2.Phan 2 Xac Suat Stu Edt 1

Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014

Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 47

Phần 2: XÁC SUẤT

Chương 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1. BIẾN CỐ

Phép thử là khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất, nhưng chưa có định nghĩa chính xác, có thể mô

tả phép thử như sau: Việc thực hiện một nhóm điều kiện xác định (chẳng hạn làm thí nghiệm) để

quan sát, nghiên cứu một hiện tượng.

Một phép thử có thể có nhiều kết quả xảy ra. Một kết quả có thể xảy ra hay không xảy ra trong phép

thử được gọi là biến cố. Các kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp.

Tập hợp chứa tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử được gọi là không gian mẫu (còn được gọi là

không gian các biến cố sơ cấp), được kí hiệu là .

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc để xem mặt trên cùng có bao nhiêu chấm là một phép thử. Các kết

quả “xuất hiện mặt i chấm” ( i 1,6 ) là các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu của phép thử là

1 2 3 4 5 6, , , , , với i là biến cố “xuất hiện mặt i chấm” ( i 1,6 ).

Nhận xét:

i) Biến cố là tập con của không gian mẫu.

ii) Biến cố xảy ra khi và chỉ khi một biến cố sơ cấp thuộc nó xảy ra.

Phân loại biến cố: Căn cứ vào việc xảy ra hay không của biến cố, có thể phân loại biến cố như sau:

- Biến cố chắc chắn, kí hiệu , là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện phép thử.

- Biến cố không thể, kí hiệu , là biến cố chắc chắn không xảy ra khi thực hiện phép thử.

- Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử,

thường dùng các chữ cái in hoa đầu bảng chữ cái 1 2 nA,B,C, ,A ,A , ,A 1 2 n, B , B , , B , để kí

hiệu cho các biến cố ngẫu nhiên.

2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

2.1.Quan hệ kéo theo. Biến cố A kéo theo biến cố B, kí hiệu A B, nếu A xảy ra thì B xảy

ra. Nói cách khác, biến cố A thuận lợi cho biến cố B.

2.2.Quan hệ tương đương. Biến cố A tương đương biến cố B, kí hiệu A B, nếu A xảy ra thì

B xảy ra và ngược lại B xảy ra thì A xảy ra, tức là A B A B và B A.

Ví dụ 2: Tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố số chấm là số lẻ, B là biến cố số chấm bằng 5 và

C là biến cố số chấm là số lẻ và lớn hơn 3. Khi đó: A,B,C là các biến cố ngẫu nhiên; B C, B A .

2.3.Tổng của các biến cố

Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu A B , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít

nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.

https://nguyenphuongblog.wordpress.com/



Tổng của n biến cố 1 2 nA ,A , ,A là một biến cố, kí hiệu 1 2 nA A A , biến cố này xảy ra khi

và chỉ khi có ít nhất một trong n biến cố 1 2 nA ,A , ,A xảy ra.

2.4.Tích của các biến cố

Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu AB , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả hai

biến cố A và B đều xảy ra.

Tích của n biến cố 1 2 nA ,A , ,A là một biến cố, kí hiệu 1 2 nA A A , biến cố này xảy ra khi và chỉ

khi cả n biến cố 1 2 nA ,A , ,A đều xảy ra.

Ví dụ 3: Lấy ngẫu nhiên 3 lần, mỗi lần 1 bi, từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Gọi iA là biến cố lần

thứ i lấy được bi xanh ( i 1,2,3 ). Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một bi xanh; B là biến cố lấy

được 3 bi xanh. Ta có

...............................................................................................................................................................................

2.5.Biến cố xung khắc

a) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra, tức là

AB .

b) Dãy biến cố 1 2 nA ,A , ,A được gọi là xung khắc từng đôi nếu 2 biến cố bất kỳ trong n biến cố

này xung khắc với nhau i ji j: A A .

2.6.Biến cố đối lập

Biến cố đối lập (còn được gọi là biến cố bù) của biến cố A, kí hiệu là A , biến cố này xảy ra khi và

chỉ khi biến cố A không xảy ra.

A là biến cố đối lập của A A

AAA

Ví dụ 4: Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố số chấm là số lẻ; B là biến cố số chấm là số chẵn;

C là biến cố số chấm bằng 3. Ta có

B và C là hai biến cố ................................................................................................................................

A và B là hai biến cố ................................................................................................................................

Ví dụ 5: Kiểm tra 3 sản phẩm do nhà máy sản xuất. Gọi iA là biến cố sản phẩm thứ i là sản phẩm

tốt, (i 1,2,3) . Hãy biểu diễn các biến cố sau theo 1 2 3A ,A ,A :

a) A là biến cố được 3 sản phẩm tốt;

b) B là biến cố không được sản phẩm tốt nào;

c) C là biến cố được 1 sản phẩm tốt;

d) D là biến cố được 2 sản phẩm tốt;

e) E là biến cố được ít nhất 1 sản phẩm tốt;




f) F là biến cố được ít nhất 2 sản phẩm tốt.

Giải.

a) 1 2 3A A A A

b) 1 2 3B A A A

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (cổ điển)

3.1. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được chọn

từ n phần tử đã cho.

Ví dụ 6: Các tổ hợp chập 3 của 4 phần tử a,b,c,d là a,b,c , a,b,d , a,c,d , b,c,d .

Các tổ hợp chập 2 của 4 phần tử a,b,c,d là a,b , a,c , a,d , b,c , b,d , c,d .

Số tổ hợp chập k của n phần tử, được kí hiệu là k

nC

k

n

n!C

k!(n k)!

Bài toán lựa chọn: Xét một tổng thể có N phần tử, trong đó có AN phần tử có tính chất A, còn lại

là các phần tử không có tính chất A. Số cách chọn ra n phần tử (0 n N) từ tổng thể, trong đó có

k phần tử có tính chất A là: A A

k n k

N N NC C .

Ví dụ 7: Một lớp có 50 sinh viên gồm 20 nam và 30 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 4

sinh viên từ lớp này, trong đó có 3 nam và 1 nữ. ..........................................................................................

3.2. Định nghĩa xác suất

Nếu trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng, trong đó có An biến cố sơ cấp

thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) , được tính bởi công thức

AnP(A)

n

Ý nghĩa của xác suất: Xác suất của một biến cố là một giá trị nằm trong miền từ 0 đến 1, đặc trưng

cho khả năng xảy ra của biến cố trong một phép thử ngẫu nhiên. Xác suất càng lớn (càng gần 1) thì

biến cố càng có khả năng xuất hiện cao; xác suất càng nhỏ (càng gần 0) thì biến cố càng có khả năng

xuất hiện thấp trong một phép thử.




Tính chất: Theo định nghĩa, ta có:

P( 0) .

P 1 .

0 P A 1

Nếu A B thì P A P B .

Ví dụ 8: Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất

a) Xuất hiện mặt 1 chấm.

b) Xuất hiện mặt chẵn.

Giải. Các biến cố sơ cấp có thể xảy ra khi tung con xúc xắc là 1 2 3 4 5 6, , , , , với i là biến cố

xuất hiện mặt i chấm.

Số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra khi tung con xúc xắc là n 6 .

a) Gọi A là biến cố xuất hiện mặt một chấm An 1. Do đó, xác suất xuất hiện 1 chấm là

1P(A)

6 .

b) Gọi B là biến cố xuất hiện mặt chẵn Bn 3 .Do đó, xác suất xuất hiện mặt chẵn là

3 1P(B)

6 2 .

Ví dụ 9: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II.

a) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất lấy được sản phẩm loại I.

b) Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm, tính xác suất lấy được một sản

phẩm loại I.

c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, tính xác suất lấy được một sản phẩm loại I.

Giải.

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

3.3. Công thức tính xác suất lựa chọn




Xét một tổng thể có N phần tử, trong đó có AN phần tử có tính chất A, còn lại là các phần tử không

có tính chất A. Chọn ngẫu nhiên từ tổng thể ra n phần tử (0 n N). Khi đó, xác suất trong n

phần tử lấy ra có k phần tử có tính chất A là:

A A

k n k

N N N

k n

N

C CP(A )

C

Ví dụ 10: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu

nhiên không hoàn lại từ hộp ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để có 2 sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm

lấy ra từ hộp.

Giải. Gọi A là biến cố có 2 sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm lấy ra

...............................................................................................................................................................................

4. CÔNG THỨC CỘNG

a) Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì P(A B) P(A) P(B) .

b) Nếu 1 2 nA ,A , ,A là các biến cố xung khắc từng đôi thì

1 2 n 1 2 nP(A A A ) P(A ) P(A ) P(A )

c) Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ thì P(A B) P(A) P(B) P(AB) .

d) Nếu 1 2 nA ,A , ,A là các biến cố bất kỳ thì

nn 1

1 2 n i i j 1 2 n

i 1 1 i j n

P(A A A ) P(A ) P(A A ) ( 1) P(A A A )

Ví dụ 11: P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)

e) Biến cố đối lập: P(A) 1 P(A) .

Ví dụ 12: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản

phẩm từ hộp để kiểm tra. Tính xác suất để có không quá 1 phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra.

Giải. Gọi A là biến cố không có phế phẩm; B là biến cố có 1 phế phẩm; C là biến cố có không quá

1 phế phẩm. .........................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

5. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Xác suất của biến cố A được tính trong điều kiện biến cố B đã xảy ra, kí hiệu là P(A | B) . Công

thức tính

P(AB)P(A | B)

P(B)




Trong trường hợp không gian mẫu có số biến cố sơ cấp hữu hạn và đồng khả năng ta có thể tính theo

công thức AB

B

nP(A | B)

n .

Xác suất có điều kiện P(A | B) cho phép chúng ta sử dụng thông tin về sự xuất hiện của biến cố B

để dự báo khả năng xuất hiện biến cố A.

Xác suất có điều kiện cũng có các tính chất như xác suất thông thường:

0 P B 1; P B | B 1; P A | B(A | 1 P A | B) ( ) ( ) ( );

1 2 1 2( ) (P A A | B P A | B P )B) (A | nếu 1 2A A ;...

Ví dụ 13: Trong hộp có 10 sản phẩm gồm 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn

lại ra 2 sản phẩm, mỗi lần 1 sản phẩm. Tính xác suất

a) Lần thứ hai lấy được chính phẩm, biết lần thứ nhất đã lấy được chính phẩm.

b) Lần thứ hai lấy được chính phẩm, biết lần thứ nhất đã lấy được phế phẩm.

Giải. Gọi A là biến cố lần thứ hai lấy được chính phẩm; B là biến cố lần thứ nhất lấy được chính

phẩm.

a) Ta cần tính P(A | B)

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

b) Ta cần tính P(A | B)

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

6. CÔNG THỨC NHÂN

a) Nếu A,B là hai biến cố bất kỳ thì P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B) .

a) Nếu A,B là hai biến cố độc lập thì P(AB) P(A)P(B) .

b) Nếu 1 2 nA ,A , ,A là các biến cố bất kỳ thì

1 2 3 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 3 n 1P(A A A A ) P(A )P(A | A )P(A | A A ) P(A | A A A A )

c) Nếu 1 2 nA ,A , ,A là các biến cố độc lập thì

1 2 3 n 1 2 3 nP(A A A A ) P(A )P(A )P(A ) P(A )

Ví dụ 14: Ba người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả vào rổ từ một vị trí cố định một cách độc

lập với nhau. Xác suất ném vào rổ của từng người lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7.Tính xác suất

a) Cả 3 người đều ném vào rổ.

b) Có ít nhất một người ném vào rổ.

c) Có 2 người ném vào rổ.




d) Người thứ ba ném không vào rổ, biết rằng có 2 người ném vào rổ.

Giải. Gọi iA là biến cố người thứ i ném vào rổ, (i 1,2,3) .

Ta có 1 2 3A ,A ,A độc lập với nhau.

a) Gọi A là biến cố cả 3 người đều ném vào rổ.

1 2 3A A A A

1 2 3P(A) P(A )P(A )P(A ) 0,5.0,6.0,7 0,21

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 người ném vào rổ.

1 2 3B A A A

1 2 3 1 2 3P(B) 1 P B 1 P A A A 1 P A P A P A

1 0,5.0,4.0,3 0,94

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

7. CÔNG THỨC BERNOULLI

Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa các điều kiện sau

a) Các phép thử độc lập với nhau;

b) Trong mỗi phép thử, xác suất biến cố A ta quan tâm có xác suất xảy ra như nhau, iP(A ) p .

Khi đó, xác suất biến cố A xảy ra k lần trong n lần thử, kí hiệu nP (k;p), là

k k n k

n nP (k;p) C p (1 p) , k 0,...,n

Ví dụ 15: Xạ thủ bắn từng viên đạn vào bia. Xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn đều là 0,8.

a) Xạ thủ bắn 10 viên đạn. Tính xác suất có 6 viên đạn trúng bia.

b) Xạ thủ cần bắn ít nhất bao nhiêu viên đạn để xác suất có ít nhất 1 viên đạn trúng bia tối thiểu là

0,9999.




Giải. Xạ thủ bắn n viên đạn tương ứng với dãy n phép thử Bernoulli với xác suất bắn trúng mỗi

viên là 0,8.

a) 6 6 4

10 10P (6;0,8) C .0,8 .0,2 0,0881 .

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 viên đạn trúng bia

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

8. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ và CÔNG THỨC BAYES

Định nghĩa

Nhóm các biến cố 1 2 nA ,A , ,A n 2 của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu

các biến cố 1 2 nA ,A , ,A xung khắc từng đôi và luôn có một trong các biến cố 1 2 nA ,A , ,A xảy ra

khi thực hiện phép thử, tức là

i j

1 2 n

A A , i j

A A A

Công thức xác suất đầy đủ

Nếu 1 2 nA ,A , ,A n 2 là một nhóm đầy đủ và A là một biến cố bất kỳ của phép thử thì

1 1 2 2 n nP(A) P(A )P(A | A ) P(A )P(A | A ) P(A )P(A | A )

n

i i

i 1

P(A )P(A | A )

Công thức Bayes

Nếu 1 2 nA ,A , ,A n 2 là một nhóm đầy đủ và A là một biến cố bất kỳ của phép thử thì

i i i ii n

i i

i 1

P(A )P(A | A ) P(A )P(A | A )P(A | A)

P(A)P(A )P(A | A )

Ví dụ 16: Một phân xưởng có 3 máy cũng sản xuất một loại sản phẩm. Sản lượng của các máy này

lần lượt chiếm 50%, 40%, 10% sản lượng của phân xưởng. Tỉ lệ phế phẩm của các máy này lần lượt

là 1%, 2%, 3%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a) Tính xác suất sản phẩm kiểm tra là phế phẩm. Nêu ý nghĩa thực tế của giá trị xác suất này.

b) Giả sử sản phẩm kiểm tra là phế phẩm, tính xác suất phế phẩm đó do máy 1 sản xuất. Nêu ý

nghĩa thực tế của giá trị xác suất này.

c) Giả sử sản phẩm kiểm tra là phế phẩm, khả năng phế phẩm nàydo phân xưởng nào sản xuất là

cao nhất?




Giải. Gọi B là biến cố sản phẩm kiểm tra là phế phẩm;

iA là biến cố sản phẩm kiểm tra là của máy thứ i (i 1,2,3) .

1 2 3A ,A ,A là một nhóm đầy đủ

a) Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

1 1 2 2 3 3P(B) P(A )P(B | A ) P(A )P(B | A 0 P(A )P(B | A )

0,5.0,01 0,4.0,02 0,1.0,03 0,016 1,6%

...............................................................................................................................................................................

b) Áp dụng công thức Bayes, ta được:

1 11

P(A )P(B | A ) 0,5.0,01P(A | B) 0,3125 31,25%

P(B) 0,016

...............................................................................................................................................................................

c) Áp dụng công thức Bayes, ta được:

2 22

P(A )P(B | A ) 0,4.0,02P(A | B) 0,5

P(B) 0,016

3 33

P(A )P(B | A ) 0,1.0,03P(A | B) 0,1875

P(B) 0,016

...............................................................................................................................................................................

Ví dụ 17: Một thiết bị gồm 3 loại linh kiện loại 1, 2, 3. Chúng chiếm tương ứng 35%, 25%, 40%

tổng số linh kiện của thiết bị. Khả năng mộtlinh kiện loại 1, 2, 3 bị hỏng tương ứng là 15%, 25%,

5%. Thiết bị đang hoạt động bỗng nhiên bị hỏng. Theo bạn nhiều khả năng nhất linh kiện loại nào bị

hỏng (giả sử các linh kiện không hỏng đồng thời).

Giải. ....................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

BÀI TẬP

Bài 1.1. Kiểm tra ba sản phẩm. Gọi kA là biến cố sản phẩm thứ k là sản phẩm tốt. Hãy biểu diễn

các biến cố sau theo các biến cố kA :




a) A là biến cố tất cả đều xấu.

b) B là biến cố có ít nhất một sản phẩm tốt.

c) C là biến cố có ít nhất một sản phẩm xấu.

d) D là biến cố không phải tất cả các sản phẩm đều tốt.

e) E là biến cố có đúng một sản phẩm xấu.

f) F là biến cố có ít nhất hai sản phẩm tốt.

Bài 1.2. Để được tuyển vào làm trong một ngân hàng, một người phải qua ba vòng phỏng vấn. Xác

suất để người đó được tuyển ở vòng 1, vòng 2, vòng 3 lần lượt là: 0,8; 0,9 và 0,85. Tính xác suất để

người đó được nhận vào làm trong ngân hàng.

Bài 1.3. Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng một lấy 90% thí sinh. Vòng 2 lấy 80% thí sinh của vòng 1 và

vòng 3 lấy 90% thí sinh của vòng 2.

a) Tính xác suất để một thí sinh lọt qua 3 vòng thi.

b) Tính xác suất để một thí sinh bị loại ở vòng 2 nếu biết rằng thí sinh đó bị loại.

Bài 1.4. Trong một xưởng có 3 máy làm việc độc lập. Trong một ca, máy thứ nhất cần sữa chữa với

xác suất 0,15; máy thứ hai với xác suất 0,1 và máy thứ ba với xác suất 0,12. Tính xác suất sao cho

trong một ca

a) Cả 3 máy cần sửa chữa.

b) Có 1 máy được sửa chữa.

c) Có 2 máy được sửa chữa.

d) Có ít nhất 1 máy cần sữa chữa.

e) Biết rằng có 1 máy cần sửa chữa, tính xác suất máy thứ nhất cần sửa chữa.

Bài 1.5. Một người đầu tư vào 3 loại cổ phiếu A, B, C. Xác suất trong thời gian T các cổ phiếu này

tăng giá là 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất trong thời gian T:

a) Có cổ phiếu tăng giá.

b) Có 1 cổ phiếu tăng giá.

c) Giả sử có 2 cổ phiếu tăng giá. Tính xác suất cổ phiếu B không tăng giá.

Biết rằng các cổ phiếu A, B, C hoạt động độc lập.

Bài 1.6. Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán như sau: trong một phiên giao dịch xác

suất giá tăng lên một đơn vị là p, và xác suất giá giảm một đơn vị là 1 – p, sự thay đổi giá của các

phiên giao dịch là độc lập.

a) Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch giá tăng so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị.

b) Giả sử sau 3 phiên giao dịch giá tăng so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị, tính xác suất giá tăng

trong phiên thứ 2.

Bài 1.7. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất máy sản xuất ra phế phẩm là 0,05. Tính

xác suất:




a) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có 3 phế phẩm.

b) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có phế phẩm.

c) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 2 phế phẩm.

d) Cần kiểm tra tối thiểu bao nhiêu sản phẩm do máy sản xuất ra để xác suất có phế phẩm hơn 90%.

Bài 1.8. Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó có 3 chai kém phẩm chất), hộp thứ hai có 5 chai

thuốc (trong đó có 2 chai kém phẩm chất). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 chai.

a) Tính xác suất lấy được 2 chai thuốc tốt.

b) Tính xác suất lấy được một chai thuốc tốt và một chai kém phẩm chất.

c) Nếu lấy được một chai tốt và một chai kém phẩm chất, tính xác suất để chai kém phẩm chất là

của hộp thứ nhất.

Bài 1.9. Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó có 3 chai kém phẩm chất), hộp thứ hai có 5 chai

thuốc (trong đó có 2 chai kém phẩm chất). Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đã chọn lấy ngẫu

nhiên ra 2 chai.

a) Tính xác suất lấy được 2 chai thuốc tốt.

b) Tính xác suất lấy được một chai thuốc tốt và một chai kém phẩm chất.

c) Nếu lấy được một chai tốt và một chai kém phẩm chất, tính xác suất hộp thứ nhất được chọn.

Bài 1.10. Một cửa hàng bán máy vi tính cá nhân có 3 nhãn hiệu: 1 2 3A ,A ,A . Tỉ lệ của 1A là 50%, của

2A là 30%, của 3A là 20%. Các máy bán ra được bảo hành 1 năm. Chủ nhân của cửa hàng ghi nhận:

10% máy 1A cần sửa chữa trong thời gian bảo hành, của 2A là 20%, của 3A là 25%.

a) Một khách hàng mua một máy, tính xác suất để máy tính được mua cần phải sửa chữa trong thời

gian bảo hành. Nêu ý nghĩa thực tế của giá trị xác suất này.

b) Giả sử máy của khách hàng mua bị hỏng cần sửa chữa trong thời gian bảo hành, cho biết khả

năng cao nhất máy đó là loại nào?

Bài 1.11. Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất

xưởng ra thị trường mỗi bóng đèn đều được qua kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể tuyệt

đối hoàn hảo nên một bóng đèn tốt có xác suất 0,9 được công nhận là tốt, một bóng đèn hỏng có xác

suất bị loại là 0,95.

a) Tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua kiểm tra chất lượng.

b) Tính xác suất một bóng đèn của nhà máy có kết quả kiểm tra không đúng với bản chất của nó.

c) Nếu một bóng đèn có kết quả kiểm tra là đạt tiêu chuẩn thì khả năng kết quả đó không đúng là

bao nhiêu?

Bài 1.12. Tỉ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm là 0,1. Để đảm bảo chất lượng người ta kiểm tra sản

phẩm trước khi đưa ra thị trường. Thiết bị kiểm tra tự động có độ chính xác là 95% đối với chính




phẩm và 98% đối với phế phẩm. Sản phẩm được đưa ra thị trường nếu được thiết bị kiểm tra báo là

chính phẩm.

a) Tính tỉ lệ sản phẩm được đưa ra thị trường.

b) Với một sản phẩm được đưa ra thị trường thì khả năng nó là phế phẩm là bao nhiêu?

c) Tính tỉ lệ sản phẩm được kiểm tra bởi thiết bị không đúng với bản chất của nó.

d) Một người mua 5 sản phẩm được đưa ra thị trường. Tính xác suất trong 5 sản phẩm này có 2 phế

phẩm.

Bài 1.13. Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm của xí nghiệp là 5%. Mỗi sản

phẩm sản xuất ra được lần lượt qua 2 trạm kiểm tra độc lập.

- Ở trạm 1: xác suất nhận biết đúng với chính phẩm là 90% và nhận biết sai một phế phẩm là 3%.

- Ở trạm 2: xác suất nhận biết đúng với chính phẩm là 95% và nhận biết đúng với một phế phẩm là

98%.

Một sản phẩm được đưa ra thị trường nếu lần lượt qua hai trạm kiểm tra đều được coi là chính phẩm.

Tính xác suất để:

a) Một phế phẩm được đưa ra thị trường.

b) Một chính phẩm bị loại trong quá trình kiểm tra.

c) Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên trong số các sản phẩm chưa kiểm tra được đưa ra thị

trường.

d) Một sản phẩm đươc đưa ra thị trường là phế phẩm.

Bài 1.14. Một nhà đầu tư phân loại các dự án trong một chu kỳ đầu tư thành 3 loại: ít rủi ro; rủi ro

trung bình; rủi ro cao. Tỉ lệ dự án các loại đó tương ứng là 20%; 45%; 35%. Kinh nghiệm cho thấy tỉ

lệ dự án gặp rủi ro khi đầu tư tương ứng là 5%; 20%; 40%.

a) Tính tỉ lệ dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư.

b) Nếu một dự án không gặp rủi ro sau kỳ đầu tư thì khả năng dự án đó thuộc loại rủi ro cao là bao

nhiêu?

Bài 1.15. Một hộp có 10 chính phẩm và 3 phế phẩm không rõ chất lượng cụ thể. Một khách hàng rút

ngẫu nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra thì được chính phẩm, vì vậy khách hàng dự định sẽ mua hộp sản

phẩm đó nếu rút ngẫu nhiên tiếp 1 sản phẩm nữa là chính phẩm. Tính xác suất khách hàng mua sản

phẩm đó. Biết rằng mọi giả thiết về số chính phẩm có trong hộp đều đồng khả năng.




Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN

1. KHÁI NIỆM

Biến ngẫu nhiên là một hàm số đi từ không gian mẫu vào tập số thực .

X :

X( )

Có thể hiểu biến ngẫu nhiên là một qui tắc (hoặc hàm) gán các giá trị bằng số cho những kết quả của

phép thử.

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là số chấm xuất hiện. X là biến ngẫu nhiên,

(X 1),(X 2),(X 5), là các biến cố.

Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của Đại học Ngân Hàng để kiểm tra chiều cao. Gọi Y(cm)

là chiều cao của sinh viên được chọn. Y là biến ngẫu nhiên.

Biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu bằng các chữ cái cuối của bảng chữ cái, X,Y,Z,

Tập giá trị của biến ngẫu nhiên X thường được kí hiệu là X( ) . Căn cứ vào tập giá trị X( ) , biến

ngẫu nhiên được chia làm 2 loại:

Biến ngẫu nhiên rời rạc nếu X( ) là hữu hạn hay vô hạn đếm được, tức là

1 2 nX( ) x ,x , ,x hay 1 2 nX( ) x ,x , ,x , .

Biến ngẫu nhiên liên tục nếu X( ) chứa một khoảng liên tục của tập số thực .

2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

2.1. Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc

Bảng phân phối xác suất dùng để biểu diễn phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 1 2 nx ,x , ,x với các xác suất tương ứng

1 1 2 2 n nP(X x ) p ,P(X x ) p , ,P(X x ) p .

Khi đó, bảng phân phối xác suất của X là:

X 1x 2x

nx

P 1p 2p

np

Nhận xét: ip 0 và n

i

i 1

p 1

.

Ví dụ 3: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản

phẩm từ hộp để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. Tìm luật phân phối của X. Tính

P( 1 X 1) .

Giải. .....................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................




...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

2.2. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm mật độ xác suất dùng để biểu diễn phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục.

Hàm số f (x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu thỏa các điều

kiện sau:

i) f (x) 0, x

ii) f (x)dx 1

iii) b

a

P(a X b) f (x)dx

Nhận xét:

Do

a

a

P(X a) f (x)dx 0 , nên đối với biến ngẫu liên tục ta quan tâm xác suất để X nhận giá

trị trong một khoảng, chứ không quan tâm tới xác suất để X nhận một giá trị cụ thể.

Xác suất của các biến cố (a X b),(a X b),(a X b),(a X b) như nhau.

Với biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x) thì P(x X x dx) f (x)dx với

dx đủ bé.

Về mặt hình học, xác suất P(a X b)

bằng số đo diện tích hình thang cong giới hạn

bởi x a,x b,y f x và trục Ox. Như vậy,

diện tích hình thang cong này cho ta biết xác

suất.

Ví dụ 4: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

cx x [0,2]

f (x)0 x [0,2]

neáu

neáu

a b

f(x)

y

x 0




Tìm c. Tính P( 1,5 X 1)

Giải.

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

2.3. Hàm phân phối

Hàm phân phối xác suất của X , kí hiệu F(x) hoặc XF (x) , là hàm số thực xác định như

sau: F(x) P(X x) .

Hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái của x .

Với biến ngẫu nhiên rời rạc: i i

i i

x x x x

F(x) P(X x ) p

Với biến ngẫu nhiên liên tục:

x

F(x) f (t)dt

Tính chất của hàm phân phối xác suất:

1. 0 F(x) 1, x

2. F(x) không giảm

3. x x

F( ) lim F(x) 0;F( ) lim F(x) 1

4. P(a X b) F(b) F(a)

Liên hệ với phân phối xác suất:

Với biến ngẫu nhiên rời rạc: i i 1 ip F(x ) F(x ) .

Với biến ngẫu nhiên liên tục, ta có: F(x) liên tục, F'(x) f (x) tại những điểm f (x) liên tục.

Như vậy, nếu biết được hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên thì ta hoàn toàn xác định được

phân phối xác suất của nó.

Ví dụ 5: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:

X - 2 0 1 3

P 0,1 0,4 0,3 0,2

Tìm hàm phân phối xác suất của X .

Giải.

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................




...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................


xx [0,2]

f (x) 2

0 x [0,2]

neáu

neáu

Tìm hàm phân phối xác suất của X .

Giải. Ta có

x

F(x) f (t)dt

Khi x 0 :

x

F(x) 0dt 0

Khi 0 x 2 :

0 x 2 2

0

xt t xF(x) 0dt dt

02 4 4

Khi 2 x :

0 2 x 2

0 2

2t tF(x) 0dt dt 0dt 1

02 4

Vậy hàm phân phối xác suất của X

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

3. ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

a) Giá trị tin chắc nhất (mode)

Giá trị tin chắc nhất của biến ngẫu nhiên X kí hiệu là Mod(X).

Với biến ngẫu nhiên rời rạc: Mod(X) là giá trị của X mà xác suất X nhận giá trị đó lớn nhất, tức

là Mod(X) là giá trị của X nhiều khả năng xảy ra nhất.

Với biến ngẫu nhiên liên tục: Mod(X) là giá trị làm hàm mật độ xác suất đạt giá trị lớn nhất.


X - 2 0 1 3

P 0,1 0,4 0,3 0,2

Giải. .....................................................................................................................................................................




b) Kì vọng (trung bình)

Kì vọng của biến ngẫu nhiên X kí hiệu là E(X).

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với i ip P(X x ) thì i i

i

E(X) x p .

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f (x) thì E(X) xf (x)dx.

Ý nghĩa của kì vọng:

- Kì vọng là giá trị trung bình theo xác suất của biến ngẫu nhiên, phản ánh giá trị trung tâm của

biến ngẫu nhiên.

- Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cần chọn phương án cho năng suất cao (hay lợi

nhuận cao) thì ta chọn phương án cho năng suất kì vọng cao (hay lợi nhuận kì vọng cao).


X - 2 0 1 3

P 0,1 0,4 0,3 0,2

Tìm kì vọng của X.

Giải. .....................................................................................................................................................................


xx [0,2]

f (x) 2

0 x [0,2]

neáu

neáu

Tìm kì vọng của X.

Giải. ........................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Tính chất của kì vọng:

1. E(C) C , C là hằng số

2. E(aX) aE(X)

3. E(aX bY C) aE(X) bE(Y) c

4. Nếu X,Y độc lập (nghĩa là hai biến cố (X x),(Y y) độc lập với mọi x,y ) thì

E(XY) E(X).E(Y) .

5. Nếu Y (X) thì

i i

i

(x )p X

E(Y)

(x)f (x)dx X

vôùi rôøi raïc

vôùi lieân tuïc




Ví dụ 10: Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Xác suất trong một ngày làm việc các máy

đó hỏng tương ứng là 0,1; 0,2.

a) Tìm số máy bị hỏng trung bình trong một ngày làm việc.

b) Nếu mỗi máy bị hỏng phải sửa hết 150 ngàn đồng, tính số tiền sửa máy trung bình trong một

ngày làm việc.

Giải. Gọi X là số máy bị hỏng trong một ngày làm việc

Bảng phân phối xác suất của X :

X 0 1 2

P 0,72 0,26 0,02

a) E(X) 0.0,72 1.0,26 2.0,02 0,3

b) Gọi Y (ngàn đồng) là tiền sửa máy trong một ngày làm việc.

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

c) Phương sai – Độ lệch chuẩn

Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X), được xác định như sau:

2

i i

i2

2

x E(X) p X

V(X) E X E(X)

x E(X) f (x)dx X

vôùi rôøi raïc

vôùi lieân tuïc

Trong tính toán, ta hay dùng công thức:

22V(X) E(X ) EX với

2

i i

i2

2

x p X

E(X )

x f (x)dx X

vôùi rôøi raïc

vôùi lieân tuïc

Ý nghĩa của phương sai:

X E(X) là sai lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó. Do đó, phương sai chính là

trung bình của bình phương sai lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó. Phương sai đặc

trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình, nghĩa là phương sai nhỏ thì độ

phân tán nhỏ vì vậy độ tập trung lớn, ngược lại phương sai lớn thì độ phân tán lớn.

Trong kĩ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai

đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định.

Vì đơn vị đo của V(X) bằng bình phương đơn vị đo của X , để tiện cho việc so sánh giữa các

đặc trưng, ta đưa ra đặc trưng độ lệch tiêu chuẩn, kí hiệu X , X V(X) . Như vậy, X

và X có cùng đơn vị đo.




Tính chất của phương sai:

1. V(C) 0 , C là hằng số

2. 2 2V(aX) a V(X);V(aX b) a V(X)

3. Nếu X,Y độc lập thì 2 2V(aX bY c) a V(X) b V(Y);

Hệ quả: Nếu X,Y độc lập thì V(X Y) V(X) V(Y)


X - 2 0 1 3

P 0,1 0,4 0,3 0,2

Tìm phương sai của X .

Giải. .....................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................


xx [0,2]

f (x) 2

0 x [0,2]

neáu

neáu

Tìm phương sai của X .

Giải. .....................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

BÀI TẬP

Bài 2.1. Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập. Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị hỏng

tương ứng là 0,1; 0,15; 0,2.

a) Tìm phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng X trong thời gian t.

b) Lập hàm phân phối của X; tìm ModX; MedX.

c) Tính xác suất trong thời gian t có không quá một bộ phận bị hỏng.

Bài 2.2. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

2kx x 0,3]

f (x)0 x 0,3]

[

[

a) Tính kì vọng của X.




b) Tính P(X 2),P( X EX 0,5),P( X EX 1)

c) Cho Y 2 X , tìm hàm mật độ của Y.

Bài 2.3. Tìm hàm mật độ xác suất của Y=X2. Biết hàm mật độ của X cho như sau:

X

2(1 x), x (0;1)f (x)

0 x (0;1)

Bài 2.4. Một trạm cung cấp ga có dung lượng kho chứa là 600 thùng và được cung cấp ga 1 lần

trong 1 tuần. Dung lượng ga bán trong một tuần của trạm là X (đơn vị: ngàn thùng) có hàm mật độ

xác suất: m

f x m 1 1– x khi x[0;1]; f(x) = 0 khi x[0;1]. Biết xác suất hết ga trong một

tuần là 0,01. Tính lượng ga trung bình bán ra trong tuần.

Bài 2.5. Cho biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) là tuổi thọ của một loại thiết bị có hàm mật độ xác

suất:

x

2cxe x 0f (x)

0 x 0.

Tìm c; Tìm hàm phân phối xác suất của X; Tính xác suất để trong 6 thiết bị này hoạt động độc lập có

3 thiết bị có tuổi thọ ít nhất 5 tháng; Tìm tuổi thọ trung bình của thiết bị; Tuổi thọ có thể hi vọng của thiết

bị là bao nhiêu.

Bài 2.6. Nhu cầu hàng ngày về một loại thực phẩm tươi sống có bảng phân phối xác suất:

Nhu cầu (kg) 30 31 32 33 34 35

P 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 0,05

Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 2,5 ngàn và bán ra với giá 4 ngàn. Nếu bị ế cuối ngày phải

bán hạ giá còn 1,5 ngàn mới bán hết được. Phải đặt mua hàng ngày bao nhiêu kg thực phẩm để có lãi

nhất.

Bài 2.7. Một công ti bảo hiểm sẽ chi một lượng tiền là A nếu biến cố E xuất hiện trong năm. Nếu

công ti ước lượng E xuất hiện trong năm với xác suất p thì một khách hàng cần phải mua bảo hiểm

mức bao nhiêu để kì vọng lợi tức của công ti sẽ là 10% của A.

Bài 2.8. A BX ,X (%) là lãi suất thu được trong một năm khi đầu tư vào hai công ty A, B một cách

độc lập. Cho biết quy luật phân phối xác suất tương ứng như sau:

AX 4 6 8 10 12

P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15




BX -4 2 8 10 12 16

P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1

a) Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kì vọng cao hơn?

b) Đầu tư vào công ty nào có rủi ro ít hơn?

c) Nếu muốn đầu tư vào cả hai công ty thì nên đầu tư theo tỉ lệ như thế nào sao cho:

i) Thu được lãi suất kì vọng lớn nhất.

ii) Mức độ rủi ro về lãi suất thấp nhất.

Bài 2.9. Phí qua cầu đối với một xe nhỏ là 10 ngàn đồng, một xe lớn là 15 ngàn đồng. Theo thống

kê, trong một giờ có 60% xe nhỏ qua cầu, còn lại là xe lớn. Nếu có 100 xe qua cầu trong một giờ thì

doanh thu trung bình là bao nhiêu?

Bài 2.10. Cho hai máy, tỉ lệ sản phẩm loại A của hai máy tương ứng là 20%, 30%. Cho mỗi máy sản

xuất lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm.

a) Lập bảng phân phối xác suất có số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm sản xuất ra.

b) Tính số sản phẩm loại A tin chắc nhất; phương sai của số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm.




Chương 3: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

1.1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với tham số n,p , kí hiệu X ~ B(n,p) , nếu tập giá trị

X( ) 0,1, ,n và

x x n x

nP(X x) C p q với x X( ),q 1 p .

Khi n 1: X ~ B(1,p) thì X còn được gọi là có phân phối không – một hay phân phối Bernoulli, kí

hiệu X ~ A(p).

Nhận xét: Nếu X là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli với P(A) p , thì

X ~ B(n,p) .

Ví dụ 1: Xí nghiệp có 10 chiếc máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng

là 0,15.

a) Tính xác suất trong một ngày có 2 máy bị hỏng.

b) Tính xác suất trong một ngày có không quá 2 máy bị hỏng.

Giải. .....................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

a) Xác suất có 2 máy bị hỏng

...............................................................................................................................................................................

b) Xác suất có không quá 2 máy bị hỏng

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

1.2. Các số đặc trưng

Nếu X ~ B(n,p) thì

E(X) np;Var(X) npq

(n 1)p 1 Mod(X) (n 1)p

Ví dụ 2: Xí nghiệp có 10 chiếc máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng

là 0,15.

a) Tính số máy bị hỏng trung bình trong một ngày.

b) Tính số máy bị hỏng nhiều khả năng nhất.

Giải. Gọi X là số máy bị hỏng trong 1 ngày.

X có phân phối nhị thức, X ~ B(10;0,15)

...............................................................................................................................................................................




...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

2.1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với tham số AN, N ,n, kí hiệu AX ~ H(N, N ,n) , nếu X

nhận giá trị nguyên dương từ Amax 0,n (N N ) đến Amin n, N và

A A

x n x

N N N

n

N

C .CP(X x)

C

2.2. Mô hình của phân phối siêu bội

Một tổng thể có N phần tử, trong đó có AN phần tử có tính chất A. Lấy ngẫu nhiên n phần tử từ

tổng thể. Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử lấy ra. Khi đó, X có phân phối siêu bội,

AX ~ H(N, N ,n) .


Nếu AX ~ H(N, N ,n) thì

E(X) np với AN

pN

N nVar(X) npq.

N 1

với q 1 p

Ví dụ 3: Một kiện gồm 10 sản phẩm, trong đó 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Một khách

hàng chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm để mua.

a) Tính xác suất khách hàng mua được 2 sản phẩm loại I.

b) Tính xác suất khách hàng mua được ít nhất 1 sản phẩm loại I.

c) Tính sản phẩm loại I trung bình trong 3 sản phẩm lấy ra.

Giải. G ..................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................




3. PHÂN PHỐI POISSON

3.1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số ( 0) , kí hiệu X ~ P( ) , nếu tập giá trị

X( ) 0,1, ,n, và

keP(X k) ; k X( )

k!


Nếu X ~ P( ) thì

E(X) V (X)ar

1 Mod(X)

Ví dụ 4: Một tổng đài điện thoại các cuộc gọi đến một cách ngẫu nhiên, độc lập và trung bình có 10

cuộc gọi trong 1 phút. Giả sử số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút có phân phối Poisson. Tính xác

suất:

a) Có đúng 5 cuộc gọi đến trong 1 phút.

b) Có ít nhất 2 cuộc gọi trong 1 phút.

Giải. .....................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

4. PHÂN PHỐI CHUẨN

4.1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số và 2 ( 0) , kí hiệu

2X ~ N( , ) , nếu hàm mật độ xác suất là

2

2

(x )

21

f (x) e2

f (x) là hàm mật độ xác suất vì f x 0 và

f (x)dx 1

.

Đồ thị f(x) có dạng hình chuông, trục đối xứng

+ z1 z

1

e2

1

2

f(x)




x , các điểm uốn 1

;e2

, nhận trục hoành làm

tiệm cận ngang.

Các số đặc trưng: Nếu 2X ~ N( , ) thì 2E(X) ,Var(X) .

Z được gọi là có phân phối chuẩn tắc nếu Z ~ N(0,1) , tức hàm mật độ xác suất của Z là

2x

21

f (x) e2

.

Tính chất: Nếu 2X ~ N( , ) thì X

Z ~ N(0,1)

.

4.2. Tính xác suất của phân phối chuẩn

a) Hàm Laplace:

2x t

2

0

1(x) e dt

2

Giá trị của hàm Laplace được cho trong bảng hàm Laplace.

- Hàm Laplce là hàm lẻ, ( x) (x) .

- Với x 5 : (x) 0,5 .

- ( ) 0,5; ( ) 0,5

b) Tính xác suất:

- Nếu X ~ N(0,1) thì P(a X b) b a .

- Nếu 2X ~ N( , ) thì b a

P(a X b) .

Ví dụ 5: Cho Z ~ N(0,1) . Tính P( 0,25 Z 1,36), P(Z 2,37), P(Z 2,58) .

Giải. .....................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

Ví dụ 6: Trọng lượng của một gói bột giặt là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng

trung bình là 5(kg) và độ lệch chuẩn 0,1(kg). Tính tỉ lệ gói bột giặt có trọng lượng từ 4,8kg đến 5,1

kg.

Giải.

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................




...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

4.3. Giá trị tới hạn của phân phối chuẩn tắc

Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X và số (0,1) . Số g được gọi là giá trị tới hạn mức của

X nếu P X g .

Giá trị tới hạn mức của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc, kí hiệu z , là số thỏa điều kiện

P(X z )

Tính chất:

1. (z ) 0,5

2. 1z z

3. Nếu Z ~ N(0;1) thì /2 /2 /2 /2P(Z z ) P(Z z ) , P( z Z z ) .2

Ví dụ 7: 0,025 0,975 0,01z 1,96;z 1,96;z 2,33

4.4. Tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn

Mệnh đề: Nếu X ~ N(; 2) thì aX + b ~ N(a + b;a)2) (với a 0).

Định lí: Nếu các biến ngẫu nhiên Xi độc lập và Xi ~ N(i ; i2) thì tổ hợp tuyến tính Y= c1X1 + c2X2

+ …+ cnXn có phân phối chuẩn, với trung bình c11 + c22 + …+ cnn , phương sai c121

2+ c222

2 +

…+ cn2n

2.

Hệ quả 1: Nếu các biến ngẫu nhiên Xi độc lập cùng phân phối chuẩn trung bình , phương sai 2 thì

i) Tổng X1 + X2 + …+ Xn có phân phối chuẩn trung bình n, phương sai n2;

ii) Trung bình cộng

n

i 1

iX

X=

n

có phân phối chuẩn trung bình , phương sai 2

Hệ quả 2: Nếu các biến ngẫu nhiên Xi độc lập cùng phân phối và Xi ~ N(; 2) thì μ

σ

X-Z= ~N(0;1).

Ví dụ 8: Một công ti bán 3 loại hàng: A, B, C với giá bán một đơn vị tương ứng là 21,2; 21,35; 21,5

(USD). Gọi 1 2 3X ,X ,X tương ứng là số đơn vị hàng bán của các loại hàng A, B, C trong 1 tuần.

1 2 3X ,X ,X là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 1=1000, 2=500, 3=300 và

độ lệch chuẩn 1=100, 2 =80, 3 =50. Tính xác suất doanh thu Y của công ti trong 1 tuần vượt

45000 USD.




Giải. .....................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

4.5. Xấp xĩ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Định lí (Định lí giới hạn địa phương Moivre-Laplace). Cho X ~ B n;p với p không quá gần 0 và

không quá gần 1 thì:

n

k

P{X k}lim 1

1.f (x )

npq

với

2x

21

f (x) e2

là hàm Gauss.

Định lí (Định lí giới hạn Moivre-Laplace). Gọi X ~ B n;p , với p không quá gần 0 và không quá

gần 1 và n

X npS

npq

thì

F

nS N 0, 1 .

Ý nghĩa của hai định lí trên:

Trong thực hành: Cho X ~ B(n,p) và n đủ lớn, p không quá lớn, cũng không quá bé ( np 5 và

nq 5 ) thì X N(np;npq) . Khi đó,

i) k

1P(X k) f x

npq với

2x

2k

k np 1x ,f (x) e

npq 2

.

ii) 2 11 2

k np k npP(k X k )

npq npq

.

Ví dụ 8: Xác suất nảy mầm của mỗi hạt giống là 0,8. Gieo thử 100 hạt giống.

a) Tính xác suất có đúng 75 hạt nảy mầm

b) Tính xác suất có ít nhất 70 hạt nảy mầm.

Giải.

Gọi X là số hạt nảy mầm trong 100 hạt được gieo

X có phân phối nhị thức, X ~ B(100;0,8)

Vì n 100 đủ lớn, p 0,8 không quá lớn, cũng không quá bé nên 2X N(80;4 ) .

a) 2( 1,25)

2 161 75 80 1 1 1

P(X 79) f f 1,25 . e 0,09504 4 4 4 2




b) 101 80 70 80

P(X 70) P(70 X 101)4 4

5,25 2,5 0,5 0,4938 0,9938

5. PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối khi bình phương với n bậc tự do, kí hiệu

2X ~ (n) , nếu hàm mật độ xác suất là

x n1

2 2

n/2

1.e x x 0

n2f (x)

2

0 x 0

vôùi

vôùi

ở đây x 1 t

0

t e dtx

(hàm Gamma).

Tính chất:

- Nếu n

2

i

i 1

X X

với iX độc lập, iX ~ N(0,1) thì 2X ~ (n) .

- Nếu 2X ~ (n) thì E(X) n,Var(X) 2n .

Giá trị tới hạn mức của biến ngẫu nhiên 2X ~ (n), kí hiệu 2

(n, ) , là số thỏa điều kiện

2

(n, )P(X )

Ví dụ 9: 2 2

(25;0,975) (25;0,025)13,120; 40,646.

6. PHÂN PHỐI STUDENT

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Student với n bậc tự do, kí hiệu X ~ t(n) ,

nếu hàm mật độ xác suất là

n 12 2

n 1

1 x2. . 1 x 0

nf (x) nn

2

0 x 0

vôùi

vôùi

ở đây x 1 t

0

t e dtx

(hàm Gamma).

+ Đồ thị hình chuông tương tự như đồ thị

của phân phối chuẩn nhưng có đỉnh thấp hơn

và 2 phần đuôi cao hơn so với đồ thị của

f(x)

x

Đồ thị

Đồ thị

phân phối chuẩn

Đồ thị

phân phối t(n)




phân phối chuẩn.

Các số đặc trưng: E(X) 0 (bậc tự

do n 1 ); n

V(X)n 2

(với n 2 ).

Nếu Z

XY

n

với 2Z ~ N(0,1);Y ~ (n) và Z, Y độc lập thì X ~ t(n) .

Giá trị tới hạn mức của biến ngẫu nhiên X ~ t(n), kí hiệu (n, )t , là số thỏa điều kiện

(n, )P(X t ) .

Ví dụ 10: (25;0,01) (17;0,025) (19;0,005)t 1,316;t 2,110;t 2,861

7. PHÂN PHỐI FISHER

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Fisher – Snedecor với n và m bậc tự do,

kí hiệu X ~ F(n,m) , nếu hàm mật độ xác suất là

n m

2 2n 2 n m

2 2

n mn m

2x m nx x 0

n mf (x)

2 2

0 x 0

vôùi

vôùi

Tính chất:

- Nếu 1

2

X / nX

X / m với 1 2X ,X độc lập và 2 2

1 2X ~ (n),X ~ (m) thì X ~ F(n,m) .

- Nếu X ~ F(n,m) thì 2

2

m 2n (m n 2)E(X) ;Var(X)

n 2 m(n 2) (n 4)

Giá trị tới hạn mức của biến ngẫu nhiên X ~ F(n,m), kí hiệu (n,m, )f là số thỏa điều kiện

(n,m, )P(X f ) .

Tính chất: (n,m, )

(m,n,1 )

1f

f

Ví dụ 15: (12;19;0,05) (12;19;0,95)

(12;19;0,05)

1 1f 2,28;f .

f 2,28

BÀI TẬP

Bài 3.1. Tuổi thọ của một bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là

1500 giờ, độ lệch chuẩn là 150 giờ. Nếu thời gian sử dụng không quá 1251 giờ thì bảo hành miễn

phí.

a) Tìm tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành.




b) Phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu để tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành chỉ còn 1%?

Bài 3.2. Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có 400 sản phẩm loại A. Lấy ngẫu nhiên không

hoàn lại từ lô hàng 10 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất có 3 sản phẩm loại A có trong 10 sản

phẩm lấy ra kiểm tra.

Bài 3.3. Trong một đợt thi tay nghề, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai máy và

với máy đã chọn sản xuất 10 sản phẩm. Nếu trong 10 sản phẩm sản xuất ra có từ 9 sản phẩm loại I

trở lên thì được nâng bậc thợ. Giả sử đối với công nhân A, xác suất để sản xuất được sản phẩm loại I

đối với hai máy tương ứng là 0,7 và 0,9. Tính xác suất để công nhân A được nâng bậc thợ.

Bài 3.4. Cho 2 lô hàng, mỗi lô có 1000 sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại B trong từng lô lần lượt là

10%, 20%. Người mua lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra. Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra từ lô

hàng nào có không quá 2 sản phẩm loại B thì mua lô hàng đó. Tính xác suất có lô hàng được mua.

Bài 3.5. Một phân xưởng có 2 dây chuyền cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của các

dây chuyền này tương ứng là 0,5%; 0,6%. Mỗi ca sản xuất mỗi dây chuyền sản xuất được 500 sản

phẩm. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm của dây chuyền 1 và 6 sản phẩm của dây chuyền 2 để kiểm tra.

Tính xác suất trong các sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm.

Bài 3.6. Có 3 lô hàng, mỗi lô hàng gồm 10000 sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại I của từng lô tương

ứng là 60%; 70% và 80%. Người ta lần lượt lấy từ mỗi lô ra 10 sản phẩm để kiểm tra (lấy không

hoàn lại). Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô hàng đó.

a) Tính xác suất để lô hàng có tỉ lệ sản phẩm loại I là 80% được mua.

b) Tính xác xuất có ít nhất một lô hàng được mua.

c) Nếu chỉ có một lô hàng được mua, tính xác suất để lô đó là lô hàng có tỉ lệ sản phẩm loại I là

80%.

Bài 3.7. Tuổi thọ của một máy điện tử là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ

trung bình là 4,2 năm, độ lệch chuẩn là 1,5 năm. Bán được 1 máy thì lời 100 ngàn đồng, nhưng nếu

máy phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khi bán một máy là 30 ngàn

đồng thì phải qui định thời gian bảo hành trong bao lâu?

Bài 3.8. Gọi X là thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay đến lúc trả tiền của khách hàng tại một ngân

hàng. Giả sử X~N(18,16). Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền lại cho ngân hàng: a) trong khoảng 13 tháng

đến 25 tháng; b) ít hơn 8 tháng; c) không ít hơn một năm; d) Với khoảng thời gian tối thiểu là bao

nhiêu để có 99,5% khách hàng trả tiền lại cho ngân hàng.

Bài 3.9. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án trong năm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Theo

đánh giá của Ủy ban đầu tư thì khả năng đầu tư vào dự án cho lãi suất cao hơn 20% là 15,87% và

khả năng cho lãi suất cao hơn 25% là 2,28%.

a) Tính khả năng đầu tư vào dự án có lãi suất trên 15%.

b) Tính khả năng đầu tư vào dự án bị lỗ.




Bài 3.10. Tuổi thọ của một loại động cơ có phân phối chuẩn trung bình 10 năm và độ lệch tiêu chuẩn

2 năm. Nhà sản xuất sẽ thay thế động cơ hỏng trong thời gian bảo hành. Thời gian bảo hành sẽ là

bao nhiêu nếu nhà sản xuất chỉ muốn thay thế 3% động cơ trong thời gian này.

Bài 3.11. Thời gian ông A đi làm hàng ngày từ nhà đến cơ quan có phân phối chuẩn trung bình 24

phút, độ lệch tiêu chuẩn 3,8 phút.

a) Tính xác suất ông A đi làm tối thiểu mất nửa giờ.

b) Nếu buổi sáng cơ quan làm việc lúc 7giờ 30 nhưng ông ta rời nhà lúc 7giờ 15 phút thì khả năng

ông ta bị trễ giờ là bao nhiêu.

c) Nếu buổi sáng ông ta rời nhà lúc 7 giờ và dự định ăn sáng tại căn tin cơ quan từ 7 giờ 20 phút

mất 10 phút để bắt đầu làm việc lúc 7 giờ 30 phút thì khả năng ông ta không kịp ăn sáng là bao

nhiêu.

d) Tính xác suất trong một tuần ông ta đi làm 5 lần, có ít nhất một lần thời gian đi mất hơn nửa giờ.

Bài 3.12. Một nhà đầu tư dự định đầu tư vào cổ phiếu của ngân hàng A hay ngân hàng B nhưng phải

đảm bảo lợi nhuận tối thiểu là 10%. Giả sử lợi nhuận đầu tư (đơn vị %) vào cổ phiếu của A là biến

ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 14 độ lệch tiêu chuẩn 2; của B là biến ngẫu nhiên có phân

phối chuẩn trung bình 13 độ lệch tiêu chuẩn 1. Theo bạn nhà đầu tư nên đầu tư vào cổ phiếu của

ngân hàng nào.

Bài 3.13. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là X (đơn vị: năm) với X ~ N(4,2; 2,25). Khi bán một bóng

đèn được lãi 100 ngàn đồng, song nếu bóng đèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi

trung bình khi bán mỗi bóng đèn là 30 ngàn đồng thì cần quy định thời gian bảo hành là bao lâu?

Bài 3.14. Số yêu cầu phục vụ tại một một tổng đài có phân phối Poisson với trung bình 4 yêu cầu

trong 1 giờ.

a) Tính xác suất tổng đài có 10 yều cầu trong 2 giờ.

b) Nếu người trực tổng đài phải nghỉ ăn trưa mất 30 phút thì xác suất người đó không bị mất yêu

cầu nào là bao nhiêu. Theo bạn nhiều khả năng nhất có bao nhiêu yêu cầu tổng đài phục vụ trong

khoảng thời gian này.

Bài 3.15. Một trạm cho thuê xe tắc xi có 3 xe. Hàng ngày phải nộp thuế 8 USD cho 1 xe (dù xe có

được thuê hay không). Mỗi chiếc xe được thuê với giá 20 USD. Giả sử yêu cầu thuê xe của trạm là

X có phân phối Poisson với tham số = 2,8.

a) Gọi Y là số tiền thu được trong 1 ngày của trạm (nếu không ai thuê thì bị lỗ là 24 USD). Tìm

phân phối xác suất của Y từ đó tính số tiền trung bình thu được của trạm trong 1 ngày.

b) Giải bài toán trong trường hợp có 4 xe.

c) Trạm nên có 3 hay 4 xe.

Bài 3.16. Mô hình chuyển động giá của một chứng khoán được cho như sau: Giá hiện tại là s, sau

một phiên giao dịch giá sẽ là u.s với xác suất p và là d.s với xác suất 1 p. Sự tăng hay giảm giá của




chứng khoán trong các phiên giao dịch là độc lập. Tính xác suất giá chứng khoán sẽ lên ít nhất 30%

sau 1000 phiên giao dịch nếu u=1,012; d = 0,99; p = 0,52.

Bài 3.17. Tổng doanh số mỗi tuần của một khách sạn là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với

trung bình 2200 USD và độ lệch tiêu chuẩn 230 USD. Tính xác suất:

a) Tổng doanh số của cả 2 tuần sau không vượt quá 5000 USD.

b) Doanh số vượt quá 2000 USD ít nhất 2 trong 5 tuần sau.

Giả sử doanh số từng tuần của một khách sạn là độc lập với nhau.

Bài 3.18. Một loại chi tiết máy được gọi là đạt kĩ thuật nếu trị tuyệt đối sai lệch giữa đường kính của

nó với đường kính thiết kế không quá 0,33mm. Biết đường kính của trục máy là biến ngẫu nhiên có

phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 0,3mm.

a) Tính xác suất lấy ngẫu nhiên 5 chi tiết loại này có 3 chi tiết đạt kĩ thuật.

b) Tính xác suất để trong 100 chi tiết loại này có hơn 80 chi tiết đạt kĩ thuật.

Bài 3.19. Chiều cao của một loại cây lấy gỗ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao

trung bình là 20m và độ lệch tiêu chuẩn là 2,5m. Cây đạt tiêu chuẩn khai thác là cây có chiều cao tối

thiểu là 15m. Hãy tính tỉ lệ cây đạt tiêu chuẩn khai thác. Nếu cây đạt tiêu chuẩn sẽ lãi 100 ngàn

đồng, ngược lại cây không đạt tiêu chuẩn sẽ lỗ 30 ngàn đồng. Người ta khai thác ngẫu nhiên 1 lô 100

cây. Tính tiền trung bình và phương sai của số tiền lãi của lô cây đó.

Bài 3.20. Số điểm của Hùng và Minh chơi Bowling tương ứng có phân phối chuẩn N(170; 202);

N(160; 152). Nếu Hùng và Minh mỗi người chơi một lần và giả sử điểm của họ là độc lập với nhau.

Tính xác suất:

a) Minh cao điểm hơn.

b) Tổng số điểm của họ trên 350.

Bài 3.21. Một kĩ sư xây dựng cho rằng tổng trọng lượng W mà một chiếc cầu chịu đựng được không

bị phá vỡ cấu trúc, có phân phối chuẩn với trung bình 400 và độ lệch chuẩn 40. Giả sử rằng trọng

lượng của một ôtô có trung bình 3 và độ lệch tiêu chuẩn 0,3. Số ôtô trên cầu là bao nhiêu để xác suất

cầu bị phá vỡ cấu trúc vượt quá 0,1 (đơn vị trong bài toán này là tấn).

Bài 3.22. Cho trọng lượng của một trái cây (tính bằng kg) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

Một mẫu điều tra 650 trái cây loại này có 30 trái có trọng lượng dưới 1,8kg và 130 trái có trọng

lượng trên 2,4kg.

a) Tính trọng lượng trung bình và độ lệch chuẩn của trái cây loại này.

b) Những trái cây có trọng lượng dưới 1,8kg là thứ phẩm. Giả sử có một lô gồm rất nhiều trái cây

loại này. Người ta phân loại lô trái cây như sau: Lấy mẫu ngẫu nhiên 20 trái cây từ lô trái cây để

kiểm tra, nếu không có trái thứ phẩm nào thì xếp loại 1; nếu có 1 hoặc 2 trái thứ phẩm thì xếp

loại 2; nếu có hơn 2 trái thứ phẩm thì xếp loại 3. Nhiều khả năng nhất lô trái cây được phân loại

mấy?




Bài 3.23. Lãi suất cổ phiếu của 2 công ti A và B độc lập. Lãi suất cổ phiếu của công ti A có phân

phối chuẩn 2

A AN , với A 12% và A 6% . Lãi suất cổ phiếu của công ti B có phân phối

chuẩn 2

B BN , với B 15% và B 10% . Một người muốn đầu tư 1 tỉ đồng vào cổ phiếu của 2

công ti A và B. Người này nên đầu tư bao nhiêu tiền tương ứng vào cổ phiếu của công ti A và B để

xác suất có lãi là lớn nhất.

Bài 3.24. Nhu cầu hàng tuần về lượng tiền mặt X ( đơn vị: tỉ đồng ) tại một chi nhánh ngân hàng có

phân phối chuẩn 2

1 1N , với 1 1585, 15 . Lượng tiền Y ( đơn vị: tỉ đồng ) chi nhánh này

huy động được trong một tuần có phân phối chuẩn không phụ thuộc vào nhu cầu X. Xác suất để

lượng tiền mặt chi nhánh này huy động được trong một tuần cao hơn nhu cầu là 0,99744. Chi nhánh

này có lãi khi lượng tiền huy động không được không vượt quá 1,3 lần nhu cầu. Xác suất chi nhánh

này có lãi là 0,99861. Tính lượng tiền mặt trung bình chi nhánh này huy động được trong tuần.


2.Phan 2 Xac Suat Stu Edt 1

Documents

Transcript of 2.Phan 2 Xac Suat Stu Edt 1