2.2.4 Kvantine mechanika 2 (Fizika.KTU.2009)

8/7/2019 2.2.4 Kvantine mechanika 2 (Fizika.KTU.2009)

1/35


2/35

Bangin funkcija

Tikimyb dP i dalel laiko momentu taptikti erdvs trio dVelemente, kurio takkoordinats yra intervaluose nuo xiki x+dx, nuo yiki y+dy, nuo ziki z+dz, uraoma

itaip:

, ia dV = dxdydz

Kvantinje mechanikoje bangin funkcija daniausiai ireikiama kompleksiniu

pavidalu, o kompleksinio skaiiaus ar funkcijos modulio kvadratas:

, ia yra funkcijos jungtinis kompleksinis dydis.

Tuomet tikimybs lygyb galima perrayti itaip:

Kadangi bangin funkcija yra tikimybin, tai ir kvantin mechanika yra tikimybinismokslas, i to seka, jog mikrodalelei nebdinga tiksli koordinat ir apibrta trajektorija


3/35

Bangin funkcija superpozicijos principas

Danai, priklausomai nuo slyg, t pai dalel tenka aprayti keliomis banginmisfunkcijomis.

Kvantinje mechanikoje suformuluotas teiginys, kuris vadinamas superpozicijosprincipu: jeigu kvantin sistema (pvz., dalel) gali bti toki bsen, kurias apibdina

bangins funkcijos: ,

tai ji gali bti ir tokios bsenos, kuri apibdina bangin funkcija:

ia ci bendruoju atveju bet kokie pastovs kompleksiniai skaiiai.

Bsen superpozicijos principas yra vienas i pagrindini kvantins mechanikosprincip.


4/35

Bangin funkcija standartins slygos.

I Borno postulato seka, kad bangin funkcija (x,y,z,t) turi tenkinti tam tikras slygas.

Pirmiausia, visoje egzistavimo srityje bangin funkcija turi bti:

1. Vienareikm,2. Baigtin,3. Tolydin ir4. Kvadratikai integruotina, (t.y. dydio integralas visame kintamj

intervale yra baigtinis.)

Be to, jos ivestin turi bti:

5. Tolydin (funkcija tolydi),6. Baigtin (be li).

Visi ie reikalavimai vadinami standartinmis slygomis.

Tikimyb laiko momentu trasti dalel didumo V0baigtinje erdvs dalyje apskaiiuojama itaip:


5/35

Bangin funkcija standartins slygos.

Integruojant visoje dalels egzistavimo srityje, gaunama btino vykio tikimyb.

Tuomet:

, kai

i lygyb tenkinani funkcij vadiname normuotja, o pai lygyb:

7. Funkcijos normuotumo slyga.

VV 0 =

V

dV 1*


6/35

redingerio lygtis

Klasikinje mechanikoje kno bsena apraoma dydio verte arba skaiiumi.

Kvantinje mechanikoje mikrodalels bsena apraoma bangine funkcija.

Tai, kad bsena apraoma funkcija, reikia, kad funkcija yra kakokiosdiferencialins lygties sprendinys.

Toki lygt 1926 m. postulavo E. redingeris, todl ji vadinama

bendrja redingerio lygtimi. Ji uraoma:ia i menamasis vienetas,

o Hamiltono operatorius.

- potencine energija, kai V(t)=const.

- Laplaso operatorius.

redingerio lygt galime perrayti:


7/35

Stacionariosios redingerio lygties sprendinys.

Panagrinkime mikrodalel, judani stacionariame lauke, kai jos V(t)=const.

Esant stacionarioms slygoms, redingerio bangins lygties sprendin galima uraytidviej funkcij sandauga, kuri viena priklauso nuo padties, kita nuo laiko.

Laplaso operatorius veikia tik pirma funkcijos dal, od/dt operatorius tik antr. Tada gauname:

padalinkime i lygyb i: , gauname:

kairioji pus priklauso nuo padties, deinioji nuolaiko. Paymkime abi puses simboliu W. Tada:

ir


8/35


Antrj lygt galime pertvarkyti i:

arba:

Gavome, kad kaire puse yra Hamiltono operatoriaus:poveikis funkcijai, todl galime urayti irbendresne forma:

Operatoriui sutapus su konstanta, jis vadinamas tikrine verte.

ios keli form lygtys vadinamos stacionarija rdingerio lygtimi.

Ji urayta bangins funkcijos koordinai dedamajai.


9/35


Pirmojoje lygtyje, , atskyr kintamuosius, gauname:

gauname pirmos eils homogenin diferencialin lygt:

Vienas ios lygties sprendini yra funkcija:

Todl stacionariojoje bsenoje esanios

dalels pilnoji bangin funkcija:uraoma:

Stacionariems atvejams dalels aptikimo tikimybs tank, galima perrayti itaip:

Taigi stacionariuose udaviniuose daniausiai nagrinjama tik bangins funkcijoskoordinai dedamoji .


10/35

redingerio lygties taikymas laisvajai dalelei

Laisvja dalele, vadiname dalel, kurios neveikia jg laukas.

Tokios dalels potencin energija V=const , ir j patogu laikyti lygia 0.Taigi is udavinys yra stacionarusis ir jam tinka rdingerio lygtis bei jos sprendinys.

Tarkime, kad m mass dalel juda iilgai aies Ox .Tuomet funkcija =(x). Stacionari rdingerio lygt perraome taip:

ia laisvai judanios dalels kinetin energija.

i lygt tenkina funkcijos:

ia A ir B tam tikros konstantos,

o

Funkcijos 1 ir 2 yra lygties daliniai sprendiniai.ios lygties bendrasis sprendinys uraomas:


11/35


Funkcijos 1 ir 2 yra lygties daliniai sprendiniai.

ios lygties bendrasis sprendinys uraomas:

arba kompleksiniu pavidalu:

ia nuo A ir Bpriklausanios kompleksins konstantos.

Atsivelgus ir laisvai judanti dalel

apraoma tokia pilnja bangine funkcija:


12/35


Pirmasis narys aprao ploki monochromatin bang, sklindani aies Oxteigiamja kryptimi.

ios de Broilio bangos ciklinis danis , o k jos bangos skaiius.

Antrasis narys atitinka toki pat, tik prieinga kryptimi sklindani bang.

i lygyb turi prasm bet kokioms teigiamoms dydio Wvertms, t.y. dalels energijanekvantuota.


13/35

redingerio lygties taikymas dalelei potencialinje duobje

Dalels potencin energija Vpriklauso nuojos koordinai.

Kai i energija, kintant dalels padiai erdvje, turiminimali vert, sakoma,jog dalel yra potencialo duobje.

Tarkime, kad molekul vienu metu veikia traukos beistmos jgos, ir jos skirtingai kinta, kintant atstumuirtarp sveikaujani molekuli centr.

Tuomet sveikos potencin energija turi minimali vert.

Kinetins energijos neturinti molekul yra V0 gylio potencialo duobs dugne.

Kai molekuls kinetin energija Wk


14/35


Tarkime dalel juda vienmatje, be galo giliojestaiakampje potencialo duobje, kurios plotis l.

Tada kratins slygos bus:

V(x)=0, jei 0xl, ir V(x)=, jei xl.

Kai dalels pilnutin energija Wyra baigtin, tuomet dalel negali atsidurti aliaduobs, taigi jos koordinat xkinta intervale tarp 0 ir l.

Toks apribotas dalels judjimas vadinamas finitiniu (baigtiniu).Kadangi udavinys yra vienmatis ir stacionarusis, tai jam tinka lygtis:

Kurios sprendinys yra:


15/35

redingerio lygties taikymas daleleipotencialinje duobje

Kadangi dalel juda ribotoje erdvs dalyje, tai tikimybdalelei atsidurti u potencialo duobs krato yra lygi 0.

Todl , tuomet: .

Kadangi bangin funkcija yra tolydin, tai jituri bti lygi 0 ir potencialo duobs kratuose, t.y.:

Taigi iuo atveju funkcija dar turi tenkinti ias abi kratines slygas.

Pirmoji kratin slyga: yra tenkinama tik tuomet,

kai koeficientas: Taigi sprendinys yra paprastesnis:

Antroji kratin slyga: tenkinama tik, kai:

Taigi, esant fiksuotam potencialo duobs ploiui l, dalel apraantis de Broilio bangosskaiius kgali turti tik tam tikras vertes:


16/35

redingerio lygties taikymas daleleipotencialinje duobje

I ir seka, kad

potencialo duobje esanios dalels energija W yra kvantuota:

itaip gauta todl, kad dalels judjimas yra finitinis (baigtinis),

ir ji apraoma stovinija de Broilio banga, kurios ilgis nturi tenkinti slyg:

Atsivelg de Broilio formul

gaunama judanios dalels energijos iraika:

Gautoji formul sutampa su prie tai gauta energijos iraika.Lygtyse esantis koeficientas n vadinamas kvantiniu skaiiumi.Jis visada sveikasis skaiius ir nusako dalels bsenos energij.


17/35


I ir gaunama tokia dalels

bangin funkcija:

Kiekvien bsen atitinka skirtinga bangin funkcija n.Jos amplitud A apskaiiuojama remiantis normuotumo slyga:

Suintegrav gauname:

todl bangin funkcija yra lygi:


18/35


ios bangins funkcijos bsenos atvaizdavimas atitinka abiem galais tvirtintojestygoje susidarani stovinij bang atvejo vaizd:

Ilgyje ltelpa sveikasis pusbangi skaiius, be to, kratuose yra stoviniosios bangosmazgai.


19/35

redingerio lygties taikymas Boro atotykio principasdalelei potencialinje duobje

Energij, atitinkani gretimas kvantinio skaiiaus nvertes, skirtumas:


20/35


1. Skirtingos mass dalelms, esanioms vairaus ploio potencialo duobje,

kai dalels bsenos kvantinis skaiius n>>1, energij uoli skirtumas yra nestebimas.

Tarkime, dalels mas m yra molekuls mass didumo eils, t.y. apie 10 26 kg, oduobs plotis apie 10 cm.

Tuomet pagal energij skirtum gauname, kad Wn n 1039 J.

itokio mao energij skirtumo nemanoma ufiksuoti jokiais bandymais.

Taigi nors dalels energija ia yra kvantuota, jos diskretikumo bandymai nerodo irjos judjimui galima taikyti klasikin fizik.

2. Visai kitaip gauname elektronui, esaniame atomo matmen eils l10 10 mpotencialo duobje.

iuo atveju Wnn1017 J, energijos diskretikumas gana rykus ir kvantiniaireikiniai lengvai pastebimi.


21/35


Mikrodalelms kvantiniai reikiniai bdingi tik tuomet, kai juos nusakantys veikimo

dimensijos (laiko energijos) yra Planko konstantos hdidumo eils.

Tuomet jiems btina taikyti kvantin mechanik.

Kitu atveju gerai tinka ir klasikin fizika. Pavyzdiui i

ir

sekantis dydis: kai nverts labai didels, artja prie 0.

Tuo atveju energijos diskretikumo galima nepaisyti.

N.Boras suformulavo tok postulat: dideli kvantini skaii atveju kvantins fizikosivados sutampa su klasikins fizikos ivadomis.

is teiginys dar vadinamas Boro atotykio principu.


22/35

Mikrodalels sveika su potencialiniu barjeru

Dalel veikianiame jg lauke gali bti tokia erdvssritis, kurioje dalels potencin energija yra didesn

negu gretimose erdvs srityse.

Tokia erdvs sritis vadinama potencialiniu barjeru.

Panagrinkime vienmaiu dalels judjimu iilgai aiesOxteigiama kryptimi.

Tarkime, dalels potencin energija kinta taip:V(x)=0, jei x0.

O dalels pilnutin energija W=V0+Wkdidesn u dyd V0 .

Klasikins fizikos poiriu itokios energijos dalelei pereinant 2 srit x>0, jos greitisstaiga sumaja, taiau ji toliau netrukdomai juda ta paia kryptimi, t.y. tikimyb jaiatsispindti nuo barjero lygi 0.


23/35

Mikrodalels atspindys nuo potencialinio barjero

Kitoki ivad gauname nagrindami judjimkvantmechaniniais metodais.

Uraykime abiejose srityse judaniai dalelei redingerio lygt:

ia:

1 srityje i lygi sprendinys yra:

ia pirmasis dmuo aprao dalel, judani Oxteigiamja kryptimi, o antrasis jaiprieinga.

2 srityje dalel neturi nuo ko atsispindti, todl ji juda tik Oxteigiamja kryptimi ir japrao bangin funkcija:


24/35


1 ir 2 banginms funkcijoms take x=0 pritaik kratinesslygas:

bangini funkcij amplitudms gauname itoki lygi sistem:

Isprend i lygi sistem amplitudi

A ir B atvilgiu, gauname:

Atsispindjusios ir barjer kritusios de Broilio bang amplitudi moduli santykiokvadratas turi analogiko optikoje atspindio koeficiento R fizikin prasm.

stat bangini skaii

vertes, gauname:

Taigi 1 srityje gali egzistuoti de Broilio banga, sklindanti tiek teigiamja, tiekneigiamja aies Oxkryptimi, todl dalels aptikimo tikimyb ioje srityje nelygi nuliui.

1 ir 2 srii riboje (x=0) de Broilio banga i dalies atsispindi, i dalies praeina.


25/35


I lygybs seka ivada,

kad tikimyb dalelei atsispindti nuo barjero nelygi nuliui net ir tuomet, kai W>V0.

Tuo atveju, kai W


26/35

Mikrodalels prajimas pro potencialin barjer

1 ir 2 srii riboje (x=0) de Broilio banga i dalies atsispindi,i dalies praeina.

Panagrinkime prajimo galimyb.

J aprao bangin funkcija 2 srityje:

O dalels aptikimo 2 srityje tikimybs tankis:

Taigi dalel galima aptikti ir 2 srityje, taiau, didjant nuotoliui x, i tikimybeksponentikai maja.

Nagrinjamu atveju dalel atsispindi nuo barjero nebtinai ties jo riba (x=0) , o galisiskverbti 2 srit ir po to atsispindti.


27/35

Mikrodalels prajimas pro staiakamp potencialin barjer

Panagrinkime vienmat dalels judjim aies Oxteigiama kryptimi, kai jos potencialinis barjeras yra

riboto ilgio l.

Jis vadinamas staiakampiu potencialiniu barjeru:

Energija kinta:

domiausias atvejis, kai dalels pilnutin energija W


28/35


Pritaik tas paias kratines slygas, tarp kuripapildoma B3=0, t.y. treioje srityje banganeatsispindi.

Gauname tris redingerio lygties sprendinius,

kurie 1 ir 3 srityje yra harmoniniai, o 2 eksponent.

Staiakampio potencialinio barjero prajimo tikimyb atspinds 3 ir 1 srityse dviejde Broilio bang amplitudi santykio kvadratas.

Jis vadinamas potencialinio barjero skaidrumu:

Isprend i bangini lygi gaut lygi sistem, gauname:


29/35


I gauto sryio aiku, kad mikrodalels, kurios energijamaesn u potencialinio barjero aukt, prasiskverbimotikimyb spariai didja, majant barjero aukiui V0 ir joploiui l.

Barjero skaidrumas didelis, kai eksponents laipsnio rodiklis

Pavyzdiui, kai elektrono , i slyga tinka potencialiniam

barjerui, kurio plotis , t.y. atomo matmen eils. Tuomet

Taiau ploio barjero skaidrumas yra nykstamai maas


30/35


Praktikai susiduriama ne su staiakampiais,o sudtingesns formos potencialiniais barjerais.

Tuomet gaunama tokiapotencialinio barjero skaidrumo vertinimo formul:

ia x1 ir x2 dalels, kurios pilnutin energija W, potencialinio barjero pradios irpabaigos koordinats.

Jeigu V=const, i formul sutampa su:


31/35


Pagal klasikin fizik dalel, kurios pilnutin energija W


32/35

Tiesinis osciliatorius

Osciliatorius yra bet kokia fizikin (mechanin,elektromagnetin, kvantin) sistema, virpanti apie

pusiausvyros padt.

Osciliatorius, kurio virpesiai apraomi tiesinediferencialine lygtimi, vadinamas tiesiniu.

Mechanin osciliatori sudaro mmass dalel,

veikiama tampriosios ar kvazitampriosios jgos,grinanios sistem pusiausvyros padt.

Tiesinio mechaninio osciliatoriaus grinaniojijga proporcinga nuotoliui xnuo pusiausvyros padties, t.y.:

Dl to tiesinis osciliatorius virpa harmoningai. Jo potencin energija:

priklauso tik nuo nuotolio x, o nuo laiko tiesiogiai nepriklauso.

Taigi harmoningai virpanios dalels potencin energija turi minimali vert(kai x=0), todl ia vyksta finitinis judjimas potencialo duobje.


33/35


34/35


Kvantinio osciliatoriaus svoka yra svarbi kietojo kno fizikai,elektromagnetiniam spinduliavimui, molekuli vibraciniams

spektrams ir kt.

Bandymai rodo, kad kristalo atom virpjimo slygojama viesossklaida net labai emoje temperatroje (T0) neinyksta, taigineinyksta ir atomo virpesiai.

Tai sutampa su kvantins mechanikos teorine ivada.

Kaip seka i lygties, kvantinio tiesinio osciliatoriaus

minimali energijos vert gaunama, kai v=0, ir ji atitinkamai lygi:

Jinai vadinama osciliatoriaus nuline energija.


35/35


Pagal kvantin mechanik nulin energija

yra mikrodalels korpuskulinio banginio dualumo ivada.

Kvantin sistema gali pereiti i vienos stacionariosios bsenos kit.

itoks perjimas vadinamas kvantiniu uoliu.

Kvantinje mechanikoje apskaiiuojama j tikimyb.

Tie uoliai, kuri tikimyb yra didel, vadinami leistiniais, o kuri tikimyb maa ar netlygi 0 draustiniais.

Tiesiniam osciliatoriui leistini spinduliniai uoliai tik tarp gretim lygmen: tuomet vpakinta vienetu, t.y. v=1.

Tokios kvantiniams uoliams keliamos slygos vadinamos atrankos taisyklmis.Jos susijusios su kvantins mechanikos tverms dsniais.I energijos uoli tarp gretim lygmen slygos seka, kad tiesinis osciliatorius gali

i d li ti tik i d i f t

2.2.4 Kvantine mechanika 2 (Fizika.KTU.2009)

Documents

Transcript of 2.2.4 Kvantine mechanika 2 (Fizika.KTU.2009)