1

2.5 埃尔米特插值 有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，

下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况 . 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式 . 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等 .

2

),,,1,0(,)(,)( njmxHyxH jjjj (5.1)

这里共有 个插值条件，可唯一确定一个次数不超过22 n

的多项式 ，12 n )()(12 xHxH n

),,,1,0()( njxfm jj 问题是求插值多项式 ，)(xH

设在节点 上， ),( jj xfy bxxxa n 10

.)( 12121012

nnn xaxaaxH

现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法 .

满足条件

其形式为

3

,,1,,0

)(kjkj

x jkkj

将满足条件（ 5.1 ）的插值多项式 写成用插值基函数表示的形式

)()(12 xHxH n

.)]()([)(0

12

n

jjjjjn xmxyxH (5.3)

先求出 个插值基函数 及 ，)(xj ),,1,0()( njxj 22 n

每一个基函数都是 次多项式，12 n 且满足条件;0)( kj x

,0)( kj x jkkj x )(

(5.2)

).,,1,0,( nkj

4

令 ),()()( 2 xlbaxx jj

由条件（ 5.2 ），有 ,1)()()( 2 jjjjj xlbaxx

,0)]()(2)()[()( jjjjjjjjj xlbaxxalxlx

由插值基函数所满足的条件（ 5.2 ），有 ),,1,0(,)(,)( 1212 nkmxHyxH kknkkn

下面的问题就是如何求出这些基函数 及 )(xj ),(xj

利用拉格朗日插值基函数 ).(xl j

5

解出 ).(21),(2 jjjjj xlxbxla

由于 ,

)())(()()())(()(

)(110

110

njjjjjj

njjj xxxxxxxx

xxxxxxxxxl

整理得

.0)(2;1

jj

j

xlabax

6

于是 ).()1)(21()( 2

0

xlxx

xxx j

n

jkk kj

jj

(5.4)

两端取对数再求导，得 ,1)(

0

n

jkk kj

jj xxxl

同理，可得 ).()()( 2 xlxxx jjj (5.5)

7

可以证明满足条件（ 5.1 ）的插值多项式是惟一的 . 用反证法，假设 及 均满足条件（ 5.1 ），)(12 xH n )(12 xH n

)()()( 1212 xHxHx nn

这样， 有 重根，但 是不高于 次的多 项式，

)(x 22 n )(x 12 n

于是

在每个节点 上的值及导数值均为零，即 为二重根 .kx kx

.0)( x故 惟一性成立 .

8

其中 且与 有关 . ),( ba x

若 在 内的 阶导数存在，则其插值余项

)(xf ),( ba 22 n

)()!22(

)()()()( 21

)22(

12 xn

fxHxfxR n

n

n

(5.6)

仿照拉格朗日插值余项的证明方法，可以证明：

9

插值多项式（ 5.3 ）的重要特例是 的情形 . 1n

这时可取节点为 及 ，kx 1kx 插值多项式为 ，)(3 xH

,)(3 kk yxH

,)(3 kk mxH

.)(

;)(

113

113

kk

kk

mxH

yxH(5.7)

相应的插值基函数为 ),(),(),(),( 11 xxxx kkkk

它们满足条件

满足

10

,0)(,1)( 1 kkkk xx

;0)()( 111 kkkk xx

,1)(,0)( 111 kkkk xx

,0)()( 1 kkkk xx

,0)()( 111 kkkk xx

,0)()( 1 kkkk xx

,0)(,1)( 1 kkkk xx

.1)(,0)( 111 kkkk xx

11

.21)(

,21)(

2

11

11

2

1

1

1

kk

k

kk

kk

kk

k

kk

kk

xxxx

xxxxx

xxxx

xxxxx

(5.8)

.)(

,)(

2

111

2

1

1

kk

kkk

kk

kkk

xxxxxxx

xxxxxxx

(5.9)

根据 及 的一般表达式（ 5.4 ）及（ 5.5 ），)(xj )(xj

可得到

12

),()()()()( 11113 xmxmxyxyxH kkkkkkkk

(5.10)

其余项 ，)()()( 33 xHxfxR

).,(,)())((!4

1)( 12

12)4(

3 kkkk xxxxxxfxR

于是满足条件（ 5.7 ）的插值多项式是

由（ 5.6 ）得

13

求满足 及 )2,1,0()()( jxfxP jj )()( 11 xfxP

由给定的 4个条件，可确定次数不超过 3的插值多项式 . 由于此多项式通过点 )),(,()),(,()),(,( 221100 xfxxfxxfx

)](,[)()( 0100 xxxxfxfxP

))(](,,[ 10210 xxxxxxxf

的插值多项式及其余项表达式 .例 4

故其形式为

),)()(( 210 xxxxxxA

14

.))((

],,[)(],[)(

2101

21001101

xxxxxxxfxxxxfxfA

待定常数 ，可由条件 确定，)()( 11 xfxP A

其中 为待定函数 . )(xk

为了求出余项 的表达式，)()()( xPxfxR

),())()(()( 22

10 xxxxxxxkxR

通过计算可得

可设

15

).())()(()()()( 22

10 xtxtxtxktPtft

显然 ),2,1,0(0)( jx j

故 在 内有 5个零点（二重根算两个） . )(t ),( ba

,0)(!4)()( )4()4( xkf

反复应用罗尔定理，得 在 内至少有一个零点 ξ，

)()4( t ),( ba

构造

,0)(,0)( 1 xx 且

故有

16

),())()((!4

1)( 22

10)4( xxxxxxfxR (5.11)

式中 位于 和 所界定的范围内 . 210 ,, xxx x

余项表达式为

于是 ),(

!41)( )4( fxk

17

2.6 分段低次插值 2.6.1 高次插值的病态性质

这是因为对任意的插值节点，当 时， 不一定收敛到 .

n )(xLn

)(xf

在次数 增加时逼近 的精度不一定也增加 .n )(xf

根据区间 上给出的节点做出的插值多项式 ),(xLn],[ ba

18

),,1,0(,105 nknkxk

所构造的拉格朗日插值多项式为

以 上的 个等距节点]5,5[ 1n

考虑函数 ，它在 上的各阶导数均存在 .

]5,5[)1/(1)( 2xxf

.)()(

)(1

1)(1

1

02

jnj

nn

j jn xxx

xx

xL

令 ),(21

12/1 nnn xxx ,552/1 nxn 则

19

表 2-5 列出了 时的 的计算结果及 20,,4,2 n )( 2/1nn xL

在 上的误差2/1nx ).( 2/1nxR

994889.39952449.39042440.020080751.20123671.20042920.018

217397.10173867.10043530.016288409.5332743.5044334.014

800440.2755000.2045440.012531662.1578721.1047059.010

880668.0831017.0049651.08553416.0607879.0054463.06

423216.0356826.0066390.04621684.0759615.0137931.02

)()()( 2/12/12/1

nnnn xRxLxfn

52表

20

可见，随 的增加， 的绝对值几乎成倍增加 . n )( 2/1nxR

这说明当 时 在 上是不收敛的 . n nL ]5,5[

Runge 证明了，存在一个常数 ，使得当 63.3c cx

时， 而当 时 发散 .cx )(xLn),()(lim xfxLnn

21

取 根据计算画出 及 ,10n )1/(1 2xy )(10 xLy

在 上的图形，见图 2-5.]5,5[

图 2-5

22

从图上看到，在 附近 , 与 5x )(10 xL )1/(1)( 2xxf

偏离很远， 这说明用高次插值多项式 近似 效果并不好 .

)(xLn )(xf

通常不用高次插值，而用分段低次插值 .

23

下图是用 Matlab 完成的 Lagrange 插值（附程序）：

24

附： Lagrange 插值程序n=11; m=61;x= -5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=lagr1(x0, y0, x);plot(x, z, ’r’, x, y, ’k:’ ,x, y1, ’r’)gtext(‘Lagr.’), gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Lagrange’)

25

附： Lagrange 插值子程序 lagr1:function y=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0); m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end

26

2.6.2 分段线性插值

所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 ).(xf

由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度的效果 , 所以实际中往往采用分段插值的思想 .

分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间 , 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值 .

27

设已知节点 上的函数值 bxxxa n 10

,,,, 10 nfff 记 ,max,1 kkkkk hhxxh

],,[)(.1 baCxIh

)(xIh求一折线函数 , 满足：

kkh fxI )(.2 ),,,1,0( nk

在每个小区间 上是线性函数 .)(.3 xIh ],[ 1kk xx

则称 为分段线性插值函数 .)(xIh

28

由定义可知 在每个小区间 上可表示为 )(xIh ],[ 1kk xx

111

1)(

kkk

kk

kk

kh f

xxxxf

xxxxxI ).( 1 kk xxx (6.1)

若用插值基函数表示，则在整个区间 上 为 ],[ ba )(xIh

,)()(0

n

jjjh xlfxI (6.2)

其中基函数 满足条件 )(xl j ),,,1,0,()( nkjxl jkkj

其形式是

29

);0(1 略去 jxxx jj

);(1 略去njxxx jj

].,[],,[ 11 jj xxxbax

,0

,

,

)(1

1

1

1

jj

j

jj

j

j xxxxxxxx

xl (6.3)

利用插值余项（ 2.17 ）得到分段线性插值的误差估计))((max

2)()(max 1

2

11

kkxxxhxxxxxxxMxIxf

kkkk

30

或写成 ,

8)()(max 22 hMxIxf hbxa

(6.4)

其中 .)(max2 xfMbxa

31

),()()(1 10

xlxlxl kk

n

jj

当 时， ],[ 1 kk xxx

故 ).()]()([)( 1 xfxlxlxf kk

另一方面，这时 ).()()( 11 xlfxlfxI kkkkh

这种性质称为局部非零性质 . 分段线性插值基函数 只在 附近不为零，在其他地方均为零，

)(xl j jx

利用 的局部非零性质及 知，)(xl j

n

jj xl

0

)(1

32

现在证明 , )()(lim xfxIhn

)()()()]()([)()( 111 xlfxlfxfxlxlxIxf kkkkkkh

)()]()([ 1 kkk hxlxl

这里 是函数 在区间 上的连续模，即对任意)(h )(xf ],[ ba

两点 ，只要 就有],[, baxx ,hxx

考虑

11 )()()()( kkkk fxfxlfxfxl

)( kh

).(h

33

),()()( hxfxf

称 为 在 上的连续模， )(h )(xf ],[ ba 当 时，],[)( baCxf

.0)(lim0

hh

就有 由前式可知，当 时有 ],[ bax

).()()(max hxIxf hbxa

因此，只要 ，就有],[)( baCxf

)()(lim0

xfxIhh

在 上一致成立，],[ ba 故 在 上一致收敛到 .],[ ba )(xf)(xIh

34

下图是用 Matlab 完成的分段线性插值（附程序）：

35

附：分段线性插值程序n=11; m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=interp1(x0, y0, x);plot(x, z, ’r’, x, y, ’k:’, x, y1, ’r’)gtext(‘Piece. –linear.’), gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Piecewise Linear’)注： interp1(x0,y0,x) 为 Matlab 中现成的分段线性插值程序 .

36

2.6.3 分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数 的导数是间断的，若在节点)(xIh

上除已知函数值 外还给出导数值

),,1,0( nkxk kf

),,,1,0( nkmf kk

插值函数 ，)(xIh

],,[)(.1 1 baCxIh

),,,1,0()(,)(.2 nkfxIfxI kkhkkh

在每个小区间 上是三次多项式 .)(.3 xIh ],[ 1kk xx

这样就可构造一个导数连续的分段满足条件

37

根据两点三次埃尔米特插值插值多项式（ 5.10 ）， 在区间 上的表达式为)(xIh ],[ 1kk xx

2

11

2

1

1 21)(

kk

kk

kk

k

kk

kh xx

xxfxxxx

xxxxxI

.

)(21

11

2

1

2

1

11

1

1

kkkk

k

kkkk

kk

kk

k

fxxxxxx

xfxxxxxxf

xxxx

(6.5)

38

若在整个区间 上定义一组分段三次插值基函数],[ ba

及 ，)(xj ),,1,0()( njxj 则 可表示为)(xIh

)],()([)(0

xfxfxI j

n

jjjjh

(6.6)

其中 ， 分别表示为 )(xj )(xj

(6.7)

;,0

),(,21

),0(,21

)( 1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

其他

略去

略去

njxxx

xxxx

xxxx

jxxx

xxxx

xxxx

x jj

jj

j

jj

j

jj

jj

j

jj

j

j

39

；其他

略去

略去

,0

),(,

),0(,

)( 1

2

1

1

1

2

1

1

njxxx

xxxxxx

jxxx

xxxxxx

x jjj

jj

j

jjj

jj

j

j(6.8)

由于 ， 的局部非零性质，)(xj )(xj 当 时，],[ 1 kk xxx

只有 不为零，)(),(),(),( 11 xxxx kkkk 于是 可表示为)(xIh

).()()()()( 1111 xfxfxfxfxI kkkkkkkkh

).( 1 kk xxx (6.9)

40

,1)(0 xj (6.10)

再研究 的收敛性 . )(xIh

,274)( kk hx ,

274)(1 kk hx (6.11)

.)()]()([100

n

jjjj

n

jjj xxfxf

此外，当 是分段三次多项式时， 的插值多项式 就是它本身 .

)(xf )(xf

)(xIh

例如，当 时，1)( xf

由 及 的表达式，直接得估计式 )(xj )(xj

所以就有由于 ,0f

41

当 时就得 ],[ 1 kk xxx

,1)()( 1 xx kk (6.12)

由（ 6.9） --（ 6.12 ），当 时还有 ],[ 1 kk xxx

11 )()()()()()( kkkkh fxfxfxfxxIxf

][)27/4( 1 kkk ffh

11 )()()()( kkkk hfxhfx

],[)27/4( 1 kkk ffh

这里 且依赖于 .),(, 1 kk xx x

42

因此对 成立],[ bax

.)(max2735)()(max xfhxIxf

bxahbxa

(6.13)

这表明用 逼近 时，它的界只依赖 ，而与 无关 . )(xIh )(xf h x

因此，当 时],[ bax

)()(lim0

xfxIhh

一致成立 . 设 则当 时， 在 上一致收敛于 .

],,[1 baCf 0h )(xIh ],[ ba

)(xf

从而得到：定理 3

43

2.7 三次样条插值

44

2.7.1 三次样条函数

上是三次多项式，其中 是给定节点，bxxxa n 10

若函数 且在每个小区间 ],,[)( 2 baCxS ],[ 1jj xx

则称 是节点 上的三次样条函数 .)(xS nxxx ,,, 10

若在节点 上给定函数值 jx ),,,1,0)(( njxfy jj

jj yxS )( ),,,1,0( nj （ 7.1）则称 为三次样条插值函数 .)(xS

定义 4

并成立

45

由于 在每个小区间 上有 4个待定系数，)(xS ],[ 1jj xx

共有 个小区间，所以共有 个待定参数 . n n4

),0()0( jj xSxS

由于 在 上二阶导数连续，所以在节点 )(xS ],[ ba

)1,,2,1( njx j 处应满足连续性条件),0()0( jj xSxS

这些共有 个条件，再加上 本身还要满足的 个插值条件，共有 个条件，还需要 2个才能确定 .

)(xS

)(xS

33 n

24 n

1n

).0()0( jj xSxS （ 7.2 ）

46

通常可在区间 端点 上各加一个条件],[ ba nxbxa ,0

1. 已知两端的一阶导数值，即.)(,)( 00 nn fxSfxS （ 7.3）

（ 7.4 ）‘称为自然边界条件 .

2. 已知两端的二阶导数，即

其特殊情况为,)(,)( 00 nn fxSfxS （ 7.4）

.0)()( 0 nxSxS （ 7.4 ） `’

常见的边界条件有以下 3种：（称为边界条件），

47

3. 当 是以 为周期的周期函数时，则要求)(xf 0xxn

),0()0( 0 nxSxS

此时插值条件（ 7.1 ）中 . nyy 0

这样确定的样条函数 称为周期样条函数 .)(xS

这时边界条件应满足 ),0()0( 0 nxSxS

（ 7.5）).0()0( 0 nxSxS

)(xS 也是周期函数 .

48

2.7.2 样条插值函数的建立 下面利用 的二阶导数值 表示 .

)(xS jj MxS )( ),,1,0( nj

)(xS

由于 在区间 上是三次多项式，故 )(xS ],[ 1jj xx )(xS

在 上是线性函数，],[ 1jj xx

j

jj

j

jj h

xxM

hxx

MxS

11)( （ 7.7）

对 积分两次并利用 及 ， )(xS jj yxS )( 11)( jj yxS

可表示为

可定出积分常数，于是得三次样条表达式

49

j

jj

j

jj h

xxM

hxx

MxS6

)(6

)()(

3

1

31

j

jjjj

j

jjjj h

xxhMy

hxxhM

y

66

21

11

2

这里 ，是未知的 . ),,1,0( njM j

).1,,1,0( nj （ 7.8）

50

为了确定 , 对 求导得 jM )(xS

j

jj

j

jj h

xxM

hxx

MxS2

)(2

)()(

2

11

2

;6

11j

jj

j

jj hMM

hyy

（ 7.9）

由此可求得 .

63)0( 1

1j

jjj

jj

jj h

yyM

hM

hxS

51

类似地可求出 在区间 上的表达式，从而得 )(xS ],[ 1 jj xx

,36

)0(1

111

1

j

jjj

jj

jj h

yyM

hM

hxS

利用 可得 )0()0( jj xSxS

),1,,2,1(2 11 njdMMM jjjjjj （ 7.10 ）

其中 ,,,1,0,,

11

1 njhh

hhh

h

jj

jj

jj

jj

52

].,,[6],[],[

6 111

11

jjjjj

jjjjj xxxf

hhxxfxxf

d

（ 7.11 ）对第一种边界条件（ 7.3 ），可导出两个方程

]).,[(62

),],[(62

11

1

0100

10

nnnn

nn xxffh

MM

fxxfh

MM （ 7.12 ）

53

如果令 ),],[(6,1 010

000 fxxfh

d

]),,[(6,1 11

nnnn

nn xxffh

d

.

22

22

1

1

0

1

1

0

11

11

0

n

n

n

n

n

nn

dd

dd

MM

MM

（ 7.13 ）

那么（ 7.10 ）及（ 7.12 ）可写成矩阵形式

54

对第二种边界条件（ 7.4 ），直接得端点方程 ,00 fM .nn fM （ 7.14 ）

如果令 , nnn fdfd 2,2,0 000

也可以写成（ 7.13 ）的矩阵形式 .则（ 7.10 ）和（ 7.14 ）

55

对于第三种边界条件（ 7.5 ），可得

其中 ,

01

0

hhh

nn

,],[],[601

110

hhxxfxxfd

n

nnn

,0 nMM ,211 nnnnn dMMM （ 7.15 ）

（ 7.10 ）和（ 7.15 ）可以写成矩阵形式

,101

1

hhh

n

nnn

56

.

22

22

1

2

1

1

2

1

11

22

11

n

n

n

n

nn

nn

dd

dd

MM

MM

（ 7.16 ）

（ 7.13 ）和（ 7.16 ）是关于 的三对角方程组， 在力学上解释为细梁在 截面处的弯矩，称为 的矩，

),,1,0( njM j

jM jx

)(xS

（ 7.13 ）和（ 7.16 ）的系数矩阵为严格对角占优阵，有唯一解 , 求解方法可见第 5章第 4 节追赶法，将解得结果代入（ 7.8）的表达式即可 .

方程组（ 7.13 ）和（ 7.16 ）称为三弯矩方程 .

57

设 为定义在 上的函数，在节点 )(xf ]30,7.27[

)3,2,1,0( ixi

.0.3)30()(,1.4)29()(,3.4)28()(,1.4)7.27()(

32

10

fxffxffxffxf

试求三次样条函数 ，使它满足边界条件 )(xS ,0.3)7.27( S

.0.4)30( S

例 5上的值如下：

58

,666.46)],[(6,21,

1310,1 010

00210 fxxfh

d

.4.17]),[(6323

23 xxffh

d

,70000.2],,[6,00002.4],,[6 32122101 xxxfdxxxfd

由此得矩阵形式的方程组（ 7.13 ）为

,1,21,

133,1,30.0 321210 hhh

解 由（ 7.11 ）及（ 7.12 ）

59

.

4000.177000.2

00002.4666.46

4000.1721212

21

13102

133

12

3

2

1

0

MMMM

求解得 .115.9,830.0,395.0,531.23 3210 MMMM

60

代入（ 7.8）得

)29(51917.4)29(51917.1)30(96167.3)30(13833.0

),28(96167.3)28(13833.0)29(23417.4)29(06583.0

),7.27(31358.14)7.27(21944.0)28(84322.14)28(07278.13

)(

3

3

3

3

3

3

xxxx

xxxx

xxxx

xS

],28,7.27[x

],29,28[x

],30,29[x

（曲线见图 2-6 ）

61

图 2-6

62

给定函数 节点 ,55,1

1)( 2

xx

xf

),10,,1,0(5 kkxk 用三次样条插值求 ).(10 xS

取 )()(10 kk xfxS ),5()5(),10,,1,0( 10 fSk

).5()5(10 fS

直接上机计算可求出 在表 2-6 所列各点的值 . )(10 xS

例 6

63

25376.013971.013793.05.20000.10000.10000.1019837.011366.011312.08.294090.092754.091743.03.010000.010000.010000.00.384340.082051.080000.05.010832.008426.008410.03.364316.062420.060976.08.022620.007606.007547.05.350000.050000.050000.00.120130.006556.006477.08.331650.036133.037175.03.105882.005882.005882.00.423535.029744.030769.05.188808.004842.005131.03.418878.023154.023585.08.157872.104248.004706.05.420000.020000.020000.00.280438.103758.004160.08.424145.016115.015898.03.203846.003846.003846.00.5

)()(11

)()(11

10102

10102

xLxSxxxLxSxx

62表

64

下图是用 Matlab 完成的样条插值（附程序）：

65

附：样条插值程序n=11; m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=interp1(x0, y0, x, ’spline’);plot(x, z, ’r’, x, y, ’k:’, x, y1, ’r’)gtext(‘Spline’), gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Spline’)注： interp1(x0, y0, x, ’spline’) 为 Matlab 中现成的样条插值程序 .

66

也可以将三种插值结果画在一起：

67

2.7.3 误差界与收敛性 定理 4 设 为满足第一种或第二],,[)( 4 baCxf )(xS

则有估计式),1,,1,0(,max 110

nixxhhh iiiini

,)(max)()(max 4)4()()( k

bxakkk

bxahxfCxSxf

,2,1,0k （ 7.17 ）其中 .

83,

241,

3845

210 CCC

种边界条件（ 7.3 ）或（ 7.4 ）的三次样条函数，令

68

这个定理不但给出了三次样条插值函数 的误差估计 .

)(xS

还说明了当 时， 及其一阶导数 和0h )(xS )(xS

二阶导数 均分别一致收敛于 ， 及

)(xS )(xf )(xf ).(xf