25.1(2) 锐角三角比的意义
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九年级《数学》
(1) 在 Rt ABC△ ∠中, C=90o ,∠A=30o , BC=35m, 求 AB .
(2) Rt ABC△ ∠,使 C=90o ,∠A=45o ∠,计算 A 的对边与斜边的比 .
1. 观察
想一想 通过上面的计算,你能得到什么结论?在一个直角三角形中,如果一个锐角等于 30o ,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于 ;在一个直角三角形中,如果一个锐角等于 45o ,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于 。
如图: Rt△ABC 与 Rt△A’B’C’ ,∠C=∠DC’A =90o ,∠ A=α ,那么 与 有什么关系 ?
概念辨析D
B
C C’ A结论:在直角三角形中,当锐角 A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠ A 的对边与斜边的比是一个固定值。
BABC
AB'C'B'
概念辨析如图,在 Rt ABC△ 中,∠ A 、∠B 、∠ C 所对的边分别记为 a 、b 、 c 。在 Rt ABC△ 中,∠ C=90° ,我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正弦。记作 sinA 。sinA =
ca
A的斜边A的对边
概念辨析在 Rt ABC△ 中,∠ C=90° ,我们把锐角 A 的邻边与对边的比叫做∠ A 的余弦。记作 cosA 。
cosA = cb
A的斜边A的邻边
例题分析1. 如图 , 在 中 ,求 sinB , cosB 的值 .
Rt ABC△ ∠c=900
.
22
21
63
ABBC
解:在 Rt△ABC 中 ∵AB= , BC=
∴AC= =
sinB= =
cosB=
22 BCABAC
6
336
3
21
63
ABAC
22
3BC,6AB
例题分析2. 在 Rt ABC△ 中 , ∠C=90°,BC=6, , 求 cosA 和 tanB 的值 . 。
C A
B
.
解:在 Rt△ABC 中53sinA
34
BCACtanB5
4BCACcosA
8610BCABAC
10356sinA
BCABACBCsinA
2222
,
例题分析例题 2. 在 Rt△ABC 中,∠ C=900 ,BC=4 , AB=5 ,求 cotA 和 cotB 的值。。
C A
B
.
解: 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AB2=AC2+BC2
∵BC=4,AB=5,345BCAB 2222
43
BCAC
34
ACBC
∴AC=
∴cotA= cotB=
问题拓展
.
例题 3. 在直角坐标平面中有一点 P ( 3 , 4 )。求 OP 与 x 轴正半轴的夹角的正切、正弦、和余弦的值。解:过点 P 向 x 轴引垂线,垂足为点 Q ,则∠ OPQ=900.由点 P 的坐标为( 3 , 4 )得 OQ=3,QP=4.在 Rt OPQ⊿ 中, OP=
0 1 2 3
12
3
4
X
Y
P
Q
5.43PQOQ 2222
34
OQPQ
54
OPPQ
53
OPOQ
∴tan =
Sin = cos =
(1) 若∠ A+ B=90∠ 0, 那么 cosB=sinA 或 sinB=cosA
(2)sin2A+cos2A=1
(3)
问题拓展
.
从定义可以看出 sinB 与 cosA 有什么关系? sinA 与 cosA 呢?满足这种关系的 ∠ A 与∠ B 又是什么关系呢?利用定义及勾股定理你还能发现 sinA 与 cosA 的关系吗?再试试看 tanA 与 sinA 和 cosA 存在特殊关系吗?
sintancosAAA
巩固练习
.
1. 在 Rt△ABC 中,∠ C = 90° , a , b , c 分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边,则有() A . B . C . D .
2. 在 Rt△ABC 中,∠ C = 90° ,如果 那么 tanB 的值为() A . B . C . D .
小结1 、了解一个锐角的正弦 ( 余弦 ) 值与它的余角的余弦 ( 正弦 ) 值之间的关系.2 、了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系 .
3 、了解正切与正弦、余弦的关系 .
作业练习 25.1 ( 2 )