2.3 Modelo GumbelCaractersticasFue descubierta por Emil Julius Gambel, matemtico judo nacido en Alemania a finales del siglo XIX. Es un caso particular de la distribucin de valores extremos generalizada, y tambin es conocida como la distribucin log-Weibull, o como la distribucin exponencial doble. Segn Reiss y Thomas (1997), la distribucin de Gumbel tiene la misma importancia que la distribucin Normal en otras aplicaciones. La funcin de distribucin de la distribucin de Gumbel es

Mientras que la funcin de densidad viene dada por

La distribucin de Gumbel corresponde al caso en el que =0 y =1En ese caso, la funcin de distribucin viene dada por Mientras que la funcin de densidad de probabilidad sera

Representacin Grafica

Mximo

En primer lugar se ha representado la distribucin de Gumbel para el mximo con valor del parmetro de localizacin igual a 0, y con parmetro de escala igual a 1. Se trata de la distribucin de Gumbel estndar, y como se puede ver es algo asimtrica positiva. Por otra parte, la funcin de distribucin comienza a crecer ms significativamente despus de x = -2

Tambin existe la distribucin de Gumbel para el mnimo, cuya funcin de distribucin viene dada por

mientras que la funcin de densidad es

Algunas representaciones para este caso particular son:

Distribution

One of the first scientists to apply the theory was a German mathematician Emil Gumbel (1891-1966). Gumbel's focus was primarily on applications of extreme value theory to engineering problems, in particular modeling of meteorological phenomena such as annual flood flows: "It seems that the rivers know the theory. It only remains to convince the engineers of the validity of this analysis." The Gumbel distribution, also known as the Extreme Value Type I distribution, is unbounded (defined on the entire real axis), and has the following probability density function:

where z=(x-)/, is the location parameter, and is the distribution scale (>0). The shape of the Gumbel model does not depend on the distribution parameters:

The graph above shows the Gumbel PDF for =1 and =0. En teora de probabilidad y estadstica la distribucin de Gumbel (llamada as en honor de Emil Julius Gumbel (1891-1966) es utilizada para modelar la distribucin del mximo (o el mnimo), por lo que se usa para calcular valores extremos. Por ejemplo, sera muy til para representar la distribucin del mximo nivel de un ro a partir de los datos de nveles mximos durante 10 aos. Es por esto que resulta muy til para predecir terremotos, inundaciones o cualquier otro desastre natural que pueda ocurrir.La aplicabilidad potencial de la distribucin de Gumbel para representar los mximos se debe a la teora de valores extremos que indica que es probable que sea til si la muestra de datos tiene una distribucin normal o exponencial.

2.3 MODELO GUMBELDistribucin usada mucho en el anlisis de hidrologa; es conocida tambin como distribucingeneral de valores extremos para representar el comportamiento de crecientes y sequias(MXIMOS Y MNIMOS).

S= Desviacin estndar y depende del parmetro