1. ndiceLGEBRA - 2 do AO DE SECUNDARIA Pg.T E M A1 Teoria de exponentes................................................................................. 2T E M A2 Expresione algebraicas............................................................................... 10T E M A3 Polinomios................................................................................................. 18T E M A4 Operaciones con expresiones algebraicas.................................................... 30T E M A5 Productos Notables....................................................................................38T E M A6 Division Algebraica.....................................................................................48T E M A7 Cocientes Notables..................................................................................... 63T E M A8 Factorizacin.............................................................................................72T E M A9 Fracciones Algebraicas............................................................................... 85T E M A 1 0Relaciones Binarias.................................................................................... 100T E M A 1 1 Teoria de Ecuaciones.................................................................................. 115T E M A 1 2Inecuaciones............................................................................................. 139T E M A 1 3Funciones.................................................................................................. 150T E M A 1 4 Miscelaneas............................................................................................... 171

2. lgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI TEMA N 01: TEORA DE EXPONENTESCapacidades: Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar pasoa la solucin de ejercicios mediante reglas prcticas de exponentes. Aplica leyes bsicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones. Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y as llegar a la resolucin de una ecuacinexponencial.Desarrollo del Tema: POTENCIACINExponente(Base)= POTENCIAEjemplos:1) 27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 1287 veces2) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 5 veces3) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 =6 vecesEn general: an = a . a . a . a . a n vecesLEYES QUE RIGEN LOS EXPONENTES1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- Para tal efecto se escribe la mismabase y como exponente la suma de los exponentes.As:am . an = am+nEjemplos:1) x5 . x7 = x122) x8 . x6 . x-3 . x-8 . x12 =3) 2m+3 . 2m+4 . 24-2m = 3. EcuacinSegundo Ao2. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- En este caso se escribe la mismabase, y como exponente la diferencia de los exponentes. amAs: n = a mn aEjemplos: x82 m +31) = x5 3)= 2 m3 3 x x 125 x + 2 .5 x + 32)= 4)= x 3 5 2 x +13. EXPONENTE CERO.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero es igual a launidad.As: a0 = 1 ; donde: a 0Ejemplos: 00 0 3 4 + 5 7 + 89 = =01) 5 7 = 51 = 53)902) 42 =4. EXPONENTE NEGATIVO.- Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponentenegativo es igual a una fraccin cuyo numerador es 1, cuyo denominador es igual a lamisma expresin, pero con exponente positivo.1As: a n =, donde: a 0anEjemplos:3 1 11) x =3)= x3x2a22) 2-1 = 4)=b4 a 35)= b 55. POTENCIA DE UN PRODUCTO.- Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia.As: (a.b)n = an . bnProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velsquez3 4. lgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: 1) (a . b)5 = a5 . b53) x4 y4 = 2) (3 x =) 24) 3 x .2 x 6x=6. POTENCIA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia.na a As: = m ; b0b b Ejemplos:4xx4 x7 1) = 4 y 3)= yy73 38n 2) 4)=5 2n7. POTENCIA NEGATIVA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se invierte el cociente y el exponente se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior. nnabbn As: = = nbaa Ejemplos:22 2 3452 41 11 1) = = 3) + + =25 25 2 3 531 2) =58. POTENCIA DE POTENCIA.- Para realizar esta operacin se escribe la misma base y se eleva a un exponente igual al producto de exponentes. As: (a )m n= am n Ejemplos:( ) 1) x 24= x83) [( x ) ]3 45= 2) (x-3)-4 =4) (x-2)5 ={}s OBSERVACIN: ( a m ) n r = a m.n .r . s 5. Ecuacin Segundo Ao9. RAZ DE UNA POTENCIA.- Para extraer la raz de una potencia, se escribe la mismabase y como exponente, el cociente del exponente de la potencia entre el ndice del radical. mAs:nam = a nEjemplos:101) 5 x 10 = x5 = x23) X6 4=2) 3 4X 48 =OBSERVACIN: m n s r a = mnrs a10. EXPONENTE FRACCIONARIO.- Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario esigual a una raz cuyo ndice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuyacantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador delexponente fraccionario.mAs:a n= n amEjemplos: 11) 83=3 8=2 3) a3/52) 642/34) 1251/3 =11. RAZ DE UN PRODUCTO.- Para efectuar, se extrae la raz de cada factor.As:nab = n a .n bEjemplos:1) 5 x 10 y 25 = 5 x 10 .5 y 25 = x 2 . y 53) 3125.212 =2) 7 xy =4) 532.243 =12. RAZ DE UN COCIENTE.- Se extrae la raz del numerador y del denominador.a naAs:n=b nbProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velsquez5 6. lgebraI.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: x 205 x 20x4 16 1) 5 == 2) 4 = y 355 y 35y7 62513. INTRODUCCIN DE UN FACTOR EN UN RADICAL.- Se multiplica el exponente del factor por el ndice del radical y a esto se le afecta del radical. As: a p n b = n a pn b Ejemplos: 1)x 2 5 y = 5 x 2.5 y = 5 x 10 y4) 23 5 = 2) x 5 3 y 2 =5) x y = 3) 2 2 =6) 54 2 = PRCTICA DE CLASEResuelve:1. E=2n+2 + 2n+3. 6. Resuelve: a) 4 b) 4n+5 c) 42n+5d) 24n e) 12.2n 2 n 1A=2 n 32. Simplifica: a) 2b) 4c) 8d) 1/2 e) 1/43 n +1 + 3 n + 2 + 3 n +3 Q= 3 n +1 7. Reduce: a) 39 b) 6 c) 27 d) 13e) N.A.3 n 1 + 3 n 2M = 3 n43. Calcula:a) 36b) 3 c) 12d) 27e) N.A.2 n 2E=2 n 38. Simplifica:a) 2b) 4c) 8d) e) (a 4 b 3 c)(a 5 b 2 c 3 )(a 6 b 9 c 5 )(a 8 c 7 )E=(ab)(a 2 b 2 )(a 3b 3 )(a 4 b 4 )(ac 15 )4. Reduce: a) abb) acc) bc d) abce) N.A. E=(2a4b5) (5a5b6) (6a6b7) (axaxxa)9. Reduce: (bxbx.xb) (n-15) veces 5.2 n + 2 2 n + 4 6.2 n 1 (m-18) veces E= a) 60 b) 60abc) 60anbm 2n d) 60ambn e) N.A. a) 0 b) 1c) 2 d) e) N.A.5. Reduce: Q=(x xx +xx x + x x + 2 x + x x +3 x x x )x10. Simplificar:1 2 1L = ( 2 3 ) 9 + 16 4 2 1 1 / 2 x x + x 2 x + x 3x4 a) x b) x-1c) 0d) 1e) N.A. 7. Ecuacin Segundo Aoa) 4 b) -4c) 2/5 d) 5/2e) -2/5 2 n+ 2nn+222 2n+n11. Reduce: 1 111 1 11a) n2 n 1 b) n2 c) d) n4e) N.A. n 1 2 12 1 2 12. 1 2 . 124 2 22a) b) 1c) -1/16d) 1/16 e) -1/219. Calcula el valor de:216 .35 3.80 3E= 4 9 2 E=12. Simplifica: 15 .14 .303 n .3 3 n.3+ 2 E=n 620. Efecta: 81a) 1/3 b) 3c) 81d) 9 e) N.A. 15 6 .12 4 .5 9 .6 3E=1011.313.5 413. Reduce: a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 6 1/ n n+ 1 9 4 3.3 n21. Simplifica: E= 3 3n a a a a .16 aa) 3 b) 9c) 27d) 1 e) N.A.a) ab) 16a 15 c) a2 d) 8a7 e) 122. Reduce:14. Simplifica: 81+ n 2n 1x y x281 n3 5Q= 729.8 3y x y2a) 27b) 17c) 29 d) 8e) N.A. xy x a)b)c) 5 yx y15. Calcula el valor de:2 x + 4 + 32(2 x 2 )y x2 d) 5e) 52 x+5 2(2 x + 3 ) 4( 2 x +1 ) 6(2 x 1 )x y216. A qu es igual :2 n+21 23. nn+ 2Q= 2 7 a3 3 a a 2 2n+ 4a) a b) a2c)21 a d)21a2 e) N.A.a) 4 b) 2 c) 1 d)n 2e) n 2 n +117. Halla el valor de la expresin: 2x 3 2x 3 2x 3( )24. 320 n +1x3 x E= n E=4 n+2 + 2 2n+2a)864x 7 b)8128x 5c) 4 64x 718. Simplifica:d)4128x 7e) N.A.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velsquez7 8. lgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI25. Realiza:2 m +3.4 m + 2 n m 1 29. 24 m 12 m + 15 m 9 m 2 .16 n + 2 4mm 2 2 + 10 3ma) 1b) 2 c) 3d) -2 e) -11 a) 3 b) 2 c) 2/3d) 1,5 e) 130. 2226. Resuelve: a) 3 b) 4 c) 2d) e) -1/2 6(6) a + 4(4) a 5 n 1 + 2 n 1a +131.n 1 3(3) a + 2(2) a 51 n + 21 na) -2 b) 2 c) 1d) e) N.A.a) 8b) 10c) 12d) 14e) N.A.a nbn + a ncn + bncn27. n a n + b n + c n 32.ax a x 2a x 8aa) ab b) acc) bc d) abc e) N.A. a) x2 b) x3c) x4d) x5 e) N.A.4 0.528. 27 9 33. Calcula: 8 2 7 32 7a) 2b) -2 c) d) -1/2 e) N.A.31+ + 1 3 33 3a) 2 b) 3 c) 4d) 1e) -1PRCTICA DOMICILIARIA1. Resuelve:5775a) b)c)d)e) -72 x +2 + 2 x +3 75 57E= 2 x+25. Reduce:a) 3b) 4 c) 2x+3d) 12 e) N.A. [ ] nM = (x) n m 1 / mm 1( n +1) x1 + + n x 2n2. Simplifica: n 5.2 n + 2 2 n 4 6.2 n 1 a) x b) x2c) 0d) 1 e) -1E= 2 n 16. Resuelve:a) 1b) 2c) 4d) 0 e) N.A.2 1 8 1 10 2 2 3 E = + 10 + 3 3. Simplifica: 21 3.2 1 + 2.3 1Q=a) 4 b) c) 2 d) e) N.A.3.2 1 2 x3 113 1357. Simplifica:a) 13 b) 15c) d)e) 65 13a b 1 x ( a c ) . b a x ( b c ) 14. Reduce:E=1c an 1n 2 x ( b c )2.3 + 3E=a) xabb) 1c) xacd) xae) xb3 n 2 6.3 n 3 9. EcuacinSegundo Ao8. Reduce: ( 13 ) 1 2 [] 1 1 1 2/3(a ) m /( m + n ) aaQ = n aman nE = + m aa .3 ( xy ) 1 / 2 x ya) a b) anc) am d) 1 e) 0 Sabiendo que: x+y=-19. Reduce:a) 1b) -1 c) 8 d) 0 e) N.A. 216. Calcula:A = 2 .2 2 2 22 m + 3.4 m + 2 nE=a) 2 b) c) 0d) 1 e) N.A.8 m 2 .16 n + 2a) 1 b) 2 c) 4d) 8e) 2.21/210. Resuelve:17. Simplifica:nxn. xn1 136 n 3n .( x ) x 1 + y 1x . x x 1 . y 1a) x-nb) xn c) xd) 1e) N.A.a) x-y b) x+y c) y-xd) x y e) N.A.11. Simplifica:18. Calcula: 3 n a + 2 n 1 n 1 2 n a + 1E= n 1 + 2 n + 4 2(2 n ) 31n + 21 n 21 n + 1 Q=2(2 n + 3 )a) 6 b) 7 c) 8 d) 2 e) N.A. a) 8/7b) 7/16 c) 7/8 d) -7/8e) N.A12. Simplifica: [Q = ( 64 ) 1 / 3+ (32) 3 / 5 ] 1 / 3 19. Simplifica:6 n + 10 n + 15 na) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) N.A. M =n2 n + 3 n + 5 na) 2 b) 3c) 5d) 6 e) 3013. Reduce: n n 20. Calcula:nn n n 38 n .36E= (n n ) n n n E=n 27 2 n +1 + 9 3n +1a) n b) n2 c) 2n d) n3e) 1a) 3b) 9 c) 38d) 1 e) 21/n21. Simplifica: 514. Halla x en: 55 L = ab 3 a 2 b 1 ab 15 x = 5 255a) 125 b) 5 c)5 125d) 1 e) N.A. a) 3 b) 6c) ab d) 1 e) N.A.15. Calcula el valor de la ste. Expresin: 22. Calcula el valor de M, si: 4 n + 3 4(4 n )M= 4(4 n 1 )a) 32b) 48 c) 60d) 64e) N.A.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velsquez9 10. TEMA N 02 : EXPRESIONES ALgEbRAICASCapacidades: Reconoce y clasifica una expresin algebraica. Reconoce trminos semejantes a travs de su parte literal y puede reducirlos a uno solo. Calcula el valor numrico de una expresin algebraica, correctamente. Resuelve problemas con expresiones algebraicas.Exploracin y Desequilibrio:I.Si dos nmeros son de signos iguales se suman los dgitos y se coloca el mismo signo.Ejemplos:1) 2 + 4 = 63) 3 + 4 =2) -3 7 = -10 4) -13 9 =II. Si dos nmeros son de diferente signo se restan los dgitos y se coloca el signo delmayor.Ejemplos:1) 3 2 = +1 3) 7 5 =2) -4 + 2= -2 4) -13 + 8=Desarrollo del Tema:1. TRMINO ALGEBRAICOCONCEPTO: Es aquella expresin que relaciona dos partes contrarias, por medio de lamultiplicacin, dichas partes son:Parte constante: es aquella magnitud que permanece invariable y se representageneralmente mediante nmeros reales.Ejemplo: 4, 5, -2, 4/3Parte invariable: Es aquella que vara y se representa generalmente por letras (x, y, z,)Ejemplo: x2, xyz, x5y7La unin de dichas partes origina el Trmino Algebraico.As:Parte variableExponentes 2x 5 y 4BasesParte constante 11. Expresiones Algebraicas Primer AoACTIVIDAD Trmino ParteParte Bases Exponentes AlgebraicoConstanteVariable-3xy4xyz-3abc7m2n3-4abc3-x5-44xyzt4-3x2z32. TRMINOS SEMEJANTES Son aquellos trminos algebraicos que tiene la misma variable. Ejemplo: 3x4y4 es semejante con -2x4y5 porque tienen la misma parte variable. * 4x3y4 ; -x3y4 son semejantes5 35 3 * x y ; 7x y son semejantes * -a3b4 ; -3b4a3 son semejantes OBSERVACIN: Un trmino algebraico NO puede tener como exponente a: a) Nmeros irracionales:Ejemplos: 31) 4 x y 4z 5no es trmino algebraico2) 2 xy3 z 2 2 no es trmino algebraico b) Letras:Ejemplos:1) -xxyyzz no es trmino algebraico 2 3 a2) -2x y z no es trmino algebraico PRCTICA DOMICILIARIA1. Relacionar los trminos semejantes: I) abc () 7x II) 4x3y5z6 () 2nma III) -3x () cba3. Colocar verdadero (V) o (F) segn IV) amn () -x3z6y5corresponda:I) En un trmino algebraico los( )exponentes no pueden sernmeros irracionales.( )2. Son trminos semejantes: II) Es un trmino algebraico 3xxy3z. I) ab; -a2b3 II) 7xy; 4y2z III) 5x3y4z5 ; -3y3x4z5 son trminos ( ) III) 7,x IV) abc; -3cbasemejantes. a) I b) IIc) III d) IV e) N.A.4. Completar:Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velsquez11 12. Los coeficientes: TrminoParte ParteTrminoa) 9 y 3 b) 9 y 3 c) 9 y 4AlgebraicoConstanteVariable Semejante d) -9 y 4 e) N.A. 1 5x y13. Si: t1= 3x4y53y t2 =-2xayb+2zc+1 2Son semejantes: 7 xzCalcular: A = a + b + cAbc a) 10 b) 9c) 87 d) 7e) 6-x4z514. Si los trminos semejantes presentan iguales 5. Si: t1 =13x 7 t2 = 2x acoeficientes(b + 3)xbyc+3 ; 10xby5Calcular: 4a 3Calcular la suma de los exponentes:a) 1 b) 2 c) 3a) 13 b) 12 c) 11d) 4 e) 5 d) 10 e) 9 6. Dado los trminos semejantes:3a2m+4 ; 3a12 15. Dados los trminos semejantes:Calcular: m + 1 3xa+4yb+3zc+2; -2xb+4yc+3z8a) 1b) 2 c) 3a+b+cCalcular: A =d) 4e) 5 3a) 7b) 6c) 5 7. Si los siguientes trminos son semejantes:d) 4e) 35xa+4y7 ; -3x5y3+bCalcular: B = a + b + 416. Verificar si las siguientes expresiones sona) 1b) 2 c) 3 trminos semejantes:d) 4e) 5a) xyz, 2xyz, 8xyz . . . . . . . . . () 8. Dados los trminos semejantes:b) 12abc , 3bca , 4 acb . . . . . .( )3xa+5yb+7 ; -x7ya+2bc) 2ab , 6bc , 4ac . . . . . . . .( )Calcular: R = a.b d) x y ; 3x y2 34 2.........( )a) 10 b) 9c) 8e) 12a2bc , 3b2ca , 4 a2cb . . . . ( )d) 7 e) 6 f) 2x2 , 3x3 , 4 x4 . . . . . . . . . . ()g) 2x3 , 2y3 , 2z3 . . . . . . . . . . ( ) 9. Dados los trminos semejantes:17. Si los trminos: 2xm+5 yn; 3x13 y4 sont1 = (2a+b)x4yb+3 t2=(b-3a)x4ay5semejantes. Halla el valor de m+n:Calcular: La suma de coeficientes a) 4b) 8 c) 12 d) 16a) 1b) 2 c) 3d) 4e) 518. Si los trminos: 3ma+2nb+1 ; 2mb+3n4son 10. Indicar los coeficientes de los trminossemejantes. Entonces (a+b) es: semejantes siguientes: a) 5 b) 6c) 7 d) 8 -2axa+by5 ; 12bx8yb+4 a) -14 y 12b) 14 y 12 c) 4 y -12 d) -4 y -12 e) N.A.19. Si: t1 = abxay3 ; t2 = 2x2yb , son trminos 11. Dados los trminos algebraicos semejantes: semejantes. Calcular: t1 + t2 (a+4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2 a) 7b) 6 c) 8 d) 9 Calcular: a + ba) 1b) 2 c) 3 20. Si los trminos: t1 = 2xm+n ym-n;d) 4e) 5t2 = 3x13-n y1-m son semejantes. Halla el valor dem - n: 12. Calcular de los trminos semejantes: a) 5 b) 3c) 2 d) 8 (b+4)x7 ; (2 b)xb+2 RECORDANDO: 13. Expresiones Algebraicas Primer AoComo ya sabemos un trmino algebraico consta de:Parte constante NmerosParte variable LetrasNota: Cuando los trminos son semejantes se pueden REDUCIR por adicin o sustraccin.As: 2x + 4x 3x + 5x Ejemplo: 4a + 5a + 3a + 2b 3b + 5cSe reduce: 8xQueda: MAYOR O IGUAL A 2Cuando el resultado arroja un nmero limitado de trminos algebraicos no semejantes sedenomina EXPRESIN ALGEBRAICA.Por ejemplo:Luego de reducir 2a + b 3a + 4b + 5 nos queda:5b a + 5c Expresin algebraica de 3 trminos-x + y + zExpresin 34-x yExpresinSi:3x3 + x4 + 2x5 + (No es porque son limitados)5x 3 + x 3 + 14 x 3 + 3 (No es porque los exponentes de las variables no pueden serx4 + 2 + 4y nmeros irracionales o letras)Entonces ahora completa el siguiente cuadro:ExpresinSi es expresin algebraica No es expresin algebraica2x3y4 + 5xyx 3 + x3 4x + x6 + x7 + 5 x +3 x +43 + 2x + x3 x2 + 4x3x + 4x + 5xx 5y 4+ 2x + y5x2 + 5y3 + 5z4 PRCTICA DE CLASEI. Reducir:7. {a+[2a+b+[-[b-2a+(6a-3b)+2a-1. 4x + 2x 3x + 4x (5a+b)]]]}2. 5x + 3y 2z + 4z 3y + 4x 8. {(4xy2+3yx2)+[-(4x2y+5yx2)-3. 5x2y2z2 + 3 x2y2z2 - 16 x2y2z2 + 15 x2y2z2(3xy2+6xy2)]}4. 3xy3z + 5yx3z + 7xy3z 14zy3x + x3yz 9. 2x2y3z4 + 3y2x3z4 12z2x3y4 + 7x3y2z4 +5. 3yz2 +2zy2 + 3xyz 4zy2 + 4yz2 5xyzx2y3z4 2x3z2y4 + 5z4x3y2 y3z4x2 +6. {ab + [ - [ - [ -(a b)+4ab-5+2b]]]} 6z2x3y4Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velsquez13 14. 10. Indicar cuntostrminostiene la 13. Reducir si los trminos son semejantes: expresin luego de reducir: (a+2)xb + (c + 4)x7 + (b 4)xa+3 bxc+4 -{ - [ - [ - [-a + [b + a 2b [a b a) 10x7b) 9x7c) 8x7 +2a (a-b)]]]]]} d) 7x7e) 6x7 a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) N.A. 14. Dados lostrminos semejantes(reducir)11. Reducir los trminos semejantesaxa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x(c+4)x4 + (b + c)xb 4xc+2a) 7x b) 2xc) 3x334a) 8x b) 3xc) 8x d) 4x e) 5x44d) 4xe) 16x15. Si los siguientessontrminos12. Reducir los trminos semejantes semejantes: a+b c+d e+f3(a+b)x + (c+d)x+ (e+f)x+x(a+1)xa+b; (b+1)xa+c; (c+1)xa+3; 2x5a) 10x3b) 3x3c) 4x5Reducirlos:10d) 3xe) 10xa) 13x5b) 14x5c) 15x5 d) 7x5 e) x5PRCTICA DOMICILIARIAI. Reducir: a) 3 trminosd) 01. 2x2 + 3x2 7x2 + 10x2 b) 2 trminose) N.A.2. 2xy + 4xy + 5xy 10xy c) 1 trmino3. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 25y2x311. Reducir los trminos semejantes:4. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 7b3c4a5 +(2 + c)x4 + x4 + (c 4)x9-c + 3x4 2a3b4c5 10c3a4b5a) 7x4 b) 8x4c) 9x45. 2x3y4a2 + 5a2x3y4 3x2y4a3 + x3a4y2 +d) 10x4 e) N.A. 7x2y4a3 x3y2a46. {a + {-{-[b + a 4b (2a b)]}}}12. Reducir los trminos semejantes:7. {-{-{-{-{-a+{-a+{-a {a}}}}}}}}(a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x48. {-(4xy2 + 5x2y) + [-(2x2y+3xy2)-(x2y-a) 12x4 b) 16x4 c) 17x4 xy2)]}d) 20x4 e) N.A.9. x y z + x z y + y x z + x z y + y z x2 3 4Z 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3413. Al reducer los trminos semejantes: + z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 +mxm + nxn + pxq + qxq + x7 z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4queda:a) 29x7 b) 30x7 c) 28x7d) 26x7 e) N.A.10. Luego de reducir: -{-a + b + {-a {b + c+{-a + b a 14.Luego dereducirlos trminos {a b}+{+b}c} a}semejantes: La expresin tiene:(a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4 15. Expresiones Algebraicas Primer Ao a) 5x3y4b) 3x3y4c) 7x3y4 a + b c {a b + c {a b + c (a 3 4 d) 6x y e) N.A.b)}}}a) a b) 2b cc) a + b15. Reducir:d) a + b + ce) N.A.VALOR NUMRICOEl valor numrico de un polinomio, es el valor que adquiere dicho polinomio cuando la variableo variables toman un determinado VALOR.Ejemplo:I CASO:P(x)= 2x+3 Q(x)=5x 3R(x)= 2x + 5P(2)= 2(2) + 3 Q(1)=5(1) 3R(1)=P(2)= 7Q(1)=2 R(2)=P(3)=2(3) + 3Q(2)=5(2) 3R(0)== 09 Q(2)=7II CASO: Si P(x)=2x+3 P(a)= 2a + 3 P(x+3)=2(x+3) + 3P(x)=2x 5P(b)= 2b + 3 P(x+3)=2x + 6 + 3P(a)= P(x+3)=2x + 9P(x+3)=III CASO: Si P(x) = 2x+3Calcular: A=P (P (P (3)))CMO?Se empieza por adentro, es decir: A = P (P (P (3) ) ) 2(3) + 3 A = P (P (9) ) 2(9) + 3 21 A = 2(21) + 3 A = 45IV CASO: Si: P(x) = 2x+3 y Q(x)=3x + 5Calcular:P(Q(x)) + 3(Pero Q(x) = 3x+5) P(Q(x)) = 2(3x+5)+3 P(Q(x)) = 6x + 10 + 3 AHORA CALCULA : P(Q(x)) = 6x + 13 Q(P(x)) = ? PRCTICA DE CLASE 1) Hallar el valor numrico de: P(x,y)=3x + 2y xyx=1; y=2; z=3de los siguientes P(x, y, z)=xyz + 2x y + z polinomios: P(x)=3(x+2)(x-3) P(x)=2x + 5 P(x,y)= 2x(x+1)(y-2)Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velsquez15 16. A) 0B) 3 C) 52) Si: P(x)=2x-4 Calcular: A=P(1) + P(2) D) 2E) 43) Si: P(x,y)=2xy x + 3y 15) Dado: F ( m 3 1) = m + 5 Calcular: A=P(2,3) + P(0,1)Calcular z en:F ( F ( F ( F ( z ) ) ) ) = F ( F ( 2 ) + 1)4) Si: P(x)=3x + 5 A) 3B) -1C) 0 Calcular: M=P(a+2) P(a-2) D) 2E) -25) Si:P(x)=2x 1 16)Calcular: A Calcular: A=P (P(P(O)))Si: M(x) = 4x6) Si: P(x)=5x 2; R(x)=2x+3 M(1) + M(2) A= Calcular: A=P(R(2)) M (4)7) Si: P(x)=3x+5 17) Dada la expresin: Q(x)=2x-1 y R(x)=3x+21 Calcular: A=P(Q(R(O)))P( x ) = ; x 0 x 1 ; calcularx( x 1)8) Si: L(x + 3) = x2 + x 1 P( 2 ) + P( 3) + P ( 4 ) + P( 5)Calcular: E = L(5) + L(3) L(4) 4 32 A) B) C)9) Sea: N(5x 4) = 2(5x 4)19 + 3(5x 4)2 + 5 55 1 1 7Hallar: I = N(1) + N(1) + N(0)D) E) 5 510) Sea: M(3x 2) = 5x 9Hallar: I = M(7) + M(10) M(13) 18) Si : P( x ) = n; n R ;Calcular: R = P(1) + P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) + ..... + P(15 )11) Si: P(x,y) = x4 + y4 2x2y2Q(x) = 2x3 3x2 + 8x 1A) n B) 2nC) 10n Calcular el valor de:D) 15nE) 55n a) Q[P(2,1)] b) P[Q(1); Q(2)]19) De la expresin : x +1=x 2 x1998 + 4 1999P12) Sea: P( x 1) = 4 x + 1 , calcular P( x + 6) x 1 Calcular el valor de: P ( 3)P ( 1) A) 4x + 3B) 4x + 8C) 4x - 8 D) 4x + 10 E) NA.A) 256B) 16C) 128D)4 E) 2313) Indicar el valor de a; b en ese orden, si:P( x ) = 3x a 1 y 3 + 4 x c y d + 7 x 5 y b1 se reduce a x 20) Sea: P = x 125 x + 3 x + 2 ;2017 un solo trmino. 5 y +1 x +1calcular P(1)14) Sea: P( x; y ) = x + y y +1 ; A) 17 B) 20C) 30 x +1 D) 50 E) 80 33 41 Calcular P ; 41 33 PRCTICA DOMICILIARIA 17. Expresiones AlgebraicasPrimer Ao1. Calcular el valor numrico de polinomios Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x 10 para x=2; y=3; z=1 12. Si: P(x) = 2x + 4 P(x)=3x 4Calcular: M= P (P (P (P (3) ) ) ) P(x,y)=2x+3y-2 P(x,y,a)=x + y + z 6 13. Si: P(x) = 2x 1 Q(x) = x + 3 P(x)= (4 x)(x -2)Calcular: P(Q(x)) P(x,y)=(x+2)(y-3) P(x,y,z)=(x 1)(y-2)(z-3) 14. Si: P(x) = x + 5Q(x) = x +22. Si: P(x)=2x + 8Calcular: P(Q(x)) Calcular: A=P(a) + P(a-1)15. Dado:p( x ) = x 3 4 x 2 + 3x 13 ;3. Si: P(x,y)=5xy+x-y calcular el valor de p ( p ( 4 ) ) Calcular: P(1,2) + P(2,0)A) -24B) -21C) -12D) 11 E) 344. Si: P(x)=x + 2 Calcular: A=P(P(P(3))) P x = x 20 8 x17 + 3x + 2 ;16. Sea: 25. Si: P(x)=x+3 ; R(x)=2x-1Calcular P( 1)Calcular: A=P(R(2)) A) 17B) 20C) 306. Si: P(x)=5x+3; R(x)=3x+2 D) 50 E) 8Calcular: A=P(R(x))17. Si: P(x) = x + 3x + 4 2Calcular: P(2) + P(3)7. Del problema anterior18. P(x) = 2x + 4 Calcular: B=R(P(x))A = P ( P ( P ( P (2))))8. Si: P(x)=3x+419. Si: Q(x) = x + 5P(x)=x+3 Calcular: M=P(P(x))Calcular: P( Q (x) )20. A(x) = 2x + 49. Calcular: P(P(P(2)))Calcular: A ( R ( x ) )Si: P(x)=2x 110. Calcular A Si: M(x) = 2x421. Si:P( x ) = x 3 3 x 2 + 3x 2 ; calcularM(0) + M (2)Si: A = M(1) P ( 1) P ( 2 )P( 0)A) 2B) -2 C) 411. Calcular: P(7)D) 5E) 0Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velsquez17 18. Polinomios Segundo AoTEMA N 03: P O L I N O M I O SCapacidades: Reconoce un polinomio. Diferencia entre monomio y polinomio, Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa. Resuelve problemas con polinomios.Desarrollo del Tema:Es una Expresin Algebraica que se caracteriza porque los exponentes de las variables sonnmeros naturales. P( x , y) 4 x 3 y 4 + 2 xy + 4 Trmino Variables Independiente1. MONOMIOCuando se refiere a un solo trmino.Ejemplo:M ( x , y, z ) 4 x 3 y 4 z 5Parte Variable Parte constante (Coeficiente)a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestin Ejemplo: Sea:M(x,y) = 135x4y3 GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a x GR(x) : 4 (exponente de x) GR(y) : 3 (exponente de y)b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: M(x,y) = 135x4y3 GA = 4 + 3 Exponente de variable x Exponente de variable y GA = 7 19. ACTIVIDAD:COMPLETA EL CUADRO ParteMonomioParte ConstanteGA GR(x)GR(y)GR(z)M(x,y,z) Variable (Coeficiente)39x3y -4 3x 4 z 5x2yz318z -4x5y4 82. POLINOMIOEs la agrupacin por adicin de monomios no semejantes.Ejemplo: P( x; y) 2 xy 3 + 4 y 4 3x + 2TrminoIndependientePolinomio de 4 trminos 4 3 2P(x) = 4x + x x + 2x + 3Polinomio de ___________________ 2P(y) = ax + bx + cPolinomio de ___________________P(x; y) = x + y Polinomio de ___________________a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestin de cadamonomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en elpolinomio.P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 +2xy2 GR(x)=3GR(x)=5 GR(X)=1 GR(y)=4GR(y)=3 GR(y)=2Entonces: GR(x) = 5 GR(y) = 4AHORA T:P(x,y) 3x3y + 2xy + 4x2y x5yGR(x) :GR(y) =b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y setoma el mayor:P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 +2xy2 GA=7 GA=8GA=3 GA=8AHORA TU! 20. PolinomiosSegundo AoP(x,y) 3x3y + 2xy + 4xy2 x5yGA =ACTIVIDAD: COMPLETARPolinomio P(x, y, z) GAGR(x)GR(y) GR(z)x6 + xy + x3y4zx+y+zzxy + x2y3 + 4a + abx + bx23x3 + 4y4-x3y4 + x5 + y84z3 + 4z 3 c) Clculo de Grados en Operaciones1. En la adicin o sustraccin se conserva el grado del mayor.Ejemplo: Si P(x) es de grado: a Si Q(x) es de grado: btal que: a > b Grado [P(x) Q(x)] = a2. En la multiplicacin los grados se sumanEjemplo: (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)Resolucin: Grado: 6 + 9 = 153. En la divisin los grados se restan xy 8 x 3 y 3 + x 7Ejemplo: x 4z y 3 + x 3y 3Resolucin: Grado: 9 6 = 34. En la potenciacin el grado queda multiplicado por el exponenteEjemplo: (x3y x2y6 + z9)10Resolucin: Grado: 9 . 10 = 905. En la radicacin el grado queda dividido por el ndice del radical.Ejemplo: 3 xy 7 + 2x 3 y 6 7x 12Resolucin. 12 Grado =43 Propiedad: 21. En todo polinomio completo y de una sola variable, el nmero de trminos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir: Nmero de trminos = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x3 x4 + 2x 7x2 + 11x5 + 2 Como es completo: Nmero de trminos = 6 PRCTICA DE CLASE1. Dado el monomio: a+b+c Calcular: A =M(x,y) = -3abxa+3yb 7De GR(x) = 7 y GA = 10 a) 5b) 4c)3Calcular: El coeficiente d) 2e) 1a) -36 b) 36c) 12d) -12 e) N.A. 6. Si GA=10; GR(x) = 5 del polinomio: P(x,y)=4xa+1yb+5xa+2yb+1 + 3xayb+22. Si el siguiente monomio:Calcular: A = a + b a+1 b+2 4M(x,y,z) = -4x y z a) 1b) 2c) 3Es de GA=14 y GR(y) = GR(z)d) 4 e) N.A.Calcular: a . ba) 15b) 10c) 5 7. Dado el polinomio:d) 3 e) 6P(x,y) = xayb+2+ xa+1yb+4 + xa+5yb + ab Si: GR(x) = 7 GR(y) = 63. Si el monomio:Calcular el trmino independiente: x+2 y+5M(a; b) = -4xyab a) 5 b) 6 c) 7Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7d) 12e) N.A.Calcular: El coeficientea) 24 b) -24 c) 25 8. Si:d) 26e) 12 P(x,y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3+cxa+b+3yc+abc Es de GR(x) = 14GR(y)=64. Si en el monomio: Calcular la suma de coeficientes: 2 3a+3 b+2 6M(w, t, ) = -2a b w ta) 3 b) 4 c) 5El GA = 17 y GR(w) = 5 d) 7 e) N.A.Calcular: El Coeficientea) 512 b) 251c) -512 9. Si:d) 251 e) 521P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1+xa + 2yb 2zc Donde GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z)=3GR (z) GR ( y) Calcular el grado absoluto.5. Si GA = 15 GR(x) = ==223De: M(x,y,z) = -4xayb+2zc+3 10. Dado el polinomio: 22. Polinomios Segundo Ao P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2aP( x; y ) = x m + 2 n y 7 n + x m + n y 10 n + x m+ 3n y 9 n Calcular el trmino independiente si , adems: GR(x) = 15; GR(y) = 12. Calcular el GA=8 grado absoluto.11. Determine el grado del polinomioA) 25 B) 26C) 27 P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x10 + 10 )D) 28E) 29 A) 45 B) 36 C) 55 15. Sea: P( x; y ) = x 2 n 3 y 2 n +5 , dondeel D) 21 E) 28 grado relativo con respecto a x es 7. Calcular el grado absoluto de la expresin:12. En el siguiente polinomio ordenado yA) 22 B) 30C) 35 completo de grado 2 :D) 25E) 28P( x ) = x a + 2 x a b + 316. Determine el grado del polinomio Calcular: a2 b2 P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x 8 + 8) A) 3B) -1C) 0A) 45 B) 36C) 15 D) 1E) 2 D) 21 E) 2813. Sea: 17. Cuntos trminos tiene p ( x ) ?P ( x ) = 3ax a +5 + 5ax a + 6 + 2ax a +8 .P( x ) = x 2 n + x 2 n 1 + x 2 n 2 + ... + x 2 + x + 1 Un polinomio de grado 17. seale la suma deA)2nB)2n + 1 C) 3n sus coeficientes.D) 2n - 1E) n A) 20 B) 60C) 70 D) 80 E) 90 18. Cuntos trminos tiene p ( x ) ?P( x ) = x 2 n 1 + x 2 n 2 + x 2 n 3 + ... + x 2 + x + 114. Dado el polinomio:A)2nB)2n+1 C) 3nD) 2n - 1E) n PRCTICA DOMICILIARIA1. Dado en el monomio.GA=12 GR(x) = GR(y) a b M(x,y) = 4abx yCalcular: m . P Si. GR(x) = 2 GA=7 a) 12 b) 13c) 14 Calcular: El coeficiente d) 15 e) 16 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 3. Si en el monomio:M(, ) = 2xyx+4y+22. En el siguiente monomio: Donde: GR()= 7GR()=5m+1p+2 2 M(x,y,z) = 3xyzCalcular el coeficiente: 23. a) 18 b) 19 c) 20 P(x,y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3d) 21 e) 24 Si el GA=7Adems: a b=2bCalcular: A = a4. Si en el monomio:a) 1b) 2c) 323 4a+5 b+4 c+3M(x,y,z) = 2a b c x y z d) 4e) 5Si: GA=15 GR(x)=6 GR(z)=4Calcular el coeficiente: 11. En el polinomio :a) 2b) 4c) 5P( x , y ) = ax 2 y 3 bx 5 y 6 + 8 x 7 y 2 ; a = GA. ; b = GR (y)d) 16 e) 14Indicar la suma de los coeficientes.A) 13B) 11 C)GR ( x )125. Si: GA=24GR(y) =5D) 9E) 8a+b a-bM(x,y)= 2xy 12. Determine el grado del polinomioCalcular: a . ba) 96 b) 108c) 64 ()(P( x ) = ( x + 1) x 2 + 2 x 3 + 3 .... x 7 + 7) ( )d) 25 e) 15 A) 45 B) 36C) 15D) 21 E) 286. Si: P(x) = x a+4+xa+3+xa-4 ;GA=7Calcular: 3a 13. Si al polinomio:a) 3b) 4c) 5P ( x; y ) = nx m y p + mx m a y p 1 + x n 8d) 6e) 7 le restamos 10 x 3 y 4 , su grado absoluto7. Si : P(x,y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4+xa+2yb-2 disminuye Cunto vale el menor de losGR(x) =5GR(y) = 3grados relativos?Calcular el GAA) 3 B) -1 C) 0a) 1b) 2c) 3D) 4 E) 2d) 4e) 6 14. Si:8. Si: P(x) = axa + (a+1)xa+1 + (a+2)xa-4 nmP( x , y ) = n 2 x n 1 . y 26 + m 2 x 3 y m 1Es de GA=5Calcular la suma de coeficientes:se reduce a un monomio:a) 14 b) 15 c) 16Calcular GA de:d) 17 e) 182 M ( x , y , z ) = m n x 12 .3 y 2 m .z m9. P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzcA) 10 B) 8 C) 6D) 4E) 2GR(x) = 4 GR(y)=5 GR(z)= 3Calcular el grado absoluto 15. Si el polinomio completo es de (4 + a)a) 1b) 14 c) 12 trminos.d) 10 e) 11 P( x ) = 2ax 2 a + ( 2a 1) x 2 a 1 + ( 2a 2) x 2 x 2 + .... Calcular el valor de a10. Dado el polinomio:A) 1 B)4 C)2 24. PolinomiosSegundo AoD)3 E) 5P( x ) = 6ax 5a + 5ax 4 a + 4ax 3a + 3ax 2 a + 20ax 2 + a Calcular a, si se cumple que la suma de coeficientes es igual a su termino independiente incrementado en 76.16. En el polinomio:A) 1B)4C)2D)3E) 5 POLINOMIOS ESPECIALESPOLINOMIO HOMOGNEOEs aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.Ejemplo:P(x,y) = 4x3y4 - 3x7+ 2xy6 - x5y2GA=7GA=7GA=7 GA=7P(x,y)=2x3y5 + 5xay2 + 3xby73+5 =a + 2 = b + 7a = 6b = 1POLINOMIOS IDNTICOSSon aquellos que tienen el mismo valor numrico para un valor en cuestin.Ejemplo:P(x)= (x + 1)2Q(x)=x2 + 2x + 1P(O)= Q(O)=1P(1) Q(1) = 4P(x) y Q(x) son idnticos.Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en trminos homlogos.Ejemplo:P(x) = 4x2 + 5x 3 es idnticoQ(x)=Ax2 +5x B A=4B=3NOTA: Observe que cuando es idnticamente nulo el valor numrico es siempre nulo.Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros).P(x) = Ox2 + Ox + OP(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P() = P(1000) = 0As, s tenemos:Que si P(x) = (A 2)x2 + (B 3)x + c + 2 es idnticamente nulo.Entonces: A = 2; B = 3; C = 2AHORA T!!Si son idnticos: P(x) = Ax2 + (B + 3)x + C + 2con Q(x)= 2x2 + 5x + 3 25. Entonces: A=B= C=AHORA:Si: P(x) = ax3 + (b 2)x2 + (c + 3)x 2d + 14Es idnticamente nulo:a= c= b=d=POLINOMIO COMPLETOEs aquel polinomio que presenta todos los trminos algebraicos, desde el mayor, hasta elmenor.Ejemplo:P(x) 5x3 + 2x 4x2 + 7OJO: Presenta todos los trminos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7) P(x) = 2x + 3 Es polinomio completo. P(x) = 2x5 4x2 + 5x4 2x + 7 x3 Es polinomio completo. P(x) = x 2x + 5x 4 43 Es polinomio completo.POLINOMIO ORDENADOEs aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos.Ejemplo: P(x) = x2 + 2x3 x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente) P(x) = x7 4x + 3 (Polinomio ordenado en forma descendente) P(x) = x x + x 1725 50 (Polinomio . en forma ) P(x) = 14x 2 (Polinomio . en forma )Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una. P(x,y) = 4x3y7 5x2y9 + 2xy4(Polinomio ordenado en forma descendente con respecto ax) P(x,y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto ay)POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADOEs aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores.Ejemplo: P(x) = 5x4 3x3 + x2 + x + 3(Observemos que es completo porque presentatodos los exponentes de x y adems estnordenados en forma descendente). P(x) = 2 + 3x 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente) 26. Polinomios Segundo Ao AHORA COMPLETA (MARCA CON UN ASPA) PolinomioOrdenadoCompleto Completo y Ordenado Ascendente DescendenteAscendente DescendenteP(x)=4x2+5-3xP(x)=x7 + x + 6P(x)=5x2-3x+2P(x)=x1000-x10+1P(x)=1+2x+x2-x3P(x)=4x5-x+5P(x)=x102-x101-2 PRCTICA DE CLASE1. Dado el polinomio homogneo8. Dados los polinomios idnticos: P(x,y)=2xay3 + 3x5y7 xby8 P(x) = 4x2 + bx + 7 Calcular: (a + b) Q(x) = cx2 + 3x + 7 a) 13b) 14 c) 15 d) 16 e) 17R(x) = (d + 1)x2 + 3x a Calcular: a + b + c+ d2. Dado el polinomio homogneo:a) 1 b) 2c) 3d) 4 e) N.A P(x,y,z)=5xyz x2ya + zb + xc Calcular: a + b + c9. Dado: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9P(x)=(4 a)x + 5c + d Q(x)=4c +3 + (2a + 2)x3. Si el polinomio es homogneo. Son idnticos: P(x,y)= 3xa+2yb+8+xd+3y7+2x8y5Calcule: a + c + d Calcular: a + b + d a) 4 b)5c) 6 d) 7 e) N.A a) 1b) 13 c) 6 d) 5 e) 810. Si los siguientes polinomios son4. Dado el polinomio homogneo: idnticos: P(x,y)=axa+2y4 + 2bxby7 cx6y8 + 2x10P(x)=mx2+nx+p y Q(x)=ax2+bx+c Calcule la suma de coeficientes:m+n+p a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) NA Calcular: A = a+b+c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 55. Dado el polinomio homogneo: P(x,y)=2bxbyc + 5x7y2+3cxb+7y11. Dado el polinomio idnticamente nulo: Calcular la suma de coeficientes:P(x)=(a 2)x2 + bx + c + 3 a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e)NACalcular: a . b . ca) -1b) 0 c) 1 d) 2e)N.A.6. Si P(x) y Q(x) son idnticos donde: P(x)=ax5+3x2 412. Dado el polinomio idnticamente nulo: Q(x)=(2a 3)x5 + (c+2)x2 + bQ(x)=3x2 + 5x-3+ax2 + bx c Calcular: a + b + cCalcular: a + b + c a) 0 b) 1c) -1 d) 2 e) N.A.a) -10 b) -11 c) -12d) -13e) N.A.7. Si: R(x)=2x2 + 5x 3 Es idntica con:13. Si el polinomio es nulo: S(x) = (a2 2)x2 + (b2 + 1)x + cR(x)=-3x2+(a2-1)x2+cx-2x+d-4 Calcular: a+b+cCalcular: a . c . d a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e)N.A. a) 1b) 2c) 16d) 15 e)N.A.14. Dado el polinomio nulo: 27. P(x)=(a2 + 1)x2+(b2+1)x+c2-1-2x2-10x P(x)=axc-1+bxb+cxaCalcular: a + b + cCalcular la suma de coeficientes.a) 1 b) 5c) 9d) 10 e)N.A a) 1b) 4c) 3 d) 2e) N.A.15. Si el siguiente polinomio es nulo:P(x)=(m2-a)x2 +(n2-b)x + p2 c24. Si:m +n +p 2 22Calcular:M ( x ) = x m 10 + 5 x m n + 5 + 2 x p n + 6 a+b+ca) 1 b) 2c) 3 d) 4 e) N.A.es completo y ordenado descendentemente,calcular: m + n + p.16. Calcular el valor de a en los siguientesA) 38 B) 28C) 26polinomios completos: D) 25E) 36 P(x)=4xa+4x2 +3-2x Q(x)=2x+xa+2+x2 4 2 R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+1 25. Calcular el valor de:a 33 +, si el a 9917. En el polinomio completo: polinomio: P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2 P( x ) = ( a + b c 10) x a + ( c b + 9) x a6 9Es Calcula la suma de coeficientes:a) 8 b) 9c) 10idnticamente nulo.d) 11 e) N.A. A) 1B)4 C)2D)3 E) 018. Dado el polinomio completo: P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp26. Calcular la suma de coeficientes del siguiente Calcular: m + n + ppolinomio completo:a) 1 b) 6d) 4 e) N.A. c) 5( a b) ( P( x ) = c x + x + a x + x c + b x a + x c +b) ( ) A) 15 B) 6 C) 1819. Ordenar en forma ascendente yD)12E) 9descendente los siguientes polinomios: P(x)= 25x5+3x7-2x+427. Si el polinomio: R(x)= 1- x+x3-x7+2x2 Q(x)= ax + nx3 bx2 + abc() ( M ( x; y ) = a + b c d 2 x 2 + ( b de ) xy + 9 b + c a e 2 y)es idnticamente nulo, calcula S.d 2 9b 6a20. Ordene enformaascendente y S=+ 2 + descendente los siguientes polinomios bec primero relativo a x t luego a yA) 15 B) 16C) 18 P(x,y)=x3y45xy2 + 2x7y3 2abD)13E) 9 P(x,y)=axm+1yn-2 + bxmyn+cxm-2yn+1-abc28. Si el trinomio:21. Dadoelpolinomio completo y a x a +b + b x b + c + c x a + cesordenado: homogneo, de grado 10. de que grado es el P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3 Calcula la suma de coeficientes:monomio : a x b .b x c .c x a a) 1 b) 2 c)4 A) 7B) 13C) 27 d) 5 e) N.A.D) 33 E) 3022. Dadoelpolinomio completo y 29. Calcularla suma de coeficientesdelordenado: polinomio homogneo: P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+abQ( x , y ) = nx n + 5 + 3 x n y m + mx m + 3 Calcule el trmino independiente. a) 4 b) 6 c)9 A) 10B) 11 C) 12 d) 12e) N.A.D) 13 E) 1423. Si el polinomio es completo y ordenado 30. Si la expresin: en forma ascendente.(a + b )2 6 x a b ab 4 x a +b + ( b a ) x , 28. Polinomios Segundo Ao puede reducirse a un monomio, estesiendo trminos semejantes en variables x e monomio es: y. A) 2x B) xC) 3x 32. Se la familia de polinomios: D) 4x E) 5x Pn ( x ) = nx + b; n N b Z ; resolver:31. Efectuar:P2 ( x ) + P3 ( x ) + P4 ( x ) + + P12 ( x ) + x = 11b 6bx y a +1+ ( a + b) x b+2 y + ax y7 a b +3 A) bB)bC) b78 2 D) -78E) 0PRCTICA DOMICILIARIA1. Si el polinomio:a) 40 b) -40c) 10 d) -10 e)N.A.3 a2 7 9P(x,y)=3x y +2x y -x es homogneo. 9. Dados los polinomios idnticos:Calcular: a +3 P(x)= (a2-1)x2 + (b+1)x + c + 2a) 1b) 2 c) 3d) 4e)N.A. Q(x)= 8x2 + 7 + 5x Calcular a + b c2. Dado el polinomio homogneo: a)14 b) 15c) 16P(x,y)=2x4ya+1 x3yb + 5x2y7d) 17 e) N.A.Calcular: a . ba) 48 b) 24 c) 12 d) 10 e)N.A10. Dados los polinomios idnticos: R(x) = (a+b)x3+ (c+d)x + 43. Dado el polinomio homogneo. Q(X) = 3x3 + e+xP(x,y)=3xay2 xby4 + 5x5y6Calcular: a + b +c+d+eCalcular: a + ba) 7b) 8c) 9 d) 10e)N.A.a) 15 b) 16 c) 17d)18 e) N.A 11. Dadoslospolinomiosidnticamente4. Dado el polinomio homogneo: nulos. Calcular A, B y CP(x) = axa + bxb cxc + 2x2Calcular la suma de coeficientes: (A-3)x + (C+2)x + B 5 = P(x) 2a) 1b) 2c)3 d) 4 e)N.A. R(x) = (A24)x2 + (B3-8)x + C 25. El polinomio homogneo: Q(x) = (A+3)x2 5x + -x2 + Bx CP(x,y)=axayb + bxcyd + (c + d)x5 12. Si P(x) = mx2 : nx + p, es idntico con:Tiene como suma de coeficientes a:a) 10 b) 11c) 20 d) 15 e)N.A.Q(x)= cx2 + dx + ec+d+e Calcular6. Si: R(x) y Q(x) son idnticos. m+n+pR(x) = bx2 + 3x + ca) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.Q(x) = (2b 2>)x2 + ax + 2Calcular : a + b + c 13. Si: P(x)= (a-b)x2 + (c+d)x + e fa) 8b) 7c) 6d) 5e) N.A. Es idnticamente nulo:7. Si: R(x)=12x 5x + 7 es idntico con: 4 a c e Calcular A = + * b d fQ(x)=abx4 5x + a + b (Nota:a > b) a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) N.A.Calcular: a- ba) 1 b) 2c) 3d) 4 e) N.A. 14. Calcular el valor de b en los siguientes8. Dados los polinomios idnticos: polinomios completos:P(x,y)= 5x2 - 2x + 4 P(x)=x2b-4+x3+2x-4+3x2R(x,y)= ax3 + c + bx5Calcular: a.b.c P(x)=3xb+1+x3-8+5x+7xb+3 29. Q(x)=4+53+2xb2+12x- x b 2 215. En el polinomio completo: 23. Calcular el valor de a en los siguientes P(x)=2x+4a x3a+1 + 5x2 x3 polinomios completos: Calcular el trmino independientea) 1 b) 2 c) 3d) 4 P(x)=4x3+4x2 +3-2xe)5 Q(x)=2x+xa+2+x2 4 R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+116. Dado el polinomio completo: 24. En el polinomio completo: P(x)=5x+2x2-3a +4x2a x3 P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2 Calcular la suma de coeficientes:Calcula la suma de coeficientes:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 a) 8 b) 9c) 10e)5d) 11 e) N.A.17. Ordenarenformaascendente y 25. Dado el polinomio completo: descendente los siguientes polinomiosP(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxpCalcular: m + n + p respecto a x y luego con respecto a y a) 1 b) 6c) 5 P(x,y)=5x4y2+3xy3 2x5y7 d) 4 e) N.A. P(x,y)=2xy 5x2y3 + 4x7y4 26. Ordenaren formaascendente y P(x,y)=3 + 47 -5x2 + 7xdescendente los siguientes polinomios: P(x,y)=3x y x y + 2x y348 223 P(x)= 25x5+3x7-2x+4 P(x,y)=-7 + 2x3y4 + xy 2x8y14 R(x)= 1- x+x3-x7+2x2 Q(x)= ax + nx3 bx2 + abc18. Dadoelpolinomio completo y 3a-2 3 2 ordenado: P(x)=x +3x -2x +x+4 27. Ordeneenformaascendente yCalcular: adescendente los siguientes polinomios a)1 b) 2 c) 3 d) 4e)5 primero relativo a x t luego a y19. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x,y)=x3y4 5xy2 + 2x7y3 2ab (Px)=x4 3xa+2 + 2xb xc + 5 P(x,y)=axm+1yn-2+bxmyn+cxm-2yn+1-abcCalcular: a + b + c a)1b) 2 c) 4 d) 5e)NA 28. Dadoelpolinomio completoy ordenado:20. Dadoelpolinomio completo yP(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +33 a b Calcula la suma de coeficientes: ordenado: P(x)=3x ax bx + aba) 1 b) 2 c)4Calcular el trmino independiente.d) 5 e) N.A. a)1b) 2 c) 3 d) 4e)5 29. Dadoelpolinomio completo y21. Dado elpolinomio completoy ordenado: ordenado:P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+abP(x)=abxa+bcxb + caxc + abc Calcule el trmino independiente.Calcular: a + b + c a) 4 b) 6 c)9 a)1b) 2 c) 3d) 4e)5d) 12e) N.A.22. Del problema anterior calcula el trmino 30. Si el polinomio es completo y ordenadoindependiente.en forma ascendente.a)2 b) 4 c) 6d) 8 e)NAP(x)=axc-1+bxb+cxaCalcular la suma de coeficientes. 30. PolinomiosSegundo Aoa) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A. 31. TEMA N 04: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALgEbRAICASCapacidades:identifica una expresin algebraica y su clasificacin, lo cual nos va a permitir reconocer un polinomio y en forma directa operar con expresiones algebraicas.Exploracin y Desequilibrio:A.Efecta:1) 3x + 2x = 5x 3) 3m + 4m 5 m =2) 6a + 4a= 4) 8y 3y + y =B.Efecta1) 6x + 4y 6x = 3) (x + y + 2z) + (2x + 3y 6z) =2) (a + 4) (a 5)4) (m 3n + 2p) (3m + 4m 6p)Desarrollo del Tema:ADICIN Y SUSTRACCIN DE POLINOMIOS2.1.Adicin de PolinomiosPara armar varios polinomios que contiene trminos de diversos clases, se indica cadaclase con marcas, xx y se reduce separadamente cada una de ellas.Solucin: 6x 4y + 4 + 3y 5x + 6 = x y + 10 rpta. En la prctica se escribe los polinomios sumandos completos y ordenados unosdebajo de otros, de modo que correspondan los trminos semejantes, procediendo areducir los trminos semejantes.Ejemplo: A(x) = 6x3 8x + 3 con B(x) = 3x2 + 12x 10Solucin:A(x) = 6x3 8x + 3 A(x) = 6x3 + 0x2 8 x + 3B(x) = 3x2 + 12x - 10 B(x) = 3x2 +12x 12 - 10 __________________________A(x) + B(x)= 6x3 + 3x2 + 4x 7 S(x) = 6x3 + 3x2+ 4x 7 rpta.2.2.Sustraccin de Polinomios:Se llama diferencia de dos polinomios al polinomios que se obtiene al sumar elminuendo el punto del sustraendo.Ejemplo: Efecta la diferencia indicada : (6x2 3xy + 4y2) - (3xy +5x2-7y2) 32. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Ao Solucin: Mtodo prctico El polinomio minuendo es : 6x2 3xy + 4y2Recuerda que: El opuesto del sustraendo es: -5x2 8xy + 7y2 Despus de la palabra De, La diferencia es: x2 11xy + 11y2 encontramos al minuendoy despus de la palabrarestarencontramoselsustraendo PRCTICA DE CLASESuma los siguientes polinomios:1) 7x 3y ; 4x + 6y ; 5x 8 ; 4x 3y 5 ; 6x y + 22) 14x 5 ; -3x + 6x2 ; -5x2 10x + 6 ; 23x 4 + 3x23) 2x3 + 7x2 3x + 1 ; 3x3 5x2 + 6x 4 ; x2 5x + 74) 3x2y 8x3y2 x4y3 ; 9x3y2 + 4x4y3 4x2y ; 3x3y2 x2y5) 2x2y3 + 4xy2 + 10x2y 3x2y ; -xy2 + 6x2y3 8x2y + 2x2y26) -3x2 + 5x4 x6 ; 4x5 2x4 + 3x6 ; 12x2 + x6 3x5Efecta la resta de los siguientes polinomios:1) De: 3x2 8xy + 6y2resta: 2x2 + 3xy + 5y22) De: 6x3+ 3x2 xresta: -4x2 3x + 5x33) De: -8x2y y2 + 3 resta: 3y2 12 + 5x2y4) De: xy + 1/3 x2 + x2 resta: 5/8xy 2/5x2 + 5/7x25) De: 0,13x2 0,5x3 + x4resta: 0,9x2 + 1,2x3 + 0,4x46) De: -1,5xy + 0,8x2y + 0,1y2resta: 0,2y2 -0,5x2y -1,4xy7) De: -x2y 3/8xy 1/5y2 resta: 4/9 x2y xy 8/15 y2Suma los siguientes polinomios:1) 0,3x2 0,8y2 + 0,2z2; 0,9x2 + 0,2y2 0,8z2 ; x2- 2z2 + 3y22) 0,2x3yz 0,7xy2 + 1,5z2 + 1,2xy3 ; 0,7x3yz + 2,3xy2 2,6z2 + 0,6xy33) 2/3xy2 xy3 5/7xz; - xy3 + 2/5xz xy2; xz xy3 + 1/2 xy24) 1/3x2 + 1/2xy + 1/4 y2; 2/5x2 3/4xy 1/5y2; 8/9x2 1/3xy 3/7y25) 0,5x4 0,4x3y + x5 -3x2; 3x5 + 0,6x2 2/5x3y + 1/3x4Efecta la resta de los siguientes polinomios:6) Resta: 5x2 + 3xy 2y2 de : 8x2 5xy + 3y27) Resta: -x2y y2 + 2y3 de: 5x2y 4xy2 y38) Resta: 12xy2 9x2y + x2 de: -9xy2 2xz + 10x2y9) Resta: 3/7x3 + 2/9 x2 + x de : 5/14x3 1/18x2 2/3x10) Resta: -1/6xy 3/8x2 + 5/7y2 de: xy -5/12x2 2/9y211) Resta: 0,1xy 0,5x2y2 + 0,9x3y3 de: -0,7xy -0,8x2y2 + 0,12x3y312) Resta: -1,8x2 + 1,3y2 + 2,5z2 de: 0,6x2 + 0,9y2 1,2z213) Resta: 3xn 5x2n + 8x3n de: 2xn 6x2n + 5x 3n 33. 14) Resta: 12 x n-1 + 9x n+1 5x n+2 de: 15x n-1 + 11x n+1 + 8x n+215) Resta: 0,1xyn+3 0,5x2y + 0,9x n+1 de: -0,9xy n+3 + 0,75x 2y + xn+1Suma los siguientes polinomios16) 3yn 8yx + y2; -yx + 2y2 + 4yn; -5y2 6yn + yx17) 8xn 3xn+1 + 5xn+2; 4xn+1 3xn 3xn+2 ; -8xn+2 + 6xn xn+118) xn+3 6xn+2 + 2xn+1; -3xn+1 + 8xn+2 2xn+3; xn+2 xn+3 + 5xn+119) 3xn 2xn-1 + xn-2; 4xn-1 2xn-2 + 4xn; 6xn-2 + xn 8xn-120) 5x4 -2/5 x3 3x2 -6 ; 4x3 + 2/5x2 -7x + PRCTICA DOMICILIARIAA. Si : A(x,y) = 7x2 y 3/2 xy2 + y3; B(x,y) = 4/7 y3- x2 Y 3/5 x y2 C(x,y) = 3xy2 5x2 y + 2y3 ; Halla:1) A(x,y)+B(x,y) 2) B(x,y)+C(x,y) 3) A(x,y)+C(x,y) 4) A(x,y)+B(x,y)+C(x,y)B. Si: P(x,y) = -12x2 y4 1/3 x2 y2 +3/5 xy3; Q(x,y) = -x2 y2 + 32 y4 + 2/5xy3 R(x,y) = 5x2 y4 + 17/3 x2 y2 + 6xy3. Halla: 1) P(x,y) + Q(x,y) 2) Q(x,y) + R(x,y) 3) P(x,y) + R(x,y)4) P(x,y) + Q(x,y) + R(x,y)C. Si: A = 3x2 2xy + y2 5; B = -8x2 + xy 5y2 + 6; C = 0,9X2 0,5XY + 0,2Y2 1,2; Halla: 1) (A+B)-C2) A-(B+C)3) (A+C)-B 4) (B+C) -4D. Efecta las siguientes operaciones 1) De: 3ax2 resta la suma: (2a + 5bx a2x) con: (a 2bx 3a2x) 2) De: 5/9 resta la diferencia que hay entre (1/2 a + 3x) y (5/8 - 2x) 3). De: -6x3 resta la suma: (3x- 5x2 8x3) con (2x + 4x2 7x3) 4). De: 0,3zx resta la diferencia que hay entre: (0,8x2 0,5ax) y 0,3x2 + 0,1axSuprime los signos de agrupacin y reduce los trminos semejantes en las expresionessiguientes:1) 5X {4Y (3X 2Y)}2) -6X [-2X (3Y + X)]3) 4X {-2Y [6Z (3X 7Y)]}4) -9X {-X-y [3y X (3y X)]}5) {-11X + [-7y (8x 10y) (4x 2x 3y)]}6) 2x {3y (2y z) -4z + [2x (3y z 2y)]}7) {-[13x (6x 8y 7x) 6y (8x 11x 7y) -9x] 4y}8) (x-1) {x-2 [x 3 (x 4)] + 2 + [x 2x y + (3y x)]} 34. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Ao9) (-2x y) {-(x + 2z) {-x- [(x-y) + 2z (y-x) (x-3y)]}}10) Si: A = x + y; B = -x y; C = x y ; D = -x + y Calcula: I {(A-B) + (C-D)}II) {(B+C) -2 (C+D)}Exploracin y Desequilibrio:A.Efecta:1) (+2) (+4) = + 8 3) (+5) (-6) = -302) (-6) (-7) = + 424) (-7) (+9) = - 63B.1) (+5m2) (+3m3) = 3) (9ab3) (-3 b5)2) (-7a2) (-9a3) = 4) (-10x2) (2x3) =Desarrollo del Tema: MULTIPLICACIN DE MONOMIOS Y POLINOMIOSLa multiplicacin es una operacin que consiste en hallar una expresin llamada producto apartir de otras dos llamadas factores:Recuerda MultiplicandoMultiplicador I. Ley de los signos(+)(+) =+ (+) (-) = -5.4 = 20(-) (-) =+(-) (+) = -FactoresProductoII. Ley de los exponentes am. an = am+nEfecta :1) -7.8 =5) 72.73 =2) 8.-6 =6) a8.a4 =3) -7.-6 = 7) 210.220 =4) -9.12 = 8) a5.a7 .a2 =(a.b)n = a n.bn(am)n = am.nEjemplos:1) (2.9)3 = 23.931) (32) 3 = 32.3 = 267) (2.32) 5 =2) (m.n)5 = m5.n52) (25) 4 = 25.4 = 220 8) (x3.y) 3 =3) (3.11)2 = 3) (x3) 7 = x219) (a2.b3)2 = 35. 4) (2.8)5 =4) (b2.a) 3 = 10) (a4.b)3 =5) (5.8.9)7= 5) (55) 2 =6) (a.b.c.d)3 =6) (a2) 7 =III. Propiedad Distributiva a(b+c) = ab + ac) Ejemplos: 1) 3(5+2) = 3.5. + 3.23) 8(5.3) == 15 + 6= 21 1) 4(x+3) = 4.x. + 4.33) 3(2+4+3) == 4x + 123.1. Multiplicacin de Monomio por Monomio Para multiplicar 2 monomios, primero se multiplican las partes constantes (coeficientes) de acuerdo a la ley de signos luego se multiplican las partes variables de acuerdo a las Leyes de exponentes Ejemplos: 1) ( (2x3) (3x5) = (2.3) (X3.X5) = 6X8 4) (-8y7) (9y9) = 2) (-5X2) (-2X3) = 5) (2xy2) (3x3 y2) = 3) (7Y4) (-4Y3) =6) (3x5) (5x3) =3.2. Multiplicacin de Monomio por Polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se emplea la propiedad distributiva.Recuerda:Un polimonioes una suma limitada demonomios no semejantes Ejemplos: 1) 2x2 (x+5) =2x2. x+ 2x2.5= 2x3 + 10x2 Multiplicacinmultiplicacin de monomios de monomios2) 3x3 (x2 + 2x) = 3x5 + 6x4 5) -2x2Y3 (x3y5+x2y3) =3) 12x5 (x3 3x2) = 6) 3x (x+2) = 2y4) 5x (x+ xy) =7) -5x(x2 + 3) = 8) 4x2(x3-4)2.3. Multiplicacin de un polinomio por polinomio En este caso tambin se emplea la propiedad distributiva. Ejemplos: 1) (x+5) (x+2) = x.x + 2. x + 5.x + 5.2 2) x + 5 36. Operaciones Con Expresiones AlgebraicasSegundo Ao= x2 + 2x + 5x + 10 x+2 2= x + 7x + 10 x2 + 5x2x + 102x + 7x + 103) (x-3) (x + 4) = 4) (x + 3) (x2 + 2x + 1) =5) (x-2) (x-5) = 6) (x+2) (x 7) =7) (x + 1) (x2 + x + 2) =8) (x 2) (x4 x2 + 3) =9) (x3 + x) (x3 + x + x5) =10) (xy + 1) (x2y + xy2) =PRCTICA DE CLASEEfecta las siguientes multiplicaciones:1) 5x3.4x2 2) 3x2y. 6x 3) -3ax . 6ax4) -6xz . 3z25) (-8x2y) (-5x2)6) 3/4x2y.(-5/8xy) 7) (-4/7x3y2)(-8/9y3) 8) 4(-1/5x) (x y)9) (5/3X5y3)(-3X3Y)10) (0,5X2y2)(-0,3xz)11) (0,8xy5)(-2,4ay2) 12) (-15xy2)(0,8xy)13) 0,6ax2.(-3x3)14) (-5xa+2)(-2x3-a) 15) (3xn+11) (-xn+2)16) 3a.5a2x .(-a2bx2)17) (-13axy2) (-2xy2)(3x2)18) (-a2b) (-9ax) (-5ax2y)19) 18a5b3xy.5a4b4 (-2/9a3by3) 20) -12x3y4z5.3/4xy2.5x5y5z21) 3x2 (2x-3x2y+x3y2)22) -5xy (-3x3 + 5x2y xy2)23) -6ax2 (x+2y 5)24)3a2x (2x 5b + 2a)25) (9x3 5x2 + 6x -4) (4x2)26) (3x2-5y + 6) (-2x2y)27) (-5x3 y + 8x5y2 xy) (3xy2) 28) x2y2 (x4y3 5x3 y2+10x2y)PRCTICA DE CLASEEfecta las siguientes multiplicaciones:1) 2/3 x2 (3/4x3 5/9 x2 -1/2x) 2) -3/4xy2 (-5/8 x3 + 1/3 xy2 + 2/5xy3) 37. 3) - a2xy (1/6ax 1/4a2x2 -1/5a3x3) 4) (5/8x 1/5x2 x3) (3/5x3)5) (-3/4y3 + 5/6y4- y5) (- x2y) 6) (3/5xy -4/9x2 1/3y2) (-1/4x2y)7) (0,3x3 0,8x4 + 0,1x5) (0,95x2)8) (0,5ab2 + 0,92b 0,8a2b2) (-0,7ab2)9) 5a2 (3ax 5ax+1 + 8ax+2) 10) -24a+1(8xa+1 6xa+2 + 3xa+3)11) 3xa-2 (12xa-4 xa-3 + 9xa-2)12) -4bx-1 (-b2x+2 + 3b2x+2 + 5b2x)13) (3x + y) (4x 5y) 14) (2x3 + 4y2) (4x3 2y2)15) (-3x2 -5y) (2x2 + 3y)16) (2+2x2y) (2 + 3x2 y)17) (2/3 x + 3/5) (x 1/4y) 18) (1/2 x2 -3/8y2) (5/6 x2 2/5y2)19) (x2 -4x + 2) (x 1) 20) (x4 3x3 + 2x2 + 5) (x 5)21) (x4 8x3 + 4x2 + 5x-6) (4x -3)22) (3x2 4) (x 1) (2x2 + 3)23) (x + 6) (2x 1) (x2 5)24) (3x + 2) (4 x 3) (5x + 4)25) 2x -3[x+ (2x 3y) -5(x 2y)] 26) x-2{x [a x + 5(a x) -4 (a +x)]}27) x y 3{x + y 2 [-x + y 4 (-x y) + 2 (-x + y)-x] y}28) 6a2 + 4 {x2 [a2 + 2a2 - 3x2 a(3a - 8) + x (-2x + 2)]}PRCTICA DOMICILIARIAResuelve: 3. Si de: P(x) = 4x2 y Q(x) = 2x-31. Dado: P(x) = 2x3 Q(x) = 3x2Se obtiene : P(x). Q(x) = mxn + axb; n > b Donde: P(X) . Q(x) = mxnCalcula : m -a Indica la o las proposiciones verdaderas: n+b I) m = na) 4b) 20 II) n m = 1 c) 5d) 2 e) -4 III) n + 1 = m a) solo I b) slo II c) slo III 4. Si: P(x) = 2x3 3x + 5x5 + 3; y Q(x) = 7x5 d) slo I y II e) slo II y III Calcular: P(x). Q(x)2. Asocia correctamente: Da como respuesta la suma de a) (4x3y2) (9xy3)( ) 36 x4 y6 Coeficientes: 4 b) (18xy ) (2x y ) (3 2) 36 x y6 5 a) 47 b) 14 3 4 x) (12x y ) (3x y) (3) 36 x y4 5 c) 0d) -21 e) 49 38. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Ao5.Dado: P(x) = x + 4y Q(x) = x 310. En la siguiente multiplicacin de monomios:2Adems : x + x = 12 axay2 . mx3yb = 10x5 y6Halla: P(x) . Q(x)Determina: a + m + ba) 24b) 0 a) 5 b) 2c) 12d) -12e) -24 c) 4 d) 11 e) 106.Si: P(x; y) = - 3ax2 yb Q(x;y) = 2bxay4 11. Si: P(x) es idntico a M(x)Son semejantesDonde: P(x) = -9x (3x + 2 4x2)Halla el coeficiente de: P(x;y) . Q(x;y)M(x) = mx2 + nx + q x3a) -48 b) -6Halla: m + n + qc) 2 d) -4 e) -8a) -9b) - 8c) 7 d) 9e) 07.Si : P . Q es homogneoDesde : 12. Si al multiplicador: 23m+3 3n+1P (x;y) = 3x y ; Q(x,y) = xy-2x y nxn mxm + (p+a)xp qxqHalla : m n Por 2x2 se obtiene un polinomio complete ya) 2 b) -3ordenando ascendentemente. Calcular lac) 0 d) -2e) 3sumadecoeficientes del polinomioresultante.8.Si luego de multiplicar:a) -2b) - 4P(x) = x + 1 yc) 0 d) -1 e) 2Q(x) = x + 2aSe obtiene un polinomio cuya suma13. Al multiplicar: de coeficientes es 10.P(x) = x2 + x + 1 y Q(x) = x2 x + 1Calcula: Q (1)Cuntos trminos tiene el resultado?a) 2 b) 5a) 1 b) 2c) 4 d) -2 e) -5c) 3 d) 4e) 99.El producto de: (x + y) (xn xy + ym) es un14. Calcular el nmero de trminos que se originapolinomio homogneo. Halla el N deal multiplicar:trminos que posee dicho polinomio.P(x ; y) = (x y)a) 6 b) 4 Q(x ; y) = x3 + x2 + xy2 + y3c) 3 d) 5e) 12a) 8 b) 6c) 4 d) 2e) 3 39. TEMA N 05: PRODUCTOS NOTAbLESCapacidades: Reconoce y Aplica productos notables. Resuelve problemas con productos notables.Exploracin y Desequilibrio:A. Efecta: 1) (3x2) 2 = 3) (1/2x3) 4 = 2) (-6a2b3) 3 =4) (-0,3 m2n4)3 =B. Efecta 1) (x + 5) 2 = 3) (x + 7) /x 3) = 2) (a + b)3 =4) (x + 5) (x2 5 x + 25) =Desarrollo del Tema: PRODUCTOS NOTABLESHallando de productos, se trata de cierta multiplicacin que por su convivencia y empleoadquieren muchsima importancia de aqu viene la denominacin de PRODUCTOS NOTABLESpara las IDENTIDADES DE LENGENDRE.Dichos productos son aplicables a toda clase de trminos; pero para mayor facilidad y claridadde comprensin se usarn los trminos ms comunes y sencillos. Los Productos Notablesms comunes son:1. Cuadrado de la suma de dos monomios(a + b)Sea: (a + b), la suma de los monomios a y b.(a + b)elevar al cuadrado (a + b) equivale a multiplicar el 2a + ab binomio (a + b) por si mismo. Esto es: + ab + b2 (a + b) 2 = (a + b) (a + b) ; efectuando el productoa2 + 2ab + b2se obtiene.(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 Lo que nos dice: El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero, ms el doble producto del primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo. Ejemplos: Ahora t! 2 2 2 1) (x + 3) = x + 2(x) (3) + 3 3) (a + 5) 2 = = x2 + 6x + 9 Rpta. 40. Productos NotablesSegundo Ao2) (x2 + 2y) 2 = (x2) 2 + 2(x2)(2y) + (2y) 24) (3x3 + 8y)2 = = x4 + 4x2y + 4y2Rpta.2. Cuadrado de la Diferencia de dos Monomios (a - b) (a - b) elevar al cuadrado (a - b) equivale a multiplicar el por si a2 - abmismo. Esto es2 - ab + b (a - b) 2 = (a - b) (a - b) ; efectuando el producto se obtiene a2 - 2ab + b2(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2Lo que nos dice:El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero, menos eldoble producto del primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo.Ejemplos: Ahora t! 2 221) (5x - 3) = (5x) - 2(5x) (3) + (3)3) (3x2-2y) 2 == 25x2 - 10 x + 9 Rpta.2) (2xy3 5z4) 2 = (2xy3) 2 - 2(2xy3)(5z4) + (5z4) 2 4) (2/3x2 5/4x)2 = = 4x2y6 - 20xy3z4 + 25z8Rpta. PRCTICA DE CLASEDesarrolla los siguientes productos notables:1) (x + 3y)22) (5x + 6y)23) (4x2 + y)2 4) (5x + 8y)25) (10z + 9x)26) (15x3 + 8y)27) (x3 + 15y2)2 8) (20z2 +12y)29) (15x2 + 13y2)2 10) (2x2 + 14y3)211) (20x2 + 12y) 212) (13x6 + 9y3)213)(xy + zw)2 14 (2ax + 5bz) 2 15) (6x2y+ 3z3)216) (5a2x + 8by)217)(12x3y2 + 6a2)218) (2b2z + 15x3y2)2 19) (x2yz + zy)220) (3xy + 2abc)2 PRCTICA DOMICILIARIADesarrolla los siguientes productos notables:1)(b x)22) (6x 4y)2 3) (8y 3x)2 4) (4z 2)25)(5x2 3y2)26) (12x2 8y3)27) (x5 3y3)28) (18x2 9y2)29)(5/8x -3/4y) 210) (2/3x2 8) 2 11) (1/9 3x) 2 12) (0,1x 0,8y) 213) (0,7xy 0,6x2y) 214) (0,2x2 0,8) 2 15) (3xax-1-2bx+1) 216) (8xn+1 xn) 2Halla el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto:1)()2 = X2 + 12X + 362)( )2= X2 + 22X + 1213)()2 = X2 + 14X + 494)( )2= X2 - 26X + 169 41. 5)()2= X2 + 16X + 64 6) ()2 = X2 + 18X + 817)()2= X2 + 8 X + 16 8) ()2 = X2 - 36X + 3249)()2= X2 + 40X + 40010)()2 = X2 + 28X + 19611) ()2= X2 + 30X + 22512)()2 = X2 + 42X + 441Halla el binomio que da origen a cada binomio cuadrado perfecto:13) x2 + 20x + 100= ()214)z2 + 62 + 9 = ()215) x2 + 40x + 400= ()216)x2 30x + 225= ()217) x2 + 8 x + 16 = ()218)x2 42x + 441= ()219) x2 + 22x + 121= ()220)x2 - 26 + 169=()23. Producto de la suma por la diferencia de dos monomiosSi: a y b representan dos monomios cualquiera, efectuamos el producto:(a + b) (a b) como sigue: (a + b) (a - b) a2 + ab- ab - b2 a2 -b2(a + b) = (a b)=a2 - b2Lo que nos dice:El producto de la suma por la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado delprimero menos el cuadrado del segundo.Ejemplos:1)(a+2b) (a-2b) ) = a2 (2b) 2 = a2 4b2 2) (xn + 3) (xn 3) =3)(x+3) (x-3) ) = x2 3 2 = x2 3 4) (2x2 - 1) (2x2 + 1) =5)(9 3x) (9 + 3x) = 81 9x 2 6) (5 - 2x) (5 + 2x) =7)(3 1) (3 + 1) = 32 - 12 =31=28) (7 + 5) (7 - 5) = 3369)(2/5x - 2) (2/5x + 2) = 4/25 x - 4 10) (3/4xm 5/2 yn) (3/4xm + 5/2yn) = 42. Productos Notables Segundo AoACTIVIDAD N 1Aplica la regla del producto notable: (a + b) (a b); halla el resultado de:1) (a + 2x) (a 2x) 2) (3a + 8y) (3a - 8y)3) (5xy + 6) (5xy - 6) 5 54) (x + 1) (x 1) 5) (2 + x) (x 2)6) (6 - x2) (x2 + 6)7) (3x2 4) (3x2 + 4) 8) (ax + bx) (ax bx)9) (10xy2 + 6) (10xy2 6)10) (1-2axy) (1 + 2axy)11) (3xn + 5yn) (3xn - 5yn) 12) (2x + 1/3) (2x 1/3) 3 4 3 4 2213) (X y 5/8z) (x y + 5/8z)14) (1/2 x + b ) (1/2 x b )15) (0,2x3y + 0,8z3) (0,2x3y 0,822)16) (5x+2yn) (5x-2 yn)17) (3xn-49yn (3xn+49yn 18) (x6+3xnyn) (x6-3xnyn)ACTIVIDAD N 2Escribe en forma directa, el resultado de cada una de las siguientes expresiones (no esnecesario efectuar la multiplicacin)1) (3 1) (3 + 1)2) (6 + 2) (6 - 2) 3) (11 + 3) (11 3)4) (5 + 2) (5 - 2)5) (6 + 13) (6 - 13) 7) (2 +15) (15 2)7) (5 + 1) (5 1)) 8) (49 + 2) (2 - 49) 3) [(7 + 2) (7 2)]2ACTIVIDAD N 3En cada ejercicio siguiente, escribe los dos factores cuyo producto es el que se le da:1) ()( ) = x2 100 2) ()( ) = 25 x23) ()( ) = x2 164) ()( ) = x6 y45) ()( ) = 225 y4 6) ()( ) = 121 x87) 1/16 -z4 = () ( )8) x6 - 49 = ( ) ()4. Producto de dos Binomios que tienen un trmino comn Forma:(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab Donde:x trmino comna, b trminos no comunes Lo que nos dice: El producto de dos binomios con trmino comn es igual al trmino comn al cuadrado ms la suma de los trminos no comunes por el comn y ms el producto de los trminos no comunes.1) (x+7)(x+3) = x2 + (7+3)x + 7.3 = x2 + 10x + 212) (x + 5) (x + 2) =2 23) (2x+1)(2x+3) = 4x + 4(2x) + 3 = 4x + 8 x + 34) (x + 1/3) (x + ) = 25) (x - 3)(x - 4) = x + (-3 - 4)x + 3.46) (2x - 3) (2x - 5) = = x2 7x + 12 43. 7) (x + 5)(x - 2) = x2 + 3x 108) (x - 7) (x + 3) =5. Cuadrado de un TrinomioForma: (a + b + c)2 = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: 1) (x2 + x + 2) 2=x4 + x2 + 4 + 2x3 + 4x2 + 4x=x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4 2) (x2 - 5x + 1) 2 =x4 + 25x2 + 1 - 10x3 + 2x2 - 10x=x4 - 10x3 + 27x2 - 10x + 1 AHORA T! 3) (a2 + 2a + 3) 2 = 4) (5x2 - 3x - 1) 2 =PRCTICA DE CLASEHalla el producto de:1) (x + 3) (x + 8) 2) (x2 + 1) (x2 + 2)3) (x3 + 5) (x3 + 4)4) (x + 10) (x + 5)5) (x + 9) (x + 8)6) (x2 + 12) (x2 + 15)7) (x4 + 6) (x4 + 9) 8) (x3 + 3) (x3 +11)9) (x2 + ) (x2 + 1/3)10) (x2 + 0,5) (x2 + 0,3)11) (2x + 1) (2x +3)12) (3x + 2) (3x + 4)13) (x - 8) (x - 10) 14) (x - 1) (x -9)15) (x - 10) (x - 20) 22 3 316) (x - 3) (x - 8)17) (x - 7) (x - 6) 18) (x4 - 1 ) (x4 - 3)19) (x 0,7) (x 0,2)20 (x3 0,2) (x3 06) 21) (2x - 3) (2x - 5)PRCTICA DOMICILIARIAHalla el producto de:1) (x + 15) ( x 3) 2) (x 12) (x + 7) 3) (x 5) (x + 4) 2 23 34) (x + 9) (x 2) 5) (x 13) (x + 8) 6) (x + 4/3) (x 3/2)7) (x ) (x + 2/5)8) (x + 2/3) (x 5/4)9) (x 0,7) (x + 0,2)10) (x + 0,9) (x 0,7)11) (2x + 1) (2X 3) 12) (5x + 2) (5x 6) 22 3 313) (3x + 6) (3x 1)14) (5x 2) (5x + 3) 15) (2x6 1) (2x6 + 5)16) (x + y z) 217) (2x + y + 3) 2 18) (2c + 1 2y) 219) (x2 3x 5) 220) (x2 10x 1) 221) (2a2 5a - 3) 26. Cubo de la suma de dos monomios1 Forma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b32 Forma: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 44. Productos Notables Segundo Ao Lo que nos dice: El cubo de un binomio es igual al cubo del primero, ms o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, ms o menos el cubo del segundo.Ejemplo:1) (x + 2)3 = x3 + 3(x2) (2) + 3 (x)(2)2 + (2)22) (3x+4)3 = ( )3+3( )2 ( )+3 ( )( )2+( )3 = x3 + 6 x2 + 12x + 43) (x + 5)3= x3 + 3 (x)2 (5) + 3 (x) (5)2 + (5)3 4) (2x + 1)3 = = x3 15x2 + 75x + 125= 33 223 35) (x 4) = (x) 3(x) (4) + 3(x) (4) (4) 6) (2x 3)3 2 = x 12x + 48x 647) (x2 y3)3 = (x2)3 -3(x2)2 (y3) + 3 (x2) (y3)2 (y3)38) (x y2)3 = ACTIVIDADHalla aplicando las reglas de los productos notables, el resultado de:1) (x + y)3 2) (2x + 3)3 3) (3x + y) 34)(ax + y) 3 5) (3x + 2y) 36) (x2 + 4)37) (2x + 5)3 8) (2x2 + 1) 9)(x2 + y2)3 10) (2ax3+ 3b3)311) ( + x)312) (x - 5)3 13) (3 - x) 314)(2x - 3y)315) (3b 2ay) 316) (x2 y3)317) (x4 2y2)318) (-x - 3y) 319)(x3 1/3)3 20) (2/3 - x) 37. Suma de cubos de dos monomiosForma:(a + b) (a2 ab + b2) = a3 + b3 De donde: a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2) Lo que nos dice: La suma de cubos de dos monomios es igual a la suma de los dos monomios, multiplicando por el cuadrado del primer monomio menos elproducto de los dos monomios ms el cuadrado del segundo monomio. Ejemplos: AHORA T!2 333 1) (x + 2) (x 2x + 4) = x + 2 = x + 82) (2x + 3) (-+ )= 2 2) (x + 1) ( )=4) (3x + 2) ()=8. Diferencia de cubos de dos monomiosForma:(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3 De donde: a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2) Lo que nos dice: 45. La diferencia de cubos de dos monomios, es igual a la diferencia de los dos monomios,multiplicando por el cuadrado del primer monomio ms el producto de los dos monomiosmas el cuadrado del segundo monomio.ACTIVIDADHalla, aplicando las siglas de los productos contables, el resultado de:1) (x + 8) (x2 8x + 64) 2) (x + 6) (x2 6x + 36)3) (2x + 3) (4x2 6x + 9)4) (3x + 1) (9x2 3x + 1) 5) (5x2 + 2) (25x4 10x2 +4) 6) (2x3 + y2) (4x6 2x3y2+ y4)7) (5x2n + 2) (25x4n 10x2n + 4) 8) (x-4) (x2 + 4x + 16)9) (x-9 )(x2 + 9x + 81)10) (3x 1) (9x2 + 3x + 1)11) (2x2 5) (4x4 + 10x2 + 25)12) (6x ) (36x2 + 3x +)13) (8x2 ) (64x4 + 6x2 + 9/16) 14) (2xn - 5) (4x2n + 10xn + 25)15) (3xny -1/6) (9x2n y2 +xny/2 + 1/36)PRCTICA DE CLASE1.Relaciona correctamenteDa como respuesta la suma de2 2a) (x + 5) ( ) x + 4x + 4coeficientes:b) (x + 3) 2 ( ) x2 + 10x + 25 a) 0 b) 22 2c) (x + 2) ( ) x + 6x + 9c) 4 d) 5 e) -42.Indica la relacin correcta: 7) Reduce: (x + 3) (x - 3) + (x + 2) (x 2)a) (x - 10)2 ( ) x2 - 20x + 100 Dapor respuesta el mayorb) (x - 6) 2 ( ) x2 - 14x + 49 coeficiente.c) (x - 7) 2 ( ) x2 - 12x + 36 a) 2 b) -13 c) 13d) -2e) 83.Da la respuesta en cada caso:a) (2x + 1) 2 = _________________8)La expresin: (x + 3)2 (x + 2) (x 2)2 2b) (4x x) = _________________Se reduce a : mx + n Halla: m + n4.Desarrolla en cada caso: a) 13b) 17a) (x + 2) (x 2) = c) 6 d) 18 e) 19b) (2a + 3) (2a 3) =c) (x2 + 3x) (x2 3x) = 9)Luego de simplificar: (x + 2) 2 +(x 2) 2 + (x + 3) 2 (x 3)25.Si: (2x + 3) 2 = m x2 + nx + p Indica el menor coeficiente.Halla: m + n + p a) 2 b) 8a) 94 b) 96c) 4 d) 12e) 1c) 100d) 98 10) Si: m2 + n2 = 5 > m n = 2e) 102 Halla: m + n6)Simplifica: (x + 1)2 + (x 2)2 46. Productos Notables Segundo Aoa) 2 b) 3 18) Simplificar:c) 5 d) 1 e) 4 7b 2 + 2ab + (a 2 + b2 ) (2ab )2211) Simplifica: (3ax + 2by) (3ax 2by),19) Efectuar:sabiendo adems que: a2 x2 = 1 b2y2 = 2 A = 1 + ( x + 1)( x 1) (x 2 + 1) x 4 + 1( )a) 0 b) 120) Efectuar:c) 2 d) 3 e) 4 N = a + b . a b a2 b +b [ ]12) Si : (x + 1)2 = 3 a (a + b )2 (a b )21) Simplificar:P =Calcula: x2 + 2x 2 a2 b2a) 3 b) 0 a b22) Dado:+ =1; a . b 0 b ac) 2 d) 1 e) -2 a 4 +b4Determinar: 2 2a .b13) Cul es el gradodel siguiente23) Si: x3 + y3 = 280; x + y = 10polinomio: P(x) = (2x + 3) 8 x2 + 2 Calcular x. y(2x 3) 2 + xa) 2 b) 0 24) Reducir:c) 3 d) 1e) 4( P = 6 ( a + b )( a b ) a 4 + a 2b 2 + b 4 + b 6 ) a>014) Reduce la expresin: (x + 1) 2 + (x + 3) 2(x 1) 2 (x 3) 225) Si: (x+5)(x+b)(x3) = x319x+a.a) 2xb) 3x Calcular a bc) 10x d) 12x e) 16x15)Reducir: 26) Simplificar:R = ( x 2 7 x + 11) ( x 2)( x 3)( x 4 )( x 5)2 A = 16 ( 2 +1 )( )2 1 + 3 . 5 .17 . 25716) Efectuar: E( 2+3 2 3 ) 627) Simplificar:2 2+ 3 2 2 317) Qu expresin hay que agregar aB = +(3x+2)2 para que sea igual a: (3x+5)2 2 3 2 2+ 3(3x+7)?28) Reducir: (x + 9)2 (x + 13)(x + 5) R=(x + 10)(x + 9) (x + 18)(x + 3)PRCTICA DOMICILIARIA1)Si. (x + 1)3 = ax3 + bx2 + cx + d 2)Si: (x 2)3 = mx3 + nx2 + px + qHalla: b+cHalla:m+p +q a +d m +na) 1 b) 3 a) 2b) -2c) 4 d) 1/3e) 2/3 c) 1d) -1e) 0 47. 3)Si: (x + 2) (x2 2x + 4) ax3 + b11) Si: (x 2)2 = 5Calcula: a+b Calcula:x2 4xa) 3b) 4 a) 2b) 4c) 2d) 1e) 5 c) 0d) -1e) 14)Se cumple que: 12) Cul esel gradodel siguiente 23 (x 3) (x + 3x + 9) mx + n polinomio:Halla: m + n Q((x) = (x 5) 2 + 4 20x (x 5)2a) -26b) 25a) 1b) 0c) -22d) 26 e) -28 c) 2d) 3 e) 45)En la siguiente identidad:(x + 1) (x + 2) a x2 + bx + c: 13) Reduce:Calcula: c a+b N = (x + 3) (x + 2) + (x 3) (x 2) 2x2 a) 0b) x2a) 3b) 1 c) 2x2d) 6 e) 12c) 2d) 5e) 46)Simplifica: m = (a + b) 3 3ab (a + b)14) Simplifica:a) a3 b) b3M = (x + 2) (x 1) (x + 3) (x 2)c) a3 b3d) 0e)a3+b3a) 4b) 27)Reduce:c) 6d) -2e) 0 G = (a b) 3 + b3 + 3ab (a b) a3a) a3 b3 b) a3c) b3 d) 0e) 1 15) Si: a + b = 3 ab = 1 3 3 Halla:a+b enla siguiente 3 38)Simplifica:expresin: a + b + 3ab (a + b)M = (m + n) (m2 mn + n2) + a) 27 b) 18 (m n) (m2 + mn + n2) c) 9d) 3 e) 0 33a) nb) mc) 2m3d) 2n3e) 0 16) En la expresin: (a + b) (a2 ab + b2) Se cumple que: a + b = 2 y2 29)Si: m2 + n2 = 20 mm = 2a ab + b = 5Halla: m n Halla: M = a3 + b3a) 2b) 3 a) 2b) 5c) -2 d) 4e) 0 c) 10 d) 9 e) 2510) (a + 3b) (a 3b) = 017) Determina el valor de: a3 b3Calcula: 27 b2 Si: a b = 6 y a2 + ab + b2 = 8 a3a) 6b) 4a) 3b) 7 c) 8d) 3 e) 48c) 9d) 27 e) 1 18) Determina el valor numrico de: 48. Productos NotablesSegundo AoM = ( x + 3) (x + 2)Sabiendo que: x2 + 5x = 226) Simplifica:a) 2 b) 5M = (a + b)3 b3 3ab (a + b)c) 6 d) 7 e) 8 a) 0b) b3 c) a3 + b3d) abe) a319) Calcula: (x + 4) (x + 8) 2Si: x + 12x = 427) Reduce:a) 4 b) 32 N=a3 b3 3ab (a b) + 9c) 6 d) 36e) 1(a b) 3 + 9 a) 0b) 1 2 220) Si: (x + n) = x + 16 x + 64c) 3d) -1e) 9Calcula: 3na) 6 b) 228) Simplifica:c) 3 d) 4e) -2 G = (m+n) (m2 mn + n2) (m n) (m2 + mn +n2)21) Si: (x + 2)3 ax3 + bx2 + cx + da) n3 b) m3Halla : 3 a+b+c+dc) 0d) 2n3 e) 2m3a) 2 b) 3c) 1 d) 4e) -2 29) Reduce: M = (x 3) (x + 2) + (x + 5) (x 22)3Si: (x 3) m x + n x32 + px + q4) + 26Halla: (m + n) (p + q) a) 26 b) 24 2a) 1 b) 0c) 2x d) xe) x2c) -27 d) 9e) -9 30) Simplifica M = (x 3) (x 2) (x 6) (x + 1)23) Si: (x + 3) (x2 3x + 9) a x3 + b a) 6b) -6Calcula: a + b c) 12 d) -12 e) 0a) 28b) 27c) 26d) 1e) 0 31) Si: a + b = 4 ab = 2 Halla:a3 +b3 en la siguiente24) En la siguiente identidad: expresin:(3x 2) (9x2 + 6x + 4) m x3 n a3 + b3 + 3ab (a + b)Determina: m-n+1 a) 24 b) 0 5 c) 40 d) 36e) 12a) 3 b) 5c) 1 d) 4e) 232) En: (a + b) (a2 ab + b2) Si: a + b = 3 a2 ab + b2 = 525) Se cumple que: Determina: a3 + b3(x + 3) (x 5) ax2 + bx + c a) 15 b) 5Calcula: a + b + c c) 2d) -2 e) 6a) -16 b) 16c) -17 d) 17 e) 0 33) Halla: a3 b3 49. Si: a b = 3 a2 + ab + b2 = -2 34) Halla el valor numrico de:a) 6b) 5M = (x 1) (x + 2)c) -6 d) 1e) -1 Si: x2 + x = 2a) 2b) 0c) 1d) -1 e) 7 50. Divisin AlgebraicaSegundo Ao TEMA N 06: DIVISIN ALgEbRAICACapacidades: Determina el cociente y residuo, utilizando el mtodo clasico, de Horner , la regla prctica deRuffini o el teorema del resto. Resuelve problemas aplicando la divisin algebraica.Exploracin y Desequilibrio:A. Efecta:1) (3x2 ) (2x3) =3) (x + 5) (x 6) =2) 5x (x + 8) =4) (x 2) (x2 + 2x + 4) =B. Efecta:1 (-8 x6) : (4 x3) = 3) (x2 y2) : (x + y) =2) (5x3 3x2) : x = 4) (x2 + 7x + 10) : (x + 2) =Desarrollo del Tema: DIVISIN DE MONOMIOSEl corriente de los monomios es otro monomio (como de divisin exacta); cuyocoeficiente es el cociente de sus coeficientes y la parte literal es el cociente de suspartes literales, y si los monomios tienen la misma parte literal es la letra comn con unexponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente deldivisor.Ejemplo 1: Halla el cociente al divisorEjemplo 2: Halla el cociente de:6 212 xentre 3x - 20 x8 y4 entre 5x5 y2SOLUCIN:12 x6 = 12x6 SOLUCIN: -20 x8 y4 = -20 x8 y43x2 3 x25x2 y2 5x5y2= 4 x6 - 2 = 4x4 = -4 x8-5 y4-2 = -4 x3 y2TRMINOS DE UNA DIVISIN EXACTA: En la divisin exacta entran los siguientestrminos:a) DIVIDENDO; que es la cantidad que se ha de dividir (18 x)b) DIVISOR; es el trmino por el cual se efecta la divisin (6)c) COCIENTE; que es el resultado de la divisin (3x)sea:DIVIDENDO :DIVISOR = COCIENTE 18 x : 6 3x 51. LEYES DE LOS SIGNOS: En la divisin de dos trminos hay que tener presente la(+) : (+) = + (El cociente de los siguiente regla de los signos: dividiendo dos trminos(- ) : (-) = + trminos de signos entre si, que tienen signos iguales, los dos positivos o losiguales esPOSITIVO). dos negativos, resulta su cociente positivo y dividendo dos trminos que tienen signos diferentes, uno positivos(+) : (-) = - (El cociente de los y otros negativos, resulta su cociente negativo; lo cual(- ) : (+) = -trminos de signos se resume de la siguiente forma: diferentes esNEGATIVO). Ejemplos: 1) 16 x2 = 8x2-1 = 8x2)-30 x4 =10x4-1 = 10x32x- 3x 3) + 10 x8 = - 2x8-5 = -2 x3 4) 12 x7 = -3 x7-4 = 3x3 -5x5 - 4x4ACTIVIDADHalla el resultado de las siguientes operaciones:1) 12 x6 y3 2)36 x8 y43) 144 x6 y4 4) -42 x3 y4 z24x4 y2-9 x3 y372 xy27x2 y2 Z5) 30 x8 y2 Z3 6) -48 x6 y7 z2n 7) -56 x6 y6 Z48) 117 x7 y4 z3- 5x3 y z2-6 x2y3 z -7 xy2 Z 9x3y2 Z9) 108 x6 y910)84 x4 y7 11) 55a6 b9 x4 y912) -72 xm+3 yn+2 9x4 y7 -6 x y6 -5a4 b2 xy6-6 xm y213) 128 xm+5 yn+2 14) -126 xn+1 yn+415)112 x3 y5 64 x4 yn6xn yn+3 7x3 y2 DIVISIN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los trminos del polinomio separadamente entre el monomio divisor y se suman algebraicamente cada uno de estos resultados. Ejemplo 1Dividir: 42x6 y5 21 x3 y7 + 35 x5 y2 7 xy2 SOLUCION: Procedemos a dividir cada trmino entre el divisor: 42 x6 y5 21 x3 y7 + 35 x5 y2 =42 x6 y5 -21 x3 y7+ 35 x5 y2 7 x y2 7 x y2 7 x y2 7 x y2 = 6 x5 y3 - 3 x2 y5 + 5x4 Rpta. Ejemplo 2: Divide: 0,8 x2 y2 + 1,2 x4y 0,6 x6 52. Divisin AlgebraicaSegundo Ao- 2x2SOLUCION: 0,8 x2 y2 + 1,2 x4 y 0,6 x6= 0,8 x2 y2 + 1,2 x4 y - 0,6 x6- 2x2- 2x2- 2x2 - 2x2=0,4 y2 - 0,6 x2 y + 0, 3 x4Rpta.ACTIVIDADDESARROLLA LAS SIGUIENTES DIVISIONES:1. 8 X2 - 24 xy 2. 5x2 - 10 x 3. 3xy3 - 5x2 y2 + 4x2 y3z8x5x- x y24. 6 x3 y2 + 9 x4 y4 z 12 x2 y z35. 15 x6 y2 10 x4 y3 z5 - 20 x2 y5 z6 - 3 xy 5 x2 y26. 5/7 x4 y3 z 2/9 x3 y4 z x2 y57. 3/8 x4 y + x3 y3 x2 y5 z - 2/3 x2 y2 x2 yn8. z wn + 2zn+1 w n +1 9. 0,9 x2 y2 + 0,65 x3 y3 0,15 x4 y4- 2n wn -0,05 x y10. 45xn-3 - 15xn-2 - 25xn-111. 1,5 x y5 z 2,4 x2 y4 3,6 x3 y3- 5xn-3 -0,1 x y3DIVISIN DE POLINOMIOSEs la operacin que nos permite encontrar unas expresiones llamadas Polinomios Cociente y Residuo deotras llamadas Polinomios Dividendo y Divisor. Dados los polinomios: D(x) : Polinomio dividendo d(x) : Polinomio devisor Vamos a calcular: q(x) : Polinomio cociente R(x) : Polinomio residuoD (x ) d (x )A l d iv id ir D(x ) d (x )q (x )R(x )ALGORITMO DE LA DIVISINEs el criterio que se enuncia de la siguiente forma:Dados los dos polinomios D(x) y d(x) con d(x)0, entonces existe polinomios nicos q(x) y R(x) tales que: D (x ) d (x ) . q(x ) + R(x )Esta identidad es conocida como el Algoritmo de Euclides.MTODO PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOSPara dividir polinomios existen diversos mtodos cuyos procedimientos presentan reglas particulares quehacen fcil el clculo del Cociente y Residuo.I) Mtodo Clsico o Divisin Normal. 53. II) Mtodo de los Coeficientes Separados.III) Mtodo de Horner.IV) Mtodo de Ruffini.V9 Teorema del RestoObSERVACIN:Antes de efectuar la divisin entre dospolinomios, estos se deben encontrar en formacompleta y ordenada. De no ser as secompletaconceros y seordenadescendentemente.Ejemplo:Sea el polinomio:P(x ) = 5 x 4 + 1 x 3 + 3 x 2Luego: Completando (con ceros) tendremos: P(x ) = 5 x 4 x 3 + 3 x 2 + 0 x + 1(Es un polinomio completo y ordenado descendentemente)A continuacin vamos a emplear los diversos mtodos para dividir polinomios, para lo cual se tiene queseguir ciertos procedimientos.I) MTODO CLSICO O DIVISIN NORMAL Para dividir dos polinomios, previamente completo y ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una misma variable, debemos seguir los siguientes pasos:1 Se escriben en lnea horizontal uno a continuacin del otro utilizando el signo de la divisin aritmtica.2 Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor, obteniendo el primer trmino del cociente.3 Este trmino se multiplica por cada uno de los trminos del divisor y se pasan los resultados con signos cambiados debajo de los correspondientes trminos del dividendo.4 Se divide el primer trmino del resto obtenido entre el primer trmino del divisor y se obtiene el segundo trmino del cociente.5 Luego se procede como en el tercer paso, es decir, se efectan las mismas operaciones anteriores. As hasta que el resto sea de grado menor que el del divisor:Ejemplo 1:Efectuar la siguiente divisin: 6 x 4 + 1 3x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1 2 x 2 + 3x 1Solucin:* Se observa que:[ D (x )] = 4[ d (x )] = 2*Entonces:[ q(x )] = [ D (x )] [ d (x )] [ q (x )] = 4 2 [ q (x )] = 2 * Tambin: 54. Divisin Algebraica Segundo AoMx [ R(x )] = 2 1mx[ R(x )] = 1* Antes de efectuar la divisin tener presente que los polinomios deben estar completos y ordenados.* Aplicando el Mtodo Clsico o Normal. 6x 4 + 1 3x3+ 5x2+ 6x + 1 2x 2 + 3x + 1 - 6x 4- 9x3+ 3x23x 2 + 2x + 1+ 4x3+ 8 x 2+ 2x- 4 x 3- 6x2+ 2x+ 2x2+ 8x + 1- 2x2- 8 x + 15 x + 2Luego:El cociente es : q(x ) = 3 x 2 + 2 x + 1El resto es: R(x ) = 5 x + 2 NOTA: Si observas en los resultados obtenidos * El grado del cociente es 2. * El mximo grado del residuo es 1. Lo que verifica los clculos realizados al inicio de la solucin.Ejemplo 2:Dividir4 x 5 + 3x 4 7 x 3 + 8 x 2 5 x + 2 4x 2 x + 2Solucin:* Se observa que: [ D (x )] = 5 [ d (x )] = 2* Entonces: [ q(x )] = 5 2 = 3 R (x ) = 2 1 = 1 Mx* Aplicando el mtodo clsico: 55. 4 x 5+ 3x 4 - 7x3 + 8 x 2 - 5 x + 2 4 x 2 - x + 2- 4 x 5+ x4 - 2 x 3 x 3 + x 2 - 2x + 1+ 4x 4 - 9 x 3 + 8 x 2- 4x 4 + x 3 - 2 x 2 - 8x3 + 6x2 - 5 x + 8x3 - 2x2 + 4 x+ 4 x2 - x + 2- 4 x2 + x - 20Luego:El cociente exacto es : q(x ) = x + x 2 x + 1 3 2El residuo exacto es:R(x ) 0 NOTA: Cuando el resto es igual a cero se dice que un polinomio es divisible por otro que la divisin es exacta.II) MTODO DE LOS COEFICIENTES SEPARADOSEste mtodo es recomendable para polinomios de una sola variable.Como su nombre lo indica, se debe trabajar nicamente con los coeficientes en forma separada, ladistribucin de sus trminos es la misma que en el Mtodo Normal, colocando ceros en los trminos quefaltan.Para determinar el grado del cociente y el resto se debe aplicar a las propiedades del grado. NOTA: Para ver que los mtodos mencionados se cumplan vamos a realizar las mismas divisiones de los ejemplos 1 y 2.Ejemplo 1: 6 x 4 + 1 3x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1Dividir: 2 x 2 + 3x 1Solucin:* Los grados del cociente y residuo sern: [ q(x )] = 4 2 = 2 Mx [ R(x )] = 2 1 = 1 Tomando la distribucin de los coeficientes en la divisin: 56. Divisin Algebraica Segundo Ao 6 + 1 3 + 5 + 6 + 1 2 + 3 1 6 9 33 2 14 8 6 4 62 28 1 2 31 52Luego, colocando la parte literal se tiene: q(x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 R(x ) = 5 x + 2Ejemplo 2: 4 x 5 + 3x 4 7 x 3 + 8 x 2 5 x + 2Dividir: 4x 2 x + 2Mx [ R(x )] = 2 1 = 1Tomando la distribucin: 4 3 78 524 1 2 41 211 2 14 98 41 2 86 58 2 44 1 2 4 1200 0Luego, colocando la parte literal:q(x ) = x 3 + x 2 2 x + 1y R(x ) = 0II) MTODO DE HORNEREste mtodo es un caso particular del Mtodo de Coeficientes Separados y se emplea para la divisin dedos polinomios de cualquier grado.El procedimiento es el siguiente:1 Se colocan los coeficientes del dividendo (horizontal) y divisor (vertical).2 Se escriben los coeficientes del divisor en una columna, el primero de ellos con su propio signo y losrestantes con signos cambiados.3 Las lneas punteadas (discontinuas) son importantes ya que separan al cociente del Residuo y para sutrazo slo observaremos el grado del divisor.4 La divisin comienza dividiendo el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente deldivisor.5 El primer coeficiente del cociente obtenido multiplica a los dems coeficientes del divisor (coeficientesque cambian de signos) uno a uno.6 Los resultados se ubicarn en las siguientes columnas, corriendo un lugar hacia la derecha. 57. 7 Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado obtenido se divide con el primer coeficiente del divisor para obtener as el segundo trmino del cociente. El procedimiento se repetir hasta llegar a las lneas punteadas.8 Para obtener los coeficientes del Residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen al residuo.En forma grfica se tiene: Si nos piden dividir:+ + + + + + +Entonces, por el procedimiento descrito se tiene:* + * *q REjemplo 1:Dividir:6 x 4 + 1 3x 3 + 5 x 2 + 6 x + 12 x 2 + 3x 1Solucin:Los grados del cociente y residuo sern:[ q(x )] = 4 2 = 2Mx[ R(x )] = 2 1 = 1 Aplicando el Mtodo de Horner:2 6 1 3 5 6 1 3 9 3+ 1 6 2 31 3 21 5 2C o e fi c i e n te s C o e fi c i e n te sEscribiendo la parte literal con el Grado respectivo calculadoe seq tiene:d d e R q(x ) = 3x 2 + 2 x + 1R(x ) = 5 x + 2Ejemplo 2:Dividir:4 x 5 + 3x 4 7 x 3 + 8 x 2 5 x + 2 4x 2 x + 2Solucin:Los grados del cociente y residuo sern: 58. Divisin Algebraica Segundo Ao[ q(x )] =5 2 = 2Mx [ R(x )] = 2 1 = 1 Aplicando el Mtodo de Horner: 4 4378 5 2 + 112 21 22412 1121 0 0 Escribiendo la parte literal con el Grado respectivo calculado se tiene: q(x ) = x 3 + x 2 2 x + 1 R(x ) = 0IV) MTODO DE RUFFINIEste es un caso particular del Mtodo de Horner. El Mtodo de Ruffini permite encontrar el Cociente yResiduo cuando el Divisor es un binomio de la forma o transformable a ella.Se debe observar y tener presente que el polinomio Dividendo sea completo y ordenado, si faltasealgn trmino lo reemplazamos con ceros hasta completarlos.Es decir, si: D (x )ax b C ocient obt e enid oQ (x ) =Entonces: aDe igual forma el Mtodo de Horner, utilizaremos slo coeficientes empleando para la divisin elsiguiente esquema: D IV ID E N D O d iv is o r C O C IE N T ERE STO( o b te n i d o )Procedimiento:1 Se coloca en posicin horizontal el dividendo (coeficiente).2 Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable.3 Dicho valor despejado se ubicar en el esquema donde se indica el divisor.4 Se baja el primer coeficiente de D (x ) que se multiplicar con el valor despejado, resultado que se indicar debajo del segundo coeficiente del D (x ) .5 Se suman los valores de la segunda columna cuyo resultado se volver a multiplicar con el valor encontrado. Procedimiento que se repetir hasta concluir la divisin (cuando se haya llegado a la ltima columna).6 En la ltima columna se reducen los trminos, el resultado obtenido ser el residuo a calcular.7 Para obtener el cociente Q(x) a los coeficientes del cociente (obtenido) se les divide con el primer coeficiente de divisor. 59. Ejemplo 1:Dividir: 1 0x 3 + 3x 2 6 x + 4 5x 1Solucin:Aplicando el procedimiento mencionado, por Mtodo de Ruffini.5x 1 = 01 03 6 4x = 12 1 151 05 53C o c i e n teo b te n i d oComo: d (x ) = ax bLuego:d (x ) = 5 x 1 a=5Clculo deQ (x ) : 1 0x 2 + 5 x 5Q (x ) =5 1 0x 2 5 x 5Q (x ) = + 55 5 Q (x ) = 2x 2 + x 1R(x )= 3Ejemplo 2:Dividir:3x 4 5 x 3 + x 2 x + 1x 2Solucin:Aplicando el Mtodo de Ruffini: x 2 = 03 51 1 1 x = 262 6 103 13 5 11Como:d (x ) = ax byd (x ) = x 2d (x ) = 1 x 2 a =1 Clculo de Q (x ) :(4 x + 6 x + 5) (2 x + 1 )2 Q (x ) = 3 x 3 + x 2 + 3 x + 5 R(x ) = 1 1 60. Divisin AlgebraicaSegundo Ao Ejemplo 3: Dividir:5 x 4 9 x 3 + 3x 2 + 6 x + 15x +1 Solucin: Aplicando el Mtodo de Ruffini: 5x + 1 = 05 9 361x = 11 211 5 5 1 0 550 Como: d (x ) = 5 x + 1 a=5 Calculo de Q(x): 5 x 3 1 0x 2 + 5 x + 5Q (x ) =5 Q (x ) = x 3 2 x 2 + 5 x + 5 R(x ) = 0V) TEOREMA DEL RESTO Para encontrar el resto de dividir su polinomio P(x) entre un divisor de forma (a x + b) se halla reemplazando en P(x) el valor de x que anula al divisor, vale decir, habr que calcular: P (-b/a)Ejemplo 1: Calcula el residuo de dividir: x3 + 2x2 x + 2 entre 2x 1SOLUCION:Calculamos el valor de x que anula al divisor:2x1= 0 2x = 1 x = Este valor de x se replaza en el dividendo:DIVIDENDO: x3 + zx2 x + 2Residuo R = ()3 + 2()2 () + 2 R = 1 + 4 4 + 2 x 8 = 17 8 8Ejemplo 2: Calcula el residuo de dividir:3x3 5x2 + 7 entre x 3Solucin:Calculamos el valor de x que anula el divisor: 61. x3 = 0x =3Este valor de x se reemplaza en el dividendoDividendo: 3 x3 5x2 + 7Residuo: R = 3(3)3 5 (3) 2 + 7 R = 81 45 + 7 = 43Ejemplo 3: Calcula el residuo de dividir:x5 8x3 + 4x2 5 entre x2Solucin: Calculemos el valor de x que anula al divisor.x2=0 x =2El valor de x se reemplaza en el dividendo:Dividendo: x5 8 x3 + 4 x2 5Residuo: R = (2)5 8(2)3 + 4 (2)2 5 R = 32 64 + 16 5 = -21 ACTIVIDADHALLA EL POLINOMIO COCIENTE EN CADA DIVISIN1. (3y3 10 y2 + 20y 16) : (3y 4)2- (6 x2 x 2) : (2x + 1)2. (2x4 x3 + 7 x 3) : (2 x + 3) 4. (z2 15z + 56) : (z 8)5. (6 y2 9y 27) : (3y 9)6. (-10 z3 13z2 + 13z 2 ) : (-5z + 1)7. (8 y3 27) : (2y 3) 8. (9 x3 + 3x2 + x 1) : (3 x 1)9. (x6 7 x3 + 12) : (x3 3)10. (38 x4 65 x3 + 27) : (2x2 5x + 3)11. (12x47x374 x27x+12): (3x2-7x-4)12. (3/2 z7 6 z6 z5 -5z4 + z2): (323 z) ACTIVIDADHalla el residuo de los siguientes divisores, empleando el tema del resto.1. 2x4 5x3 + 3x 6 entre x 2 2. 8x5 3x4 + x3 5x2 + 3 entre x 13. 5x3 2x2 + 7x 2 entre x + 2 4. x2 5x + 9 entre 3x 15. x6 y6 entre x y6. x3 + 2x + 3 entre 2x + 17. x6 5x3 + 6x2 8 entre x + 2 8. x2 2ax + a2 entre x a9. x32 + 1 entre x + 110. x3 + 2 ax2 5 a3 entre x + 2 a 62. Divisin Algebraica Segundo Ao ACTIVIDADEscribe en cada espacio libre el monomio que falta:1. : 3x4 = 4 x22. :5xy2 = 2 x3y3. : -6x2 y3= 4xy2 4.: 7x y2 z3 = -5x3yz5. : -8x3 y4 z2 = -3xy3z 6.: - 6xy4 = 2xy27. : 3xy3 = 4y28.: 8x5 y2= -3xy9. : 5x2 y3 = -6 y4 10. 20 x7 y4: = 5x4 y311. 12x6 y4 z6:= -x3 y2 z5 12. 36x5y3: = 9x3y13. 128 x6 z5: = -16x4z3 14. 112a3b2x5: = 7abx3DESARROLLA LAS SIGUIENTES DIVISIONES:1. (z2x + zx + x) : - z 2. (3xy2 2x2y2 + 5x3y 7x4): 2xy3. (-4x2y + 6xy2 10y3):-2x4. (12x3y3 15x2y2+18x):-3xy5. (-8x3 + 16x2y2 32xy3):4xy6. (4x2y 63y2+ 10xy4): -2xy 3 2 4 23 22 3 2 27. (-6x y z + 9x y z 3xy z ): -3xy z8. (18x4y3z2 24x2y2z3 + 36x3y3z2): 6x2y2z29. (-15x6y3z + 20x4y4z3 10x5y2z2): -5x4y2z10. (20xn+1 yn 16xn+2yn+1) : 4xnyn ACTIVIDADEfecta las siguientes divisiones:1. (x5 + 3x4y + 3x3y2 + 5x2y3 10yx4 7y5) : (x+3y)2. (6x4y + 21x3y2 60x2y3 + 24xy4) : (2x-y)3. (3x4y 4x3y2 4x2y3 + 8xy4 3y3(: (x2 2xy + y2)4. (-4xy4 + 6x2 y3 3x3 y2 + 5x4y) : (-y3 + 2xy2 + x2y)5. (-6x6 + 11x5y 40 x4y2 6x3 y3 + 12x2y4) : (-12x2 + 6xy)6. (1/3 x3 - 17/36 x2y + 13/24 xy2 + y3 ) : (1/2 x 1/3 y)7. (2/3 x4 x3 + x2/2 5x + 3) ( x + 1)8. (12 x2a+2 - 23 x 2a+3 - 10x 2a+4 + 25 x 2a+5 : (4xa+1 5xa+2)9. (xa+2 + 2x a+1 + 2 xa 5xa-1) : (x2 x)10. (38 xa+3 65xa+2 + 27x a-1) : (2xa+1 5xa + 3xa-1)11. (-5ya-1 + 2ya + 2ya+1 + ya+2) : (5ya-2 + 3ya-1 + ya)12. (9xa+2 + 3xa+1 + xa + xa-1) : (3xa xa 1)13. (6xa+3 + 5/2 xa+2 16/3 za 4xa-1) : (3xa+1 + 2xa)14. (x5 27x x4 + 7x2 + 10) : (x2 x + 5) 63. 15. (31 x2 + x6 8x 5x5 + 21 ) : (x3 7 2x)16. (x3 10x2 + 14x 9) : (x2 4x + 3)17. (2x3 x2 + 3) : (x + 1)18. (x4 8x2 9) : (x 2)19. (x3 7x 6): (x 3)20. (x3 7x 6) : (x + 1)21. Calcula el valor de m para que : x5 3x4 + 2x2 + 4m, sea divisible entre x 2.22. Calcula el valor de m, para que : 2x3 6x2 + 5x m/4, sea divisible entre 2x 1.23. Calcula el valor de m para que : 2x4 5x3 + 8x2 5m, sea divisible entre x + 1.24. Calcula el valor de m para que: x6 + 3x5 4x3 x2 + n, sea divisible entre x + 2TAREA DOMICILIARIAx 4 + 2x 3 7x 2 + ax + bx 3 + 3x 2 7x 51. La divisin:. Es ; Seale el residuo. x 2 3x + 5x 2 1 exacta, calcular a + b 8. Calcular mn para que la divisinx 4 5x 2 + nx + m; Sea exacta2. Calcular el residuo de: x2 + 1x 6 + 6x 3 2x 5 7x 2 4x + 6x 4 3x 2 + 29. Calcular el valor de en:x 5 + 2x 4 3x 3 + 2x 3. Calcular el cociente de:x+230x 5 + 18x 2 7 x 3 + 2 + x 10x3 + 6 + x 10.Calcular el resto de:3x 3 4x 2 5x + 64. Calcular el cociente de: 3x 2 + 2x 13 x + 2x 4 2x 3 x +2 11.Calcular el valor de (m+n) enla siguiente divisin exacta5. Calcular el resto de la divisin:x 5 + x 4 + mx 3 1x 5 + x 4 x 2 + x +1 x 3 + x nx 2 +112.Hallareltrmino independiente del6. Calcular la suma de los coeficientes delcociente, luego de dividir: residuo al dividir:10x 4 + 6x 3 37 x 2 + 33x 94x 4 5x 3 2x 2 + 3x 15x 2 7 x + 3 x 2 2x 113.Si la divisin7. Al dividir:2x 4 + 3x 2 ax + b x 2 +x +3 64. Divisin AlgebraicaSegundo Ao Es exacta, hallar 4 a +b 20.Hallarlasuma decoeficientes delcociente: 9x 4 + 2x 2 + 5x 6 3x 2 + x 214.Hallar el resto de la divisinU) 1V) 2W) 3x 18 3x 9 + 5x 6 + 7 x 1X) 4Y) 5 x 2 1 21.Luego de dividir:15.Si el resto de: 10x 5 x 4 + 3x 3 + 17x 2 + ax + 3 5x + 2( x + 7 ) 2n+ 2nx 2 + 14x + 47Se sabe que el residuo es 5, hallar a Es 256, hallar el valor de n A) 4B) 2C) 1D) 3E) 116.Hallar el T.I. del resto de: 22.Hallar el resto de dividir:8x 6x + 4x + 7 4 2 ( x + 2) 12 x 51 ( x + 4 ) 51 + 2001 3x + 1 + 2x 2 x 2 + 4x + 1 A) 1B) 2C) 3F) 2641 G) 2728 H) 2729 D) 4E) 5I) 2700 J) 200117.Hallar el resto de: 23.Hallar el residuo de la divisin:x 5 +x 4 +x 3 + x 2 +x +16x5 + 5x 4 y 8x3 y 2 6x2 y3 + 2xy 4 + 2y 5x +1 2x3 + 3x2 y y 3 F) 0G) 1H) 2 K) 0L) 1M) xy I) 3J) 4 N) yO) y518.Si la divisin: 24. Si l coeficiente del trmino lineal del 4 3 24x + 2x mx + 3x + ncociente es 45, hallar4 nx 2 2x + 1 Es exacta. Halla (m+n)2x 5 nx 2 6x 3 7 x 3 K) 16 L) 18 M) 20 N) 20O) 16 P) 81 Q) 3 R) 3S) 81T) 7219.Hallar el resto de: 25.Calcular el resto de la siguiente divisin:3x 8 28x 4 5x 2 + 4x 2 +3( x + 6) 321 1 x 2 + 12x + 37 P) 5Q) 10 R) 15 S) 20 T) 25U) x+1 V) x+2 W) x+3X) x+4 Y) x+5 65. TEMA N 07: C O C I E N T E S N O T A b L E SCapacidades: Aplica cocientes notables Calcula el termino k- simo de un cociente notable Resuelve problemas que involucren cocientes notablesExploracin y Desequilibrio:A. Efecta 1. (x + y) (x y) = x3 y32) (x + 3) (x + 5) = x2 + 8x + 15 (x2 y2 ) : (x + y) = (x3 + 8 x + 15): (x + 5 ) =3. (x + 2) (x2 2x + 4) = x3 + 84) (x + 2) (2x + 1) = 2x2+ 5x+ 2 (x3 + 8) : (x + 2) = (2x2 + 5 x + 2) : (x + 2) =Desarrollo del Tema:1) COCIENTES NOTABLES Los cocientes notables, son ciertos cocientes que se escriben por simple inspeccin, sujetndose areglas fijas y sin realizar la divisin.I. COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADROS DE DOS MONOMIOS entre la suma o ladiferencia de los mismos.Se trata de los COCIENTES que se obtienen de las divisiones que pertenecen a estas formas: X2 y2 o x 2 - y2 ; si efectuamos las divisiones se tiene: x+y x-yx2-y2 x + y ; x2 -y2 x - y-x2 xy xy -x2 + xy x + y-xy - y2-xy - y2 + xy + y2 + xy + y2 0 0Por lo tanto: x2 - y2 = x yx 2 - y2 = x + y x+y x-yLa diferencia de los cuadrados de dos monomios entre la suma de los mismo es igual a ladiferencia de ellos.La diferencia de los cuadrados de dos monomios entre la diferencia de los mismos es igual a lasuma de ellos.Ejemplos:1. x2 - 1 = x2 - 12 = x 12. x2 4 = x - 22 = x - 2 66. Cocientes Notables Segundo Ao x+1 x+1x+2 x+2 23. 100 - z = 10 - z = 10 + z 22 4. x 36 = x2 62 = x + 62 10 Z10 - z x6x6ACTIVIDADAplicar la regla de los cocientes notables, halla el cociente de:1) x2 - 81 2) z2 1 3) x2 - 1214) 36 x2 4x9z+ 1x 11 6x + 25) w2 - 1446) 4x2 1007) 1 - 9z2 8) 169 - 16x2w + 12 2x + 101 + 3Z13 + 4x9 (x-1)2 - 1 10) 9 (2x 1)211) 49 x4 - 9z212) 16 x6y4 -1x+1+13 - 2x + 17x2 + 324x3 y2 + 113. 25 x2 - 114) 49 y4 - 1615) 64 x6 81z2 16) 81 - x4 16y65x + 1 7 y2 - 48x3 + 9z9x2 - 4Y317. 49X4 225 y418) x2n y2n 19) x2n+2 121 y2n12)(x+y)2n(2z+3)2n 7x2 + 15 y2 xn- yn xn+1 + 11yn(x+y) (2z + 3) II. COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS MONOMIOS entre la SUMA O DIFERENCIA DE LOS MISMOS.Se trata de escribir por simple inspeccin los cocientes: X3 y3o x3 - y3 ; si efectuamos las divisiones se obtiene: x+y x-yx3 -y3 x+y;x3 -y3 x - y-x x y 3 2 x xy+y 22X2+XY+Y2 -xy - y2 -xy - y2 + xy + y2+ xy + y2 0Por lo tanto: x3 - y3 = x2 xy + y2 x3 - y3 = x2 + xy + y2 x +y x-y La suma de los cubos de los monomios entre la SUMA de los mismos es igual al cuadrado del primero MENOS el producto del primero por el segundo MAS el cuadrado del segundo. La diferencia de los CUBOS de dos monomios entre la DIFERENCIA de los mismos es igual al cuadrado del primero MAS el producto del primero por el segundo MAS el cuadrado del segundo. Ejemplos: 1) x3 + 8 = x3 + 23 = x2 - 2x + 4 2) y3 + 27 = y3 + 33 = y2 3y + 9 x+2 x+2 y+2 y+3 3) x + 64 = x + 4 = x - 4x + 1633 324) 64x 125 y = (4x2)3(5y)3 = (4x2)2 + (4x2)(5y)+(5y)26 3 x-4x-44x2 5y4x2 + 5y 67. = 16x4 + 20x2 }y + 25y2 ACTIVIDADAplica la regla de los cocientes notables y halla el cociente de:1) x3 + 12) 64 + x33) 125 + y24) x9 + 1 5) 8 x9 X+1 4+x 5+y x3 + 12 x36) x12+ 27 7) x12 - y158) x6 - y6 9) x6 + 8y3 10) 8z6 + y9 x4 + 3x4 - y5 x2 - y2 x2 + 2y 2z2 + x311) x3 y612) 216 - y313) 27x6 + 64y314) 729x9 + 27y315) 64x3n 125y3nx y2 6-x 3x2 + 4y 9x3 + 3y 4xn 5yn16) 216x6 8y3n 17) 729x9n - 512y6n18) x6 y9 + 27 w3 z6 19)0,027x30,001y66x2n + y2 9x3n 8 y2n x2 y3 + 3w z2 0,3x 0,1 y220) 0,064x9 + 0,125 y9 21) 0,008x3 0,001y3 0m4 x3 + 9m5 y3 0,2x 0,1yIII. COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES POR LA SUMA O DIFERENCIA DE SUS BASES.A. La diferencia de potencias iguales, ya sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de sus bases as:1. a4 b4 = a3 + a2b + ab + b3 ab 2. a5 b5 = a4 + a3b + a2 b2 + a b3 + b4 abB. La diferencia de potencies iguales pares, es siempre divisible por la suma de sus bases as:3. a4 b4 = a3 - a2b + ab2 - b3 a+bC. La suma de potencies iguales impares, es siempre divisible por la suma de sus bases as:4. a5 + b5 = a4 - a3b + a2 b2 - a b3 + b4 a+bD. La suma de potencias iguales pares, nunca es divisible por la suma ni por la diferencia de sus bases as:5. a4 + b4 = No es exacta la divisin a+b 6. a4 + b4 = No es exacta la divisin a-b 68. Cocientes NotablesSegundo AoLEYES QUE CUMPLEN ESTOS COCIENTES: Observando los ejemplos anteriores, se tiene:1. El cociente tiene tantos trminos como unidades tiene el exponente de las variables en el dividendo.2. El primer trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor y el exponente de a disminuye en 1 en cada trmino.3.El exponente de b en el segundo trmino del cociente es 1; y este exponente aumenta 1 en cada trmino posterior a este.4. Cuando el divisor es a b todos los signos del cociente son + y cuando el divisor es a + b los signos del cociente son alternadamente + y -.5. Cualquier trmino del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar usando la siguiente formula: FORMA DE LOS COCIENTES NOTABLESFRMULAx n ynTK = xn-k yk-1 x y Donde: K es el lugar del trmino que se pide x representa el primer trmino del denominador del cociente notable y representa el segundo trmino del denominador del cociente Notable y n es el exponente igual al cual estn elevados cada uno de los trminos del denominador del cociente y que aparecen en el numerador. SIGNO:1 Cuando el divisor es: x-y Todos son + 2 Cuando el divisor es: x+y Si : k = # impar es + Si : k = # par es - Ejemplo 1 : Calcula el 5to trmino del desarrollo de: x10 y10xy Solucin: Aplicando la frmula:TK = xn-k yk-1 Donde : k = 5 n = 10 Luego : T5 = x10 5 y5-1 = x5 y4 Ejemplo 2: Calcula el 3er trmino del desarrollo de ; 64 - z64 z2 Solucin: La expresin dada, se puede escribir as: 43 - (z2)3 4 z2 Por formula: TK = xn-k yk-1Donde : k = 3 ; x = 4 n = 3 ; y = z2T3 = 43-3 (Z2)3-1 = 40 z4 = z4 69. Ejemplo 3: Calcula el 4to trmino del desarrollo de : 64 x6 y6 2x ySolucin:La expresin dada, se puede escribir as: (2x)6 y6 2x yPor frmula:TK = x n-k y k-1 Donde : k = 4n=6T4 = (2x)6-4 y 4-1 = (2x)2 y3 = 4x2 y3 ACTIVIDAD1. Calcula el 3er trmino del desarrollo de : x7 y7 x-y2. Calcula el 4to trmino del desarrollo de : 81x4 1 3x 13. Calcula el 2do trmino del desarrollo de : 125x3 27 5x 34. Calcula el 4to trmino del desarrollo de : 64x6 1 2x + 15. Calcula el 3er trmino del desarrollo de : x14 + 128 y7 x2 + 2y6. T12 de: x142 y2137) T15 de: x350 - y2808) T42 de: x51a + y102bx y 2 3 x5 + y4xs + y2bEFECTA:1) x5 322) x6 64y6 3.) 64x6 y6 4) y8 x8x-2x-2y2x + yy+85) x y10 106) x y1515 7.) x + y 9 9 8) x21 y21x+yx3 + y3 x+y x3 + y39) x15 y1010) 3