203-NYA-05 Physique mécanique Vecto Par André Girard.
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203-NYA-05
Physique mécanique
Vecto
Par André Girard
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Pourquoi ?
Outil mathématique bientôt utile pour la cinématique
Les Vecteurs1
NomenclaturePropriétés
ExpressionsTransferts
Les Vecteurs2
OpérationsAddition
Soustraction
Chapitre 1 : Scalaires et vecteurs
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• Scalaire/Vecteur1. Faire la distinction essentielle et donner 4 exemples pour chacun.2. Donner 2 propriétés d’un vecteur dit « unitaire » et 3 exemples de celui-ci. 3. Nommer 2 modes de représentation ou d’expression d’un vecteur en 2Dimensions.
VECTO
• Dans un plan à 2 dimensions1. Dans le premier quadrant, tracer graphiquement un vecteur, appelé A, et fournir à côté
ses 2 expressions correctement écrites. 2. Idem que précédemment pour les vecteurs B, C et D respectivement dans les deuxième,
troisième et quatrième quadrant du plan cartésien.3. Comment faire pour déterminer la grandeur (module, norme) d’un vecteur à partir de
ses 2 expressions.4. Comment passer d’une forme d’expression à une autre (Établir vos règles générales)?
5. Ajout d'un troisième mode de représentation vectorielle.
P_ _ _ _ _ _C _ _ _ _ _ _ _ _
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Scalaire = Quantité entièrement déterminée par une grandeur et définie par un nombre arithmétique ou algébrique.
La masse 60 kilogrammesLa distance 80 kilomètresLe temps 17 annéesLe volume 30 mètres cubesLa rotation 12 radiansLa température 21 Celsius
Vecteur = Être mathématique représentant une quantité physique caractérisée par une grandeur et une orientation ( direction et sens).
Le vecteur déplacement 60 mètres vers le nordLe vecteur vitesse 80 km/h vers l’estLe vecteur accélération 3 G vers le basLe vecteur force 30 newtons vers la droite
Le champ, la quantité de mouvement linéaire et angulaire, le moment de force.
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Vecteur unitaire
Une grandeur 1 et indique une orientation précise
Expression sous forme cartésienne ou Polaire
€
ri ,
r j ,
r k ,
r u R ,
r u θ ,
€
3r i + 4
r j
€
(5, 53,13o)
2 propriétés ?
Convention d’écriture = Importante ( 3 , 4 )
Donnez 5 exemples ?
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Quadrant 1Quadrant 2
Quadrant 3 Quadrant 4
€
3r i + 4
r j
€
−3r i + 4
r j
€
−3r i − 4
r j
€
3r i − 4
r j
€
(5, 53o)
€
(5, 127o)
€
(5, 307o)
€
(5, 233o)
€
rA
€
rB
€
rC
€
rD
arrondi
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Représentation polaireReprésentation cartésienne
€
3r i + 4
r j
€
5, 53o
€
rA = A = AX
2 + AY2
€
θ
A
AX
AY
€
AX
r i + AY
r j
A
AX
AY
€
Cos θ = AX / A
€
Sin θ = AY / A
€
AX = ACos θ
€
AY = ASin θ
€
Tg θ = AY / AX
€
θ
€
θ =arcTg (AY / AX )
?SH/SAH
CW/CCW?
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POLAIRECARTÉSIENNE
€
rB = −3
r i + 4
r j
€
rB = (B,θ)
BX BY
€
rB = B = −32 + 42 = 25 = 5
€
θ =arcTg (BY /BX )
€
θ =arcTg (4 /− 3)
€
θ =arcTg (−1,33)
€
θ =?
PYTHO
TRIGO
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POLAIRECARTÉSIENNE
€
rB = −3
r i + 4
r j
€
rB = (B,θ)
BX BY
€
rB = B = −32 + 42 = 25 = 5
€
θ =arcTg (BY /BX )
€
θ =arcTg (4 /− 3)
€
θ =arcTg (−1,33)
€
θ =−53,13o
PYTHO
TRIGO
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POLAIRECARTÉSIENNE
€
rB = −3
r i + 4
r j
€
rB = (B,θ)
BX BY
€
rB = B = −32 + 42 = 25 = 5
€
θ =arcTg (BY /BX )
€
θ =arcTg (4 /− 3)
€
θ =arcTg (−1,33)
€
θ =−53,13o
PYTHO
TRIGO
Donc
€
rB = (5, − 53o)
?
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POLAIRECARTÉSIENNE
€
rB = −3
r i + 4
r j
€
rB = (B,θ)
BX BY
€
rB = B = −32 + 42 = 25 = 5
€
θ =arcTg (BY /BX )
€
θ =arcTg (4 /− 3)
€
θ =arcTg (−1,33)
€
θ =−53,13o
PYTHO
TRIGO
Donc visualiserEt
Toujours +
€
rB = (5,127o)
€
rB
€
θ-3
+4
DANGER
arcTg -3/4 = arcTg 4/-3 = -53
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POLAIRE CARTÉSIENNE
€
rD = DX
r i + DY
r j
TRIGO
€
rD = (5, 307o)
Partie en X = adjacent = cos Partie en Y = Opposé = sin
€
DX = D Cos θ
€
DY = D Sin θ
€
DX = 5 Cos 307
€
DY = 5 Sin 307
€
DX = 3,009
€
DY = -3,993
Donc
€
rD = 3
r i − 4
r j
€
rD
€
θ-4
+3
Conclusion : ????????
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POLAIRE CARTÉSIENNE
€
rD = DX
r i + DY
r j
TRIGO
€
rD = (5, 307o)
€
rD
Partie en X = adjacent = cos Partie en Y = Opposé = sin
€
DX = D Cos θ
€
DY = D Sin θ
€
DX = 5 Cos 307
€
DY = 5 Sin 307
€
DX = 3,009
€
DY = -3,993
Donc
€
rD = (3
r i − 4
r j )
€
θ-4
+3
Conclusion : Angle polaire de 0 à 360
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Facultatif : Représentation cardinale Nord-EstNord-Ouest
SUD-OUEST SUD-EST
€
rF = (5,W 600 S )
N
W E
S
30
60
Vecteur force de grandeur 5
€
rF
€
rF = (5, S 300 W )
degré
directionattention
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Vecteur inverse !
( même grandeur mais en sens opposé)
Ce qui reste : algèbre vectorielle
Somme vectorielle
Soustraction vectorielle
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Sommation et soustraction vectorielles
Méthode graphique
Géométrique, du parallélogramme, du triangle, du polygone, bout à bout
Exemple pour somme de 3 vecteurs
Ajout de l’inverse
€
rA
€
rC
€
rB
€
rR
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Sommation et soustraction vectorielles
Méthode graphique
Géométrique, du parallélogramme, du triangle, du polygone, bout à bout
A
R C
B
Pour 5 vecteurs
RLecture ?
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Sommation et soustraction vectorielles
Méthode analytique ou des composantes
A
B
C CY
BY
AY
CXAX BX
R
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Sommation et soustraction vectorielles
Méthode analytique ou des composantes
A
B
C CY
BY
AY
CXAX BX
R
RX
RY
Suggestion d'une procédure universelle !
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Méthode analytique ou des composantes
Opérationvectorielle
PartiesSelon X
PartiesSelon Y
€
rA
€
− r
B
€
rC
€
rR
€
ΣX
€
ΣYSomme algébrique
€
RX
r i
€
RY
r j
€
±
€
±
€
± €
±
€
±
€
±
Si les vecteurs utilisés étaient des forces !!!
€
rA −
r B +
r C = ?Trouvez la résultante de l’opération :
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Méthode analytique ou des composantes
CONCLUSION
Opérationvectorielle
PartiesSelon X
PartiesSelon Y
€
rA
€
− r
B
€
rC
€
rR
€
ΣX
€
ΣYSomme algébrique
€
RX
r i
€
RY
r j
€
±
€
±
€
± €
±
€
±
€
±
Rappel pour des forces : Équilibrante ?
€
rE = −
r R
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Cinématique de translation
Vecteur positionDistanceVecteur déplacementDistance totale franchieVecteur vitesse moyenneVitesse scalaire moyenneVecteur vitesse instantanéeVecteur accélération moyenneVecteur accélération instantanée
Distinction et définitions
Représentation graphique et
analytique
Un coup d’œil sur ce qui s’en vientVecto terminé prochain : Cinémo