to hop - xac suat

CHƯƠNG 5:

DẠY HỌC THỐNG KÊ

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Một số bài toán tham khảo

Về tổ hợp

Bài 1: Thầy có 12 quyển sách khác nhau: 5 văn, 4 toán, 3 hóa. Thầy lấy 6

quyển tặng cho 6 học sinh. Hỏi:

a. Có bao nhiêu cách chọn để tặng chỉ có sách văn và toán?

b. Có bao nhiêu cách chọn để khi tặng vẫn còn cả ba loại sách?

Giải:

Lấy 6 quyển sách

a. chỉ có sách văn và toán

5 sách văn và 1 sách toán : 4. 14

55 =CC


45 =CC


35 =CC


25 =CC

Vậy ta có 841040304 =+++ cách chọn.

b. khi tặng vẫn còn cả ba loại sách

Bước 1: giữ lại mỗi loại 1 quyển: 1 1 15 4 3. . 60C C C =

Bước 2: tặng đi

4 2 4 2 4 1 1 3 3 3 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 24 3 4 2 4 3 2 4 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2. . . . . . . . . . . . 80C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C+ + + + + + + =

Vậy có 60 + 80 = 140 cách chọn.

1

Bài 2: Một tốp có 30 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một nhóm

6 người sao cho:

a. Có đúng 2 nữ.

b. Số nam nữ tùy ý.

Giải:

a. Có đúng 2 nữ

Chọn ra 2 nữ trong 15 nữ có 215C

Chọn ra 4 nam trong 30 nam có 430C

Vậy có 2 415 30. 2877525C C = cách chọn.

b. Số nam nữ tùy ý.

Chọn ra 6 trong 15 30 45+ = có 645 8145060C =

Vậy có 8145060 cách chọn.

Bài 3: Từ 1, 2, 3, 4, 5 lập ra các số có 3 chữ số khác nhau. Có thể lập được

bao nhiêu số sao cho:

a. Có đủ cả ba chữ số 1, 3, 5?

b. Phải có mặt chữ số 2?

c. Phải có mặt chữ số 3 và 5?

d. Số đó chia hết cho 5?

Giải:

a. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc

Khi đó: a có 3 cách chọn

b có 2 cách chọn

c có 1 cách chọn

Vậy có thể lập được 6 số có 3 chữ số mà phải có đủ cả ba chữ số 1, 3, 5.

b. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc

2

Ta xét số 2 ở ba vị trí

2a = , chọn b có 4 cách chọn


2b = , chọn a có 4 cách chọn


2c = , chọn a có 4 cách chọn

b có 3 cách chọn

Vậy có 3.4.3 36= số thỏa mãn.

c. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc

35c chọn c có 3 cách chọn, hoán vị 3 và 5 được 2 số mới

3 5b chọn b có 3 cách chọn, hoán vị 3 và 5 được 2 số mới

35a chọn a có 3 cách chọn, hoán vị 3 và 5 được 2 số mới

Vậy tất cả có 3.2.3 18= số thỏa yêu cầu.

d. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc

Số chia hết cho 5 thì 5c = chỉ có 1 cách chọn duy nhất

Chọn a có 4 cách chọn

Chọn b có 3 cách chọn

Vậy có 1.4.3 12= số thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 4: Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà tổng các chử số là số lẻ.

Giải

Gọi số cần tìm 1 2 3 4 5n a a a a a=

Xét các trường hợp:

- Nếu 1 2 3 4a a a a+ + + là số chẳn thì 5 1,3,5,7,9a ∈ có 5 cách chọn 5a

- Nếu 1 2 3 4a a a a+ + + là số lẻ thì 5 0,2,4,6,8a ∈ có 5 cách chọn 5a

Tóm lại 1 2 3 4, , ,a a a a tùy ý ( )1 0a ≠ bao giờ cũng có 5 cách chọn 5a .

3

Vậy có : 9 cách chọn 1a

10 cách chọn 2a

10 cách chọn 3a

10 cách chọn 4a

5 cách chọn 5a

Vậy có tất cả: 39.10 .5 45000=

Bài 5: Từ một nhóm ca sĩ có 3 nam và 5 nữ, cần cử 6 người đi công tác. Hỏi

có bao nhiêu cách lập ra 6 người đó sao cho:

a) Có nữ

b) Có đúng 2 nữ

c) Có cả nữ và nam

d) Có ít nhất 2 nữ

Giải

a) Số cách lập ra 6 người trong đó có nữ:1 5 2 4 3 33 5 3 5 3 5. . . 28C C C C C C+ + =

b) Số cách lập ra 6 người trong đó có đúng 2 nữ:

Chỉ chọn ra 2 đúng 2 nữ mà chỉ có 3 nam nên không thể chọn ra được

ở trường hợp này.

c) Số cách lập ra 6 người trong đó có cả nam và nữ : 68C

d) Số cách lập ra 6 người trong đó có ít nhất 2 nữ:

1 5 2 4 3 33 5 3 5 3 5. . . 28C C C C C C+ + =

4

Bài 6:. Tìm số hạng âm của dãy 4

4

2

143

4n

nn n

Ax

P P+

+

= −

Giải:

Điều kiện: 2

n

n

∈ ≥

¥

Ta có:

( )( )

( ) ( )

( )

44

2

2

4 !143 143

4 ! 2 ! 4 !

3 4 143

! 4 !1

4 28 95!

nn

n n

nAx

P P n n n

n n

n n

n nn

+

+

+= − = −

+

+ += −

= + −

nx âm khi và chỉ khi 24 28 95 0n n+ − <

Suy ra : 5

22

n≤ < hay 2n =

Bài 7: Tìm x thỏa mãn: 4

3 41

24

23x

xx x

A

A A −+

=− .

Giải:

Điều kiện của phương trình 4x ≥ .

Ta có 4

3 41

24

23x

xx x

A

A A −+

=−

!24( 4!)

( 1)! ! 23( 2)! 4!( 4)!

xx

x xx x

−⇔ =+ −− −

( 1)( 2)( 3) 241 23( 1) ( 1) ( 1)( 2)( 3)24

x x x x

x x x x x x x

− − −⇔ =+ − − − − −

23 ( 1)( 2)( 3) 24 ( 1)( 1) ( 1)( 2)( 3)x x x x x x x x x x x⇔ − − − = + − − − − −

5

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 1)x x x x x x x⇔ − − − = + −

( 2)( 3) 1x x x⇔ − − = +

2 6 5 0x x⇔ − + =

1 loai

5

x

x

=⇔ =

Vậy 5x = .

Bài 8: Rút gọn: 1 2

1 1 12

1

p nn n n n

p nn n n

C C C Cp n

C C C− −+ +…+ +…+

Giải:

Ta có : 1

!( )! !

1!

( 1)!( 1)!

pnp

n

nC n p p

p p n pnC

n p p

−−= = − +

− + −

, với mọi 0 p n≤ ≤ . Vì thế

nên

10 0 0 0

( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

2 2

pn n n nnp

p p p pn

C n n n np n p n p n n

C −= = = =

+ += − + = + − = + − =∑ ∑ ∑ ∑

Bài 9: Tìm hệ số của 3x trong khai triển 151

( )xx

+ .

Giải:

Ta có 15 3 1515 15

2 215 15

15

0 0

1( )

k kk k k

k k

C x C xxx

x− −

= =+ = =∑ ∑

Vậy hệ số của 3x là 715C .

6

Về xác suất

Bài 1: Tính xác suất trúng giải nhất, nhì (chỉ sai một số) khi mua vé số gồm

4 chữ số.

Hướng dẫn:

1. A= biến cố để trúng giải nhất.

Không gian mẫu Ω , 410 10000Ω = =

Chỉ có một kết quả để trúng một giải nhất: 1AΩ =

1( ) 0,0001

10000AP A

Ω= = =

Ω

2. B = Biến cố để trúng giải nhì.

Giả sử tờ vé số: abcd .

Để trúng giải nhì thì phải giống nhau 3 chữ số

Khi đó: Tờ vé số giải nhì , , ,abct abtd atcd tbcd

Mỗi trường hợp có 9 khả năng nên ta có: BΩ = 9.4=36 trường hợp để

trúng giải nhì

36( ) 0.0036

10000AP A

Ω= = =

Ω

Bài 2: Tính xác suất khi chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong bộ tulukho 52

quân có 1 bộ.

Hướng dẫn:

Không gian mẫu 552, CΩ Ω =

Gọi A=biến cố chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong bộ tulukho 52 quân có 1

bộ1 113 48. 624A C CΩ = =

7

552

624( ) 0,00024AP A

C

Ω= = ≈

Ω

Bài 3: Cho ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50. Gọi A là

biến cố số được chọn là số nguyên tố, B là biến cố số được chọn bé hơn 4.

Tính ( ) ( )BPAP , .

Giải:

Ta có:

50...,,3,2,1=Ω

47,43,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2=Ω A

3,2,1=ΩB

Suy ra

( ) 3,050

15 ==Ω

Ω= AAP

( ) 06,050

3 ==Ω

Ω= BBP .

Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương bé hơn 9. Tính xác suất để số

được chọn

a/ chia hết cho 3;

b/ là số nguyên tố.

Giải:

Ta có: 8,7,6,5,4,3,2,1=Ω

a/ Gọi A là biến cố “Số được chọn chia hết cho 3”

Ta có:

6,3=Ω A

⇒ ( ) 25,08

2 ==Ω

Ω= AAP

8

b/ Gọi B là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”

Ta có:

7,5,3,2=ΩB

⇒ ( ) 5,08

4 ==Ω

Ω= BBP .

Bài 5: Danh sách lớp được đánh số thứ tự từ 1 đến 30. Hà có số thứ tự là 12.

Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Tính xác suất để Hà được chọn, Hà không được

chọn, bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hà.

Giải:

Ta có: 30...,,3,2,1=Ω

Gọi A , B , C lần lượt là các biến cố “Hà được chọn”, “Hà không được

chọn”, “Bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hà”

Ta được:

12=Ω A

12\Ω=ΩB

11,...,3,2,1=ΩC

Suy ra

( )30

1=Ω

Ω= AAP

( )30

29=Ω

Ω= BBP

( )30

11=Ω

Ω= CCP .

Bài 6: Gieo 2 con súc sắc. Gọi A là biến cố tổng số chấm trên mặt 2 con súc

sắc bé hơn hoặc bằng 7, B là biến cố có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt

9

6 chấm. Hãy mô tả không gian mẫu; hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A,

cho B, tính ( )P A , ( )P B .

Giải:

- Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 , 1,2 ,..., 1,6 , 2,1 , 2,2 ,..., 2,6 ,... 6,6Ω = có 36 phần tử.

- Với A là biến cố tổng số chấm trên mặt 2 con súc sắc bé hơn hoặc bằng 7

khi đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 ,... 1,6 , 2,1 ,..., 2,5 , 3,1 ,..., 3,4 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 5,1 , 5,2 , 6,1AΩ =

có 21 phần tử.

- Với B là biến cố có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm khi đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6,1 , 6,2 ,..., 6,5 , 1,6 , 2,6 ,..., 5,6BΩ = có 10 phần tử.

Vậy ( ) 21 7

36 12P A = = , ( ) 10 5

36 18P B = =

Bài 7: Chọn ngẫu nhiên 5 số tự nhiên từ 1 đến 20. Tính xác suất để cả 5 số

được chọn không lớn hơn 10.

Giải:

Gọi A là biến cố chọn được 5 số không lớn hơn 10. Khi đó ta có 520| | CΩ =

510| |A CΩ =

Vậy 510520

21( )

1292

CP A

C= = .

Bài 8: Chọn ngẫu nhiên 5 số tự nhiên từ 1 đến 199. Tính xác suất để cả 5 số

này:

a) thuộc đoạn [1;99]

b) thuộc đoạn [150;199].

Giải:

10

Gọi A, B lần lượt là biến cố ở các câu a), b). Khi đó ta có:5199| | CΩ =

a) Ta có: 599| |A CΩ = , vậy

5995199

( )C

P AC

= .

b) Ta có: 550| |B CΩ = , vậy

5505199

( )C

P BC

= .

Bài 9: Một chiếc hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên

2 thẻ rồi nhân 2 số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được

là một số chẵn (lẻ).

Giải:

Ta nhận thấy rằng để được tích là một số chẵn thì một trong hai số

phải là số chẵn. Gọi A là biến cố hai thẻ lấy ra đều được đánh số lẻ. Khi đó 25| |A CΩ =

Từ đây ta có: 2529

10( ) 1

36

CP A

C= − = .

Bài 10: Một hộp đựng 4 bi xanh, 3 bi đỏ, 2 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi.

Tính xác suất để hai bi cùng màu.

Giải:

Gọi A là biến cố chọn được hai bi cùng màu

Không gian mẫu: 29

36C =

Số cách chọn 2 bi xanh: 24

6C =

Số cách chọn 2 bi đỏ: 23

3C =

Số cách chọn 2 bi vàng: 22

1C =

Vậy ( ) 6 3 1 5

36 18P A

+ += =

Bài 11: Một máy bay có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác

suất để hai động cơ I, II chạy tốt tương ứng là 0 8, và 0 7, . Tính xác suất để:

11

a) Cả hai động cơ đều chạy tốt

b) Có ít nhất một động cơ chạy tốt

Giải:

Gọi A là biến cố động cơ I chạy tốt

B là biến cố động cơ II chạy tốt

Ta có A , B độc lập, ( ) 0 8,P A = ; ( ) 0 7,P B =

a) Biến cố cả hai động cơ đều chạy tốt: .A B

( ) ( ) ( ) 0 8 0 7 0 56. . , . , ,P A B P A P B= = =

b) Biến cố có ít nhất một động cơ chạy tốt: A B∪

Giả sử ngược lại cả hai động cơ đều không chạy tốt

Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0 2 0 3 0 94. . , . , ,P A B P A B P A P B∪ = − = − = − =

Bài 12: Gieo 3 đồng xu cân đối . Tính xác suất để :

a) Cả 3 đều xuất hiện mặt sấp.

b) Có ít nhất 1 sấp.

c) Có đúng 1 sấp.

Giải:

a) Gọi Ai là biến cố “ Đồng xu thứ i sấp” (i=1,2,3), ta có 2

1)( =iAP . Các biến

cố 321 ,, AAA độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

8

1)().().()( 321321 == APAPAPAAAP

b) Gọi H là biến cố “ Có ít nhất 1 đồng xu sấp” . Biến cố đối của biến cố H

là H : “ Cả 3 đồng xu đều ngửa” . Tương tự như câu a ta có 8

1)( =HP . Vậy:

8

7

8

11)( =−=HP

12

c) Gọi K là biến cố “ Có đúng 1 đồng xu sấp”.

Ta có: 321321321 AAAAAAAAAK ∪∪=

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

)()()()( 321321321 AAAPAAAPAAAPKP ++= .

Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

8

1)().().()( 321321 == APAPAPAAAP

Tương tự: 8

1)()( 321321 == AAAPAAAP

Từ đó: 8

3)( =KP

Bài 13: Xác suất bắn trúng mục tiêu của 1 người bắn cung là 0,2. Tính xác

suất để trong ba lần bắn:

a) Có đúng 1 lần trúng mục tiêu.

b) Có ít nhất 1 lần trúng mục tiêu.

Giải:

a) Gọi Ai là biến cố “ Người bắn cung bắn trúng mục tiêu ở lần bắn thứ i”

(i=1,2,3), ta có 2,0)( =iAP .

Gọi K là biến cố “Trong ba lần bắn có duy nhất 1 lần người bắn

cung bắn trúng mục tiêu” , ta có:

321321321 AAAAAAAAAK ∪∪=

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

)()()()( 321321321 AAAPAAAPAAAPKP ++= .


128,08,0.8,0.2,0)().().()( 321321 === APAPAPAAAP

Tương tự: 128,0)()( 321321 == AAAPAAAP

Từ đó: 384,0128,0.3)( ==KP

13

b) Gọi H là biến cố “Trong ba lần bắn, người bắn cung bắn trúng mục tiêu ít

nhất 1 lần” . Biến cố đối của biến cố H là H : “ Cả ba lần bắn, người bắn

cung bắn không trúng mục tiêu”.

Ta có: 321 AAAH =


512,08,0.8,0.8,0)( 321 ==AAAP

Vậy: 488,0512,01)(1)( =−=−= HPHP

Bài 14: Gieo 2 đồng xu: A cân đối, B không cân đối . Xác suất xuất hiện

mặt sấp của B là 3/4. Tính xác suất để :

a) Khi gieo 2 đồng xu cùng một lần thì cả hai ngửa.

b) Khi gieo 2 đồng xu hai lần thì cả 2 lần hai đồng xu cùng ngửa.

Giải:

Gọi A1 là biến cố “ Đồng xu A sấp”, A2 là biến cố “ Đồng xu A ngửa”,

B1 là biến cố “ Đồng xu B sấp”, B2 là biến cố “ Đồng xu B ngửa”.

Theo bài ra ta có:

;25,0)(;75,0)(;5,0)()( 2121 ==== BPBPAPAP

a) A2 B2 là biến cố “Khi gieo 2 đồng xu cùng một lần thì cả hai đồng xu A

và B đều ngửa”. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

8

125,0.5,0)( 22 ==BAP

b) Gọi H1 là biến cố “Khi gieo 2 đồng xu lần đầu thì cả 2 lần hai đồng xu

cùng ngửa”, H2 là biến cố “Khi gieo 2 đồng xu lần 2 thì cả 2 lần hai đồng xu

cùng ngửa”. Khi đó H1H2 là biến cố “Khi gieo 2 đồng xu hai lần thì cả 2 lần

hai đồng xu cùng ngửa”.

Theo câu a, ta có:

14

8

1)()( 21 == HPHP


64

1

8

1.

8

1)()()( 2121 === HPHPHHP

Bài 15: Trong một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án và

chỉ có một phương án đúng. Tính xác suất khi chọn ngẫu nhiên mà không

đúng được câu nào.

Giải:

Gọi A là biến cố “trả lời sai toàn bộ”. Theo quy tắc công và nhân xác suất để

không chọn đúng được câu nào là

( )10

012

30,006

5P A C = ≈

Bài 16: Chọn ngẫu nhiên 7 số tự nhiên từ 1 đến 200. Tính xác suốt để cả 7

số này thuộc đoạn [51;200]

Giải:

Chọn tùy ý ta có: 7200CΩ = cách chọn

Gọi B là biến cố “ chọn được 7 số thuộc đoạn [51;200]”

Khi đó 7150B CΩ = cách chọn

Vậy ( )71507200

0.1288C

P BC

= ≈

Bài 17: Có hai hộp đựng thẻ, mỗi hộp đựng 12 thẻ được đánh số từ 1 đến

12. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên 1 thẻ. Tính xác suất để trong hai thẻ đó có ít

nhất 1 thẻ số 12.

Giải:

15

Rút ngẫu nhiên từ 2 hộp ta có 224CΩ = cách rút

Gọi C là biến cố “ rút được ít nhất 1 thẻ số 12”

Gọi C′ là biến cố “ không rút được thẻ số 12”

Khi đó 1 111 11. 121C C C′Ω = =

Suy ra 2 1 124 11 11. 132C C C CΩ = − =

Vậy ( ) 1320,478

276CP C

Ω= = ≈Ω

Bài 18: Cho P(A) = 0,3, P(B) = 0,4, P(AB) = 0,2. Hỏi A, B có xung khắc

hay không? Có độc lập không?

Giải:

• Vì P(AB)=0,2 0≠ nên A và B không xung khắc.

• Vì P(AB) P(A)P(B)≠ nên A và B không độc lập.

Bài 19: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 1000. Tính xác suất để

a) Số đó chia hết cho 3

b) Số đó chia hết cho 5

Giải:

a) Gọi số tự nhiên được chọn có dạng

( ) ( 1,2,...,9 ; , 0,1,...,9 ; 3)abc a b c a b c∈ ∈ + + M

b) Gọi số tự nhiên chia hết cho 5 có dạng

( 1,2,...,9 ; 0,1,...,9 ; 0;5 )xyz x y z∈ ∈ ∈

TH1: 0z =

* x Có 9 cách chọn

* y Có 10 cách chọn

Suy ra có 90 số

16

TH2: 5z =

* x có 9 cách chọn

* y có 10 cách chon

Suy ra có 90 số

Vậy có 180 số cần tìm.

Gọi A là biến cố “chọn được số tự nhiên bé hơn 1000 và chia hết cho 5”.

Ta có 1000Ω = , 180AΩ = suy ra 180

P(A) = 0,181000

AΩ= =

Ω

Bài 20: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ tứ lơ khơ.

a) Tính xác suất để 5 quân đó là: 2 rô, 3 pích, 6 cơ, 10 nhép.

b) Tính xác suất để 5 quân bài đó có ít nhất một quân át.

Giải:

a) Sai đề

b) Gọi B là biến cố chọn được như câu b).

B’ là biến cố chọn 5 quân bài trong đó không có quân bài át

B và B’ là 2 biến cố xung khắc.552 '2598960, 376992BCΩ = = Ω =

' 376992P(B') = 0,145

2598960BΩ

= =Ω

P(B) = 1 - P(B') = 0,855⇒

Câu hỏi và bài tập

Bài 3: Trả lời những câu hỏi sau:

a/ Thế nào là hai tổ hợp khác nhau?

17

Trả lời: Hai tổ hợp khác nhau khi và chỉ khi có một phần tử của tổ hợp

này không là phần tử của tổ hợp kia.

b/ Thế nào là hai chỉnh hợp khác nhau?

Trả lời: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần

tử của chỉnh hợp này mà không là phần tử của chỉnh hợp kia, hoặc các phần

tử của hai chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

c/ Giải thích hai tính chất cơ bản bằng suy luận dựa vào số tập con của một

tập hợp?

Trả lời

… Chứng minh: −=k n k

n nC C

Gọi knC là số tập con của A có k phần tử.

Gọi ( )kC A là tập hợp tất cả các tập con của A có đúng k phần tử.

( ) ( ): k n kf C A C A−→

( )X f X AX=a là song ánh.

Suy ra ( ) ( )k n kC A C A−= do đó k n kn nC C −=

Chứng minh: 11

−+ = +k k k

n nnC C C (1)

- Với 1k = thì (1) đúng.

- Với 1k > xét tập hợp A có 1n + phần tử

1 2 1, ,..., nA a a a +=

- Gọi X là họ các tập con của A có k phần tử.

Y là họ các tập con của A có k phần tử mà không chứa 1na + .

Z là họ các tập con của A có k phần tử có chứa 1na + .

Ta có: X Y Z= ∪ và Y Z∩ = ∅ suy ra X Y Z= + .

Mà 1

kn

kn

X C

Y C

+=

=

18

Với mỗi B Z⊂ bỏ đi phần tử 1na + ta được *B có 1k − phần tử của

'1 2, ,..., nA a a a= . Ngược lại, lấy 'B có 1k − phần tử của 'A và thêm 1na + thì ta

được tập con B của Z .

Vậy 'B B→ là song ánh giữa các tập hợp của Z và các tập hợp của 'Z

gồm 1k − phần tử lấy trong '1 2, ,..., nA a a a= . Suy ra ' 1k

nZ Z C −= = .

Vậy 11

k k kn n nC C C −

+ = + .

d) Bản chất toán học của quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bản chất toán học của qui tắc cộng, qui tắc nhân.

Qui tắc cộng: Nếu có 1m cách chọn đối tượng 1x , 1m cách chọn đối tượng 2x ,

…, nm cách chọn đối tượng nx , và nếu cách chọn đối tượng ix không trùng

với bất kì cách chọn đối tượng jx nào ( i j≠ , , 1, ,i j n= … ), thì có

1 2 nm m m+ +…+ cách chọn đối tượng 1x hặc 2x , hoặc 3x , …, hoặc nx .

Gọi 1A là tập hợp các đối tượng 1x , 2A là tập hợp các đối tượng 2x ,…,

nA là tập hợp các đối tượng nx . Mỗi cách chọn đối tượng ix ứng với một

phần tử của iA và đảo lại. Điều kiện “cách chọn đối tượng $x_i$ không

trùng với bất kì cách chọn đối tượng jx ( j i≠ ) nào” được diễn tả theo ngôn

ngữ tập hợp bằng điều kiện : i jA A∩ = ∅ ( i j≠ ; , 1,2,...,i j n= ). Cách chọn “ 1x

hoặc 2x hoặc 3x ….hoặc nx ” được phiên dịch thành cách chọn một phần tử

tập của hợp 1 2 3 ... nA A A A∪ ∪ ∪ ∪ . Các số 1 2 3, , ,..., nm m m m theo thứ tự là số phần

tử của tập hợp 1 2 3,, , , nA A A A… , tức là, theo cách kí hiệu quen thuộc, 1 1( )m n A= ,

2 2( )m n A= , 3 3( )m n A= ,…, ( )n nm n A= .

Như vậy, theo ngôn ngữ tập hợp, quy tắc cộng được diễn tả bằng đẳng

thức sau:

19

Cho các tập hợp hữu hạn 1A , 2A , 3A , …, nA với số phần tử theo thứ tự

là 1( )n A , 2( )n A , 3( )n A , … , ( )nn A sao cho ( , , 1,2,..., )i jA A i j i j n∩ = ∅ ≠ = . Thế

thì ta có

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nn A A A A n A n A n A n A∪ ∪ ∪…∪ = + + +…+

Qui tắc nhân: Nếu có 1m cách chọn đối tượng 1x , sau đó, với mỗi cách chọn

1x như thế, có 2m cách chọn đối tượng 2x , sau đó, với mỗi cách chọn 1x và

2x như thế, có 3m cách chọn đối tượng 3x ,… cuối cùng với mỗi cách chọn 1x

, 2x , 3x , …, 1nx − như thế, có nm cách chọ đối tượng nx , thì có 1 2 3... nm m m m

cách chọn đối tượng “ 1x rồi 2x rồi 3x ….rồi nx ”.

Với các kí hiệu như trong quy tắc cộng, chọn một đối tượng “ 1x rồi 2x

rồi 3x ….rồi nx ” tức là chọn một phần tử của tích Đề các 1 2 3 ... nA A A A× × × × .

Như vậy, theo ngôn ngữ tập hợp, quy tắc nhân được diễn tả bằng thức

sau:

Cho các tập hợp hữu hạn 1A , 2A , 3A , …, nA với số phần tử theo thứ tự

là 1( )n A , 2( )n A , 3( )n A , … , ( )nn A . Thế thì ta có

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )... (... )n nn A A A A n A n A n A n A× × × × =

e) Định nghĩa chỉnh hợp một cách chặt chẽ về mặt toán học như thế nào?

6. Hướng dẫn học sinh khám phá ra nhị thức Niu – tơn

Yêu cầu HS:

- Bước 1: Nhắc lại các hằng đẳng thức (a+b)2 và (a+b)3 mà các em đã

được học.

(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

20

- Bước 2: Xác định hệ số của các hằng đẳng thức trên.

(a+b)2 = a2+2ab+b2

1 2 1

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

1 3 3 1

- Bước 3: Nhận xét số mũ của a và b trong khai triển (a+b)2 và (a+b)3

- Bước 4: Tìm mối liên hệ giữa hệ số của khai triển và tổ hợp ( 02C , 1

2C ,

22C ,…)

- Bước 5: Phân tích công thức (a+b)n có bao nhiêu số hạng. Chú ý, tổng

số mũ của a và b, hệ số của a và b theo C kn .

- Bước 6: Khai triển hằng đẳng thức (a+b)n theo hệ số C kn vừa tìm ở

bước 5. Dẫn đến hình thành công thức nhị thức Niu – tơn.

8. Đánh giá các lời giải sau, phân tích các sai lầm (nếu có):

Bài 1: Có 5 quân bài khác nhau, gồm 2 quân cơ và 2 quân nhép. Rút ra 2

quân bài cùng một lúc trong 4 quân bài đó. Tính xác suất rút được 2 quân

cùng chất (cùng là cơ hoặc cùng là nhép).

Giải:

Ở đây không gian mẫu gồm hai khả năng: hai quân rút ra đồng chất. Từ đó

suy ra xác suất rút được hai quân cùng chất là: 1

2.

Nhận xét: Trong lời giải trên đã xác định không gian mẫu sai, không gian

mẫu đúng phải là rút ra được hoặc hai quân nhép, hoặc hai quân cơ, hoặc

một quân nhép và một quân cơ. Khi đó xác suất rút được hai quân cùng chất

bằng 2 22 2

24

1

3

C C

C

+ = .

21

Bài 2: Có ba loại quà tặng: 3 bút bi khác nhau, 2 chiếc ô khác nhau, 2 chiếc

bấm móng tay khác nhau. Có bao nhiêu cách tặng các quà đó cho 2 người,

sao cho mỗi người đều có quà và mỗi loại còn đúng một thứ?

Giải:

Ta chia làm 2 công đoạn:

Công đoạn thứ nhất: giữ lại mỗi loại 1 thứ . Công đoạn này có 3 công đoạn

nhỏ: giữ lại 1 bút bi, rồi giữ lại 1 chiếc ô, cuối cùng giữ lại 1 chiếc bấm

móng tay. Có 13C cách chọn 1 bút bi, có 1

2C cách chọn 1 chiếc ô, có 12C cách

chọn 1 chiếc bấm móng tay. Vậy công đoạn thứ nhất có 1 1 13 2 2. .C C C cách. Sau

công đoạn này còn 4 thứ.

Công đoạn thứ hai: Trong 4 thứ còn lại, lấy ra 2 thứ cho 2 người có 24C cách;

còn 2 thứ, hoặc giữ lại tất cả, hoặc tặng tất cả cho 1 người , hoặc tặng tất cả

cho 2 người, hoặc giữ lại 1 tặng 1, có 7 cách.

Vậy có tất cả là 1 1 1 23 2 2 47 . .C C C C cách.

Nhận xét: Lời giải trên là đúng nhưng ở công đoạn 2 chưa phân tích rõ các

chọn. Ta có thể diễn giải lại như sau: Trong 4 thứ còn lại, lấy ra 2 thứ cho 2

người có 24C cách; còn lại 2 thứ ta có các trường hợp như:

- Trường hợp 1: giữ lại tất cả chỉ có 1 cách.

- Trường hợp 2: tặng tất cả cho 1 người có thể tặng tất cả cho người thứ

nhất hoặc tặng tất cả cho người thứ hai nên có 2 cách tặng.

- Trường hợp 3: tặng tất cả cho 2 người có 2 cách tặng.

- Trường hợp 4: giữ lại 1 tặng 1 có 2 cách.

Vậy có tất cả là 1 1 1 23 2 2 47 . .C C C C cách.

Bài 9: Đề xuất một số bài toán có lời giải sai lầm về Tổ hợp – Xác suất.

Đề xuất các bài toán sau:

22

a) Bài toán 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp cho ba người lên hai xe ?

Lời giải bài toán 1: Bài toán tương đương với bài toán đã cho là sắp xếp

hai xe cho 3 người, nên có A23 cách.

Lời giải trên sai vì: cách chọn xe cho 3 người khác nhau với cách sắp xếp

3 người lên 2 xe.

b) Bài toán 2: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối, đồng chất hai

lần. Tính xác suất của biến cố tổng số chấm xuất hiện trên mặt con súc

sắc hai lần là 8.

Lời giải bài toán 2: Tổng số chấm xuất hiện trên mặt của con súc sắc hai

lần chỉ có thể là 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 nên không gian mẫu của

phép thử này gồm có 11 kết quả đồng khả năng. Trong đó chỉ có 1 kết

quả cho tổng là 5 nên xác suất của biến cố này là 1/11.

Lời giải trên sai vì: Học sinh hiểu không đúng về không gian mẫu.

Không gian mẫu là tập hợp bao gồm tất cả các kết quả có thể có của phép

thử. Kết quả của phép thử ở đây là con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt nào,

con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt nào, chứ không phải là tổng số dấu

chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc. Trong trường hợp này không

gian mẫu của phép thử có 36 phần tử, trong đó số kết quả thuận lợi cho

biến cố này là 5, nên có xác suất là 5/36.

10. Hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải các bài toán sau.

Bài 2: Trên giá có 2 đĩa VCD ca nhạc khác nhau và 4 đĩa VCD phim khác

nhau. Có mấy cách lấy ra 6 đĩa VCD sao cho trong đó có:

a/ đúng 2 đĩa VCD ca nhạc?

b/ cả hai loại VCD: ca nhạc và phim?

c/ 2 đĩa VCD ca nhạc?

Giải:

23

a/ Hỏi học sinh muốn lấy 2 đĩa VCD ca nhạc trong 5 đĩa VCD ca nhạc

khác nhau ta sử dụng công thức nào?

( lấy 2 đĩa VCD ca nhạc trong 5 đĩa VCD ca nhạc khác nhau 25C )

Sau khi lấy 2 đĩa VCD ca nhạc, thì cần lấy mấy đĩa VCD phim nữa?

( Lấy 4 đĩa VCD phim trong 4 đĩa VCD phim khác nhau: 44C )

Và sau khi lấy VCD ca nhạc, VCD phim rồi ta sử dụng quy tắc cộng

hay quy tắc nhân?

( Quy tắc nhân: 44

25 .CC )

Kết quả: 10 cách.

b/ Muốn lấy 6 đĩa VCD trong 5 đĩa VCD ca nhạc và 4 đĩa VCD phim

sao cho trong đó có cả 2 loại ta lấy như thế nào?

( Ta chỉ cần lấy 6 đĩa VCD trong (5+4) đĩa VCD thì luôn có cả 2 loại)

Như vậy ta sẽ sử dụng công thức nào?

( 69C )

Kết quả: 84 cách.

c/ Lấy 6 đĩa VCD mà trong đó có 2 đĩa VCD ca nhạc (có ít nhất 2 đĩa

VCD ca nhạc) sẽ có những trường hợp nào?

Có 4 trường hợp:

+ TH1: 2 đĩa VCD ca nhạc, 4 đĩa VCD phim




Trong mỗi trường hợp ta sẽ làm như thế nào?

(Thực hiện tương tự câu a)

Sau đó ta sử dụng quy tắc gì?

(Quy tắc cộng)

24

Kết quả: 84.... 14

55

24

45

34

35

44

25 =+++ CCCCCCCC cách.

Bài 3: Có 2 hộp đựng thẻ, mỗi hộp đựng 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Từ

mỗi hộp rút ngẫu nhiên 1 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 2 thẻ:

a/ bằng 10

b/ không nhỏ hơn 3.

Giải:

a/

Gọi Ω là không gian mẫu; A, B lần lượt là biến cố câu a, b

Muốn tính xác suất ta sử dụng công thức nào?

( ( )Ω

Ω= AAP )

Hãy xác định số phần tử của không gian mẫu, của biến cố

( 1,255.5 =Ω==Ω A )

Thế vào công thức ta được

( ) 04,025

1 ==Ω

Ω= AAP .

b/

Ta xét các trường hợp của biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ nhỏ hơn

3”?

(Học sinh sẽ tìm được trường hợp ( ) ( ) ( )1;2,2;1,1;1 )

3=Ω⇒B

Tìm xác suất của B

( ( )25

3=Ω

Ω= BBP )

Sử dụng công thức nào liên quan giữa ( )BP và ( )BP ?

( ( ) ( )BPBP −= 1 )

25

Vậy

( ) ( ) 88,025

22

15

311 ==−=−= BPBP .

26

to hop - xac suat

Documents

Transcript of to hop - xac suat