27_Analisi Della Tensione,Definizioni

7/25/2019 27_Analisi Della Tensione,Definizioni

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 27Titolo: Analisi della tensione: impostazione del problema

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 27 Analisi della tensione: defin izioni

Nucleotematico

Lez. Contenuto

8 27Analisi della tensione: impostazione del problema,definizione di tensione e di componenti speciali di tensione.

In questa lezione si inizia ad affrontare il problema dellequilibrio di unsolido generico soggetto a certe forze con lo scopo di determinare lerelazioni generali che ne governano lequilibrio e le deformazioni.

Premessa

Nelle lezioni precedenti sono state introdotte le caratteristichedi sollecitazione per le travi. Queste grandezze rappresentano isistemi di forze che due parti di un solido a forma di trave devonoscambiarsi attraverso una generica sezione trasversale nellecondizioni di equilibrio. Sono inoltre state dimostrate le relazioniglobali e locali (equazioni indefinite di equilibrio) che le caratteristichedi sollecitazione devono soddisfare insieme ai carichi applicati. Lecaratteristiche di sollecitazione sono, per definizione, le risultanti chedue parti di una trave si scambiano attraverso una sua sezionetrasversaleS. Ad esempio lo sforzo normale la componente nella

direzione dellasse della trave della forza che due sezioni siscambiano mutuamente. Nella trattazione fin qui svolta si quindiconcentrata lattenzione sulle risultanti che globalmente due parti di unsolido trave si scambiano attraverso una sezione senza entraremaggiormente nel dettaglio di quali azioni mutue le due parti di trave siscambino nei diversi punti della sezione che le separa. In altre parole stato riconosciuto che per lequilibrio due parti di trave separate dallasezioneS devono scambiarsi, ad esempio, un certo sforzo normalema non sono state fatte considerazioni sulla effettiva distribuzione diforze agenti sulla sezione, la cui risultante deve avere una

componente pari allo sforzo normale. In questa e nelle successivelezioni si entra pi nel dettaglio e si affronta il problema di stabilirequali sono le azioni mutue che due parti di un solido generico siscambiano puntualmente, cio in ogni suo punto. Questo problemaviene affrontato dapprima in modo generale, per poi esserespecializzato relativamente al caso delle travi.

Impostazione e definizioni

Si consideri un solido che occupa il volume Vdello spazio ed delimitato dalla superficieS. Sia il solido in equilibrio sotto lazione dicerte forze esterne note. Si suppone che queste forze siano di duetipi: forze di superficieapplicate sulla superficieSdel solido e forze divolumeapplicate ai punti del volume Vdel solido (figura 27.1).
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Figura 27.1.

Fissato un sistema di riferimento (Oxyz) al quale sono riferiti i punti delsolido le forze di superficie sono analiticamente descritte da un campovettoriale

( )z,y,xpp= (x,y,x) S (27.1)

definito suS, mentre le forze di volume sono analiticamente descritte

da un campo vettoriale

( )z,y,xff= (x,y,x) V (27.2)

definito su V. Ad ogni generico punto Ps di coordinate (x,y,z) dellasuperficie del solido resta quindi associata la forza di superficie

( )z,y,xp ad esso applicata; ( )z,y,xp ha la dimensione di una forza perunit di superficie, e cio di una forza divisa per il quadrato di unalunghezza. Ad ogni generico punto Pvdi coordinate (x,y,z) del volumedel solido resta invece associata la forza per unit di volume ( )z,y,xf che ha evidentemente la dimensione di una forza divisa per il cubo diuna lunghezza.Le forze di superficie (27.1) e le forze di volume (27.2) sono entitvettoriali e possono esprimersi mediante le componenti nel riferimento

(Oxyz) assunto:

( )( )( )( )

==

z,y,xp

z,y,xp

z,y,xp

z,y,xpp

z

y

x

(x,y,x) S (27.3)

( )( )( )( )

==

z,y,xf

z,y,xf

z,y,xf

z,y,xff

z

y

x

(x,y,x) V (27.4)

essendo ( )z,y,xpx , ( )z,y,xpy , e ( )z,y,xpz le componenti del vettore( )z,y,xp nel riferimento assunto. Evidentemente ( )z,y,xpx , ( )z,y,xpy ,( )z,y,xpz sono funzioni reali delle tre variabili (x,y,z), cio della

posizione del punto sulla superficie del solido ed hanno quindi come

x

y

Oz

p(z,y,z)

f(z,y,z)p(z,y,z)

p(z,y,z)

p(z,y,z) f(z,y,z)

VS

PsSPvV


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dominio la superficieSdel solido. Una analoga simbologia adottata

nelle (27.4) per le componenti di ( )z,y,xf , il cui dominio invece ilvolume interno Vdel solido.

La risultante delle forze di superficie agenti su una genericaporzione di dimensione finita della superficieSfigura 27.2

( ) =

dz,y,xpF (x,y,x) S (27.5)

ed ha, nel sistema di riferimento (Oxyz) le componenti

( )

( )

( )

=

=

dz,y,xp

dz,y,xp

dz,y,xp

F

FF

F

z

y

x

z

y

x

(x,y,x) S (27.6)

Figura 27.2.

La risultante delle forze di volume agenti su una generica porzione di dimensione finita del volume Vfigura 27.2

( ) =

dz,y,xfQ (x,y,x) V (27.7)

ed ha, nel sistema di riferimento (Oxyz) le componenti

( )

( )

( )

=

=

dz,y,xf

dz,y,xf

dz,y,xf

Q

Q

Q

Q

z

y

x

z

y

x

(x,y,x) V (27.8)

Considerando un punto Psdi coordinate (x,y,z) della superficieS edun suo intorno ddi dimensione piccolissima (infinitesima), cio una

x

y

Oz

p(z,y,z)

f(z,y,z) p(z,y,z)

p(z,y,z)

p(z,y,z) f(z,y,z)V

S

Q

F


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piccolissima porzione della superficieS contenente il punto Ps, la

risultante delle forze di superficie ( )z,y,xp agenti nellintorno d

( )( )( )( )

=

==

dz,y,xp

dz,y,xp

dz,y,xp

dF

dF

dF

dz,y,xpdF

z

y

x

z

y

x

(x,y,x) S (27.9)

potendosi, per la piccolezza di d, considerare costante la forza disuperficie agente sui punti dellintorno.Analogamente, la risultante delle forze di volume agenti nellintornoinfinitesimo ddi un punto Pvdel volume V(cio agenti in un volumepiccolissimo contenente il punto Pv)

( )( )( )( )

=

==

dz,y,xfdz,y,xfdz,y,xf

dQdQdQ

dz,y,xfdQ

z

y

x

z

y

x

(x,y,x) V(27.10)

Le forze dF e dQ , essendo relative ad una porzione infinitesima dellasuperficieSe del volume Vsono infinitesime.

Si infine supposto che il solido sia in equilibrio sotto lazionedelle forze ( )z,y,xpp= e ( )z,y,xff= . Sono quindi soddisfatte leEquazioni Cardinali della Statica (3.1) che possono esprimersi informa vettoriale come

( ) dz,y,xp S+ ( ) dz,y,xf V= 0S V

(27.11)( ) dOPz,y,xp S+ ( ) dOPz,y,xf V= 0

S V

avendo valutato, nella seconda delle (27.11) i momenti rispetto alcentro O del sistema di riferimento assunto, avendo indicato con ilprodotto vettoriale ed essendo

( )

== zy

x

OPOP (27.12)

il raggio vettore del punto generico punto P del solido (della superficieo del volume) di coordinate (x,y,z),figura 27.3.La prima delle (27.11) impone lequilibrio alla traslazione del solido,cio impone che la risultante delle forze di superficie e delle forze divolume applicate al solido sia nulla, mentre la seconda delle (27.11)impone lequilibrio alla rotazione rispetto al punto O, cio impone che ilmomento risultante delle forze di superficie e delle forze di volumeapplicate al solido sia nullo rispetto al punto O.


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Figura 27.3.

Le (27.11) sono uguaglianze tra vettori; nel riferimento assunto le(27.11) possono essere espresse come uguaglianze tra le componentidei vettori e quindi come le sei equazioni scalari

( ) dz,y,xpx S+ ( ) dz,y,xfx V= 0S V

(27.13)

( ) dz,y,xpy S+ ( ) dz,y,xfy V= 0S V

( ) dz,y,xpz S+ ( ) dz,y,xfz V= 0S V

( ) ( )[ ] dzz,y,xpyz,y,xp yz S+ ( ) ( )[ ] dzz,y,xfyz,y,xf yz V= 0S V

( ) ( )[ ] dxz,y,xpzz,y,xp zx S+ ( ) ( )[ ] dxz,y,xfzz,y,xf zx V= 0S V

( ) ( )[ ] dyz,y,xpxz,y,xp xy S+ ( ) ( )[ ] dyz,y,xfxz,y,xf xy V= 0S V

Le prime tre delle (27.13) corrispondono alla prima delle (27.11) edimpongono lequilibrio alla traslazione del sistema (nelle direzioni degli

assi x, y e z, rispettivamente) mentre le ultime tre delle (27.13)corrispondono alla seconda delle (27.11) ed impongono lequilibrioalla rotazione del sistema intorno agli assi x, y e z, rispettivamente.

Procedendo in modo analogo a quanto visto per la definizionedelle caratteristiche di sollecitazione delle travi, si supponga ora disezionare il solido con un piano in modo da dividerlo in due parti T1e T2(figura 27.4).

Sia 1 il piano pensato come superficie che delimita la parteT1 e 2 il piano pensato come superficie che delimita la parte T2.Ognuna delle due parti T1 e T2 non sar, in generale, in equilibriosotto lazione delle forze di volume e di superficie ad essa competenti(per semplicit non rappresentate in figura 27.4), nel senso che le(27.11) e le(27.13) non saranno soddisfatte relativamente alle parti T1

xy

Oz

p(z,y,z)

f(z,y,z) p(z,y,z)

p(z,y,z)

p(z,y,z) f(z,y,z)V

S

P

P-O


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e T2separatamente (cio riscritte in modo che gli integrali siano estesi

solo alle superfici esterne ed ai volumi di T1e T2).

Figura 27.4.

Ad esempio, relativamente a T1si avr, in generale

( ) dz,y,xp S+ ( ) dz,y,xf V0S1 V1

(27.14)( ) dOPz,y,xp S+ ( ) dOPz,y,xf V0

S1 V1

avendo indicato conS1e con V1rispettivamente la superficie esterna(esclusa la faccia sul piano ) ed il volume di T1. Le (27.14) sonoevidenti in quanto le(27.11) possono essere riscritte come

( ) dz,y,xp S+ ( ) dz,y,xf V+S1 V1

( ) dz,y,xp S+ ( ) dz,y,xf V= 0S2 V2

(27.15)( ) dOPz,y,xp S+ ( ) dOPz,y,xf V+

S1 V1

( ) dOPz,y,xp S+ ( ) dOPz,y,xf V= 0S2 V2

in cui evidentementeS2 e V2 sono rispettivamente la superficieesterna ed il volume (esclusa la faccia sul piano ) di T2.

Si deve quindi ammettere che, siccome il solido era in equilibrioprima di essere sezionato dal piano , prima del taglio la parte T1

12

T1

T2

S1

S2

x

y

z

P

td

t d

Pd

txd

tzd

td

txd

tydtzd


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esercitava certe forze sulla parte T2attraverso il piano e viceversa.

Si consideri la parte T1 (analoghi ragionamenti possono essere fattiper la parte T2). Siccome il piano costituisce ora una parte dellasuperficie per il solido T1 le forze che T2esercitava su T2 prima deltaglio possono esprimersi come una distribuzione di forze di superficie

( )( )( )( )

==

x,y,xt

x,y,xt

x,y,xt

x,y,xtt

z

y

x

(x,y,x) (27.16)

essendo (x,y,z) le coordinate del generico punto P della sezione sulpiano 1.

Considerando quindi un intorno piccolissimo d di un punto P di 1(figura 27.4), la forza esercitata da T2su T1in questo intorno

( )( )( )( )

==dx,y,xt

dx,y,xt

dx,y,xt

dx,y,xtdT

z

y

x

P (x,y,x) (27.17)

essendo (x,y,z) le coordinate di P.

Le componenti di t hanno evidentemente le dimensioni di unaforza per unit di superficie, cio di una forza divisa per il quadrato diuna lunghezza.

Definizione

Il vettore ( )x,y,xtt= si chiama tensione nel punto P dicoordinate (x,y,z).

Osservazione 1: sistema di riferimento

Come per qualunque vettore, le componenti del vettore( )x,y,xtt= dipendono dal sistema di riferimento considerato. Sia

( )

( )

( )( )

==x,y,xtx,y,xt

x,y,xt

x,y,xttz

y

x

(x,y,x) (27.18)

il vettore tensione nel punto P nel riferimento (Oxyz). Volendoesprimere lo stesso vettore rispetto ad un sistema di riferimento(O) si ha

( )( )( )

[ ]( )( )( )

=

x,y,xt

x,y,xt

x,y,xt

N

x,y,xt

x,y,xt

x,y,xt

z

y

x

(x,y,x) (27.19)

essendo [ ]N una la matrice 3x3 avente nelle colonne le componentidei versori degli assi (x,y,z) rispetto agli assi (,,). In particolare, laprima colonna di [ ]N contiene le componenti del versore dellasse x


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rispetto agli assi (,,), la seconda colonna contiene le componenti

del versore dellasse y rispetto agli assi (,,) e la terza colonnacontiene le componenti del versore dellasse z rispetto a (,,).Equivalentemente, la prima riga della matrice [ ]N contiene lecomponenti del versore dellasse rispetto agli assi (x,y,z), la secondariga contiene le componenti del versore dellasse rispetto agli assi(x,y,z) e la terza riga contiene le componenti del versore dellasse rispetto agli assi (x,y,z). In altre parole le righe di [ ]N contengono icoseni direttori degli assi (,,) rispetto agli assi (x,y,z); in particolarela prima riga contiene i coseni direttori dellasse rispetto agli assi(x,y,z), la seconda riga contiene i coseni direttori dellasse rispettoagli assi (x,y,z) e la terza riga contiene i coseni direttori dellasse rispetto agli assi (x,y,z).Si ricorda dallalgebra lineare che la matrice [ ]N essendo una matricedi cambio di base tra due basi ortogonali detta matrice ortogonale egode della propriet

[ ] [ ] [ ]INN T = (27.20)

essendo [ ]I la matrice identit. In altre parole la matrice inversa di[ ]A [ ]TA .

Osservazione 2

evidente come la tensione ( )x,y,xtt= nel punto P dipendadalla posizione di P e quindi dalle coordinate (x,y,z) di questo:considerando due punti distinti P e Q della superficie 1 sar, ingenerale

( ) ( )QQQPPP z,y,xtz,y,xt (xP,yP,xP), (xQ,yQ,xQ) 1 (27.21)

nella quale sono state indicate con (xP,yP,zP) le coordinate di P e con(xQ,yQ,zQ) le coordinate di Q.

Scelto un punto P di 1di coordinate (x,y,z) la tensione dipendepoi dallorientamento del piano considerato; in altre parole scelti duepiani e entrambi passanti per P (figura 27.5)risulta in generale

( ) ( )z,y,xtz,y,xt (xP,yP,xP), (xQ,yQ,xQ) (27.22)

avendo indicato con ( )z,y,xt la tensione nel punto P che si ottienesezionando il solido con il piano e con ( )z,y,xt la tensione nel puntoP che si ottiene sezionando il solido con il piano . Ricapitolando, latensione in un punto P di un solido dipende dalla posizione, e quindidalle coordinate, del punto e dallorientamento del piano passante perP scelto per la valutazione della tensione stessa; in breve questultimaevenienza si esprime affermando che tensione nel punto P dipende

dalla giacitura considerata. Si fa osservare che in figura 27.5, efrequentemente nel seguito i vettori rappresentati indicano la tensionenel punto e le sue componenti; per la definizione stessa di tensione


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queste non sono le forze agenti nel punto ma le forze per unit di

superficie. Di questo si deve tenere conto quando gli schemi dellefigure servono come riferimento per la scrittura delle equazioni diequilibrio (che invece coinvolgono le forze); pi esplicitamente, primadi essere introdotte in qualche equazione di equilibrio queste tensionidevono essere moltiplicate per le superfici sulle quali agiscono.

Lorientamento di un piano pu essere identificato dalladirezione di una retta ad esso ortogonale la quale a sua voltaidentificata dal suo versore (vettore avente la stessa direzione dellaretta e modulo unitario). Ad esempio nel caso difigura 27.5 il piano identificato dalla retta n ad esso ortogonale, il cui versore il

vettorezyx nnnn = (27.23)

avente per componenti i coseni direttori della retta nrispetto agli assidel sistema di riferimento (Oxyz) assunto; una analoga simbologia stata adottata per n.Si ricorda che se

zyx nnnn= (27.24)

il versore di una retta (e cio un vettore avente la direzione della

retta e modulo unitario) deve risultare1nnnn 2z

2

y

2

x

2=++= (27.25)

Figura 27.5.

x

y

zPd

tz

P

t

t P

tt

tx

tz

n

n

n

1n =

n 1n =

tx


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essendo [ ]N la matrice di rotazione che definisce il cambio di sistema

di riferimento, avente nelle righe i coseni direttori degli assi n, p e qrispetto alla terna di assi (x,y,z).

Figura 27.6.

Per esteso, dettinx, nyed nzi coseni direttori dellasse n rispetto ad x, y e z,px, pyed pzi coseni direttori dellasse p rispetto ad x, y e z,qx, qyed qzi coseni direttori dellasse q rispetto ad x, y e z,

la(27.29) si scrive

=

z

y

x

zyx

zyx

zyx

nq

np

nn

t

t

t

qqq

ppp

nnn

t

t

t

(x,y,x) (27.30)

Nella(27.29) e nella(27.30) quindi

tnn la componente della tensione nt secondo lasse n;tnp la componente della tensione nt secondo lasse p;tnq la componente della tensione nt secondo lasse q.

Di solilto, ed anche in questo contesto la componente tnn delvettore tensione nella direzione della normale alla superficieconsiderata si indica con n, mentre le componenti del vettoretensione nelle direzioni p e q giacenti sul piano considerato si indicanocon npe nq(figura 27.7).

x

y

z

Pdtnz

tny

tn

nn

1n=

Pd

tnq

tnn

tn

nn

1n=

tnp

n

p

q

n

p

q

tnx


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Definizioni

La componente ndella tensione nella direzione ortogonale allasuperficie si dice componente normale della tensione osemplicemente tensione normale, mentre le componenti np e nqdella tensione si dicono componenti tangenziali della tensione osemplicemente tensioni tangenziali.

Con questa simbologia (figura 27.7), la lettera indica quindiuna componente di tensione normale al piano di sezione considerato;in questo caso necessario un solo indice che denota sia la direzionedella normale a detto piano che la direzione della componente ditensione. La lettera indica una componente di tensione tangenziale;in questo caso sono necessari due indici, dei quali il primo indica ladirezione della normale al piano su cui valutata la tensione (e su cuigiace la tensione tangenziale) ed il secondo la direzione dellatensione tangenziale stessa. np dunque la componente tangenzialediretta come p della tensione su un piano di normale n.

Figura 27.7.

Con questa simbologia la(27.30) diventa

=

z

y

x

zyx

zyx

zyx

nq

np

n

t

t

t

qqq

ppp

nnn

(x,y,x) (27.31)

Le componenti n, np e nq della tensione nt secondo la

direzione normale alla superficie e secondo due direzioni giacenti sullasuperficie si dicono componenti speciali di tensione.

P

n

nn

tn

nn

1n=

np

n

p

q

n

p

q

n

P

nq

n

tn

np

n

pn

q


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riferimento globale (x,y,x) se lorientamento dellasse normale al piano

della sezione concorde a quello del sistema di riferimento globalementre sono orientati in modo opposto nel caso contrario. Adesempio, sezionando il solido con un piano per P ortogonale allasse xdel sistema di riferimento globale, gli assi y e z del sistema diriferimento locale al quale si riferiscono componenti speciali ditensione xye xzsono orientati come y e z del sistema di riferimentoglobale se la normale al piano di sezione uscente dal solido orientata come x; sono orientati in modo opposto ad y e z se lanormale al piano di sezione uscente dal solido orientata in modoopposto ad x.

Figura 27.8.

xy

z

P

Pzxzy

z

z

zyzx

P

xxy

xz

x

xz

xyyy

yx

yz

yz

yz

xy

z


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Ad esempio, la tensione xy su una faccia di normale x vieneconsiderata positiva se diretta come lasse y nel caso in cui la normaleuscente dalla faccia considerata concorde con lasse x; vieneconsiderata positiva se diretta in modo opposto allasse y se lanormale uscente dalla faccia considerata orientata in modo oppostoallasse x. In figura 27.8 sono rappresentate sulle varie facce lecomponenti speciali di tensione pensate positive in accordo con ilsistema di riferimento rappresentato nella stessa figura. Si noti che infigura 27.8 il piano di sezione normale ad ogni asse del sistema diriferimento e la sezione che ne risulta sono stati rappresentati dellostesso colore dellasse stesso.

Le nove componenti speciali di tensione che si ottengono nelpunto P sezionando un solido con piani per P ortogonali agli assi di unsistema di riferimento vengono organizzate nelle colonne di unamatrice 3x3

[ ]

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(27.33)

detta matrice di tensione, tensore di tensione o tensore degli

sforzi.Si rimarca che queste componenti sono relative al punto P di

coordinate (x,y,z), quindi le componenti speciali contenute nel tensoredi tensione sono funzioni reali di tre variabili, che sono le coordinate(x,y,x) del punto P, cio

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=z,y,xz,y,xz,y,x

z,y,xz,y,xz,y,x

z,y,xz,y,xz,y,x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(27.34)


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LEZIONE 27 Sessione di studio 1

Analisi del la tensione: def inizioni

Si propone nel seguito qualche considerazione relativa alle forze disuperficie ed alle forze di volume introdotte nella lezione.

Osservazione 3

Le considerazioni svolte nella lezione si riferiscono ad un solidosul quale si pensano agenti forze esterne distribuite sulla superficie eforze esterne distribuite nel volume (evidentemente esterne significache sono causate da enti esterni al corpo e non che sono applicate a

punti esterni ad esso). Queste forze sono descritte analiticamente daidue campi vettoriali

( )z,y,xpp= (x,y,x) S (27.35)

( )z,y,xff= (x,y,x) V (27.36)

essendo (x,y,z) le coordinate del generico punto della superficie Sodel volume V del solido e sono state definite senza specificarne lacausa. Si precisa ora che le e forze di superficie agenti sul solidoconsiderato sono dovute al contatto con gli altri corpi, mentre le forze

di volume sono connesse alla massa del solido stesso o alla presenzadi campi elettromagnetici. Alcuni esempi di forze di superficie sono iseguenti.

- La pressione esercitata da un fluido sulla superficie di un solidoimmerso in questo. noto che immergendo un solido in un fluidoquestultimo esercita sulla superficie del solido una pressioneavente modulo

( ) zgz,y,xpp == (x,y,x) S (27.37)

essendo la densit del fluido (massa per unit di volume), g

laccelerazione di gravit e z la coordinata del punto in un sistemadi riferimento con il piano (xy) posto in corrispondenza del pelolibero del fluido e con lasse z rivolto dal pelo libero verso lo spazioriempito dal fluido. La direzione della pressione (27.37) in ognipunto normale alla superficie del solido ed diretta verso linternodi questo.

- Il peso di un oggetto appoggiato su un solido che ne impedisce lacaduta verso il centro della Terra; si pensi ad esempio ad unoggetto in quiete appoggiato su un tavolo; sul solido in esame (chein questo esempio il tavolo) agisce una distribuzione di forze disuperficie distribuite nella porzione della sua superficie occupatadalloggetto appoggiato e la cui risultante il peso delloggettostesso. Se loggetto si sposta sul tavolo sar inoltre presente, per


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effetto dellattrito, una distribuzione di forze giacenti sulla superficie

di contatto, anchesse forze di superficie.Tra le forze di superficie sono comprese le reazioni dei vincoli

esterni cui il solido eventualmente soggetto. Ad esempio un tavoloappoggiato su un pavimento riceve da questo reazioni vincolari chesono forze distribuite sulla superficie di contatto tra il le gambe deltavolo ed il pavimento. Si osserva che per rientrare nellaschematizzazione descritta queste reazioni devono essererappresentate come forze per unit di superficie e non come forzeconcentrate.

Si osserva infine che non detto che forze di superficie non

nulle siano definite in ogni punto della superficie S del solido inesame.

Alcuni esempi di forze di volume sono i seguenti.

- La forza di gravit agente su un solido

( )( )( )( )

=

==

g00

z,y,xf

z,y,xf

z,y,xf

z,y,xff

z

y

x

(x,y,x) V (27.38)

avendo assunto un sistema di riferimento con asse z diretto verso

il centro della Terra, ed essendo la densit del solido (massadellunit di volume) e g laccelerazione di gravit.

- Le forze di trascinamento in un sistema non inerziale

( ) ( )z,y,xaz,y,xff tr== (x,y,x) V (27.39)

essendo ancora la densit del solido ed ( )z,y,xa tr laccelerazionedi trascinamento (vettore) del punto del solido di coordinate (x,y,z).Queste forze sono ad esempio la forza centrifuga e le forze dovutealle accelerazioni prodotte da eventi sismici.


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Si propone nel seguito qualche considerazione relativa alla definizionedi tensione data nella lezione.

Osservazione 4

Nella lezione stata definita la tensione in un punto P di unsolido su una giacitura come la forza per unit di superficie che ledue parti in cui il solido resta diviso dal piano si scambiano nel puntoP. Questa definizione assume implicitamente che una tale forza

esista. stato quindi implicitamente assunto che il sistema di forzeche le due parti del solido si scambiano nel putto P riconducibileunicamente ad una forza e non ad un sistema costituito da una forza eda una coppia (come invece visto per le azioni interne che due parti ditrave si scambiano attraverso una sezione) o, equivalentemente, chela forza che le due parti del solido si scambiano in un intornopiccolissimo del punto P passa per il punto P stesso.Equivalentemente avrebbe potuto definirsi la tensione nel seguentemodo.

Si supponga di sezionare un solido con un piano passante

per un suo punto interno P; si denotino al solito conT

1 eT

2 le dueparti in cui il solido resta diviso dal piano . Si consideri su unintorno di dimensioni finite del punto P (figura 27.9).

Figura 27.9.

Siano T e M la risultante ed il momento risultante rispetto aP delle forze esercitate dalla parte T2 del solido sulla parte T1 in

12

T1

T2

S1

S2

x

y

z

P

P

P

T

M

M

T


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corrispondenza della superficie (equivalentemente potrebbero

considerarsi le forze esercitate attraverso dalla parte T1alla parteT2). Si assume che

0

Tlim

Tlim

Tlim

Tlim

z0

y0

x0

0=

=

0

Mlim

Mlim

Mlim

Mlim

z0

y0

x0

0=

=

(27.40)

essendo Tx, Ty e Tz le componenti di T e Mx, My, Mz lecomponendi di M rispetto al sistema di riferimento assunto. Siassume cio che al tendere a zero della dimensione della superficie (deve immaginarsi che la superficie si riduca continuando acontenere P) la risultante ed il momento risultante rispetto a P delleforze esercitate su siano nulli. Questo equivale a supporre che incorrispondenza del punto P le due parti di solido non si scambinoforze concentrate.

Si suppone inoltre che esistano e che siano finiti i limiti

=

Tlimt

0

=

Mlim0

0 (27.41)

si suppone cio che al tendere a zero della superficie il rapporto

tra la risultante delle forze scambiate attraverso e la superficie stessa tenda ad un limite finito non nullo e che invece sia nullo ilrapporto tra il momento rispetto a P delle forze scambiate e lasuperficie . Evidentemente le (27.41) devono intendersi in sensovettoriale; per componenti rispetto al riferimento assunto si ha

=

=

=

z

0

y

0

x

0

0

z

y

x

F

lim

Flim

Flim

Flim

t

t

t

t 0

M

lim

Mlim

Mlim

Mlim

z

0

y

0

x

0

0=

=

(27.42)

Questo equivale a supporre che considerando un intorno piccolissimodi P la risultante delle forze esercitate dalla parte T2sulla parte T1 incorrispondenza di questo intorno sia anchessa piccolissima ma nonnulla e che invece sia nullo il momento risultante rispetto a P di questeforze, cio che la risultante di queste forze passi per P. Informalmentepu anche affermarsi che al tendere a zero della superficie larisultante delle forze scambiate attraverso tende a zero come ,mentre il momento risultante tende a zero pi rapidamente di .

Il limite


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=

Tlimt 0 (27.43)

si chiama tensionenel punto P sulla giacitura . Si ammette dunqueche in un intorno infinitesimo dd P venga scambiata tra le due partidi solido la forza infinitesima

= dtdT (27.44)

che equivale alla definizione data dalla (27.17).


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In questa sessione si suggerisce al lettore di rivedere alcune questionidi algebra lineare che saranno utili per una pi completacomprensione degli argomenti trattati; in particolare:

- trasformazioni lineari;- algebra delle matrici;- matrici che rappresentano un cambiamento di base;- matrici ortogonali e loro propriet.

27_Analisi Della Tensione,Definizioni

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