45

3 Mechanická práca a energia

U áut je bežné hodnotiť ich výkon

v jednotke kone. Napríklad podľa

výrobcu, model auta Peugeot 107 má

výkon 68 koní. Na súťažiach F1 sú

od sezóny 2007 používané motory

s výkonom 750 koní. Aká je to

jednotka?

Základné pojmy:

práca, výkon, účinnosť, dôsledok konania práce, kinetická energia, potenciálna energia,

mechanická energia, zákon zachovania mechanickej energie

V prechádzajúcej časti sme sa zaoberali príčinou pohybu telies, ktorou bola sila. V tejto

kapitole sa budeme zaoberať dráhovým účinkom sily, t.j. pôsobením sily na teleso

po dráhe – mechanickou prácou.

Bude nás zaujímať, čo je dôsledkom pôsobenia sily na teleso. Zadefinujeme veličiny,

ktoré s touto problematikou súvisia a uvedieme návody ako riešiť úlohy z tejto oblasti.

Ak stála sila F pôsobí na teleso po dráhe s (posúva ho po tejto dráhe), pričom jej smer je

rovnaký ako smer dráhy, potom sila koná mechanickú prácu, ktorá je daná vzťahom

W = Fs. (3.1)

Ak stála sila F zviera s dráhou s uhol , potom práca je daná

W = Fs cos, (3.2)

kde F cos = F´ je priemet sily do smeru dráhy (Obr.3.1).

46

Práca je skalárna veličina a jej jednotkou je 1 Joule, (W) = J.

Často nás zaujíma ako rýchlo je práca vykonávaná. Rýchlosť konania práce hodnotí

výkon, ktorý je definovaný

t

WP , (3.3)

kde W je práca rovnomerne vykonaná za dobu t. Jednotkou výkonu v SI je watt,

(P) = W. Staršou jednotkou používanou pri hodnotení výkonov áut je 1 kôň,

1 k = 735,5 W.

Práca sa pomocou výkonu dá vyjadriť v tvare

PtW . (3.4)

Pre výkon platí aj odvodený vzťah

FvP . (3.5)

Vzťah (3.5) platí len v prípade, ak sila a rýchlosť majú rovnaký smer.

Príkon Pp vyjadruje ako rýchlo do daného zariadenia prichádza energia z okolia, resp.

je to výkon, ktorý stroju dodávame. Jednotkou príkonu je watt, (Pp) = W.

Podiel výkonu P a príkonu Pp sa nazýva účinnosť zariadenia

PP

P

(3.6)

a vyjadruje sa v percentách.

Obr. 3.1

47

Pohybový stav telesa vzhľadom na zvolenú inerciálnu vzťažnú sústavu charakterizuje

skalárna veličina kinetická (pohybová) energia. Je definovaná vzťahom

2

2

1mvE k

, (3.7)

kde m je hmotnosť telesa a v je jeho rýchlosť. Jednotkou kinetickej energie je Joule,

(Ek) = J.

So zmenou kinetickej energie súvisí práca:

Zmena kinetickej energie sa rovná práci, ktorú koná výslednica všetkých pôsobiacich síl

na teleso. Dôsledkom konania práce sa mení kinetická energia telesa, čo vyjadruje

vzťah (3.8).

Sila koná prácu a premiestňuje teleso po dráhe, pričom sa mení jeho rýchlosť z hodnoty

v1 na v2 a tým sa mení jeho kinetická energia z Ek1 na Ek2

WmvmvEEE 2

1

2

22

1

2

1k1k2k

. (3.8)

Ak by sme dvíhali teleso z výšky h1 o hmotnosti m do výšky h2 konštantnou rýchlosťou

v, opäť by sme konali prácu. V tomto prípade sa u telesa nemení rýchlosť (v = konšt.),

ale jeho výška (poloha), v ktorej sa nachádza. Polohu telesa vo výške h charakterizuje

potenciálna (polohová) energia Ep. Je to skalárna veličina a jej jednotkou je Joule,

(Ep) = J. Potom

WEEEEE p2p1p1p2p (3.9)

Na rozdiel od kinetickej energie, potenciálna energia môže byť vyjadrená rôznym

spôsobom, závisí to od sústavy (poľa), v ktorej polohu telesa popisujeme. Okrem toho,

pri určovaní potenciálnej energie je potrebné zvoliť tzv. nulovú hladinu potenciálnej

energie, pre ktorú je Ep = 0 J.

V prípade tiažového poľa Zeme sa často za nulovú hladinu potenciálnej energie volí

povrch Zeme. Vzhľadom na túto hladinu potom potenciálna energia telesa vo výške

h je

48

Ep= mgh, (3.10)

kde g = 9,81 m/s2 je tiažové zrýchlenie.

Súčet kinetickej a potenciálnej energie sa nazýva mechanická energia E

E = Ek + Ep. (3.11)

V súvislosti s mechanickou energiou platí zákon zachovania mechanickej energie,

ktorý hovorí:

Súčet kinetickej a potenciálnej energie (mechanická energia) v každom bode izolovanej

sústavy sa zachováva.

Matematicky zápis tohto zákona je

E = Ek + Ep = konšt. (3.12)

Pod izolovanou sústavou rozumieme sústavu, v ktorej na teleso nepôsobia

sily prostredia (napr. trenie). Predpokladá sa, že v takejto sústave sa

kinetická energia mení len na potenciálnu energiu a naopak, nie na iné

formy energie, pričom nenastávajú žiadne straty energie do okolia.

49

o Riešené príklady

Príklad 3.1 Elektrický rušeň pôsobí na vlak pri rozbehu po vodorovnej trati ťažnou

silou 600 000 N. Vlak sa rozbieha rovnomerne zrýchleným priamočiarym pohybom

a za 2 minúty dosiahne rýchlosť 10 m/s. Akú veľkú prácu vykoná rušeň? Trenie

a odpor vzduchu zanedbajte.

t = 2 min. = 120 s

v = 10 m/s

F = 600 000 N

W = ?

Riešenie:

Rušeň pôsobí na vlak silou, ktorá je konštantná, po priamej dráhe s. Koná teda prácu.

Keďže smer sily je totožný so smerom dráhy pre prácu platí vzťah W = Fs. Aby sme

mohli vypočítať prácu sily rušňa, potrebujeme vedieť dráhu s.

Pôsobením sily sa vlak pohybuje rovnomerne zrýchleným priamočiarym pohybom,

ktorého rýchlosť a dráha

2

0

0

2

1attvs

atvv

Rušeň bol na začiatku v pokoji (v0 = 0), potom

2

2

1ats

atv

Na vyjadrenie dráhy potrebujeme vedieť zrýchlenie, ktoré rušeň nadobudne

pôsobením sily F. To vyjadríme z rovnice pre rýchlosť pohybu vlaku v tvaret

va .

Dosadením do rovnice pre dráhu a úpravou vts2

1 . Potom práca

vtFW2

1

Číselne J .. 610360120102

1600000 W

Rušeň vykoná prácu 360 MJ.

Príklad 3.2 Výťah s hmotnosťou 500 kg sa pohybuje smerom nahor so zrýchlením

2 m/s2. Akú prácu vykoná motor výťahu na dráhe 20 m?

50

m = 500 kg

a = 2 m/s2

d = 20 m

W = ?

FG

FL

Obr. 3.2

Riešenie:

Na výťah pôsobí tiažová sila GF

a sila motora výťahu mF

. Výsledná sila,

ktorá spôsobuje pohyb výťahu so zrýchlením a

smerom nahor je Gm FFF

. Pre

veľkosť výslednice síl

F = Fm – FG (1).

Za kladný smer pohybu uvažujeme pohyb výťahu nahor, preto tiažová sila

má opačné znamienko.

Pre silu motora výťahu z rovnice (1) vyplýva Fm = F + FG = ma + mg. Motor výťahu

pôsobí na výťah silou Fm po priamej dráhe d. Potom pre prácu motora podľa vzťahu

(3.1)

W = Fd = (ma + mg).d

Číselne práca W = (500.2 + 500.9,81).20 = 118 000 J

Motor výťahu vykoná prácu 118 kJ.

Príklad 3.3 Remenica elektromotora prenáša pomocou remeňa ťahovú silu 160 N.

Priemer remenice je 80 mm a motor vykonáva 1440 otáčok za minútu. Vypočítajte

výkon elektromotora.

F = 160 N

f = 1440 min-1

= 24 s-1

d = 80 mm = 0,08 m

P = ?

Riešenie:

Na výpočet výkonu elektromotora použijeme vzťah P = Fv, v ktorom vystupuje sila

a rýchlosť. Sila je daná a na výpočet rýchlosti pôsobiska sily použijeme vzťah v = r.

V tomto prípade je rýchlosť pôsobiska sily daná obvodovou rýchlosťou. Uhlovú

51

rýchlosť vyjadríme pomocou frekvencie motora f, =2f. Potom výkon

P = Fv = Fr = F2fr,

kde 2

dr je polomer remenice.

Číselne výkon W,,

... 6089642

080242160 P

Výkon elektromotora je približne 965 W.

Príklad 3.4 Športové auto hmotnosti 600 kg sa rozbieha rovnomerne zrýchleným

pohybom. Aký výkon má jeho motor, ak autu udelí rýchlosť 360 km/h na dráhe 600 m?

Na auto počas pohybu pôsobí odporová sila, ktorá tvorí 40% tiaže auta.

m = 600 kg

s = 600 m

v = 360 km/h = 100 m/s

F = 0,4 G (1)

P = ?

Riešenie:

Výkon motora športového auta je daný vzťahom

P = Fm.v,

kde Fm je sila motora auta. Pohyb auta ovplyvňuje aj odporová sila prostredia,

ktorá pôsobí na auto opačným smerom. Potom výsledná sila pôsobiaca na auto je daná

vektorovým súčtom sily motora a odporovej sily

om FFF

.

Pre jej veľkosť F = Fm – Fo.

Vo vzťahu pre veľkosť výslednej sily sme dosadili pre smer odporovej sily

znamienko mínus, pretože pôsobí opačným smerom na auto.

Sila motora Fm = F + Fo. (2)

Výsledná sila F spôsobuje pohyb auta so zrýchlením a, potom F = ma. (3)

Dosadením za sily (1) a (3) do (2) dostaneme

Fm = ma + 0,4G.

Tiaž je G = mg. Zrýchlenie vyjadrené pomocou dráhy a rýchlosti s

va

2

2

1 .

52

Zrýchlenie sme dostali úpravou vzťahu a

vs

2

2

1 z príkladu 2.1.

Výkon motora

vmgs

vmvmgmaP ).,().,( 40

240

2

W).,..,.

( 735440100819600406002

100600

2

P

Výkon motora športového auta je približne 0,74 MW.

Príklad 3.5 Za akú dobu zdvihne rovnomerným pohybom žeriav, ktorého elektromotor

má príkon 9 kW, bremeno hmotnosti 12 000 kg do výšky 9 m, ak účinnosť celého

zariadenia je 65,4%?

m = 12 000 kg

h = 9 m

Pp = 9 kW

= 65,4%

t = ?

Riešenie:

Pri výpočte doby, za ktorú žeriav zdvihne bremeno do výšky 9 m vyjdeme zo vzťahu

pre účinnosť

PP

P , (1)

kde výkon P predstavuje prácu, ktorú vykoná žeriav pri rovnomernom premiestení

bremena za dobu t

t

WP . (2)

V tomto prípade dôsledkom konania práce sa mení výška bremena, resp. potenciálna

energia bremena vzhľadom na povrch Zeme. Veľkosť vykonanej práce vyjadríme

vzťahom (3.9)

p1p2p EEEW . (3)

Potenciálna energia na povrchu Zeme Ep1 = 0 a vo výške h Ep2 = mgh (4).

Dosadením (4) a (3) do rovnice (2) dostaneme

t

mgh

t

mgh

t

EEP

0p1p2. (5)

53

Dosadením (5) do vzťahu (1) pre účinnosť získame rovnicu

tP

mgh

p

,

z ktorej si odvodíme vzťah pre dobu, za ktorú bude bremeno zodvihnuté do výšky h.

min. 3 s 180654,0.10.9

9.81,9.120003

p

P

mght

Pri číselnom vyjadrení účinnosti berieme do úvahy, že je vyjadrená v %,

preto skôr ako za účinnosť dosadíme príslušnú číselnú hodnotu, musíme

ju predeliť 100 %. V tomto prípade číselná hodnota účinnosti je

= 0,654.

Bremeno bude zdvihnuté do výšky 9 m za 3 minúty.

Príklad 3.6 Na teleso s hmotnosťou 10 kg v pokoji začala pôsobiť sila veľkosti 5 N.

Akú kinetickú energiu malo teleso 4 sekundy od začiatku pohybu?

m = 10 kg

F = 5 N

v0 = 0 m/s

t = 4 s

Ek = ?

Riešenie:

Kinetickú energiu telesa si vyjadríme zo vzťahu (3.7)

2

2

1mvE k

. (1)

Na teleso začala pôsobiť konštantná sila, preto sa teleso bude pohybovať

priamočiarym rovnomerne zrýchleným pohybom so zrýchlením a. Jeho rýchlosť

vieme popísať rovnicou v = at + v0. Teleso bolo na začiatku v pokoji preto počiatočná

rýchlosť v0 = 0, potom platí

v = at. (2)

Zrýchlenie vyjadríme zo vzťahu pre silu m

Fa . (3)

Dosadení (3) do (2) získame rovnicu pre rýchlosť

tm

Fv . (4)

Po dosadení (4) do (1) dostaneme upravený vzťah pre kinetickú energiu

54

J 2010.2

4.5

22

1 22222

k

m

tFt

m

FmE .

Teleso má v 4 sekunde kinetickú energiu 20 J.

Príklad 3.7 Vo vzduchovke pôsobí na náboj s hmotnosťou 4 g stlačený vzduch

priemernou silou 200 N. Akou rýchlosťou opustí náboj 60 cm dlhú hlaveň?

m = 4 g

F = 200 N

l = 60 cm

v = ?

Riešenie:

Na náboj v hlavni vzduchovky pôsobí vzduch silou F, ktorá ho po výstrele presúva

v hlavni po dráhe 60 cm. Sila koná prácu v dôsledku čoho sa zmení rýchlosť náboja

z v0 = 0 na rýchlosť v, teda sa mení kinetická energia náboja z Ek0 na Ek1. Matematicky

to zapíšeme v tvare k0k1k EEEW .

Použitím vzťahu pre kinetickú energiu (3.7), si prácu vyjadrime v tvare

2

0

2

2

1

2

1mvmvW .

Keďže počiatočná rýchlosť je nulová, je nulová aj počiatočná kinetická energia. Potom

práca 2

2

1mvW .

Odtiaľ si vyjadríme rýchlosť náboja m

Wv

2 . (1)

Pre prácu, podľa vzťahu (3.1), platí W = Fl. Dosadením do (1) vypočítame rýchlosť,

ktorou opustí náboj hlaveň

m/s , ,

,..948244

0040

6020022

m

Flv .

Náboj opustí hlaveň rýchlosťou 245 m/s.

Príklad 3.8 Lietadlo má hmotnosť 2000 kg. Akú prácu vykonal jeho motor od štartu

do okamihu, keď lietadlo bolo vo výške 1000 m a malo rýchlosť 720 km/h?

m = 2000 kg

55

v0 = 720 km/h

h = 1000 m

W = ?

Riešenie:

Na lietadlo pri štarte začne pôsobiť sila, ktorá spôsobí, že sa dostane do výšky 1000 m

a nadobudne rýchlosť 720 km/h. U lietadla sa od štartu až po tento okamih zmenila

rýchlosť z v0 = 0 na rýchlosť v a poloha z h0 = 0 m na h. Teda dôsledkom konania

práce motora sa u lietadla zmenila jeho kinetická a potenciálna energia

pk EEW . (1)

Zmena kinetickej energie je k0k1k EEE . (2)

Zmena potenciálnej energie p0p1p EEE . (3)

Dosadíme (2) a (3) do rovnice (1)

p0p1k0k1 EEEEW ,

pričom platí že Ek0 = 0, Ep0 = 0.

Za nulovú potenciálnu hladinu (Ep0 = 0) sme zvolili povrch Zeme.

Potom práca

J 620000 591000.81,9.2000200.20002

1

2

1 22

p1k1 mghmvEEW .

Motor lietadla vykonal prácu 59,62 MJ.

Príklad 3.9 Teleso hmotnosti 100 g je vyhodené z povrchu Zeme zvislo nahor

začiatočnou rýchlosťou 30 m/s. Vypočítajte maximálnu výšku, ktorú dosiahne počas

svojho pohybu. Aká bola jeho kinetická energia na začiatku pohybu?

56

v0 = 30 m/s

m = 100 g

h = ?

Ek0 = ?

V0

E E Ek0 p0 0 + =

=0Ep0

h

E E EE E

k1 p1

k1 p1

+ = =

1

Obr. 3.3

Riešenie:

Teleso je vrhnuté zvislo nahor s počiatočnou rýchlosťou v0. Počas jeho pohybu

sa mení jeho rýchlosť a výška vzhľadom na povrch Zeme. Zaujíma nás jeho kinetická

energia na počiatku pohybu a maximálna výška, ktorú dosiahne, resp. potenciálna

energia na konci pohybu. V tomto prípade môžeme pri výpočte použiť zákon

zachovania mechanickej energie. Preto si najprv určíme nulovú potenciálnu hladinu

Ep0 = 0, ktorú preložíme cez povrch Zeme. Vzhľadom na ňu popíšeme celkovú

mechanickú energiu E1 vo výške h

p1k11 EEE , (1)

kde Ek1 = 0, pretože v maximálnej výške v1 = 0 (teleso sa zastaví).

Celková mechanická energia E0 na povrchu Zeme

p0k00 EEE , (2)

kde Ep0 = 0. Podľa zákona zachovania mechanickej energie platí, že

konšt.10 EE (3)

Dosadením (1) a (2) do (3) dostaneme

p1k0 EE . (4)

Potenciálne energia telesa vo výške h je Ep1 = mgh a kinetická energia na začiatku

pohybu je 2

02

1mvE k0

. Následným dosadením do rovnice (4) dostaneme vzťah

2

02

1mvmgh ,

z ktorého si odvodíme maximálnu výšku m ,,.

87458192

30

2

22

0 g

vh .

Pre kinetickú energiu na začiatku pohybu platí

57

J .,k0 4530102

1

2

1 22

0 mvE .

Keďže platí zákon zachovania mechanickej energie, potom potenciálna

energia na konci pohybu je 45 J. Rovnako celková mechanická energia

telesa v akejkoľvek výške je 45 J.

Teleso pri svojom pohybe dosiahne výšku 45,9 m a jeho kinetická energia

na začiatku pohybu bola 45 J.