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27. ディジタルフィルタの構成27. Composition of Digital Filter

このテーマの要点 ディジタルフィルタの考え方を理解する ディジタルフィルタの基本特性を理解する

FIRフィルタ、IIRフィルタの特徴を理解する

教科書の該当ページ 8.3 ディジタルフィルタ [p.146]

!DFTを用いたフィルタリング [p.148]

!ディジタルフィルタの二つのタイプ [p.150]

ディジタルフィルタとは

アナログフィルタの機能をディジタルシステムで実現したもの

図1.3 [p.3]

アナログフィルタ

ディジタルフィルタ

処理前(アナログ)

処理過程　　 処理後(アナログ)

A/D変換 数値演算if f > fc...

D/A変換

電子回路y(t) = x(t)*g(t)

x(t) y(t)

!設計

周波数領域で周波数特性を考慮 IDFT

!演算

時間領域で離散たたみ込み

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ディジタルフィルタの理想特性

低域通過 LPF

! アナログ

t0

h (t )連続量

FT

! ディジタル

n0

h (n )離散量

DTFT

ω0

H (ω )

ωc−ωc

Ω0

H (Ω )

ωc−ωc π−π

! 連続スペクトル! 2π周期で無限に繰り返し　　(誤差原因に)

ディジタルフィルタリングの流れ (概念)

! 離散時間信号

i0

u(i)

① 窓かけ (区間切り出し) uN (n) = w(n) u(n)

n0

w(n)1

N−1

! 有限離散時間信号

n0

uN (n)

N−1

リーケージ誤差の発生Ex. sinn

n0

s(n)

k0

S(k)

n0

S’(n)

k0

S’(k)

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② DFT (FFT)

! 離散有限周波数信号

k0

UN (k)

N−1

対称性

③ フィルタリング YN (k) = H(k) uN(k)

k0

H(k)1

N−1

k0

YN (k)

N−1

スペクトルの欠落Ex. sinn

k0

S’(k)

k0

H(k)1

ωc

理想LPF

k0

Y(k) 欠落

④ IDFT (IFFT)

! 離散有限時間信号

n0

yN (n)

N−1

⑤ 処理の繰り返し

n0

yNi (n)

i=1 i=2

...

フィルタリングの実際フィルタ周波数特性

k0

H(k)1

N−1

IDFT (IFFT)フィルタインパルス応答

n0

h (n ) 有限(打ち切り)

時間信号uN(k)に離散たたみ込み

ディジタルフィルタの設計 = たたみ込み係数＆回路構成の決定

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FIRフィルタ

Finite Impulse Response : インパルス応答が有限のもの

H(z) = h0 + h1 z −

1

+ h2 z −

2

+ ... + hK z −

K

差分方程式y(n) = h0 u(n) + h1 u(n− 1)

+ h2 u(n− 2) + ... + hK u(n− K )K

k = 0= ∑ hk u (n− k)

h0

z −

1

+y(n)u(n)

+h1

z −

1

+h2

z −

1

hK

! 過去 K 個分のデータの寄与を集計フィルタ次数

! 入力から出力への一方通行　(FBループなし)

IIRフィルタ

Infinite Impulse Response : インパルス応答が無限のもの

H(z) =b0 + b1 z

− 1

+ b2 z −

2

+ ... + bK z −

K

1 − (a1 z −

1

+ a2 z −

2

+ ... + aM z −

M

)

差分方程式

y(n) = ∑ am y (n− m) + ∑ bk u (n− k)M

m = 1

K

k = 0

! 出力をFBし、無限の繰り返し演算を行わせるEx.

1

z −

1

+y(n)u(n)

0.5

u(n) = δ (n) のとき y(0) = δ (0) = 1 y(1) = 0.5 y(0) = 0.5 y(2) = 0.5 y(1) = 0.25 ...

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IIRフィルタの構成

y(n) = ∑ am y (n− m) + ∑ bk u (n− k)M

m = 1

K

k = 0

b0

z −

1

+u(n)

+b1

z −

1

+b2

z −

1

bK

z −

1

+y(n)

+ a1

z −

1

+ a2

z −

1

aM

! 通常は M= Kとするフィルタ次数

! 遅延素子を共通にして効率化

! その他、様々な構成がある

IIRフィルタの構成方式

並列形縦続形

格子形

直接形

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IIRフィルタの各種構成方式の特徴

構成方式 特　　徴

直接形direct form

縦続形cascade form

並列形parallel form

格子形lattice form

!構造が最も簡単!演算誤差、係数の量子化誤差の影響が大きい!あまり使われない

!最もよく使われる!直接形より演算誤差、量子化誤差の影響小!直接形の伝達関数を因数分解して得る

!直接形より演算誤差、量子化誤差の影響小!直接形の伝達関数を部分分数展開して得る

!直接形より演算誤差、量子化誤差の影響小!演算量が他の構成より多い!安定性の判別が容易

FIR･IIRフィルタの比較

項　　目 FIRフィルタ

インパルス応答

伝達関数

直線位相性

設計法

理想性(急峻な特性)

IIRフィルタ

安定性

有限長 無限長z −

1 の多項式 z

− 1 の有理関数

零位相・直線位相が実現できる

零位相・直線位相は近似的

常に安定 安定条件を満たす必要あり

高い次数が必要(演算遅延が増大) 低い次数で実現可能

フーリエ級数法窓関数法

インパルス不変法双一次変換法

(アナログフィルタからの変換が可能)