2.7 直角三角形的全等的判定
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Transcript of 2.7 直角三角形的全等的判定
忆一忆填一填
1 、全等三角形的对应边 ---------, ,对应角 -----------
相等相等
2 、判定三角形全等的方法有:SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS
直角边 直角边
斜边
C B
A
直角三角形的两个锐角互余。
3 、认识直角三角形Rt△ABC
提出问题
舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住 , 无法测量。(1) 你能帮他想个办法吗?
根据 SAS 可测量其余两边与这两边的夹角。根据 ASA,AAS 可测量对应一边和一锐角
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边 , 发现它们分别对应相等。于是,他就肯定“两个直角三角形是全等的”。
你相信这个结论吗?
( 2 )如果他只带一个卷尺,能完成这个任务吗 ?
让我们来验证这个结论。
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等
做一做 (见书本 P47)已知线段 a,c(a<c) ,利用直尺和圆规作 R
tΔABC ,使∠ C=Rt∠,CB=a,AB=c.按照步骤做一做:
( 1 )作∠ MCN=90°;( 2) 在射线 CM 上截取线段 CB=a;( 3) 以 B 为圆心 ,c 为半径画弧 , 交射线 CN 于点 A; ( 4 )连接 AB.
B
A
a c
探索交流
(1) ABC△ 就是所求作的三角形吗?
( 2 )剪下这个三角形,和其他同学所作的三角形进行比较,它们能重合吗?
(3) 交流之后,你发现了什么?
如图在 Δ ABC 和 Δ A’B’C’ 中, ∠ C= ∠ C’=RT ∠ AB=
A’B’ , AC=A’C’ 说明 Δ ABC 和 Δ A’B’C’ 全等的由。
分析: AC=A’C’ ,无论 RTΔ ABC 和 RTΔ A’B’C’ 的位置如何。我们总是可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到图形,如图,即A‘C’ 和AC重合,点B ' 和点B分别在A
C两侧 .
B’
解∵ ∠ 1= 2=90 °∠∴ A, C , B' 在同一直线上, AC ⊥BB’
∵ AB=A'B'
∴ BC=B'C' (等腰三角形三线合一) ∵ AC=A'C' (公共边) ∴ RTΔABC RTΔA≌ 'B'C' ( SSS )
B
C(C′)
B '
A(A‘)
获得新知
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .
简写:“斜边、直角边”或“ HL”
∠C= C´=90°∠ A B=A´B´ A C= A´C´ ( 或 BC= B´C´ )
B'C'
A'A
CB
∴Rt ABC Rt A´B´C´(H L)△ ≌ △
直角三角形全等的判定方法
∵
已知 :如图 ,D 是△ ABC 的 BC 边上的中点 ,DE⊥AC,DF⊥AB, 垂足分别为 E,F, 且 DE=DF.求证 : △ABC 是等腰三角形 .
分析 :要证明△ ABC 是等腰三角形 ,就需要证明 AB=AC; 进而需要证明∠ B∠C所在的△ BDF≌△CDE
;而△ BDF≌△CDE 的条件 :
从而需要证明∠ B=∠C;
BD=CD,DF=DE 均为已知 .因此 , △ABC 是等腰三角形可证 .
DB C
A
F E
请将证明过程规范化书写出来 .
学以致用
1. 如图,两根长度为 12 米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由。
∵AB=AC (已知)AD=AD (公共边)
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) BD=CD∴
解: BD=CD
∵ ∠ADB= ADC=90°∠
学以致用
议一议1、 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑
梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等,两个滑梯的倾斜角∠ ABC 和∠DFE 大小有什么关系?
解:∵BC=EF, AC=DF.( 已知)
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠ABC=∠DEF( 全等三角形对应角相等 ).
又∠ DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.
B
C
F
E
A D
∵ ∠A= D=90°∠ (已知)
2 如图, AC=AD ,∠ C=∠D=Rt ∠ ,你能说明∠ ABC 与∠ ABD 相等吗?
解: ∠ ABC= AB∠D
又∵ AB=AB( 公共边) AC=AD. (已知)
∴ Rt ACB Rt ADB (HL).△ ≌ △ ∴∠ABC= ABD∠ ( 全等三角形对应角相等 ).
D
C
A B∵∠C=∠D=90°( 已知)
你还能得出什么结论?角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
你能用一个三角板作任意角的角平分线吗?
再过点 M 作 OA 的垂线 ,
如图 :在已知∠ AOB 的两边 OA,OB 上分别取点 M,N, 使 OM=ON;
过点 N 作 OB 的垂线 , 两垂线交于点 P,那么射线 OP就是∠ AOB 的平分线 .请你证明 OP平分∠ AOB.
A
B
O ●
●●P
M
N
已知 :如图 ,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.求证 :∠AOP=∠BOP.
先把它转化为一个纯数学问题 :
做一做
已知△ ABC ,请找出一点 P ,使它到三边的距离都相等(只要求作出图形,并保留作图痕迹) .
A
B C
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
蓄势待发
驶向胜利的彼岸
如图 ,已知∠ ACB=∠BDA=900 , 要使△ ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件 ?把它们分别写出来 .
增加 AC=BD;
议一议
A B
C D增加 BC=AD;增加∠ ABC= BAD ∠ ;增加∠ CAB= DBA ∠ ;
回味无穷 直角三角形全等的判定定理 :SAS,AAS,ASA,SSS,HL 综上所述 , 直角三角形全等的判定条件可归纳为
: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全
等 ; 两边对应相等的两个直角三角形全等 ; 切记 !!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 .
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