32

3. DİNAMİK

Dinamik konusu Kinematik ve Kinetik alt başlıklarında incelenecektir. Kinematik, hareket halindeki bir sistemin konum (pozisyon), hız ve ivmesini, bunların oluşmasını sağlayan kuvvet ya da moment etkisini dikkate almadan inceleyen mekaniğin alt dalıdır. Kinetik ise kinematikten farklı olarak doğrudan bir sisteme etkiyen kuvvet ve moment etkisini inceleyen bilim dalıdır.

KİNEMATİK

Bu bölümde biyomekanik sistem ya da modellerin düzlemsel hareketi dikkate alınacaktır.

Hareket, dinamik konusu kapsamında öteleme, dairesel (rotasyon - bir eksen etrafında dönme) ve bunların her ikisini de içeren genel düzlemsel hareket olarak ayrı ayrı incelenebilir. Ancak bu bölüm kapsamında hareket tipleri ayrı ayrı ele alınmayacak ve yalnızca en genel hareket davranışını karakterize eden genel düzlemsel hareket incelenecektir.

Lineer Kinematik

Lineer kinematik, doğrusal hareket sırasındaki konum (pozisyon), hız ve ivme büyüklüklerinin analizi ile ilgilidir. Hız (v) , konumun birim zamandaki değişimidir ve ortalama hız değeri;

s i

s i

p ppv

t t t

bağıntısı ile hesaplanır. Birimi m/s ile ifade edilir.

Denklemde ps, pi, ts ve ti sırasıyla son konumu, ilk konumu, hareketin bitiş ve başlangıç zamanlarını göstermektedir.

Konum-zaman grafiğinde iki noktadan geçen doğrunun eğimi ortalama hıza eşittir (Şekil 4).

Şekil 4: t1 anında p1, t2 anında p2 konumunda bulunan bir cismin ortalama hızı bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimidir.

t1

p2

Kon

um (

m)

t2 Zaman (s)

Δp

Δt

p1

33

Ortalama hız yerine anlık hız hesaplanmak istenirse, bu durumda konumun zamana göre birinci. mertebeden türevini hesaplamak gerekir.

dpv p

dt

Hız-zaman grafiğinin altında kalan alan hesaplanırsa konum bilgisine ulaşılır (Şekil 5).

Şekil 5. Hız-zaman eğrisinin altında kalan alan konuma eşittir.

İvme (a), hızın birim zamandaki değişimidir ve ortalama ivme değeri;

s i

s i

v vva

t t t

eşitliği ile elde edilir.

Denklemde Vs ve Vi son ve ilk hız değerlerine eşittir. İvmenin birimi m/s2 ile ifade edilir. Hız- zaman grafiğinde iki noktadan geçen doğrunun eğimi ortalama ivmeye eşittir (Şekil 6).

Şekil 6: t1 anında v1, t2 anında v2 hızına sahip olan bir cismin ortalama ivmesi bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimidir.

Hız

(m

/s)

v1

v2

t1 t2 Zaman (s)

A:alan

ti

v2

Hız

(m

/s)

ts Zaman(s)

Δv

Δt

v1

34

Anlık ivme değerini hesaplamak için hızın zamana göre 1.mertebeden türevini hesaplamak gerekir.

dva v p

dt

İvme-zaman grafiğinin altında kalan alanın toplamı hıza eşittir.

Şekil 6. İvme-zaman eğrisinin altında kalan alan konuma eşittir.

Örnek:

Zaman (s)

Konum (m)

0 0

1 3

2 8

3 14

4 21

5 31

6 45

7 58

8 72

9 84

10 94

Yandaki tabloda, bir kısa mesafe koşucusuna ait konum ve zaman verileri gösterilmiştir.

a) Konum-zaman grafiğini çiziniz. b) Koşucunun hareketin başlangıcından sonuna kadar olan süredeki

ortalama hızını m/s ve km/saat cinsinden bulunuz. c) Eğri uydurma (curve fitting) yöntemlerinden birini kullanarak

(örneğin en küçük kareler yöntemi) konum verisinin zamana bağlı 3. dereceden polinomik fonksiyonunu elde ediniz. Bu eğrinin grafiğini ham veriler üzerine çiziniz.

d) Elde edilen eğrinin denklemini kullanarak koşucunun 3. ve 10. saniyelerdeki anlık hızlarını hesaplayınız.

e) Elde edilen eğrinin denklemini kullanarak koşucunun 3. ve 10. saniyelerdeki anlık ivmesini hesaplayınız.

f) Elde edilen hız ve ivme denklemlerini kullanarak hız ve ivme grafiklerini çiziniz.

g) Hız değişiminin olmadığı (hızın sabit kaldığı) zaman anını belirleyiniz.

h) 10 saniyelik süre içerisinde koşucunun hızının ve ivmesinin nasıl bir değişim gösterdiğini belirtiniz. Grafikleri fiziksel anlamda değelendiriniz.

Çözüm

İvm

e (m

/s2 )

a2

a1 t1 t2

Zaman (s)

A

35

a) Verilerin grafiği

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

zaman (s)

konu

m (

m)

b) Ortalama hız 94 0

9.410 0

PV

t

m/s

Ortalama hızı km/saat cinsinden hesaplamak istersek

0,001km9.4 9,4 3,6 33,84

1/ 3600saatV km/saat

c) En küçük kareler yöntemi (least squares method) kullanılarak zamana bağlı 3. dereceden bir fonksiyon olarak elde edilen konum denklemi

3 2( ) 0.082 1.831 0.721 1.154P t t t t şeklinde elde edilebilir.

Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

zaman (s)

konu

m (

m)

36

d) 3 2( ) 0.082 1.831 0.721 1.154P t t t t denklemini kullanarak koşucunun 3. ve 10. saniyelerdeki anlık hızlarını hesaplamak için denklemin zamana göre birinci mertebeden türevini almak gerekir. Buna göre,

2 0

2

( ) 3 ( 0.082) 2 (1.831) 1 (0.721)

( ) 0.246 3.662 0.721

dPV t t t t

dt

V t t t

elde edilir. t = 3. ve 10. saniyedeki hızlar ise

2(3) 0.246(3) 3.662(3) 0.721 8,51V m/s

2(10) 0.246(10) 3.662(10) 0.721 11.3V m/s

şeklinde elde edilir. Sonuçlardan anlaşılmaktadır ki koşucunun 10. saniyedeki hızı 3. saniyedekinden 2,79 m/s daha fazladır.

e) 3 2( ) 0.082 1.831 0.721 1.154P t t t t denklemini kullanarak koşucunun 3. ve 10. saniyelerdeki anlık ivmelerini hesaplamak için konum denkleminin zamana göre ikinci mertebeden ya da hız denkleminin birinci mertebeden türevini almak gerekir. Buna göre ivme,

0( ) 2 ( 0.246) 1 (3.662)

( ) 0.492 3.662

dVa t t t

dta t t

şeklinde elde edilir. t = 3. ve 10. saniyedeki ivmeler ise

( ) 0.492(3) 3.662 2.186a t m/s2

( ) 0.492(10) 3.662 1.258a t m/s2

olarak bulunur. Sonuçlardan anlaşılmaktadır ki koşucu 3. saniyede hızını arttırmakta (ivmenin pozitif olmasından dolayı), ancak 10. saniyede ise azaltmaktadır (ivmenin yönünün negatif olmasından dolayı).

f) Hız ve ivme grafikleri aşağıdaki şekillerde verilmiştir.

37

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

zaman (s)

hız

(m/s

)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1

0

1

2

3

4

zaman (s)

ivm

e (m

/s2 )

g) Hızın sabit kaldığı zaman anı, yukarıda hız-zaman grafiğinden belirlenebilir. Grafiğe göre, 7. ve 8. saniyeler arasında koşucunun hızının değişmediği görülebilir. Bununla birlikte, bu zaman bilgisi matematiksel olarak kesin bir biçimde de belirlenebilir. Bunu gerçekleştirmek için hız fonksiyonunun zamana göre birinci türevi hesaplanır (yani ivme belirlenir) ve sıfıra eşitlenir. Buradan

( ) 0.492 3.662 0a t t ise t = 7.44 s bulunur.

Birinci mertebeden türev, fiziksel olarak bir eğrinin eğimine karşılık geldiğinden, burada yapılan işlem aslında eğimin sıfır olduğu anı belirlemektedir.

h) Elde edilen hız ve ivme grafikleri dikkate alındığında koşucunun, başlangıç anından 7.44. saniye kadar hızını azalan bir ivmeyle arttırdığı ve bu andan itibaren hızını artan bir ivme ile azaltmaya başladığı gözlenmektedir.

Hız-zaman eğrisinin altında kalan alan konum (pozisyon) değişimine, ivme-zaman eğrisinin altında kalan alan da hız değişimine karşılık gelmektedir.

Açısal Kinematik

Açısal kinematik, dairesel (rotasyonel) hareket sırasındaki konum (açı), hız (açısal hız) ve ivme (açısal ivme) büyüklüklerinin analizi ile ilgilidir.

38

Yay uzunluğu (s) ile yarıçap (r) arasındaki ilişki;

.s r

θ açısı yukarıdaki bağıntıda radyan cinsinden yazılmalıdır.

Açısal hız ω, birim zamandaki açısal konum θ değişimidir ve ortalama olarak;

s i

s it t

şeklinde hesaplanır. Denklemde θs ve θi son ve başlangıç açı değerlerini

göstermektedir. Açısal hızın birimi rad/s dir. Anlık olarak

d

dt

denklemiyle, yani açısal değişimin zamana göre birinci mertebeden türevi ile hesaplanır.

Açısal ivme α, birim zamandaki açısal hızın ω değişimidir ve ortalama olarak;

s i

s it t

denklemiyle hesaplanır. Denklemde ωs ve ωi son ve başlangıç hız değerlerini göstermektedir. Anlık açısal ivme;

dw

dt

ifadesiyle hesaplanır. Lineer ve açısal hız arasında aşağıdaki gibi bir ilişki vardır.

v r

2 f

f: frekans (Hz=1/s)

Örnek: Açısal hızı ω 4rad/s olan uzun ince bir fiziksel sistemin dönme ekseninden itibaren 5. ve 10. metredeki çizgisel hızlarını hesaplayınız.

θ

r s

r

V

w

39

Dairesel hareket: Normal (radyal) ve teğetsel ivme

Eğrisel bir yörüngede hareket eden bir parçacığın çizgisel (doğrusal) hızı daima yörüngeye teğettir. Ancak bu parçacığın çizgisel ivmesi a, yörünge ile bir açı yapar. Çizgisel ivmenin belirlenebilmesi için bileşenlerine ayırma yoluna gidilir. Bir çizgisel ivme, normal (radyal ) ve teğetsel doğrultudaki iki ivmenin vektörel toplamına eşittir. Yani,

Toplama a at n+

Teğetsel ivme at parçacığın hızının genliğindeki değişimden kaynaklanır ve doğrultusu hareket yönüne teğet olacak şekildedir ve

t

dVa v r r

dt

bağıntısı ile ifade edilir.

Normal ivme an ise hız vektörünün doğrultusunun zamanla değiminden kaynaklanır ve yönü her zaman dönme merkezine doğrudur (merkezcil ivme).

2 2 22

n

v ra r

r r

r1=5m r2=10m

ω = 4 rad/s 1 1v r

1 5 4 20 /v m s 2 10 4 40 /v m s

Teğet Doğrultusu, t

n, Normal Doğrultu α

ta

natoplama

v

40

Lineer ve dairesel hareketler için kullanılan kinematik denklemler

Hareket denklemlerinin sıklıkla kullanılan bazıları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Tablo 2. Lineer ve dairesel hareketler için kullanılan kinematik denklemler

Lineer (doğrusal) hareket Dairesel (rotasyonel) hareket

Konum p θ

Hız v ω

İvme a ,

Ortalama Hız ort

pv

t

ort t

Anlık Hız dPv

dt

d

dt

Ortalama İvme ort

va

t

ort t

Anlık İvme dva

dt

d

dt

20 0

1

2p p v t at 2

0 0

1

2t t

0v v at 0 t

İvmenin Sabit Olduğu Durum İçin Kinematik Denklemler

2 20 02 ( )v v a p p 2 2

0 02 ( )

Örnek:

a) Bir voleybol oyuncusunun omuz açısı, smaç hareketi esnasında 0,3 saniye içerisinde 0,5 radyandan 1 radyana değişim göstermektedir. Kolun omuz eklemi etrafındaki ortalama açısal hızını rad/s ve derece/s cinsinden hesaplayınız.

1 0,51,66

0,3 0s i

s it t

rad/s

Hızı derece/s cinsinden hesaplamak için ,

01801,66 95,11

rad

s der/s bulunur.

Bu hesaba göre sporcunun omzu, bir saniyede 95,11 derecelik bir açı katetmektedir.

b) Voleybolcunun omzu ile eli arasındaki uzunluk 70 cm ise elinin çizgisel hızını, merkezcil ivmesini ve teğetsel ivmesini hesaplayınız.

Çizgisel hız; 1,66 70 116, 2rad cm

v r cms s

41

Merkezcil (normal) ivme,

2 22

70 (1,66 ) 192,9n

rad cma r cm

s s

c) Voleybolcunun omuz eklemi etrafındaki açısal hızı 0,2 s içerisinde 1,90 rad/s değerine artıyorsa teğetsel ivmenin değeri ne olur?

2 2

1,90 1,66. . 70 8, 4

0, 2t

r cma r r cm

t s s

olarak bulunur.

Şekildeki harekette ω=(0.5𝑡2+0.3t) der/sn hızıyla Abduction hareketi yapmaktadır. Ağırlık 3 kg olarak

verilmiştir. Kişinin deltoid kası ile omuz arası uzaklık 2 cm ve yatayla yaptığı açı 20 derecedir. Buna

göre 6. sn deki,

a) ivmeleri,

b) kuvvetleri,

c) deltoid kasına düşen kuvveti

d) koldaki gerilme kuvvetini bulunuz

Çözüm

ω(6)=19.8 der/s

ω(6)=0.345 rad/s, V= ω.r V=0.1935 m/s

a)

𝑎𝑛 =𝑣2

𝑟 𝑎𝑛 = 0.0668 𝑚/𝑠2

𝑎𝑡 =𝑑𝑤

𝑑𝑡𝑟 𝑎𝑡 = (𝑡 + 0.3). 𝑟=3.528 𝑚/𝑠2

b)

𝐹𝑛 = 3𝑥0.0668 𝐹𝑛 = 0.2 𝑁

𝐹𝑡 = 3𝑥3.528 𝐹𝑡 = 10.6 𝑁

c)

48.6 ϴ(t)=0.5𝑡3

3+ 0.3

𝑡2

2

ϴ(6)=41.4 der 90-41.4=48.6

22.5 N

19.83 N 30.cos(48.6)=19.3 N

30 N 30.sin(48.6)=22.5 N

0.2 N

10.6 N

MA=(19.83x0.28)+(10.6x0.56)=11.488 N.m

r= 56 cm

𝐹𝑑𝑒𝑙𝑡𝑜𝑖𝑑,𝑦𝑥0.02 = 11.488

𝐹𝑑𝑒𝑙𝑡𝑜𝑖𝑑,𝑦 = 574.42 N

𝐹𝑑𝑒𝑙𝑡𝑜𝑖𝑑,𝑦 = 𝐹𝑑𝑒𝑙𝑡𝑜𝑖𝑑. sin (25)

574.42=𝐹𝑑𝑒𝑙𝑡𝑜𝑖𝑑 . sin (25)

𝐹𝑑𝑒𝑙𝑡𝑜𝑖𝑑 = 1400 𝑁

d)

Gerlime kuvveti= 22.5N+0.2N=22.7 N