H×nh häc 10

Ch¬ng I - VÐc t¬I. VÐc t¬:1. §Þnh nghÜa:VÐct¬ lµ mét ®o¹n th¼ng cã:+ Mét ®Çu ®îc x¸c ®Þnh lµ gèc, cßn ®Çu kia lµ ngän.+ Híng tõ gèc ®Õn ngän gäi lµ híng cña vÐct¬.+ §é dµi cña ®o¹n th¼ng gäi lµ ®é dµi cña vÐct¬ (M« ®un)

VÐct¬ cã gèc A, ngän B ®îc kÝ hiÖu lµ ; ®é dµi cña kÝ hiÖu lµ

Mét vÐc t¬ cßn cã kÝ hiÖu bëi mét ch÷ c¸i in thêng phÝa trªn cã mòi tªn nh:

2. VÐct¬ kh«ng:VÐct¬ kh«ng: lµ vÐct¬ cã:+ §iÓm gèc vµ ®iÓm ngän trïng nhau.+ §é dµi b»ng 0.+ Híng bÊt k×.3. Hai vÐct¬ cïng ph ¬ng:

Hai vÐct¬ gäi lµ cïng ph¬ng: kÝ hiÖu

4. Hai vÐct¬ cïng h íng: Hai vÐct¬ gäi lµ cïng híng: kÝ hiÖu 5. Hai vÐct¬ ng îc h íng: Hai vÐct¬ gäi lµ ngîcchíng: kÝ hiÖu 6. Hai vÐct¬ b»ng nhau: Hai vÐct¬ b»ng nhau: kÝ hiÖu

7. Hai vÐct¬ ®èi nhau: Hai vÐct¬ ®èi nhau: kÝ hiÖu

8. Gãc cña hai vÐct¬: Gãc cña hai vÐct¬ lµ gãc t¹o bëi hai tia Ox; Oy lÇn lît cïng híng víi hai tia AB; CD.+ Khi kh«ng cïng híng th× .+ Khi cïng híng th× II. C¸c phÐp to¸n vÐct¬:1. PhÐp céng vÐct¬:§Þnh nghÜa: Tæng cña hai vÐct¬ lµ mét vÐct¬ ®îc x¸c ®Þnh nh sau:+ Tõ mét ®iÓm O tïy ý trªn mÆt ph¼ng dùng vÐct¬ .+ Tõ ®iÓm A dùng vÐct¬ + Khi ®ã vÐct¬ gäi lµ vÐct¬ tæng hîp cña hai vÐct¬ : HÖ thøc Chasles (Qui t¾c ba ®iÓm):

Víi 3 ®iÓm A, B, C bÊt k×, ta lu«n lu«n cã: (HÖ thøc Chasles cã thÓ më réng cho n ®iÓm liªn tiÕp)

PhÐp céng hai vÐct¬ ®ång qui (Qui t¾c h×nh b×nh hµnh): (víi ABCD lµ h×nh b×nh hµnh)Qui t¾c trung ®iÓm: Víi ®iÓm M tuú ý vµ I lµ trung ®iÓm cña AB ta lu«n cã:

TÝnh chÊt:- Giao ho¸n: - KÕt hîp:

- Céng víi kh«ng: - Céng víi vÐct¬ ®èi:

2. PhÐp trõ vÐct¬: Víi

Qui t¾c ba ®iÓm: Cho ba ®iÓm O, A, B bÊt k× ta cã: 3. PhÐp nh©n mét vÐct¬ víi mét sè thùc:a. §Þnh nghÜa: lµ mét vÐct¬:

- Víi th× vÐct¬ sÏ cïng ph¬ng víi vµ sÏ:+ Cïng híng víi nÕu k>0.+ Ngîc híng víi nÕu k<0.+ Cã ®é dµi

- b. TÝnh chÊt: +) +) +) +) +) cïng ph¬ng

4. TØ sè cña hai vÐct¬ cïng ph ¬ng:

ph©n lo¹i bµi tËp vÒ VÐc t¬ vµ c¸c phÐp to¸n D¹ng 1. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc vÐct¬

*Ph ¬ng ph¸p: + Sö dông qui t¾c ba ®iÓm (Chasles); h×nh b×nh hµnh; trung ®iÓm.+ VËn dông c¸c c¸c chøng minh ®¼ng thøc: biÕn ®æi VT thµnh VP vµ ngîc

l¹i; biÕn ®æi hai vÕ cïng thµnh mét ®¼ng thøc; biÕn ®æi ®¼ng thøc ®· cho thµnh mét ®¼ng thøc lu«n ®óng.

*Bµi tËp minh ho¹:

Bµi 1. Cho 4 ®iÓm A, B, C, D chøng minh r»ng:

a. b.

c. d.

Bµi 2. Cho tam gi¸c A, B, C. G lµ träng t©m cña tam gi¸c vµ M lµ mét ®iÓm tuú ý trong mÆt ph¼ng. CM:

a. b.

Bµi 3. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD t©m I.

a. Chøng minh r»ng:

b. TÝnh theo .

Bµi 4. Cho 6 ®iÓm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng:

Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC. I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c. CM:

Bµi 6. Cho hai tam gi¸c ABC vµ A'B'C'. Gäi G lµ träng t©m cña G vµ G'. Chøng minh r»ng:

Bµi 7. Cho 4 ®iÓm A, B, C, D; M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, CD. Chøng minh r»ng:

Bµi 8. Gäi O; H; G lÇn lît lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp, trùc t©m; träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng:

a) b)

Bµi 9. Cho tam gi¸c ®Òu ABC t©m O. M lµ mét ®iÓm tuú ý bªn trong tam gi¸c; D, E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña nã trªn BC, CA, AB. Chøng minh r»ng:

Bµi 10. Cho tam gi¸c ABC. VÏ ra phÝa ngoµi cña tam gi¸c c¸c h×nh b×nh hµnh ABIF, BCPQ, CARS. Chøng m×nh:

Bµi 11. Cho 4 ®iÓm A, B, C, D; I, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CD. CM:

Bµi 12. Cho tam gi¸c ABC víi G lµ träng t©m; H lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua G. CM:

a. ;

b. M lµ trung ®iÓm cña BC. CM:

D¹ng 2. X¸c ®Þnh ®iÓm tho¶ m·n mét ®¼ng thøc vÐct¬

*Ph ¬ng ph¸p chung: + BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®· cho vÒ d¹ng: trong ®ã O vµ ®· biÕt.+ NÕu muèn dùng ®iÓm M, ta lÊy O lµm gèc dùng mét vÐct¬ b»ng vÐct¬ .

Khi ®ã ngän cña vÐct¬ nµy chÝnh lµ ®iÓm M.

*Bµi tËp ¸p dông:

Bµi 1. Cho hai ®iÓm A, B. X¸c ®Þnh ®iÓm M biÕt:

Bµi 2. Cho hai ®iÓm A, B vµ mét vÐc t¬ . X¸c ®Þnh ®iÓm M biÕt:

Bµi 3. Cho tam gi¸c ABC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB vµ N lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AC sao cho NC=2NA.

a. X¸c ®Þnh ®iÓm K sao cho:

b. X¸c ®Þnh ®iÓm D sao cho:

Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC.

a. X¸c ®Þnh ®iÓm I sao cho:

b. X¸c ®Þnh ®iÓm K sao cho:

c. X¸c ®Þnh ®iÓm M sao cho:

Bµi 5. Cho c¸c ®iÓm A, B, C, D, E. X¸c ®Þnh c¸c ®iÓm O, I, K sao cho:

Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M sao cho:

Bµi 7. Cho tam gi¸c ABC. X¸c ®Þnh c¸c ®iÓm M, N sao cho:

a. b.

Bµi 8. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. X¸c ®Þnh ®iÓm M tho¶ m·n:

Bµi 9. Cho tø gi¸c ABCD. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm O tho¶ m·n:

Bµi 10. Cho tam gi¸c ABC cè ®Þnh. Chøng minh kh«ng phô thuéc vÞ trÝ cña ®iÓm M.

Bµi 11. Cho tø gi¸c ABCD. Chøng minh chØ cã mét ®iÓm M tho¶ m·n hÖ thøc:

D¹ng 3. Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng

*Ph ¬ng ph¸p chung: Muèn chøng minh ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng, ta chøng minh:

. §Ó chøng minh ®îc ®iÒu nµy ta cã thÓ ¸p dông mét trong hai ph-¬ng ph¸p:

+ C¸ch 1: ¸p dông c¸c quy t¾c biÕn ®æi vÐct¬.+ C¸ch 2: X¸c ®Þnh hai vÐct¬ trªn th«ng qua tæ hîp trung gian.

*Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC; D vµ E lµ hai ®iÓm sao cho:

a. Chøng minh: b. TÝnh vÐct¬: theo c. Suy ra ba ®iÓm A, I, S th¼ng hµng.Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC. §Æt a. Gäi P lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua C. TÝnh theo ?

b. Qäi Q vµ R lµ hai ®iÓm ®Þnh bëi: . TÝnh theo .

c. Suy ra P, Q, R th¼ng hµng.Bµi 3. Cho tam gi¸c ABC, träng t©m G. LÊy ®iÓm I, J sao cho: ,

a. CMR: M, N, J th¼ng hµng víi M, N lµ trung ®iÓm cña AB vµ BC.b. CMR: J lµ trung ®iÓm cña BI.Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC, träng t©m G. LÊy c¸c ®iÓm I, J tho¶ m·n: ;

Chøng minh IJ ®i qua träng t©m G cña tam gi¸c ABC.Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC. LÊy c¸c ®iÓm M, N, P tho¶ m·n:

Chøng minh M, N, P th¼ng hµng.Bµi 6. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. LÊy c¸c ®iÓm I, J tho¶ m·n:

Chøng minh I, J, O th¼ng hµng víi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.Bµi 7. Cho tam gi¸c ABC. Gäi O, G, H theo thø tù lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp, träng t©m, trùc t©m cña tam gi¸c ABC. CMR: O, G, H th¼ng hµng.Bµi 8. Cho tam gi¸c ABC. LÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: , ,

Chøng minh r»ng M, N, P th¼ng hµng.

D¹ng 4. Chøng minh hai ®iÓm trïng nhau*Ph ¬ng ph¸p chung: §Ó chøng minh M vµ M' trïng nhau, ta lùa chän mét trong hai híng:C¸ch 1: Chøng minh C¸ch 2: Chøng minh víi O lµ ®iÓm tuú ý.

*Bµi tËp ¸p dông:

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC. LÊy c¸c ®iÓm sao cho: . Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ABC vµ A1B1C1 cã cïng träng t©m.

Bµi 2. Cho tø gi¸c låi ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD, DA. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ANP vµ CMQ cã cïng träng t©m.

D¹ng 5. Quü tÝch ®iÓm*Ph ¬ng ph¸p chung: §èi víi c¸c bµi to¸n quü tÝch, häc sinh cÇn nhí mét sè quü tÝch c¬ b¶n sau:- NÕu víi A, B cho tríc th× M thuéc ®êng trung trùc cña ®o¹n AB.- NÕu víi A, B, C cho tríc th× M thuéc ®êng trßn t©m C, b¸n kÝnh b»ng

.- NÕu th×

+ M thuéc ®êng th¼ng qua A song song víi BC nÕu + M thuéc nöa ®êng th¼ng qua A song song víi BC vµ cïng híng nÕu

+ M thuéc nöa ®êng th¼ng qua A song song víi BC vµ ngîc híng nÕu

*Bµi tËp ¸p dông:

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tho¶ m·n:

a.

b.

Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC. M lµ ®iÓm tuú ý trong mÆt ph¼ng.

a. CMR: vÐct¬ kh«ng ®æi.

b. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tho¶ m·n:

trôc to¹ ®é vµ hÖ trôc to¹ ®é

PhÇn 1. Trôc to¹ ®éBµi 1. Trªn trôc x'Ox cho 2 ®iÓm A, B cã täa ®é lÇn lît lµ 2 vµ 5.a/ T×m täa ®é cña .b/ T×m täa ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng ABc/ T×m täa ®é cña ®iÓm M sao cho 2 + 5 = d/ T×m täa ®é ®iÓm N sao cho 2 + 3 = 1

Bµi 2. Trªn trôc x'Ox cho 3 ®iÓm A, B, C cã täa ®é lÇn lît lµ a, b, c.a/ T×m täa ®é trung ®iÓm I cña ABb/ T×m täa ®é ®iÓm M sao cho + =

c/ T×m täa ®é ®iÓm N sao cho 2 3 = Bµi 3. Trªn trôc x'Ox cho 2 ®iÓm A, B cã täa ®é lÇn lît lµ 3 vµ 1.a/ T×m täa ®é ®iÓm M sao cho 3 2 = 1c/ T×m täa ®é ®iÓm N sao cho + 3 =

Bµi 4. Trªn trôc x'Ox cho 4 ®iÓm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)

a/ CMR : + =

b/ Gäi I lµ trung ®iÓm AB. CMR: c/ Gäi J lµ trung ®iÓm CD. CMR:

phÇn 2. HÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc

I. To¹ ®é vÐc t¬ - To¹ ®é ®iÓm:Bµi 1. BiÓu diÔn vÐc t¬ biÕt a) b) Bµi 2. X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ biÕt: a) b) c)Bµi 3. X¸c ®Þnh to¹ ®é vµ ®é dµi cña vÐc t¬ biÕt a) ; ; b) ; ; Bµi 4. Cho ba ®iÓm A(-1;1); B(1;3)a) X¸c ®Þnh to¹ ®é cña c¸c vÐc t¬: b) T×m to¹ ®é ®iÓm M sao cho

c) T×m to¹ ®é ®iÓm N sao cho

II. BiÓu diÔn VÐc t¬:Bµi 1. BiÓu diÔn vÐc t¬ theo c¸c vÐc t¬ biÕt:a) b) Bµi 2. Cho bèn ®iÓm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). H·y biÓu diÔn vÐc t¬ theo c¸c vÐc t¬ ;Bµi 3. BiÓu diÔn vÐc t¬ theo c¸c vÐc t¬ biÕt:a) b) Bµi 4. Cho bèn ®iÓm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). H·y biÓu diÔn vÐc t¬ theo c¸c vÐc t¬ ;

III. X¸c ®Þnh ®iÓm tho¶ m·n mét ®¼ng thøc vÐc t¬, ®é dµi:Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC víi A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)a. X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm E sao cho b. X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm F sao cho AF=CF=5c. T×m tËp hîp ®iÓm M biÕt:

Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC víi A(-1;3); B(2;4); C(0;1). X¸c ®Þnh to¹ ®é:a) Träng t©m G b) VÐc t¬ trung tuyÕn AA1 c) T©m I cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c.d) §iÓm D sao cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.Bµi 3. Cho M(1+2t; 1+3t). H·y t×m ®iÓm M sao cho nhá nhÊt.

Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC víi A(4;6); B(1;4); C(7; )

a. CM: ABC vu«ng b. T×m to¹ ®é t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC.c. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tho¶ m·n: Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC víi A(1;-2); B(0;4); C(3;2). T×m to¹ ®é cña:a. Träng t©m G cña tam gi¸c b. VÐc t¬ trung tuyÕn øng víi c¹nh BCc. §iÓm D sao cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. d. T©m I ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.e. §iÓm M biÕt: f. §iÓm N biÕt: Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC víi A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). T×m to¹ ®é cña:a. Träng t©m G b. T©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp c. §iÓm M biÕt

Bµi 7. Cho tam gi¸c ABC víi A(0;3); B(4;6); C(3;3).T×m to¹ ®é ®iÓm D sao cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.Bµi 8. Cho ®iÓm A(3;1)a. T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm B, C sao cho OABC lµ h×nh vu«ng vµ ®iÓm B n»m trong gãc phÇn t thø nhÊt.b. ViÕt ph¬ng tr×nh hai ®êng chÐo cña h×nh vu«ng OABC.Bµi 9. Cho M(1-2t; 1-3t). H·y t×m ®iÓm M sao cho nhá nhÊt.

IV. VÐc t¬ cïng ph ¬ng - Ba ®iÓm th¼ng hµng: Bµi 1. Cho A(0;4); B(3;2).a. Chøng minh biÕt C(-6-3t;8+2t) b. A, B, D kh«ng th¼ng hµng biÕt D(3;0). TÝnh chu vi ABD.Bµi 2. Cho A(2;1); B(6;-1). T×m to¹ ®é:a. §iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho A,B,M th¼ng hµng.b. §iÓm N trªn trôc tung sao cho A, B, N th¼ng hµng.c. §iÓm P kh¸c ®iÓm B sao cho A, B, P th¼ng hµng vµ .Bµi 3(§HNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)a. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. B. T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm M trªn trôc Ox sao cho gãc AMB nhá nhÊt.Bµi 4. T×m ®iÓm P trªn trôc hoµnh sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:a) A(1;1) vµ B(2;-4) b) A(1;2) vµ B(3;4)Bµi 5. Cho M(4;1) vµ hai ®iÓm A(a;0); B(0;b) víi a,b>0 sao cho A,B,M th¼ng hµng. X¸c ®Þnh to¹ ®é A vµ B sao cho:a. DiÖn tÝch OAB lín nhÊt. b. OA+OB nhá nhÊt c.

nhá nhÊt.

Bµi 6. Cho A(-1;-4); B(3;4). T×m to¹ ®é:a. §iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho A,B,M th¼ng hµng.b. §iÓm N trªn trôc tung sao cho A, B, N th¼ng hµng.c. §iÓm P kh¸c ®iÓm B sao cho A, B, P th¼ng hµng vµ .Bµi 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)a. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. B. T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm M trªn trôc Ox sao cho gãc AMB nhá nhÊt.Bµi 8. T×m ®iÓm P trªn trôc hoµnh sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:a) A(1;2) vµ B(3;4) b) A(1;1) vµ B(2;-5)

Bµi 9. T×m ®iÓm P trªn trôc tung sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-3)Bµi 10. T×m ®iÓm P trªn ®êng th¼ng (d): x+y=0 sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-2)Bµi 11. Cho M(1;4) vµ hai ®iÓm A(a;0); B(0;b) víi a,b>0 sao cho A,B,M th¼ng hµng. X¸c ®Þnh to¹ ®é A vµ B sao cho:a. DiÖn tÝch OAB lín nhÊt. b. OA+OB nhá nhÊt c.

nhá nhÊt.

Bµi 12. Cho M(1;2) vµ hai ®iÓm A(a;0); B(0;b) víi a,b>0 sao cho A,B,M th¼ng hµng. X¸c ®Þnh to¹ ®é A vµ B sao cho:a. DiÖn tÝch OAB lín nhÊt. b. OA+OB nhá nhÊt c.

nhá nhÊt.

Bµi tËp tù luyÖn:Bµi 1. ViÕt täa ®é cña c¸c vect¬ sau: = 3 , = + ; = + ; = 3 ;

= 4 .Bµi 2. ViÕt díi d¹ng = x + y , biÕt r»ng:

= (1; 3) ; = (4; 1) ; = (0; 1) ; = (1, 0) ; = (0, 0)Bµi 3. Trong mp Oxy cho = (1; 3) , = (2, 0). T×m täa ®é vµ ®é dµi cña c¸c vect¬:

a/ = 3 2 b/ = 2 + c/ = 4

Bµi 4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)a/ T×m täa ®é cña c¸c vect¬ , , b/ T×m täa ®é trung ®iÓm I

cña ABc/ T×m täa ®é ®iÓm M sao cho: = 2 3

d/ T×m täa ®é ®iÓm N sao cho: + 2 4 = Bµi 5. Trong mp Oxy cho ABC cã A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).a/ CMR : ABC c©n. TÝnh chu vi ABC.b/ T×m täa ®é ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.c/ T×m täa ®é träng t©m G cña ABC.

Bµi 6. Trong mp Oxy cho ABC cã A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).a/ CMR : ABC vu«ng. TÝnh diÖn tÝch ABC. b/ Gäi D (3; 1). CMR : 3 ®iÓm B, C,

D th¼ng hµng.c/ T×m täa ®é ®iÓm D ®Ó tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.

Bµi 7. Trong mp Oxy cho ABC cã A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).a/ CMR : A, B, C kh«ng th¼ng hµng. b/ T×m täa ®é träng t©m G cña ABC.c/ T×m täa ®é t©m I cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC vµ tÝnh b¸n kÝnh ®êng

trßn ®ã.Bµi 8. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). H·y t×m trªn trôc hoµnh c¸c ®iÓm M sao cho ABM vu«ng t¹i M.Bµi 9. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)a/ H·y t×m trªn trôc hoµnh 1 ®iÓm C sao cho ABC c©n t¹i C.b/ TÝnh diÖn tÝch ABC. c/ T×m täa ®é ®iÓm D ®Ó tø gi¸c ABCD lµ

h×nh b×nh hµnh.Bµi 10. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)a/ CMR : A, B, C kh«ng th¼ng hµng. b/ T×m täa ®é träng t©m G cña ABC.c/ CMR : ABC vu«ng c©n. d/ TÝnh diÖn tÝch ABC.

Chóc c¸c em «n tËp tèt! (Tãm l¹i lµ ph¶i ch¨m chØ nhiÒu vµo míi cã thÓ giái ®îc!!!!)

TÝch v« híngI. LÝ thuyÕt:1. §Þnh nghÜa:

2. TÝnh chÊt:

a. Giao ho¸n b. TÝnh chÊt ph©n phèi c.

3. BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« h íng:

NÕu

4. C«ng thøc h×nh chiÕu:

a. NÕu bèn ®iÓm A, B, C, D cïng ë trªn mét trôc th×:

b. NÕu A', B' lµ h×nh chiÕu cña A, B lªn gi¸ cña th×:

II. Bµi tËp ¸p dông:

TÝnh tÝch v« híng

Bµi 1. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a, träng t©m G.

a. TÝnh c¸c tÝch v« híng b. Gäi I lµ ®iÓm tho¶ m·n . Chøng minh r»ng:

BCIG lµ h×nh b×nh hµnh tõ ®ã tÝnh

Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC c¹nh a, b, c.

a. TÝnh tõ ®ã suy ra:

b. Gäi M lµ trung ®iÓm BC, G lµ träng t©m tam gi¸c ABC. TÝnh ®é dµi ®o¹n AM tõ ®ã suy ra ®é dµi AG vµ cosin gãc nhän t¹o bëi AG vµ BC.

Bµi 3. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, t©m O, M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®êng trßn néi tiÕp h×nh vu«ng, N lµ ®iÓm tuú ý trªn c¹nh BC. TÝnh:

a. b. c. BA.NO

Bµi 4. Cho ba vÐc t¬ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn vµ . TÝnh:

Bµi 5. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a, ®êng cao AH

a. TÝnh c¸c tÝch v« híng b.

Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC cã AB=6, AC=8, BC=10

a. TÝnh b. Trªn AB lÊy M sao cho AM=2; trªn c¹nh AC lÊy N sao ch0o AN=4. TÝnh

Bµi 7. Cho h×nh thang vu«ng ABCD cã ®êng cao AB=2, ®¸y lín BC=3; ®¸y nhá AD=2

TÝnh c¸c tÝch v« híng

Bµi 8. Cho ba vÐc t¬ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn vµ . TÝnh:

Chøng minh ®¼ng thøc vÒ tÝch v« híng hay vÒ ®é dµi

Bµi 9. Cho hai ®iÓm A vµ B, O lµ trung ®iÓm cña AB vµ M lµ mét ®iÓm tuú ý. Chøng minh r»ng:

Bµi 10. Cho MM1 lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. A lµ ®iÓm cè ®Þnh vµ OA=d. Gi¶ sö AM c¾t (O) t¹i N.

a. Chøng minh r»ng tÝch v« híng cã gi¸ trÞ kh«ng phô thuéc M.

b. CMR: cã gi¸ trÞ kh«ng phô thuéc M.

Bµi 11. Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB cã AC, BD lµ hai d©y thuéc nöa ®êng trßn c¾t nhau t¹i E.

Chøng minh r»ng:

Bµi 12. Cho tam gi¸c ABC, trùc t©m H, M lµ trung ®iÓm cña BC.

Chøng minh r»ng:

a. b.

Bµi 13. Cho bèn ®iÓm tuú ý M, A, B, C. Chøng minh r»ng:

Chøng minh tÝnh vu«ng gãc - thiÕt lËp ®iÒu kiÖn vu«ng gãc

Bµi 14. Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ba ®êng cao ®ång quy.

Bµi 15. Cho tam gi¸c ABC cã gãc A nhän. VÏ bªn ngoµi c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A lµ ABD, ACE. Gäi M lµ trung ®iÓm BC. Chøng minh r»ng: AMDE

Bµi 16. Cho bèn ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng: ABCD

Bµi 17. Cho h×nh thang vu«ng ABCD, hai ®¸y AD=a; BC=b, ®êng cao AB=h. T×m hÖ thøc gi÷a a, b, h sao cho:

a. BDCI b. ACDI c.BMCN víi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ BD.

Bµi 18. Cho tø gi¸c ABCD biÕt . Tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? V× sao?

§iÓm tho¶ m·n ®¼ng thøc vÒ tÝch v« híng hay ®é dµi

Bµi 19. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M sao cho:

Bµi 20. Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M sao cho:

a. b. víi BC=a.

Bµi 21. Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M sao cho:

a. b. MA2-MB2+CA2-CB2=0