = แลวจงหาคาของ 1 1( )4

af g- -

æ ö÷ç ÷+ ç ÷ç ÷çè ø

3. กาหนดให 1 ; 0 1

( )1 1; 1

x xf x

x x

ìï - £ £ïï= íï + - >ïïî จงหาจานวนจรง 0a ³ ททาให 1( )f a a- =

4. สาหรบจานวนจรง a ทไมเทากบศนย จงหา 1( )f x- เมอกาหนดให ( )f x ax b= + จงหา 1( )f x- พรอมทงระบโดเมนและเรนจของ 1f - เมอกาหนดให

5. 3( )

4

xf x

x

-=

-

6. ;

2( )

1;

2

nn E

f n

nn O

+

+

ìïï Îïïïï= íïï -ïï Îïïî

เมอ E+ คอเซตของจานวนนบทเปนจานวนค และ O+ คอเซตของจานวนนบทเปนจานวนค

7. 2

3 ; 1( )

3 ; 1

x xf x

x x

ìï - <ïï= íï - ³ïïî

8. ( )1 | |

xf x

x=

+


24

จากกราฟของฟงกชนทกาหนดใหจงวาดกราฟของฟงกชนอนเวอรสบนระนาบ XY เดยวกน 9. 10.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-2

-1

1

2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


25

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


26

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองอนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส และกราฟของฟงกชนอนเวอรส

1. 1 2( ) 1f x x- = - เมอ 0x ³ ; 1 [0, )f

D - = ¥ ; 1 ( ,1]f

R - = -¥ ;

2. 12

1 ; 0 1( )

2 2; 1

x xf x

x x x-

ìï - £ £ïï= íï - + >ïïî; 1 [0, )

fD - = ¥ ; 1 [0, )

fR - = ¥ ;

-3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

f

f -1

y = x

-1 0 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1 0 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1 0 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

f

f -1

y = x

f f -1


27

3. 11; 2

( )1; 1

x xf x

x x-

ìï - ³ï= íï + <-ïî; 1 ( , 1) [2, )

fD - = -¥ - È ¥ ; 1 ( , 0) [1, )

fR - = -¥ È ¥ ;

4. 1( ) 1f x x- = + เมอ ; 1 [ 1, )

fD - = - ¥ ; 1 [0, )

fR - = ¥ ;

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

f

f -1

y = x

-1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

f

f -1

y = x


28

5. 1( ) 1 4f x x- = - + - เมอ ; 1 [4, )f

D - = ¥ ; 1 [ 1, )f

R - = - ¥ ;

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. {1}A = 2. 21 3. 12

หรอ 2 4. 2

1( )x b

f xa

- -= เมอ 0x ³

5. 2

1

2

4 3( )

1

xf x

x- +

=+

เมอ 0x ³ ; 1 [0, )f

D - = ¥ ; 1 [3, 4)f

R - =

6. 12 ;

( )1 2 ; {0}

n nf n

n n

+-

-

ìï Îïï= íï - Î Èïïî

เมอ + คอเซตของจานวนจรงบวก และ - คอเซตของจานวนจรง

ลบ; 1fD - = ; 1f

R - =

7. 13 ; 2

( )3 ; 2

x xf x

x x-

ìï - >ïï= íï - £ïïî; 1fD - = ; 1f

R - =

8. 1; 0 1

1( ); 1 0

1

xx

xf xx

xx

-

ìïï £ <ïïï -= íïï - < <ïï +ïî

; 1 ( 1,1)f

D - = - ; 1fR - =

2 4 6 8

2

4

6

8

10

f

f -1

y = x


29

9. 10.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-2

-1

1

2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

f

f -1

y = x

f

f -1

y = x


30

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 92 ตอน


31

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทนา เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต

เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทนา เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จานวนจรง

บทนา เรอง จานวนจรง

สมบตของจานวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจานวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจานวนเบองตน บทนา เรอง ทฤษฎจานวนเบองตน

การหารลงตวและจานวนเฉพาะ

ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทนา เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


32


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา เรอง ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกกาลง

ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชกาลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทนา เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

กาหนดการเชงเสน บทนา เรอง กาหนดการเชงเสน

การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ลาดบและอนกรม บทนา เรอง ลาดบและอนกรม

ลาดบ

การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของลาดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


33


การนบและความนาจะเปน .

บทนา เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทนา เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทนา เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการคานวณทางสถต 1

โปรแกรมการคานวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

35 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...

Documents

Transcript of 35 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...