2_DDS_1ddl_k_2
-
Upload
nguyen-manh-tuan -
Category
Documents
-
view
221 -
download
2
description
Transcript of 2_DDS_1ddl_k_2
1
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 137
Etude des systèmes discrets à 2 ddls Généralisation du cas à 1 ddl
Extension 2 ddl
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison
Cette partie est une "introduction" aux systèmes à plusieurs degrés de liberté.
Le cas d'un système à seulement deux degrés de liberté et sans amortissement a été choisi pour introduire les diverses notions spécifiques des systèmes à plusieurs degrés de liberté.
Seules les vibrations libres seront étudiées et permettront d'introduire les notions de mode de vibration et de réponse par superposition des modes (superposition modale).
Introduction Extension 2 ddl
x1(t) x2(t)
x
138
2
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Détermination des équations d'équilibre
Les équations régissant l'équilibre du systèmes à 2 ddl peuvent être obtenues de différentes manières:
soit en étudiant l'équilibre des forces intérieures et extérieures associées à chacun des ddl "isolé", par application de la 2nde loi de Newton;
soit en utilisant des approches énergétiques, et par exemple ici, les équations de Lagrange.
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
139
x1(t) x2(t)
x
f1(t) f2(t)
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Détermination des équations d'équilibre 1ère méthode : Étude de l'équilibre de chaque ddl
12121111 fx-xkxkxm Équilibre du ddl 1:
12212111 fxkxkkxm
Efforts d'inertie
Efforts élastiques
Efforts extérieurs
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
140
m1
x1(t) x2(t)
x
f1(t)
k1 k2
3
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Détermination des équations d'équilibre
22312222 fxkx-xkxm
22321222 fxkkxkxm
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
141
1ère méthode : Étude de l'équilibre de chaque ddl (suite…)
m2
x1(t) x2(t)
x
f2(t)
k2 k3
Équilibre du ddl 1:
Efforts d'inertie
Efforts élastiques
Efforts extérieurs
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Détermination des équations d'équilibre
22321222
12212111
fxkkxkxm
fxkxkkxm
2
1
2
1
322
221
2
1
2
1
f
f
x
x
kkk
kkk
x
x
m0
0m
fx Kx M
M : matrice de masse du système (2x2) K : matrice de rigidité du système (2x2) x : vecteur déplacements (2x1) ẍ : vecteur accélérations (2x1) f : vecteur forces extérieures (2x1)
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
142
1ère méthode : Étude de l'équilibre de chaque ddl (suite…)
m2 m1
x1(t) x2(t)
x
f1(t) f2(t)
k2 k3 k1
4
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Détermination des équations d'équilibre
i
iii
fx
V
x
T
x
T
dt
d
T : Énergie cinétique totale du système. V : Énergie potentielle du système .
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
143
2ème méthode : Équations de Lagrange
i
iii
fx
V
x
T
x
T
dt
d
m2 m1
x1(t) x2(t)
x
f1(t) f2(t)
k2 k3 k1
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Détermination des équations d'équilibre
2
22
2
1121 xm2
1xm
2
1TTT Équilibre cinétique totale :
Équilibre potentielle totale : 2
23
2
122
2
11321 xk2
1xxk
2
1xk
2
1VVVV
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
144
2ème méthode : Équations de Lagrange (suite …)
i
iii
fx
V
x
T
x
T
dt
d
m2 m1
x1(t) x2(t)
x
f1(t) f2(t)
k2 k3 k1
5
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Détermination des équations d'équilibre
2
22
2
11 xm2
1xm
2
1T 2
23
2
122
2
11 xk2
1xxk
2
1xk
2
1V
i
iii
fx
V
x
T
x
T
dt
d
Dérivation par rapport au 1er ddl x1:
11
1
xmx
T
11
1
xmx
T
t
12211
1
xxkxkx
V
12212111 fxkxkkxm
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
145
2ème méthode : Équations de Lagrange (suite …)
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Détermination des équations d'équilibre
2
22
2
11 xm2
1xm
2
1T 2
23
2
122
2
11 xk2
1xxk
2
1xk
2
1V
i
iii
fx
V
x
T
x
T
dt
d
Dérivation par rapport au 1er ddl x1:
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
146
2ème méthode : Équations de Lagrange (suite …)
22
2
xmx
T
22
2
xmx
T
t
23122
2
xkxxkx
V
22321222 fxkkxkxm
2
1
2
1
322
221
2
1
2
1
f
f
x
x
kkk
kkk
x
x
m0
0m
6
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Equations d'équilibre
2
1
2
1
322
221
2
1
2
1
f
f
x
x
kkk
kkk
x
x
m0
0m
fx Kx M
On voit que les équations ne sont plus indépendantes. On peut remarquer que les équations sont couplées, c’est-à-dire qu’une perturbation sur la coordonnées x2
va avoir un effet sur le degré de liberté x1
et vice-versa. Si les forces extérieures sont nulles et si on néglige l’amortissement, on peut trouver des régimes d'oscillations propres du système qui sont caractérisés par:
des fréquences de résonance ou des valeurs propres (il y a autant de fréquences naturelles que de degrés de liberté); des déformées propres (ou modes ou vecteurs propres), associées à ces fréquences.
On peut se ramener à des équations indépendantes ou découplées, moyennant un changement de variable approprié, en introduisant la notion de mode propre.
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
147
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
On cherche des solutions de la forme: En injectant ces différents termes dans l'équation d'équilibre, on obtient: où la valeur propre λ représente le carré de la pulsation propre ω². Remarque : on peut également rechercher les solutions en sin(ωt) ou exp(jωt).
ωtXcosx
ωtωXsinx
ωtXcosωx 2
0X KX M-ω2 0X M-ωK 2 0X λM-K
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
148
0
0
x
x
kkk
kkk
x
x
m0
0m
2
1
322
221
2
1
2
1
0x Kx M
7
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 149
Détermination des valeurs propres
Le problème aux valeurs propres à résoudre est :
1. Les valeurs propres λi sont déterminées en calculant les racines du polynôme caractéristique (λi =ωi
2):
2. Pour chaque valeur λi déterminée, le vecteur propre associé Φi est calculé par l'équation aux valeurs propres :
Remarques :
Il y a autant de modes que de degrés de liberté;
Le vecteur propre de M-1 K représente la forme de la déformée modale de la structure; il est sans unité !
Le vecteur propre est défini à un facteur multiplicatif près (Normalisation des vecteurs propres). On s'arrange souvent (toujours) pour le normaliser par rapport à la matrice de masse:
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
λM-Kdetλp λI-KMdetλp -1
0Φ Mλ-K ii
0Φ Mλ-K ii 0Φ Iλ-KM ii
1
Extension 2 ddl
1MΦΦ i
T
i ii
T
i λKΦΦ
0Φ Iλ-KM ii
-1
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 150
Réponse libre du système La solution générale est une combinaison linéaire de ces deux solutions propres, à savoir les contributions des réponses de chacun des modes, l'un à la pulsation propre ω1, l'autre à la pulsation propre ω2.
Les quatre inconnues A, B, ϕ1 et ϕ2 sont déterminées par les conditions initiales, associées aux conditions du lâcher libre, à savoir les déplacements et les vitesses des deux ddl à l'instant t=0: x(t=0) et ẋ(t=0). On peut également exprimer cette réponse sous la forme matricielle suivante : avec Φ, base modale constituée des vecteurs propres rangés en colonne, et q vecteur des coordonnées modales généralisées (qi(t)=qi0cos(ωit+ϕi)).
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
222111
2
1 tωcosBΦtωcosAΦtx
txtx
tq Φtx
2
1iii
2
1
21 tqΦtq
tq ΦΦtx
Principe de Superposition modale
Extension 2 ddl
8
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 151
Illustration
Équations d'équilibre:
Calcul des valeurs propres:
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
0
0
tx
tx
2kk
k2k
tx
tx
m0
0m
2
1
2
1
0λm2kk
kλm2kdet
0λM)det(K
m
3k
2m
2mk4mkλ
m
k
2m
2mk4mkλ
22
21
soit : (Hz)
m
3k
2π
1f
(Hz) m
k
2π
1f
02
01
0kλm2k 22
Extension 2 ddl
m2 m1
x1(t) x2(t)
x
k2 k3 k1
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
0M)Φλ(K ii avec :
2i
1i
ix
xΦ
0xk2kkx
0kxxk2k
2111
2111
i=1 m
kλ1 2111 xx soit par exemple
1
1Φ1
soit par exemple
0x3k2kkx
0kxx3k2k
2212
2212
i=2 m
3kλ2 2212 xx
1
1Φ2
Matrice modale :
11
11Φ ou normée par rapport à la matrice de masse :
telle que ΦTMΦ=I
11
11
2m
1Φ
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
152
Illustration
Calcul des vecteurs propres:
9
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
Mode 2
Mode 1
m
kλ1
m
3kλ2
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
153
Illustration
Calcul des vecteurs propres:
x
x
x
x1=1
x1=1
x2=1
x2=-1
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 154
Illustration
Calcul de de la réponse libre:
Application numérique :
m = 1 kg
k = 10 N/m
Conditions initiales :
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
1
1
2m
1Φ1
m
kω1
1-
1
2m
1Φ2
m
3kω2
Mode 1 Mode 2
Valeur propre 10 30
Pulsation propre (rad/s) 3.162 5.477
Fréquence propre (Hz) 0.509 0.817
Période propre(s) 1.987 1.147
Déformée modale [0.707 0.707]T [0.707 -0.707]T
0
0(0)x
0.1
0x(0)
Extension 2 ddl
0
0(0)q
0.1-
0.1
2
1q(0)
10
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t (s)
q1(t
)=q
01cos(
1t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t (s)
q2(t
)=q
02cos(
2t)
B. Lallemand - T. Tison 155
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
T2
Extension 2 ddl
Illustration
Calcul de de la réponse libre: Réponse harmonique des modes
T1
Période Ti(s)
1,987
1,147
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Illustration
Calcul de de la réponse libre: Réponse en déplacements des 2 ddl associées aux masses
B. Lallemand - T. Tison 156
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
T2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t (s)
x1(t
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t (s)
x2(t
)
0.1
0x(0)
Extension 2 ddl
11
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Illustration
Calcul de de la réponse libre: Réponse en vitesses des 2 ddl associées aux masses
B. Lallemand - T. Tison 157
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
T2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t (s)
v 1(t
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
t (s)
v 2(t
)
0
0(0)x
Extension 2 ddl
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Illustration
Calcul de de la réponse libre: Réponse en accélérations des 2 ddl associées aux masses
B. Lallemand - T. Tison 158
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
T2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2
-1
0
1
2
t (s)
a1(t
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2
-1
0
1
2
t (s)
a2(t
)
Extension 2 ddl
2-
1(0)x
12
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 159
Illustration
Calcul de de la réponse libre: Évaluation de l'énergie cinétique
Rappel:
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t (s)
Ecin
Ec Masse 1
Ec Masse 2
Ec Totale
22
c xm2
1mv
2
1E
Extension 2 ddl
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 160
Illustration
Calcul de de la réponse libre: Évaluation de l'énergie potentielle
Rappel:
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
t (s)
Epot
Ep Ressort 1
Ep Ressort 2
Ep Ressort 3
Ep Totale
2
p kx2
1E
Extension 2 ddl
13
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 161
Illustration Calcul de de la réponse libre: Évaluation de l'énergie totale du système
Il y a transfert entre l'énergie potentielle et l'énergie cinétique.
Le système n'ayant pas d'amortissement, l'énergie totale est constante !
Le système est bien conservatif.
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
t (s)
Eto
t
Ep Totale
Ec Totale
E Totale Système
Extension 2 ddl
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 162
La réponse libre non amortie est déterminée en définissant la réponse temporelle comme la somme des mouvements harmoniques à chaque fréquence naturelle (principe de superposition modale).
L’amplitude des mouvements harmoniques est égale au mode multiplié par une constante à déterminer.
Les inconnues (amplitudes et phases) sont déterminées par les conditions initiales de déplacement et de vitesse : si les conditions initiales sont sous forme de déplacement, le mouvement s’exprimera
sous forme cosinusoïdal;
si les conditions initiales sont sous forme de vitesse, le mouvement s’exprimera sous forme sinusoïdal;
si les conditions initiales sont sous forme de déplacement et de vitesse, le mouvement s’exprimera sous forme quelconque.
Résumé Extension 2 ddl
tq Φtx
14
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 163
Résolution d'un système non amorti en vibrations libres Extension 2 ddl
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 164
f1(t) et f2(t) sont sinusoïdales, soit en notation complexe:
Il s'agit donc d'une équation différentielle du second ordre.
La solution est du type :
xG est la solution générale de l'équation homogène associée (cas des vibrations libres)
xP est la solution particulière de l'équation complète, avec second membre
La solution particulière xP est du type:
Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique
tf
tf
tx
tx
2kk
k2k
tx
tx
m0
0m
2
1
2
1
2
1
tjΩ
2
1
2
1 eF
F
tf
tf
txtxtx PG
tjΩtjΩ
2
1
P XeeX
Xtx
tjΩ2
P XeΩtx tjΩ
P XejΩtx
Extension 2 ddl
15
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 165
En reportant les déplacements, les accélérations et les chargements dans l'équation d'équilibre, on obtient:
La résolution de ce système, fonction de la pulsation d'excitation Ω, donne:
Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique
2
1
2
12
F
F
X
X
m0
0m
2kk
k2k
2
1
2
2
2
1
F
F
mΩ2kk
kmΩ2k
Δ
1
X
X mΩ3kmΩkΔ 22
mΩ3kmΩk
kFF mΩ2kX
22
21
2
1
mΩ3kmΩk
F mΩ2kkFX
22
2
2
12
tjΩ
2
1
P eX
Xtx
Extension 2 ddl
tf
tf
tx
tx
2kk
k2k
tx
tx
m0
0m
2
1
2
1
2
1
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique
Illustration : Cas particulier pour lequel F2=0. On obtient alors 2 FRF :
mΩ3kmΩk
F mΩ2kX
22
1
2
1
mΩ3kmΩk
kFX
22
12
Δ
mΩ2k
mΩ3kmΩk
mΩ2k
F
X 2
22
2
1
1
Δ
k
mΩ3kmΩk
k
F
X22
1
2
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
166
16
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10-2
10-1
100
(rad/s)
| X
/F |
|X1/F
1|
|X2/F
1|
Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique
Si Ω=ω1 ou si Ω=ω2, le déterminant Δ s'annule; la réponse du système devient alors infinie !
Si Ω=ω0', le 1er ddl ne vibre pas (|X1/F1|=0 - Antirésonance), mais le 2nd ddl vibre.
m
kω1 m
3kω2
m
2kω0
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
167
Illustration (suite...)
Étouffeur de vibration !
Branches infinies !
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique
Si Ω=0, on retrouve la solution du régime statique
Si Ω , l'amplitude des réponses des 2 ddl tend vers 0.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10-2
10-1
100
(rad/s)
| X
/F |
|X1/F
1|
|X2/F
1|
1
2
3k
1
FX
FX
12
11
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
168
Illustration (suite...)
17
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique
La solution particulière a alors comme expression:
mΩ3kmΩk
F mΩ2kX
22
1
2
1
mΩ3kmΩk
kFX
22
12
tjΩ
2
1
P eX
Xtx
tjΩ
22
1
2
1 emΩ3kmΩk
F mΩ2ktx
tjΩ
22
12 e
mΩ3kmΩk
kFtx
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
169
Illustration (suite...)
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique Illustration (suite...)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t (s) - = 1rad/s
x(t
)
x1
x2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t (s) - = 4.4721rad/s
x(t
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5
0
0.5
t (s) - = 5.3677rad/s
x(t
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2
-1
0
1
2x 10
-3
t (s) - = 30rad/s
x(t
)
rad/s 3,162m
kω1 rad/s 5,477
m
3kω2 rad/s 4,472
m
2kω0
B. Lallemand - T. Tison
Extension 2 ddl
170
18
Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications
B. Lallemand - T. Tison 171
Systèmes à 2 ddl Extension 2 ddl