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CAPÍTULO:      N  Ú  M  E  R  O  S        R  E  A  L  E  S  D  E  B  E  R          3  

 

 

 1) Represente  en  un  diagrama  de  Venn  la  clasificación  de  los  números  reales.  

 2) Si   R  es  el  conjunto  de   los  números  reales,  Q  es  el  conjunto  de   los  números  racionales,  

I  es  el  conjunto  de  los  números  irracionales,   Z  es  el  conjunto  de  los  números  enteros  y  N  es  el  conjunto  de  los  números  naturales,  identifique  la  proposición  FALSA.  a) N ∪Q( ) ⊆ R  

b) Q∩ I = R  c) QZ ⊆  d) ZN ⊆  e) ( )IQN ∪⊆  

Respuesta:  b)    2.1  Representación  decimal    3) Ubique  en  la  misma  recta  numérica  los  siguientes  números  racionales:  

a) 3.14  b) 4/5  c) 3/2  d) –1/3  e) –5/2    

4) Ubique  en  la  misma  recta  numérica  los  siguientes  números  irracionales:  

a) 2 3  

b) 2 3  c) 23  

d) 2− 2  e) −π 2    

5) Determine  si  los  siguientes  números  son  racionales  o  irracionales:  

a) 7.31  b) 0.505005000…      

c) −3.5478  d) 5.070077000777…  

Respuesta:  a)  Racional,  b)  Irracional,  c)  Racional,  d)  Irracional    

6) La  suma  (o  la  diferencia)  de  un  número  racional  con  otro  número  irracional  es  un  número  irracional.  a)  Verdadero           b)  Falso        

Respuesta:  a)  

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL  FACULTAD  DE  MATEMÁTICAS  Y FÍSICADEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS  CURSO  DE  NIVELACIÓN  2015  –  2S  

Página                  de    12  

 2  

7) El  producto  de  un  número  racional,  diferente  de  cero,  por  un  número  irracional,  es  otro  número  irracional.  a)  Verdadero           b)  Falso        

Respuesta:  a)    8) El  cociente  de  un  número  racional,  diferente  de  cero,  entre  un  número  irracional,  es  otro  

número  racional.  a)  Verdadero           b)  Falso        

Respuesta:  b)    

9) La  fracción  recíproca  de  un  número  irracional  es  otro  número  irracional.  a)  Verdadero           b)  Falso        

Respuesta:  a)  

notación  decimal  como  un  número  racional:  a) 5.26  b) 0.456  c) 3.1416  d) 145.235  

Respuesta:  a)  526/100,  b)  456/1000,  c)  10471/3333,  d)  145090/999  

 10) Realice   las   operaciones   matemáticas   necesarias   para   representar   cada   número  en  

Página                  de    12  

 

Defina:  a) Intervalo  cerrado.  b) Intervalo  abierto.  c) Intervalo  semiabierto/semicerrado.  d) Intervalo  con  extremo  infinito  a  la  izquierda.  e) Intervalo  con  extremo  infinito  a  la  derecha.  f) Valor  absoluto.  

Sean  los  intervalos   [ )5,12A= −  y   [ )9,5B = − .  Determine  la  cantidad  de  números  enteros  que  pertenecen  al  conjunto   A B− .  

Respuesta:  7    Determine  el  valor  de  verdad  de  la  siguiente  proposición:  

∀x ∈ ! x2 = x  Respuesta:  0    

   INTERVALOS    

 12)

 11)

13)

3Página                  de    12  

 

Defina:  a) Identidad.  b) Ecuación.  

 

Sea   la  ecuación   lineal  

€

5 −1− x + 5

23

= 2x ,   al  determinar   su  solución  considerando  como  

conjunto  referencial  a  los  números  reales,  se  obtiene  que  pertenece  al  intervalo:  a)    

€

0,1[ )     b)  

€

1,2[ )     c)  

€

2,3[ )   d)  

€

3,4[ )   e)  

€

4,5[ )  Respuesta:  d)  

 

a) p x( ) : nm a m− x( )+bx!"

#$= b n− x( )+ ax  

b) q x( ) : 5x +6 =1  

c) r x( ) : 32x2 +3x + 2

−3= x −3x +1

 

Respuesta:  b)   Aq x( ) = −1,− 75

"#$

%&',  c)   Ar x( ) = −4,2{ }  

 Para  que  la  ecuación  cuadrática:   0124 2 =+− kxx ,  tenga  SOLUCIÓN  ÚNICA  en  el  conjunto  de  los  números  reales,  la  suma  de  los  valores  que  debe  tener   k ,  es  igual  a:  a)  4     b)  3     c)  2     d)  1     e)  0  

Respuesta:  e)    

 Ecuaciones    

14)

Sea  Re =! ,   resuelva   la   ecuación   asociada   a   cada   predicado.   Luego   de   comprobar   sus  soluciones,  tabule  los  conjuntos  de  verdad Ap(x) ,   Aq(x)  y   Ar (x) .  

15)

16)

4  Página                  de    12  

 

Sea   el   conjunto   referencial  Re =!  y   el   predicado   p x( ) :−4x2 −8x = −32 ,   la   suma   de  

los  elementos  del  conjunto  de  verdad   Ap x( )  es  igual  a:  a)  –2     b)  0     c)  2     d)  8     e)  12  

Respuesta:  a)    

y  se  cumple  que  1 2

1 1 23x x

+ = ,  calcule  3

13m +.  

Respuesta:  12  

 

N Ap x  es:    

a)  0     b)  1     c)  2     d)  3     e)  4  Respuesta:  b)  

 

Sea  el  conjunto  referencial  Re =!  y  el  predicado   p u( ) : 1−u + u =1.      Entonces,  es  VERDAD  que:  a) Ap u( ) =∅  

b) Ap u( ) = 1{ }  c) N Ap u( )( ) =1  d) N Ap u( )( ) = 2  e) N Ap u( )( ) = 3    

Respuesta:  d)  

Sea  el  conjunto  referencial  Re = !  y  los  predicados:  

p x( ) : x2 + x −56 = 0    

q x( ) : x2 = 49  

El  conjunto   A p x( ) ∨ q x( )"#

$%  es  igual  a:  

a) −7, −8, 7{ }       b)   −7, 7{ }   c)   −8,7{ }     d)   7{ }    

 e)   8{ }    

Respuesta:  d)  

17)

Sea  Re =!  y   p(x) : x2 − (m−1) x + (m+1) = 0 .  Si   x1  y   x2  son  los  elementos  de   Ap(x)  18)

19) Sea  Re =!  y   p(x) : x − x + 29 =1 ,  entonces   ( ( ))

20)

21)

5  Página                  de    12  

 

Dada   la   primera   ecuación:   x2 + 5x + 6 = 0  y   la   segunda   ecuación:   x2 + 7x + k = 0 .  

Determine   el   producto   de   las   raíces   de   ambas   ecuaciones,   si   se   conoce   que   la   raíz   de  mayor   valor   de   la   primera   ecuación,   es   también   solución   de   la   segunda   ecuación.  Considere  Re = ! .  a)    –20     b)  –12     c)  12     d)  60     e)  72  

Respuesta:  d)    

:  

a) p x( ) : 92x +6

−7

5x +15=23  

b) q x( ) : x2 −13+ x −13= 0  

Respuesta:  a)   Ap x( ) = 3320!"#

$%&,  b)   Aq x( ) = 7{ }  

Cuatro  niños   se   reparten   cierto  número  de  naranjas  de   la   siguiente  manera:  el  primero  recibe  la  mitad  del  total  menos  seis;  el  segundo,  un  tercio  del  resto  menos  dos;  el  tercero,  un   cuarto   del   nuevo   resto   menos   una   y   el   cuarto   niño,   las   trece   naranjas   restantes.  Determine  la  cantidad  de  naranjas  que  le  corresponden  a  cada  uno.  

Un   grupo   de   amigos   deben   repartirse   un   dinero.   La   primera   vez   que   lo   intentan,   se  reparten  a  $  8  por  persona  y  les  sobra  $  4.  En  un  segundo  intento,  se  reparten  a  $  9  cada  uno  pero  ahora  les  falta  $  3.  Entonces,  la  cantidad  de  dinero  a  repartirse  es:    a) $  52     b)  $  60     c)  $  68     d)  $  76     e)  $  84  

Respuesta:  b)    Un  trabajador  recibió  $  390  como  pago  por  el  trabajo  de  una  semana,  laborando  en  total  48  horas,  de  las  cuales  40  horas  fueron  normales  y  el  resto  horas  extras.  El  valor  de  cada  hora  extra  es  1.5  veces  el  valor  de  la  hora  normal.  Entonces  el  valor  de  la  hora  normal  es:  a) $  5.50     b)  $  6.50   c)  $  7.50   c)  $  8.50   e)  $  9.50  

Respuesta:  c)    Si  la  suma  de  tres  números  pares  consecutivos  es  24,  entonces  determine  el  producto  de  los  tres  números.  

Respuesta:  480    Un   maestro   le   propone   100   problemas   a   un   estudiante,   para   un   fin   de   semana,   y   le  promete  5  puntos  por  cada  uno  de  los  problemas  que  resuelva  bien,  con  la  condición  de  que   le   quitaría   2   puntos   por   cada  uno  de   los   problemas  que   resuelva  mal.   Si   al   final   el  estudiante   obtuvo   73   puntos,   determine   la   cantidad   de   problemas   que   el   estudiante  resolvió  bien.  

Respuesta:  39    

22)

Si  Re =! ,  determine  el  conjunto  de  verdad   Ap(x)23)

 24)

Respuesta:  30    25)

26)

27)

28)

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Eduardo   le  dice  a  María:  "Si  al  doble  de  mi  edad   le  quitas  el   triple  de   la  edad  que  tenía  hace  40  años,  obtendrás  mi  edad  actual";  calcule  la  edad  actual  de  Eduardo.  

Respuesta:  60  años.    

La  suma  entre  un  número  entero  X  y  su  recíproco  es  26/5,  calcule  el  valor  de  5X  +  1.  Respuesta:  26  

La  cifra  de  las  decenas  de  un  cierto  número  excede  en  2  a  la  de  las  unidades.  Si  se  divide  el  número  por  las  cifras  de  sus  unidades,  resulta  los  7/8  del  número  invertido.  ¿Cuál  es  el  número?  

Respuesta:  42    Obtuve  un  8  %  de  aumento  se  sueldo,  lo  que  me  significo  $20400  más  al  mes.  ¿Cuál  era  mi  sueldo  anterior  y  cuanto  es  mi  sueldo  actual?  

Respuesta:  $  255  000,  $  275  400    

En  una  liquidación  de  libros  quiero  comprar  14  libros.  Algunos  cuestan  $  300  cada  uno  y  otros  $  800  cada  uno.  ¿Cuántos  de  cada  uno  puedo  comprar  con  $  6  200?  

Respuesta:  10  libros  de  $  300,  4  libros  de  $  800.    Determine  un  número  entero  tal  que  sumado  al  numerador  y  al  denominador  de  3/8  se  obtenga  6/5  como  resultado.  

Respuesta:  –33    

Una  reina  y  una  virreina  dedican  $  7  600  cada  una  para  socorrer,  con  la  misma  ayuda,  a  un  cierto   número   de   necesitados.   La   reina   socorre   a   150   necesitados  más   que   la   virreina,  pero   ésta   da   a   cada   necesitado   $   1.50   más   que   la   reina.   ¿Cuántos   necesitados   son  ayudados  por  cada  una  de  ellas?  

Respuesta:  La  reina  a  950,  la  virreina  a  800.    

Un   albañil   puede   construir   una   pared   en   4   horas   y   otro   albañil   puede   hacer   el  mismo  trabajo  en  3  horas.  Si  ambos  albañiles  trabajan  simultáneamente,  entonces  el  tiempo  en  que  tardarán  en  construir  la  pared  es  igual  a:  

a)     horas712   b)   horas7

3   c)   horas27   d)   horas3

4   e)   horas43  

Respuesta:  a)    

 29)

30)

 31)

32)

33)

34)

35)

 36)

7  Página                  de    12  

 

2.9  Inecuaciones    Defina:  a) Desigualdad.  b) Inecuación.  

Resuelva   las   siguientes   inecuaciones,   considerando   como   conjunto   referencial   los  números  reales.  a) 3|2  –  x|  –  15  ≥  0  b) |x2  -­‐  9|  ≥  7  c) |x  +  1|  ≥  |1  –  2x|  

Respuesta:  a)   −3,7( )C,  b)   −∞,−4( #$∪ − 2, 2( )∪ 4,+∞&' ) ,  c)   0,2!" #$  

La  cantidad  de  números  enteros  que  satisfacen  la  inecuación:   4x −1 ≤ 5 ,  es  igual  a:  a)  2     b)  3     c)  4     d)  5     e)  6  

Respuesta:  b)    

( ) : x −π ≥ 0  y  

q x( ) : x − π2<π4,  entonces  el  conjunto  de  verdad   Acp x( )∪Aq x( )  es  igual  a:  

a) π4, 3π4

!

"#

$

%&     b)  

π4, 3π4

!"#

$%&   c)  

π4, 3π4

!

"#$

%&  d)  

π4, 3π4

!

"#$

%&  

e)  ∅  

Respuesta:  a)    

Sea   el   conjunto   referencial  Re = !  y   el   predicado   p x( ): 2xx − 4

≤ 8 .   El   conjunto   de  

verdad   Ap x( )  es  igual  a:  

a) −∞,3( )∪ 163,+∞

$

%&

'

()  

b) −∞,3( )∪ 163,+∞

$

%&

'

()  

c) −∞,4( )∪ 163,+∞

$

%&

'

()  

d)   4,163

!

"#

$

%&

C

           e)   4,16

3!

"#

$

%&  

Respuesta:  c)    

Sea  Re =!  y   p x( ) : x + 5x +3x −1

≥ 0 ,  el  conjunto  de  verdad   ( )Ap x  es  igual  a:    

a) ( ) ( ),1 2,−∞ ∪ +∞   b)  [ ]3, 1− −   c)  [ ] ( )3, 1 1,− − ∪ +∞    

d)           −3,−1( )∪ 1,+∞( )   e)   2,+∞( )  Respuesta:  c)  

 

37)

 38)

 

39)

40) Sea   el   conjunto   referencial   Re =!  y   los   predicados:   p x

41)

42)

8  Página                  de    12  

 

Sea   el   conjunto   referencial   Re =!  y   el   predicado   p x( ) :x −3x2 −1

≥ 0 ,   el   conjunto   de  

verdad   Ap x( )  es  igual  a:  a) −∞,−3( ]∪ −1,1( )∪ 3,+∞[ )  b) −∞,−2( ]∪ −1,0( )  c) 0,1( )∪ 2,+∞[ )  d) −∞,−3( ]∪ 3,+∞[ )  e) −∞,−2( ]∪ −1,1( )∪ 2,+∞( )  

Respuesta:  a)    

Sea   el   conjunto   referencial   Re =!  y   los   predicados   p x( ) : x +3 −1≥ 0  y  

q x( ) : x − 2 < −1 ,  entonces  el  conjunto   A p x( )→ q x( )( )  es  igual  a:    a)   −∞,−4( ]        b)   −4,−2( )                    c)   −2, 4[ )                      d)   −2, 4( )              e)   −4,−2[ ]  

Respuesta:  b)    

Sea  el  conjunto  referencial  Re =!  y   los  predicados   p x( ) : x2 −1 ≤ 0  y  q x( ) : 1x −1 <1 ,  entonces   A p x( )∨q x( )( )  es  igual  a:  a) 1,2!" #$  

b) 1,2( )  c) −∞,1( )∪ 2,+∞( )  d) −∞,1( #$∪ 2,+∞( )  e) −∞,1( #$∪ 2,+∞&' )  

Respuesta:  d)    

Sea  el  conjunto  referencial  Re = 0 ,!" +∞)  y  los  predicados:  p x( ): x2 − 6x ≤ 0     q x( ): x − 1 − 1 = 0  

Entonces,   N A p x( ) ∧ q x( )( )"#

$%  es  igual  a:  

a)  0     b)  1     c)  2     d)  3     e)  4  Respuesta:  c)  

 Un   artesano   que   fabrica   y   vende   calzado   tiene   gastos   fijos   semanales   de   $600   entre  salarios   y   operarios,   alquiler   de   taller   y   consumo   de   energía   eléctrica.   El   costo   en  materiales  por  cada  par  de  zapatos  es  de  $8,  luego  los  vende  a  un  precio  de  $16.  ¿Cuántos  pares  de  zapatos  deben  elaborarse  y  venderse  semanalmente  para  obtener  utilidad?  a) Más  de  50  pares  de  zapatos.  b) Más  de  75  pares  de  zapatos.  c) Menos  de  75  pares  de  zapatos.  d) Menos  de  100  pares  de  zapatos.  e) Entre  50  y  100  pares  de  zapatos.  

Respuesta:  b)  

43)

44)

45)

46)

47)

9  Página                  de    12  

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

48. Resolver las siguientes inecuaciones, considere x .

49. Hallar el conjunto de verdad de las siguientes desigualdades, considere Re= .

 9  Página    10    de    12  

Realizar las operaciones indicadas:

a) |−7| + |3|− |−5|

b) |6 − 9| + |10 − 4| + |5| − |−5|

c) |4 − 8| − |−6| + |14 − 11| − |−8|

d) |3(−1) − (−1)| − |2(−1)− (−1)| − |3− (−1)|

e) 2(1) −3 −|3(1) − 2(2)| + |4 − 5(−2)|

f) |3(0) − 1| − [3(−4) + 6] − |−3 −2(−4)|

Definir sin barras de valor absoluto las siguientes expresiones:

a) |x − a|

b) |1 − x|

c) |x − a + b|

Una de las siguientes proposiciones es falsa, identifíquela: a) 4 = 2 siempre que −2π es un número irracional. b) 6 ÷ (10 ÷ 5) = 3 o (−15)−2 es un número negativo. c) El número 2e ÷ e es irracional y |x − e|= |e − x|. d) Si 2 es irracional, entonces −3 = 1 − 4. e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.

50.

51.

52.

Valor Absoluto

 9  Página   11      de    12  

A continuación se presenta una lista de diversos enunciados verbales de uso frecuente en el cálculo algebraico. Expresarlos en forma algebraica.

* Número natural cualquiera.* El antecesor de n.* El sucesor de n.* Número natural par.* Número natural impar.* El cuadrado del sucesor de n.* El sucesor del cuadrado de n.* El cuadrado del sucesor del antecesor de n.* Dos números naturales impares consecutivos.* La diferencia positiva de los cuadrados entre dos números naturales

consecutivos.* La diferencia positiva de los cubos entre dos números naturales pares

consecutivos.* El inverso aditivo u opuesto de r.* El inverso multiplicativo o recíproco de r.* El sucesor del recíproco de s.* El triple de x.

Resolver las siguientes ecuaciones, considere x .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

53.

54.

 9  Página    12      de    12