TANIM:

Bu denklemi sağlayan x1,x2 gerçel sayılarına denklemin gerçel

a,b,c R ve a≠0 olmak üzere , ax2+bx+c=0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

ax2+bx+c=0 denkleminin çözüm kümesini bulmak için;A ) denklem çarpanlara ayrılabiliyorsa her çarpan sıfıra eşitlenerekx değerleri bulunur.

kökleri denir.

ÖRNEK1:

(x+2)(x-1)=0x+2=0 veya x-1=0

x2+x-2=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x=-2 x=1 veya

bulunur.

Bu durumda ÇK={-2,1 } dir.

ÇÖZÜM:

B) ax2+bx+c= 0 denkleminde ax2+bx+c çarpanlara ayrılamıyorsa;

∆=b2-4ac (discriminant)

I. ∆ < 0 ise R’ de çözüm kümesi boşkümedir.II. ∆ = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır.

x1= x2= -b/(2a)

III. ∆ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.

2aΔb

x,2a

Δbx 21

ÖRNEK2:

∆=1-4.1.3= -11< 0 olduğundan ,

x2+x+3=0 denkleminin çözüm kümesini araştıralım.

ÇK=

dir

ÖRNEK3:x2-2x-3=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

(x-3)(x+1)=0x-3=0 veya x+1=0

x=3 veya

x=-1 bulunur.

Bu durumda ÇK={-1,3 } tür.

ÖRNEK4: x2-6x+9=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

(x-3)2=0

x-3=0 , x=3 bulunur.Bu durumda ÇK={ 3 } tür.

ÇÖZÜM:

ÖRNEK5: 2x2-4x+1=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

ÇÖZÜM: ∆=16-4.2.1=8

2

21

2.2

84,

2

21

2.2

8421

xx

}2

21,

2

21{ ÇK

P(X).Q(X)=0

(x2-9).(x3+5x2-6x)=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Şeklindeki denklemlerin çözüm kümelerini bulmak için ;

Çarpanlardan herbiri sıfıra eşitlenerek x değerleri bulunur.

ÖRNEK6:

ÇÖZÜM:x2-9=0 x=-3 veya x=3tür.

x3+5x2-6x=0 x(x2+5x-6)=0 x(x+6)(x-1)=0 x=0, x=-6, x=1 dir.

Bu durumda ÇK={-6,-3,0,1,3 } tür.

RASYONEL DENKLEMLER

0Q(x) ve 0P(X)Q(X)P(X)

0

kümesini bulunuz.

dır.

ÖRNEK7: 09

342

x

x2xdenkleminin çözüm

ÇÖZÜM:x2-4x+3=0 (x-3)(x-1)=0 x=3 V x=1 dir.x2-9≠0 x2 ≠ 9 x≠3 V x≠-3 tür.x=3 paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesine alınmaz.Bu durumda ÇK={ 1 } dir.

Denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

2x-1=x2-4x+4 x2-6x+5=0 (x-5)(x-1)=0x=5 V x=1 dir.

x=1 orjinal denklemi sağlamadığından; ÇK={ 5 } tir.

KÖKLÜ DENKLEMLER

ÖRNEK8:212 xx

ÇÖZÜM:212 xx

Bulunan x değerlerinin orjinal denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir.

Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa

DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRİLEREK

ÇÖZÜM:

Bu durumda ; ÇK={ -3,-2,1,2 } dir.

ÇÖZÜLEN DENKLEMLER:

ÖRNEK9:(x2+x)2-8(x2+x)+12 =0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x2+x=t t2-8t+12=0 (t-2)(t-6)=0 t=6 V t=2 dir.t=6x2+x-6=0 (x+3)(x-2)=0 x=-3 V x=2 dir.

t=2 x2+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 x=-2 V x=1 dir.

ÖRNEK10:ÇÖZÜM:

ÜSLÜ DENKLEMLER

4x-3.2x+2=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

2x=t dersek;

t2-3t+2=0 (t-2)(t-1)=0 t=2 V t=1 dir.

t=2 2x=2 x=1 , t=1 2x=1 x=0

Bu durumda , ÇK={ 0,1 } dir.

ÖRNEK11:

y=6/x 1. denklemde yerine konursa ;

DENKLEM SİSTEMLERİ

x2+y2 =13

x.y=6 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.

ÇÖZÜM:

x2+36/x2=13 x4+36=13x2 x4-13x2+36=0 (x2-4)(x2-9)=0x=±2 v ±3x=2

y=3x=-2 y=-3

x=3 y=2x=-3 y=-2

ÇK={ (2,3),(-2,-3),(3,2),(-3,-2) } dir.

PARAMETRİK DENKLEMLER

3x2-2mx+1=0 denkleminin köklerinden biri 1 ise diğer kök nedir?

ÖRNEK12:

x=1 denklemi sağlar. 3-2m+1=0 m=2 bulunur.

Bu durumda diğer kök 1/3 tür.

ÇÖZÜM:

3x2-4x+1=0 (3x-1)(x-1)=0 x=1/3 V x=1 dir.

ÖRNEK13:

x2+x=a ve x2+2x=2a-1 denklemlerinin birer kökleri aynı ise a kaçtır?

ÇÖZÜM:

İki denklemi ortak çözersek; -x2-x=-ax2+2x=2a-1

+x=a-1 ortak köktür.Ortak kök 1. denklemde yerine konursa ,

(a-1)2+a-1=a a2-2a=0 a(a-2)=0 a=0 V a=2 dir.

ax2+bx+c=0 denkleminin kökleri;

x1+x2=-b/a

x1.x2=c/a

2.DERECE DENKLEMLERDE

KÖK KATSAYI BAĞINTILARI

a

bx

22,1

dır.

|x1 -x2|= a

x2-2x-4=0 denkleminin;

a) Kökler toplamı: x1+x2 = -b/a = -(-2)/1 = 2 dir.

ÖRNEK14:

b) Kökler çarpımı: x1.x2 = c/a = -4/1 = -4 tür.

c) Kökler farkının mutlak değeri:

|x1 -x2|= a

5220

1

)4.(1.44

d) Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı:

2

1

4

)2(

.

11

21

21

21

c

b

a

ca

b

xx

xx

xx

e) Köklerin kareleri toplamı: x12+x2

2=(x1+x2)2-2x1x2=22-2(-4)=12 dir. f) Köklerin küpleri toplamı: x1

3+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)

=23-3(-4)(2)

=32 dir.

ÖRNEK15:2x2-3x-2=0 denkleminin köklerinin ikişer fazlalarının çarpımı kaçtır?

ÇÖZÜM:(x1+2)(x2+2)= x1x2+2(x1+x2)+4 = -1+2.3/2+4 = 6 dır.

x1+x2=3/2 , x1.x2=-2/2=-1

ÖRNEK16:mx2 +(m-2)x+3m-4=0 denkleminin kökler çarpımı 2 ise kökler toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM: Kökler çarpımı : x1x2=c/a=(3m-4)/m=2 3m-4=2m m=4 tür. Kökler toplamı : x1 + x2=-b/a=(2-m)/m=-1/2 dir.

KÖKLERİ VERİLEN 2.DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1,x2 olan 2. derece denklem (x-x1)(x-x2)=0 biçimindedir.Bu denklem açıldığında ; x2-(x1+x2)x+x1x2=0 elde edilir.

ÖRNEK17:Kökleri 3 ve -4 olan 2. derece denklemi yazınız.

ÇÖZÜM:x1=3 ve x2=-4 olsun. x1+x2=-1 , x1x2=-12 olduğundan denklem;x2-(-1)x+(-12)=0 x2+x-12=0 dır.

Kökleri, x2+2x-5=0 denkleminin köklerinin üçer

ÖRNEK18: fazlasına eşit olan 2. derece denklemi

yazınız.

ÇÖZÜM: Aradığımız denklemin kökleri

m ve n olsun.

m= x1+3

n= x2+3x1+x2=-b/a=-2/1=-2x1x2=c/a=-5/1=-5

m+n= x1+x2+6=-2+6=4m.n= (x1+3)(x2+3)=x1x2+3(x1+x2)+9

= -5+3(-2)+9= -2 dir.

Bu durumda denklem;

x2-(m+n)x+m.n=0

x2-4x-2=0 bulunur.

EŞİTSİZLİKLERf(x)=ax2+bx+c üç terimlisinin işareti :1. ∆<0 ise gerçel kök yoktur.

∆<0 a<0x - +f(x) - - - - -

∆<0 a>0

x - +f(x) + + + + +

NOTE1: y=ax2+bx+c üç terimlisinin daima pozitif olması için ;

∆ < 0 ve a > 0 olmalıdır.NOTE2: y=ax2+bx+c üç terimlisinin daima negatif

olması için ; ∆ < 0 ve a < 0 olmalıdır.

ÖRNEK19:

f(x)=2x2+3x+4 üç terimlisinin işaretini inceleyiniz.

ÇÖZÜM: ∆=b2-4ac=9-4.2.4=-23 < 0 ve a > 0 olduğundan ;x için f(x) > 0 dır.

∆=-23<0 a=2>0

x - +

f(x) + + + + +

2. ∆=0 ise x1=x2= -b/(2a) dır.

∆=0 a<0x - x1 +f(x) - - 0 - -

∆=0 a>0

x - x1 +f(x) + + 0 + +

Bu durumda f(x)=ax2+bx+c üç terimlisinin işareti:

ÖRNEK20:

f(x)=-x2+4x-4 üç terimlisinin işaretini inceleyiniz.

ÇÖZÜM: ∆=0 x1=x2=2 a=-1<0

x - 2 +f(x) - - - 0 - - -

3. ∆>0 ise a

bx

22,1

x - x1 x2 +

f(x) a ile aynı işaretli 0 a ile ters işaretli 0 a ile aynı işaretli

ÖRNEK21:

Bu durumda f(x)=ax2+bx+c üç terimlisinin işareti:

f(x)=2x2+x-6 üç terimlisinin işaretini inceleyiniz.

ÇÖZÜM:2x2+x-6=0 (2x-3)(x+2)=0 x1=3/2 , x2=-2

x - -2 3/2 +

f(x) + + + + 0 - - - - 0 + + + +

ÖRNEK22: -x2+x+6 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini

bulunuz.

Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarparsak;

x2-x-6 0 olur.

(x-3)(x+2)=0 x1=3 , x2=-2

ÇÖZÜM:

x - -2 3 +

f(x) + + + + 0 - - - - 0 + + + +

Bu durumda ÇK=(-,-2]U[3,+) dur.

ÇARPIM-BÖLÜM BİÇİMİNDEKİ EŞİTSİZLİKLER:

Pratik olarak çözüm kümesini bulmak için:

1.Tüm çarpan ve bölenlerin gerçel kökleri bulunarak tabloya sıralanır.

2.Tüm çarpan ve bölenlerin en yüksek dereceli terimlerinin işaretleri çarpılarak tablonun en sağındaki bölmeye yazılır.

3.Tek katlı köklerin soluna sağındaki işaretin tersi,çift katlı köklerin soluna sağındaki işaretin aynıyazılarak tablonun işareti tamamlanır.

ÖRNEK23: eşitsizliğinin çözüm kümesini

bulunuz.

0

x4

3x4x1x2

2

ÇÖZÜM:x+1=0 x1= -1

x2+4x+3=0 (x+3)(x+1)=0 x2= -3 v x3= -1

4-x2=0 x4= -2 v x5=2 bulunur.

x - -3 -2 -1 2 +

f(x) + 0 - 0 + 0 + 0 -

Bu durumda ÇK=(-3,-2]U[2,+) dur.

-1

çiftköktür.

ÖRNEK24:

EŞİTSİZLİK SİSTEMİ:

x2-6x+5 ≤ 0

3/x > 1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM: x2-6x+5 ≤ 0

0x

x3

x2-6x+5=0 x=5 v x=1 3-x= 0 x=3

x=0

2. eşitsizlikte

payda eşitlenirse

x - 0 1 3 5 +x2-6x+5 0 0

(3-x)/x 0 0

+--

++

--+

+

-

Bu durumda ÇK=[1,3) tür.

ax2+bx+c=0 denkleminin köklerinin işareti: ax2+bx+c=0 denkleminin kökleri x1,x2 ise x1+x2=-b/a , x1.x2=c/a

idi.NOT1: ∆‹0 gerçel kök olmadığından köklerin işaretinden sözedilemezNOT2: ∆=0

∆=0 x1.x2=c/a=0 x1=x2=0

x1.x2=c/a>0 x1+x2=-b/a>0x1=x2>0

x1+x2=-b/a<0x1=x2<0NOT3: ∆>0

∆>0 x1.x2=c/a<0

x1<0<x2

x1+x2=-b/a<0 |x1|>x2

x1+x2=-b/a>0 |x1|<x2

x1.x2=c/a>0

x1+x2=-b/a<0 x1<x2<0

x1+x2=-b/a>0 0<x1<x2

x1.x2=c/a=0

x1+x2=-b/a<0 x1<x2=0

x1+x2=-b/a>0 0=x1<x2

ÖRNEK25:Aşağıdaki denklemleri çözmeden köklerin varlığını ve işaretini

inceleyiniz.A) –x2+4x-3=0ÇÖZÜM:

∆=16-4(-1)(-3)=4>0x1.x2=c/a=3>0 Λ x1+x2=-b/a=4>0 0<x1<x2 dir.B) x2+4x+5=0ÇÖZÜM:

∆=b2-4ac=16-4.1.5= -4 < 0 olduğundan gerçel kök yoktur.

09x26x2)C 2

ÇÖZÜM:

∆=b2-4ac=72-4.2.9=0 x1.x2=9/2>0 Λ x1+x2=-b/a=

023226

olduğundan 0 < x1=x2

dir.

ÖRNEK26:x2+(m-2)x+m-3=0 denkleminin ters işaretli iki gerçel kökünün olması için m’in alabileceği değerler kümesini bulunuz.ÇÖZÜM:

x1 < 0 < x2 ∆ > 0 Λ x1.x2= c/a ‹ 0 olmalıdır.

(c/a) < 0 iken ∆=b2-4ac > 0 olacağından ayrıca ∆’nın incelenmesine

gerek yoktur.

x1.x2=c/a=(m-3)/1 ‹ 0 m ‹ 3 bulunur.

Bu durumda m’in alabileceği değerler kümesi (- ,3) tür.

ÖRNEK27:x2-mx+9=0 denkleminin birbirinden farklı negatif iki gerçel kökünün olması için m’in alabileceği değerler kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:∆ > 0x1.x2 > 0

x1+x2 ‹ 0

olmalıdır.x1‹x2‹0

∆=m2-4.9=0 m1=-6 , m2=6 dır.x1.x2=c/a=9 >0 dır.

x1+x2=-b/a=m dir.

m - -6 0 6 + ∆ 0 0

x1+x2 0

+--+++--

m(-,-6) olmalıdır.

ÖRNEK28:x2+(m-2)x+m-3=0 denkleminin kökleri için x1‹0‹x2 ve |x1| > x2

olmasıiçin m ne olmalıdır?

ÇÖZÜM:

x1.x2 =c/a ‹ 0

x1+x2 =-b/a ‹ 0 olmalıdır.

x1.x2 =c/a=(m-3)/1‹ 0 m < 3

x1+x2 =-b/a = (2-m)/1‹ 0 m >2

m(2,3) olmalıdır.

TANIM: a R \{0} ve b,c,x R olmak üzere ,

f:RR, f(x)=ax2+bx+c biçiminde tanımlanan fonksiyonlara, R den R ye ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir.

ÖRNEK1:f:RR, f(x)=3x2-5 eşitliği ile tanımlanan fonksiyon ikinci dereceden

bir fonksiyondur. Bu fonksiyonda a=3, b=0, c=-5 tir.

ÖRNEK2:fonksiyonlarının grafiklerini aynı analitik düzlemde çizelim.

ÇÖZÜM:2x2y

x

y

0,5

1

2

0,5 1-0,5-1

-0,5

-1

-2

2x21

y

2xy

222222 x2y,xy,x21

y,x2y,xy,x21

y

Yandaki şekilde görüldüğü gibi;a > 0 için ; a büyüdükçe parabolünkolları y eksenine yaklaşır. a küçüldükçe y ekseninden uzaklaşır.

2x21

y

2xy

2x2y

a < 0 için ; a küçüldükçe parabolünkolları y eksenine yaklaşır.

a büyüdükçe y ekseninden uzaklaşır.

f:RR f(x)=ax2+bx+c parabolünün grafiğini çizmek için: 1.Tepe noktasının koordinatları bulunur. r=-b/(2a) ,

k=(4ac-b2)/4a=f(r)olmak üzere tepe noktası T(r,k)’dır.

2. Grafiğin , varsa koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur.

A.Grafiğin x eksenini kestiği noktalarda y=0 olduğundan ax2+bx+c=0 olur.

∆=b2-4ac<0 ise grafik x eksenini kesmez.

∆=b2-4ac=0 ise grafik x eksenini (x1=x2,0) noktasında keser. (teğettir)∆=b2-4ac>0 ise grafik x eksenini (x1,0), (x2,0) gibi iki farklı noktada keser.B.Grafiğin y eksenini kestiği noktada x=0 y=c dir. Bu durumda

grafik y eksenini (0,c) noktasında keser.3. x=-b/(2a) fonksiyonun simetri

eksenidir.4. y=(4ac-b2)/4a fonksiyonun a<0 ise maksimum, a>0 ise minimum değeridir.5. Değişim tablosundan yararlanılarak grafik çizilir.

∆=b2-4ac>0 ise parabolün kolları yukarı doğru,∆=b2-4ac<0 ise parabolün kolları aşağı doğrudur.

ÖRNEK3:

-b/(2a)

(4ac-b2)/(4a) Tepe noktası

c

y=ax2+bx+c

Simetri ekseni

ÖRNEK4: y=x2-6x+5 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM: Tepe noktası bulunur. r=-b/(2a)=3, k=f(2)= -3 T(3,-3)

Parabolün y eksenini kestiği nokta x=0 için y=5 tir. (0,5)Parabolün x eksenini kestiği noktalar; y=0 için x2-6x+5=0(x-5)(x-1)=0x1=1ve x2=5(1,0) ve (5,0)

dır. x - 0 1 3 5 +

y + 5 0 -3 0 +Değişim tablosu:

3

-3

51

5

ÖRNEK5: y=-x2+2x-1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM: Tepe noktası: r=-b/(2a)=1, k=f(1)= 0 T(1,0)

Parabolün y eksenini kestiği nokta x=0 için y=-1 dir. (0,-1)Parabolün x eksenini kestiği nokta; y=0 için –(x-1)2=0x1=x2=1 dir.Çift katlı kök olduğundan grafik x=1 de x eksenine teğettir.

Değişim tablosu:x - 0 1 +

y - -1 0 -1

-1

f(x)=a(x-r)2+k parabolünün tepe noktası T(r,k) dır.NOT:

ÖRNEK6: fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

2)1x(21

)x(f 2

02)1x(21 2

ÇÖZÜM: Tepe noktası: T(1,-2) dir.Parabolün y eksenini kestiği nokta x=0 için y=-3/2 dir. (0,-3/2)Parabolün x eksenini kestiği noktalar; y=0 için

x1=-1ve x2=3 (-1,0) ve (3,0) dır.

Değişim tablosu:x - 0 1 +

y + -3/2 -2 + 1

-2-3/2

-1 3

EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARIN KOORDİNATLARI VERİLEN BİR PARABOLÜN DENKLEMİ:

y=a(x-x1)(x-x2)= a(x2 -(x1+x2)x+x1x2)şeklindedir.

x=0 için y=n alınarak a bulunur. x2x1

n

ÖRNEK7: x eksenini A(2,0) ve B(4,0) noktalarında, y eksenini

C(0,8) noktasında kesen parabolün denklemini bulalım.

ÇÖZÜM: Denklem : y=a(x-2)(x-4) şeklindedir.

Parabol y eksenini 8 de kestiğinden, x=0 için denklemde y=8 olmalıdır.

8=a(0-2)(0-4)a=1 bulunur.

O halde, denklem: y=1(x-2)(x-4)= x2-6x+8 dir.

ÖRNEK8:

-1 4

-2

Grafiği aşağıda verilen parabolün denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM: Denklem : y=a(x+1)(x-4) şeklindedir.

Parabol y eksenini -2 de kestiğinden, x=0 için denklemde y=-2 olmalıdır.

-2=a(0+1)(0-4)a=1/2 bulunur.O halde,

denklem: .dir2x

23

x21

)4x)(1x(21

y 2

ÖRNEK9: x eksenine (-1,0) da teğet olan ve (1,4) noktasından geçen parabolün denklemini yazınız.

ÇÖZÜM: Denklem : y=a(x+1)2 şeklindedir.

Eğri (1,4) noktasından geçeceğinden ;4=a(1+1)2a=1 bulunur.

O halde, denklem: y=1(x+1)2 dir.

DOĞRU İLE PARABOLÜN ORTAK NOKTALARI

Bir parabol ile bir doğrunun kesişmeleri, kesişmemeleri veya teğet olmaları istenirse ortak çözüm yapılır.Ortak çözüm sonucunda ax2+bx+c=0 biçiminde ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem oluşur.İkinci derece denkleminde ;

∆ >0 ise farklı iki noktada kesişirler.

∆ =0 ise teğet olurlar.

∆ < 0

ise kesişmezler.

ÖRNEK10: y=2x2+3x+2 parabolü ile y=-x+8 doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulunuz.

ÇÖZÜM:

2x2+3x+2=-x+8 2x2+4x-6=0 (2x-2)(x+3)=0 x1=1 ve x2=-3 tür.

x1=1y1=-1+8=7 , x2=-3y2=3+8=11 bulunur.

Bu durumda kesim noktaları A(1,7) ve B(-3,11 ) dir.

ÖRNEK11: y=x2-3x parabolünün y=x+m doğrusuna teğet olması için m parametresini

bulunuz.

ÇÖZÜM:

Ortak çözüm denkleminin tek kökü olacağından;

x2-3x=x+m x2-4x-m=0

∆=016+4m=0m=-4 bulunur.

ÖRNEK12: y=x2 parabolüyle y=2x-m doğrusunun kesişmemesi için m’ in alacağı değerler kümesini

bulunuz.

ÇÖZÜM:

Ortak çözüm denkleminde ∆<0 olacağından;

x2 =2x-m x2-2x+m=0

∆=4-4.1.m<0m > 1 bulunur.

O halde m(1,+) olmalıdır.