3 លំហាត់អនុគម្ន៍ - WordPress.com · 2016. 4. 28. · iii...
Transcript of 3 លំហាត់អនុគម្ន៍ - WordPress.com · 2016. 4. 28. · iii...
i
i
ព្រះរាជាណាចព្ររម្ពុជា ជាតិ សាសនា ព្រះម្ហារសព្ត
3
លំហាត់អនុគម្ន៍
2 អនុគមន៍សនិទាន
2 អនុគមន៍អសនិទាន
2 អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចត្មរុះ
រក្សាសិទ្ធិគ្រប់យ៉ា ង ២០១៣
ii
អារម្ភរថា
សួសតី ប្អូនៗសិសានុសិសស និងប្បិ្យមតិ្តអ្នកសិកាជាទីរាប្អ់ាន! ននេះជានសៀវនៅដពិ៏នសសមយួដដលខុ្ុំបានខិត្ខុំប្ាវប្ជាវនិងចង ប្កងន ើងនោយនប្រើសនរ ើសលុំហាត្អ់្នុគមនល៍អៗនចញពីឯការដខែរ និងប្រនទសប្ពមទុំងលុំហាត្ធ់្លា ប្ន់ចញប្ប្ ងកនាងមកមយួចុំននួ ។ ខុ្ុំសងឃមឹថានសៀវនៅននេះនឹងក្លា យជាមតិ្តដល៏អរប្ស់អ្នកសិកាប្គប្់ៗ គ្នន ។ ដត្នទេះបី្ជាខុ្ុំពាយាមសរនសរយា៉ា ងផ្ចិត្ផ្ចងយ់ា៉ា ងណាកតីកច៏ុំណុច ខវេះខាត្ដត្ងដត្នកើត្ន ើងដដរ អាប្ស័យនេតុ្ននេះខុ្ុំសូមអ្ភយ័នទសនិង រងចុំទទលួក្លរេិះគនដ់កលុំអ្កនុងនយ័ាា ប្នានោយកតីនពញចិត្តពីសុំ ណាកសិ់សានុសិសស នោកប្គូ អ្នកប្គូនិងមតិ្តអ្នកសិកាប្គប្ម់រឈោា ន និងប្គប្ន់ពលនវោ ។ ជាចុងនប្ក្លយខុ្ុំសូមរូនពរប្អូនៗសិសានុសិសសនិងអ្នកមានគុណ ទុំងអ្ស់ឲ្យរបួ្ដត្សុំណាងលអ សុខភាពលអ និងទទលួបាននជាគ រយ័ប្គប្ភ់ារកិចច ។ ភនុំនពញ.ថ្ងៃទី 18 ដខ 03 ឆ្ន ុំ 2013 អ្នកនរៀប្នរៀង អ ៊ូច ប ុនថន
iii
ឯរសារយោង
1. នសៀវនៅគណិត្វទិាថាន កទី់១២ នបាេះពុមពនោយប្កសួងអ្ប្រ់ ុំ2007 2. នសៀវនៅគណិត្វទិាថាន កទី់១២ (កុំរតិ្មូលោា ន) នបាេះពុមពផ្ាយ នោយប្កសួងអ្ប្រ់ ុំ2011 3. នសៀវនៅគណិត្វទិាថាន កទី់១២ (កុំរតិ្ខពស់) ដដលនបាេះពុមពផ្ាយ នោយប្កសួងអ្ប្រ់ ុំ2010 4. (376 )Mathematique Exerciceset Problemes Resolus , , 1975par Michèle Debray MarcGourion 5. ,Mathématiques Terminales F ,1983
6.1
, , 1992.A BMathématiquesT Dimathème
{>|
iv
បញ្ជ ីអតថបទ
1. កបួនសិកាអ្នងរភាពនិងសងប់្ក្លប្តាងអ្នុគមន.៍.....................១ 2. ឧទេរណ៍......................................................................២ 3. អ្នុគមនស៍និទន............................................................១៦ 4. អ្នុគមនអ៍្សនិទន......................................................១៣៨ 5. អ្នុគមនប៍្តី្នក្លណមាប្ត្ចប្មរេះ........................................១៧១
->,
- 1 -
1. រកដដនកំណត ់2. ទិសដៅអដថរភាព គណនាដដរដីវ រកបញសរបស់ដដរដីវ សិកាសញ្ញា ននដដរដីវ គណនាលីមតីត្តងចុ់ងដដនកំណត ់ គណនាតនមៃបរមា (ដបើមាន) រកអាសីុមតូត (ដបើមាន)
3.សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ 4.សងត់្ាបតាងអនុគមន័ រកចំណុចត្បសពវរវាងអក័សអាបសីុ់សនិងត្ាប (ដបើមាន) រកចំណុចត្បសពវរវាងអក័សអរដោដននិងត្ាប (ដបើមាន) ដធវើតារាងតនមៃដលខជំនយួ (ដបើចបំាច)់ សងត់្ាប
5. រកអក័សឆៃុុះ និងផចិតឆៃុុះ (ដបើមាន)
8
ក្បួនសិក្ាអថេរភាព
និងសង់ក្រាបតាងអនុគមន ៍
- 2 -
1 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមន៍2 9 18
( )2
x xf x
x
ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2 0x ឬ 2x ដូចដនុះ ដដនកំណតគឺ់ \{2}D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2
(2 9)(2 ) ( 9 18)'( )
(2 )
x x x xf x
x
2 2
2
(4 2 18 9 ) ( 9 18)
(2 )
x x x x x
x
2
2 2
4 ( 4)
(2 ) (2 )
x x x x
x x
ដោយ 2(2 ) 0x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ 'f មានសញ្ញា ដូច ( 4)x x ។ ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ ( 4) 0x x មានបញស 0, 4x x
x 0 2 4 '( )f x
គណនាលីមតីត្តងចុ់ងដដនកំណត ់
2
2 2
9 181
9 18lim ( ) lim lim
221
x x x
xxx x x
f xx
xx
00
- 3 -
2
9 181
( )(1 0 0)lim
2 (0 1)1
x
xx x
x
2
2 2
9 181
9 18lim ( ) lim lim
221
x x x
xxx x x
f xx
xx
2
9 181
( )(1 0 0)lim
2 (0 1)1
x
xx x
x
2
2 2
9 18 4 18 18lim ( ) lim
2 0x x
x xf x
x
2
2 2
9 18 4 18 18lim ( ) lim
2 0x x
x xf x
x
គណនាតនមៃបរមា
អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 0x គឺ 18(0) 9
2f
អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 4x គឺ 16 36 18(4) 1
2 4f
រកអាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដត្ទត ដោយ
2lim ( )x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប
- 4 -
មយ៉ាងដទៀត 2 9 18 4
( ) 72 2
x xf x x
x x
ដ ើយ 4lim 0
2x x
ដនាុះបនាទ ត់ 7y x ជាអាសីុមតូតដត្ទត
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរនិង 7y x ជាអាសីុមតូត ដត្ទតននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ តារាងអដថរភាព
x 0 2 4 '( )f x ( )f x
9 1
សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍
រក2 9 18
( ) : 0 , 02
x xC xóx y
x
មានបញស 3, 6x x
តារាងតនមៃដលខជំនយួ x 2 1 y 10 10
អាសីុមតូតដត្ទត 7y x x 3 4
7y x 4 3 ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f
00
- 5 -
ផចិតឆៃុុះ ផចិតឆៃុុះ ជាចំណុចត្បសពវរវាងអាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដត្ទត ដូចដនុះ ចំណុច (2,5)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។
2 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមន៍2
2
4 4 7( )
2
x xf x
x x
ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2 2 0x x ដបើសមាីរ 2 2 0x x មានបញស 1 , 2x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ \{ 2,1}D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2 2
2 2
(8 4)( 2) (2 1)(4 4 7)'( )
( 2)
x x x x x xf x
x x
: ( )C y f x
7y x
(2,5)I
2x
x
y
- 6 -
2 2
2 2
4(2 1)( 2) (2 1)(4 4 7)
( 2)
x x x x x x
x x
2 2
2 2
(2 1)[(4 4 8) (4 4 7)]
( 2)
x x x x x
x x
2 2 2 2
(2 1)( 15) 15(2 1)
( 2) ( 2)
x x
x x x x
ដោយ 2 2( 2) 0x x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 15(2 1)x
ដបើ '( ) 0f x សមមូល 15(2 1) 0x ដនាុះ 1
2x
x 2 1/ 2 1 '( )f x
គណនាលីមតីត្តងចុ់ងដដនកំណត ់
2
2
2
2 2
2
2 2
4 4 7lim ( ) lim
2
4 7 4 74 4
lim lim 41 2 1 2
1 1
x x
x x
x xf x
x x
xx xx x
xx xx x
2
2
4 4 7lim ( ) lim
2x x
x xf x
x x
0
- 7 -
2
2 2
2
2 2
4 7 4 74 4
lim lim 41 2 1 2
1 1x x
xx xx x
xx xx x
2
22 2
4 4 7 16 8 7lim ( ) lim
02x x
x xf x
x x
2
21 1
4 4 7 4 4 7lim ( ) lim
02x x
x xf x
x x
គណនាតនមៃបរមា
អនុគមន៍ f មានអតិបរមាត្តង់ 1
2x គឺ 1 8
( )2 3
f
រកអាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដដក ដោយ
2lim ( )
xf x
និង
1lim ( )x
f x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x និង 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ ដោយ lim ( ) 4
xf x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 4y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ x 2 1/ 2 1 '( )f x ( )f x
4 8/ 3
4
សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f
0
- 8 -
អក័សឆៃុុះ
បនាទ ត់ 1
2x ជាអក័សឆៃុុះរបស់ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f
ដបើ 1
2x ជាអក័សឆៃុុះ លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ ត់
1[2 ] ( )
2f x f x
2
2
1 4( 1 ) 4( 1 ) 7[2 ] ( 1 )
2 ( 1 ) ( 1 ) 2
x xf x f x
x x
2 2
2 2
4 8 4 4 4 7 4 4 7( )
1 2 1 2 2
x x x x xf x
x x x x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1
2x ជាអក័សឆៃុុះរបស់ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។
3 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាង ( ) 3 2 1f x x x ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 1 0 1x x
x
y
4y
1x 2x
: ( )C y f x
- 9 -
ដូចដនុះ ដដនកំណតរ់បស់អនុគមន៍ f គឺ [1, [D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ ( 1) ' 1 6 1 1'( ) (3 2) ' 3
2 1 2 1 2 1
x xf x x
x x x
ដោយ 2 1 0x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 6 1 1x ដគមាន 1 0x ដនាុះ 6 1 0x នាឲំ្យ 6 1 1 0x នាឲំ្យ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ x D លីមតីៈ lim ( ) lim (3 2 1)
x xf x x x
1 1
lim ( ) lim(3 2 1) 1x x
f x x x
តារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ x 1 '( )f x ( )f x
1 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍ តារាងតនមៃដលខជំនយួ
x 2 5 y 5 15
- 10 -
4 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាង 2( ) 3 2f x x x x
ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2 3 2 0x x ដបើ 2 3 2 0x x មានបញស 1 , 2x x
x 1 2 2 3 2x x
ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ ] ,1] [2, [D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2 2
( 3 2) ' 2 3'( ) 1 1
2 3 2 2 3 2
x x xf x
x x x x
ចំដ ុះ 2x ដនាុះ 2 3 0x នាឲំ្យ 2
2 31 0
2 3 2
x
x x
ដូចដនុះ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ 2x ។
x
y
: ( )C y f x
0 0
- 11 -
ចំដ ុះ 1x
2 2
1'( ) 0
2 3 2[2 3 2 (2 3)]
f x
x x x x x
លីមតីចុងដដនកំណត ់ 2lim ( ) lim ( 3 2)
x xf x x x x
2 2
2
3 2 3 2 3lim lim
23 2( 3 2) ( 1 )x x
x x x x
x x x x xx x
2lim ( ) lim ( 3 2)x x
f x x x x
រកអាសីុមតូត
ដោយ 3lim ( )
2xf x
ដនាុះបនាទ ត់ 3
2y ជាអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3
2y ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។
2
2 3 1( ) 3 2
2 4f x x x x x x
3( )
2x x x ដដល lim ( ) 0
xx
ដគបាន 32
2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 32
2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។
- 12 -
តារាងអដថរភាព x 1 2 '( )f x ( )f x 3/ 2
1 2
សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍
5 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាងអនុគមន ៍ 2( ) xf x x e
ដដនកំណត ់D ទិសដៅងដថរភាព 2 2'( ) 2 (2 )x x xf x xe x e x x e ដោយ 0xe ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 22x x ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 22 0x x មានបញស 0 , 2x x
x
y
2 3/ 2y x
3/ 2y
: ( )C y f x
0 0
- 13 -
x 0 2 '( )f x
ចំណុចបរមា ត្តង់ 0x និង 2x ដធវើឲ្យ '( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ពី ( ) ដៅ ( ) និងពី ( ) ដៅ ( ) ដរៀងគ្នន ដនាុះអនុគមន៍ f មានអបបបរមាត្តង់ 0x និងអតិបរមាត្តង់ 2x ។ ដគបាន (0) 0 , (2) 0.54f f ។ លីមតី 2lim ( ) lim x
x xf x x e
2lim ( ) lim 0x
x xf x x e
អាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 0
xf x
ដនាុះបនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ នាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ សងត់ារាងអដថរភាព
x 0 2 '( )f x ( )f x 0.54
0 0 សងត់្ាបC
តារាងតនមៃដលខ x 1 1 y 2.71 0.36
0 0
0 0
- 14 -
6 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាងអនុគមន៍ ln
( )x
f x xx
ដដនកំណត ់ ]0 , [D ទិសដៅអដថរភាព
2
2 2
1ln
1 ln'( ) 1
x xx xx
f xx x
ដោយ 2 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 1 lnx x ដគមាន 2x x ចំដ ុះត្គប់ x នាឲំ្យ 2 2ln 1 lnx x x x ឬ 2 1 ln 0x x ដគបាន '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប ់ x លីមតីចុងដដនកំណត ់
lnlim ( ) lim
x x
xf x x
x
ដត្ ុះ lnlim 0
x
x
x
x
y
2: ( ) xC y f x x e
- 15 -
0 0
lnlim ( ) lim
x x
xf x x
x
ដត្ ុះ 0
lim lnx
x
និង 0
lnlim
x
x
x
អាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដត្ទត ដោយ
0
lim ( )x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរ
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC តាងអនុគមន។៍
ដោយ ln( )
xf x x
x និង ln
lim 0x
x
x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC តាងអនុគមន។៍ តារាងអដថរភាព
x 0 '( )f x ( )f x
សងត់្ាបC អាសីុមតូតដត្ទត x 0 1 y 0 1
តារាងតនមៃដលខ x 1/ 3 1/ 2 1 2 y 3 0.8 1 2.34
- 16 -
លំហាត់ 1.1
ដគឲ្យអនុគមន៍2
( )2
ax bx cf x
x
ដដលមានដខសដាងC ។
ក.រកតនមៃដលខននដមគុណ a និងb ដោយដឹងថាដខសដាងCាត ់
តាមចំណុច 30, , ( 1,0) , (3,0)
2A B C
។
ខ.សិកាទិសដៅអដថរភាព និងសងត់្ាបតាងអនុគមន៍ f ។ ចថមលើយ
8១.អនុគមន៍សនិទាន
x
y
ln: ( )
xC y f x x
x y x
- 17 -
ក.រកតនមៃដមគុណ a និង b
f ាតត់ាម 30,
2A
ដនាុះ 23 0 0
2 0 2
a b c
33
2 2
cc
f ាតត់ាម ( 1,0)B ដនាុះ 2( 1) ( 1)
0( 1) 2
a b c
0 0 3 0 (1)3
a b ca b c a b
f ាតត់ាម (3,0)C ដនាុះ 23 3
03 2
a b c
9 3 0 9 3 3 0
3 1 0 (2)
a b c a b
a b
តាម (1) &(2) ដគបាន 3 0 (1)
3 1 0 (2)
a b
a b
បូកសមាីរ (1) &(2) ដគបាន 4 4 0 1a a តាម (1) 3 1 3 2b a ដូចដនុះ 1 , 2 , 3a b c ខ.សិកាទិសដៅអដថរភាព និងសងត់្ាបតាងអនុគមន៍ f
ចំដ ុះ , ,a b c ដដលរកដឃើញដគបាន2 2 3
( )2
x xf x
x
ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័លុុះត្តាដត 2 0 2x x
- 18 -
ដូចដនុះ ដដនកំណតគឺ់ \{2}D ទិសដៅអដថរភាព
2
2
(2 2)( 2) ( 2 3)'( )
( 2)
x x x xf x
x
2 2 2
2 2
(2 6 4) ( 2 3) 4 7
( 2) ( 2)
x x x x x x
x x
ដោយ 2( 2) 0x ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 4 7x x ដត 2 24 7 ( 2) 3 0x x x ចំដ ុះត្គប់ x D ដូដចនុះ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ x D លីមតីត្តងចុ់ងដដនកំណត ់
2 2 3
lim ( ) lim2x x
x xf x
x
2 2 3
lim ( ) lim2x x
x xf x
x
2
2 2
2 3 4 4 3lim ( ) lim
2 0x x
x xf x
x
2
2 2
2 3 4 4 3lim ( ) lim
2 0x x
x xf x
x
រកអាសីុមតូត ដោយ
2lim ( )x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរ
- 19 -
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។
ដោយ2 2 3 3
( )2 2
x xf x x
x x
ដ ើយ 3
lim 02x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ តារាងអដថរភាព
x 2 '( )f x ( )f x
សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍ រក ( )C xóx គឺ 0, 1 , 3y x x រក ( )C yóy គឺ 0 , 3/ 2x y តារាងតនមៃដលខ x 1 4 5 y 4 2.5 4
: ( )C y f x
x
y x
I
2x
y
- 20 -
ផចិតឆៃុុះ អាសីុមតូតឈរ 2x និងអាសីុមតូតដត្ទត y x ជបួគ្នន ត្តង់ (2,2)I
តាមរូបមនតបំដលងអក័ស o
o
x x X
y y Y
ឬ 2
2
x X
y Y
យក 2x X និង 2y Y ជំនសួកនុង2 2 3
2
x xy
x
ដគបាន 2(2 ) 2(2 ) 3
2(2 ) 2
X Xy
X
24 4 4 2 3
2X X X
YX
2 22 3 3
2X X X
YX X
ឬ
2 3( )
XF X
X
ជំនសួ X ដោយ ( )X ដគបាន
2 2( ) 3 3
( ) ( )X X
F X F XX X
ដោយ ( ) ( )F X F X ដនាុះ Fជាអនុគមនដ៍សស ដូចដនុះ (2,2)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ លំហាត់ 1.2
f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
2
7 16( )
2 6
x xf x
x x
និងC ជាត្ាបតាង
អនុគមនដ៍ៅកនុងតត្មុយអរតូណរដម ( , , )o i j
ដដលមានឯកតា1cm ។ ក. សិកាទិសដៅអដថរភាពននត្ាបC ត្ពមទងំអាសីុមតូតដត្ទត ។
- 21 -
ខ. សងត់ារាងអដថរភាព ។ គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅនឹងត្ាបC ត្តងអ់ាបសីុ់ស 1ox ។
ឃ. បនាទ ត់Dមានសមាីរ 13 3
4 4y x ។ ដោុះត្ាយវសិមាីរ
2
2
7 16 13 3
4 42 6
x xx
x x
ដោយដត្បើត្ាប ។
ចថមលើយ
ក. សិកាទិសដៅអដថរភាពននត្ាបC ត្ពមទងំអាសីុមតូតដត្ទត ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 22 6 0x x ឬ 0 , 3x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ \{ 3,0}D ។ ទិសដៅអដថរភាព
2 2
2 2
(2 7)(2 6 ) (4 6)( 7 16)'( )
(2 6 )
x x x x x xf x
x x
3 2 3 2
2 2
(4 26 42 ) (4 34 106 96)
(2 6 )
x x x x x x
x x
2 2
2 2 2 2
8 64 96 8( 8 12)
(2 6 ) (2 6 )
x x x x
x x x x
ដោយ 2 2(2 6 ) 0x x ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 28( 8 12)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 8 12 0x x សមមូល ( 2)( 6) 0x x នាឲំ្យ 2, 6x x
- 22 -
x 6 3 2 0 '( )f x
តនមៃបរមា
f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 6x គឺ 10( 6) 0.27
36f
f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ 3( 2) 1.5
2f
លីមតីចុងដដនកំណត ់
2
2
7 16lim ( ) lim
2 6x x
x xf x
x x
2
2 2
2
7 16 7 161 1
1lim lim
6 6 22 2
x x
xx xx x
xx x
2
2
7 16lim ( ) lim
2 6x x
x xf x
x x
2
2 2
2
7 16 7 161 1
1lim lim
6 6 22 2
x x
xx xx x
xx x
2
23 3
7 16 9 21 16lim ( ) lim
02 6x x
x xf x
x x
2
20 0
7 16 0 0 16lim ( ) lim
02 6x x
x xf x
x x
00
- 23 -
រកអាសីុមតូតឈរនិងអាសីុមតូតដដក ដោយ
3lim ( )
xf x
និង
0lim ( )x
f x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3x និង 0x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។
ដោយ 1lim ( )
2xf x
ដនាុះបនាទ ត់ 1
:2
y ជាអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1:
2y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។
ខ. សងត់ារាងអដថរភាព x 6 3 2 0 '( )f x ( )f x 1
2
0.27
3
2
1
2
គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅនឹងត្ាបC ត្តងអ់ាបសីុ់ស 1ox សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 1ox គឺ '(1)( 1) (1)y f x f
ដោយ 2
2 2
8( 8 12)'( )
(2 6 )
x xf x
x x
ដនាុះ 21
'(1)8
f
ដ ើយ2
2
7 16( )
2 6
x xf x
x x
ដនាុះ (1) 3f
ដគបាន 21 21 45( 1) 3
8 8 8y x x
00
- 24 -
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 21 45
8 8y x ។
ឃ. ដោុះត្ាយវសិមាីរ 2
2
7 16 13 3
4 42 6
x xx
x x
ដោយដត្បើត្ាប
x 0 1 x 0 1 13 3
4 4y x 3
4 4 21 3
8 8y x 3
8 3
តារាងតនមៃដលខ x 4 7 / 2 3/ 2 1 1 5/ 2 9 / 2 y 1/ 2 1 2 5/ 2 3 3/ 2 1
តាមត្ាបដបើ
2
2
7 16 13 3
4 42 6
x xx
x x
លុុះត្តាដត
21 45
8 8y x
13 3
4 4y x
C
y
x
- 25 -
[ , 3[ ] 3, 1[ ]0, 0.843[x ដូចដនុះ [ , 3[ ] 3, 1[ ]0, 0.843[x
លំហាត់ 1.3
f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
4( )
2
x bf x
x bx c
ដដល b និង cជាច ំ
ននួពិត។ ក. កំណត់ a និង b ដដើមបឲី្យដខសដាងមានបរមា(អតិបរមានិងអបបបរមា) ត្តង់ 2x និង 1x ។
ខ. សិកាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
4 2( )
2 2 5
xf x
x x
មានត្ាបC
កនុងតត្មុយអរតូណរដម។
គ. បង្ហា ញថាC មានចំណុច 1,0
2A
ជាផចិតឆៃុុះ។ កំណតស់មាីរ
បនាទ តប់៉ាុះT ដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A រចួសិកាទីតាងំននC និងT ចថមលើយ
ក. កំណតត់នមៃ a និង b
ដគមាន2
4( )
2
x bf x
x bx c
ដដរដីវ 2
2 2
4(2 ) (4 )(4 )'( )
(2 )
x bx c x b x bf x
x bx c
2 2 2
2 2
(8 4 4 ) (16 8 )
(2 )
x bx c x bx b
x bx c
- 26 -
2 2
2 2
8 4 4
(2 )
x bx c b
x bx c
ដបើ f មានបរមាត្តង់ 2x និង 1x ដនាុះ '( 2) 0
'(1) 0
f
f
នាឲំ្យ
2
2
2
2
32 8 40
(2 )
8 4 40
(2 )
b c b
b c
b c b
b c
2
2
8 4 32 (1)
4 4 8 (2)
b c b
b c b
យក (1) ដក (2) ដគបាន 12 24 2b b តាម 2(1) : 8 4 32 16 4 4 32b c b c 4 32 12 20 4 5c c ដូចដនុះ 2 , 5b c
ខ. សិកាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
4 2( )
2 2 5
xf x
x x
ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 22 2 5 0x x 2' 1 2 5 9 0 គ្នា នបញស ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2 2
2 2 2 2
8 8 16 8( 2)'( )
(2 2 5) (2 2 5)
x x x xf x
x x x x
ដោយ 2 2(2 2 5) 0 ,x x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច
- 27 -
ព ុធា 2 2x x ។ ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 0x x មានបញស 2 , 1x x
x 2 1 '( )f x
តនមៃបរមា
តនមៃអបបបរមា 2( 2)
3f និងតនមៃអតិបរមា 2
(1)3
f
លីមតីចុងដដនកំណត ់
2
4 2lim ( ) lim 0
2 2 5x x
xf x
x x
2
4 2lim ( ) lim 0
2 2 5x x
xf x
x x
អាសីុមតូតដដក ដោយ lim ( ) 0
xf x
ដនាុះបនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន។៍ សងត់ារាងអដថរភាព
x 2 1 '( )f x ( )f x 0 2 / 3
2 / 3 0 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍ រក ( )C xóx គឺ 0 , 4 2 0 1/ 2y x x
0 0
0 0
- 28 -
រក ( )C yóy គឺ 0 , 2 /5x y
គ. បង្ហា ញថាC មានចំណុច 1
,02
A
ជាផចិតឆៃុុះ
ដបើ 1,0
2A
ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង
(2 ) ( ) 2f a x f x b ឬ ( 1 ) ( ) 0f x f x
ដគបាន2
4( 1 ) 2( 1 )
2( 1 ) 2( 1 ) 5
xf x
x x
2 2
4 2 4 2( )
2 4 2 2 2 5 2 2 5
x xf x
x x x x x
នាឲំ្យ ( 1 ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x f x f x ដផទៀងផ្ទទ ត ់
ដូចដនុះ 1,0
2A
ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។
កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះT ដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A
សមាីរបនាទ ត ់ 1 1: '( )( )
2 2oT y f x y
x
y
8 4:
9 9T y x
C
- 29 -
តាម 1,0
2A
ដគបាន 0oy
ដ ើយ2
2 2
8( 2)'( )
(2 2 5)
x xf x
x x
នាឲំ្យ 1 8
'( )2 9
f
ដគបាន 8 1 8 4: ( ) 0
9 2 9 9T y x x
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 8 4:
9 9T y x ។
សិកាទីតាងំដធៀបរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់T
2
2 2
4 2 8 4 2(2 1)(2 1)( )
9 92 2 5 9(2 2 5)
x x xf x y x
x x x x
ដោយ 2(2 1) 0x និង 22 2 5 0x x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ ( )f x y មានសញ្ញា ដូច 2(2 1)x
ដបើ ( ) 0f x y នាឲំ្យ 12 1 0
2x x
x 1/ 2 ( )f x y
ដូចដនុះ ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់T ចំដ ុះត្គប់ 1
2x
ត្ាបC ជបួនឹងបនាទ ត់T ដៅត្តង ់ 1, 0
2x y
ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមបនាទ ត់T ចំដ ុះត្គប់ 1
2x ។
0
- 30 -
លំហាត់ 1.4
១. f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
2
2 2( )
( 1)
x xf x
x
ដ ើយមានត្ាប
C ដៅកនុងតត្មុយអរតូកូណាល់ ដដលមានឯកតា 2cm ដលើអក័សអាប ់ សីុស និង1cm ដលើអក័សអរដោដន។ ក. សិកាអដថរភាពនន f ។ ខ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តងចំ់ណុចមានអាបសីុ់សដសាើ 0 ។ គ. គណនាដដរដីវទីពីរ ''f ដ ើយកំណតកូ់អរដោដនននចំណុចរបត។់ ឃ. គូសត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ ង. បង្ហា ញថាចំដ ុះត្គប់ xជារបស់សំណំុននដដនកំណត,់ f អាចសរដសរ
ជាទត្មង ់2
( )1 ( 1)
b cf x a
x x
ដដល ,a b និង cជាចំននួពិត
ត្តូវកំណត។់ ច. ដោយដត្បើត្ាបC ដោុះត្ាយសមាីរអដថរ x ដ ើយmជាបា៉ា រា៉ា ដម៉ាត 2( 1) 2( 1) 2 0m x m x m ។
២. gជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ 4( )
1
xg x
x
និង H ជាត្ាបតាងដៅ
កនុងតត្មុយដូចគ្នន ខាងដលើ ។ ក. សិកាអដថរភាពនន g ។ រកកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងH និងអក័ស ត្ពមទងំសរដសរសមាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅត្តងចំ់ណុចដនាុះ។ ខ. បង្ហា ញថាត្ាបH មានផចិតឆៃុុះមយួ។ គ. រកកូអរដោដនននចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងត្ាប H ។
- 31 -
ឃ. គូសត្ាបH ។ ចថមលើយ
១.ដគមាន 2
2
2 2( )
( 1)
x xf x
x
ក. សិកាអដថរភាពនន f ដដនកំណត ់ \{1}D ទិសដៅអដថរភាព
2 2
4
( 2 2)( 1) 2( 1)( 2 2)'( )
( 1)
x x x x xf x
x
2
4
2( 1)[( 1)( 1) ( 2 2)]
( 1)
x x x x x
x
2 2
4 4
2( 1)( 1 2 2) 2( 1)(2 1)
( 1) ( 1)
x x x x x x
x x
ដោយ 4( 1) 0 ,x x ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2( 1)(2 1)x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2( 1)(2 1) 0x x មានបញស 11 ,
2x x
x 1/ 2 1 '( )f x
តនមៃអតិបរមា
f មានអតិបរមាត្តង ់ 1
2x គឺ 1
( ) 32
f
0
- 32 -
លីមតីចុងដដនកំណត ់
2
2 2
2 22
2 21
2 2lim ( ) lim lim
( 1) 11
x x x
xxx x x
f xx
xx
2
2 2
2 21
1 0 0lim 1
(1 0)11
x
x x
x
2
2 2
2 22
2 21
2 2lim ( ) lim lim
( 1) 11
x x x
xxx x x
f xx
xx
2
2 2
2 21
1 0 0lim 1
(1 0)11
x
x x
x
2
21 1
2 2 1 2 2lim ( ) lim
( 1) 0x x
x xf x
x
រកអាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដដក ដោយ
1lim ( )x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។
- 33 -
ដោយ lim ( ) 1x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
x 1/ 2 1 '( )f x ( )f x 3
1 1
ខ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តងចំ់ណុចមានអាបសីុ់សដសាើ 0 សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x គឺ '(0)( 0) (0)y f x f ដោយ '(0) 2 , (0) 2f f ដគបាន 2 2y x ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 2 2y x ។ គ. គណនាដដរដីវទីពីរ ''f ដ ើយកំណតកូ់អរដោដនននចំណុចរបត។់
ដគមាន 4 3
2( 1)(2 1) 2(2 1)'( )
( 1) ( 1)
x x xf x
x x
នាឲំ្យ 3 2
6
4( 1) 6( 1) (2 1)''( )
( 1)
x x xf x
x
4 4 4
4( 1) 6(2 1) 4 4 12 6 8 2
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x
x x x
ដបើ ''( ) 0f x នាឲំ្យ 18 2 0
4x x
x 1/ 4 y
0
0
- 34 -
ត្តង់ 1
4x ដធវើឲ្យ ''( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ដនាុះត្ាបC មានចំណុច
របតត់្តង់ 1
4x និង 1 23
( )4 9
y f
ដូចដនុះ ចំណុចរបតគឺ់ 1 23( , )4 9
។
ឃ. គូសត្ាបC តាងអនុគមន៍ f
ង. បង្ហា ញថា f អាចសរដសរជាទត្មង ់
2( )
1 ( 1)
b cf x a
x x
ដដល ,a b និង cជាចំននួពិតត្តូវកំណត ់
2 2
2 2
( 1) ( 1) ( 2 1) ( 1)( )
( 1) ( 1)
a x b x c a x x b x cf x
x x
2
2
( 2 ) ( )
( 1)
ax a b x a c
x
ដត
2
2
2 2( )
( 1)
x xf x
x
C2 2y x
y m
1y
y
x
1x
- 35 -
ដគទញបាន 1 1
2 2 4
2 3
a a
a b b
a c c
ដូចដនុះ 2
4 3( ) 1
1 ( 1)f x
x x
។
ច. ដោយដត្បើត្ាបC ដោុះត្ាយសមាីរអដថរ x ដ ើយmជាបា៉ា រា៉ា ដម៉ាត 2( 1) 2( 1) 2 0m x m x m 2 2( 2 ) ( 2 2) 0mx mx m x x 2 2( 2 1) ( 2 2)m x x x x
2
2
2 2
( 1)
x xm
x
ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និងបនាទ ត ់
ចល័ត y m ។ តាមត្ាបដគបានៈ ចំដ ុះ ]3 , [m សមាីរគ្នន នបញស
ចំដ ុះ 3m សមាីរមានបញសមយួ 1
2x
ចំដ ុះ ]2 , 3[m សមាីរមានបញសពីរ 1 20 x x ចំដ ុះ ]1 , 2[m សមាីរមានបញសពីរ 1 20x x ចំដ ុះ ] , 1[m សមាីរមានបញសមយួ 0x ។
២. g ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ 4( )
1
xg x
x
មានត្ាបH
ក. សិកាអដថរភាពនន g ដដនកំណត ់ \{1}D
- 36 -
ទិសដៅអដថរភាព
2 2
( 1) ( 4) 5'( ) 0 ,
( 1) ( 1)
x xg x x D
x x
លីមតីចុងដដនកំណត ់
4
14
lim ( ) lim lim 111
1x x x
xx x
g xx
xx
1 1
4 1 4lim ( ) lim
1 0x x
xg x
x
រកអាសីុមតូត lim ( ) 1
xg x
ដនាុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបH
1
lim ( )x
g x
ដនាុះបនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបH
រកកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងH និងអក័សត្ពមទងំសរដសរ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅត្តងចំ់ណុចដនាុះ រក ( )H xóx គឺ 0 , 4y x រក ( )H yóy គឺ 0 , 4x y សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 4x គឺ '( 4)( 4) ( 4)y g x g
ដោយ 1'( 4) , ( 4) 0
5g g ដគបាន 1
( 4)5
y x
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 4x គឺ 1( 4)
5y x ។
សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x គឺ '(0)( 0) (0)y g x g
- 37 -
ដោយ '(0) 5 , (0) 4g g ដគបាន 5 4y x ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x គឺ 5 4y x ។ ខ. បង្ហា ញថាត្ាបH មានផចិតឆៃុុះមយួ។ អាសីុមតូតឈរនិងដដកត្បសពវគ្នន ត្តង ់ (1 , 1)I ដបើ (1 , 1)I ជាផចិតឆៃុុះលុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង (2 ) ( ) 2g a x g x b ឬ (2 ) ( ) 2g x g x
ដគបាន (2 ) 4 6 6(2 )
(2 ) 1 1 1
x x xg x
x x x
នាឲំ្យ 6 4 2 2(2 ) ( ) 2
1 1 1
x x xg x g x
x x x
(ពិត)
ដូចដនុះ ត្ាប H មានផចិតឆៃុុះមយួគឺ (1 , 1)I ។ គ. រកកូអរដោដនននចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងត្ាប H ។
សមាីរអាបសីុ់សៈ 2
2
2 2 4
1( 1)
x x x
xx
2
2 2
2 2 ( 1)( 4)
2 2 3 4
2 2 3 4 2
x x x x
x x x x
x x x
ដបើ 2x នាឲំ្យ 2 46
2 1y
ដូចដនុះ ត្ាបC និងត្ាបH ត្បសពវគ្នន ត្តង់ (2 , 6) ។ ឃ. គូសត្ាបH
- 38 -
លំហាត់ 1.5
f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
2
5( 12)( )
3
x xf x
x x
។
ក. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ដ ើយសងត់្ាបC ដៅកនុងតត្មុយអរ
តូណរដម ( , , )o i j
។
ខ. បង្ហា ញថាបនាទ តដ់ដលមានសមាីរ 1
2x ជាអក័សឆៃុុះននត្ាបC ។
គ. កំណតកូ់អរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់D ដដលមាន
សមាីរ 7( ) ( 3)
3g x x ។ កំណតទី់តាងំដធៀបរវាងD និងC ។
ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ដ ើយសងត់្ាបC
HC
1y
5 4y x
1( 4)
5y x
1x
y
x
(1, 1)I
- 39 -
ដគមាន 2
2
5( 12)( )
3
x xf x
x x
ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័លុុះត្តាដត 2 3 0x x
ដត 2 2 21 1 1 113 ( ) 3 ( ) 0,
2 4 2 4x x x x x
ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ D ។ ទិសដៅអដថរភាព
2 2
2 2
5(2 1)( 3) (2 1)5( 12)'( )
( 3)
x x x x x xf x
x x
2 2
2 2
5(2 1)( 3 12)
( 3)
x x x x x
x x
2 2 2 2
5(2 1)(15) 75(2 1)
( 3) ( 3)
x x
x x x x
2 2( 3) 0 ,x x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 1x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 12 1 0
2x x
x 1/ 2 '( )f x
តនមៃអបបបរមា ដៅត្តង់ 1/ 2x ដធវើឲ្យ '( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ពី ( ) ដៅ ( ) នាឲំ្យ f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1/ 2x ។
0
- 40 -
ដបើ 1
2x
នាឲំ្យ 1 245
( ) 22.32 11
f
លីមតីចុងដដនកំណត ់
2
2
5( 12)lim ( ) lim 5
3x x
x xf x
x x
2
2
5( 12)lim ( ) lim 5
3x x
x xf x
x x
រកអាសីុមតូតដដក ដោយ lim ( ) 5
xf x
ដនាុះបនាទ ត់ 5y ជាអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 5y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ តារាងអដថរភាព
x 1/ 2 '( )f x ( )f x 5 5
22.3 សងត់្ាបC រក ( ' )C x ox គឺ 0 , 3 , 4y x x រក ( ' )C y oy គឺ 0 , 20x y
x 0 3 ( )g x 7 0
0
- 41 -
ខ. បង្ហា ញថាបនាទ តដ់ដលមានសមាីរ 1
2x ជាអក័សឆៃុុះននត្ាបC
ដបើ 1
2x លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ ត ់ (2 ) ( )f a x f x
គណនា 2
2 2
5[( 1 ) ( 1 ) 12](2 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 3
x xf a x f x
x x
2
2
5[( 1 ) ( 1 ) 12](2 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 3
x xf a x f x
x x
2 2
2 2
5(1 2 1 12) 5( 12)( )
1 2 1 3 3
x x x x xf x
x x x x x
(ពិត)
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1
2x ជាអក័សឆៃុុះននត្ាបC ។
គ. កំណតកូ់អរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់D
( )g x
: ( )C y f x
5y y
x
- 42 -
សមាីរអាបសីុ់ស 2
2
5( 12) 7( 3)
33
x xx
x x
2 215( 12) 7( 3)( 3)x x x x x 2 3 2 215( 12) 7( 3 3 3 9)x x x x x x x 2 3 215 15 180 7 14 63x x x x 3 27 29 15 117 0x x x 2( 3)(7 8 39) 0x x x
នាឲំ្យ 2
3 0 3
7 8 39
x x
x x
2' 16 273 289 17 4 17 13 4 17 21
1.85 , 37 7 7 7
x x
ចំដ ុះ 13
7x នាឲំ្យ 34
3y
ចំដ ុះ 3x នាឲំ្យ 0y ដូចដនុះ ត្ាបC និងបនាទ ត់D ត្បសពវគ្នន ត្តងពី់រចំណុចគឺ
13 34,
7 3
និង (3, 0) ។
កំណតទី់តាងំដធៀបរវាងD និងC ។ x 13/ 7 3 2( 3)(7 8 39)x x x
ដូចដនុះ ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់D ចំដ ុះត្គប់ ] , 13/ 7[x 00
- 43 -
ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់D ចំដ ុះត្គប់ ]3, [x ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមបនាទ ត់D ចំដ ុះត្គប់ ] 13/ 7, 3[x ត្ាបC និងបនាទ ត់D ជបួគ្នន ត្តង់ 13/ 7x និង 3x ។ លំហាត់ 1.6
f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
( )2
xf x
x
។
ក. សិកាអដថរភាពនន f រចួបង្ហា ញថា ( )f x អាចសរដសរជាទត្មង ់
4( ) 2
2f x x
x
។ បង្ហា ញថាត្ាបC តាងអនុគមន៍ f មានអា
សីុមតូតដត្ទតមយួ។ សងត់្ាបC កនុងតត្មុយអរតូណរដម ( , , )o i j
។ ខ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះ D ដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A ដដលមាន អាបសីុ់សដសាើ 2 ។ សងប់នាទ ត់D ។ កំណតកូ់អរដោដនននចំណុច P និង Q ដដលជាចំណុចត្បសពវរវាងបនាទ ត់D និងអាសីុមតូតរបស់ត្ាបC រចួបង្ហា ញថា Aជាចំណុចកណាត លននអងកត់[ , ]P Q ។
គ. gជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
( )| | 2
xg x
x
។
កំណតសំ់ណំុចំណុចដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ gមាននយ័។ ដត្បៀបដធៀប ( )g x ដៅនឹង ( )g x ។ បញ្ញា កសំ់ណំុតនមៃនន x ដដល ( ) ( )f x g x ដ ើយសននិោា នត្ាប តាងអនុគមន៍ g ។ ចថមលើយ
- 44 -
ក. សិកាអដថរភាពនន f
ដគមាន 2
( )2
xf x
x
ដដនកំណត ់ \{ 2}D ទិសដៅអដថរភាព
2 2 2 2
2 2 2
2 ( 2) 2 4 4'( )
( 2) ( 2) ( 2)
x x x x x x x xf x
x x x
ដោយ 2( 2) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 4x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 4 0x x មានបញស 0, 4x x
x 4 2 0 '( )f x
តនមៃបរមា f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 4x គឺ ( 4) 8f f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 0x គឺ (0) 0f លីមតីចុងដដនកំណត ់
2
lim ( ) lim2x x
xf x
x
2
lim ( ) lim2x x
xf x
x
2
2 2lim ( ) lim
2x x
xf x
x
អាសីុមតូត
0 0
- 45 -
ដោយ2
lim ( )x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរ
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f
បង្ហា ញថា ( )f x អាចសរដសរជាទត្មង់ 4( ) 2
2f x x
x
ដគបាន 2 24 ( 2)( 2) 4 4 4
22 2 2 2
x x x xx
x x x x
ដត 2
( )2
xf x
x
នាឲំ្យ 4
( ) 22
f x xx
ដូចដនុះ ( )f x អាចសរដសរជាទត្មង់ 4( ) 2
2f x x
x
។
បង្ហា ញថាត្ាបC តាងអនុគមន៍ f មានអាសីុមតូតដត្ទតមយួ។
ដោយ 4( ) 2
2f x x
x
ដ ើយ 4
lim 02x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។
សងត់្ាបC កនុងតត្មុយអរតូណរដម ( , , )o i j
។ តារាងតនមៃដលខ x 0 2 2y x 2 0 x 6 3 1 2 ( )y f x 9 9 1 1
- 46 -
ផចិតឆៃុុះ អាសីុមតូតឈរ 2x និងអាសីុមតូតដត្ទត 2y x ជបួគ្នន ត្តង ់ ចំណុច ( 2, 4)I ។ ដបើ ( 2, 4)I ជាផចិតឆៃុុះលុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង (2 ) ( ) 2f a x f x b ឬ ( 4 ) ( ) 8f x f x
ដគបាន 2 2( 4 ) (16 8 )
( 4 )( 4 ) 2 2
x x xf x
x x
2 2(16 8 ) (16 8 )
( 4 ) ( )2 2 2
x x x xf x f x
x x x
8(2 )8 2
2
xb
x
(ដផទៀងផ្ទទ ត)់
ដូចដនុះ ចំណុច ( 2, 4)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។
x
2x
y
P
QA
2y x
3 1:
4 2D y x
: ( )C y f x
: ( )y g x
I
- 47 -
ខ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះ D ដៅនឹងត្ាបC សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 2x គឺ : '(2)( 2) (2)D y f x f
ដោយ 12 3'(2)
16 4f និង
22(2) 1
2 2f
ដគបាន 3 3 1: ( 2) 1
4 4 2D y x x
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 3 1:
4 2D y x ។
សងប់នាទ ត់D (មានដៅកនុងត្ាបខាងដលើ) កំណតកូ់អរដោដនននចំណុច P និងQ
Pជាចំណុចត្បសពវរវាងអាសីុមតូតឈរ 2x និង 3 1:
4 2D y x
ដបើ 2x ដនាុះ 3 1 3 1( 2) 2
4 2 2 2y
ដូចដនុះ កូអរដោដនចំណុច P គឺ ( 2, 2)P ។
Qជាចំណុចត្បសពវរវាងអាសីុមតូត 2y x និង 3 1:
4 2D y x
សមាីរអាបសីុ់ស 3 12 4( 2) (3 2)
4 2x x x x
ឬ 4 8 3 2 6x x x នាឲំ្យ 6 2 4y ដូចដនុះ កូអរដោដនចំណុចQ គឺ (6,4)Q ។ បង្ហា ញថា Aជាចំណុចកណាត លននអងកត់[ , ]P Q ចំណុច Aមានអាបសីុ់ស 2x នាឲំ្យ (2) 1y f ដគបានកូអរដោដនចំណុច A គឺ (2,1)A
- 48 -
ដគមាន ( 2, 2)P និង (6,4)Q
ចំណុចកណាត លនន [ , ]P Q គឺ 2 6 2 4,
2 2
ឬ (2,1)
ដូចដនុះ ចំណុច Aជាចំណុចកណាត លននអងកត់ [ , ]P Q ។
គ. gជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
( )| | 2
xg x
x
កំណតសំ់ណំុចំណុចដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ gមាននយ័ អនុគមន៍ g មាននយ័ាលណា | | 2 0x ដត | | 0,x x ដនាុះ | | 2 0x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ g គឺ gD ។ ដត្បៀបដធៀប ( )g x ដៅនឹង ( )g x
2
2
2
, 0( ) 2
( )| | 2
, 02
xx
x xg x
x xx
x
2
2
2
, 0( ) 2
( )| | 2
, 02
xx
x xg x
x xx
x
ដូចដនុះ ( ) ( )g x g x ចំដ ុះត្គប់ x ។ បញ្ញា កសំ់ណំុតនមៃនន x ដដល ( ) ( )f x g x
ករណី 0x ដគបាន 2
( ) ( )2
xf x g x
x
- 49 -
ករណី 0x ដគបាន 2 2
2 2
x x
x x
ឬ 1 1
2 2x x
2 2 2 0 0x x x x មនិយកដត្ ុះ 0x ដូចដនុះ ( ) ( )f x g x ចំដ ុះត្គប់ 0x ។ សននិោា នត្ាប តាងអនុគមន៍ g ។ ដោយ ( ) ( )g x f x ចំដ ុះត្គប់ 0x នាឲំ្យត្ាប ត្តួតសីុគ្នន នឹងត្ាបC ចំដ ុះត្គប់ 0x ។ ដ ើយ g ជាអនុគមនគូ៍ ដត្ ុះ ( ) ( )g x g x នាឲំ្យត្ាបមានរាងជាបា៉ា រា៉ា បូល ដដលមាន 0x ជាអក័សឆៃុុះ ។ លំហាត់ 1.7
អនុគមន៍ f កំណតដ់លើ ] 3 , [ ដោយ2 2 6
( )3
x xf x
x
។
ក. គណនា '( )f x ដដល 'f ជាដដរដីវរបស់ f ។ ខ. រកលីមតី ( )f x ាលណា 3x និង x ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាព ។ ឃ. រកបីចំននួ ,a b និង c ដដលចំដ ុះត្គប់ 3x ដគបាន
( )3
cf x ax b
x
។
ង. កំណតរ់កអាសីុមតូតពីរននដខសដាងC ។ ច. គូសដខសដាងC និងអាសីុមតូតកនុងតត្មុយដតមយួ។ ចថមលើយ
ក. គណនា '( )f x
- 50 -
ដគមាន 2 2 6
( )3
x xf x
x
ចំដ ុះត្គប់ ] 3 , [x
2
2
( 2 2)( 3) ( 2 6)'( )
( 3)
x x x xf x
x
2 2 2
2 2 2
( 2 4 6) ( 2 6) 6 ( 6)
( 3) ( 3) ( 3)
x x x x x x x x
x x x
ដូចដនុះ 2
( 6)'( )
( 3)
x xf x
x
ចំដ ុះត្គប់ 3x ។
ខ. រកលីមតី ( )f x ាលណា 3x និង x
2 2 6
lim ( ) lim lim ( )3x x x
x xf x x
x
2
3 3
2 6 9 6 6lim ( ) lim
3 0x x
x xf x
x
ដូចដនុះ 3
lim ( ) , lim ( )x x
f x f x
គ. សងត់ារាងអដថរភាព
2
( 6)'( )
( 3)
x xf x
x
ដោយ 2( 3) 0x ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច ( 6)x x ។ ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ ( 6) 0x x មានបញស 0 , 6 3x x (មនិយក) តនមៃអតិបរមា (0) 2f
- 51 -
x 3 0 '( )f x ( )f x 2
ឃ. រកបីចំននួ ,a b និង c ដដលចំដ ុះត្គប់ 3x
ដគបាន ( )3
cf x ax b
x
ដត2 2 6 9
( ) 53 3
x xf x x
x x
ដគទញបាន 1 , 5 , 9a b c ដូចដនុះ 1 , 5 , 9a b c ង. កំណតរ់កអាសីុមតូតពីរននដខសដាងC ដោយ
3
lim ( )x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 3x ជាអាសីុមតូតឈរ
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។
មយ៉ាងដទៀត 9( ) 5
3f x x
x
និង 9
lim 03x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 5y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ ច. គូសដខសដាងC និងអាសីុមតូតកនុងតត្មុយដតមយួ តារាងតនមៃដលខ x 0 1 y 5 4
រក ( ' )C x ox គឺ 20 , 2 6 0y x x មានបញស 1 7x
0
- 52 -
លំហាត់ 1.8
f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
2
3 6 3( )
2
x xf x
x
និងមានត្ាបC ។
ក. រកអដថរភាពននអនុគមន។៍ ខ. គណនាលីមតីនន ( )f x ាលណា x និង x ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f និងត្ាបC ។ ឃ.គណនា ( ) 3f x និងកំណតស់ញ្ញា របស់វា។ ចថមលើយ
ក. រកអដថរភាពននអនុគមន ៍
ដគមាន2
2
3 6 3( )
2
x xf x
x
ដដនកំណត ់ ដោយ 2 0 ,x x ដនាុះ 2 2 0x ចំដ ុះត្គប់ x
x
y
5y x 3x
: ( )C y f x
- 53 -
ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2 2
2 2
(6 6)( 2) (2 )(3 6 3)'( )
( 2)
x x x x xf x
x
3 2 3 2
2 2
2[(3 6 3 6) (3 6 3 )]
( 2)
x x x x x x
x
2
2 2
2( 3 3 6)
( 2)
x x
x
ដោយ 2 2( 2) 0 ,x x ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 22( 3 3 6)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 23 3 6 0x x 3( 1)( 2) 0x x នាឲំ្យ 1 , 2x x
x 1 2 '( )f x
តនមៃបរមា f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1x គឺ ( 1) 0f f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 4.5f ខ. គណនាលីមតីនន ( )f x ាលណា x និង x
2
2
3 6 3lim ( ) lim 3
2x x
x xf x
x
2
2
3 6 3lim ( ) lim 3
2x x
x xf x
x
0 0
- 54 -
ដោយ lim ( ) 3x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 3y ជាអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3y អាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន ៍។ គ. សងត់ារាងអដថរភាព
x 1 2 '( )f x ( )f x 3 4.5
0 3 សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f រក ( ' )C y oy គឺ 0x ដនាុះ 3/ 2 1.5y តារាងតនមៃដលខ x 4 2 1 2.5
y 1.5 0.5 4 4.4
ឃ. គណនា ( ) 3f x
2 2 2
2 2
3 6 3 (3 6 3) 3( 2)( ) 3 3
2 2
x x x x xf x
x x
x
y
: ( )C y f x
3y
0 0
- 55 -
2 2
2 2 2
3 6 3 3 6 6 6 6( 1)
2 2 2
x x x x x
x x x
ដូចដនុះ 2
6( 1)( ) 3
2
xf x
x
កំណតស់ញ្ញា របស់ ( ) 3f x ដោយ 2 2 0 ,x x ដនាុះ ( ) 3f x មានសញ្ញា ដូច 6( 1)x ដបើ ( ) 3 0f x នាឲំ្យ 6( 1) 0 1x x
x 1 ( ) 3f x
ដបើ 1x នាឲំ្យ ( ) 3 0f x ឬ ( ) 3f x ដបើ 1x នាឲំ្យ ( ) 3 0f x ឬ ( ) 3f x ដបើ 1x នាឲំ្យ ( ) 3 0f x ឬ ( ) 3f x លំហាត់ 1.9
ដគឲ្យអនុគមន៍2
2( )
4 3
ax bxf x
x x
ដដលមានដខសដាងC ។
ក. រកតនមៃដលខននដមគុណ a និង b ដោយដឹងថាអនុគមនម៍ានតនមៃអបប បរមាដសាើនឹង 4 ត្តង់ 2x ។ ខ. សិកាទិសដៅអដថរភាព និងសងត់្ាបននអនុគមន៍ f ចំដ ុះតនមៃ a និង b ដដលរកដឃើញ។ គ. រកកូអរដោដន និងសងត់្ាបននចំណុចត្បសពវរបស់បនាទ តប់៉ាុះដខសដាង C ត្តង់ 0x និង 4x ។
0
- 56 -
ចថមលើយ
ដគឲ្យអនុគមន៍2
2( )
4 3
ax bxf x
x x
ដដលមានដខសដាងC ។
ក. រកតនមៃដលខននដមគុណ a និង b
ដដរដីវ 2 2
2 2
(2 )( 4 3) (2 4)( )'( )
( 4 3)
ax b x x x ax bxf x
x x
3 2 2
2 2
3 2 2
2 2
(2 8 6 4 3 )
( 4 3)
(2 2 4 4 )
( 4 3)
ax ax ax bx bx b
x x
ax bx ax bx
x x
2 2 2
2 2 2 2
4 6 3 ( 4 ) 6 3
( 4 3) ( 4 3)
ax bx ax b a b x ax b
x x x x
ដោយដឹងថាអនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាដសាើនឹង 4 ត្តង់ 2x
ដគបាន 2
( 4 )4 12 30
'(2) 0 (4 8 3)
(2) 4 4 24
4 8 3
a b a b
f
f a b
4 0 4 0 1
4 2 4 2 2 4
a b a b a
a b a b b
ដូចដនុះ 1 , 4a b ខ. សិកាទិសដៅអដថរភាព និងសងត់្ាបននអនុគមន៍ f
ចំដ ុះ 1 , 4a b ដគបាន2
2
4( )
4 3
x xf x
x x
- 57 -
ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2 4 3 0x x ដបើ 2 4 3 0x x មានបញស 1 , 3x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ \{1,3}D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2 2 2 2
( 4 4) 6 3( 4) 6 12'( )
( 4 3) ( 4 3)
x x xf x
x x x x
2 2( 4 3) 0,x x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 6 12x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 6 12 0 2x x
x 1 2 3 '( )f x
ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 4f លីមតីចុងដដនកំណត ់
2
2
4lim ( ) lim 1
4 3x x
x xf x
x x
2
2
4lim ( ) lim 1
4 3x x
x xf x
x x
2
21 1
4 1 4lim ( ) lim
04 3x x
x xf x
x x
2
23 3
4 9 12lim ( ) lim
04 3x x
x xf x
x x
0
- 58 -
រកអាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 1
xf x
ដនាុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ ដោយ
1lim ( )x
f x
និង3
lim ( )x
f x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x និង 3x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
x 1 2 3 '( )f x ( )f x 1
4
1
សងត់ារាងអដថរភាព
គ. រកកូអរដោដន និងសងត់្ាបននចំណុចត្បសពវរបស់បនាទ តប់៉ាុះដខសដាង C ត្តង់ 0x និង 4x
: ( )C y f x
2T1T
3x
1x
1y
x
y
0
- 59 -
បនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 1 : '(0)( 0) (0)T y f x f
ដោយ 4'(0) , (0) 0
3f f
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x គឺ 14
:3
T y x ។
បនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 2 : '(4)( 4) (4)T y f x f
ដោយ 4'(4) , (4) 0
3f f
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 4x គឺ 24
: ( 4)3
T y x ។
កូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាង 1 2,T T និងC គឺ (0,0) និង (4,0)។ លំហាត់ 1.10
ដគឲ្យអនុគមន៍ f ដដល2 1
( )mx
f xx
ដដលមានត្ាប mC ។
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ចំដ ុះ 1m ។
ខ. កំណតត់នមៃm ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនកនុងចដនាៃ ុះ1
[ , )2
។
គ. ដតើមានចំណុចនឹងដដលសថិតដៅដលើត្ាប mC ចំដ ុះត្គប់m ឬដទ? ឃ.ដោយដត្បើត្ាប 1C កំណតត់នមៃ a ដដើមបឲី្យ 2 1 0x ax ចំដ ុះ ត្គប ់ 0x ។ ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ចំដ ុះ 1m
- 60 -
ចំដ ុះ 1m នាឲំ្យ 2 1
( )x
f xx
ដដនកំណត ់ {0}D ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2 2
2 2 2
2 ( 1) 1 ( 1)( 1)'( )
x x x x x xf x
x x x
2 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច ( 1)( 1)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ ( 1)( 1) 0 1 , 1x x x x
x 1 0 1
'( )f x
ចំណុចបរមា ចំដ ុះ 1x អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាដធៀប ( 1) 2f ចំដ ុះ 1x អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាដធៀប (1) 2f គណនាលីមតី
2 21
lim ( ) lim lim lim ( )x x x x
x xf x x
x x
2 21
lim ( ) lim lim lim ( )x x x x
x xf x x
x x
2
0 0
1 0 1lim ( ) lim
0x x
xf x
x
អាសីុមតូត ដោយ
0lim ( )x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប
0 0
- 61 -
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។
2 1 1
( )x
f x xx x
និង 1
lim 0x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
x 1 0 1 '( )f x ( )f x 2
2
សងត់្ាបC
ផចិតឆៃុុះ :អាសីុមតូតឈរ 0x និងអាសីុមតូតដត្ទត y x ាតគ់្នន ត្តងចំ់ណុច (0,0)O ។
y x
x
y 2
11
:x
C yx
y a
0 0
- 62 -
ខ. កំណតត់នមៃm ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនកនុងចដនាៃ ុះ 1
[ , )2
2 2 2
2 2
2 1 1'( )
mx mx mxf x
x x
ដបើ 0m ដនាុះ '( ) 0f x នាឲំ្យ f ជាអនុគមនចុ៍ុះកនុង {0} ដបើ 0m ដនាុះ f មានតនមៃបរមា
2 1 0mx នាឲំ្យ 1 1,x x
m m
x 1/ m 1/ m '( )f x
ដដើមបឲី្យ f ដកើនកនុងចដនាៃ ុះ1
[ , )2
ាលណា 1 14
2m
m
ដូចដនុះ f ដកើនកនុងចដនាៃ ុះ1
[ , )2
ាលណា 4m ។
គ. ដតើមានចំណុចនឹងដដលសថិតដៅដលើត្ាប mC ចំដ ុះត្គប់m ឬដទ? តាង ( , )A AA x y ជាចំណុចដដលត្ាប mC ទងំអស់ាតត់ាម
ដគបាន 2 1A
AA
mxy
x
ចំដ ុះ m និង 0Ax
ឬ 2 1A A Ax y mx ឬ 2 1 0A A Amx x y
ដបើ mC ាតត់ាម ( , )A AA x y នាឲំ្យ2 0
1 0
A
A A
x
x y
គ្នា នបញស
ដូចដនុះ គ្នា នចំណុចនឹង ( , )A AA x y ណាដដលត្ាប mC ទងំអស់ាត ់ ដនាុះដទ។
0 0
- 63 -
ឃ. កំណតត់នមៃ a ដដើមបឲី្យ 2 1 0x ax ចំដ ុះត្គប ់ 0x
ដគមាន 2 21 0 1x ax x ax ឬ 2 1
, 0x
a xx
តាមត្ាប 1C ដគដឃើញថា2 1x
ax
ាលណា 2a
លំហាត់ 1.11
ដគឲ្យអនុគមន៍2 2
: ( )1
x xf f x
x
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC ននអនុគមន៍ f ។
ខ. ដោយដត្បើត្ាបC ទញរកត្ាបរបស់អនុគមន ៍2 2
1
x xy
x
។
គ. ដោយដត្បើត្ាបC សិកាដៅតាមតនមៃm នូវចំននួបញសននសមាីរ 2 | | 2 (| | 1)x x m x ។ ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC នន2 2
( )1
x xf x
x
ដដនកំណត ់ {1}D ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2
(2 1)( 1) ( 2)'( )
( 1)
x x x xf x
x
2 2 2
2 2
(2 3 1) ( 2) 2 1
( 1) ( 1)
x x x x x x
x x
- 64 -
ដោយ 2( 1) 0 ,x x ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 2 1x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 1 0x x សមាីរមានបញស 1 2 , 1 2x x ។
x 1 2 1 1 2 '( )f x
ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាដធៀបត្តង់ 1 2x
2(1 2) (1 2) 2
(1 2) 1 2 21 2 1
f
អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាដធៀបត្តង់ 1 2x
2(1 2) (1 2) 2
(1 2) 1 2 21 2 1
f
គណនាលីមតី
2 2
lim ( ) lim lim ( )1x x x
x xf x x
x
2 2
lim ( ) lim lim ( )1x x x
x xf x x
x
2
1 1
2 1 1 2lim ( ) lim
1 0x x
x xf x
x
រកអាសីុមតូត ដោយ
1lim ( )x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។
0 0
- 65 -
មយ៉ាងដទៀត 2 2 2
( )1 1
x xf x x
x x
និង 2
lim 01x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
x 1 2 1 1 2 '( )f x ( )f x 1 2 2
1 2 2
រក ( )C oy
គឺ 0 , 2x y
ខ. ដោយដត្បើត្ាបC ទញរកត្ាបរបស់អនុគមន ៍2 2
1
x xy
x
y x
y x
C
1C
1x
x
y
1 2
1 2 2
0 0
- 66 -
2 21 72 ( ) 0 ,
2 4x x x x
ដូដចនុះ 2 2
1
x x
x
មានសញ្ញា ដូច 1x
x 1 2 2
1
x x
x
ដបើ 1x 2 2
, 01
x x
x
ដនាុះ
2 22 2
1 1
x x x xy
x x
ដូចដនុះ ត្ាប2
12
:1
x xC y
x
ត្តួតសីុគ្នន នឹងត្ាបC ។
ដបើ 1x 2 2
, 01
x x
x
ដនាុះ
2 22 2
1 1
x x x xy
x x
ដូចដនុះ ត្ាប2
12
:1
x xC y
x
ឆៃុុះគ្នន នឹងត្ាបC ដធៀបនឹងអក័ស
អាបសីុ់ស ។ គ. ដោយដត្បើត្ាបC សិកាដៅតាមតនមៃm នូវចំននួបញសននសមាីរ
2 | | 2 (| | 1)x x m x ឬ 2 | | 2
| | 1
x xm
x
តាង 2 | | 2
( )| | 1
x xh x
x
មានត្ាប 2C និងបនាទ ត ់ y m
- 67 -
ដបើ 0x ដនាុះ 2 2
( ) ( )1
x xh x f x
x
ដូចដនុះ ត្ាប 2C ដូចនឹងត្ាបC ខាងដផនក 0x ។
ដបើ 0x ដនាុះ 2 2
( )1
x xh x
x
ដោយ2 2
( ) ( )1
x xh x f x
x
ដូចដនុះ ត្ាប 2C ឆៃុុះគ្នន នឹងត្ាបC ដធៀបនឹងអក័ស ( )oy
ខាងដផនក 0x
តាមត្ាបខាងដលើសមាីរ 2 | | 2 (| | 1)x x m x មានបញសៈ - មានបញសពីរគឺ 1 20x x ចំដ ុះ 2m - មានបញសមយួគឺ 0x ចំដ ុះ 2m - គ្នា នបញស ចំដ ុះ 2 1 2 2m - មានបញសពីបញសពីរគឺ (1 2)x ចំដ ុះ 1 2 2m
x
y
1 21 2
1 2 2
y m
- 68 -
- មានបញសបនួគឺ 1 2 3 40x x x x ចំដ ុះ 1 2 2m ។ លំហាត់ 1.12
ដគឲ្យអនុគមន៍2
2
4 3
4 3
x xy
x x
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f ខ. ដោយដត្បើត្ាបC ពិភាកាតាមតនមៃ k នូវចំននួបញសរបស់សមាីរ 2( 1) 4( 1) 3( 1) 0 (1)k x k x k រចួដត្បៀបដធៀបបញស របស់ (1) ដៅនឹងចំននួ 3 , 3 , 1 , 0 , 1 , 3 និង3 ។ ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមន៍2
2
4 3
4 3
x xy
x x
ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័ាលណា 2 4 3 0x x ឬ 1 , 3x x ដូចដនុះ ដដនកំណតគឺ់ {1 , 3}D ។ ទិសដៅអដថរភាព
2 2
2 2
(2 4)( 4 3) (2 4)( 4 3)'( )
( 4 3)
x x x x x xf x
x x
3 2 3 2
2 2
(2 4 10 12) (2 4 16 12)
( 4 3)
x x x x x x
x x
- 69 -
2 2
2 2 2 2
8 24 8( 3)
( 4 3) ( 4 3)
x x
x x x x
ដោយ 2 2( 4 3) 0,x x x នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 28( 3)x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 28( 3) 0 3x x
x 3 1 3 3 '( )f x
ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 3x គឺ ( 3) 4 3 7 0.07f អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 3x គឺ ( 3) 4 3 7 14f គណនាលីមតី
2
2
4 3lim ( ) lim 1
4 3x x
x xf x
x x
2
2
4 3lim ( ) lim 1
4 3x x
x xf x
x x
2
21 1
4 3 1 4 3lim ( ) lim
04 3x x
x xf x
x x
2
23 3
4 3 9 12 3lim ( ) lim
04 3x x
x xf x
x x
អាសីុមតូតដដក និងអាសីុមតូតឈរ
0 0
- 70 -
ដោយ lim ( ) 1x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន។៍ ដោយ
1lim ( )x
f x
និង3
lim ( )x
f x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x និង 3x ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
x 3 1 3 3 '( )f x ( )f x 1
4 3 7 4 3 7
1
សងត់្ាបC
រក ( ) : 0C ox y
ដនាុះ 2 4 3 0x x ឬ 1 , 3x x
រក ( ) : 0C oy x
ដនាុះ 1y ខ. ដោយដត្បើត្ាប ពិភាកាតាមតនមៃ នូវចំននួបញសរបស់សមាីរ រចួដត្បៀបដធៀបបញស របស់ ដៅនឹងចំននួ និង
ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាប និងបនាទ ត់
C k
2( 1) 4( 1) 3( 1) 0 (1)k x k x k
(1) 3 , 3 , 1 , 0 , 1 , 3 3
2( 1) 4( 1) 3( 1) 0k x k x k
2 2( 4 3) ( 4 3) 0k x x x x
2
2
4 3
4 3
x xk
x x
C y k
0 0
- 71 -
តាមត្ាបC ដគបានៈ - ដបើ 4 3 7k សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 21 3x x - ដបើ 4 3 7k សមាីរមានបញសមយួគឺ 3x - ដបើ 4 3 7 4 3 7k សមាីរគ្នា នបញស - ដបើ 4 3 7k សមាីរមានបញសមយួគឺ 3x - ដបើ 4 3 7 0k សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 23 1x x - ដបើ 0y សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 23 , 1x x - ដបើ 0 1k សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 23 1 0x x - ដបើ 1k សមាីរមានបញសមយួគឺ 0x - ដបើ 1k សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 20 1 3x x ។
x
y
C
3x
1x
1y
y k
- 72 -
លំហាត់ 1.13
ដគឲ្យអនុគមន ៍2 3 2 1
2
mx mx my
x
។
ក. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា អាសីុមតូតដត្ទតាតត់ាមចំណុចនឹងមយួចំដ ុះត្គប ់ បា៉ា រា៉ា ដម៉ាត m ដដលត្តូវកំណតកូ់អរដោដន។ ខ. រកតនមៃ m ដដើមបឲី្យបនាទ ត ់ y m ប៉ាុះនឹងត្ាប។ គ. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ចំដ ុះ 1m ។ ចថមលើយ
ក. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា អាសីុមតូតដត្ទតាតត់ាមចំណុចនឹងមយួចំដ ុះត្គប ់ បា៉ា រា៉ា ដម៉ាត m ដដលត្តូវកំណតកូ់អរដោដន
ដគមាន 2 3 2 1 1
2 2
mx mx my mx m
x x
និង
1lim 0
2x x
នាឲំ្យបនាទ ត់ y mx m ជាអាសីុមតូតដត្ទត
សរដសរជាទត្មងស់មាីរៈ ( 1) 0m x y
ដបើបនាទ ត់ ( 2) 0m x y ាតត់ាមចំណុចនឹង 1 0
0
x
y
ដគបាន 1
0
x
y
ដូដចនុះ ចំណុចនឹងមានកូអរដោដន ( 1 , 0) ។
ខ. រកតនមៃ m ដដើមបឲី្យបនាទ ត ់ y m ប៉ាុះនឹងត្ាប
ចំដ ុះ 0m ដនាុះ 1( )
2f x
x
និង 0y ដគបាន 1
02x
សមាីរគ្នា នបញស ដូដចនុះដដើមបឲី្យត្ាបាតប់នាទ តលុ់ុះត្តាដត 0m
- 73 -
ដបើ y m ប៉ាុះត្ាបាលណា2 3 2 1
2
mx mx mm
x
មានបញសឌុប
2 3 2 1 ( 2)mx mx m m x ចំដ ុះ 2x 2 2 1 0mx mx ដគបាន 2' m m ដដើមបឲី្យសមាីរមានបញសឌុបលុុះត្តាដត ' 0 ឬ 2 0m m ឬ ( 1) 0m m នាឲំ្យ 1m ដូចដនុះ ដដើមបឲី្យបនាទ ត ់ y m ប៉ាុះនឹងត្ាបលុុះត្តាដត 1m ។ គ. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ចំដ ុះ 1m
ចំដ ុះ 1m ដគបាន2 3 1
( )2
x xf x
x
ដដនកំណត ់ { 2}D ទិសដៅអដថរភាព
2
2
( 2 3)( 2) ( 3 1)'( )
( 2)
x x x xf x
x
2 2 2
2 2
( 2 7 6) ( 3 1) 4 5
( 2) ( 2)
x x x x x x
x x
2( 2) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 4 5x x ដត 2 24 5 [( 2) 1] 0 ,x x x x ដូចដនុះ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ x D ។ គណនាលីមតី
2 3 1
lim ( ) lim lim ( )2x x x
x xf x x
x
- 74 -
2 3 1
lim ( ) lim lim ( )2x x x
x xf x x
x
2
2 2
3 1 4 6 1lim ( ) lim
2 0x x
x xf x
x
អាសីុមតូត
2lim ( )
xf x
ដូដចនុះបនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប
ដគមាន 1( ) 1
2f x x
x
និង 1
lim 02x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
x 2 '( )f x ( )f x
សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f
រកC oy
គឺ 10 ,
2x y
រកC ox
គឺ 20 , 3 1 0y x x ឬ 3 3
2x
- 75 -
ផចិតឆៃុុះ អាសីុមតូតឈរ 2x ជបួនឹងអាសីុមតូតដត្ទត 1y x ត្តងចំ់ណុច I ដដលមានកូអរដោដន ( 2 , 1) ដូចដនុះ ចំណុច ( 2 , 1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ លំហាត់ 1.14
ដគឲ្យអនុគមន៍2 2( 1) 2
1
x m xy
x
។
ក. ចំដ ុះ 0m សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC របស់អនុគមនខ៍ាង ដលើ រកតនមៃរបស់ a ដដើមបឲី្យត្ាបC ប៉ាុះនឹងបនាទ ត ់ :p y x a ។ ខ. រកតនមៃm ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនដលើចដនាៃ ុះ [0 , ) ។ ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមន៍2 2 2
1
x xy
x
ដដនកំណត ់ { 1}D
x
y2x
: ( )C y f x
1y x
I
- 76 -
ទិសដៅអដថរភាព
2
2
(2 2)( 1) ( 2 2)'( )
( 1)
x x x xf x
x
2 2 2
2 2
(2 4 2) ( 2 2) 2
( 1) ( 1)
x x x x x x
x x
ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 2x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 0x x មាននញស 2 , 0x x សញ្ញា នន '( )f x
x 2 1 0 '( )f x
ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ ( 2) 2f អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 0x គឺ ( 2) 2f គណនាលីមតី
2 2 2
lim ( ) lim lim ( )1x x x
x xf x x
x
2 2 2
lim ( ) lim lim ( )1x x x
x xf x x
x
2
1 1
2 2 1 2 2lim ( ) lim
1 0x x
x xf x
x
អាសីុមតូត
1lim ( )
xf x
ដនាុះបនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប
00
- 77 -
ដោយ2 2 2 1
( ) 11 1
x xf x x
x x
និង 1
lim 01x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
x 2 1 0 '( )f x ( )f x 2
2
សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍
ផចិតឆៃុុះ អាសីុមតូតឈរ 1x និងអាសីុមតូតដត្ទត 1y x ជបួគ្នន ត្តង ់ ចំណុច I ដដលមានកូអរដោដន ( 1 , 0) ដូចដនុះ ចំណុច ( 1 , 0)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន។៍
x
y
C
1y x
1x
I
00
- 78 -
រកតនមៃរបស់ a ដដើមបឲី្យត្ាបC ប៉ាុះនឹងបនាទ ត ់ :p y x a ដបើបនាទ ត់ :p y x a ប៉ាុះនឹងត្ាបC លុុះត្តាដត
2 2 2
1
x xx a
x
មានបញសឌុប
ដគបាន 2 2 2 ( 1)( )x x x x a ចំដ ុះត្គប់ 1x 2 22 2 ( 1)x x x a x a ឬ 22 (3 ) 2 0x a x a 2 2(3 ) 4 2 (2 ) 9 6 16 8a a a a a 2 2 7a a ដដើមបឲី្យសមាីរមានបញសឌុបាលណា 0 ឬ 2 2 7 0a a មានបញស 1 2 2 , 1 2 2a a ដូចដនុះ ដដើមបឲី្យបនាទ ត់ p ប៉ាុះនឹងត្ាបC តាងអនុគមនលុ៍ុះត្តាដត 1 2 2 , 1 2 2a a ។ ខ. រកតនមៃm ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនដលើចដនាៃ ុះ [0 , )
អនុគមន៍2 2( 1) 2
1
x m xy
x
ដដរដីវ 2
2
(2 2 2)( 1) ( 2 2 2)'
( 1)
x m x x mx xy
x
2 2
2
(2 4 2 2 2) ( 2 2 2)
( 1)
x x mx m x mx x
x
2
2
2 2
( 1)
x x m
x
ដបើ ' 0y នាឲំ្យ 2 2 2 0x x m ដ ើយ ' 1 2m
- 79 -
- ដបើ ' 0 ដនាុះ 1
2m នាឲំ្យ ' 0y នាឲំ្យអនុគមនដ៍កើនជានិចច។
- ដបើ ' 0 ដនាុះ 1
2m សមាីរមានបញសពីរ 1 1 2x m
x 1 1 2m 1 1 2m 'y
ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនដលើ [0 , ) ត្តូវឲ្យ 1 1 2 0m ឬ 1 2 1 1 2 1m m នាឲំ្យ 2 0m ឬ 0m ដូចដនុះ ដដើមបឲី្យអនុគមន៍ y ដកើនដលើ [0 , ) លុុះត្តាដត 0m ។ លំហាត់ 1.15
ដគឲ្យ mC ជាត្ាបតាងអនុគមន៍2
4( ) 1
( )f x x
x m
។
ក. ដតើមានត្ាប mC ចំននួប៉ាុនាា ន ដដលាតត់ាមចំណុច (1 , 3)A ។ ខ. ត្ាយបញ្ញា កថ់ាបនាទ តប់៉ាុះត្ាប mC ត្តងចំ់ណុចមានអាបសីុ់ស
2x m ត្សបនឹងអក័ស ox
។ ចថមលើយ
ក. រកចំននួត្ាប mC ដដលាតត់ាមចំណុច (1 , 3)A
យកចំណុច (1 , 3)A ជំនសួកនុង 2
41
( )y x
x m
ដគបាន
2 2
4 43 1 1 1
(1 ) (1 )m m
2(1 ) 4m ចំដ ុះត្គប ់ 1m
00
- 80 -
(1 ) 2m នាឲំ្យ 1 2 3
1 2 1
m
m
ដូចដនុះ មានត្ាបចំននួ 2 ដដលាតត់ាមចំណុច (1 , 3)A គឺ
- ចំដ ុះ 3m ដនាុះ 2
41
( 3)y x
x
- ចំដ ុះ 1m ដនាុះ 2
41
( 1)y x
x
ខ. ត្ាយបញ្ញា កថ់ាបនាទ តប់៉ាុះត្ាប mC ត្តងចំ់ណុចមានអាបសីុ់ស
2x m ត្សបនឹងអក័ស ox
ដគមាន2
4( ) 1
( )f x x
x m
ដនាុះដដរដីវ
3
8'( ) 1
( )f x
x m
ដបើបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាប mC ត្តងចំ់ណុច 2x m ត្សបនឹងអក័ស ox
លុុះត្តាដត '(2 ) 0f m
ដគមាន 3 3
8 8'(2 ) 1 1 1 1 0
(2 ) 2f m
m m
ដូចដនុះ បនាទ តប់៉ាុះត្ាប mC ត្តង់ 2x m ត្សបនឹងអក័ស ox
។ លំហាត់ 1.16
ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ2
2
2 5 1( )
( 1)
x xf x
x
។
- 81 -
ក. បង្ហា ញថា ( )f x អាចសរដសរជារាង2
( )1 ( 1)
b cf x a
x x
ដដល ,a b និង cជាចំននួពិតត្តូវកំណត។់
ខ. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមនក៍នុងតត្មុយ ( , , )o i j
គ. កំណតកូ់អរដោដនននចំណុច A ដដើមបឲី្យបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តង់ A
មានវុចិទរ័ត្បាបទិ់ស 3i j
។ គណនាកូអរដោដនននចំណុច B ដដល ជាចំណុចត្បសពវរវាងសមាីរបនាទ តប់៉ាុះនិងត្ាបC ដផសងពីចំណុច A ។ ចថមលើយ
ក. បង្ហា ញថា ( )f x អាចសរដសរជារាង2
( )1 ( 1)
b cf x a
x x
ដគបាន2
2
( 1) ( 1)( )
( 1)
a x b x cf x
x
2
2
(2 ) ( )
( 1)
ax a b x a b c
x
ដត 2
2
2 5 1( )
( 1)
x xf x
x
នាឲំ្យ
2 2
2 5 1
1 2
a a
a b b
a b c c
ដូចដនុះ 2
1 2( ) 2
1 ( 1)f x
x x
។
ខ. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមនក៍នុងតត្មុយ ( , , )o i j
ដដនកំណត ់ { 1}D
- 82 -
ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2 3 4
1 4 ( 1) 4( 1)'( )
( 1) ( 1) ( 1)
x xf x
x x x
2 2
4 4
2 1 4 4 2 3
( 1) ( 1)
x x x x x
x x
'( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 2 3x x ដត្ ុះ 4( 1) 0,x x D ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 2 2 3 0x x មានបញស 1 , 3x x
x 1 3 '( )f x
ចំណុចបរមា
អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 3x គឺ 17(3)
8f
គណនាលីមតី
2
1 2lim ( ) lim 2 2 0 0 2
1 ( 1)x xf x
x x
2
1 2lim ( ) lim 2 2 0 0 2
1 ( 1)x xf x
x x
2
21 1
2 5 1 2 5 1lim ( ) lim
( 1) 0x x
x xf x
x
រកអាសីុមតូត ដោយ
1lim ( )
xf x
នាឲំ្យ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC
0
- 83 -
ដោយ lim ( ) 2x
f x
នាឲំ្យ 2y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC
តារាងអដថរភាព x 1 3 '( )f x ( )f x 2
17 /8 2
សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f
គ. កំណតកូ់អរដោដនននចំណុច A តាង ( , )o oA x y ជាកូអរដោដនននចំណុច A
ដដើមបឲី្យបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តង់ Aមានវុចិទរ័ត្បាបទិ់ស 3i j
លុុះត្តាដត '( ) 3of x នាឲំ្យ 3
33
( 1)
o
o
x
x
ដគបាន 0ox
C
3 1y x
2y
1x
A
B
x
y
0
- 84 -
នាឲំ្យ ( ) 1o oy f x ដគបាន (0 , 1)A ដ ើយសមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ A គឺ 3 1y x ដូចដនុះ ចំណុច (0 , 1)A និងបនាទ តប់៉ាុះ 3 1y x ។ គណនាកូអរដោដនននចំណុច B
សមាីរអាបសីុ់ស 2
2
2 5 13 1
( 1)
x xx
x
2 2 22 5 1 ( 1) (3 1) ( 2 1)(3 1)x x x x x x x 2 3 2 22 5 1 3 6 2 3 1x x x x x x x 3 2 2 5
3 5 0 (3 5) 0 0 ,3
x x x x x x
ចំដ ុះ 5
3x នាឲំ្យ 4y
ដូចដនុះ កូអរដោដនននចំណុច B គឺ 5, 4
3B
។
លំហាត់ 1.17
អនុគមន៍2
2
2 13:
2
x xf x
x x
មានត្ាបC ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j
ក. បញ្ញា កនូ់វត្គបត់នមៃ x ដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ f អាចកំណតប់ាន។ ខ. បង្ហា ញថាចំដ ុះត្គបចំ់ននួពិត x ខុសពី 1 និង 2 ដគបាន
1 4( ) 2
2 1f x
x x
។
គ. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ត្គបច់ដនាៃ ុះដដលកំណត។់ ឃ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវត្ាបC ជាមយួអក័ស រចួត្ាបC
- 85 -
ជាមយួបនាទ ត់ 2y ។ ង. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A ដដលមានអាប ់ សីុសដសាើ 3 ។ ច. សងត់្ាបC បនាទ ត់ 2 , 2 , 1y x x និងបនាទ តប់៉ាុះត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A ។ ចថមលើយ
ក. បញ្ញា កនូ់វត្គបត់នមៃ x ដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ f អាចកំណតប់ាន អនុគមន៍ f អាចកំណតប់ានលុុះត្តាដត 2 2 0x x ដបើ 2 2 0x x មានបញស 1 , 2x x ដូចដនុះ អនុគមន៍ f អាចកំណតប់ានចំដ ុះ 1 , 2x x ។
ខ. បង្ហា ញថា 1 4( ) 2
2 1f x
x x
ចំដ ុះត្គប់ { 1,2}x
ដគមាន 1 4 2( 2)( 1) ( 1) 4( 2)2
2 1 ( 1)( 2)
x x x x
x x x x
2 2
2 2
(2 2 4) ( 1) (4 8) 2 13( )
2 2
x x x x x xf x
x x x x
ដូចដនុះ 1 4( ) 2
2 1f x
x x
ចំដ ុះត្គប់ { 1,2}x ។
គ. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ដដនកំណត ់ { 1 , 2}D ទិសដៅអដថរភាព
- 86 -
ដដរដីវ 2 2
2 2 2 2
1 4 ( 1) 4( 2)'( )
( 2) ( 1) ( 2) ( 1)
x xf x
x x x x
2 2 2
2 2 2 2
( 2 1) (4 16 16) 3 18 15
( 2) ( 2)
x x x x x x
x x x x
'( )f x មានសញ្ញា ដូច 23 18 15x x ដត្ ុះ 2 2( 2) 0x x ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 23 18 15 0x x ឬ 3( 1)( 5) 0 1 , 5x x x x
x 1 1 2 5 '( )f x
ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាដធៀបត្តង់ 1x គឺ (1) 5f
អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាដធៀបត្តង់ 5x គឺ 7(5)
3f
គណនាលីមតី
1 4lim ( ) lim 2 2 0 0 2
2 1x xf x
x x
1 4lim ( ) lim 2 2 0 0 2
2 1x xf x
x x
2
21 1
2 13 2 1 13lim ( ) lim
02x x
x xf x
x x
2
22 2
2 13 8 2 13lim ( ) lim
02x x
x xf x
x x
រកអាសីុមតូត
00
- 87 -
lim ( ) 2x
f x
ដ តុដនុះ 2y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។
1
lim ( )x
f x
និង2
lim ( )x
f x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x និង 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
x 1 1 2 5 '( )f x ( )f x 2
5
7 / 3 2
ឃ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវត្ាបC ជាមយួអក័ស
ត្ាប ( ' )C x x គឺ 1 1050 ,
4y x
ដូចដនុះ ត្ាបC ត្បសពវអក័សអាបសីុ់សត្តងពី់រចំណុចគឺ
1 105,0
4
និង 1 105,0
4
។
ត្ាប ( ' )C y y គឺ 0 , 13/ 2x y ដូចដនុះ ត្ាបC ត្បសពវអក័សអរដោដនត្តង់ (0 , 13/ 2) ។ គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវត្ាបC ជាមយួបនាទ ត់ 2y
សមាីរអាបសីុ់ស 2
2
2 132
2
x x
x x
2 22 13 2 2 4x x x x ឬ 3 9 3x x ដូចដនុះ ត្ាបC ត្បសពវជាមយួបនាទ ត់ 2y ត្តង់ (3 , 2) ។
00
- 88 -
ង. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A
ដគមាន 2
2 2
3 18 15'( )
( 2)
x xf x
x x
ដគបាន 2
2 2
3(3) 18(3) 15 3'(3)
4(3 3 2)f
និង (3) 2f
សមាីរបនាទ តប់៉ាុះ : '(3)( 3) (3)T y f x f ឬ 3 1
4 4y x
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 3 1:
4 4T y x ។
ច. សងត់្ាបC បនាទ ត់ 2 , 2 , 1y x x និងបនាទ តប់៉ាុះT
លំហាត់ 1.18
អនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ2
2 2( )
2 3
xf x
x x
ដ ើយC ជាត្ាបតាង
អនុគមន៍ f ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ( , , )o i j
។
3 1:
4 4T y x
C
2y
2x 1x
x
y
- 89 -
ក. ដតើមានតនមៃ xណាខៃុះដដលដធវើឲ្យ f មនិអាចគណនាបាន។ ខ. សិកាអដថរភាពនន f ត្គបច់ដនាៃ ុះដដលដធវើឲ្យ f មាននយ័។ គ. ).a គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវ I រវាងត្ាបC ជាមយួអក័ស អាបសីុ់ស ។ ).b បង្ហា ញថា I ជាផចិតឆៃុុះរបស់ត្ាបC ។ ).c ឲ្យសមាីរបនាទ តប់៉ាុះ d ដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច I ។
ឃ. គូសត្ាបC និងបនាទ ត់ d ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j
។ ង. សិកាសញ្ញា បញសរបស់សមាីរ 2 2( 1) (3 2) 0mx m x m កនុងករណីៈ ).a 1m ).b 1 2m ).c 0m ).d 2 1m ចថមលើយ
ក. រកត្គបត់នមៃ x ដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ f មនិអាចគណនាបាន អនុគមន៍ f មនិអាចគណនាបានលុុះត្តាដត 2 2 3 0x x មានបញស 1 , 3x x ដូចដនុះ f មនិអាចគណនាបានលុុះត្តាដត { 3 , 1}x ។ ខ. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ ដដនកំណត ់ { 3 , 1}D ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2 2
2( 2 3) (2 2)(2 2)'( )
( 2 3)
x x x xf x
x x
f
- 90 -
2 2 2
2 2 2 2
(2 4 6) (4 8 4) 2 4 10
( 2 3) ( 2 3)
x x x x x x
x x x x
ដោយ 2 2( 2 3) 0 ,x x x D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 22 4 10x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 22 4 10 0x x 2' ( 2) ( 2)( 10) 4 20 16 0 គ្នា នបញស ដនាុះ 22 4 10 0 ,x x x D នាឲំ្យ '( ) 0f x ត្គប់ x D គណនាលីមតី
2
2
2
2 2
2 2lim ( ) lim lim 0
2 32 3 1x x x
x x xf xx x
x x
23 3
2 2 6 2lim ( ) lim
02 3x x
xf x
x x
21 1
2 2 2 2lim ( ) lim
02 3x x
xf x
x x
រកអាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 0
xf x
ដ តុដនុះ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប
ដូចដនុះ បនាទ ត់ ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប ។ ដោយ
3lim ( )
xf x
និង
1lim ( )x
f x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3x និង 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
0y C
- 91 -
x 3 1 '( )f x ( )f x 0
0
គ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវ
ត្ាប ជាមយួអក័សអាបសីុ់សគឺ 2
2 20 , 0
2 3
xy
x x
នាឲំ្យ 2 2 0 1x x ដូចដនុះ ចំណុច I មានកូអរដោដន ( 1 , 0) ។ បង្ហា ញថា ជាផចិតឆៃុុះរបស់ត្ាប
ដបើ ( 1 , 0)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង ( ) ( ) 2f a x f a x b ឬ ( 1 ) ( 1 ) 0f x f x
ដគបាន2
2( 1 ) 2( 1 )
( 1 ) 2( 1 ) 3
xf x
x x
2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 3 4
x x
x x x x
2
2( 1 ) 2( 1 )
( 1 ) 2( 1 ) 3
xf x
x x
2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 3 4
x x
x x x x
នាឲំ្យ2 2
2 2( 1 ) ( 1 ) 0
4 4
x xf x f x
x x
(ពិត)
ដូចដនុះ ចំណុច ( 1 , 0)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។
).a I
C
).b I C
- 92 -
ឲ្យសមាីរបនាទ តប់៉ាុះ ដៅនឹងត្ាប ត្តងចំ់ណុច
2
2 2 2
2( 1) 4( 1) 10 2 4 10 1'( 1)
2[( 1) 2( 1) 3] (1 2 3)f
សមាីរបនាទ តប់៉ាុះ : '( 1)( 1) ( 1)d y f x f
1 1: ( 1) 0 ( 1)
2 2d y x x
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 1: ( 1)
2d y x
ឃ. គូសត្ាប និងបនាទ ត់ ដៅកនុងតត្មុយ
ង. សិកាសញ្ញា បញសរបស់សមាីរ 2 2( 1) (3 2) 0mx m x m 2 2 2 3 2 0mx mx x m 2( 2 3) 2 2m x x x
).c d C I
C d ( , , )o i j
d2
2 2: ( )
2 3
xC f x
x x
3x
1x
I
x
y
y m
- 93 -
2
2 2
2 3
xm
x x
ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និងបនាទ តច់ល័ត y m ).a ករណី 1m
ដគបាន 2
2 21
2 3
x
x x
នាឲំ្យ 22 2 2 3x x x
ឬ 2 5 0x មានបញស 1 5 , 5x x ដូចដនុះ 1 25 0 5x x ។
).b ករណី 1 2m
- ចំដ ុះ 21
3m
តាមត្ាបC សមាីរមានបញសពីរដដល 1 20x x
- ចំដ ុះ 20
3m
តាមត្ាបC សមាីរមានបញសពីរដដល 1 2 0x x - ចំដ ុះ 0 2m តាមត្ាបC សមាីរមានបញសពីរដដល 1 20x x
).c ករណី 0m សមាីរមានបញសមយួ 1 0x
).d ករណី 2 1m តាមត្ាបC សមាីរមានបញសពីរដដល 1 20x x ។ លំហាត់ 1.19 ដគមាន a និង bជាចំននួពិត ដ ើយ f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់លើ {3}
- 94 -
ដោយ 1( )
3f x ax b
x
។
ក. ដោយដឹងថា (2) 1f និង '(2) 0f បង្ហា ញថា 1a និង 2b ខ. បង្ហា ញថាបនាទ តដ់ដលមានសមាីរ 2y x ជាអាសីុមតូតននC ដដលជាត្ាបតាងអនុគមន៍ f ។ គ. សិកាអដថរភាពនន f ។ ឃ. បង្ហា ញថាចំណុចត្បសពវរបស់អាសីុមតូតននត្ាបC ជាផចិតឆៃុុះនន ត្ាបC ។ ង. សងត់្ាបC ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ។ ចថមលើយ
ក. បង្ហា ញថា 1a និង 2b
ដគមាន 1( )
3f x ax b
x
ដដរដីវ 2
1'( )
(3 )f x a
x
ដោយដឹងថា (2) 1 2 1 1 1
'(2) 0 1 0 2
f a b a
f a b
ដូចដនុះ តនមៃ 1a និង 2b ។ ខ. បង្ហា ញថាបនាទ តដ់ដលមានសមាីរ 2y x ជាអាសីុមតូតននC
ដោយ 1( ) 2
3f x x
x
និង 1
lim 03x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ គ. សិកាអដថរភាពនន f
- 95 -
ដដនកំណត ់ {3}D ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2 2
2 2 2
1 (3 ) 1 8 6'( ) 1
(3 ) (3 ) (3 )
x x xf x
x x x
ចំដ ុះត្គប់ ,x D '( )f x មានសញ្ញា ដូច 28 6x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 28 6 0x x មានបញស 4 , 2x x
x 2 3 4 '( )f x
ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 1f អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 4x គឺ (4) 3f គណនាលីមតី
1lim ( ) lim 2 2 0
3x xf x x
x
1lim ( ) lim 2 2 0
3x xf x x
x
3 3
1 1lim ( ) lim 2 3 2
3 0x xf x x
x
អាសីុមតូតឈរ ដោយ
3lim ( )x
f x
ដនាុះ 3x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
00
- 96 -
x 2 3 4 '( )f x ( )f x
1 3
ឃ. បង្ហា ញថាចំណុចត្បសពវរបស់អាសីុមតូតននត្ាបC ជាផចិតឆៃុុះននC អាសីុមតូតឈរ 3x ជបួជាមយួអាសីុមតូតដត្ទត 2y x ត្តង ់ ចំណុច (3 , 1)I ដបើ (3 , 1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង (2 ) ( ) 2f a x f x b ឬ (6 ) ( ) 2f x f x
ដគបាន 1 1(6 ) (6 ) 2 4
3 (6 ) 3f x x x
x x
នាឲំ្យ 1 1(6 ) ( ) 4 2
3 3f x f x x x
x x
ឬ 1 1(6 ) ( ) 2 2
3 3f x f x
x x
(ពិត)
ដូចដនុះ ចំណុច (3 , 1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។ ង. សងត់្ាបC ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ រក ( )C yý គឺ 0 , 7 /3x y តារាងតនមៃដលខ
x 0 1 2y x 2 1
តារាងតនមៃដលខជំនយួ
00
- 97 -
x 1 2.5 3.5 5 ( )y f x 1.5 1.5 3.5 3.5
លំហាត់ 1.20
f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់លើ {0,2} ដោយ 2( 3)
( )( 2)
xf x
x x
។
ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f សថិតកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ( , , )o i j
(យកឯកតា1cm ដៅដលើតត្មុយ) ។ ក. បង្ហា ញថាត្ាបC មានអាសីុមតូតចំននួបី ដដលត្តូវកំណតស់មាីរ ។ ខ. បញ្ញា កទី់តាងំននត្ាបC ដធៀបនឹងបនាទ ត់ 1y ។
គ. សិកាអដថរភាពនន f និងគូសត្ាបC ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j
។
x
y
2y x
3x
I
C
- 98 -
ចថមលើយ
f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់លើ {0,2} ដោយ 2( 3)
( )( 2)
xf x
x x
ក. បង្ហា ញថាត្ាបC មានអាសីុមតូតចំននួបី ដដលត្តូវកំណតស់មាីរ
2
0 0
( 3) 9lim ( ) lim
( 2) 0x x
xf x
x x
2
2 2
( 3) 1lim ( ) lim
( 2) 0x x
xf x
x x
22
2
2
31
( 3)lim ( ) lim lim 1
2( 2)1
x x x
xx x
f xx x
xx
ដោយ0
lim ( )x
f x
និង2
lim ( )x
f x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0x និង 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ ដោយ lim ( ) 1
xf x
ដ តុដនុះ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC
ខ. បញ្ញា កទី់តាងំននត្ាបC ដធៀបនឹងបនាទ ត់ 1y
ដគមាន2( 3)
( )( 2)
xf x
x x
និង 1y
ផលសង 2 2 2( 3) 6 9 2
( ) 1( 2) ( 2)
x x x x xf x y
x x x x
ឬ 4 9( )
( 2)
xf x y
x x
- 99 -
ដបើ ( ) 0f x y សមមូល 4 90
( 2)
x
x x
x 0 2 9 / 4 4 9x ( 2)x x ( )f x y
ចំដ ុះ 0x ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់ 1y ។ ចំដ ុះ 0 2x ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមបនាទ ត់ 1y ។ ចំដ ុះ 2 9/ 4x ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់ 1y ។ ចំដ ុះ 9/ 4x ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមបនាទ ត់ 1y ។ ចំដ ុះ 9/ 4x ត្ាបC ជបួនឹងបនាទ ត់ 1y ត្តង់ (9 / 4 , 1) ។
គ. សិកាអដថរភាពនន f និងគូសត្ាបC ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j
ដដនកំណត់ {0,2} ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ2
2
2( 3) ( 2) (2 2)( 3)'( )
[ ( 2)]
x x x x xf x
x x
2 2
2 2
2( 3)( 2 4 3) 2( 3)(2 3)
[ ( 2)] [ ( 2)]
x x x x x x x
x x x x
ត្គប់ ,x D '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2( 3)(2 3)x x ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 2( 3)(2 3) 0x x សមាីរមានបញស 3 , 3/ 2x x
0
0 0
0
- 100 -
សញ្ញា នន '( )f x x 0 3/ 2 2 3 '( )f x
ចំណុចបរមា អនុគមន៍ f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 3/ 2x គឺ (3/ 2) 3f អនុគមន៍ f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 3x គឺ (3) 0f តារាងអដថរភាព
x 0 3/ 2 2 3 '( )f x ( )f x
1 3
1 0
គូសត្ាបC តាងអនុគមន៍ f
C1y
2x
x
y
0 0
0 0
- 101 -
លំហាត់ 1.21
f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់លើ ដោយ2
2( )
3 ( 1)
xf x
x
។
ក. គណនាដដរដីវ 'f ននអនុគមន៍ f រចួបង្ហា ញថាត្គបចំ់ននួពិត ,x '( )f x មានសញ្ញា តាម 24 x ។ ខ. សិកាអដថរភាពនន f ។ គ. គណនា ( 2), ( 1), (0)f f f និង (2)f ។ ឃ. ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់(ឯកតា3cm ) សងប់នាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុចដដលមានអាបសីុ់ស 1x ។ គូសត្ាបC ។ ចថមលើយ
ក. គណនាដដរដីវ 'f ននអនុគមន៍ f
ដគមាន 2
2( )
3 ( 1)
xf x
x
ដដរដីវ 2
2 2
2[3 ( 1) ] 2( 1)(2 )'( )
[3 ( 1) ]
x x xf x
x
2 2 2
2 2 2 2
6 2 4 2 4 4 2(4 )
[3 ( 1) ] [3 ( 1) ]
x x x x x
x x
ដូចដនុះ ដដរដីវននអនុគមន៍ f គឺ2
2 2
2(4 )'( )
[3 ( 1) ]
xf x
x
។
បង្ហា ញថាត្គបចំ់ននួពិត ,x '( )f x មានសញ្ញា តាម 24 x
- 102 -
ដដរដីវ 2
2
2 2 2 2
2(4 ) 2'( ) (4 )
[3 ( 1) ] [3 ( 1) ]
xf x x
x x
ដោយ 2 2
20
[3 ( 1) ]x
ចំដ ុះត្គប់ x
ដ តុដនុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម 24 x ។ ខ. សិកាអដថរភាពនន f ដដនកំណត ់D ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2 2
2(4 )'( )
[3 ( 1) ]
xf x
x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 24 0 2 , 2x x x x 2 2 '( )f x
ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x ដ ើយមានតនមៃអតិបរមាត្តង ់ 2x ។ គណនាលីមតី
2
2lim ( ) lim 0
3 ( 1)x x
xf x
x
2
2lim ( ) lim 0
3 ( 1)x x
xf x
x
អាសីុមតូតដដក
00
- 103 -
ដោយ lim ( ) 0x
f x
ដនាុះបនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព
x 2 2 '( )f x ( )f x 0 (2)f
( 2)f 0 គ. គណនា ( 2), ( 1), (0)f f f និង (2)f
2
2( 2) 4( 2) 1
43 ( 2 1)f
2
2( 1) 2( 1)
33 ( 1 1)f
2
2(0) 0(0) 0
43 (0 1)f
2
2 2 4 1(2)
12 33 (2 1)f
ឃ. រកសមាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 1x មានរាង '(1)( 1) (1)y f x f
ដោយ 2
2 2
2(4 1 ) 6'(1)
49[3 (1 1) ]f
និង 2
(1)7
f
ដូចដនុះ 6 2 1( 1) (6 8)
49 7 49y x x
00
- 104 -
សងប់នាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC និងគូសត្ាបC x 0 1
1(6 8)
49y x 0.16 0.28
លំហាត់ 1.22
១. ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់លើ ដោយ2
2( )
2 2
x ax bf x
x x
។
គណនាតនមៃ a និង b ដោយដឹងថាត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ាតត់ាម ចំណុច (2,0)A ដ ើយត្តងអ់ាបសីុ់សដសាើ1មានបនាទ តប់៉ាុះមយួដដល មានសមាីរ 2y x ។
២. អនុគមន ៍ f កំណតដ់ោយ2
2
( 2)( )
2 2
xf x
x x
។
ក. សិកាអដថរភាពនន f (លីមតី តារាងអដថរភាព) ។
2
2: ( )
3 ( 1)
xC y f x
x
y
x
1(6 8)
49y x
- 105 -
ខ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់ 1y ។ បង្ហា ញថាចំណុច (1,1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។ គ. សងត់្ាបC កនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់(ឯកតា 3cm ) ត្ពមទងំ បនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច I ។ កំណតចំ់ននួបញសននសមាីរ 2( 1) 2 (2 ) 2( 2) 0x m x m m និងទីតាងំរបស់បញសដធៀប នឹងចំននួ 0 , 1 និង 2 ។ ចថមលើយ
១. គណនាតនមៃ a និង b
ដគឲ្យ 2
2( )
2 2
x ax bf x
x x
ចំដ ុះត្គប ់ x
ដដរដីវ 2 2
2 2
(2 )( 2 2) (2 2)( )'( )
( 2 2)
x a x x x x ax bf x
x x
ត្ាបC ាតត់ាមចំណុច (2,0)A
ដគបាន 2
2
2 20
2 4 2
a b
ឬ 2 4 (1)a b
បនាទ ត់ 2y x ប៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច 1x ដគបាន (1) 2f
ឬ 2 2
2 2
(2 )(1 2 2) (2 2)(1 )2
(1 2 2)
a a b
ឬ (2 ) 2a នាឲំ្យ 4a ជំនសួកនុង (1) នាឲំ្យ 2( 4) 2 4b b ដូចដនុះ តនមៃ 4a និង 4b ។
- 106 -
២. អនុគមន ៍ f កំណតដ់ោយ2
2
( 2)( )
2 2
xf x
x x
ក. សិកាអដថរភាពនន f (លីមតី តារាងអដថរភាព) ដដនកំណត ់D ទិសដៅអដថរភាព
- ដដរដីវ 2 2
2 2
(2 4)( 2 2) (2 2)( 4 4)'( )
( 2 2)
x x x x x xf x
x x
2 2
2 2
2( 2)[( 2 2) ( 3 2)]
( 2 2)
x x x x x
x x
2 2
2 ( 2)
( 2 2)
x x
x x
'( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 ( 2)x x ចំដ ុះត្គប់ x ដបើ '( )f x នាឲំ្យ 2 ( 2) 0x x មានបញស 0 , 2x x - ចំណុចបរមា អនុគមន៍ f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 0x គឺ (0) 2f អនុគមន៍ f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 0f ។ - គណនាលីមតី
2
2
( 2)lim ( ) lim 1
2 2x x
xf x
x x
2
2
( 2)lim ( ) lim 1
2 2x x
xf x
x x
- អាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 1
xf x
ដ តុដនុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។
- 107 -
តារាងអដថរភាព x 0 2 '( )f x ( )f x 2 1
1 0 ខ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់ 1y
សមាីរអាបសីុ់ស 2
2
( 2)1
2 2
x
x x
ឬ 2 24 4 2 2x x x x
ឬ 2 2 1x x ដូចដនុះ ត្ាបC និងបនាទ ត់ 1y ត្បសពវគ្នន ត្តង់ (1,1)I ។ បង្ហា ញថាចំណុច (1,1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ដបើ (1,1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ដនាុះដគបាន (2 ) ( ) 2f x f x
គណនា2 2
2 2
(2 2)(2 )
(2 ) 2(2 ) 2 2 2
x xf x
x x x x
នាឲំ្យ2 2
2 2
( 2)(2 ) ( )
2 2 2 2
x xf x f x
x x x x
2 2
2 2
2 4 4 2( 2 2)2
2 2 2 2
x x x x
x x x x
(ដផទៀងផ្ទទ ត)់
ដូចដនុះ ចំណុច (1,1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។ គ. សងត់្ាបC (ឯកតា 3cm ) ត្ពមទងំបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC សមាីរបនាទ តត់្តងចំ់ណុច (1,1)I មានរាង '(1)( 1) 1y f x
0 0
- 108 -
ដោយ2 2
2 ( 2)'( )
( 2 2)
x xf x
x x
ដនាុះ '(1) 2f
ដគបាន 2( 1) 1 2 3y x x ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 2 3y x ។
កំណតចំ់ននួបញសនន 2( 1) 2 (2 ) 2( 2) 0x m x m m និងទីតាងំរបស់បញសដធៀបនឹងចំននួ 0 , 1 និង 2 2( 1) 2 (2 ) 2( 2) 0x m x m m 2 22 2 4 4 0mx mx m x x 2 2( 2 2) ( 2)m x x x
2
2
( 2)
2 2
xm
x x
ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និងបនាទ ត ់
ចល័ត y m ។ តាមត្ាបC ខាងដលើដគបានៈ
2 3y x
x
y
C(1,1)I
1y
y m
- 109 -
- ចំដ ុះ 2m សមាីរគ្នា នបញស - ចំដ ុះ 2m សមាីរមានបញសមយួគឺ 0x - ចំដ ុះ 1 2m សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 20 1x x - ចំដ ុះ 1m សមាីរមានបញសមយួគឺ 1x - ចំដ ុះ 0 1m សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 21 x x - ចំដ ុះ 0m សមាីរមានបញសមយួគឺ 2x - ចំដ ុះ 0m សមាីរគ្នា នបញស ។ លំហាត់ 1.23
ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់លើ {1}fD ដោយ2
(2 1)( )
( 1)
x xf x
x
និងត្ាប ( )C សថិតកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ( , , )o i j
មានឯកតា3cm ក. កំណតលី់មតីត្តងចុ់ងដដនកំណត់ fD ។ ទញបញ្ញា កថ់ាត្ាប ( )C មានអាសីុមតូតពីរដដលត្តូវកំណតស់មាីរ។ ខ. គណនាដដរដីវ '( )f x និងបង្ហា ញថាវាមានសញ្ញា ដូចផលគុណ (3 1)( 1)x x ។ គូសតារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f ។ គ. កំណតកូ់អរដោដនចំណុច A ត្ាប ( )C ត្បសពវជាមយួបនាទ ត់ ( )D ដដលមានសមាីរ 2y ។ ឃ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះ ( )T ដៅនឹងត្ាប ( )C ត្តងចំ់ណុចដដលមាន អាបសីុ់សដសាើ 0 ។ កំណតស់ញ្ញា នន ( )f x x រចួទញរកទីតាងំ ( )C ដធៀបនឹងបនាទ តប់៉ាុះ ( )T ។ ង. សងអ់ាសីុមតូត, បនាទ តប់៉ាុះ ( )T និងត្ាប ( )C កនុងតត្មុយដតមយួ ។
- 110 -
ចថមលើយ
ក. កំណតលី់មតីត្តងចុ់ងដដនកំណត់ fD
2
2 2 2
1(2 )
(2 1)lim ( ) lim lim 2
1( 1) (1 )x x x
xx x xf x
x xx
2
2 2 2
1(2 )
(2 1)lim ( ) lim lim 2
1( 1) (1 )x x x
xx x xf x
x xx
21 1
(2 1) 1lim ( ) lim
( 1) 0x x
x xf x
x
ទញថាត្ាប ( )C មានអាសីុមតូតពីរដដលត្តូវកំណតស់មាីរ ដោយ lim ( ) 2
xf x
នាឲំ្យ 2y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប ( )C
ដោយ1
lim ( )x
f x
នាឲំ្យ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប ( )C
ខ. គណនាដដរដីវ '( )f x
2
4
(4 1)( 1) 2( 1) (2 1)'( )
( 1)
x x x x xf x
x
2 2
4
( 1)(4 5 1 4 2 )
( 1)
x x x x x
x
4 4
( 1)( 3 1) (3 1)( 1)
( 1) ( 1)
x x x x
x x
- 111 -
ដូចដនុះ ដដរដីវគឺ 4
(3 1)( 1)'( )
( 1)
x xf x
x
។
បង្ហា ញថាវាមានសញ្ញា ដូចផលគុណ (3 1)( 1)x x ដោយ 4( 1) 0x ចំដ ុះត្គប់ fx D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូចផលគុណ (3 1)( 1)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ (3 1)( 1) 0 1 , 1/3x x x x
អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1/3x គឺ 1 1( )3 4
f
គូសតារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f x 1/ 3 1 '( )f x ( )f x 2
1/ 4 2
គ. កំណតកូ់អរដោដនចំណុច A សមាីរអាបសីុ់សរវាងបនាទ ត់ ( )D និងត្ាប ( )C
2
(2 1)2
( 1)
x x
x
ឬ 2(2 1) 2( 1)x x x
2 22 2 4 2x x x x ឬ 23 2
3x x
ដូចដនុះ ចំណុច Aមានកូអរដោដន 2( , 2)3
A ។
ឃ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះ ( )T ដៅនឹងត្ាប ( )C ត្តង់ 0x សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x មានរាង ( ) : '(0)( 0) (0)T y f x f
0
- 112 -
ដោយ4
(3 1)( 1)'( )
( 1)
x xf x
x
ដនាុះ '(0) 1f
ដ ើយ (0) 0f ដគបាន ( ) :T y x ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ ( ) :T y x ។ កំណតស់ញ្ញា នន ( )f x x
2 3 2
2 2
(2 1) 2 2( )
( 1) ( 1)
x x x x x x xf x x x
x x
3
2( 1)
x
x
ដោយ 2( 1) 0 , fx x D ដនាុះ ( )f x x មានសញ្ញា តាម 3x
x 0 ( )f x x
ដូចដនុះ ( ) 0f x x ចំដ ុះ 0x ដ ើយ ( ) 0f x x ចំដ ុះ 0x ។ ទញរកទីតាងំ ( )C ដធៀបនឹងបនាទ តប់៉ាុះ ( )T ចំដ ុះ 0x ដនាុះ ( ) 0f x x នាឲំ្យត្ាប ( )C ដៅខាងដត្ាម ( )T ចំដ ុះ 0x ដនាុះ ( ) 0f x x នាឲំ្យត្ាប ( )C ដៅខាងដលើ ( )T ។ ង. សងអ់ាសីុមតូត, បនាទ តប់៉ាុះ ( )T និងត្ាប ( )C កនុងតត្មុយដតមយួ រក ( )C xóx គឺ 0 , (2 1) 0 0 , 1/ 2y x x x x តារាងតនមៃដលខជំនយួ x 2 3 4 y 6 15/ 4 28/ 9
0
- 113 -
លំហាត់ 1.24
អនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ2
2
1( )
( 2)
xy f x
x
និងមានដខសដាង ( )C
ក. រកដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f ។ រកសមាីរអាសីុមតូតឈរ និងដដក ននដខសដាង ( )C ។ ខ. គណនា និងសិកាសញ្ញា ននដដរដីវ '( )f x ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f និងសងដ់ខសដាង ( )C ។ ឃ.រកតនមៃ a ដដើមបឲី្យសមាីរ 2( 1) 4 4 1 0a x ax a មានបញស 1 2,x x ដដល 1 21 1x x ដោយដត្បើដខសដាង ( )C ។ ចថមលើយ
ក. រកដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f
y x
x
y
2
(2 1): ( )
( 1)
x xC f x
x
2y
1x
A
- 114 -
អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2( 2) 0 2x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ { 2}D ។ រកសមាីរអាសីុមតូតឈរ និងដដកននដខសដាង ( )C
2 2
2 22 2
1 ( 2) 1 3lim ( ) lim
( 2) ( 2 2) 0x x
xf x
x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប ( )C ។
2
2 2
2 22
11
1lim ( ) lim lim 1
( 2) 21
x x x
xx x
f xx
xx
2
2 2
2 22
11
1lim ( ) lim lim 1
( 2) 21
x x x
xx x
f xx
xx
ដោយ lim ( ) 1x
f x
ដ តុដនុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដក ។
ខ. គណនា និងសិកាសញ្ញា ននដដរដីវ '( )f x
2 2
4
2 ( 2) 2( 2)( 1)'( )
( 2)
x x x xf x
x
2 2
4 4
2( 2)( 2 1) 2( 2)(2 1)
( 2) ( 2)
x x x x x x
x x
ដោយ 4( 2) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម 2( 2)(2 1)x x
- 115 -
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 12( 2)(2 1) 0 2,
2x x x x
x 2 1/ 2 '( )f x
អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1/ 2x គឺ ( 1/ 2) 1/3f គ. សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f
x 2 1/ 2 '( )f x ( )f x
1 1 1/ 3
សងដ់ខសដាង ( )C
រក ( )C xóx គឺ 2
2
10 , 0
( 2)
xy
x
មានបញស 1 , 1x x
រក ( )C yóy គឺ 0 , 1/ 4x y
x
y( )C
1y
2x
y a
1/ 3
0
0
- 116 -
ឃ.រកតនមៃ a 2( 1) 4 4 1 0a x ax a 2 24 4 1ax ax a x 2 2( 4 4) 1a x x x
2
2
1
( 2)
xa
x
ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងដខសដាង ( )C ជាមយួ
បនាទ តច់ល័ត y a ។ តាមដខសដាង ( )C ដដើមបឲី្យសមាីរ 2( 1) 4 4 1 0a x ax a មានបញស 1 2,x x ដដល 1 21 1x x លុត្តាដត 1/3 0a ដូចដនុះ តនមៃរបស់ a គឺ 1/3 0a ។ លំហាត់ 1.25
អនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ 4( ) 2
1f x x
x
និងមានដខសដាង ( )C
ក. រកដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f ។ គណនា និងសិកាសញ្ញា នន '( )f x ។ ខ. កំណតស់មាីរអាសីុមតូតឈរ និងដត្ទតននដខសដាង ( )C ។ គ. សិកាទីតាងំរវាងអាសីុមតូតដត្ទត និងដខសដាង ( )C ។ ឃ.សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន ៍និងសងដ់ខសដាង ( )C ។ ចថមលើយ
ក. រកដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 1 0x ឬ 1x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ {1}D ។
- 117 -
គណនា និងសិកាសញ្ញា នន '( )f x
4( ) 2
1f x x
x
2
2 2 2
4 ( 1) 4 ( 3)( 1)'( ) 1
( 1) ( 1) ( 1)
x x xf x
x x x
ដោយ 2( 1) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម ( 3)( 1)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ ( 3)( 1) 0 3 , 1x x x x
x 1 1 3 '( )f x
អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 1x គឺ ( 1) 1f អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 3x គឺ (3) 7f ខ. កំណតស់មាីរអាសីុមតូតឈរ និងដត្ទតននដខសដាង ( )C
1 1
4 4lim ( ) lim 2 1 2
1 0x xf x x
x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប ( )C ។
4( ) 2
1f x x
x
និង 4
lim 01x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាប ( )C ។
4lim ( ) lim 2
1x xf x x
x
4lim ( ) lim 2
1x xf x x
x
0 0
- 118 -
ឃ.សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f x 1 1 3 '( )f x ( )f x 1
7
សងដ់ខសដាង ( )C រក ( )C yóy គឺ 0x នាឲំ្យ 2y
x 0 1 2y x 2 3
ផចិតឆៃុុះ : អាសីុមតូតឈរ 1x ជបួនឹងអាសីុមតូតដត្ទត 2y x ត្តងចំ់ណុច (1 , 3)I ។ ដ តុដនុះ (1 , 3)I ជាផចិតឆៃុុះ ។
y
x
2y x
( )C
1x
0 0
- 119 -
លំហាត់ 1.26
f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2
2
6( )
2( 2 2)
x xf x
x x
និង ( )C ជាត្ាប
នន f ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ( , , )o i j
។ ក. បញ្ញា កថ់ា f កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x ។ ខ. គណនាលីមតីនន f ាលណា x ខិតដៅ និង រចួទញថា ( )C មានអាសីុមតូតមយួដោយបញ្ញា កស់មាីរននអាសីុមតូតដនាុះ។ គ. គណនា '( )f x រចួសិកាសញ្ញា នន '( )f x ។ ទញថា f មានអតិបរមា មយួ និងអបបបរមាមយួ រចួគណនាតនមៃបរមាទងំដនាុះ។ ឃ. គូសតារាងអដថរភាពនន f ។ ង. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងដខសដាង ( )C និងអក័សទងំពីរ ននតត្មុយ និងចំណុចត្បសពវរវាងដខសដាងនិងអាសីុមតូតដដក។ ច. គណនា (2)f និង (3)f ។ សងត់្ាប ( )C ។ ចថមលើយ
ក. បញ្ញា កថ់ា f កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x ដគមាន 2 22 2 ( 1) 1 0x x x ចំដ ុះត្គប់ x
នាឲំ្យ 2
2
6( )
2( 2 2)
x xf x
x x
កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x
ដូចដនុះ f កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x ។ ខ. គណនាលីមតីនន f ាលណា x ខិតដៅ និង
- 120 -
2 2
2 2
6 1lim ( ) lim lim
22( 2 2) 2x x x
x x xf x
x x x
2 2
2 2
6 1lim ( ) lim lim
22( 2 2) 2x x x
x x xf x
x x x
ទញថា ( )C មានអាសីុមតូតមយួដដលត្តូវបញ្ញា កស់មាីរ
ដោយ 1lim ( )
2xf x
ដ តុដនុះ 1
2y ជាសមាីរអាសីុមតូតដដក
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1
2y ជាសមាីរអាសីុមតូតដដកននត្ាប ( )C ។
គ. គណនា '( )f x រចួសិកាសញ្ញា នន '( )f x
2 2
2 2
(2 6)2( 2 2) 2(2 2)( 6 )'( )
4( 2 2)
x x x x x xf x
x x
2 2
2 2
( 3)( 2 2) ( 1)( 6 )
( 2 2)
x x x x x x
x x
3 2 2 3 2 2
2 2
( 2 2 3 6 6) ( 6 6 )
( 2 2)
x x x x x x x x x
x x
2
2 2 2 2
4 2 6 2( 1)(2 3)
( 2 2) ( 2 2)
x x x x
x x x x
ដោយ 2 2( 2 2) 0 ,x x x នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 2( 1)(2 3)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2( 1)(2 3) 0x x មានបញស 1 , 3/ 2x x
- 121 -
សញ្ញា នន '( )f x x 1 3/ 2 '( )f x
ទញថា f មានអតិបរមាមយួ និងអបបបរមាមយួ តាមតារាងសញ្ញា '( )f x ត្តង់ 1x ដធវើឲ្យ '( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ពី ( ) ដៅ ( ) នាឲំ្យ f មានតនមៃអបបបរមា។ ត្តង់ 1x ដធវើឲ្យ '( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ពី ( ) ដៅ ( ) នាឲំ្យ f មានតនមៃអតិបរមា។ គណនាតនមៃបរមា
តនមៃអបបបរមា 2( 1) 6 1
( 1)2(1 2 2) 2
f
តនមៃអតិបរមា 2
2
(3/ 2) 6(3/ 2) 9(3/ 2)
22((3/ 2) 2(3/ 2) 2)f
ឃ. គូសតារាងអដថរភាពនន f x 1 3/ 2 '( )f x '( )f x 1/ 2 9 / 2
1/ 2 1/ 2 ង. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងដខសដាង ( )C និងអក័ស
( ) ( )C xóx គឺ 2
2
60 , 0 0 , 6
2( 2 2)
x xy x x
x x
ដូចដនុះត្ាប ( )C ាតអ់ក័សអាបសីុ់សត្តង់ (0,0) និង ( 6 , 0) ។ ( ) ( )C yóy គឺ 0 , 0x y ដនាុះត្ាប ( )C ាតត់ាមគល់តត្មុយ
0 0
0 0
- 122 -
គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងដខសដាងនិងអាសីុមតូតដដក
សមាីរអាបសីុ់ស 2
2
6 1
22( 2 2)
x x
x x
2 2 2 16 2 2 8 2
8 4x x x x x x
ដូចដនុះ ត្ាប ( )C ាតអ់ាសីុមតូតដដកត្តង ់ 1 1( , )
4 2 ។
ច. គណនា (2)f និង (3)f
2
2
2 6 2 16(2) 4
42(2 2 2 2)f
2
2
3 6 3 27(3) 2.7
102(3 2 3 2)f
សងត់្ាប ( )C
1/ 2y
( )C
x
y
- 123 -
លំហាត់ 1.27
ដគឲ្យ2
4 4( ) , 0
xg x x
x
។ ( )C ជាត្ាបនន g ។
ក. គណនាលីមតី lim ( ) , lim ( )x x
g x g x
និង0
lim ( )x
g x
រចួទញ
រកអាសីុមតូតននត្ាប ( )C ។ ខ. គូសតារាងអដថរភាពនន g ។ គ. បង្ហា ញថា ( )C មានចំណុចរបតម់យួ រចួរកកូអរដោដនចំណុចរបតដ់នាុះ ឃ.គណនា ( 4), ( 2), (1)g g g និង (4)g ។ ង. សងដ់ខសដាង ( )C ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់។ ចថមលើយ
ក. គណនាលីមតី lim ( ) , lim ( )x x
g x g x
និង0
lim ( )x
g x
2 2
44
4 4lim ( ) lim lim 0
x x x
xx x
g xx x
2 2
44
4 4lim ( ) lim lim 0
x x x
xx x
g xx x
20 0 0
4 4 0 4lim ( ) lim lim
0x x x
xg x
x
ដូចដនុះ 0
lim ( ) lim ( ) 0 , lim ( )x x x
g x g x f x
ទញរកអាសីុមតូតននត្ាប ( )C
- 124 -
ដោយ lim ( ) 0x
g x
ដនាុះបនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកនន ( )C
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកនន ( )C ។ ដោយ
0lim ( )x
g x
ដនាុះបនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរនន ( )C
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប ( )C ។ ខ. គូសតារាងអដថរភាពនន g
ដដរដីវ 2 2
4 4
4 2 (4 4) 4 8'( )
x x x x xg x
x x
ដបើ '( ) 0g x នាឲំ្យ 24 8 0 0 , 2x x x x ដោយ 4 0 , 0x x ដនាុះ '( )g x មានសញ្ញា តាម 24 8x x
តនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ 8 4(2) 1
4g
x 0 2 '( )g x ( )g x 0
1 0
គ. បង្ហា ញថា ( )C មានចំណុចរបតម់យួ
ដដរដីវទីពីរ4 3 2
8
( 8 8) 4 ( 4 8 )''( )
x x x x xg x
x
3 2 3 2 3 2
6 6 4
8 8 16 32 8 24 8 24x x x x x x x
x x x
''( )g x មានសញ្ញា ដូច8 24x ដត្ ុះ 4 0, 0x x
0
- 125 -
ដបើ ''( ) 0g x នាឲំ្យ 8 24 0 3x x សញ្ញា នន ''( )g x
x 3 ''( )g x
ដោយ ''( ) 0g x មានបញស 3x ដ ើយបតូរសញ្ញា ដ តុដនុះ ( )C មាន ចំណុចរបតម់យួត្តង់ 3x ។ រកកូអរដោដនចំណុចរបត ់
ដបើ 3x នាឲំ្យ 2
4 3 4 80.88
93y
ដូចដនុះ ចំណុចរបតគឺ់ 8(3, )
9។
ឃ.គណនា ( 4), ( 2), (1)g g g និង (4)g
2
4( 4) 4 5( 4) 1.25
4( 4)g
2
4( 2) 4( 2) 3
( 2)g
2
4 4(1) 0
1g
2
4(4) 4 3(4) 0.75
44g
ដូចដនុះ 5 3( 4) , ( 2) 3, (1) 0, (4)
4 4g g g g
ង. សងដ់ខសដាង ( )C ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់
0
- 126 -
លំហាត់ 1.28
ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ22 4 2
( )2 3
x xf x
x
និងមានត្ាបC
កនុងតត្មុយអរតូណរដម ( , , )o i j
។ ក. សិកាអនុគមន៍ f និងគូសត្ាបC ។ បង្ហា ញថាត្ាបC មានអាសីុម តូតដត្ទតមយួ និងផចិតឆៃុុះមយួ។ ខ. ដោយដត្បើត្ាបC ដោុះត្ាយនិងពិភាកាបញសរបស់សមាីរ 22 2(2 ) 3 2 0x p x p តាមបា៉ា រា៉ា ដម៉ាត្ត p ។ គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A ដដលមានអាប ់ សីុសដសាើ 3។ គូសសមាីរបនាទ តប់៉ាុះដនាុះ។ ចថមលើយ
x
y
( )C
- 127 -
ក. សិកាអនុគមន៍ f និងគូសត្ាបC
ដដនកំណត ់ 3{ }
2D
ទិសដៅអដថរភាព
- ដដរដីវ 2
2
(4 4)(2 3) 2(2 4 2)'( )
(2 3)
x x x xf x
x
2
2 2
4( 1)(2 3) 4( 1) 4( 1)( 4)
(2 3) (2 3)
x x x x x
x x
ដោយ 2(2 3) 0,x x D ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 4( 1)( 4)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 4( 1)( 4) 0x x មានបញស 1, 4x x
x 4 3/ 2 1 '( )f x
- ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 4x គឺ ( 4) 10f អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1x គឺ (1) 0f - គណនាលីមតី
2 22 4 2 2
lim ( ) lim lim2 3 2x x x
x x xf x
x x
2 22 4 2 2
lim ( ) lim lim2 3 2x x x
x x xf x
x x
0 0
- 128 -
2
3/ 2 3/ 2
3 32 4 2
2 2lim ( ) lim
0x xf x
- អាសីុមតូតឈរ ដោយ
3/ 2lim ( )
xf x
ដ តុដនុះ 3/ 2x ជាអាសីុមតូតឈរ
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3/ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ x 4 3/ 2 1 '( )f x ( )f x 10
0
សងត់្ាបC ត្ាបC ាតអ់ក័សអរដោដនត្តង់ (0, 2 / 3)
y p
10
7 / 2y x
I
y
x
3/ 2x
C
( )T
0 0
- 129 -
បង្ហា ញថាត្ាបC មានអាសីុមតូតដត្ទតមយួ
25
7 2( )2 2 3
f x xx
និង
25
2lim 02 3x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 7
2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។
ផចិតឆៃុុះ : អាសីុមតូតឈរ 3/ 2x ជបួនឹងអាសីុមតូតដត្ទត
7
2y x ត្តងចំ់ណុច 3
( , 5)2
I ។
ដបើ 3( , 5)
2I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ដនាុះវាដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង
(2 ) ( ) 2f a x f x b ឬ ( 3 ) ( ) 10f x f x
ដគបាន22( 3 ) 4( 3 ) 2
( 3 ) ( ) ( )2( 3 ) 3
x xf x f x f x
x
218 12 2 12 4 2
( )6 2 3
x x xf x
x
2 22 16 32 2 4 2
2 3 2 3
x x x x
x x
20 30 10(2 3)10
2 3 2 3
x x
x x
(ពិត)
ដូចដនុះ ចំណុច 3( , 5)
2I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។
ខ. ដោុះត្ាយនិងពិភាកាបញសនន 22 2(2 ) 3 2 0x p x p 22 4 2 3 2 0x x px p
- 130 -
2(2 4 2) (2 3)x x x p
22 4 2
2 3
x xp
x
ជាសមាីរអាបសីុ់សននត្ាបC និងបនាទ តច់ល័ត
y p ។ តាមត្ាបC ដគបានៈ
2
3p នាឲំ្យសមាីរមានបញសពីរដដល 1 2
30
2x x
2
3p នាឲំ្យសមាីរមានបញសពីរដដល 1 20x x
20
3p នាឲំ្យសមាីរមានបញសពីរដដល 1 20 x x
0p នាឲំ្យសមាីរមានបញសឌុប 1 2 1x x 10 0p នាឲំ្យសមាីរគ្នា នបញស 10p នាឲំ្យសមាីរមានបញសឌុប 1 2 4x x
10p នាឲំ្យសមាីរមានបញសពីរដដល 1 23
2x x ។
គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC សមាីរបនាទ តប់៉ាុះមានរាង ( ) : '(3)( 3) (3)T y f x f
ដោយ 56'(3)
81f និង 8
(3)9
f
ដគបាន 56 8 1( ) : ( 3) (56 96)
81 9 81T y x x
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 1( ) : (56 96)
81T y x ។
គូសសមាីរបនាទ តប់៉ាុះ (មានកនុងរូបខាងដលើ)
- 131 -
លំហាត់ 1.29
ដគឲ្យអនុគមន៍ f ដដល 1( ) 2
1y f x x
x
ចំដ ុះ 1x និង
មានត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ ក. គណនាដដរដីវ និងសិកាសញ្ញា នន '( )f x ។ គណនាតនមៃបរមានន f ។ ខ. គណនាលីមតី lim ( )
xf x
និង lim ( )
xf x
។ រកសមាីរអាសីុម
តូតឈរ និងដត្ទតននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាពនន f ។ ឃ.សងត់្ាបC និងអាសីុមតូតននត្ាបC ។ គណនាត្កឡានផទដផនកបៃង ់ ខណឌ ដោយត្ាបC និងអាសីុមតូតដត្ទតចដនាៃ ុះ [0, ]e ។ ចថមលើយ
ដគមាន 1( ) 2
1y f x x
x
មានត្ាបC ចំដ ុះត្គប់ 1x
ក. គណនាដដរដីវ និងសិកាសញ្ញា នន '( )f x
2 2
2 2 2
1 ( 1) 1 2'( ) 1
( 1) ( 1) ( 1)
x x xf x
x x x
ដូចដនុះ ដដរដីវ 2
2
2'( )
( 1)
x xf x
x
។
ដោយ 2( 1) 0, 1x x ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 2 2x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 0 0 , 2x x x x
- 132 -
x 2 1 0 '( )f x
គណនាតនមៃបរមានន f តនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ ( 2) 1f តនមៃអបបបរមាត្តង់ 0x គឺ (0) 3f ខ. គណនាលីមតី lim ( )
xf x
និង lim ( )
xf x
1lim ( ) lim 2 0
1x xf x x
x
1lim ( ) lim 2 0
1x xf x x
x
រកសមាីរអាសីុមតូតឈរ និងដត្ទតននត្ាបC
ដោយ1 1
1 1lim ( ) lim 2 1 2
1 0x xf x x
x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។
1( ) 2
1f x x
x
និង 1
lim 01x x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាពនន f
x 2 1 0 '( )f x ( )f x 1
3
0 0
0 0
- 133 -
ឃ.សងត់្ាបC និងអាសីុមតូតននត្ាបC
គណនាត្កឡានផទដផនកបៃងខ់ណឌ ដោយត្ាបC និងអាសីុមតូត ដត្ទតចដនាៃ ុះ [0, ]e
0
0
12 2 ln | 1|
1
ee
S x x dx xx
ln( 1) ln | 0 1|e ln( 1)e ÉktaépÞRkLa
ដូចដនុះ ln( 1)S e ÉktaépÞRkLa
លំហាត់ 1.30
ដគឲ្យអនុគមន៍2
2
10 5:
( 1)
x xf x
x
កំណតដ់លើ { 1} និងមាន
ត្ាបC ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j
។
2y x
C
1x
x
y
e
- 134 -
ក. បង្ហា ញថាមានចំននួពិតបី , ,a b c ដដលត្គប់ 1x ដគបាន
2
( )1 ( 1)
b cf x a
x x
។
ខ. គណនាដដរដីវ 'f នន f រចួសិកាសញ្ញា និងគូសតារាងអដថរភាពនន f គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុចដដលមានអាប ់ សីុសដសាើ 3 ។ ឃ. សងត់្ាបC ,សមាីរបនាទ តប់៉ាុះ និងអាសីុមតូត។ ង. គណនានផទត្កឡាដផនកបៃងខ់ណឌ ដោយត្ាបC និងអក័សអាបសីុ់សត្តង ់ 1x និង 4x ។ ចថមលើយ
ក. រកចំននួពិត , ,a b c ដដល 1 ,x 2
( )1 ( 1)
b cf x a
x x
ដគបាន 2
( )1 ( 1)
b cf x a
x x
2 2
2 2
( 1) ( 1) ( 2 1) ( 1)
( 1) ( 1)
a x b x c a x x b x c
x x
2
2
(2 ) ( )
( 1)
ax a b x a b c
x
ដត
2
2
10 5( )
( 1)
x xf x
x
ចំដ ុះ 1x ដគទញបាន 1 1
2 10 12
5 16
a a
a b b
a b c c
ដូចដនុះ 1, 12, 16a b c
- 135 -
ខ. គណនាដដរដីវ 'f នន f រចួសិកាសញ្ញា
2 2
4
(2 10)( 1) 2( 1)( 10 5)'( )
( 1)
x x x x xf x
x
2 2
4
2( 1)[( 4 5) ( 10 5)]
( 1)
x x x x x
x
4 4
2( 1)(6 10) 4( 1)(3 5)
( 1) ( 1)
x x x x
x x
ដោយ 4( 1) 0 ,x x D ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x យកសញ្ញា តាម 4( 1)(3 5)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 4( 1)(3 5) 0x x 1, 5/3x x
x 1 5/ 3 '( )f x
ចំណុចបរមា
អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 5/3x គឺ 5(5/ 3) 1.25
4f
គណនាលីមតី
2 2
2 2
10 5(1 )
10 5lim ( ) lim lim 1
1( 1) (1 )x x x
x x x xf xx
x
2 2
2 2
10 5(1 )
10 5lim ( ) lim lim 1
1( 1) (1 )x x x
x x x xf xx
x
0
- 136 -
2 2
21 1
10 5 1 10 5lim ( ) lim
( 1) 0x x
x xf x
x
អាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 1
xf x
ដ តុដនុះ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC
ដោយ1
lim ( )x
f x
ដ តុដនុះ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននC
គូសតារាងអដថរភាពនន f x 1 5/ 3 '( )f x ( )f x
1 1 5/ 4
គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅនឹងត្ាបC ត្តង់ 3x សមាីរមានរាង '(3)( 3) (3)y f x f
ដោយ 1(3)
4f និង (3) 1f
ដគបាន 1 1 7( 3) 1
4 4 4y x x
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 1 7
4 4y x ។
ឃ. សងត់្ាបC ,សមាីរបនាទ តប់៉ាុះ និងអាសីុមតូត រក ( )C xóx គឺ 0 , 0.47 , 10.47y x x រក ( )C yóy គឺ 0 , 5x y
0
- 137 -
ង. គណនានផទត្កឡាដផនកបៃងខ់ណឌ ដោយត្ាបC និងអក័សអាបសីុ់សត្តង ់ 1x និង 4x ដោយចដនាៃ ុះ 1x និង 4x ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមអក័សអាបសីុ់ស
ដគបាននផទត្កឡា4 4
21 1
12 16( ) 1
1 ( 1)A f x dx dx
x x
4
1
1612ln | 1|
( 1)x x
x
16 39 2(4 12ln5 ) (1 12ln 2 8) 12ln
5 5 5
ដូចដនុះ 39 212ln
5 5A
ÉktaépRÞ kLa
( )T
( )C
1y 1x
x
y
A
- 138 -
លំហាត់ 2.1
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ( )C ននអនុគមន៍ 29y x ខ. រកចំណុចនឹងដដលបនាទ ត់ : 3 4 0md mx y m ាតត់ាមចំ ដ ុះត្គបត់នមៃm ។ គ. ដត្បើត្ាប ( )C ពិភាកាតាមតនមៃm អតថិភាពននបញសរបស់សមាីរ
29 4 3 0x mx m ។ ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ( )C ននអនុគមន៍ 29y x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័ាលណា 29 0x នាឲំ្យ 3 3x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ [ 3,3]D ។ ទិសដៅអដថរភាព
- ដដរដីវ 2
2 2
(9 ) ''( )
2 9 9
x xf x
x x
- សិកាសញ្ញា
ដោយ 29 0x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម x
២.អនុគមន៍អសនិទាន
- 139 -
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 0 0x x x 3 0 3 '( )f x
- ចំណុចអតិបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 0x គឺ 2(0) 9 0 3f - តារាងអដថរភាព
x 3 0 3 '( )f x ( )f x 3
0 0 សងត់្ាប ( )C
ខ. រកចំណុចនឹងដដលបនាទ ត់ : 3 4 0md mx y m ាតត់ាមចំ ដ ុះត្គបត់នមៃm
( )C
x
y
(4,3)M
0
0
- 140 -
( 4) (3 ) 0m x y ដគបាន 4 0 4
3 0 3
x x
y y
ដូចដនុះ ចំណុចនឹងដដលបនាទ ត់ md ាតត់ាមគឺ (4,3)M ។ គ. ដត្បើត្ាប ( )C ពិភាកាតាមតនមៃm អតថិភាពននបញសរបស់សមាីរ
29 4 3 0x mx m 29 ( 4) 3x m x ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាប ( )C និង md តាមត្ាប ( )C ដគបានៈ 0m បនាទ តម់និាតត់្ាប ( )C ដ តុដនុះសមាីរគ្នា នបញស 0m បនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាប ( )C ដ តុដនុះសមាីរមានបញស 0x ករណីៈ បនាទ ត់ md ាតត់ាម ( 3,0) ដគបាន 3 0 3 4 0m m
37 3 0
7m m
ដគបាន 3]0, ]
7m សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 20x x
ករណីៈ បនាទ ត់ md ាតត់ាម (3,0) ដគបាន3 0 3 4 0m m 3 0 3m m ដគបាន 3
] ,3]7
m សមាីរមានបញសមយួដដល 0x
3m បនាទ តម់និាតត់្ាប ( )C ដ តុដនុះសមាីរគ្នា នបញស ។ លំហាត់ 2.2
ដគឲ្យអនុគមន៍ 2 2 1y mx m x ។ ក. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា អាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំរបស់ត្ាបខាងដលើ ប៉ាុះនឹង
- 141 -
បា៉ា រា៉ា បូលនឹងមយួ។ ខ. ដបើ 1m សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC របស់អនុគមនខ៍ាងដលើ។ ចថមលើយ
ក. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា អាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំរបស់ត្ាបខាងដលើ ប៉ាុះនឹង បា៉ា រា៉ា បូលនឹងមយួ
ដគមាន 2 2 2 2
2
11 1y mx m x mx m x
x
2 | | ( )mx m x x ដដល lim ( ) 0x
x
ដពល x ដនាុះដគបាន 2y mx m x ជាអាសីុមតូតដត្ទត សរដសរជាទត្មងស់មាីរ 2 0m mx x y 2 24( ) 4 4x x y x x y ដដើមបឲី្យអាសីុមតូតដត្ទតប៉ាុះនឹងបា៉ា រា៉ា បូលនឹងលុុះត្តាដត mមានតនមៃ ដតមយួគត ់ដ តុដនុះដយើងត្តូវឲ្យ 0 ដគបាន
2 4 4 0x x y ឬ 21
4y x x ជាបា៉ា រា៉ា បូលនឹងមយួ។
ដូចដនុះ អាសីុមតូតដត្ទតប៉ាុះនឹងបា៉ា រា៉ា បូល 21
4y x x ។
ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC របស់អនុគមនចំ៍ដ ុះ 1m ដគបាន 2( ) 1 1y f x x x ដដនកំណត ់ 2 1 0 ,x ដនាុះ f កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x
- 142 -
ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ D ។ ទិសដៅអដថរភាព
- ដដរដីវ 2
2 2
( 1) ''( ) 1 1
2 1 1
x xf x
x x
- សិកាសញ្ញា '( )f x
ដោយ 2 2 1x x x x នាឲំ្យ 2
1 1
1
x
x
នាឲំ្យ 2
1 0
1
x
x
ដនាុះ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ x
- គណនាលីមតី 2lim ( ) lim ( 1 1)
x xf x x x
2 2 2
2
( 1) ( 1)lim
( 1) 1x
x x
x x
2
2lim
1 11 | | 1
x
x
x xx x
2
2lim 1
1 12 1 1
x
x
xx x
2lim ( ) lim ( 1 1)x x
f x x x
- 143 -
2
2lim
1 11 | | 1
x
x
x xx x
2
2 2lim
1 1 02 1 1
x
x
xx x
- អាសីុមតូត ដោយ lim ( )
xf x
ដ តុដនុះ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននC
2 2
2
1( ) 1 1 1 1f x x x x x
x
1 | | ( )x x x ដដល lim ( ) 0x
x
ដពល x ដនាុះ 1 | | 2 1y x x x ជាអាសីុមតូតដត្ទត ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2 1y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ - តារាងអដថរភាព
x '( )f x ( )f x
1 សងត់្ាបC និងអាសីុមតូតទងំពីរ អាសីុមតូត x 0 1
2 1y x 1 3
- 144 -
តារាងតនមៃដលខ x 2 1 0 1 y 1.24 1.4 2 3.4
លំហាត់ 2.3 ដគឲ្យអនុគមន៍ 2 (4 )y x x ។ ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC របស់អនុគមន។៍ ខ. ដត្បើត្ាបC ពិភាកាតាមតនមៃm អតថិភាពននបញសរបស់សមាីរ 2 (4 ) 2 2 5x x mx m ។ ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC របស់អនុគមន៍ 2 (4 )y x x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័ាលណា 2 (4 ) 0x x
2 1y x
1y
x
y
C
- 145 -
ដបើ 2 (4 ) 0x x មានបញស 0 , 4x x x 0 4
2 (4 )x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ [0 , 4]D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ (2 (4 )) ' 2(4 ) 2 4 8'( )
2 2 (4 ) 2 2 (4 ) 2 (4 )
x x x x xf x
x x x x x x
ដោយ 2 (4 ) 0 , ]0,4[x x x នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 4 8x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 4 8 0 2x x ចំណុចអតិបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 2 2 2.8f តារាងអដថរភាព
x 0 2 4 '( )f x ( )f x 2 2
0 0 សងត់្ាបC តារាងតនមៃដលខ x 1 3 y 2.4 2.4
0 0
- 146 -
ខ. ដត្បើត្ាបC ពិភាកាតាមតនមៃm អតថិភាពននបញសរបស់សមាីរ 2 (4 ) 2 2 5x x mx m ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់ : 2 2 5md y mx m ដគបានៈ 0m បនាទ ត់ md មនិាតត់្ាបC ដនាុះសមាីរគ្នា នបញស 0m បនាទ ត់ md ប៉ាុះនឹងត្ាបC ដនាុះសមាីរមានបញស 2x ករណីៈ : 2 2 5md y mx m ាតត់ាមគល់ (0,0)O
ដនាុះ 2 20 0 2 2 5 2 2 5 0
5m m m m
ដគបាន 2 20
5m សមាីរមានបញសពីរដដល 1 20 x x
ករណីៈ : 2 2 5md y mx m ាតត់ាមគល់ (4,0)O 0 4 2 2 5 2 2 0 2 2m m m m ដគបាន 2 2 /5 2 2m សមាីរមានបញសមយួ 0x
(5,2 2)
x
y
C
md
- 147 -
2 2m បនាទ ត់ md មនិាតត់្ាបC ដនាុះសមាីរគ្នា នបញស ។ លំហាត់ 2.4
ដគឲ្យអនុគមន៍ 2( ) 4 2 1y f x x x x ។ ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបននអនុគមន។៍ ខ. ដត្បើត្ាប រកតនមៃm ដដើមបឲី្យវសិមាីរមានបញស
24 2 1x x m x ។ ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបនន 2( ) 4 2 1y f x x x x ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 24 2 1 0x x 2' 1 4 3 0 នាឲំ្យ 24 2 1 0 ,x x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ D ។ ទិសដៅអដថរភាព
2 2
8 2 4 1'( ) 1 1
2 4 2 1 4 2 1
x xf x
x x x x
2
2
4 2 1 4 1
4 2 1
x x x
x x
ដបើ 0x នាឲំ្យ 2
4 11 0
4 2 1
x
x x
ដនាុះ '( ) 0f x
- 148 -
ដបើ 0x នាឲំ្យ2
2
4 2 1 4 1'( )
4 2 1
x x xf x
x x
2 2
2 2
(4 2 1) (4 1)
4 2 1( 4 2 1 4 1)
x x x
x x x x x
2 2
2 2
4 2 1 16 8 1
4 2 1( 4 2 1 4 1)
x x x x
x x x x x
2
2 2
12 6
4 2 1( 4 2 1 4 1)
x x
x x x x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 212 6 0 0 , 1/ 2x x x x សញ្ញា ដដរដីវ
x 1/ 2 0 '( )f x
ចំណុចអបបបរមា
អនុគមន៍ f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1
2x គឺ ( 1/ 2) 1/ 2f
គណនាលីមតី 2lim ( ) lim ( 4 2 1)
x xf x x x x
2lim ( ) lim ( 4 2 1)x x
f x x x x
0
- 149 -
2 2 2
2
2
4 2 1 3 2 1lim lim
2 14 2 1 | | 4x x
x x x x x
x x x x xx x
2
2
2
2 13
( )(3)lim
32 14
x
xx x
x xx x
រកអាសីុមតូត
2
2 1 3( ) 4 2 1 2
2 4f x x x x x x
12 ( )
2x x x ដដល lim ( ) 0
xx
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 13
2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំដពល x
ខិតជិត និងបនាទ ត់ 1
2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងដឆវង
ដពល x ខិតជិត ។ តារាងអដថរភាព
x 1/ 2 0 '( )f x ( )f x
1/ 2 សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f
0
1
- 150 -
ខ. រកតនមៃm ដដើមបឲី្យវសិមាីរមានបញស
24 2 1x x m x ឬ 24 2 1x x x m
ដបើ 24 2 1x x x m ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និង បនាទ តច់ល័ត y m ។ តាមត្ាបC ដដើមបឲី្យវសិមាីរមានបញស
លុុះត្តាដត 1
2m ។
លំហាត់ 2.5
ដគឲ្យអនុគមន៍ 21( ) 12 3
2 2
xy f x x ។
ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC ននអនុគមន។៍
ខ. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា 22 12 3 4x x ។
គ. ដោុះត្ាយសមាីរ 212 3 4x x រចួដផទៀងផ្ទទ តល់ទធផលនន
13
2y x
1
2y x
C
x
y
y m
- 151 -
សមាីរដោយត្ាបននអនុគមនខ៍ាងដលើ ។ ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC នន 21( ) 12 3
2 2
xf x x
ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 212 3 0x ដបើ 212 3 0 3(2 )(2 ) 0x x x មានបញស 2, 2x x
x 2 2 212 3x
ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ [ 2 , 2]D ទិសដៅអដថរភាព
2 2
1 6 1 3'( )
2 24 12 3 2 12 3
x xf x
x x
- ចំដ ុះ 2 0x នាឲំ្យ 2
30
2 12 3
x
x
នាឲំ្យ 2
1 30
2 2 12 3
x
x
ដនាុះ '( ) 0f x ។
- ចំដ ុះ 0 2x ដគបាន2
2
12 3 3'( )
2 12 3
x xf x
x
2 2
2 2
12 3 9
2 12 3 (2 12 3 3 )
x x
x x x
0 0
- 152 -
2
2 2
12(1 )
2 12 3 (2 12 3 3 )
x
x x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 212(1 ) 0 1x x សញ្ញា នន '( )f x
x 2 1 2 '( )f x
តនមៃអតិបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 1x គឺ (1) 2f តនមៃននអនុគមនត៍្តងចុ់ងដដនកំណត់
22 1( 2) 12 3( 2) 1
2 2f
22 1(2) 12 3(2) 1
2 2f
តារាងអដថរភាព x 2 1 2 '( )f x ( )f x 2
1 1 សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f តារាងតនមៃដលខ x 1 0 y 1 3
0
0
- 153 -
ខ. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា 22 12 3 4x x តាមត្ាបC ដគបាន 1 ( ) 2f x
211 12 3 2
2 2
xx
212 3
1 22
x x
22 12 3 4x x ដូចដនុះ 22 12 3 4x x ។
គ. ដោុះត្ាយសមាីរ 212 3 4x x 2 2 2( 12 3 ) (4 )x x ឬ 2 212 3 16 8x x x ឬ 2 24 8 4 0 4( 1) 0x x x នាឲំ្យ 1x ដូចដនុះ 1x ជាបញសរបស់សមាីរ ។ ដផទៀងផ្ទទ តល់ទធផលននសមាីរដោយត្ាបC ននអនុគមនខ៍ាងដលើ
C
x
y
2y
- 154 -
ដគមាន 2 212 3 4 12 3 4x x x x
ឬ 2112 3 2
2 2
xx ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC ជាមយួ
បនាទ ត់ 2y ។ តាមត្ាបខាងដលើ ដយើងដឃើញថាត្ាបC ាតប់នាទ ត ់ 2y ត្តងអ់ាបសីុ់ស 1x ។ ដូចដនុះ 1x ជាបញសរបស់សមាីរ ។ លំហាត់ 2.6
ដគឲ្យអនុគមន៍ 22 1y x x មានត្ាបC ។ ក. រកអាសីុមតូតរបស់ត្ាបC ។
ខ. តាមត្ាប រកតនមៃm ដដើមបឲី្យសមាីរ 22 1x x m មានបញស គ. សរដសរសមាីរបនាទ តនឹ់ងត្ាបC ត្តងចំ់ណុចននត្ាបដដលមាន អាបសីុ់ស 2x ។ ចថមលើយ
ក. រកអាសីុមតូតរបស់ត្ាបC
2 2
2
12 1 2 1
2y x x x x
x
2 | | ( )x x x ដដល lim ( ) 0x
x
ករណី x ដនាុះ (1 2)y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំ ។ ករណី x ដនាុះ (1 2)y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងដឆវង ។
ខ. តាមត្ាប រកតនមៃm ដដើមបឲី្យសមាីរ 22 1x x m មានបញស
- 155 -
សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ 2( ) 2 1y f x x x ដដនកំណត ់D ទិសដៅអដថរភាព
2
2'( ) 1
2 1
xf x
x
- ករណី 0x ដនាុះ 2
21 0
2 1
x
x
នាឲំ្យ '( ) 0f x
- ករណី 0x ដគបាន
2
2 2
2 2 1 2'( ) 1
2 1 2 1
x x xf x
x x
2 2 2
2 2 2 2
2 1 4 1 2
2 1( 2 1 2 ) 2 1( 2 1 2 )
x x x
x x x x x x
ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 2 21 2 0
2x x ដត្ ុះ 0x
សញ្ញា នន '( )f x x 2 / 2 '( )f x
តនមៃអបបបរមា
តនមៃអបបបរមាត្តង ់ 2 / 2x គឺ 2( 2 / 2) 0.7
2f
គណនាលីមតី
0
- 156 -
2 2
2
2
2 1lim ( ) lim ( 2 1) lim
2 1x x x
x xf x x x
x x
2
2 2
1
1lim lim
1 1| | 2 1 2
x x
xx x
x xx x
2lim ( ) lim ( 2 1)x x
f x x x
តារាងអដថរភាព x 2 / 2 '( )f x ( )f x
2 / 2 សងត់្ាបC
(1 2)y x
x
y m
(1 2)y x
y
C
7 1
3 3y x
0
- 157 -
តាមត្ាបC ដដើមបឲី្យសមាីរ 22 1x x m មានបញស
លុុះត្តាដត 2
2m ។
គ. សរដសរសមាីរបនាទ តនឹ់ងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច 2x សមាីរបនាទ តប់៉ាុះមានរាង '(2)( 2) (2)y f x f
ដដរដីវ 2
2'( ) 1
2 1
xf x
x
ដគបាន 7'(2)
3f និង (2) 2 3 5f
នាឲំ្យ 7 7 1( 2) 7
3 3 3y x x
ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 7 1
3 3y x ។
លំហាត់ 2.7 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ ក. 7 4y x ខ. 22 2 3y x x គ. 21 4y x x ចថមលើយ
ក. 7 4y x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័ាលណា 7 4 0 7/ 4x x
- 158 -
ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ ] ,7 / 4]D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ (7 4 ) ' 2'( ) 0
2 7 4 7 4
xf x
x x
ចំដ ុះ 7 / 4x
គណនាលីមតី lim ( ) lim 7 4
x xf x x
តារាងអដថរភាព x 7 / 4 '( )f x ( )f x
0 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍តារាងតនមៃដលខ x 1 0 1 y 3.3 2.6 1.7
C
x
y
- 159 -
ខ. 22 2 3y x x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័លុុះត្តាដត 2 2 3 0x x ដបើ 2 2 3 0x x មានបញស 1 , 3x x
x 1 3 2 2 3x x
ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ ] , 1] [3 , [D ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2 2
( 2 3) ' 1'( )
2 2 3 2 3
x x xf x
x x x x
- ករណី 1x នាឲំ្យ 2
1'( ) 0
2 3
xf x
x x
- ករណី 3x នាឲំ្យ 2
1'( ) 0
2 3
xf x
x x
គណនាលីមតី
2lim ( ) lim (2 2 3)x x
f x x x
2lim ( ) lim (2 2 3)x x
f x x x
រកអាសីុមតូត
2 2
2
42 2 3 2 ( 1) 1
( 1)y x x x
x
00
- 160 -
2 | 1| ( )x x ដដល lim ( ) 0x
x
- ករណី x នាឲំ្យ 1 3y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC - ករណី x នាឲំ្យ 2 1y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC តារាងអដថរភាព
x 1 3 '( )f x ( )f x
2
2 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍តារាងតនមៃដលខ x 3 2 4 5 y 5.5 4.2 4.2 5.5
x
y
C
1 3y x
2 1y x
- 161 -
គ. 21 4y x x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័លុុះត្តាដត 24 0x ឬ 2 2x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ [ 2 , 2]D ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2 2
(4 ) ''( ) 1 1
2 4 4
x xf x
x x
- ករណី 0 2x ដនាុះ 2
'( ) 1 0
4
xf x
x
- ករណី 2 0x ដគបាន 2
2
4'( )
4
x xf x
x
2 2 2
2 2 2 2
4 4 2
4 ( 4 ) 4 ( 4 )
x x x
x x x x x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 24 2 0 2x x ដត្ ុះ 0x សញ្ញា នន
x 2 2 2 '( )f x
តនមៃអបបបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x គឺ ( 2) 1 2 2f គណនា ( 2) 1 , (2) 3f f តារាងអដថរភាព
0
- 162 -
x 2 2 2 '( )f x ( )f x 1 3
1 2 2 សងត់្ាបC រក ( )C yóy គឺ 0 , 1x y រក ( )C xóx គឺ 0 , 0.82y x
លំហាត់ 2.8
ដគឲ្យអនុគមន៍ 22 1y x m x ។ ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាប ចំដ ុះ 4m ។ ខ. រកតនមៃ m ដដើមបឲី្យអនុគមនគ៍្នា នតនមៃបរមា ។ ចថមលើយ
x
y
C
0
- 163 -
ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាប ចំដ ុះ 4m ដគបាន 2( ) 2 4 1y f x x x ដដនកំណត ់D ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
4'( ) 2
1
xf x
x
- ករណី 0x នាឲំ្យ 2
4'( ) 2 0
1
xf x
x
- ករណី 0x ដគបាន 2
2
2 1 4'( )
1
x xf x
x
2 2 2
2 2 2 2
2(4 1) 2(3 1)
1(2 1) 1(2 1)
x x x
x x x x x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 33 1 0
3x x
សញ្ញា នន '( )f x x 3 / 3 '( )f x
តនមៃអបបបរមាត្តង ់ 3
3x គឺ 3
( ) 2 3 3.53
f
គណនាលីមតី 2lim ( ) lim ( 2 4 1)
x xf x x x
0
- 164 -
2lim ( ) lim ( 2 4 1)x x
f x x x
រកអាសីុមតូត
2 2
2
1( ) 2 4 1 2 4 1f x x x x x
x
2 4 | | ( )x x x ដដល lim ( ) 0x
x
ចំដ ុះ x ដគបាន 6y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងដឆវងននC ចំដ ុះ x ដគបាន 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំននC ។ តារាងអដថរភាព
x 3 / 3 '( )f x ( )f x
2 3 សងត់្ាបC
x
y2y x
6y x
C
0
- 165 -
ខ. រកតនមៃ m ដដើមបឲី្យអនុគមនគ៍្នា នតនមៃបរមា ដគមាន 22 1y x m x
ដដរដីវ 2
2 2
2 1' 2
1 1
mx mx xy
x x
ដដើមបឲី្យអនុគមនគ៍្នា នតនមៃបរមាលុុះត្តាដត ' 0y គ្នា នបញស
ដបើ ' 0y នាឲំ្យ 22 1 0mx x ឬ 22 1mx x 2 2 2 2 24( 1) ( 4) 4m x x m x ដដើមបឲី្យសមាីរគ្នា ន បញសាលណា 2 4 0m
x 2 2 2 4m
ដគបាន [ 2 , 2]m ឬ 2 2m ដូចដនុះ ដដើមបឲី្យអនុគមនគ៍្នា នតនមៃបរមាាលណា [ 2 , 2]m ។ លំហាត់ 2.9 អនុគមន៍ f កំណតដ់លើ ]0 , [ ដោយ 2( ) 32 31f x x x ។ ក. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ។ ខ. កំណតលី់មតីនន f ត្តង់ 0 ។
គ. កំណតលី់មតីនន 2
( )f x
x ដពល x ។
ទញបញ្ញា កលី់មតីនន f ត្តង់ ។ ឃ. គូសតារាងអដថរភាពនន f ។ ង. សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។
0 0
- 166 -
ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ដដនកំណត ់ ]0 , [D ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 16 2( 8)'( ) 2
x xf x x
x x
ដោយ 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម 8x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 3 38 0 ( ) 8 4x x x x x នាឲំ្យ 4x
x 0 4 '( )f x
អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 4x គឺ (4) 17f ខ. កំណតលី់មតីនន f ត្តង់ 0 2
0 0
lim ( ) lim ( 32 31) 31x x
f x x x
គ. កំណតលី់មតីនន 2
( )f x
x ដពល x
2
2 2
( ) 32 31lim lim
x x
f x x x
x x
2
2 2
2 2 2
32 311
32 31lim lim 1 1
x x
xx
x x x
x x x
0
- 167 -
ទញបញ្ញា កលី់មតីនន f ត្តង់
2
( )lim 1
x
f x
x នាឲំ្យ 2lim ( ) lim
x xf x x
ឃ. គូសតារាងអដថរភាពនន f x 0 4 '( )f x ( )f x 31
17 ង. សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f តារាងតនមៃដលខ x 2 6 8 y 10.3 11.4 4.5
x
y
C
0
- 168 -
លំហាត់ 2.10 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាងអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ ក. 2 1 3 5y x x ខ. 2( 1) 1y x x ចថមលើយ
ក. 2 1 3 5y x x
ដដនកំណត ់ 5[ , [
3D
ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 3 4 3 5 3'( ) 2
2 3 5 2 3 5
xf x
x x
16(3 5) 9 48 89
2 3 5(4 3 5 3) 2 3 5(4 3 5 3)
x x
x x x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 48 89 0x នាឲំ្យ 891.85
48x
សញ្ញា នន '( )f x x 5/ 3 89/ 48 '( )f x
តនមៃអបបបរមាត្តង់ 891.85
48x គឺ (1.85) 1.96f
គណនាលីមតីៈ lim lim (2 1 3 5)x x
y x x
ដបើ 5/3x នាឲំ្យ (5/3) 7 /3 2.33f
0
- 169 -
តារាងអដថរភាព x 5/ 3 89/ 48 '( )f x ( )f x 2.33
1.96 សងត់្ាបC តារាងតនមៃដលខ x 2 3 4 y 2 3 4.4
ខ. 2( 1) 1y x x ដដនកំណត ់ ដោយ 2 1 0 ,x x
x
y
C
0
- 170 -
ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ D ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2 2 2
2
2 2 2
( 1) 1 2 1' 1
1 1 1
x x x x x x xy x
x x x
ដោយ 2 1 0,x x D ដនាុះ 'y មានសញ្ញា តាម 22 1x x ដបើ ' 0y នាឲំ្យ 22 1 0x x ដ ើយ 1 4 2 7 0 ដនាុះ ' 0y ជានិចចចំដ ុះត្គប់ x គណនាលីមតីៈ
2lim lim ( 1) 1x x
y x x
2lim lim ( 1) 1x x
y x x
ដូចដនុះ limx
y
។
តារាងអដថរភាព x
'y y
សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍តារាងតនមៃដលខ x 1 0 0.5 1 1.5 y 2.8 1 0.5 0 0.9
- 171 -
ដដើមបសិីកាអនុគមនត៍្តីដាណមាត្ត ដគត្តូវកំណតច់ដនាៃ ុះននតនមៃ x ដដលត្តូវសិកា ករណីដនុះដគកំណតខ់បួអនុគមនដូ៍ចខាងដត្ាមៈ អនុគមន៍ ( ) sinf x x មានខបួ 2 និងជាអនុគមនដ៍សសចដនាៃ ុះ ដដលត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ។ អនុគមន៍ ( ) cos2f x x មានខបួ និងជាអនុគមនគូ៍ចដនាៃ ុះដដល
ត្តូវសិកាគឺ [0 , ]2
។
អនុគមន៍ ( ) sin2
xf x មានខបួ 4 និងជាអនុគមនដ៍សសចដនាៃ ុះ
៣.អនុគមន៍ក្រតីថាណមាក្រតចក្រមរុះ
C
x
y
- 172 -
ដដលត្តូវសិកាគឺ [0 , 2 ] ។
អនុគមន៍ ( ) cos3
xf x មានខបួ 6 និងជាអនុគមនគូ៍ចដនាៃ ុះដដល
ត្តូវសិកាគឺ [0 , 3 ] ។
ជាទូដៅៈ ខបួននអនុគមន ៍ sin( )x ឬ cos( )x គឺ 2 ។
ចំដ ុះអនុគមនត៍្តីដាណមាត្តចត្មុុះ
ឧទ រណ៍ៈ ( ) sin sin2 3
x xf x ខបួ P នន ( )f x គឺព ុគុណរមួ
តូចបំផុតនន 4 និង 6 ។ ដូដចនុះ 12P ដ ើយ ( )f x ជាអនុគមន ៍ ដសស ចដនាៃ ុះដដលត្តូវសិកាគឺ [0 , 6 ] ។ ចំណុចសំខាន់ៗ សត្មាបសិ់កាអនុគមនត៍្តីដាណមាត្តៈ ដដនកំណត ់ ខបួននអនុគមន៍ ភាពគូ ដសសននអនុគមន ៍ ទិសដៅអដថរភាពននអនុគមន ៍
8 លំហាត់ 3.1 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាងអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ
ក. sin sin 2y x x ខ. 4cos cos3
y x x
គ. 2sin 3cosy x x ឃ. 5sin cosy x x
- 173 -
ចថមលើយ
ក. sin sin 2y x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P ដត្ ុះ ( 2 ) sin( 2 ) sin 2( 2 )f x x x sin sin 2 ( )x x f x ចំដ ុះត្គប់ x ។ ភាពគូ - ដសសៈ ( ) sin( ) sin 2( ) sin sin 2 ( )f x x x x x f x ដ តុដនុះ f ជាអនុគមនដ៍សស។ ដូចដនុះ ចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ 2'( ) cos 2cos2 cos 2(2cos 1)f x x x x x 2 2cos 4cos 2 4cos cos 2x x x x តាង cost x ដដល 1 1t ដគបាន 2 24cos cos 2 4 2x x t t ដបើ 24 2 0t t ដ ើយ 21 32 33
នាឲំ្យ 1 21 33 1 33
0.843 , 0.5938 8
t t
ករណី cos147.46 2.57
0.843
t xx rad
t
ករណី cos53.63 0.94
0.593
t xx rad
t
ដគបានសញ្ញា ដដរដីវ
- 174 -
x 0 0.94 2.57 '( )f x
ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 0.94x គឺ (0.94) 1.76f អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2.57x គឺ (2.57) 0.37f ចំដ ុះ 0x ដនាុះ (0) 0f និង x ដនាុះ ( ) 0f តារាងអដថរភាព
x 0 0.94 2.57 '( )f x ( )f x 1.76 0
0 0.37 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0, ] បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិតO ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ [ , ] ។
x
y
: sin sin 2C y x x 1.76
0.37
1.76
0.37
2.57
0.940.94
0 0
0 0
- 175 -
ខ. 4cos cos3
y x x
ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនៈ៍ 2P
ភាពគូ - ដសសៈ អនុគមន៍ 4cos cos3
y x x
មនិដមនជាអនុ
គមនគូ៍និងដសសដទ។ ដូដចនុះ ដគអាចសិកាកនុចដនាៃ ុះ [0 , 2 ] ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ '( ) 4sin cos 4cos sin3 3
f x x x x x
4sin 4sin 23 3
x x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 4sin 2 03
x
នាឲំ្យ 2 0 2
3
2 23
x k
x k
- ចំដ ុះ 0k ដគបាន2 0 [0,2 ]
3 6
23 3
x x
x x
- 176 -
- ចំដ ុះ 1k ដគបាន 5
2 23 6
42 3
3 3
x x
x x
- ចំដ ុះ 2k ដគបាន 11
2 43 6
72 5 [0,2 ]
3 3
x x
x x
ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 0 2 2 2 ,3
k x k k
- ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0 23
x
ឬ 6 3
x
- ចំដ ុះ 1k ដគបាន 2 2 33
x
ឬ 5 4
6 3x
ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 2 2 2 2 ,3
k x k k
- ចំដ ុះ 0k ដនាុះ 2 23
x
ឬ 5
3 6x
- ចំដ ុះ 1k ដនាុះ 3 2 43
x
ឬ 5 11
6 6x
សញ្ញា នន '( )f x x 0 / 3 5 / 6 4 / 3 11 / 6 2 '( )f x
តនមៃបរមា - តនមៃអបបបរមាៈ ( / 3) 1 , (4 /3) 1f f
0 0 0 0
- 177 -
- តនមៃអតិបរមាៈ (5 / 6) 3 , (11 / 6) 3f f ចំដ ុះ 0x នាឲំ្យ (0) 2f និង 2x នាឲំ្យ (2 ) 2f តារាងអដថរភាព
x 0 / 3 5 / 6 4 / 3 11 / 6 2 '( )f x ( )f x 2 3 3
1 1 2 សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍
គ. ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P ភាពគូ-ដសសៈ 2sin 3cosy x x ជាអនុគមនម៍និគូនិងមនិដសស ដូចដនុះ ដយើងត្តូវសិកាដលើចដនាៃ ុះ [0 , 2 ] ។
2sin 3cosy x x
x
y : 4cos cos3
C y x x
3
5
6
4
3
11
6
2
0 0 0 0
- 178 -
ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ '( ) 2cos 3sinf x x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2cos 3sin 0x x
2cos 3sin0
cos
x x
x
ដដល ,
2x k k
22 3tan 0 tan
3x x
នាឲំ្យ 2tan( ) 0.58 ,
3x arc k k k
ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0.58 [0,2 ]x ចំដ ុះ 1k ដគបាន 0.58 0.58 3.14 2.56x ចំដ ុះ 2k ដគបាន 0.58 2 0.58 6.28 5.7x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2tan
3x
នាឲំ្យ 0 0.58 ,k x k k ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0 0.58x ចំដ ុះ 1k ដគបាន 3.14 2.56x ដគបាន '( ) 0f x ចំដ ុះ 0 2.56x ដគបានសញ្ញា '( )f x
x 0 2.56 5.7 2 '( )f x
តនមៃអតិបរមាត្តង់ 2.56x គឺ (2.56) 3.6f តនមៃអបបបរមាត្តង់ 5.7x គឺ (5.7) 3.6f
0 0
- 179 -
ចំដ ុះ 0x នាឲំ្យ (0) 3f ចំដ ុះ 2x នាឲំ្យ (2 ) 3f តារាងអដថរភាព
x 0 2.56 5.7 2 '( )f x ( )f x 3.6 3
3 3.6 សងត់្ាបC
ឃ. ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P ចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0,2 ] ទិសដៅអដថរភាព
5sin cosy x x
x
y: 2sin 3cosC y x x
0 0
- 180 -
ដដរដីវ '( ) 5cos sinf x x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 5cos sin 0x x
5 tan 0x ដដល ,2
x k k
tan 5 arctan5 1.37 ,x x k k k ចំដ ុះ 0k ដគបាន 1.37x ចំដ ុះ 1k ដគបាន 1.37 3.14 4.51x ចំដ ុះ 2k ដគបាន 1.37 6.28 7.65 [0,2 ]x ដដរដីវទីពីរ ''( ) 5sin cosf x x x - ត្តង់ 1.37x ដគបាន ''(1.37) 5sin(1.37) cos(1.37) 5.1 0f នាឲំ្យ f មានអតិបរមាត្តង់ 1.37x គឺ (1.37) 5.1f - ត្តង់ 4.51x ដគបាន ''(4.51) 5sin(4.51) cos(4.51) 5.1 0f នាឲំ្យ f មានអបបបរមាត្តង់ 4.51x គឺ (4.51) 5.1f ចំដ ុះ 0x នាឲំ្យ (0) 1f ចំដ ុះ 2x នាឲំ្យ (2 ) 1f តារាងអដថរភាព
x 0 1.37 4.51 2 '( )f x ( )f x 5.1 1
1 5.1
0 0
- 181 -
សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍
លំហាត់ 3.2 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ ក. cos2 cos3y x x ខ. 2sin sin 2y x x ចថមលើយ
ក. cos2 cos3y x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P cos2 cos3y x x ជាអនុគមនគូ៍ ដត្ ុះថា ( ) cos2( ) cos3( ) cos2 cos3 ( )f x x x x x f x
x
y : 5sin cosC y x x
- 182 -
ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0, ] ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ '( ) 2sin 2 3sin3f x x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2sin 2 3sin3 0x x ដោយ 3sin3 3sin 4sinx x x sin 2 2sin cosx x x ដគបាន 32(2sin cos ) 3(3sin 4sin ) 0x x x x
3
3
2(2sin cos ) 3(3sin 4sin ) 0
4sin cos 9sin 12sin 0
x x x x
x x x x
2sin ( 4cos 9 12sin ) 0x x x 2sin ( 4cos 9 12(1 cos )) 0x x x 2sin ( 3 4cos 12cos ) 0x x x
នាឲំ្យ 2
sin 0
3 4cos 12cos 0
x
x x
- ករណី 0 2sin 0
2 ,
x kx
x k k
ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0 ,x x - ករណី 23 4cos 12cos 0x x តាង cost x ដដល 1 1t ដគបានសមាីរ 23 4 12 0t t មាន ' 4 36 40
- 183 -
នាឲំ្យ 2 400.36
12t
2 400.693
12t
ចំដ ុះ 0.36cos 0.36
cos
tx
t x
នាឲំ្យ arccos( 0.36) 2 1.93 2 ,x k k k ដបើ 0k ដគបាន 1.93x
ចំដ ុះ 0.693cos 0.693
cos
tx
t x
នាឲំ្យ arccos(0.693) 2 0.8 2 ,x k k k ដបើ 0k ដគបាន 0.8x ដូចដនុះ ដលើចដនាៃ ុះ[0 , ] សមាីរមានបញស {0 , 0.8 , 1.93 , } ដដរដីវទីពីរ ''( ) 4cos2 9cos3f x x x - ចំដ ុះ 0x ដនាុះ ''(0) 4 9 5 0f នាឲំ្យ f មានតនមៃអបបបរមាគឺ (0) 0f - ចំដ ុះ 0.8x ដនាុះ ''(0.8) 0f នាឲំ្យ f មានតនមៃអតិបរមាគឺ (0.8) 0.7f - ចំដ ុះ 1.93x ដនាុះ ''(1.93) 0f នាឲំ្យ f មានតនមៃអបបបរមាគឺ (1.93) 1.63f - ចំដ ុះ x ដនាុះ ''( ) 0f នាឲំ្យ f មានតនមៃអតិបរមាគឺ ( ) 2f
- 184 -
តារាងអដថរភាព x 0 0.8 1.93 '( )f x ( )f x 0.7 2
0 1.63 សងត់្ាបC តាងអនុគមនៈ៍ ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0, ]
បនាទ បម់ក តាមបំដលងឆៃុុះអក័ស oy
ដគបាន ត្ាបដៅចដនាៃ ុះ[ , ]
ខ. 2sin sin 2y x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P ចដនាៃ ុះដដលត្តូវសិកាគឺ [0, ] ដត្ ុះថា 2sin sin 2y x x ជាអនុគមនដ៍សស។
x
y
( )C
0 0
- 185 -
ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ '( ) 2cos 2cos2f x x x
24cos 2cos 2x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 24cos 2cos 2 0x x តាង cost x ដដល 1 1t
ដគបាន 24 2 2 0t t មានបញស 11 ,
2t t
- ករណី coscos 1
1
t xx
t
នាឲំ្យ 0 2 ,x k k ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0x ចំដ ុះ 1k ដគបាន 2 [0, ]x
- ករណី cos
1 2cos cos1
2 32
t x
xt
នាឲំ្យ 2
23
22 ,
3
x k
x k k
ចំដ ុះ 0k ដគបាន 2
2.13
22.1 [0, ]
3
x
x
ដដរដីវទីពីរ ''( ) 8sin cos 2sin 2sin (4cos 1)f x x x x x x ដបើ 2.1x ដនាុះ ''(2.1) 1.27 0f
- 186 -
នាឲំ្យ f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2.1x គឺ (2.1) 2.6f ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f ដបើ x នាឲំ្យ ( ) 0f តារាងអដថរភាព
x 0 2.1 '( )f x ( )f x 2.6
0 0 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ ។
[0, ]
O [ , ]
x
y: 2sin sin 2C y x x
0
- 187 -
លំហាត់ 3.3 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនៈ៍
ក. 1 sin
cos
xy
x
ខ. cos 1
sin
xy
x
ចថមលើយ
ក. 1 sin
cos
xy
x
ដដនកំណត ់ { , }2
D k k
ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P
អនុគមន៍ 1 sin
cos
xy
x
មនិដមនជាអនុគមនគូ៍និងដសសដទ។
ដ តុដនុះ ដគអាចសិកាកនុងចដនាៃ ុះ [0 , 2 ] ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
2
cos sin (1 sin )'( )
cos
x x xf x
x
2 2 2 2
2 2
cos sin sin sin (sin cos )
cos cos
x x x x x x
x x
2
sin 1
cos
x
x
ដោយ 2cos 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម sin 1x ដោយ sin 1x ចុុះជានិចចចំដ ុះត្គប ់ x D ដនាុះ '( ) 0f x សញ្ញា នន '( )f x
- 188 -
x 0 / 2 3 / 2 2 '( )f x
គណនាលីមតី
2 2
1 sinlim ( ) lim
cosx x
xf x
x
តាង 2
t x
ដនាុះ 2
x t
ដពល 2
x
ដនាុះ 0t
ដគបាន 0
2
1 sin1 sin 2
lim limcos
cos2
tx
tx
xt
2
0 0 0
2sin sin1 cos 2 2lim lim lim 0
sin2sin cos cos
2 2 2
t t t
t t
t
t t tt
ដូចដនុះ ត្ាបតាងអនុគមនម៍និោចត់្តងចំ់ណុច 2
x
ដទ ។
3 3
2 2
1 sin 1 ( 1)lim ( ) lim
cos 0x x
xf x
x
ដោយ3
2
lim ( )
x
f x
ដ តុដនុះ 3
2x
ជាអាសីុមតូតឈរ
ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 1f
- 189 -
ដបើ 2x នាឲំ្យ (2 ) 1f តារាងអដថរភាព
x 0 / 2 3 / 2 2 '( )f x ( )f x 1
1
សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍
ខ. cos 1
sin
xy
x
ដដនកំណត ់ { , }D k k ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P
x
y1 sin
:cos
xC y
x
3
2x
- 190 -
អនុគមន៍ cos 1
sin
xy
x
ជាអនុគមនដ៍សស។ ដូចដនុះ ចដនាៃ ុះត្តូវ
សិកាគឺ [0 , ] ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2 2
2 2
sin cos cos 1 cos'( )
sin sin
x x x xf x
x x
2
1 cos'( ) 0
sin
xf x
x
ចំដ ុះត្គប ់ 0 x
គណនាលីមតី
2
0 0 0
2sincos 1 2lim ( ) lim lim 0
sin2sin cos
2 2
x x x
x
xf x
x xx
cos 1 1 1lim ( ) lim
sin 0x x
xf x
x
អាសីុមតូត ដោយ lim ( )
xf x
ដ តុដនុះបនាទ ត់ x ជាអាសីុមតូតឈរ
តារាងអដថរភាព x 0 '( )f x ( )f x 0
សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ បនាទ បម់កតាមបំ [0, ]
- 191 -
ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ ។
លំហាត់ 3.4 ដត្បើត្ាបននអនុគមន៍ sin 2 3siny x x ដោុះត្ាយសមាីរ sin 2 3sin 0x x ដបើ 2 2x ។ ចថមលើយ
សងត់្ាបននអនុគមន៍ sin 2 3siny x x
O [ , ]
2
2 0
x
y
x
y
x
x ( )C
- 192 -
តាមត្ាបខាងដលើ កនុងចដនាៃ ុះ [ 2 , 2 ] សមាីរ sin 2 3sin 0x x មានបញស { 2 , ,0, ,2 }x ដូចដនុះ { 2 , ,0, ,2 }x ជាបញសរបស់សមាីរ ។ លំហាត់ 3.5 ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមន៍ 2cos sin 2y x x ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន sin 2 siny a x x ចំដ ុះ 1a
គ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន sin cos 1
cos
a x xy
a x
ដបើ 1a
ចថមលើយ
ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមន៍ 2cos sin 2y x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P ភាពគូ - ដសសៈ 2cos sin 2y x x ជាអនុគមនដ៍សស ដត្ ុះថា 2 2( ) cos ( ) sin 2( ) cos sin 2 ( )f x x x x x f x ដូចដនុះ ចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ។ ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ 2'( ) 2sin cos sin 2 2cos cos2f x x x x x x 2 2 2 2 24sin cos 2cos (cos sin )x x x x x 2 2 4 2 24sin cos 2cos 2sin cosx x x x x 2 2 4 2 2 26sin cos 2cos 2cos ( 3sin cos )x x x x x x ដោយ 22cos 0 , [0, ] { / 2}x x
- 193 -
នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 2 23sin cosx x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 23sin cos 0x x 2 2 24sin sin cos 0x x x
2 2 1 14sin 1 0 sin sin
4 2x x x
ចំដ ុះ 1sin
2x នាឲំ្យ 5
,6 6 6
x x
ចំដ ុះ 1sin sin
2 6x
នាឲំ្យ 7[0, ]
6x
សញ្ញា នន '( )f x x 0 / 6 / 2 5 / 6 '( )f x
តនមៃអតិបរមា ( ) 0.656
f
និងតនមៃអបបបរមា 5( ) 0.65
6f
ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f , ដបើ 2
x
នាឲំ្យ ( ) 02
f
ដបើ x នាឲំ្យ ( ) 0f តារាងអដថរភាព
x 0 / 6 / 2 5 / 6 '( )f x ( )f x 0.65 0
0 0.65 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ បនាទ បម់កតាមបំ [0, ]
0 0 0
0 0 0
- 194 -
ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ ។
ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន sin 2 siny a x x ចំដ ុះ 1a ចំដ ុះ 1a ដគបាន ( ) sin 2 siny f x x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P អនុគមន៍ f ជាអនុគមនដ៍សស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0, ] ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ តាង ដដល ដគបាន ដបើ ដ ើយ
នាឲំ្យ
O [ , ]
2'( ) cos 2cos2 cos 2(2cos 1)f x x x x x
2 2cos 4cos 2 4cos cos 2x x x x
cost x 1 1t
2 24cos cos 2 4 2x x t t
24 2 0t t 21 32 33
1 21 33 1 33
0.843 , 0.5938 8
t t
x
y
2
6
2
6
0.65
0.65
- 195 -
ករណី
ករណី
ដគបានសញ្ញា ដដរដីវ
ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ គឺ អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ គឺ ចំដ ុះ ដនាុះ និង ដនាុះ តារាងអដថរភាព
សងត់្ាប ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ ។
cos147.46 2.57
0.843
t xx rad
t
cos53.63 0.94
0.593
t xx rad
t
x 0 0.94 2.57
'( )f x
0.94x (0.94) 1.76f
2.57x (2.57) 0.37f
0x (0) 0f x ( ) 0f
x 0 0.94 2.57
'( )f x
( )f x 1.76 0
0 0.37
C : [0, ]
O [ , ]
0 0
0 0
- 196 -
គ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន sin cos 1
cos
a x xy
a x
ចំដ ុះ 1a ដគបាន sin cos 1( )
cos
x xy f x
x
ដដនកំណត ់ { , }2
D k k
ខបួននអនុគមន ៍ 2P អនុគមន៍ f មនិដមនជាអនុគមនដ៍សសនិងអនុគមនគូ៍ដទ ដ តុដនុះ ចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , 2 ] ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
(cos sin )cos sin (sin cos 1)'( )
cos
x x x x x xf x
x
2 2
2
cos sin sin cos sin cos sin
cos
x x x x x x x
x
2
1 sin
cos
x
x
x
y
1.76
0.37
1.76
0.37
2.57
0.940.94
: sin 2 sinC y x x
- 197 -
ដោយ 2cos 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម 1 sin x
ដបើ 02
x
ដនាុះ 1 sin 0x នាឲំ្យ '( ) 0f x
ដបើ 2
x
ដនាុះ 1 sin 0x នាឲំ្យ '( ) 0f x
ដបើ 3
2x
ដនាុះ 1 sin 0x នាឲំ្យ '( ) 0f x
ដបើ 3 22
x
ដនាុះ 1 sin 0x នាឲំ្យ '( ) 0f x
គណនាលីមតី
2 2
sin cos 1lim ( ) lim
cosx x
x xf x
x
តាង 2
t x
នាឲំ្យ 2
x t
ដបើ 2
x
ដនាុះ 0t
ដគបាន 0
2
sin cos 12 2
lim ( ) lim
cos2
tx
t t
f x
t
2
0 0
2sin 2sin coscos sin 1 2 2 2lim lim
sin2sin cos
2 2
t t
t t t
t t
t tt
- 198 -
0
sin coscos02 2lim 1cos0
cos2
t
t t
t
ដោយ2 2
sin cos 1lim ( ) lim 1
cosx x
x xf x
x
ដូចដនុះ ត្ាបC តាងអនុគមនម៍និោចត់្តង ់2
x
ដទ ។
3
2 2
sin cos 1 1 0 1lim ( ) lim
cos 0x x
x xf x
x
ដូចដនុះ បនាទ ត ់ 3
2x
ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។
ដបើ x នាឲំ្យ ( ) 0f ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 2f ដបើ 2x នាឲំ្យ (2 ) 2f តារាងអដថរភាព
x 0 3 / 2 2 '( )f x ( )f x
2 2
សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍
- 199 -
លំហាត់ 3.6 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ
ក. ( ) sin 2sin2
xy f x x
ខ. cos 1( )
2cos 1
xy f x
x
ចថមលើយ
ក. ( ) sin 2sin2
xy f x x
ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 4P f ជាអនុគមនដ៍សស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , 2 ]
3
2x
( )C
x
y
22
- 200 -
ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ '( ) cos cos2
xf x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ cos cos 02
xx
cos cos cos2 2
x xx
នាឲំ្យ 2 ,
2
2 ,2
xx k k
xx k k
22
32
2
xk
xk
2 4
2 4,
3 3
x k
kx k
ចំដ ុះ 0k ដគបាន 2
2[0,2 ]
3
x
x
ចំដ ុះ 1k ដគបាន 6 [0,2 ]
2
3
x
x
ដដរដីវទីពីរ 1''( ) sin sin
2 2
xf x x
ចំដ ុះ 2
3x
ដនាុះ 2
'' 03
f
នាឲំ្យ f មានអតិបរមាដធៀប
- 201 -
ត្តង ់ 22.1
3x
គឺ 2 3 3
( ) 2.63 2
f
។
ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f និង 2x នាឲំ្យ (2 ) 0f តារាងអដថរភាព
x 0 2 / 3 2 '( )f x ( )f x 2.6
0 0 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0,2 ] បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ [ 2 ,2 ] ។
ខ.
ដដនកំណត ់ 2 2{ 2 , 2 , }
3 3D k k k
O
cos 1( )
2cos 1
xy f x
x
x
y: sin 2sin
2
xC y x
0
- 202 -
ខបួននអនុគមន ៍ 2P f ជាអនុគមនគូ៍ ដូដចនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 2
sin (2cos 1) 2sin (cos 1)'( )
(2cos 1)
x x x xf x
x
2 2
2sin cos sin 2sin cos 2sin 3sin
(2cos 1) (2cos 1)
x x x x x x x
x x
ដោយ 2(2cos 1) 0 ,x x D ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 3sin x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 3sin 0 ,x x k k ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0x ចំដ ុះ 1k ដគបាន x ដោយ 3sin 0x ដលើចដនាៃ ុះ [0 , ] ដនាុះ '( ) 0f x គណនាលីមតី
2 2
3 3
11
cos 1 2lim ( ) lim2cos 1 0
x x
xf x
x
ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2
3x
ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។
ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f
ដបើ x នាឲំ្យ 2( )
3f
តារាងអដថរភាព
- 203 -
x 0 2 / 3 '( )f x ( )f x 0
2 / 3
សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍ : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ
បនាទ បម់ក តាមបំដលងឆៃុុះអក័ស ដគបាន ត្ាបដៅចដនាៃ ុះ
លំហាត់ 3.7
ក. រកបរមាននអនុគមន ៍ sin
2 cos
xy
x
ដលើចដនាៃ ុះ [0 , ] ។
ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន ( ) 3sin cosf x x x ។ ចថមលើយ
ក. រកបរមាននអនុគមន ៍ sin
2 cos
xy
x
ដលើចដនាៃ ុះ [0 , ]
[0, ]
oy
[ , ]
x
y( )C
2
3x
- 204 -
ដដរដីវ 2
cos (2 cos ) sin sin'
(2 cos )
x x x xy
x
2 2
2 2
2cos cos sin 2cos 1
(2 cos ) (2 cos )
x x x x
x x
ដោយ 2(2 cos ) 0 ,x x ដនាុះនាឲំ្យ 'y មានសញ្ញា តាម 2cos 1x
ដបើ ' 0y នាឲំ្យ 22cos 1 0
3x x
ដលើចដនាៃ ុះ[0 , ] ដគបាន
ចំដ ុះ 20
3x
ដនាុះ 2cos 1 0x នាឲំ្យ ' 0y
ចំដ ុះ 23
x
ដនាុះ 2cos 1 0x នាឲំ្យ ' 0y
x 0 2 / 3 'y
y 2( )
3y
តាមតារាងខាងដលើ អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង ់ 2
3x
គឺ 2 3
sin( )2 3 2 33 2( )
2 13 2 3 32 cos( ) 2
3 2
y
។
0
- 205 -
ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន ( ) 3sin cosf x x x
3 1( ) 2( sin cos ) 2sin
2 2 6f x x x x
ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P អនុគមនម៍និដមនអនុគមនគូ៍និងអនុគមនដ៍សស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះដដលត្តូវសិកាគឺ [0, 2 ] ។ ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ '( ) 2cos6
f x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2cos 06
x
ដនាុះនាឲំ្យ ,6 2 3
x k x k k
ចំដ ុះ 0k ដគបាន 3
x
ចំដ ុះ 1k ដគបាន 4
3x
ចំដ ុះ 2k ដគបាន 2 [0 , 2 ]3
x
x 0 / 3 4 / 3 2 '( )f x
តនមៃអតិបរមាដធៀបគឺ ( ) 2sin 23 3 6
f
0 0
- 206 -
តនមៃអបបបរមាដធៀបគឺ 4 4( ) 2sin 2
3 3 6f
ដបើ 0x នាឲំ្យ 1(0)
2f និង 2x នាឲំ្យ (2 ) 1f
តារាងអដថរភាព x 0 / 3 4 / 3 2 '( )f x ( )f x 2 1
1 2 សងត់្ាបC
លំហាត់ 3.8 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនខ៍ាងដត្ាម ក. 2( ) 2sin 2sin 1f x x x
ខ. 3
sin 3( )
(cos )
xf x
x
: 2sin6
C y x
x
y
0 0
- 207 -
ចថមលើយ
ក. 2( ) 2sin 2sin 1f x x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P អនុគមនម៍និមានភាពគូ-ដសស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ[0,2 ] ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ '( ) 4sin cos 2cos 2cos (2sin 1)f x x x x x x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2cos (2sin 1) 0x x នាឲំ្យ cos 0
2sin 1 0
x
x
ចំដ ុះ cos 0 ,2
x x k k
ដបើ 0k ដគបាន 2
x
និង 1k ដគបាន 3
2x
ចំដ ុះ 2
62sin 1 0
2 ,6
x k
x
x k k
ដបើ 0k ដគបាន 5,
6 6x x
x 0 / 6 / 2 5 / 6 3 / 2 2 cos x
2sin 1x '( )f x
0 0
0 0
0 0 0 0
- 208 -
ចំណុចបរមា
តនមៃអបបបរមាត្តង ់6
x
គឺ 3( ) 1.56 2
f
តនមៃអតិបរមាត្តង ់2
x
គឺ ( ) 12
f
តនមៃអបបបរមាត្តង ់ 5
6x
គឺ 5 3
( ) 1.56 2
f
តនមៃអតិបរមាត្តង ់ 3
2x
គឺ 3
( ) 32
f
ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 1f និង 2x នាឲំ្យ (2 ) 1f តារាងអដថរភាព
x 0 / 6 / 2 5 / 6 3 / 2 2
'( )f x ( )f x 1 1 3
3/ 2 3/ 2 1 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍
( )C
x
y
0 0 0 0
- 209 -
ខ. 3
sin 3( )
(cos )
xf x
x
ដដនកំណត ់ { , }2
D k k
ខបួននអនុគមន ៍ 2P f ជាអនុគមនដ៍សស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0, ] ទិសដៅអដថរភាព
ដដរដីវ 3 2
6
3cos3 cos 3sin cos sin3'( )
(cos )
x x x x xf x
x
4 4 4
3cos3 cos 3sin sin3 3cos(3 ) 3cos 2
(cos ) (cos ) (cos )
x x x x x x x
x x x
ដោយ 4(cos ) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម cos2x
ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ cos 2 0 2 ,2
x x k k
នាឲំ្យ ,4 2
kx k
ចំដ ុះ 0k ដគបាន 4
x
ចំដ ុះ 1k ដគបាន 3
4x
សញ្ញា នន '( )f x x 0 / 4 / 2 3 / 4 '( )f x
តនមៃបរមា 0 0
- 210 -
តនមៃអតិបរមាត្តង ់4
x
គឺ ( ) 24
f
តនមៃអបបបរមាត្តង ់ 3
4x
គឺ 3
( ) 24
f
ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f និង x នាឲំ្យ ( ) 0f គណនាលីមតី
3 3
2 2
3sin( )
sin 3 2 / 22lim ( ) lim3 0(cos ) (cos )2
x x
xf x
x
អាសីុមតូតឈរ ដោយ
2
lim ( )
x
f x
ដូចដនុះ 2
x
ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC តាងអនុគមន ៍។
តារាងអដថរភាព x 0 / 4 / 2 3 / 4 '( )f x '( )f x 2
0 0 2
សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0 , ] បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ [ , ] ។ O
0 0
- 211 -
លំហាត់ 3.9 ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ 3( ) 3sin 2sinf x x x ។ ក. សិកាទិសដៅអដថរភាពនិងសងត់្ាបC ននអនុគមន៍ f ។ ខ. រកចំននួពិត a និង b ដដើមបឲី្យអនុគមន៍ F កំណតដ់ោយ 3( ) cos cosF x a x b x ជាត្ពីមទីីវននអនុគមន៍ f ។ ចថមលើយ
ក. សិកាទិសដៅអដថរភាពនិងសងត់្ាបC ននអនុគមន៍ f ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P f ជាអនុគមនដ៍សស ដត្ ុះថា 3( ) 3sin( ) 2sin ( )f x x x 3(3sin 2sin ) ( )x x f x ។
x
y
( )C
2x
- 212 -
ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ។ ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ 2 2'( ) 3cos 6cos sin 3cos (1 2sin )f x x x x x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 23cos (1 2sin ) 0x x
ករណី cos 02
x x
ចំដ ុះ [0 , ]x
ករណី 2 21 2sin 0 sin
2x x
- ចំដ ុះ 2sin [0 , ]
2 4x x
- ចំដ ុះ 2 3sin ,
2 4 4x x x
ចំដ ុះ [0 , ]x
សញ្ញា នន '( )f x x 0 / 4 / 2 3 / 4 '( )f x
តនមៃបរមា
តនមៃអតិបរមាត្តង ់4
x
គឺ ( ) 2 1.44
f
តនមៃអតិបរមាត្តង ់ 3
4x
គឺ 3
( ) 2 1.44
f
តនមៃអបបបរមាត្តង ់2
x
គឺ ( ) 12
f
ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f និង x នាឲំ្យ ( ) 0f តារាងអដថរភាព
0 0 0
- 213 -
x 0 / 4 / 2 3 / 4 '( )f x ( )f x 2 2
0 1 0 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0 , ] បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ [ , ] ។
ខ. រកចំននួពិត a និង b ដគមាន 3( ) cos cosF x a x b x ដដរដីវ 2'( ) sin 3 sin cosF x a x b x x 2 3sin 3 sin (1 sin ) ( 3 )sin 3 sina x b x x a b x b x ដដើមបឲី្យអនុគមន៍ Fជាត្ពីមទីីវននអនុគមន៍ f លុុះត្តាដត
3 3 1
3 2 2 / 3
a b a
b b
ដ តុដនុះ 1 , 2/3a b ។
-2,
O
x
y
( )C
0 0 0