3. Geometria · átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara?...

1

3. Geometria

I. Feladatok 1. Egy körben adott két, egymásra merőleges átmérő. Az egyik végpontból húzott húrt a másik

átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara?

Kalmár László Matematika Verseny 1996; 8. osztály, országos döntő

2. Egy téglalapot négy téglalapra vágtunk szét, ezek területe: 3, 4, 5 és 푥. Mennyi az 푥 értéke?

Kalmár László Matematika Verseny 2007; 8. osztály, megyei forduló

3. Az ábrán látható félkör területe 푡. Az 퐴퐵퐶퐷 félkört a 퐵 és 퐶 pontok három, egyenlő hosszú ívre bontják. Mennyi az 퐴퐵퐶 síkidom területe?


2

4. Az 퐴퐵퐶퐷 trapéz két párhuzamos oldala 퐴퐵 és 퐶퐷. Igazoljuk, hogy

퐴퐶 + 퐵퐷 = 퐴퐷 + 퐵퐶 + 2퐴퐵 ∙ 퐶퐷.


5. Az 퐴퐵퐶퐷 paralelogramma 퐴퐵, illetve 퐵퐶 oldalára kifelé megszerkesztjük az 퐴퐵푃, illetve 퐵퐶푄 szabályos háromszögeket. Igazoljuk, hogy 푃푄퐷 is szabályos háromszög.


6. Az 퐴퐵퐶 háromszög 퐶-nél lévő szöge derékszög. A 퐵 csúcsból induló szögfelező az 퐴퐶 oldalt a 푃, a háromszög köré írt kört a 푄 pontban metszi. Mekkorák a háromszög szögei, ha 퐵푃 = 2푃푄?

KöMaL 1997/december; Gy. 3170.

7. Ez derékszögű háromszög befogóihoz tartozó súlyvonalak hossza 푠 illetve 푠 , az átfogó 푐. Bizonyítsuk be, hogy

32푐 < 푠 + 푠 ≤

√102

푐.

KöMaL 1993/november; F. 2983.

8. Rajzoljuk meg az 퐴퐵퐶 háromszög 퐴퐵 oldalát 퐵-ben érintő és 퐶-n átmenő, a 퐵퐶 oldalt 퐶-ben érintő és 퐴-n átmenő, valamint a 퐶퐴 oldalt 퐴-ban érintő és 퐵-n átmenő kört. Bizonyítsuk be, hogy a három kör egy közös ponton megy át.

KöMaL 1990/október; Gy. 2651.

9. Egy négyzet alapú egyenes gúla alapéle és magassága is 40cm. Az oldallapokon szeretnénk egy vonalat rajzolni az alaplap egyek csúcsából az alaplap átellenes csúcsába. Milyen hosszú a legrövidebb ilyen vonal?

KöMaL 2005/december; C.833.

10. 5 × 10 × 20 cm élhosszúságú téglákból hézagmentesen felépítünk egy téglatestet. Igazoljuk, hogy ugyanezt úgy is felépíthetjük ezekből a téglákból, hogy azonos hosszúságú éleik mind párhuzamosak legyenek.

KöMaL 2009/március; B.4163.

11. Egy 푎 = 2 oldalú négyzet két szomszédos oldala mint átmérő fölé befelé félköröket rajzolunk. Határozzuk meg az egyik félkört és a négyzet oldalát belülről érintő, a másik félkört kívülről érintő kör sugarát.

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1969; haladók, 1. forduló

12. Egy háromszög egyik súlyvonalát tükrözzük a vele közös csúcsból induló szögfelezőre. Bizonyítsuk be, hogy a tükörkép a csúccsal szemközti oldalt a csúcsot alkotó oldalak négyzeteinek arányában osztja.

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1973; haladók, szakosított matematika I.; 1I. forduló

3

13. Négyzetrácsos füzetlapon a négyzetoldalak hosszát tekintsük egységnek. Rajzoljunk rá egy téglalapot, melynek csúcsai a rácspontokra illeszkednek. Igaz-e, hogy minden esetben egész szám az ilyen téglalap területe?

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1987; haladók, 1. forduló

14. A 푡 területű, 푚 magasságú 퐴퐵퐶퐷 húrtrapéz alapjai 퐴퐵 és 퐶퐷, az átlók metszéspontja 푀, a trapéz körülírt körének középpontja 푂. A 퐵퐶 oldal felezőpontja 퐸, az 퐴퐷 oldalé 퐹. Bizonyítsuk be, hogy ha 푡 = 푚 , akkor az 푂퐸푀퐹 négyszög rombusz.

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2005/2006; haladók, II: kategória, 2. forduló

15. Az 퐴퐵퐶퐷퐸퐹 hatszögre igaz, hogy minden szöge 120°-os, 퐴퐵 oldala 2cm, 퐵퐶 oldala 7 cm, 퐶퐷 oldala 3 cm és 퐷퐸 oldala 4 cm hosszú. Milyen hosszúak az 퐸퐹, illetve az 퐹퐴 oldalak?

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011; kezdők, 1. forduló

16. Az 퐴퐵퐶퐷 négyszög 퐴퐵, 퐵퐶, 퐶퐷, 퐷퐴 oldalának a kezdőponthoz közelebbi harmadolópontja legyen 푃, 푄, 푅, 푆. Bizonyítsuk be, hogy az 퐴퐶 és 퐵퐷 átlók felezőpontját összekötő szakasz háromszor akkora, mint a 푃푅 és 푄푆 átlók felezőpontját összekötő szakasz.

OKTV 1970; 1. forduló

17. Adott félkörbe négyzetet írtunk úgy, hogy a négyzet két csúcsa a félkör átmérőjén, a másik két csúcsa a félköríven van. Ugyanebbe a félkörbe a négyzettel egyenlő területű derékszögű háromszöget írtunk úgy, hogy a háromszög átfogója a félkör átmérője, derékszögű csúcsa pedig a félkörívre esik. Igazoljuk, hogy a háromszög beírt körének középpontja a négyzet egyik oldalán van.


18. Az 퐴퐵퐶 háromszög beírt köre az 퐴퐵, 퐵퐶, 퐶퐴 oldalakat rendre a 퐶 , 퐴 , 퐵 pontokban érinti. Az ABC háromszög köré írt kör 퐶-t nem tartalmazó 퐴퐵 ívének a felezőpontja legyen 퐶 , az 퐴-t nem tartalmazó 퐵퐶 ívének a felezőpontja legyen 퐴 , a 퐵-t nem tartalmazó 퐴퐶 ívének a felezőpontja legyen 퐵 . Bizonyítsuk be, hogy az 퐴 퐴 , 퐵 퐵 , 퐶 퐶 egyenesek egy pontban mennek át.

OKTV 1997/98; II. kategória 2. forduló

19. Az 퐴퐵퐶 háromszög 퐵퐶 oldalának felezőpontja 퐹, az 퐴퐵 oldal egy belső pontja 푇, az 퐴퐹 és 퐶푇 szakaszok metszéspontja 푀.Az 퐴푇푀 háromszög területe 8, a 퐶퐹푀 háromszög területe 15 egység. Mekkora az 퐴퐵퐶 háromszög területe?

OKTV 2007/2008; II. kategória 1. forduló

20. Igazoljuk, hogy ha valamely háromszög területe területegység, akkor a kerülete 3 hosszegységnél nagyobb.

OKTV 2010/11; I. kategória 1. forduló

4

21. Jelöljük az 퐴퐵퐶 háromszög magasságpontját 푀-el. Az 퐴-ból húzott magasság hossza 15 cm, és ez a magasság a 퐵퐶 oldalt egy 6 cm és egy 10 cm hosszú részre osztja fel. Mekkora távolságra van 푀 a 퐵퐶 oldaltól?

„Ki miben tudós?” vetélkedő 1964; középdöntő feladata

22. Legyen 퐴 és 퐵 egy kör kerületének két különböző pontja. Vegyünk fel a kör kerületén egy 푃 pontot. Mi lesz az 퐴퐵푃 háromszög nevezetes pontjainak mértani helye, ha a 푃 pont végigfut a körön?

„Ki miben tudós?” vetélkedő 1966; országos selejtező feladata

23. Egy kör gördül egy kétszer akkora sugarú körön, ennek belsejében. Milyen pályát ír le a gördülő kör kerületének valamely pontja?

A később Kürschák Józsefről elnevezett verseny 1926. évi 3. feladata

24. Egy körlapot feleakkora átmérőjű körlappal akarunk befedni. Hogyan tehetjük ezt meg a legkevesebb számú körlappal?


25. Igazoljuk, hogy ha egy trapéz átlói merőlegesek, akkor szárainak szorzata legalább akkora, mint a párhuzamos oldalak szorzata.

A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 1996.évi 1. feladata

26. Adott a koordináta-rendszerben négy pont: 퐴(0; 0), 퐵(3; 2), 퐶(0; 1), 퐷(5; 0). Az 퐴퐵 és 퐶퐷 szakaszok metszéspontja 푀(lásd ábra). Hány fok a 퐷푀퐴 szög nagysága?

(퐴)100 (퐵)120 (퐶)135 (퐷)145 (퐸)150

Gordiusz Matematika Tesztverseny 2009; 11. osztály, megyei forduló

5

27. Az 퐴퐵퐶 háromszögben 퐸, illetve 퐹 az 퐴퐵illetve 퐴퐶 oldal felezőpontja, 퐻 és 퐼 a 퐵퐶 oldal két harmadolópontja. Ha az 퐴퐵퐶 háromszög területe 120cm2, akkor hány cm2 az 퐸퐹퐽 háromszög területe?

(퐴)9 (퐵)18 (퐶)24 (퐷)30 (퐸)40


28. Egy sokszöget egymást nem metsző átlói háromszögekre bontják (lásd például az alábbi ábrát). Bizonyítsuk be, hogy a sokszögnek van legalább két olyan csúcsa, amelyből nem indul ki átló.

D.O.Skljarszkij – N. N. Csencov – I. M. Jaglom: Geometria I. 14.feladat

29. Bizonyítsuk be, hogy az érintőnégyszög beírt körének középpontja rajta van az átlók felezőpontjait összekötő egyenesen. (Newton tétele)

D.O.Skljarszkij – N. N. Csencov – I. M. Jaglom: Geometria I. 135/a. feladat

6

30. A kör tetszőleges 퐴퐵 húrjának 퐶 felezőpontján át 퐾퐿 és 푀푁 húrokat fektetünk (퐾 és 푀 az 퐴퐵 húr azonos partján van); 퐾푁 és 푀퐿 az 퐴퐵 húrt a 푄 illetve 푃 pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy 퐶푃 = 퐶푄. (pillangó-tétel)


7

II. Megoldások 1. Egy körben adott két, egymásra merőleges átmérő. Az egyik végpontból húzott húrt a másik

átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara?


Megoldás:

A kör sugarát az ábra szerint 푟-rel jelöljük. A 퐷퐹퐶 háromszög derékszögű Thalész tétele miatt. A 퐶푂퐸 és 퐶퐹퐷 háromszög derékszögű és egy hegyesszöge megegyezik, ezért a két háromszög hasonló. A hasonlóság miatt a megfelelő oldalak aránya megegyezik:

푟6=

42푟⟹ 푟 = 12.

Innen a kör sugara 푟 = 2√3 .

2. Egy téglalapot négy téglalapra vágtunk szét, ezek területe: 3, 4, 5 és 푥. Mennyi az 푥 értéke?


Megoldás:

Az 퐴퐺푀퐸 és 퐺퐷퐹푀 téglalapok területének aránya megegyezik az 퐸푀:푀퐹 aránnyal, mert a téglalapok másik oldala közös. Ugyanez igaz az 퐸푀퐻퐵 és 푀퐹퐶퐻 téglalapok területének arányára is. Ezért 푥: 5 = 3: 4, ahonnan 푥 = 15 4⁄ = 3,75.

8

3. Az ábrán látható félkör területe 푡. Az 퐴퐵퐶퐷 félkört a 퐵 és 퐶 pontok három, egyenlő hosszú ívre bontják. Mennyi az 퐴퐵퐶 síkidom területe?


Megoldás:

Az ábrát elhelyezzük egy szabályos hatszögben. Az 퐴퐵퐶 háromszög átdarabolható az 푂퐵퐶 háromszögbe. A feladatban szereplő síkidom egy ilyen háromszögből és egy 퐵퐶-re illeszkedő körszeletből áll. A félkör 3 db ilyen háromszögből és 3 db az előzővel egybevágó körszeletből áll, ezért a kérdéses síkidom területe .

4. Az 퐴퐵퐶퐷 trapéz két párhuzamos oldala 퐴퐵 és 퐶퐷. Igazoljuk, hogy

퐴퐶 + 퐵퐷 = 퐴퐷 + 퐵퐶 + 2퐴퐵 ∙ 퐶퐷.


Megoldás:

9

A 퐷 és 퐶 csúcsokból merőlegest állítunk az 퐴퐵 alapra, a merőlegesek talppontjait 퐸 és 퐹 jelöli.

Pitagorasz tétele alapján:

퐴퐶 = 퐴퐹 + 퐹퐶

퐵퐷 = 퐵퐸 + 퐷퐸

퐴퐷 = 퐴퐸 + 퐷퐸

퐵퐶 = 퐵퐹 + 퐶퐹 .

Tehát

퐴퐶 + 퐵퐷 = 퐴퐹 + 퐹퐶 + 퐵퐸 + 퐷퐸 = 퐴퐹 + 퐵퐶 − 퐵퐹 + 퐵퐸 + 퐴퐷 − 퐴퐸 .

Átrendezve:

퐴퐶 + 퐵퐷 = 퐴퐷 + 퐵퐶 + 퐴퐹 − 퐵퐹 + 퐵퐸 − 퐴퐸 .

Az 푎 − 푏 = (푎 + 푏)(푎 − 푏) azonosságot használva:

퐴퐶 + 퐵퐷 = 퐴퐷 + 퐵퐶 + (퐴퐹 + 퐵퐹)(퐴퐹 − 퐵퐹) + (퐵퐸 + 퐴퐸)(퐵퐸 − 퐴퐸) =

= 퐴퐷 + 퐵퐶 + 퐴퐵 ∙ (퐴퐹 − 퐴퐸 + 퐵퐸 − 퐵퐹).

Felhasználva, hogy 퐴퐹 − 퐴퐸 = 퐵퐸 − 퐵퐹 = 퐸퐹 = 퐶퐷:

퐴퐶 + 퐵퐷 = 퐴퐷 +퐵퐶 + 퐴퐵 ∙ 2 ∙ 퐸퐹 = 퐴퐷 +퐵퐶 + 2 ∙ 퐴퐵 ∙ 퐶퐷.

5. Az 퐴퐵퐶퐷 paralelogramma 퐴퐵, illetve 퐵퐶 oldalára kifelé megszerkesztjük az 퐴퐵푃, illetve 퐵퐶푄 szabályos háromszögeket. Igazoljuk, hogy 푃푄퐷 is szabályos háromszög.


Megoldás:

Ha a paralelogramma 퐴 csúcsánál lévő szöget 훼-val jelöljük, akkor a 퐷퐴푃∡ = 퐷퐶푄∡ = 훼 + 60°. 퐴퐷 = 퐵퐶 = 퐶푄; 퐴푃 = 퐴퐵 = 퐷퐶 a paralelogramma és a szabályos háromszög tulajdonsága miatt. 푃퐵푄∡ = 360° − (180° − 훼) − 60° − 60° = 훼 + 60°. 푃퐵 = 퐴퐵; 퐵푄 = 퐵퐶.

10

Ezek alapján 퐴푃퐷∆≅ 퐷퐶푄∆≅ 퐵푃푄∆, mert két oldaluk és a közbezárt szög egyenlő. Egybevágó háromszögekben a megfelelő oldalak egyenlők, ezért 푃퐷 = 퐷푄 = 푃푄, tehát a 푃푄퐷 háromszög valóban szabályos.

6. Az 퐴퐵퐶 háromszög 퐶-nél lévő szöge derékszög. A 퐵 csúcsból induló szögfelező az 퐴퐶 oldalt a 푃, a háromszög köré írt kört a 푄 pontban metszi. Mekkorák a háromszög szögei, ha 퐵푃 = 2푃푄?

KöMaL 1997/december; Gy. 3170.

Megoldás:

Meghosszabbítjuk az 퐴푄 és 퐵퐶 szakaszokat, ezek metszéspontja a 퐷 pont. Az 퐴퐵푄 háromszögben Thalész tétele miatt a 푄 pontnál derékszög van. Az 퐴퐵퐷 háromszögben a 퐵푄 szakasz szögfelező és egyben magasságvonal is, ezért ez a háromszög egyenlő szárú, 퐴퐵 = 퐵퐷. Így a 푄 pont az 퐴퐷 szakasz felezőpontja, tehát 퐵푄 a háromszög súlyvonala. A 퐵푃 = 2푃푄 feltétel miatt a 푃 pont az 퐴퐵퐷 háromszög súlypontja. Ebből következik, hogy 퐴퐶 is súlyvonal és egyben magasságvonal is. Ez csak akkor lehetséges, ha 퐴퐵 = 퐴퐷 teljesül. Ezek szerint az 퐴퐵퐷 háromszög szabályos, tehát 퐴퐵퐶∠ = 60° és 퐵퐴퐶∠ = 30°.

7. Ez derékszögű háromszög befogóihoz tartozó súlyvonalak hossza 푠 illetve 푠 , az átfogó 푐. Bizonyítsuk be, hogy

32푐 < 푠 + 푠 ≤

√102

푐.

KöMaL 1993/ november; F. 2983.

Megoldás:

11

A súlypont a súlyvonalnak a csúcstól távolabbi harmadoló pontja. Az 퐴푆퐵 háromszögben a háromszög-egyenlőtlenséget használva: 푐 < 푠 + 푠 . Ezt átrendezve 푐 < 푠 + 푠 .

A súlyvonalakra írjuk fel a Pitagorasz tételt:

푠 = 푏 +푎4 ; 푠 = 푎 +

푏4.

Ezeket az összefüggéseket összeadva:

푠 + 푠 =54(푎 + 푏 ) =

54푐 .

A számtani és a négyzetes közép közötti egyenlőtlenség alapján:

푠 + 푠2

≤푠 + 푠

2=

58푐 =

1016

푐 =√104

푐,

ezzel beláttuk az egyenlőtlenség jobb oldalát.

8. Rajzoljuk meg az 퐴퐵퐶 háromszög 퐴퐵 oldalát 퐵-ben érintő és 퐶-n átmenő, a 퐵퐶 oldalt 퐶-ben érintő és 퐴-n átmenő, valamint a 퐶퐴 oldalt 퐴-ban érintő és 퐵-n átmenő kört. Bizonyítsuk be, hogy a három kör egy közös ponton megy át.

KöMaL 1990/október; Gy. 2651.

Megoldás:

A háromszög szögeit a szokásos módon 훼, 훽, 훾-val jelöljük. Az 퐴퐶 oldalt 퐴-ban érintő kör 푘 , az퐴퐵 oldalt 퐵-ben érintő kör 푘 , a 퐵퐶 oldalt 퐶-ben érintő kör 푘 . A 푘 kör az 퐴퐶 egyenes 퐵-t tartalmazó félsíkjában, a 푘 kör az 퐴퐵 egyenes 퐶-t tartalmazó félsíkjában van, ezért a két kör 퐵-től különböző 푃metszéspontja a 퐶퐴퐵 szögtartományban található. A 푃 pont az 퐴퐵퐶 háromszög belsejébe esik, mert a megfelelő körívek csak így metszhetik egymást. A 퐶퐴퐵∠ a 푘 körhöz tartozó érintőszárú kerületi szög, amely az 퐴푃퐵 ívhez tartozik. A kör másik ívéhez tartozó kerületi szög 퐴푃퐵∠ = 180° − 훼. Ugyanígy 퐵푃퐶∠ = 180° − 훽. Ekkor퐴푃퐶∠ az alábbi módon kiszámítható: 퐴푃퐶∠ = 360° − (180° − 훼 + 180° − 훽) = 훼 + 훽 = 180° − 훾. Ezért a 푃 pont az 퐴퐶 szakasz

12

180° − 훾 szöghöz tartozó, az 퐴퐵퐶 háromszög belsejében lévő látókör pontja. Ez pedig éppen a 푘 körvonal megfelelő íve. Ezzel beláttuk, hogy a három kör közös ponton megy át.

9. Egy négyzet alapú egyenes gúla alapéle és magassága is 40cm. Az oldallapokon szeretnénk egy vonalat rajzolni az alaplap egyik csúcsából az alaplap átellenes csúcsába. Milyen hosszú a legrövidebb ilyen vonal?

KöMaL 2005/december; C.833.

Megoldás:

Kiterítjük a gúla alaplapját és két szomszédos lapját. A 퐵 csúcs új helye a 퐺 pont. A 퐵-ből a 퐷- be vezető legrövidebb vonal az egyenes szakasz, azaz a 퐷퐺 szakasz hosszát kell meghatároznunk. A

gúla oldaléle 40 + 20 ∙ √2 = 20 ∙ (4 + 2) = 20 ∙ √6 . cos훼 =√= √ a 퐶퐷퐸∆-ből.

A 푠푖푛 훼 + 푐표푠 훼 = 1 összefüggés alapján sin 훼 = √ . A 퐶퐺퐸퐷 négyszög deltoid, ezért átlói

merőlegesek egymásra. Tehát 퐷퐺 = 2 ∙ 40 ∙ sin 훼 = 80 ∙ √ = 40 ∙ ≈ 73,03(푐푚) a

legrövidebb vonal hossza.

10. 5 × 10 × 20 cm élhosszúságú téglákból hézagmentesen felépítünk egy téglatestet. Igazoljuk, hogy ugyanezt úgy is felépíthetjük ezekből a téglákból, hogy azonos hosszúságú éleik mind párhuzamosak legyenek.

KöMaL 2009/március; B.4163.

Megoldás:

Az 5 cm-t tekintsük egységnek. Ekkor azt mondhatjuk, hogy 1 × 2 × 4 –es kis téglákat használunk. A kis téglák oldallapjainak területe páros, ilyenekből rakjuk ki a nagy téglatest oldalait, ezért a nagy téglatest oldallapjainak a területe is páros. Így a téglatestnek nem lehet két páratlan hosszúságú éle. Ha van 4-gyel osztható élhossza is, akkor biztosan el tudjuk helyezni a kis téglákat azonos állásban úgy, hogy a téglatestet kitöltsék.

Tegyük fel, hogy nincs 4-gyel osztható él. Minden kis tégla térfogata 8 egység, így a nagy téglatest térfogata osztható 8-cal. Ekkor minden élhossz páros, tehát 2푎, 2푏, 2푐alakban írható, ahol 푎, 푏, 푐

13

páratlan számok. A téglatestet bontsuk fel egységkockákra. Az egyik sarokban lévő kis kockát fessük feketére, a vele lapban, élben vagy csúcsban érintkezőket pedig fehérre. Így egy 2 × 2 × 2 –es részt színeztünk. Az egész téglatestre terjesszük ki ezt a színezést periodikusan, ilyen 2 × 2 × 2 – es színezett részeket használva. Ezzel a módszerrel 푎푏푐 fekete kiskockát kaptunk, ez a szám páratlan. A kis téglák bármelyikében 0 vagy 2 fekete kocka lehet, tehát ezek száma páros. Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát az eredeti állítás igaz.

11. Egy 푎 = 2 oldalú négyzet két szomszédos oldala mint átmérő fölé befelé félköröket rajzolunk. Határozzuk meg az egyik félkört és a négyzet oldalát belülről érintő, a másik félkört kívülről érintő kör sugarát.

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1969; haladók, 1.forduló

Megoldás:

Ha egy kör érint egy egyenest, akkor az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. Ha két kör érinti egymást, akkor a két kör középpontja és az érintési pont egy egyenesen van. Az ábrán ezt jelöltük és a számítás során ezt fogjuk felhasználni. 퐴퐵 = 2, ezért a félkörök sugara 1.

A félkörök középpontjai 푂 és 푂 , a keresett kör középpontja 푃, az 퐴퐷 oldalt az 푌 pontban érinti, az 푂 푌 távolság 푦, a kör sugara 푥. Az 푂 푋푃 és 푂 푌푃 derékszögű háromszögekre felírjuk a Pitagorasz-tételt:

(1 − 푥) + (1 + 푦) = (1 + 푥) ⟹ (1 + 푦) = 4푥

푥 + 푦 = (1 − 푥) ⟹ 1 − 푦 = 2푥

Ezek alapján :

(1 + 푦) = 2 ∙ (1 − 푦 ).

A másodfokú egyenlet két gyöke 푦 = , ekkor 푥 = ; és 푦 = −1, amikor 푥 = 0. A feladat

szempontjából a keresett kör sugara. A 0 sugarú, 퐴 középpontú kört nem tekintjük a feladat megoldásának, bár „elfajult” esetként beszélhetünk róla.

14

12. Egy háromszög egyik súlyvonalát tükrözzük a vele közös csúcsból induló szögfelezőre. Bizonyítsuk be, hogy a tükörkép a csúccsal szemközti oldalt a csúcsot alkotó oldalak négyzeteinek arányában osztja.

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1973; haladók, szakosított matematika I.; 1I.forduló

Megoldás:

Ha a háromszögben 퐴퐶 = 퐵퐶, akkor az állítás nyilvánvalóan teljesül. Ezért nem jelent megszorítást, ha feltesszük = 휆 < 1. A háromszög 퐵퐶 oldalát 푎-val, 퐴퐶 oldalát 푏-vel, 퐴퐵 oldalát 2푐-vel jelöljük. A szögfelező az 퐸 pontban, a súlyvonal az 퐹 pontban, a tükörkép a 퐺 pontban metszi az 퐴퐵 oldalt. A szögfelezőtétel és 휆 < 1 miatt a pontok sorrendje az ábrának megfelelő. Az 푥, 푦, 푧 jelöléseket az ábra szerint vezetjük be. A szögfelező és a tükrözés tulajdonsága miatt az egyformán jelölt szögek egyenlők.

A 퐺퐹퐶 háromszögben alkalmazzuk a szögfelezőtételt:

푦푧=퐶퐺퐶퐹

(1)

A 퐺 és 퐹 pontokból merőlegest állítunk az ábra szerint a háromszög oldalaira. A 퐺푇 퐶 és 퐹푇 퐶 háromszögek hasonlóak, mert két szögük egyenlő. Ezért

퐶퐺퐶퐹

=푚푚

(2)

Ha az 퐴퐵퐶 háromszögnek az 퐴퐵 oldalhoz tartozó magassága 푚, akkor az 퐴퐺퐶 és 퐵퐹퐶 háromszögek kétszeres területét kétféle módon kifejezve azt kapjuk, hogy

푏 ∙ 푚 = 푥 ∙ 푚

푎 ∙ 푚 = 푐 ∙ 푚

tehát 푚푚

=푥 ∙ 푎푏 ∙ 푐

=푥휆 ∙ 푐

.

15

Az (1) és (2) összefüggéseket használva: 푦푧=

푥휆 ∙ 푐

⟹ 푦 = 푧 ∙푥휆 ∙ 푐

.

Az 퐴퐵퐶 háromszögben alkalmazzuk a szögfelezőtételt:

푐 − 푧푐 + 푧

= 휆 ⟹ 푧 = 1 − 휆1 + 휆

∙ 푐.

Az előző összefüggést felhasználva:

푦 =1 − 휆1 + 휆

∙푥휆.

Tudjuk, hogy

푥 + 푦 + 푧 = 푐.

Eredményeinket felhasználva:

푥 +1 − 휆1 + 휆

∙푥휆= 푐 −

1 − 휆1 + 휆

∙ 푐

푥 1 +1 − 휆휆(1 + 휆)

= 1 −1 − 휆1 + 휆

∙ 푐

푥휆 + 1휆(1 + 휆)

=2휆1 + 휆

∙ 푐

푥 =2휆 휆 + 1

∙ 푐.

Az = arányt szeretnénk meghatározni:

2푐 − 푥 = 2푐 −2휆 휆 + 1

∙ 푐 =2

휆 + 1∙ 푐

퐴퐺퐺퐵

=2휆 휆 + 1 ∙ 푐2

휆 + 1 ∙ 푐= 휆 =

퐴퐶퐵퐶

.

Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

13. Négyzetrácsos füzetlapon a négyzetoldalak hosszát tekintsük egységnek. Rajzoljunk rá egy téglalapot, melynek csúcsai a rácspontokra illeszkednek. Igaz-e, hogy minden esetben egész szám az ilyen téglalap területe?

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1987; haladók, 1.forduló

Megoldás:

Legyen 퐴퐵퐶퐷 egy ilyen téglalap (lásd az ábrát a következő oldalon). A csúcsain keresztül húzott rácsvonalakkal az ábra szerint befoglaljuk az 퐸퐹퐺퐻 téglalapba. Az 퐸퐹퐺퐻 téglalap területe egész szám. Legyen 푂 az 퐴퐵퐶퐷 téglalap középpontja. Ha az 퐴 ponton átmenő 퐸퐹 egyenest 푂-ra tükrözzük, akkor a 퐶-n átmenő, vele párhuzamos egyenest, tehát a 퐻퐺 egyenest kapjuk. Ugyanígy az 퐹퐺 egyenes tükörképe az 퐸퐻 egyenes. Ezért az 푂 pont az 퐸퐹퐺퐻 téglalapnak is a középpontja. Az 퐴퐹퐵 háromszög tükörképe a 퐶퐻퐷 háromszög, az 퐸퐴퐷 háromszög tükörképe a 퐺퐶퐵 háromszög. Ezekben a derékszögű háromszögekben a befogók hossza egész szám, ezért két-két

16

egybevágó háromszög területének összege is egész szám. Ha az 퐸퐹퐺퐻 területéből ezeket a részeket elhagyjuk, akkor a maradék területe egész szám lesz.

Megjegyzés:

A rácsgeometria egy tétele, a Pick-tétel szerint ha egy rácssokszög belsejében 푏 darab, a határán ℎ darab rácspont van, akkor a területe:

푡 = 푏 − 1 +ℎ2.

Az 퐴퐵퐶퐷 téglalap szimmetria középpontja a rácsnak is szimmetria középpontja, így a határon lévő rácspontok száma a szimmetria miatt páros, így a terület egész szám lesz.

14. A 푡 területű, 푚 magasságú 퐴퐵퐶퐷 húrtrapéz alapjai 퐴퐵 és 퐶퐷, az átlók metszéspontja 푀, a trapéz körülírt körének középpontja 푂. A 퐵퐶 oldal felezőpontja 퐸, az 퐴퐷 oldalé 퐹. Bizonyítsuk be, hogy ha 푡 = 푚 , akkor az 푂퐸푀퐹 négyszög rombusz.

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2005/2006; haladók, II: kategória, 2.forduló

Megoldás:

17

A trapéz párhuzamos oldalai 퐴퐵 = 푎, 퐶퐷 = 푐, ekkor 퐵푇 = , 퐴푇 = 푎 − = .

A trapéz területe 푡 = 푚 ∙ = 푚 alapján 푚 = = AT. Az 퐴푇퐶 derékszögű háromszög két befogója egyenlő, tehát 퐵퐴퐶∡ = 45°. A szimmetria miatt 퐷퐵퐴∡ = 45° is teljesül. Az 퐴퐵푀 egyenlőszárú háromszög harmadik szöge 퐴푀퐵∡ = 90°, így 퐵푀퐶∡ = 90° is teljesül.

Ha az 푂퐴퐶∡ = 휑 jelölést használjuk, akkor 퐴푂퐶∡ = 180° − 2휑 az 퐴푂퐶 egyenlőszárú háromszögből. Az 퐴푂퐵∡ = 180° − 2(45° − 휑) = 90° + 2휑. Ekkor

퐵푂퐶∡ = 360° − 퐴푂퐶∡ − 퐴푂퐵∡ = 360° − (180° − 2휑) − (90° + 2휑) = 90°.

Ez azt jelenti, hogy az 푂 és 푀 pontok a 퐵퐶szakasz Thalész-körén vannak. Ennek a körnek a sugarai 푂퐸 = 푀퐸. Szimmetria miatt 푂퐸 = 푂퐹 és 푀퐸 = 푀퐹 is teljesül. Így az 푂퐸푀퐹 négszög valóban rombusz.

15. Az 퐴퐵퐶퐷퐸퐹 hatszögre igaz, hogy minden szöge 120°-os, 퐴퐵 oldala 2cm, 퐵퐶 oldala 7 cm, 퐶퐷 oldala 3 cm és 퐷퐸 oldala 4 cm hosszú. Milyen hosszúak az 퐸퐹, illetve az 퐹퐴 oldalak?

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011; kezdők, 1.forduló

Megoldás:

Ha a 퐵퐶, 퐷퐸, 퐹퐴 oldalakat az ábra szerint meghosszabbítjuk, akkor a 푃푄푅háromszöget kapjuk. Az 퐴퐵퐶퐷퐸퐹 hatszög minden külső szöge 60°-os, ezért a 푃, 푄, 푅 pontoknál 60°-os szögek vannak. Így az 퐴퐵푃, 퐶퐷푄, 퐸퐹푅 háromszögek szabályosak. Tehát 푃퐵 = 푃퐴 = 2푐푚; 퐶푄 = 푄퐷 = 3푐푚 és így 푃푄 = 2푐푚 + 7푐푚 + 3푐푚 = 12푐푚. A hiányzó szakaszok ez alapján meghatározhatóak:

푅퐸 = 퐸퐹 = 푅푄 − 퐸퐷 −퐷푄 = 푃푄 − 퐸퐷 − 퐷푄 = 12푐푚 − 3푐푚 − 4푐푚 = 5푐푚

퐴퐹 = 푃푅 − 퐴푃 − 퐹푅 = 푃푄 − 퐴푃 − 퐹퐸 = 12푐푚 − 2푐푚 − 5푐푚 = 5푐푚.

16. Az 퐴퐵퐶퐷 négyszög 퐴퐵, 퐵퐶, 퐶퐷, 퐷퐴 oldalának a kezdőponthoz közelebbi harmadolópontja legyen 푃, 푄, 푅, 푆. Bizonyítsuk be, hogy az 퐴퐶 és 퐵퐷 átlók felezőpontját összekötő szakasz háromszor akkora, mint a 푃푅 és 푄푆 átlók felezőpontját összekötő szakasz.


18

Megoldás:

Valamely rögzített 푂 pontból a pontokhoz vektorokat irányítunk, a vektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. Ha az 퐴퐶 átló felezőpontja 퐹 , a 퐵퐷 átló felezőpontja 퐸, akkor:

풇 =풂 + 풄2

; 풆 =풃 + 풅2

; 퐹퐸⃗ = 풆 − 풇 =풃 + 풅 − 풂 − 풄

2.

A harmadolópontokba mutató vektorok:

풑 =2풂 + 풃ퟑ

; 풒 =2풃 + 풄ퟑ

; 풓 =2풄 + 풅ퟑ

; 풔 =2풅 + 풂ퟑ

.

Ha a 푃푅 szakasz felezőpontja 푈, a 푄푆 szakasz felezőpontja 푉, akkor

풖 =2풂 + 풃 + 2풄 + 풅

6 ; 풗 =

2풃 + 풄 + 2풅 + 풂6

; 푈푉⃗ = 풗 − 풖 =풃 + 풅 − 풂− 풄

ퟔ.

Tehát

퐹퐸⃗ = 3 ∙ 푈푉⃗,

ebből következik a feladat állítása.

17. Adott félkörbe négyzetet írtunk úgy, hogy a négyzet két csúcsa a félkör átmérőjén, a másik két csúcsa a félköríven van. Ugyanebbe a félkörbe a négyzettel egyenlő területű derékszögű háromszöget írtunk úgy, hogy a háromszög átfogója a félkör átmérője, derékszögű csúcsa pedig a félkörívre esik. Igazoljuk, hogy a háromszög beírt körének középpontja a négyzet egyik oldalán van.

OKTV; 1979. 1.forduló

Megoldás:

A félkör sugara legyen egységnyi, a beírt négyzet 푃푄푅푆, a vele egyenlő területű háromszög 퐴퐵퐶, a derékszögű háromszög befogói 푎 és 푏 (푎 > 푏). Az 푂푄푅 háromszögben 푄푅 = 2푂푄. Erre a háromszögre felírjuk a Pitagorasz-tételt:

푂푄 + (2 ∙ 푂푄) = 1 ⟹ 푂푄 =1√5

, 푄푅 =2√5.

A négyzet területe ennek megfelelően . A derékszögű háromszög területét felírva és a Pitagorasz-tételt alkalmazva:

푎푏2=45

푎 + 푏 = 4.

19

Innen

(푎 + 푏) = 푎 + 푏 + 2푎푏 = 4 +165⟹ 푎 + 푏 =

6√5

(푎 − 푏) = 푎 + 푏 − 2푎푏 = 4 −165⟹ 푎 − 푏 =

2√5.

Tehát a befogók:

푎 =4√5

; 푏 =2√5.

Jelölje 푠 a háromszög fél kerületét. A háromszög beírt köre az 퐴퐵 oldalt abban a pontban érinti, amelynek az 퐴-tól való távolsága 푠 − 푎. Ebben az esetben

푠 − 푎 =2 + 4

√5+ 2√5

2−

4√5

= 1 −1√5

= 퐴푃.

Ez azt jelenti, hogy a beírt kör a 푃 pontban érinti az 퐴퐵 átmérőt, tehát a kör középpontja a 푄푅 szakaszon, azaz a négyzet oldalán van.

18. Az 퐴퐵퐶 háromszög beírt köre az 퐴퐵, 퐵퐶, 퐶퐴 oldalakat rendre a 퐶 , 퐴 , 퐵 pontokban érinti. Az ABC háromszög köré írt kör 퐶-t nem tartalmazó 퐴퐵 ívének a felezőpontja legyen 퐶 , az 퐴-t nem tartalmazó 퐵퐶 ívének a felezőpontja legyen 퐴 , a 퐵-t nem tartalmazó 퐴퐶 ívének a felezőpontja legyen 퐵 . Bizonyítsuk be, hogy az 퐴 퐴 , 퐵 퐵 , 퐶 퐶 egyenesek egy pontban mennek át.

OKTV 1997/98; II. kategória, 2. forduló

Megoldás:

A 퐵퐶 szakasz felezőmerőlegese átmegy a körülírt kör középpontján és az 퐴 ponton is. Így ha az 퐴 ponton keresztül érintőt húzunk a körülírt körhöz, akkor a 퐵퐶 egyenessel párhuzamost fogunk kapni. Ugyanezt megtesszük az ábra szerint a 퐵 és 퐶 pontokon keresztül is. Ezek az egyenesek az

20

퐴 퐵 퐶 háromszöget alkotják. Az oldalak párhuzamossága miatt az 퐴퐵퐶 és 퐴 퐵 퐶 háromszög középpontosan hasonló. A középpontos hasonlóság esetében az érintési pontok egymásnak felelnek meg, ezért az 퐴 퐴 ; 퐵 퐵 ; 퐶 퐶 egyenesek egy ponton, a hasonlóság középpontján mennek át.

19. Az 퐴퐵퐶 háromszög 퐵퐶 oldalának felezőpontja 퐹, az 퐴퐵 oldal egy belső pontja 푇, az 퐴퐹 és 퐶푇 szakaszok metszéspontja 푀.Az 퐴푇푀 háromszög területe 8, a 퐶퐹푀 háromszög területe 15 egység. Mekkora az 퐴퐵퐶 háromszög területe?

OKTV 2007/2008; II.kategória, 1.forduló

Megoldás:

A 퐵푀푇 háromszög területét 푥-el, a 퐶푀퐴 háromszög területét 푦-nal jelöljük. A 퐵퐶푀 háromszögben 푀퐹 súlyvonal, ezért a háromszöget két egyenlő területű részre bontja, azaz 푇 = 15. Az 퐴퐵퐶 háromszögben 퐴퐹 súlyvonal, így 8 + 푥 + 15 = 15 + 푦, azaz 푦 = 푥 + 8.

Ha két háromszög magassága azonos, akkor a területek aránya megegyezik az alapok arányával. Így

퐴푇퐵푇

=푇푇

=푇푇

⟹푥8=푥 + 30푦 + 8

.

Behelyettesítve az 푦-ra kapott kifejezést és átrendezve:

푥8=

푥 + 30푥 + 8 + 8

푥 + 8푥 − 240 = 0.

Ennek a másodfokú egyenletnek a két gyöke 12 és −20. Csak a pozitív érték lesz a feladat megoldása. Ekkor 푦 = 20 és a háromszög területe 푇 = 15 + 15 + 20 + 8 + 12 = 70 területegység.

20. Igazoljuk, hogy ha valamely háromszög területe területegység, akkor a kerülete 3 hosszegységnél nagyobb.

OKTV 2010/11; I. kategória, 1.forduló

21

Megoldás:

A háromszög oldalainak hossza 푎, 푏, 푐 , ekkor a félkerület 푠 = . A Héron-képlet alapján a háromszög területe:

푇 = 푠 ∙ (푠 − 푎) ∙ (푠 − 푏) ∙ (푠 − 푐).

A terület értékét behelyettesítve és átrendezve

4푠 =1

(푠 − 푎) ∙ (푠 − 푏) ∙ (푠 − 푐)(1)

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget alkalmazzuk az 푠 − 푎; 푠 − 푏; 푠 − 푐 pozitív számokra:

(푠 − 푎) ∙ (푠 − 푏) ∙ (푠 − 푐) ≤(푠 − 푎) + (푠 − 푏) + (푠 − 푐)

3=푠3.

Az egyenlőtlenséget köbre emelve:

(푠 − 푎) ∙ (푠 − 푏) ∙ (푠 − 푐) ≤푠27.

(1)-et felhasználva:

4푠 ≥1푠27

⟹ 푠 ≥274.

Ebből a kerületre becslést tudunk adni:

퐾 = 2푠 ≥ 2274= √108 > √81 = 3.

Ezzel beláttuk a bizonyítandó állítást.

21. Jelöljük az 퐴퐵퐶 háromszög magasságpontját 푀-el. Az 퐴-ból húzott magasság hossza 15 cm, és ez a magasság a 퐵퐶 oldalt egy 10 cm és egy 6 cm hosszú részre osztja fel. Mekkora távolságra van 푀 a 퐵퐶 oldaltól?

„Ki miben tudós?” vetélkedő 1964; középdöntő feladata

Megoldás:

22

퐵퐴푇∡ = 퐷퐶퐵∡ , mert merőleges szárú szögek. 퐴푇퐵∆~푀푇퐶∆ , mert derékszögű háromszögek és egy hegyesszögük egyenlő. Hasonló háromszögekben a megfelelő oldalak aránya megegyezik:

푀푇퐵푇

=퐶푇퐴푇.

Az adatokat behelyettesítve:

= ⟹ 푀푇 = 4푐푚távolságra van a magasságpont a 퐵퐶 oldaltól.

22. Legyen 퐴 és 퐵 egy kör kerületének két különböző pontja. Vegyünk fel a kör kerületén egy 푃 pontot. Mi lesz az 퐴퐵푃 háromszög nevezetes pontjainak mértani helye, ha a 푃 pont végigfut a körön?

„Ki miben tudós?” vetélkedő 1966; országos selejtező feladata

Megoldás:

a) A körülírható kör középpontja, az oldalfelező merőlegesek metszéspontja tetszőleges 푃 pont esetén az adott 푘 kör középpontja.

b) A beírható kör 퐾 középpontját a szögfelezők metszéspontja adja meg.

23

Ha a háromszög szögeit 훼, 훽, 훾-val jelöljük, akkor az ábra szerint

퐴퐾퐵∡ = 180° − 훼 2 − 훽 2⁄⁄ = 180° −180° − 훾

2= 90° +

훾2.

Az adott köríven a 훾 szög állandó, ezért a 퐾 pont az 퐴퐵 szakasz 90° + szöghöz tartozó látókörén van. Megmutatható, hogy ennek az ívnek minden 퐴-tól és 퐵-től különböző pontja előáll valamely megfelelő háromszög beírható körének középpontjaként.

Ha a 푃 pontot a másik köríven választjuk, akkor egy hasonlóan meghatározható látókörön lesz a beírható kör középpontja (90° + ° = 180° − szöghöz tartozó látókör).

A keresett ponthalmaz ezért ebből a két látökörívből áll.

c) A magasságvonalak metszéspontja 푀. A 푃퐸푀퐷 négyszögben 퐸푀퐷∡ = 180° − 훾.

Ezzel csúcsszöget alkot az 퐴푀퐵∡, így ez is 180° − γ.

Az adott köríven a γ szög állandó, ezért az 푀 pont az 퐴퐵 szakasz 180° − γ szöghöz tartozó látókörívén van. Megmutatható, hogy ha a 푃 pont a 푘 kör másik körívén mozog, akkor a magasságpont az előző körívet teljes körré kiegészítő, 180° − (180° − 훾) = 훾 szöghöz tartozó látóköríven lesz. Ez a ponthalmaz az eredeti körnek az 퐴퐵 egyenesre vonatkozó tükörképe. A körvonal minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez. Az 퐴 és 퐵 pontokat derékszögű háromszögek esetében kapjuk.

d) Az 퐹 pont az 퐴퐵 oldal felezőpontja. A súlypont a súlyvonalnak a csúcstól távolabbi harmadoló pontja. Így a 푃 pontból az 푆 súlypontot 퐹 középpontú, 1 3⁄ arányú középpontos hasonlósággal kaphatjuk meg. A 푃 pont befutja a 푘 kört, ezért a súlypont mértani helye a 푘 kör kicsinyített képe. A ponthalmazhoz az 퐴퐵 oldalon lévő 푋 és 푌 pontok nem tartoznak hozzá, mert valódi háromszög esetében az 퐴 és 퐵 pontokba nem kerülhet a 푃 pont.

(ábra a következő oldalon)

24

23. Egy kör gördül egy kétszer akkora sugarú körön, ennek belsejében. Milyen pályát ír le a gördülő kör kerületének valamely pontja?


Megoldás:

Legyen a kis kör kiinduló helyzete a 푘 . Figyeljük az 퐴 pont mozgását. Legyen a kis kör egy következő helyzete 푘 . A kis kör az 퐴퐵 íven gurult végig. Ehhez a 푘 körben az 퐴푂퐵 középponti szög tartozik. A kis kör sugara fele akkora, ezért ekkora ívhez kétszer akkora középponti szög tartozik a 푘 körben. Az 푂퐴 szakasz a 푘 kört az 푀 pontban metszi. Az 푂 푂푀 háromszög két oldala a 푘 kör sugara, ezért egyenlő szárú, az alapon fekvő szögei egyenlőek. A háromszög külső szöge egyenlő a vele nem szomszédos két belső szög összegével, így 퐵푂 푀∡ = 2 ∙ 퐵푂퐴∡. Ez azt jelenti, hogy a 퐵푀 ív egyenlő az 퐴퐵 ívvel. Tehát az 퐴 pont a forgatás közben az 푀 pontba került.

25

Thalész tétele miatt 퐵푀푂∡ = 90°, azaz a 퐵 pont 푂퐴-ra bocsátott merőleges vetülete lesz a kiválasztott kerületi pont helye az elforgatás után. Amíg a kis kör az 퐴퐴 ívet futja be, a kerületi pont az 푂퐴 sugarat rajzolja ki. Ha a kör tovább gördül, akkor az 푂퐴 , 푂퐴 , 푂퐴 szakaszokat írja le. Megmutatható, hogy ezeknek a szakaszoknak minden pontjába eljut a gördülés során az 퐴 pont.

24. Egy körlapot feleakkora átmérőjű körlappal akarunk befedni. Hogyan tehetjük ezt meg a legkevesebb számú körlappal?

A később Kürschák Józsefről elnevezett verseny 1947. évi 3.feladata

Megoldás:

Az ábra szerint a körbe szerkesszünk egy szabályos hatszöget. A kör középpontja körül és a hatszög oldalfelező pontjai körül feleakkora sugarú köröket rajzolunk. Az 푂퐴퐵 szabályos háromszöget a középvonalaival négy kisebb háromszögre felbontva látható, hogy valamelyik kis kör fedi ezeket a háromszögeket, az 푂퐴퐵 körcikkből maradó körszelet is benne van egy-egy körlapban. Így 7 feleakkora sugarú körlappal lefedhető a körlap.

Bebizonyítjuk, hogy 7-nél kevesebb kör nem elég. Egy feleakkora sugarú kör a nagy kör kerületének legfeljebb az egy hatodát tudja lefedni, ezért a körvonal lefedéséhez kell 6 körlap. Ez is csak akkor elég, ha a fenti módon helyezzük el a köröket. Ekkor a nagy kör középpontja még kimarad, aminek a lefedéséhez kell még egy hetedik körlap

25. Igazoljuk, hogy ha egy trapéz átlói merőlegesek, akkor szárainak szorzata legalább akkora, mint a párhuzamos oldalak szorzata.

A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 1996.évi 1. feladata

Megoldás:

Az ábra jelöléseit használva azt kell bizonyítanunk, hogy 푏푑 ≥ 푎푐. Az átlók derékszöget zárnak be, ezért a Pitagorasz-tétel alkalmazásával a szakaszok négyzetét ki tudjuk fejezni. A feladat állításához elég lenne a 푏 푑 ≥ 푎 푐 összefüggést bizonyítani.

26

Pitagorasz-tétel alapján:

푎 = 푒 + 푓

푏 = 푒 + 푓

푐 = 푒 +푓

푑 = 푒 + 푓 .

A bizonyítandó állítást ebből kifejezve:

(푒 + 푓 ) ∙ (푒 + 푓 ) ≥ (푒 + 푓 ) ∙ (푒 +푓 ),

átrendezve:

푒 푓 − 푒 푓 − 푒 푓 + 푒 푓 = (푒 − 푒 ) ∙ (푓 − 푓 ) ≥ 0.(∗)

Az 퐴푀퐵 és 퐶푀퐷 háromszögek hasonlóak, mert két szögük egyenlő (váltószögek), ezért a megfelelő oldalak aránya megegyezik. Így

푒 ≥ 푒 és 푓 ≥ 푓 vagy 푒 ≤ 푒 és 푓 ≤ 푓 .

Tehát a (∗) egyenlőtlenség teljesül. A lépéseink megfordíthatóak voltak, tehát a bizonyítandó állításunk igaz.

Egyenlőség akkor áll fenn, ha az átlók felezik egymást. A feladat feltétele szerint az átlók merőlegesek is egymásra, így rombusz esetében áll fenn az egyenlőség.

26. Adott a koordináta-rendszerben négy pont: 퐴(0; 0), 퐵(3; 2), 퐶(0; 1), 퐷(5; 0). Az 퐴퐵 és 퐶퐷 szakaszok metszéspontja 푀(lásd ábra). Hány fok a 퐷푀퐴 szög nagysága?

27

(퐴)100 (퐵)120 (퐶)135 (퐷)145 (퐸)150


I. Megoldás:

Az 퐴퐵 szakaszt eltoljuk az 퐴퐶⃗vektorral, ekkor a 퐶퐵 szakaszt kapjuk.

CB⃗ = (3; 2), B D⃗ = (2;−3) , ezért a CB⃗ vektor −90°-os elforgatottja a B D⃗ vektor, tehát CB = B D és a két szakasz 90°-ot zár be. Ebből következik, hogy a 퐶퐵 퐷 háromszög egyenlő szárú, derékszögű. Így 퐵 퐶퐷∡ = 퐵푀퐷∡ = 45°, tehát 퐷푀퐴∡ = 135°. A jó válasz a (퐶).

II. Megoldás:

Az ábra jelölései szerint:

푡푔(훼) =23és푡푔(훽) =

15.

Ekkor

푡푔(훼 + 훽) =푡푔(훼) + 푡푔(훽)1 − 푡푔(훼) ∙ 푡푔(훽)

=23 +

15

1 − 23 ∙15=13151315

= 1 ⟹ 훼 + 훽 = 45°.

Az 퐴푀퐷 háromszögben a harmadik szög 퐷푀퐴∡ = 135°. A jó válasz (퐶).

28

27. Az 퐴퐵퐶 háromszögben 퐸, illetve 퐹 az 퐴퐵illetve 퐴퐶 oldal felezőpontja, 퐻 és 퐼 a 퐵퐶 oldal két harmadolópontja. Ha az 퐴퐵퐶 háromszög területe 120cm2, akkor hány cm2 az 퐸퐹퐽 háromszög területe?

(퐴)9 (퐵)18 (퐶)24 (퐷)30 (퐸)40


Megoldás:

퐸퐹 a háromszög középvonala, ezért 퐸퐹 párhuzamos 퐵퐶-vel és 퐸퐹 = 퐵퐶. 퐻és퐼 a feladat szerint

harmadolópontok, ezért 퐻퐼 = 퐵퐶. A párhuzamosság miatt az ábrán azonosan jelölt szögek váltószögek, ezért egyenlőek. 퐸퐹퐽∆≅ 퐼퐻퐽∆, mert két szögük egyenlő. A hasonlóság aránya = . Ha a háromszög 퐵퐶 oldalához tartozó magassága 푚, akkor 퐷퐾 = , amit a 퐽 pont 3: 2

arányban oszt, tehát 퐷퐽 = 푚. Az 퐸퐹퐽∆ 퐸퐹 oldala a 퐵퐶 oldal fele, a hozzá tartozó magasság az

푚-nek a -e, ezért 푇 = 푇 = 18푐푚 . A jó válasz (퐵).

29

28. Egy sokszöget egymást nem metsző átlói háromszögekre bontják (lásd például az alábbi ábrát). Bizonyítsuk be, hogy a sokszögnek van legalább két olyan csúcsa, amelyből nem indul ki átló.


Megoldás:

Teljes indukcióval azt fogjuk bizonyítani, hogy ha egy sokszöget egymást nem metsző átlóival háromszögekre bontjuk, akkor a sokszögben van két olyan nem szomszédos (ezzel többet mondunk a feladat állításánál) csúcs, amelyekből nem indul ki átló.

Négyszögre nyilvánvalóan igaz az állítás.

Feltételezzük, hogy már minden 푘 < 푛 oldalú sokszögre (푛 ≥ 5) bizonyítottuk az állítást.

Legyen 퐴퐵 az egyik a felosztásban szereplő átló. Ez az eredeti sokszöget két 푛-nél kisebb oldalszámú 푀 és 푀 sokszögre bontja.

Lehetséges, hogy az egyik sokszög egy háromszög (푀 ), a másik pedig egy legalább négyoldalú sokszög(푀 ). Ekkor 푀 -ben az indukciós feltétel miatt van két megfelelő csúcs, amelyek nem

30

lehetnek az 퐴 és 퐵 csúcsok, mert akkor 푀 -ben ezek szomszédosak lennének. Az említett két csúcs az푛 oldalú sokszögben teljesíti a feladat feltételeit.

Ha a felosztás után mindkét rész (푀 és 푀 )is legalább négyoldalú, akkor mindkét részre alkalmazhatjuk az indukciós feltételt. Az 퐴 és 퐵 csúcsok nem lehetnek a keresett csúcsok, mert halad át rajtuk átló. Az 푀 és 푀 sokszögben nem lehet a két említett tulajdonságú csúcs 퐴 és 퐵, mert ezek szomszédosak lennének. Így mindkét sokszögben van 퐴-tól és 퐵-től különböző megfelelő csúcs, amelyek nem szomszédosak. Ezzel teljes indukciót alkalmazva beláttuk a feladat állítását.

29. Bizonyítsuk be, hogy az érintőnégyszög beírt körének középpontja rajta van az átlók felezőpontjait összekötő egyenesen. (Newton tétele)

D.O.Skljarszkij – N. N. Csencov – I. M. Jaglom: Geometria I. 135/a.feladat

Megoldás:

Ha a négyszög szemben lévő oldalai párhuzamosak, azaz a négyszög rombusz, akkor a 3 pont azonos, így a feladat állítása igaz.

Most azt az esetet vizsgáljuk, amikor a négyszögnek legalább az egyik szemben lévő oldalpárja nem párhuzamos. Legyenek ezek az oldalak 퐴퐵 és 퐶퐷. A háromszög súlyvonala felezi a háromszög területét, ezért:

푇 + 푇 =12푇 +

12푇 =

12푇 ,(1)

és hasonlóan

푇 + 푇 =12푇 .(2)

Az érintőnégyszög területét felírjuk a beírt kör 푟 sugarával és az oldalakkal, majd felhasználjuk, hogy a szemben lévő oldalak összege egyenlő:

푇 =12푟 ∙ (퐴퐵 + 퐵퐶 + 퐶퐷 + 퐴퐷) =

12푟 ∙ 2 ∙ (퐴퐷 + 퐵퐶) = 푟 ∙ (퐴퐷 + 퐵퐶).

Felírjuk az alábbi összefüggést is:

푇 + 푇 =12푟 ∙ 퐴퐷 +

12푟 ∙ 퐵퐶 =

12푟 ∙ (퐴퐷 + 퐵퐶) =

12푇 .(3)

31

Tehát

푇 + 푇 = 푇 + 푇 = 푇 + 푇 .

Az a sejtésünk, hogy azok a 푃 pontok, amelyekre 푇 + 푇 = állandó, egy egyenesen helyezkednek el.

Az 퐴퐷 és 퐵퐶 egyenesek nem párhuzamosak, metszéspontjukat 푄-val jelöljük. Az 퐴퐷 és 퐵퐶

szakaszokat eltoljuk az ábra szerint a szög csúcsába. Ha két háromszög egyik oldala és a hozzátartozó magassága azonos, akkor a területük is egyenlő. Ezért

푇 + 푇 = 푇 .

Ha változtatjuk a megfelelő 푃 pont helyét, akkor a 푄퐶 퐷 háromszög változatlan. Ehhez hozzá kell vennünk ( az állandó értékétől függően esetleg le kell vonnunk) egy háromszög területét, amelynek egy oldala, a 퐶 퐷 oldal változatlan. Így a 푃 pont mindig ugyanolyan távolságra van a 퐶 퐷 szakasztól, tehát a 퐶 퐷 -gyel párhuzamos 푋푌 szakaszon lesz a 푃 pont.

Ezzel beláttuk a sejtésünket, amiből következik, hogy a feladatban szereplő 퐸, 퐹, 푂 pontok egy egyenesen vannak.

30. A kör tetszőleges 퐴퐵 húrjának 퐶 felezőpontján át 퐾퐿 és 푀푁 húrokat fektetünk (퐾 és 푀 az 퐴퐵 húr azonos partján van); 퐾푁 és 푀퐿 az 퐴퐵 húrt a 푄 illetve 푃 pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy 퐶푃 = 퐶푄. (pillangó-tétel)


32

Megoldás:

푂-val jelöljük a kör középpontját. 퐶 az 퐴퐵 húr felezőpontja, ezért 푄퐶푃∡ = 90°. Bocsássunk merőlegest a kör középpontjából a 퐾푁 és az 푀퐿 húrra, a merőlegesek talppontja 퐷 illetve 퐸. Ezek a pontok egyben a megfelelő húrok felezőpontjai is.

푁퐾퐿∡ = 푁푀퐿∡és퐾푁푀∡ = 퐾퐿푀∡,

mert azonos íven nyugvó kerületi szögek. Az 푁퐾퐶 és LMC háromszögeknek két szöge egyenlő, ezért hasonlóak. Hasonló háromszögekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő:

퐾푁푀퐿

=퐾퐶푀퐶

.

Ebből következik, hogy

퐾퐷푀퐸

=퐾퐶푀퐶

.

Így a 퐾퐷퐶 és 푀퐸퐶 háromszögek is hasonlók, hiszen két-két oldaluk aránya és a közbezárt szög egyenlő. Hasonló háromszögekben a megfelelő szögek egyenlőek, tehát

퐾퐷퐶∡ = 푀퐸퐶∡ ⟹ 푄퐷퐶∡ = 푃퐸퐶∡.(1)

A 푄퐷푂퐶 és 퐶푂퐸푃 négyszögekben két szemben lévő szög derékszög, így a Thalész-tétel miatt kört írhatunk köréjük. Az azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlőek:

푄퐷퐶∡ = 푄푂퐶∡és푃퐸퐶∡ = 푃푂퐶∡.

(1) miatt

푄푂퐶∡ = 푃푂퐶∡.

Ebből következik, hogy 푄퐶 = 퐶푃. Ezzel bebizonyítottuk az állítást.

3. Geometria · átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara?...

Documents

Transcript of 3. Geometria · átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara?...