2014/2015 учебного года Отборочный этап в I вариант 5...

Материалы заданий олимпиады «Бельчонок» по математике 2014/2015 учебного года

Отборочный этап (в заочной форме) I вариант

5 класс

1) Сколько букв в слове «БЕЛЬЧОНОК» можно написать, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя по одной линии дважды?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2) В лесу СФУ живут белки, которые собирают в день в два раза больше орехов, чем им лет. Десятилетний Бельчонок живет в лесу с мамой и папой. Мама собирает 66 орехов в день, а папа старше мамы на три года. Сколько орехов в день они собирают вместе?

A) 158 B) 155 C) 146 D) 138 E) 126

3) Если число 2014 умножить само на себя 2014 раз, то чему будет равна последняя цифра произведения?

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

4) Сколько треугольников изображено на рисунке?

A) 12 B) 18 C) 24 D) 47 E) 50

5) Какую цифру заменяет буква 𝐸 в примере на умножение БЕЛ×КА = 7632, если известно, что здесь использованы все цифры от 1 до 9 (каждая по одному разу)?

A) 1 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9

6) Четырёх жителей Острова Математики зовут Один, Два, Три, Четыре. Фамилии у них те же, что и имена, но ни у кого из четверых имя и фамилия не совпадают. Фамилия Два не Один. Имя островитянина с фамилией Три

совпадает с фамилией того, имя которого совпадает с фамилией Четыре. Какова фамилия Три?

A) Один B) Два C) Три D) Четыре E) Невозможноопределить

7) Сколько всего существует различных трёхзначных чисел с ненулевыми цифрами, у которых любые две цифры отличаются не меньше, чем в два раза (например, 129, 521)?

A) 14 B) 42 C) 48 D) 56 E) 84

8) Вася и Петя – студенты Сибирского федерального университета. На перерыве между лентами они вместе вышли из университета и направились к разным ларькам с мороженым. Дойдя до своего ларька (скорости движения студентов одинаковы), каждый из них купил по 3 мороженого, начал есть и пошёл обратно к университету. Когда Петя подошёл к университету, Вася уже стоял на входе и доедал третье мороженое, а Петя съел две порции из трёх (порции и скорости съедания мороженого одинаковы). Какой ларёк находится дальше от университета и во сколько раз?

Таблица правильных ответов

№ задания Правильный ответ 1. 𝐷 2. 𝐴 3. 𝐶 4. 𝐷 5. 𝐶 6. 𝐷 7. 𝐸 8. Ларёк, в который ходил Петя

дальше от университета в 2 раза

6 класс

1) Маша хотела умножить некоторое целое число на 501, но забыла про 0 и умножила на 51. В результате она получила число 663. А какой результат она должна была получить?

A) 7014 B) 7515 C) 6513 D) 8016 E) 60630

2) Семь Бельчат за 3 дня съедают 21 пакетик корма. Сколько корма надо 5 Бельчатам на 5 дней?

A) 25 B) 20 C) 15 D) 10 E) 5

3) Сколько различных чисел можно получить, складывая по два различных числа из списка 5, 6, 7, 8, 9?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

4) Укажите наибольшее количество квадратов с вершинами в точках, изображенных на рисунке, которые Вы можете насчитать.

A) 9 B) 10 C) 19

D) 20 E) 21

5) Какой самый большой результат может получиться в примере на сложение ЗА + ДАЧ + КА, если одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры.

A) 1135 B) 1127 C) 1129 D) 1131 E) невозможноопределить

6) В Сибирском федеральном университете встретились четыре студента: физик, биолог, химик и математик. Каждый из них знает только два языка: русский, английский, немецкий и испанский. Никто из студентов не владеет немецким и испанским языками одновременно. Хотя физик не умеет говорить по-английски, он стал переводчиком в разговоре биолога и химика. Химик знает испанский, а математик – нет, поэтому они общаются по-русски. Физик, биолог и математик не могут беседовать втроём на одном языке. На каком языке математик общался с биологом?

A) русский B) английский C) немецкий

D) испанский E) невозможноопределить

7) Первое натуральное число, которое равно произведению всех своих делителей (за исключением самого числа) равно 6. Чему равно десятое натуральное число, обладающее таким свойством?

A) 33 B) 34 C) 35 D) 38 E) 39

8) Вася и Петя в 8: 00 начинают заполнять пустой резервуар с водой. Вася приносит ведро через каждые 3 минуты, а Петя – через каждые 4 минуты. При попадании воды в резервуар, включается насос, который выкачивает воду из резервуара с постоянной скоростью 2 ведра за 24 минуты. Через сколько минут в резервуаре будет ровно 13 ведер воды?


№ задания Правильный ответ

1. 𝐶 2. 𝐴 3. 𝐶 4. 𝐸 5. 𝐷 6. 𝐵 7. 𝐴 8. Через 27 минут

7 класс

1) Чему равна сумма четырех различных натуральных чисел, если известно, что их произведение равно 100?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

2) Маша нарисовала на клетчатой бумаге квадрат 4×4. Потом она провела прямую, которая пересекает этот квадрат. Через какое наибольшее число клеток 1×1может проходить эта прямая?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

3) Большой Бельчонок может собрать все орехи с одного дерева за 40 минут, а маленький Бельчонок – за 2 часа. За сколько времени они соберут орехи с трех таких деревьев, работая вдвоём, если на всех деревьях растет одинаковое число орех.

A) 40минут B) 45минут C) 1час D) 1час30минут E) 1час40минут

4) На рисунке изображен большой равносторонний треугольник, состоящий из маленьких равносторонних треугольников площади 1. Какова площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

5) У жителей странного острова есть следующее правило: дети всегда врут только родителям, а родители всегда врут только детям. Одна семья состоит из троих детей и их родителей. Вася сказал Маше, показав на Свету: «Но я же старше неё!», а потом Насте, показав на Петю: «Но я же старше него!». Какое имя у мамы?

A) Настя B) Маша C) Света D) Галя E) Невозможноопределить

6) В выпуклом четырехугольнике проведены биссектрисы и отмечены все точки пересечения прямых, на которых они лежат. Чему равно наибольшее число точек пересечения, расположенных вне этого четырехугольника?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

7) Сколько всего существует различных трёхзначных чисел, у которых ровно две цифры не равны друг другу?

A) 360 B) 243 C) 225 D) 216 E) 98

8) Семья бельчат собирала орехи в мешки и взвешивала их на сломанных весах, которые показывают вес, отличающийся от истинного (не более чем на 500 граммов). Известно, что отклонения от настоящего веса при нескольких взвешиваниях на весах могут отличаться друг от друга. Когда на них положили свои мешки первый и второй Бельчата, весы показали 5,5 кг, мешки первого и третьего Бельчат весили 7 кг, а третьего и второго – 6 кг. После этого Бельчата положили все три мешка, и весы показали 8 кг. Определите истинные веса мешков с орехами каждого из Бельчат.



1. 𝐷 2. 𝐷 3. 𝐷 4. 𝐵 5. 𝐴 6. 𝐶 7. 𝐵 8. 3,5 кг, 3 кг, 2 кг

8 класс

1) Какое минимальное количество квадратиков требуется закрасить на рисунке, чтобы появилась ось симметрии?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2) Из чисел 1, 2, 3, …, 10 выбирают только такие, что ни одно выбранное число не было в два раза меньше другого. Какова наибольшая возможная сумма выбранных чисел?

A) 37 B) 39 C) 41 D) 42 E) 45

3) Чему равна площадь квадратного листа, изображенного на рисунке, если сумма периметров прямоугольников, на которые его разделили, равна 120?

A) 48 B) 64 C) 110,25 D) 144 E) 256

4) Отчисленный студент Сибирского федерального университета Ваня всегда говорит неправду. Как-то он сказал своему брату: «Хотя бы кто-то один из нас никогда не лжет». Какое из следующих утверждений является обязательно верным?

A) Егобратвсегдалжет B) бывает, чтоегобратлжет

C) Егобратникогданелжет D) Бывает, чтоегобратговоритправду

E) Ванянемогпроизнеститакуюфразу

5) Известно, что 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ 𝑥 = 2cd ∙ 3e ∙ 5f ∙ 7g ∙ 11 ∙ 13. Чему равен 𝑥?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

6) Оказалось, что в Сибирском федеральном университете cd от

преподавателей, имеющих кошку, имеют также и аквариумных рыбок, ci от

преподавателей, имеющих рыбок, имеют также и кошек, а cd от всех

преподавателей не имеют ни кошек, ни рыбок. Сколько преподавателей в СФУ имеют и кошек, и рыбок?

A) 50% B) 25% C) 20% D) 10% E) 5%

7) Сколько всего существует двузначных чисел, которые при перестановке цифр уменьшаются не менее чем в три раза?

A) 5 B) 6 C) 10 D) 15 E) 33

8) Сумма остатков при делении некоторого натурального числа на 3, 6, 9 равна 15. Чему равен остаток при делении этого натурального числа на 18?



1. 𝐵 2. 𝐷 3. 𝐷 4. 𝐵 5. 𝐸 6. 𝐷 7. 𝐵 8. 17

9 класс

1) В клетки квадрата, изображенного на рисунке, вписывают цифры 0 и 1 так, чтобы в каждом горизонтальном и вертикальном рядах оказалось по 2 нуля и по 2 единицы. После этого некоторые нули и единицы стерли. Какие цифры стояли на местах 𝑋 и 𝑌?

A) 𝑋 = 𝑌 = 1 B) 𝑋 = 1, 𝑌 = 0 C) 𝑋 = 0,𝑌 = 1

D) 𝑋 = 𝑌 = 0 E) невозможноопределить

2) На доске выписана следующая последовательность: …, 2, 𝑥, 𝑦, 𝑧, 500, … . Каждый член последовательности равен произведению двух предыдущих. Чему равно значение 𝑥𝑦𝑧?


3) В некотором лицее города Красноярска количество участников олимпиады «Бельчонок» – это 6% от числа всех учеников старшей школы и 30% от числа учеников всей средней школы. Сколько процентов учащихся 5 − 11 классов этого лицея принимали участие в олимпиаде «Бельчонок»?

A) 2% B) 4% C) 5% D) 7,5% E) 10%

4) Вася достал из коробка 4 спички (длина каждой спички равна 1 см). Одну спичку он разломил на две части, а потом составил прямоугольный треугольник. Какой может оказаться площадь такого треугольника?

A) gfсмg B) c

gсмg C) f

iсмg

D) pcqсмgили r

pсмg E) такихтреугольниковнет

5) На рисунке изображены графики функций 𝑦 = 2𝑥g + 𝑏𝑥 + 𝑐 и 𝑦 = 𝑐𝑥 + 1. Чему равен коэффициент 𝑏?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

6) Сколько существует различных четырёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, которые делятся на 4, если цифры не могут повторяться?

A) 6 B) 12 C) 24 D) 30 E) 625

7) В тупоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отмечены центры вписанной и описанной окружностей. Оказалось, что они симметричны относительно стороны 𝐴𝐵. Чему может равняться наибольший угол этого треугольника?

A) 100° B) 108° C) 120° D) 136° E) 150°

8) Девятиклассник Петя выписывает пятизначные числа в два столбца. В первый столбец – четные, сумма цифр которых равна 36, а во второй – нечетные, сумма цифр которых равна 38. В каком столбце чисел будет больше?



1. 𝐴 2. 𝐴 3. 𝐶 4. 𝐴 5. 𝐷 6. 𝐶 7. 𝐵 8. В первом столбце

10 класс

1) Десятиклассник Петя придумал следующую операцию над действительными числами 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 𝑦. Чему равно значение выражения 18 ∗ 2 ∗ 3?

A) 6 2 B) 6 C) 6 3 D) 18 2 E) 18

2) Какую наибольшую сумму цифр имеет шестизначное число, делящееся на 2f?

A) 51 B) 50 C) 49 D) 48 E) 47

3) Белки собирали в лесу орехи. Если бы каждый Бельчонок-мальчик собрал на 3 ореха за больше, то среднее количество орехов на каждую белку было бы на 1,2 больше. Сколько процентов составляют бельчата-девочки от всех белок?

A) 20% B) 30% C) 40% D) 50% E) 60%

4) Диаметры кругов, изображенных на рисунке, равны 2, 4, 4 и 6. Обозначим за 𝑋 – площадь заштрихованной вертикально области, а 𝑌 – площадь заштрихованной горизонтально области. Тогда верно, что

A) 2𝑋 = 𝑌 B) 3𝑋 = 2𝑌 C) 𝑋 = 𝑌

D) 𝑋 > 𝑌 E) невозможноопределить

5) На рисунке изображен график функции 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 1 + 𝑏 𝑥 + 1 + 𝑐𝑥. Чему равен коэффициент 𝑐?

A) 0,5 B) 1 C) 0

D) −0,5 E) −1

6) Вася нарисовал треугольник, площадь которого равна 1, и провел в нём все высоты. Он обозначил за 𝑋 произведение сумм длин трёх высот на

периметр этого треугольника. Какое из утверждений будет являться неверным?

A) 𝑋можетбытьбольше1000 B) 𝑋всегдабольше6

C) 𝑋можетбытьменьше12 D) 𝑋можетбытьравно18

E) Еслитреугольникпрямоугольный, то𝑋 > 16

7) Сколько решений имеет ребус-неравенство, в котором разные буквы обозначают разные цифры: Б > Е > Л > К > А?

A) 1 B) 120 C) 252 D) 30240 E) бесконечномного

8) В клубе Любителей Орехов состоит 58 бельчат, причем каждый из них – либо упитанный, либо худой. На очередное собрание каждый упитанный бельчонок принес 15 орехов и раздал их худым, а каждый худой принес 14 орехов и раздал их упитанным. Оказалось, что все упитанные бельчата получили поровну орехов и все худые – тоже. Сколько среди бельчат упитанных и сколько худых? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.


№ задания Правильный ответ 1. 𝐶 2. 𝐴 3. 𝐸 4. 𝐶 5. 𝐵 6. 𝐶 7. 𝐶 8. Либо их по 29, либо 28

упитанных и 30 худых.

11 класс

1) Учитель написал на доске последовательность чисел 𝑎c, 𝑎g,…, 𝑎z. Хулиган Вова стёр все члены, кроме 𝑎i = 6 и 𝑎e = 15. Чему равен 𝑎z, если каждый член последовательности, начиная с 𝑎f, равен сумме двух предыдущих?

A) 9 B) 16 C) 21 D) 22 E) 24

2) Ковер толщиной 1 см Маша свернула в рулон так, что получился цилиндр диаметра 1 метр. Чему приближенно равна длина ковра?

A) 20метров B) 50метров C) 75метров

D) 150метров E) 300метров

3) Известно, что из высказываний ниже ровно одно ложное. Какое?

A) Высказывания 𝐵 и 𝐷 оба истинны или оба ложны.

B) Одно из высказываний 𝐶 и 𝐸 истинно, а другое – ложно.

C) Высказывания 𝐷 и 𝐴 оба истинны или оба ложны.

D) Одно из высказываний 𝐸 и 𝐵 истинно, а другое – ложно.

E) Одно из высказываний 𝐴 и 𝐶 истинно, а другое – ложно.

4) Пусть 𝑀 – количество положительных, а 𝑁 – количество отрицательных корней уравнения 𝑥g + 𝑏𝑥 + 𝑐 = c

}. Тогда не может быть, что

A) 𝑀 = 3 B) 𝑀 = 1, 𝑁 = 2 C) 𝑀 = 2, 𝑁 = 1

D) 𝑀 = 1, 𝑁 = 0 E) 𝑀 = 1, 𝑁 = 1

5) На рисунке изображена пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной 1. Высота пирамиды равна 2. Какое из утверждений будет являться верным для угла 𝐴?

A) 2 5 sin �g= 1 B) 5 sin 𝐴 = 1 C) 3 cos �

g=

1

D) tg 𝐴 = 2 E) sing 𝐴 = ce

6) Укажите количество пар действительных чисел (𝑥, 𝑦), удовлетворяющих

системе уравнений: 𝑥 𝑥 + 1 2𝑥g − 3𝑦g = 12,2𝑥 + 4𝑥g − 3𝑦g = 14.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

7) Петя нарисовал на клетчатой бумаге квадрат и разделил его на 16 равных квадратов. Сколькими способами он может раскрасить их в красный, синий, зелёный цвета так, чтобы в каждом вертикальном и горизонтальном рядах встречались все цвета?

A) 72 B) 144 C) 288 D) 576 E) другойответ

8) Вася написал у себя в тетради несколько натуральных чисел. Для каждых двух чисел в этой тетради Петя написал их сумму (сумма записывалась даже, если уже было равное ей число). После этого оказалось, что сумма всех записанных в тетради чисел равна 289. Сколько чисел записал Вася первоначально?



1. 𝐸 2. 𝐶 3. 𝐸 4. 𝐶 5. 𝐴 6. 𝐶 7. 𝐷 8. 17

II вариант

5 класс

1) Маша пишет карандашами у себя в тетради фразу «ОЛИМПИАДА БЕЛЬЧОНОК», причем одинаковые буквы девочка пишет одним цветом, а разные буквы – разными цветами. Сколько карандашей ей понадобится?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

2) Сейчас Большому Бельчонку 10 лет, а Маленький Бельчонок в 5 раз моложе его. Через сколько лет Маленькому Бельчонку будет 10 лет?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

3) К числу 2014 прибавили 5, затем, получившееся число умножили само на себя 2014 раз. Чему будет равна последняя цифра произведения?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

4) Сколько треугольников изображено на рисунке?

A) 8 B) 9 C) 14

D) 15 E) 16

5) На уроке физической культуры перед забегом на 100 метров Ваня, Дима и Никита дали свои прогнозы.

Ваня: «Я прибегу первым, а Никита – предпоследним».

Дима: «Я прибегу первым, а Никита – предпоследним».

Никита: «Я прибегу первым, а Ваня – последним».

Из всех прогнозов сбылись только три. В каком порядке прибежали мальчики, если в забеге принимали участие только они?

A) Ваня, Дима, Никита B) Ваня, Никита, Дима C) Дима, Ваня, Никита

D) Дима, Никита, Ваня E) Никита, Ваня, Дима

6) Все звездочки в записи ∗∗ 9 ∗∶∗∗∗=∗ 8 заменили различными цифрами от 1 до 7 так, что равенство стало верным. Чему равна сумма цифр в частном?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

7) Сколько всего существует различных четырёхзначных чисел, у которых произведение цифр равно 0, а сумма – 4?

A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 19

8) Зимой из Иваново в Петрово на лыжах вышли два студента СФУ – Ваня и Петя. Петя дошёл до Петрово за 30 минут, развернулся и через 5 минут на обратном пути встретил отставшего Ваню. Сколько минут после этого Петя должен идти по направлению к Иваново, чтобы, развернувшись обратно, он пришёл в Петрово одновременно с Ваней?



1. 𝐶 2. 𝐸 3. 𝐸 4. 𝐸 5. 𝐵 6. 𝐶 7. 𝐸 8. 1 минуту

6 класс

1) Какой самый маленький результат можно получить, расставляя скобки в выражении 2014: 19 + 2014: 53 + 2014 ∙ 0?

A) 2014 B) 53 C) 68 D) 26,5 E) 0

2) Грибник Коля заметил, что в лесу под каждым деревом растёт 2 лисички, а на каждом пеньке – 12 опят. Сколько деревьев надо обойти Васе, чтобы собрать столько же лисичек, сколько опят растёт на 6 пеньках?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 36 E) 72

3) Маша выписывает все пары двузначных чисел, затем для каждой пары находит разность большего и меньшего. Сколько пар будут иметь разность 50?

A) 30 B) 39 C) 40 D) 49 E) 50

4) Какое наименьшее число фигурок, изображенных на рисунке, необходимо, чтобы составить квадрат?

A) 8 B) 10 C) 12

D) 16 E) 20

5) В Странном городе живут честные люди, которые никогда не обманывают и лгуны, которые всегда говорят неправду. Однажды в автобусе ехало несколько человек. Первый пассажир сказал: «Сейчас остановка 𝑋, а следующая остановка 𝑌». Второй пассажир произнёс: «Сейчас остановка 𝑌, а предыдущая остановка была 𝑍». Третий пассажир вступил в спор: «Предыдущая остановка была 𝑍, а сейчас остановка 𝑋!». Сколько среди этих трёх пассажиров честных?


6) Петя вписывает числа 1, 2, 3, 4 в маленькие треугольники фигуры, которая изображена на рисунке, по следующему правилу: в любой полоске, состоящей из 4 маленьких

треугольников, встречаются все числа 1, 2, 3, 4. Какое число может быть на месте ∗?


7) Сколько всего существует различных трёхзначных чисел, у которых произведение цифр не больше, чем 10, а сумма цифр не меньше, чем 10?

A) 96 B) 80 C) 16 D) 10 E) 6

8) Вася записал у себя в тетрадке трёхзначное число. Его одноклассник Петя заметил, что у этого числа с любым из чисел 543,142, 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число было записано в тетради?



1. 𝐸 2. 𝐷 3. 𝐶 4. 𝐸 5. 𝐴 6. 𝐵 7. 𝐴 8. 163

7 класс

1) Чему равно значение 0 ∗ 1 ∗ 0 ∗ 1, если 𝑎 ∗ 𝑏 = ��c

?

A) −1 B) −0,5 C) 0 D) 1 E) 1,5

2) Маша составила из четырёх равных прямоугольников, имеющих периметр 40 см, квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷, изображенный на рисунке. Чему равна площадь квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷?

A) 80смg B) 100смg C) 200смg

D) 400смg E) 1600смg

3) К концу дня бельчата собрали некоторое количество орехов. Они разделили орехи поровну. Если бы бельчат было на 4 меньше, то каждый из них получил бы на 10 орехов больше, а если бы орехов было на 50 меньше, то каждый из бельчат получил бы на 5 орехов меньше. Сколько орехов собрали бельчата?

A) 80 B) 100 C) 120 D) 150 E) 250

4) Ваня выписал в одну строчку числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и разбил на пары так, что разности большего и меньшего чисел во всех парах одинаковы. Сколькими способами он мог это сделать?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) большетрёх

5) На Странном Острове живут 25 бельчат: честные, которые никогда не обманывают, лгуны, которые всегда говорят неправду, и хитрые, которые поочередно говорят то правду, то ложь. Бельчонок-путешественник задал подряд каждому жителю три вопроса: «Вы честный?», «Вы хитрый», «Вы лгун?». В итоге «Да» на первый вопрос ответили 17 бельчат, на второй – 12 бельчат, на третий – 8 бельчат. Сколько хитрых бельчат живет на Острове?

A) 17 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4

6) Студент Сибирского федерального университета поехал из дома на учебу на велосипеде. Он собрался приехать в университет в 15: 00. За g

f

отведённого времени он проехал fi пути. После этого он изменил скорость и

приехал в университет в 15: 00, как и планировал. Чему равно отношение его первоначальной скорости к скорости, с которой он ехал на последней четверти пути?

A) 5: 4 B) 4: 3 C) 3: 2 D) 2: 1 E) 3: 1

7) Петя отметил на плоскости 10 точек. Оказалось, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Он соединил каждые две точки отрезком и провёл прямую, которая не проходит ни через одну из отмеченных точек. Какое наибольшее количество отрезков пересекла эта прямая?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 45

8) Вася заполнил каждую клетку квадрата 3×3 целыми числами. Оказалось, что сумма чисел в каждой строке (кроме первой) на 1 больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом столбце (кроме первого) в 4 раза больше, чем в предыдущем. В одной из строк сумма чисел равна 2015. Чему равна сумма чисел в первом столбце?



1. 𝐴 2. 𝐷 3. 𝐷 4. 𝐷 5. 𝐵 6. 𝐶 7. 𝐵 8. 288

8 класс

1) Каждую из восьми точек можно переставить на любую клетку таблицы 4×4. Какое наименьшее количество точек необходимо переставить, чтобы в каждой строчке и в каждом столбце этой таблицы оказалось ровно по 2 точки?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2) Вася записал на доске два числа. Петя от каждого из двух чисел отнял половину меньшего из них. После этого Вася заметил, что большая разность в три раза больше меньшей. Во сколько раз исходное меньшее число меньше исходного большего?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3) Преподаватель Сибирского федерального университета вёл лекции с 12: 00 до 18: 00. В 14: 07 он заметил, что число часов делится на число минут. Сколько раз за время того, как он вёл лекции, часы показывали время с таким свойством?

A) 6 B) 12 C) 20 D) 22 E) 23

4) Маша разделила прямоугольный параллелепипед тремя разрезами на 8 маленьких параллелепипедов. Чему равна сумма площадей их поверхностей, если площадь поверхности исходного параллелепипеда равна 1смg?

A) 1смg B) ifсмg C) f

gсмg D) 2смg E)

4смg

5) На Странном Острове живут бельчата: честные, которые никогда не обманывают, лгуны, которые всегда говорят неправду. Однажды в автобусе ехало несколько бельчат. Трое из них сказали следующие фразы. Первый: «В автобусе не более 3 бельчат. Все они лгуны». Второй: «В автобусе не более 4 бельчат. Не все из них лгуны». Третий: «В автобусе ровно 5 бельчат. Ровно 3 из них лгуны». Сколько в автобусе бельчат?


6) Петя выписал на доску все четырехзначные числа, имеющие в своей записи хотя бы три одинаковые цифры. Сколько чисел выписано на доске?

A) 369 B) 315 C) 324 D) 288 E) 333

7) На рисунке изображены два равных треугольника 𝐴𝐵𝐶 и 𝐷𝐸𝐶. Известно, что 𝐷𝐶 = 𝐴𝐶 = 1, 𝐶𝐵 = 𝐶𝐸 = 4, а площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 1. Чему равна площадь заштрихованной фигуры?

A) cg B) c

i C) c

d

D) gd E) g

f

8) Студенты Сибирского федерального университета Антон, Боря, Вася, Гена и Дима устроили турнир в настольный теннис парами так, что каждые двое сыграли с каждой другой парой ровно один раз. Известно, что Боря проиграл ровно 6 раз, а Антон – ровно 12 раз (ничьих в настольном теннисе не бывает). Сколько раз выиграл Гена?



1. 𝐴 2. 𝐵 3. 𝐸 4. 𝐷 5. 𝐵 6. 𝐸 7. 𝐷 8. 8

9 класс

1) На рисунке из спичек выложена фигура, где можно увидеть 13 квадратов. Какое наибольшее число квадратов может добавиться, если положить еще одну спичку?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

2) Петя выписал на доску все двузначные числа сумма цифр суммы цифр которых равна 1. Сколько чисел выписано на доске?

A) 1 B) 2 C) 9 D) 10 E) 20

3) Бельчонок учится точно кидать орехи в дупло. 1 сентября на первом занятии, он попал 40 раз из 100. 25 октября бельчонок после 200 попыток обнаружил, что его меткость повысилась на 80% (доля удачных попаданий). Сколько раз он попал в дупло 25 октября?

A) 120 B) 140 C) 144 D) 160 E) 240

4) Укажите количество пар действительных чисел (𝑥, 𝑦) таких, что 𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦 = }

�.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

5) Девятиклассница Соня любит рисовать у себя в тетради параболы вида 𝑦 = 𝑥g + 𝑏𝑥 + 𝑐. Однажды она нарисовала 5 таких парабол, отметила все точки их пересечения и обозначила за 𝑋 их количество. Какое из утверждений всегда будет являться неверным?

A) 𝑋 = 1 B) 𝑋 = 3 C) 𝑋 = 4 D) 𝑋 = 5 E) 𝑋 = 6

6) 10 клеток квадрата 10×10, нарисованного на листе белой клетчатой бумаги, закрасили красным цветом, а некоторое количество других клеток – зелёным цветом, причём никакие две клетки красного и зелёного цвета не имеют общей стороны. Чему равно наименьшее число клеток, которые могут остаться незакрашенными?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10

7) Дима нарисовал треугольник 𝐴𝐵𝐶 и провел в нём отрезок 𝐴𝐷. На стороне 𝐵𝐶 он выбрал точку 𝐷, а на отрезке 𝐴𝐷 точку 𝐸. Его одноклассник Женя обозначил величины углов цифрами 1, 2, … , 9. Какое наименьшее количество различных чисел может быть среди этих углов?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8) Вася выписал у себя в тетради подряд 2015 чисел, причём каждое число, кроме двух крайних, равно сумме двух соседних с ним чисел. Известно, что сумма 100 первых чисел в этом ряду равна нулю, а сумма первых 200 чисел в этом ряду равна 3. Чему равна сумма всех чисел в этом ряду?



1. 𝐶 2. 𝐷 3. 𝐶 4. 𝐵 5. 𝐵 6. 𝐵 7. 𝐶 8. −1

10 класс

1) Десятиклассница Маша придумала новую алгебраическую операцию 𝑥 ∗𝑦 = 𝑥 + 2𝑦. Чему равно значение выражения 5 ∗ 5 ∗ 3 ∗ 5 ?

A) 41 B) 38 C) 31 D) 28 E) 21

2) В некотором лесу живёт 100 бельчат, некоторые из них – серые, некоторые – рыжие. Известно, что в этом лесу хотя бы один бельчонок – рыжий, и из любых двух бельчат хотя бы один – серый. Сколько рыжих бельчат обитает в лесу?


3) Бельчонок, продававший свой большой орех на рынке, расколол его на 2 части. После этого его общая стоимость упала на 48%. Какую часть всего большого ореха составляет его большая часть, если стоимость ореха пропорциональна квадрату массы?

A) gf B) f

i C) i

d D) f

d

E) iz

4) На рисунке каждая из трёх окружностей касается двух других. Радиус самой большой окружности равен 6 см. Чему равна сумма расстояний между их центрами?

A) 12 B) 9 C) 6

D) 3 E) невозможноопределить

5) Хулиганы стерли координатные оси, где были нарисованы графики функций 𝑦 = 2, 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = 𝑥g +𝑏𝑥 + 𝑐 (см. рисунок). Какое из утверждений может быть верным?

A) 𝑐 = 3 B) 𝑏 = −2 C) 𝑏 + 𝑐 > 1

D)𝑏 + 𝑐 < −2 E) 𝑏g < 4𝑐 − 9

6) Сколько решений имеет ребус-неравенство, в котором разные буквы обозначают разные цифры: С > Ф > У?

A) 60 B) 120 C) 504 D) 720 E) бесконечномного

7) Дима нарисовал равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵 = 1. Он обозначил за 𝑏, ℎ и 𝑚 длины биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины 𝐴, соответственно. Какое из утверждений может быть верным?

A) 𝑏 = 0,6 B) 𝑚 = 0,7 C) ℎ = 1,1

D) 𝑏 = 1,5 E) всеварианты𝐴–𝐷невозможны

8) Вася начертил у себя в тетради квадрат. Петя разбил его на 5 прямоугольников так, как показано на рисунке. Вася заметил, что отношение большей стороны к меньшей у всех прямоугольников равно одному и тому же числу. Чему равно это число?



1. 𝐴 2. 𝐷 3. 𝐷 4. 𝐴 5. 𝐷 6. 𝐵 7. 𝐸 8. 1

2 3 + 3

11 класс

1) Лена складывала длины трёх сторон некоторого прямоугольника и всегда получила либо 22, либо 20. Какой периметр у такого прямоугольника?


2) Введем следующие обозначения: 𝑋 = sing 𝛼 + sing 𝛽, 𝑌 = cosg 𝛼 + cosg 𝛽. Тогда возможен вариант, что

A) 𝑋 = 1, 𝑌 = fg B) 𝑋 = f

i, 𝑌 = d

i C) 𝑋 = f

g, 𝑌 = i

f

D) 𝑋 = 2, 𝑌 = 2 E) никакойизперечисленных

3) В прошлом году на одной из олимпиад для 11 классов, проводимой Сибирским федеральным университетом было предложено 10 задач. По результатам её был сделан вывод: «Не каждый учащийся 11 класса не решил не более 3 задач». Что это может означать?

A) Каждый учащийся 11 класса решил не более 3 задач.

B) Каждый учащийся 11 класса решил менее 7 задач.

C) Кто-то из учащихся 11 класса решил не более 3 задач.

D) Кто-то из учащихся 11 класса решил менее 7 задач.

E) Никто из учащихся 11 класса не решил более 7 задач.

4) График функции 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1 пересекает ось 𝑂𝑥 правее, а ось 𝑂𝑦 – выше, чем график функции 𝑦 = 𝑥 + 𝑏. Какое из неравенств может быть неверным?

A) 𝑎 > 0 B) 𝑎𝑏 > −1 C) 𝑎 < 1

D) 𝑎 + 𝑏 < 0 E) всенеравенства𝐴 − 𝐷обязательноверны

5) Укажите количество пар целых чисел (𝑥, 𝑦), удовлетворяющих системе

уравнений: 𝑥g − 𝑦g = 5,𝑥𝑦 𝑥g + 𝑦g = 78.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

6) Маша хочет выбрать 4 ребра куба так, чтобы никакие два ребра из выбранных не имели общих точек. Сколькими способами она может это сделать?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18

7) Дима нарисовал четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, показанный на рисунке. Какое значение принимает ∠𝐴𝐶𝐷?

A) 30° B) 35° C) 45°

D) 65° E) невозможноопределить

8) Вася написал у себя в тетради четыре различных натуральных числа и попросил своих одноклассников отличника Ваню и двоечника Диму перемножить первые два и последние два. Ваня сделал всё правильно. Дима вместо этого сложил первые два и последние два. Однако ответы у них получились одинаковыми. Какие числа записал Вася у себя в тетради? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.



1. 𝐶 2. 𝐵 3. 𝐷 4. 𝐸 5. 𝐶 6. 𝐶 7. 𝐷 8. 1, 2, 3 и 5

Материалы заданий олимпиады 2014/2015 учебного года

Заключительный этап (в очной форме)

5 класс

Вариант 1

Все задания оцениваются в 7 баллов.

1) Расположите числа от 1 до 12 в квадраты на рисунке справа так, чтобы сумма чисел в каждом кольце была равна 28 (числа повторяться не могут).

2) Пятиклассница Аня выписывает все четырёхзначные числа, произведение цифр которых равно 0, а сумма – равна 4. Хватит ли Ане 18-ти листовой тетради, если она выписывает числа по одному на лист?

3) Разделите фигуру по границам клеток на четыре равные части так, чтобы каждая из них содержала одну звёздочку.

4) У Бельчонка в двух мешках лежат 27 орехов. Если из первого мешка он переложит во второй столько орехов, сколько было во втором, то в первом мешке станет на 3 ореха больше, чем во втором. Сколько орехов было в каждом мешке первоначально?

5) В семье было трое маленьких бельчат: Вася, Ваня и Вова. Некоторые из них всегда говорят правду, а некоторые всегда лгут. На праздник каждый получил некоторое количество орехов. Бельчата принялись их делить.

Вова: «Число моих орехов делится на 3». Вася: «Если бы Ваня отдал мне все свои орехи, то у меня число орехов тоже бы делилось на 3». Ваня: «У меня всего 7 орехов». Вася: «Ты сказал неправду!». Ваня: «Мы с Вовой либо оба говорим правду, либо оба обманываем!». Вова: «Вася, не ругай Ваню, у тебя же орехов на один больше, чем у него!». Кто из Бельчат говорил правду, а кто врал?

∗ ∗ ∗ ∗

Вариант 2

1) Расположите числа от 1 до 11 в квадраты на рисунке справа так, чтобы сумма трёх чисел на каждой прямой была равна 18 (числа повторяться не могут).

2) Пятиклассница Света выписывает все четырёхзначные числа, вычёркиванием одной цифры из которых можно получить число 342. Хватит ли Свете 18-ти листовой тетради, если она выписывает числа по одному на лист?

3) Разделите фигуру по границам клеток на четыре равные части так, чтобы каждая из них содержала три звёздочки.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

4) Бабушка испекла для своего любимого внука Пети пирожки с капустой, с мясом и с грибами. Оказалось, что пирожков с капустой ровно половина от общего числа всех пирожков, а пирожков с мясом на 14 меньше, чем пирожков с капустой. Пирожков с грибами в два раза меньше, чем пирожков с капустой и мясом. Сколько пирожков каждого вида испекла бабушка?

5) В соревнованиях по сбору орехов приняли участие пять бельчат: Вася, Коля, Лена, Надя и Толя. После окончания соревнования они сделали следующие заявления:

1 заявление: «Вася занял первое место, а Коля – четвёртое». 2 заявление: «Лена заняла второе место, а Коля – четвёртое». 3 заявление: «Лена заняла второе место, а Вася – третье». 4 заявление: «Надя заняла первое место, а Толя – второе». 5 заявление: «Толя занял третье место, а Надя – пятое».

Известно, что одна из частей заявления каждого бельчонка верна, а другая – неверна. Определите правильное распределение мест.

6 класс

Вариант 1

1) Мишень для стрельбы из лука изображена на рисунке. Какое минимальное количество выстрелов нужно сделать, чтобы выбить ровно 55 очков?

2) Вася утверждает, что существует ровно два четырехзначных числа, у которых сумма первых трех цифр равна 3, сумма последних трех цифр равна 6, а сумма первой и последней цифр делится на 7. Прав ли Вася?

3) Маше нужно вырезать из квадратной бумажной салфетки со стороной 𝑘 квадраты со сторонами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. При каком наименьшем целом 𝑘 она сможет это сделать?

4) Максим и Саша выписывают шестизначное число, выставляя по очереди по одной цифре, начиная со старшего разряда. Если получившееся число разделится нацело на 7, то выигрывает сделавший последний ход, иначе – начинающий. Кто выиграет при правильной игре – Максим, начинающий игру, или Саша?

5) У запасливого Бельчонка есть 8 банок варенья весом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 кг (на каждой банке написан её вес), причем в одну из банок Бельчонку подложили орех весом 1 кг. За какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти банку с орехом?

124816

Вариант 2

1) На выборах главного Бельчонка леса участвовали 83 бельчонка, каждый из которых голосовал ровно за одного из 4 кандидатов. Главным стал тот, за кого было отдано больше всего голосов. Какое наименьшее количество голосов мог набрать новый главный Бельчонок?

2) Существует ли два таких натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 110, а наименьшее общее кратное равно 2015?

3) На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 9×9 клеток. Разрежьте его по линиям клеток таким образом, чтобы среди полученных 5 частей 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 наибольшую площадь имела часть 𝐴, а наибольший периметр часть 𝐵.

4) На столе лежат 5 карточек, на каждой написано по цифре:

0 1 2 3 5Андрей и Вадим по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 7. Кто выиграет при правильной игре – Андрей, начинающий игру, или Вадим?

5) Запасливый Бельчонок разложил свои орехи по девяти мешкам: в первый мешок – 1 кг, во второй – 2 кг, в третий – 3 кг, …, в девятый – 9 кг. Завистливый товарищ украл часть орехов из одного мешка. За какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, из какого мешка именно?

A

B

C

D

E

7 класс

Вариант 1

1) В некотором лесу живут только семьи бельчат с маленькими бельчатами (семей без детей нет). Известно, что у каждого бельчонка-мальчика есть сестра, и что бельчат-мальчиков больше, чем бельчат-девочек. Кого больше в этом лесу: бельчат-детей или взрослых бельчат?

2) Существуют ли три правильные попарно различные положительные дроби ��, ��, }�, которые удовлетворяют следующим условиям: �

�+ �

�> }

� и �

�+ �

�> �

}?

3) Cемь гномов, семь козлят и Белоснежка собирали грибы. Каждый из них нашёл от 1 до 15 грибов, причём все нашли разное количество грибов. Общее число грибов, собранных гномами, на 56 больше числа грибов, найденных козлятами. Сколько грибов нашла Белоснежка?

4) Дан прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 c прямым углом 𝐶. На продолжении стороны 𝐴𝐵 за точку 𝐴 отмечена точка 𝑃, а за точку 𝐵 отмечена точка 𝑄 так, что 𝐴𝑃 = 𝐴𝐶 и 𝐵𝑄 = 𝐵𝐶. Чему равна градусная мера угла 𝑃𝐶𝑄?

5) Квадратная таблица 9×9 разбита на 81 квадратик, 8 из которых окрашены в черный цвет, а остальные – в белый. Из квадрата вырезают прямоугольник, состоящий только из белых клеток. Какую наибольшую площадь может гарантированно иметь этот прямоугольник? Вырезать разрешается только вдоль линий, которые разделяют квадрат на единичные квадратики.

7 класс

Вариант 2

1) В лесу среди бельчат провели опрос: «Что Вы предпочитаете кедровые орехи или семечки?» 37,5% опрошенных ответили «кедровые орехи», 56,25% ответили «семечки», а 9 бельчат не ответили ничего. Сколько бельчат было опрошено?

2) Числители и знаменатели девяти дробей выбираются из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, что каждое число используется ровно один раз в качестве числителя и ровно один раз в качестве знаменателя. Можно ли между этими дробями расставить знаки « + » и « − »так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

3) Среди попарных произведений 20 чисел ровно 34 отрицательных. Сколько среди данных 20 чисел нолей?

4) Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶. На боковых сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀 и 𝑁 соответственно так, что 𝐵𝑀 = 𝐵𝑁. Отрезки 𝐴𝑁 и 𝐶𝑀 пересекаются в точке 𝑃. Чему равна градусная мера угла 𝐴𝑃𝐶, если ∠𝑁𝐴𝐶 =25°?

5) Шахматная фигура «Бельчонок» ходит в соседнюю по стороне клетку и меняет её цвет на противоположный. Какое наименьшее число ходов необходимо «Бельчонку», стоящему на клетке, отмеченной звездочкой, чтобы перекрасить доску 4×4 в белый цвет?

∗

8 класс

Вариант 1

1) Найдите наибольшее четырехзначное число, которое делится нацело на 9 и цифры идут слева направо в порядке возрастания.

2) Вася утверждает, что он придумал пример на деление, в котором последние цифры делимого, делителя, неполного частного и остатка равны соответственно 1, 3, 5 и 7. Прав ли Вася?

3) Мальчик рассчитал, что успеет за перерыв сходить в столовую и обратно, если будет идти с постоянной скоростью 6 км/час. Однако в столовую он шёл со скоростью лишь 4 км/час. С какой скоростью ему надо бежать назад, чтобы средняя скорость была 6 км/час?

4) В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 120°, угол 𝐴 равен 20°, а разность между длинами сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 равна 1. Найдите длину биссектрисы угла𝐶.

5) Вася разрезает квадрат 9×9 на полоски единичной ширины и произвольной целой длины. После этого Петя называет натуральное число 𝑛 ∈ 1, 2, … ,9 и из всех полосок длины 𝑛 составляет прямоугольник. Какую наибольшую площадь этого прямоугольника может гарантировано получить Петя?

8 класс

Вариант 2

1) Чему равна сумма двух натуральных чисел 𝑛 и 𝑚, каждое из которых не кратно 10, если известно, что 𝑛 ∙ 𝑚 = 1000?

2) Вася утверждает, что может разбить числа 1, 2, … , 2015 на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была кратна 3. Прав ли Вася?

3) В прошлом году на олимпиаде «Бельчонок» в Сибирском федеральном университете были прочитаны три научно-популярные лекции по математике. Оказалось, что на каждой лекции присутствовало по 100 человек, причем 90 учащихся пришло только на одну лекцию, а 60 учащихся – ровно на две. Сколько учащихся пришло на все 3 лекции?

4) В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высота 𝐵𝐻 и медиана 𝐴𝑀. Известно, что ∠𝑀𝐶𝐴 = 2∠𝑀𝐴𝐶, а 𝐵𝐶 = 10 см. Найдите длину отрезка 𝐴𝐻.

5) В красной коробке лежит 12 орехов, а в белой – 13. Двое бельчат по очереди делают ходы. За один ход разрешается либо переложить 1 орех из красной коробки в белую, либо взять из любой коробки 2 ореха и съесть их. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередного хода. Докажите, что как бы не играли оба бельчонка, всегда проигрывает начинающий.

9 класс

Вариант 1

1) На доске написано 5 уравнений:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0, 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0, 𝑒𝑥 + 𝑎 = 0.

Вася похвастался, что может заменить буквы 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 числами так, что три из этих пяти уравнений не будут иметь решений. Докажите, что Вася не прав.

2) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые всегда лгут. Каждому жителю острова был задан вопрос про каждого из остальных, рыцарь тот или лжец. Ответ «Рыцарь» дали 26 человек, ответ «Лжец» – 30. Сколько рыцарей могло быть на острове?

3) Правильный треугольник со стороной 7 разделен на 49 маленьких правильных единичных треугольничков так, как показано на рисунке. Какое наибольшее количество параллелограммов можно вырезать вдоль линий сетки, одна сторона которых равна 1, а другая 2?

4) В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 – середина стороны 𝐵𝐶. На стороне 𝐴𝐵 отметили точку 𝑁 так, что 𝑁𝐵 = 2𝐴𝑁. Оказалось, что ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐶𝑀𝑁. Чему равно отношение �¨

©¨?

5) На доске написаны два целых числа. Если написаны числа 𝑎, 𝑏, то разрешается дописывать на доску число 𝑎f − 30𝑏. Может ли оказаться так, что на доске в некоторый момент появятся все целые числа от 2015 до 2020?

9 класс

Вариант 2

1) Вася утверждает, что может вписать числа от 1 до 10 (каждое по одному разу) вместо букв 𝑘,𝑚 в формулу линейной функции 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 так, что получится 5 функций, графики которых пересекаются в одной и той же точке. Прав ли Вася?

2) 2015 человек выстроились в ряд. Каждый из них – правдивый или лжец (правдивые всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый, кроме двух крайних, заявил: «И в группе слева от меня и в группе справа есть правдивый» (группа может состоять и из одного человека). Сколько лжецов могло быть в ряду?

3) Какое наибольшее количество уголков из трех клеток можно разместить внутри клетчатого квадрата 7×7 так, чтобы они попарно не касались сторонами? (Касание углами допускается.)

4) В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐻 – точка пересечения высот 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸, а 𝐷𝐸 =4 см. Около треугольника 𝐴𝐵𝐻 описана окружность, которая пересекает стороны 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Найдите длину 𝐾𝐿.

5) Действительное число 𝑎 увеличили или уменьшили на 𝑛%, где 𝑛 – фиксированное натуральное число (𝑛 < 100), результат опять либо увеличили, либо уменьшили на 𝑛%, и повторяли это несколько раз. Существует ли 𝑛, для которого в некоторый момент результат станет равным исходному числу 𝑎?

10 класс

Вариант 1

1) В каждой из тарелок находится произвольное (не равное нулю) число орехов. Разрешается одновременно убирать из тарелок одинаковое число орехов или увеличивать вдвое число орехов в одной из тарелок. Вася утверждает, что с помощью этих операций он может убрать из тарелок все орехи. Прав ли Вася?

2) Сколькими способами можно раскрасить все 13 частей фигуры, представленной на рисунке, в три цвета так, чтобы никакие две одинаково окрашенные части не имели общей границы? Две раскраски считаются различными, если хотя бы одна из 13 частей окрашена по-разному.

3) Пусть 𝑝, 𝑞 – целые числа и 𝑥c, 𝑥g – решения квадратного уравнения 𝑥g + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0. Возможно ли, что 𝑥c − 𝑥g =2015?

4) В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 на стороне 𝐴𝐶 отмечена точка 𝐷 так, что 2𝐴𝐷 = 𝐷𝐶. Из точки 𝐷 опускается перпендикуляр 𝐷𝐸 на отрезок 𝐵𝐶. Отрезки 𝐵𝐷 и 𝐴𝐸 пересекаются в точке 𝐹. Оказалось, что треугольник 𝐵𝐸𝐹 равносторонний. Найдите градусную меру ∠𝐴𝐷𝐵.

5) Начиная с точки 1; 1 камень двигается по координатной плоскости по следующим правилам:

• из любой точки 𝑎, 𝑏 камень можно передвинуть в точку 2𝑎, 𝑏 , либо точку 𝑎, 2𝑏 ;

• из любой точки 𝑎, 𝑏 камень можно передвинуть в точку 𝑎 − 𝑏, 𝑏 , если 𝑎 > 𝑏, и в точку 𝑎, 𝑏 − 𝑎 , если 𝑏 > 𝑎.

Можно ли из точки 1; 1 передвинуть камень в точки а) 2014; 2015 ; б) 2015; 2015 ?

12

3

4

567

8

9

10

1112

13

10 класс

Вариант 2

1) В 100 ящиках лежат 2015 карандашей, причем известно, что в первом ящике 10 карандашей, во втором 35 карандашей. Разрешается взять из любого ящика ровно 7 карандашей или ровно 15 карандашей (если, конечно, это возможно) и переложить их в любой другой ящик. Можно ли с помощью таких операций собрать все карандаши в одном ящике?

2) Сколькими способами можно отрезок длины 25 разделить на три части, из которых можно сложить равнобедренный треугольник, длины сторон которого – натуральные числа?

3) Все коэффициенты квадратного трехчлена нечетные целые числа. Возможно ли, что число c

gqcd является его корнем?

4) В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 высоты 𝐴𝐾 и 𝐵𝐿 пересекаются в точке 𝐻. Около треугольника 𝐴𝐵𝐻 описана окружность, которая пересекает отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁, отличных от концов. Докажите, что 𝑀𝑁 =2𝐾𝐿.

5) В одной необычной стране билет на автобус стоит 1 рубль. В одном из автобусов оказались 20 бельчат, имеющие только монеты в 2 и 5 рублей, и кондуктор, у которого вообще не было денег. Однако в итоге все бельчата заплатили за проезд и получили сдачу. Какое наименьшее количество денег могло быть у бельчат?

11 класс

Вариант 1

1) Гарри Поттер принёс в банк алмазы, не более 30 штук, и обменял их в банке по 150 сиклей за каждый алмаз. Он оставил себе не меньше 5 и не больше 8 сиклей, а на оставшиеся купил подарки своим друзьям по цене 51 сикль за подарок. Сколько подарков купил Гарри?

2) В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 cos 𝐴 + sin 𝐵 = 2, а sin 𝐴 + cos𝐵 = 2. Найдите градусную меру ∠𝐶.

3) Около пятиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 описана окружность. Пусть 𝐾 – точка пересечения отрезков 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷, а 𝑁 – точка касания отрезка 𝐶𝐸 и описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐾 окружности. Найдите градусную меру ∠𝐶𝑁𝐾, если ∠𝐸𝐶𝐷 = 40°.

4) Последовательность чисел 𝑎c, 𝑎g, …, 𝑎gqcd удовлетворяет следующим условиям: 𝑎c =

cg и 𝑎c + 𝑎g + ⋯+ 𝑎± = 𝑛g𝑎±, для всех 1 ≤ 𝑛 ≤ 2015.

Найдите 𝑎gqcd.

5) 30 бельчат-девочек и несколько бельчат-мальчиков собрались на опушке леса. Каждый бельчонок-мальчик знаком ровно с тремя бельчатами-девочками, а каждая бельчонок-девочка знакома с тремя другими бельчатами-девочками. Более того для любых двух знакомых друг с другом бельчат-девочек есть хотя бы один бельчонок-мальчик, который знаком с ними обеими. Какое наименьшее количество бельчат-мальчиков могло быть на опушке?

11 класс

Вариант 2

1) В одном из лесов проходила следующая акция: «Купи билет в Сказочный лес, приведи четырех друзей-бельчат, которые также купят билет и получи обратно стоимость билета». Оказалось, что за всё время действия акции всех покупателей, кроме 13 бельчат, которые пришли сами, привели друзья. Некоторые из бельчат привели по 4 новых бельчонка, а остальные 100 не привели никого. Сколько бельчат отправились в Сказочный лес бесплатно?

2) Для некоторых углов 𝛼 и 𝛽 выполнены неравенства sin 𝛼 > cos 𝛽 > 0 и cos 𝛼 > sin 𝛽. Докажите, что sin 𝛽 < 0.

3) Окружность, проведенная через вершины 𝐴 и 𝐵 остроугольного треугольника, пересекает сторону 𝐴𝐶 в точке 𝐾, а сторону 𝐵𝐶 – в точке 𝐿, и проходит через центр описанной окружности треугольника 𝐾𝐶𝐿. Известно, что 𝑀 – точка пересечения отрезков 𝐴𝐿 и 𝐵𝐾, а ∠𝐴𝐶𝐵 = 2∠𝐴𝑀𝐾. Найдите градусную меру ∠𝐴𝐶𝐵.

4) Последовательность чисел 𝑎c, 𝑎g, …, 𝑎gqcd удовлетворяет условиям 𝑎c =cg

и 𝑎±�c = 𝑎± − 𝑎±g , для всех 1 ≤ 𝑛 ≤ 2015. Верно ли, что 𝑎gqci <c

gqcd?

5) 55 бельчат познакомились между собой. Каждому из них понравилось не менее 46 бельчат. Докажите, что найдутся трое бельчат, каждому из которых понравились двое других.

Решения задач заключительного этапа 2014/2015 года

5 класс

Вариант 1

1) См. рисунок.

2) Ясно, что хотя бы одна из цифр равна нулю (отсюда следует, что хоть одна цифра больше 1). Если самая большая цифра равна 4, то остальные три – нули, и получается всего одно число: 4000. Если наибольшая цифра –3, то среди остальных – два нуля и одна единица. Таких чисел 6: 3100, 3010, 3001, 1300, 1030, 1003. если же наибольшая цифра – 2, то остальные цифры – это либо еще одна двойка и два нуля, либо две единицы и один ноль: 2200, 2020, 2002, 2110, 2101, 2011, 1210, 1120, 1201, 1102, 1021, 1012. Всего получается 1 + 6 + 12 = 19 чисел и Ане не хватит 18-ти листовой тетради.

Ответ: Ане не хватит 18-ти листовой тетради.


4) Первый способ. После перекладывания во втором мешке стало на 3 ореха меньше, чем в первом, а всего орехов 27. Значит, во втором мешке (27 −3): 2 = 12 орехов. До перекладывания их было вдвое меньше, то есть 12: 2 =6 орехов. А в первом все остальные, то есть 27 − 6 = 21 орех.

Второй способ. Пусть 𝑥 орехов было во втором мешке, тогда в первом мешке было (21 − 𝑥) орехов. После перекладывания во втором мешке стало 2𝑥 орехов, а в первом мешке стаю (27 − 2𝑥) орехов. Так как в первом стало на 3 ореха больше, чем во втором, то составим уравнение: 27 − 2𝑥 = 2𝑥 + 3. Его

∗ ∗ ∗ ∗

решение: 𝑥 = 6. Таким образом, во втором мешке было 6 орехов, а в первом – 21 орех.

Ответ: во втором мешке – 6 орехов, в первом – 21.

5) Ваня мог сказать правду, либо соврать. Если Ваня прав, то у него всего 7 орехов и Вова также говорит правду, а Вася лжет. Отсюда получаем, что у Васи орехов на один больше, чем у Вани, то есть 8, но тогда если Ваня отдаст Васе свои орехи, то у Васи станет 8 + 7 = 15 орехов, а 15 делится на 3 и Вася прав в своей первой фразе. Противоречие.

Итак, Ваня не прав и у него не 7 орехов. Отсюда следует, что Вова прав, число его орехов делится на 3 и у Васи на один орех больше, чем у Вани. Тогда Вася также прав и если бы Ваня отдал ему свои орехи, то у него число орехов делилось бы на 3.

Следовательно, Вова и Вася сказали правду, а Ваня врал.

Ответ: Вова и Вася сказали правду, а Ваня врал.

5 класс

Вариант 2


2) Число 342 можно получить после вычеркивания из четырехзначного числа:

• первой цифры. Есть 9 четырехзначных чисел вида ∗ 342;

• второй цифры. Имеется 10 четырехзначных чисел вида 3 ∗ 42;

• третьей цифры. Есть 10 четырехзначных чисел вида 34 ∗ 2;

• последней цифры. Имеется 10 четырехзначных чисел вида 342 ∗.

Учтем, что число 3342 входит и в первую, и во вторую группы, число 3442 входит и во вторую, и в третью группы, число 3422 входит и в третью и в четвертую группы чисел. Поэтому их нужно учесть только один раз.

Значит искомых чисел ровно 9 + 10 + 10 + 10 − 1 − 1 − 1 = 36 и Свете точно не хватит 18-ти листовой тетради.

Ответ: Свете не хватит 18-ти листовой тетради.


∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

4) Первый способ. Так как пирожков с капустой половина от общего количества, то пирожков с мясом и грибами вместе столько же, сколько пирожков с капустой (см. рисунок). При этом, пирожков с мясом на 14 меньше, чем пирожков с капустой, следовательно, эти 14 пирожков – с грибами. Тогда пирожков с капустой и мясом: 14 ∙ 2 = 28, значит, всего испечено 28 + 14 = 42 пирожка. Таким образом, пирожков с капустой 42: 2 = 21, с мясом –7, а с грибами – 14.

Второй способ. Пусть испечено 𝑥 пирожков с капустой. Тогда всего испечено 2𝑥 пирожков, из них с мясом – (𝑥 − 14) пирожков, следовательно, с грибами: 2𝑥 − 𝑥 − (𝑥 − 14) = 14 пирожков. Зная, что пирожков с грибами в 2 раза меньше, чем пирожков с капустой и мясом вместе, составим уравнение: 𝑥 + 𝑥 − 14 = 2 ∙ 14, откуда 𝑥 = 21. Значит, с капустой – 21 пирожок, тогда с мясом: 21 − 14 = 7 пирожков.

Ответ: 21 пирожок с капустой, 7 пирожков с мясом и 14 пирожков с грибами.

5) Первый бельчонок мог сказать правду либо в первой части высказывания, либо во второй. Если в первой, то Вася занял первое место, а Коля – не

четвёртое. Тогда второй бельчонок верно указал, что Лена занял второе место. Но тогда четвёртый бельчонок ошибся оба раза, чего не может быть.

Итак, Коля занял четвёртое место. Из показания второго бельчонка заключаем, что Лена не могла занять второе место, а из слов третьего – что Вася занял третье место. Обратим внимание на пятого бельчонка – Толя не мог занять третье место, поэтому Надя – на пятом месте. А теперь на четвёртого – он ошибся в отношении Нади, зато верно указал, что Толя занял второе место. Остались Лена и первое место – его она и заняла.

Ответ: Первое место заняла Лена, второе – Толя, третье – Вася, четвёртое – Коля, пятое – Надя.

6 класс

Вариант 1

1) Понятно, что для минимального количества выстрелов надо, чтобы все попадание кроме 16 были не более одного раза. Иначе, вместо таких двух попаданий, например, в 4, достаточно одного попадания в 8. Выбираем максимально возможное количество попаданий в 16, а дальше в каждую меньшую не более одного попадания: 55 = 16 + 16 + 16 + 4 + 2 + 1. Достаточно 6 выстрелов.

Ответ: 6 выстрелов.

2) Из того, что сумма первых трех цифр равна 3, а сумма последних трех цифр равна 6, следует, что разность между последней цифрой и первой цифрой равна 3. Обозначим первую цифру через 𝑥 (в силу того, что сумма первых трех цифр равна 3, 𝑥 < 4), тогда последняя цифра будет 𝑥 + 3, сумма первой и последней цифр равна 2𝑥 + 3, т.е. является нечетным числом. Так как это число по условию делится на 7, и, очевидно, 0 < 2𝑥 + 3 < 8 + 3 =11. Таким образом, 2𝑥 + 3 = 7 ⇔ 𝑥 = 2. Значит, искомых чисел два: 2015 и 2105.

Ответ: Вася прав.

3) Если вырезать квадрат со стороной 7 из квадрата, сторона 𝑘 которого меньше 13, ширина любой из оставшихся полосок будет не больше 𝑘 − 7 < 6. Поэтому 𝑘 ≥ 13. Вырезать можно, например, так, как показано на рисунке.

Ответ: 13.

4) Из 10 чисел с последней цифрой 0, 1, … , 9 всегда найдется делящееся на 7, поэтому всегда выигрывает Саша.

Ответ: выиграет Саша.

5) Первым взвешиванием Бельчонок может проверить равенство 3 + 4 + 8 =7 + 6 + 2, поставив на чаши соответствующие банки. Если весы показывают равенство, орех содержится в одной из двух оставшихся банок. Тогда поставим на одну чашу весов банки по 1 кг и 4 кг, а на другую чашу – банку 5 кг. Если перевесила банка в 5 кг, то орех в нем; если банки по 1 и 4 кг – орех в килограммовой банке; равновесие невозможно, поскольку из-за ореха вес одной из банок мы учитываем неверно. Если в первом взвешивании перевесила левая чаша, орех содержится в одной из банок весом 3, 4 или 8 кг. Тогда вторым взвешиванием мы проверим равенство 3 + 5 = 8: в случае равновесия орех находится в четырехкилограммовой банке; если перевесила правая чаша – орех в банке весом 8 кг; если левая – в банке весом 3 кг. Наконец, если в первом взвешивании перевесила правая чаша, орех содержится в одной из банок весом 2, 6, 7 кг. Вторым взвешиванием мы можем проверить равенство 2 + 5 = 7: в случае равновесия орех находится банке весом 6 кг; если перевесила правая чаша – орех в банке весом 7 кг; если левая – в банке весом 2 кг.

Ответ: за 2 взвешивания.

6 класс

Вариант 2

1) Очевидно, что победитель должен был набрать не менее четверти от всех голосов. Поскольку c

i∙ 83 = 20,75, то победитель должен был набрать не

менее 21 голоса.

Если победитель набрал 21 голос, то ни один из других трех кандидатов при условии не мог получить более 20 голосов, а потому в сумме кандидаты набрали бы не больше 21 + 3 ∙ 20 = 81 < 83 голосов, чего быть не может.

А если бы победитель набрал 22 голоса, а другие кандидаты, например, 21, 20 и 20 голосов, то в сумме все кандидаты набрали бы 83 голоса, то есть условие задачи выполнялась бы. Итак, победитель мог набрать 22 голоса или более.

Ответ: 22.

2) Первый способ. Действительно, если бы такие числа существовали, то оба они делились бы на 110, следовательно, и на 11. С другой стороны, их НОК также должен делиться на 11, но 2015 на 11 не делится.

Второй способ. Очевидно, что НОК(𝑎, 𝑏) ⋮ НОД(𝑎, 𝑏), но 2015 не делится на 110.

Ответ: нет.

3) Пример показан на рисунке.

4) Обозначим игроков A (Андрей, начинающий) и B (Вадим). Приведем стратегию, позволяющую A гарантированно выиграть. Пусть он возьмет первым ходом цифру 1; тогда B вынужден брать 2 (иначе A вторым ходом ее возьмет и выиграет, составив число 21). При этом вторым своим ходом B не сможет выиграть, так как двузначные числа, содержащие 2 в своей записи и делящиеся на 7, — это 21, 28 и 42, но цифра 1 уже взята, а цифр 4 и 8 на карточках нет.. Далее A возьмет 0, после этого останутся цифры 3 и 5. Какую бы карточку B ни взял, он не сможет выиграть, A же следующим ходом возьмет оставшуюся цифру. Если это 5, то он составит число 105, если это 3, то составит число 301. Существуют и другие выигрышные стратегии для A.

Ответ: Андрей.

5) Первый способ. I взвешивание. Разделим мешки на группы по три мешка в каждой так, чтобы суммарные массы мешков в каких-то двух группах были равны. Например, 1 + 3 + 7, 2 + 4 + 5и 6 + 8 + 9. Взвесим две группы мешков, в которых масса должна быть одинаковой. Если весы покажут равенство, то кража была произведена из мешка третьей группы; если какая-

то из взвешиваемых групп перевесит, то кража – из другой взвешиваемой группы.

II взвешивание. Рассмотрим найденную группу из трёх мешков, из которой была совершена кража. Кладем на весы по одному мешку из этой группы и на одну из чаш добавляем мешок из другой группы (из которой кража не совершалась) с известной массой с тем, чтобы уравновесить весы (то есть этот мешок играет роль гири).

Например, для первой группы на весы можно положить мешки 1 + (2)и3; для второй – 2 + (3)и5; для третьей – 6 + (2) и 8 (в скобках указаны «мешки-гири»). Если весы уравновесились, то кража совершена из оставшегося мешка, а если нет, то из лежащего на более легкой чаше.

Второй способ. Расположим массы мешков в виде таблицы. Разделим мешки на три группы по три мешка так, чтобы в каждую группу вошло по одному мешку из каждой строки и по одному мешку из каждого столбца. При этом суммарная масса мешков в каждой тройке будет равна 15.

Для решения задачи достаточно рассмотреть любой из двух примеров такого разбиения. Выберем один из них: 1 + 5 + 9, 2 + 6 + 7и3 + 4 + 8(вариант: 1 + 6 + 8, 2 + 4 + 9 и 3 + 5 + 7 рассматривается аналогично).

I взвешивание. Взвесим две тройки мешков. Если какая-то из них перевесит, то кража была произведена из другой взвешиваемой тройки. Если же весы покажут равенство, то орех похищен из мешка третьей тройки.

II взвешивание. Рассмотрим найденную группу из трёх мешков, из которой была совершена кража. На две чаши весов кладем по мешку из этой тройки: на одну – из первой строки таблицы, на другую – из второй. К первому мешку добавляем тот, что находится в таблице в клетке под вторым, а ко второму добавляем тот, что находится в таблице в клетке под первым. Например, если ограблена тройка 2 + 6 + 7, то на одну чашу весов кладем 2 + 9, а на другую – 6 + 5. Заметим, что добавленные мешки не ограблены (два мешка из одного столбца не могут одновременно находиться в «подозрительной» тройке). Без воровства весы находились бы в равновесии (так как один из мешков, лежащих на одной чаше весов, на три килограмма легче своего «партнера» на другой чаше, зато другой – на 3 кг тяжелее). Поэтому если весы в равновесии, то ограблен третий мешок из тройки (в нашем примере – это 7 кг), а если одна из чаш перевешивает, то ограблен

мешок из «подозрительной» тройки, лежащий на другой, более легкой чаше весов.

7 класс

Вариант 1

1) Поскольку в каждой семье есть дети, и у каждого мальчика есть сестра, то в каждой семье есть хотя бы одна девочка, т.е. количество девочек не меньше, чем количество семей. Мальчиков больше, чем девочек, значит, их количество больше, чем количество семей. Так как взрослых в каждой семье двое, то общее количество детей больше, чем общее количество взрослых.

Ответ: бельчат-детей больше.

2) да, существуют, например, ccqqq

+ pppcqqq

> gd и cqqq

c+ cqqq

ppp> d

g.

Ответ: да, существуют.

3) Максимальное количество грибов, найденных гномами, равно 9 + 10 +11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84. Минимальное количество грибов, найденных козлятами, равно 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Только в этом случае достигается разность 84 − 28 = 56. Поэтому Белоснежка нашла 8 грибов.

Ответ: 8.

4) Треугольники 𝐴𝑃𝐶 и 𝐵𝐶𝑄 равнобедренные. Отсюда и по теореме о внешнем угле треугольника получаем: ∠𝐴𝐶𝑃 = ∠𝐴𝑃𝐶 = c

g∠𝐵𝐴𝐶, ∠𝐵𝐶𝑄 =

∠𝐵𝑄𝐶. Тогда ∠𝑃𝐶𝑄 = ∠𝐵𝐶𝐴 + ∠𝐵𝐶𝑄 + ∠𝐴𝐶𝑃 = 90° + cg∠𝐶𝐵𝐴 + ∠𝐵𝐴𝐶 =

90° + 45° = 135°.

Ответ: 135°.

5) Разрежем весь квадрат на 9 квадратов, поскольку черных квадратиков ровно 8, то по крайней мере в одном из этих квадратов нет черного квадратика. Поэтому квадрат площадью 9 всегда можно вырезать.

Покажем, что прямоугольник большего размера не всегда можно вырезать. Для этого достаточно покрасить в черный цвет квадратики, как это показано на рисунке. Здесь можно вырезать или квадратик или прямоугольник, большей площади прямоугольник вырезать нельзя.

Ответ: 9.

7 класс

Вариант 2

1) 9 бельчат, которые ничего не ответили, составляют 100 − 37,5 − 56,25 =6,25%, т.е. 16-ю часть от общего количества опрошенных бельчат. Значит, всего было опрошено 144 бельчонка.

Ответ: 144 бельчонка.

2) да, например, cg+ i

r+ g

c+ r

i− f

f− d

d− e

e− z

z− p

p= 0

Ответ: да, можно.

3) Пусть 𝑥 – количество положительных чисел, 𝑦 – количество отрицательных, 𝑧 – нолей среди данных чисел. По условию 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 20 и 𝑥𝑦 = 34. Число 34 раскладывается в произведение двух множителей лишь следующими способами: 34 = 1 ∙ 34, 34 = 2 ∙ 17. В первом случае сумма множителей больше 20, следовательно, 𝑧 = 20 − 2 − 17 = 1.

Ответ: 1.

4) Так как 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 и 𝐵𝑁 = 𝐵𝑀, получаем, что 𝐴𝑀 = 𝐶𝑁. Кроме того, ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐴 (углы при основании равнобедренного треугольника). Рассмотрим треугольники 𝐴𝐶𝑀 и 𝐶𝐴𝑁. Так как у них общая сторона 𝐴𝐶, эти треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, ∠𝑀𝐶𝐴 = ∠𝑁𝐴𝐶 = 25°. Тогда из треугольника 𝐴𝑃𝐶 получим, что ∠𝐴𝑃𝐶 =180° − 25° + 25° = 130°.

Ответ: 130°.

5) Нарисуем путь «Бельчонка» на шахматной доске, где уже сделана раскраска. Так как изначально доска была белая, «Бельчонок» должен был зайти на каждую черную клетку, поэтому он сделал не менее 8 «полезных» ходов. Но после хода на черную клетку следующий ход приводит «Бельчонка» на белую клетку, поэтому кроме полезных ходов «Бельчонок» совершил по крайней мере 7 «лишних» ходов. Осталось заметить, что каждую белую клетку, где побывал «Бельчонок», он должен был перекрасить четное число раз, т.е. на каждой белой клетке он побывал четное число раз.

Поэтому, на самом деле, количество «лишних» ходов должно быть четным, т.е. не менее 8. Пример оптимального маршрута показан на рисунке.

Ответ: 16.

8 класс

Вариант 1

1) Единственное четырехзначное число, у которого цифры идут в порядке возрастания с первой цифрой 6 – это 6789, но оно не делится на 9. С первой цифрой 5 рассмотрим числа 5678 и 5789, которые имеют соответственно наименьшее и наибольшее суммы цифр. Как легко понять, между ними существует единственное число с суммой цифр, которая делится на 9.

Ответ: 5679.

2) Все четыре числа: делимое, делитель, неполное частное и остаток, по утверждению Васи, нечетные. Но делимое есть сумма произведения неполного частного на делитель и остатка. Если последние три числа нечетные, то делимое должно быть четным, т.е. Вася ошибся.

Ответ: Вася не прав.

3) Средняя скорость V0 находится как среднее гармоническое: 𝑉q =g

·¸·� ·¸¹

, то

есть 6 = g·º�

·¸¹

. Отсюда находим 𝑉g = 12 км/час.

Ответ:12 км/час.

4) Отложим на стороне 𝐵𝐴 отрезок 𝐴𝐸, равный 𝐴𝐶. Тогда в треугольнике 𝐴𝐶𝐸 углы при основании равны 80°. Пусть 𝐶𝐷 – биссектриса ∠𝐴𝐶𝐵, тогда ∠𝐵𝐷𝐶 = 180° − (40° + 60°) = 80°. В треугольнике 𝐷𝐸𝐶 равны два угла, поэтому он равнобедренный. Тогда ∠𝐷𝐶𝐸 = 20°, поэтому ∠𝐵𝐶𝐸 = 60° −20° �= 40°. Значит, треугольник 𝐵𝐶𝐸 также равнобедренный, следовательно, 𝐶𝐸 = 𝐷𝐸 = 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = 1.

Ответ: 1.

5) Предположим, что при любом выборе числа 𝑘 Петя не может получить прямоугольник площади 12 или больше. Это означает, что среди полос максимум по одной полоске длины 9, 8, 7, 6; не более двух полосок

длины 5 и 4; не более трех полосок длины 3, не более пяти полосок длины 2 и не более одиннадцати единичных квадратиков. Общая площадь

9 + 8 + 7 + 6 + 2 ∙ 5 + 2 ∙ 4 + 3 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 11 = 78 < 81.

Таким образом, по крайней мере одного типа прямоугольников 1×𝑘 хватит для построения прямоугольника площади 12.

Теперь покажем разрезания, при котором значение 12 – наибольшее возможное. На рисунке показано разрезания квадрата 9×9 на такие прямоугольники:

1 ∙ 9 + 1 ∙ 8 + 1 ∙ 7 + 2 ∙ 6 + 2 ∙ 5 + 1 ∙ 4 + 4 ∙ 3 + 6 ∙ 2 + 7 ∙ 1 = 81.

Ответ: 12.

8 класс

Вариант 2

1) Так как 1000 = 53 ∙ 23, то каждое из чисел в своем разложении на простые множители может содержать только двойки и пятёрки. Заметим, что оба этих множителя не могут присутствовать в разложении одного числа, иначе оно будет делиться на 10. Следовательно, одно из чисел равно 53, а другое – 23. Тогда их сумма равна: 53 + 23 = 125 + 8 = 133.

Ответ: 133.

2) Первый способ. Чисел нечетное число, поэтому их нельзя разбить на пары.

Второй способ. Данные числа можно разделить на 3 группы: кратные 3, дающие остаток 1 при делении на 3 и дающие остаток 2 при делении на 3. Числа из любой пары всегда относятся к одной группе, поэтому мы должны разбить на пары каждую группу. Но количество чисел в первой группе (кратных 3) нечетно: оно равно 671. Поэтому такое разбиение невозможно.

Ответ: Вася не прав.

3) Пусть 𝑥 человек приходило на все три лекции. Подсчитаем, сколько было учащихся на всех трех лекциях вместе. 90 учащихся пришло только на одну лекцию, 120 учащихся приходило дважды, 3𝑥 учащихся приходили трижды. Так как всего на лекции пришло 3 ∙ 100 = 300 учащихся, то составляем и решаем уравнение: 90 + 120 + 3𝑥 = 300, откуда 𝑥 = 30.

Ответ: 30 учащихся.

4) Проведём отрезок 𝐻𝑀. Он является медианой в прямоугольном треугольнике 𝐵𝐻𝐶, поэтому равен половине 𝐵𝐶. Пусть ∠𝑀𝐴𝐶 = 𝛼, тогда ∠𝑀𝐶𝐴 = 2𝛼. Так как 𝑀𝐶 = 𝑀𝐻, то треугольник 𝐻𝑀𝐶 равнобедренный, следовательно, ∠𝑀𝐻𝐶 = ∠𝑀𝐶𝐻 = 2𝛼. Так как угол 𝑀𝐻𝐶 – внешний для треугольнике 𝐴𝐻𝑀, то ∠𝐴𝑀𝐻 = ∠𝑀𝐻𝐶 −∠𝑀𝐴𝐻 = 𝛼. Таким образом, треугольник 𝐴𝐻𝑀 равнобедренный, то есть 𝐴𝐻 = 𝐻𝑀 = ©¨

g= 5 см.

Ответ: 5 см.

5) Первый способ. Прежде всего, заметим, что после каждого хода уменьшается общее количество конфет. Следовательно, рано или поздно игра должна закончиться победой одного из игроков. Изначально в белой коробке конфет больше, и разность количества конфет в белой и красной коробках равна 1. Мальчики своими ходами не могут сделать так, что бы количество конфет в коробках стало равным.

Далее рассмотрим два случая:

Первый случай. В процессе игры мальчики делают ходы так, что количество конфет в белой коробке всегда больше количества конфет в красной коробке. Тогда после каждого хода разность между количеством конфет в коробках изменяется на 2. Поэтому после каждого хода первого игрока остаток от деления этой разности на 4 будет равен 3. Т. е. после некоторого очередного хода первого игрока в белой коробке будет 3 конфеты, в красной не будет ни одной и второй игрок может всегда сделать ход (например, съесть 2 конфеты). Следовательно, проиграть он не может и проигрывает всегда первый игрок.

Второй случай. В процессу игры мальчики делают ходы так, что количество конфет в красной коробке становится больше количества конфет в белой, причем такое может случиться только после хода первого и в случае, когда разность между количеством конфет в коробках будет равна 1. Вернуть ситуацию обратно может толь второй игрок. Если смена лидера (назовем «лидером» коробку с большим количеством конфет) произойдет четное число раз, то мы придем к ситуации, Когда после хода второго в красной коробке будет 1 конфета, в белой – 2; если смена лидера произойдет нечетное количество раз, то мы придем к ситуации, когда после хода первого в красной коробке будет 0 конфет, в белой – 3. В каждом из случаев второй проиграть не может и проигрывает всегда первый игрок.

Второй способ. Заметим, что всего можно сделать четное число (12) ходов, уменьшающих число конфет на 2. Так как конфет в сумме 25, то пока их не меньше трех, найдется коробка, в которой конфет не меньше двух, оттуда можно будет забрать 2. Также заметим, что перекладываний из коробки в коробку можно сделать тоже четное число ходов: вначале в красной коробке четное число конфет, значит, если было сделано нечетное число перекладываний и какое-то количество изъятий двух конфет, в красной коробке осталось нечетное число конфет и можно переложить еще хотя бы 1 раз. Таким образом, ходов обоих типов может быть сделано четное число, поэтому выигрывает второй независимо от сделанных игроками ходов.

9 класс

Вариант 1

1) Уравнение 𝑘𝑥 + 𝑚 = 0 не имеет корней тогда и только тогда, когда 𝑘 = 0, 𝑚 ≠ 0. Тогда, из чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 ровно три равно нулю и ровно три не равно нулю, что невозможно. Значит, Вася не прав.

2) 1. Пусть на острове 𝑥 жителей, каждый из них дал 𝑥 − 1 ответ, поэтому 𝑥 𝑥 − 1 = 26 + 30, то есть 𝑥 = 8.

2. Пусть на острове 𝑦 рыцарей, тогда лжецов – (8 − 𝑦). Ответ: «рыцарь» каждый из рыцарей дал 𝑦– 1 раз, а каждый из лжецов – (7 − 𝑦) раз. Тогда 𝑦(𝑦 − 1) + (8 − 𝑦)(7 − 𝑦) = 26 ⇔ 𝑦g − 8𝑦 + 15 = 0 ⇔ 𝑦 = 3 или 𝑦 = 5. Оба полученных ответа удовлетворяют условию (в обоих случаях получается 30 ответов «лжец»).

Возможно также решение методом полного перебора. Для того, чтобы существенно упростить перебор, можно заметить, что число 30 должно делиться как на удвоенное количество рыцарей, так и на удвоенное количество лжецов. Действительно, если рыцарей – 𝑦, а лжецов – 𝑧, то 𝑦𝑧 +𝑧𝑦 = 30, то есть 2𝑦𝑧 = 30.

Ответ: 3 или 5.

3) Раскрасим данный треугольник в «шахматном» порядке так, как это сделано на рисунке. Поскольку каждый вырезанный параллелограмм состоит из

двух белых единичных треугольничков, а их всего 21, то число всех вырезанных параллелограммов не превышает10.

На рисунке показано, как вырезать ровно 10 нужных параллелограммов.

Ответ: 10.

4) Отложим на продолжении отрезке 𝐶𝐴 за точку 𝐴 точку 𝐷 так, что 𝐶𝐴 = 𝐴𝐷. Тогда для ∆𝐵𝐶𝐷 отрезки 𝐷𝑀 и 𝐵𝐴 являются медианами. Они пересекаются в одной точке 𝑇 и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины треугольника. Значит, точки 𝑇 и 𝑁 совпадают. Тогда ∠𝐷𝐴𝐵 = 180° − ∠𝐶𝐴𝐵 = 180° − ∠𝐶𝑀𝑁 = ∠𝐷𝑀𝐵. Поэтому четырехугольник 𝐵𝑀𝐴𝐷 – вписанный. Поскольку 𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝐷, как средняя линия ∆𝐵𝐶𝐷, то ∠𝐶𝐷𝐵 = ∠𝐶𝐴𝑀 = ∠𝐶𝐵𝐷. Отсюда следует, что 𝐶𝐷 = 𝐶𝐵.

Поэтому �¨©¨=

·¹¿¨

¿¨= c

g.

Ответ: cg.

5) Первое решение. Пусть 𝑥 и 𝑦 – целые числа. Рассмотрим числа 𝑥f − 30𝑦 и 𝑥. Заметим, что 𝑥f − 30𝑦 − 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 1 − 30𝑦. Так как произведение трёх последовательных чисел делится на 3 и 30 делится на 3, то и разность 𝑥f − 30𝑦 − 𝑥 делится на 3. Это означает, что числа 𝑥f − 30𝑦 и 𝑥 имеют одинаковые остатки при делении на 3.

Так как остатков при делении на 3 ровно три, а чисел на доске изначально два, то по крайней мере одного остатка от деления на 3 на доске нет. Каждое дописывание числа вида 𝑥f − 30𝑦 добавляет на доску число с таким же остатком при делении на 3, как и у числа 𝑥. Поэтому на доске не могут появиться числа с отсутствующим остатком. Итак, на доске не могут появиться одновременно даже числа 2015, 2016, 2017, поскольку они имеют остатки 0, 1 и 2 при делении на 3.

Второе решение. Рассмотрим последние цифры чисел, которые дописываются на доску. Вычитание числа 30𝑦 не изменяет последнюю цифру числа, а при возведении в куб последние цифры чисел либо повторяются (для цифр 0, 1, 4, 5,6, 9), либо разбиваются на пары: (2; 8) и (3; 7). Таким образом, два исходных числа могут образовать не более четырёх различных последних цифр у множества чисел, записанных на доске.

Ответ: нет, не могут.

9 класс

Вариант 2

1) Например, 𝑦 = 𝑥 + 10, 𝑦 = 2𝑥 + 9, 𝑦 = 3𝑥 + 8, 𝑦 = 4𝑥 + 7, 𝑦 = 5𝑥 + 6, тогда график каждой функции пройдет через точку (1, 11).

Или 𝑦 = 𝑥 + 2, 𝑦 = 3𝑥 + 4, 𝑦 = 5𝑥 + 6, 𝑦 = 7𝑥 + 8, 𝑦 = 9𝑥 + 10, тогда график каждой функции пройдет через точку (−1, 1).

Возможны и другие примеры.


2) Пусть крайний слева – лжец. Тогда и все остальные, кроме, возможно, крайнего справа – лжецы, то есть лжецов 2014 или 2015. То же будет, если лжец – крайний справа. Если же оба крайних – правдивые, то все, кто между ними, говорят правду, и лжецов 0.

Ответ: 2015, 2014 или 0.

3) Пример для 9 уголков изображен на рисунке.

Докажем, что большее количество уголков разместить не удастся. Предположим, что мы разместили 10 уголков так, чтобы они удовлетворяли условию. Рассмотрим каждый из них. Покрасим отрезки, как это показано на рисунке – здесь сторону маленького квадрата считаем равной c

g, то есть мы единичные квадраты разбили

пополам на 4 меньших равных квадратика.

Для каждого из уголков общая длина окрашенных отрезков составляет 11, поэтому их общая длина составляет 110. При этом, как легко понять, у одной пары уголков нет общих окрашенных отрезков, но отрезки могут выходить за пределы квадрата (а именно те, что идут из средних сторон).

Теперь рассмотрим одну из сторон большого квадрата. Покрасим на ней все отрезки, которые не принадлежат сторонам уголков – их общая длина как минимум 2, что нетрудно понять из того, что уголки не могут касаться сторонами, а их наибольшая сторона равна 2; очевидно, что они не были окрашены ранее. Также сотрем все отрезки, которые выходят из

середин двухклеточного сторон уголков и выходят за пределы квадрата, причем один конец которых лежит на этой стороне квадрата – поскольку таких уголков для данной стороны не более 2, то общая длина стертых отрезков будет не более 1. Таким образом, суммарная длина отрезков выросла не менее, чем на 1. Поскольку есть всего 4 стороны квадрата, то она выросла минимум на 4и стала минимум 114. Но все отрезки теперь идут по линиям сетки квадрата, не совпадают и не выходят за его пределы. Но в таком случае их длина не может быть больше суммарной длины всех линий сетки квадрата, в частности 2 ∙ 7 ∙ 8 = 112 < 114. Противоречие.

Ответ: 9.

4) Пусть ∠𝐻𝐵𝐾 = 𝛼. Тогда ∠𝐾𝐴𝐻 = ∠𝐻𝐵𝐾 = 𝛼 (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Из прямоугольного треугольника 𝐴𝐷𝐶: ∠𝐶 =90° − 𝛼, а из прямоугольного треугольника 𝐸𝐶𝐵: ∠𝐸𝐵𝐶 = 90° − ∠𝐶 = 𝛼. Таким образом, 𝐵𝐸 – высота и биссектриса треугольника 𝐾𝐵𝐶, следовательно, этот треугольник равнобедренный и 𝐵𝐸 является его медианой, то есть 𝐾𝐸 = 𝐸𝐶. Аналогично доказывается, что 𝐶𝐷 = 𝐷𝐿. Значит, 𝐸𝐷 – средняя линия треугольника 𝐾𝐶𝐿. Поэтому 𝐾𝐿 = 2𝐷𝐸 = 8 см.

Ответ: 10 см.

5) Предположим, такое 𝑛 существует. При увеличении на 𝑛% число умножается на 1 + 𝑛/100, а при уменьшении число умножается на 1– 𝑛/100. Если число повторилось после 𝑘 увеличений и 𝑙уменьшений, то 100 + 𝑛 Â 100 − 𝑛 Ã = 100Â�Ã. Так как правая часть чётна, то и левая часть должна быть чётна, значит, 𝑛 чётно. Так как правая часть кратна 5, то 𝑛 кратно 5, то есть 𝑛 = 10𝑚. Подставив и сократив, получим 10 + 𝑚 Â 10 − 𝑚 Ã = 10Â�Ã. Аналогично докажем, что 𝑚 кратно 10, поэтому 𝑛 делится на 100. Но по условию 𝑛 < 100.

Ответ: не существует.

10 класс

Вариант 1

1) Если в тарелках одинаковое количество орехов, то решение очевидно. Если нет, то уберем из тарелок орехи так, чтобы в одной из них остался один орех. Удвоим число орехов в этой тарелке и уберем из тарелок еще по ореху.

Будем проводить эту операцию до тех пор, пока в тарелках не станет по два ореха, после чего уберем эти орехи.


2) Центральную часть можно покрасить в один из трех цветов. Тогда все 12 секторов придется красить в другие два цвета, ведь каждый из секторов имеет общую границу с центральной частью. Сектор 1 можно покрасить в произвольный из двух цветов, а цвета остальных секторов устанавливаются после этого автоматически: сектор 2 должно быть окрашено в цвет, отличный от цвета центральной части и сектора 1; сектор 3 должен быть окрашен в цвет, отличный от цвета центральной части и сектора 2 и т. д. Легко видеть, что такое раскраска действительно удовлетворять условие задачи, ведь пара секторов 12 и 1 также будет раскрашена по-разному. Итак, имеем 3 ∙ 2 = 6 вариантов раскраски.

Ответ: 6.

3) По теореме Виета 𝑥c + 𝑥g = −𝑝, 𝑥c ∙ 𝑥g = 𝑞, т.к. 𝑥c − 𝑥g g = 𝑥c + 𝑥g g −4𝑥c𝑥g = 𝑝g − 4𝑞, то 𝑝g − 4𝑞 = 2015. Но нетрудно убедиться, что квадраты целых чисел дают в остатке при делении на 4 только 0 или 1. Но из 𝑝g −4𝑞 = 2015 следует, что полный квадрат 𝑝g даёт в остатке 3 при делении на 4, так как 2015 дает в остатке 3 при делении на 4, а 4𝑞 делится на 4. Получаем противоречие с тем, что полный квадрат дает в остатке 3 при делении на 4.

Ответ: нет, невозможно.

4) Пусть 𝐾 – середина 𝐷𝐶. Тогда 𝐴𝐷 = 𝐷𝐾 = 𝐾𝐶 = 𝐾𝐸. Заметим, что в треугольнике 𝐷𝐸𝐵 углы равны 30°, 60° и 90°. Кроме того, ∠𝐷𝐸𝐹 = 90° − ∠𝐵𝐸𝐹 = 30°. Следовательно, треугольник 𝐷𝐹𝐸 равнобедренный и 𝐷𝐹 = 𝐹𝐸 = 𝐵𝐹. Проведем среднюю линию 𝐹𝐾 в треугольнике 𝐵𝐷𝐶. Она параллельна основанию 𝐵𝐶, откуда ∠𝐷𝐹𝐾 = ∠𝐷𝐵𝐶 = 60° = ∠𝐷𝐹𝐴. Значит, отрезок 𝐹𝐷 является высотой треугольника 𝐴𝐹𝐾, поскольку совмещает в себе медиану и биссектрису. Следовательно, искомый угол прямой.

Ответ: 90°.

5) Для того, чтобы камень из точки 1; 1 можно было передвинуть в точку 𝑥; 𝑦 , необходимо и достаточно, чтобы НОД 𝑥; 𝑦 = 2Ä для некоторого неотрицательного целого 𝑠.

Сначала докажем необходимость. Как нетрудно заметить, обе разрешимые операции по передвижению камня по координатной плоскости либо оставляют неизменным НОД координат предыдущей точки, либо увеличивают его в два раза. В силу того, что НОД 1; 1 = 1, получаем необходимость.

Докажем достаточность. Пусть НОД 𝑥; 𝑦 = 2Ä для некоторого неотрицательного целого числа 𝑠. Из всех точек (𝑝; 𝑞) из которых можно попасть в точку 𝑥; 𝑦 выберем пару с наименьшей суммой 𝑝 + 𝑞. Заметим, что оба числа 𝑝 и 𝑞 нечетные, поскольку иначе мы могли бы достигнуть

точки 𝑥; 𝑦 из одной из пар Æg; 𝑞 , 𝑝; Ç

g с меньшей суммой координат, что

противоречит выбору пары (𝑝; 𝑞).

Если 𝑝 > 𝑞, то мы могли бы получить пару 𝑝; 𝑞 из пары Æ�Çg; 𝑞 с меньшей

суммой координат» что опять противоречит выбору точки 𝑝; 𝑞 . Аналогично получаем противоречие в случае 𝑝 < 𝑞. Итак, 𝑝 = 𝑞. В силу того, что НОД 𝑝; 𝑞 является степенью двойки, и оба числа 𝑝 и 𝑞 нечетные, получаем, что 𝑝 = 𝑞 = 1, что и доказывает достаточность по определению точки 𝑝; 𝑞 .

а) Так как НОД 2014; 2015 = 1 = 2q то камень можно передвинуть из точки (1; 1) в точку 2014; 2015 .

б) Так как НОД 2015; 2015 = 2015 не является степенью двойки, то камень нельзя передвинуть из точки (1; 1) в точку 2015; 2015 .

Ответ: а) да; б) нет.

10 класс

Вариант 2

1) Переложим из второго ящика два раза по 7 карандашей в любой другой непустой ящик, например, в первый, а потом заберём оттуда 15 карандашей во второй ящик. В итоге в первом ящике станет на один карандаш меньше, а во втором на один карандаш больше. Будем повторять эту операцию, используя второй ящик и любой непустой ящик. Ясно, что такими операциями можно переложить во второй ящик все карандаши.

Ответ: можно.

2) Нужно выписать все такие неупорядоченные тройки натуральных чисел, что сумма всех трёх равна 25, а сумма любых двух больше третьего

(неравенство треугольника). Можно классифицировать треугольники по равной стороне. Эта сторона может принимать значения 12, 11, 10, 9, 8 и 7. Соответствующие равнобедренные треугольники задаются следующими неупорядоченными тройками: < 12, 12, 1 >, < 11, 11, 3 >, < 10, 10, 5 >, <9, 9, 7 >, < 8, 8, 9 >, < 7, 7, 11 >.

Ответ: 6 способов

3) Пусть трехчлен 𝑎𝑥g + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎, 𝑏, 𝑐 – нечетные числа) имеет корень cgqcd

.

Домножив равенство на 2015g, получаем 𝑎 + 2015𝑏 + 2015g𝑐 = 0. Так как 2015 – нечетное число, то все три слагаемых нечетны, поэтому результат нечетный и нулем оказаться не может. Значит, число c

gqcd не может являться

корнем такого уравнения.

4) Заметим, что точка 𝐿 – середина отрезка 𝐶𝑀. Действительно, так как точки 𝐴, 𝐻, 𝐵 и 𝑀 лежат на одной окружности, то ∠𝐻𝐵𝑀 = ∠𝐻𝐴𝐶 = 90° − ∠𝐶 = ∠𝐻𝐵𝐶. Значит, в треугольнике 𝐶𝐵𝑀 высота совпадает с биссектрисой, т.е. он равнобедренный, и тогда 𝐶𝐿 = 𝐸𝑀. Аналогично, точка 𝐾 – середина отрезка 𝐶𝑁. Тогда 𝐿𝐾 – средняя линия в треугольнике 𝑀𝐶𝑁, а значит, 2𝐿𝐾 = 𝑀𝑁.

5) Докажем, что у пассажиров в сумме должно набраться не меньше 108 рублей. Представим себе, что платёж происходит следующим образом: все пассажиры сдают все свои деньги кондуктору, а затем он раздаёт всем положенную сдачу. Очевидно, можно считать, что каждый пассажир отдаёт монеты только одного типа, а получает лишь монеты другого типа. Действительно, если кто-то сдал, скажем, двухрублевую монету и получил назад двухрублевую монету, то её можно было не использовать, отчего общая сумма денег лишь уменьшится.

Предположим, что можно обойтись менее чем 108 рублями. Заметим, что у каждого пассажира имеется не менее 5 рублей, иначе он не сможет получить сдачу. Следовательно, если хотя бы у одного пассажира на руках не менее 13 рублей, то у всех пассажиров хотя бы 19 ∙ 5 + 13 = 108 рублей. Значит, у каждого пассажира от 5 до 12 рублей. Поскольку пассажиры отдают монеты одного типа, а получают назад монеты другого типа, у пассажиров не могло быть 7, 9 или 11 рублей и они не могли получить в качестве сдачи 7, 9 или 11 рублей. Таким образом, у пассажиров могли находиться лишь: 5 рублей (сдача – 4 = 2 + 2 рубля) или 6 = 2 + 2 + 2 рублей (сдача – 5 рублей). Пусть

𝑘 – число пассажиров с 6 рублями. Тогда всего имеется 3𝑘 монет по два рубля. Каждый из оставшихся 20 − 𝑘 пассажиров должен получить на сдачу по 2 таких монеты. Следовательно, 2(20 − 𝑘) ≤ 3𝑘, т. е. 𝑘 ≥ 8. Но тогда общая сумма 𝑘 ∙ 6 + 20 − 𝑘 ∙ 5 = 100 + 𝑘 > 108. Противоречие.

Приведём пример, когда пассажиры смогут обойтись суммой в 108 рублей. Пусть 12 пассажиров имеют по 5 рублей, а 8 пассажиров – по 2 + 2 + 2 рублей. Тогда первые 12 возьмут себе в качестве сдачи по 2 + 2 рубля (на это уйдут все 24 монеты по два рубля), а вторые 8 пассажиров возьмут сдачу по пять рублей. Оставшиеся 4 монеты по пять рублей останутся кондуктору в качестве оплаты за проезд.

Ответ: 108 рублей.

11 класс

Вариант 1

1) Пусть 𝑥 – количество алмазов, 𝑦 – число оставленных сиклей, 𝑧 – число подарков. Тогда 150𝑥 − 𝑦 = 51𝑧, 150𝑥– 50𝑧 = 𝑦 + 𝑧. По условию 𝑥 не больше 30, следовательно, 𝑧 не больше 90, 𝑦 не больше 8, следовательно, 𝑧 + 𝑦 не больше 98. Но 𝑧 + 𝑦 = 50(3𝑥 − 𝑧), следовательно, 𝑧 +𝑦должно делиться на 50, отсюда 𝑧 + 𝑦 = 50, а 3𝑥 − 𝑧 = 1 и 𝑧 может принимать значения от 42 до 45 (поскольку 𝑦 не меньше 5 и не больше 8). Из уравнения 3𝑥 − 𝑧 = 1 вытекает, что остаток 𝑧 от деления на 3 равен 2, в интервале [42, 45] одно такое значение 𝑧 = 44. При этом количество алмазов 𝑥 = 15, число оставленных сиклей 𝑦 = 6.

Ответ: 44 подарка.

2) Возможны различные способы решения, основанные на получении различных следствий из данных равенств.

Первый способ. Возведем каждое из равенств в квадрат, тогда cosg 𝐴 +sing 𝐵 + 2 cos 𝐴 sin 𝐵 = 2 и sing 𝐴 + cosg 𝐵 + 2 sin 𝐴 cos 𝐵 = 2. Сложим полученные равенства и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса суммы: 2 + 2 sin 𝐴 cos 𝐵 + 2 cos 𝐴 sin 𝐵 = 4 ⇔ sin 𝐴 + 𝐵 = 1, следовательно, 𝐴 + 𝐵 = 90°, тогда 𝐶 = 180° − 𝐴 + 𝐵 =90°.

Второй способ. Почленно сложим исходные равенства: sin 𝐴 + cos 𝐴 +sin 𝐵 + cos𝐵 = 2 2 ⇔ c

gsin 𝐴 + c

gcos 𝐴 + c

gsin 𝐵 + c

gcos 𝐵 = 2 ⇔

sin 𝐴 + 45° + sin 𝐵 + 45° = 2. Так как sin 𝑥 ≤ 1, то последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда sin 𝐴 + 45° = 1 и sin 𝐵 + 45° = 1. Следовательно, 𝐴 + 45° = 90° и 𝐵 + 45° = 90°, то есть 𝐴 =𝐵 = 45°. Значит, 𝐶 = 90°.

Третий способ. Почленно перемножим исходные равенства и используем формулы двойного аргумента и косинуса разности: sin 𝐴 cos 𝐴 + sin 𝐴 sin 𝐵 +cos 𝐴 cos 𝐵 + cos𝐵 sin 𝐵 = 2 ⇔ c

gsin 2𝐴 + c

gsin 2𝐵 + cos 𝐴 − 𝐵 = 2. Так как

sin 𝑥 ≤ 1 и 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 1, то последнее равенство выполняется тогда и только

тогда, когда sin 2𝐴 = 1,sin 2𝐵 = 1,cos 𝐴 − 𝐵 = 1.

Следовательно, 𝐴 = 𝐵 = 45°, то есть 𝐶 = 90°.

В каждом из приведенных способов решения на заключительном этапе необходимо убедиться, что полученные значения 𝐴, 𝐵 и 𝐶 удовлетворяют каждому из данных равенств, что соответствует действительности.

Ответ:∠𝐶 = 90°.

3) Пусть ∠𝐶𝑁𝐾 = 𝑥, ∠𝐸𝐶𝐴 = 𝛼. Тогда ∠𝑁𝐵𝐾 = 𝑥 как вписанный угол, опирающийся на дугу 𝑁𝐾; ∠𝐴𝐵𝐸 = 𝛼 как вписанный угол, опирающийся на дугу 𝐴𝐸. Далее, ∠𝑁𝐾𝐴 = 𝑥 + 𝛼 как внешний угол в треугольнике 𝑁𝐾𝐶 и тогда ∠𝑁𝐵𝐴 = 𝑥 + 𝛼 как угол, опирающийся на ту же дугу. Теперь находим, что ∠𝑁𝐵𝐸 = ∠𝑁𝐵𝐴 − ∠𝐴𝐵𝐸 = 𝑥. Таким образом, ∠𝐷𝐵𝐸 = ∠𝑁𝐵𝐾 + ∠𝑁𝐵𝐸 = 2𝑥 и при этом ∠𝐷𝐵𝐸 = ∠𝐷𝐶𝐸 = 40°. Значит, 2𝑥 = 40°.

Ответ: ∠𝐶𝑁𝐾 = 20°.

4) Так как 𝑛g𝑎± = 𝑎c + 𝑎g + ⋯+ 𝑎±�c + 𝑎± = 𝑛 − 1 g𝑎±�c + 𝑎±, то

𝑎± =𝑛 − 1𝑛 + 1𝑎±�c =

𝑛 − 1𝑛 + 1 ∙

𝑛 − 2𝑛 ∙ 𝑎±�g = ⋯ =

𝑛 − 1𝑛 + 1 ∙

𝑛 − 2𝑛 ∙ … ∙

24 ∙13 𝑎c

=1

𝑛 𝑛 + 1 .

Тогда 𝑎gqcd =c

gqcd∙gqce= c

iqeggiq.

Ответ: 𝑎gqcd =c

gqcd∙gqce= c

iqeggiq.

5) Рассмотрим любую девочку 𝐷 и трех ее знакомых девочек 𝐷c, 𝐷g, 𝐷f. По условию, для каждой из девочек 𝐷c, 𝐷g, 𝐷f есть мальчик, знакомый с ней и с 𝐷. Если для всех троих это один и тот же мальчик, то у него не меньше четырех знакомых девочек, что противоречит условию. Значит, у 𝐷 не меньше двух знакомых мальчиков. Поскольку 𝐷 – произвольная девочка, это означает, что у каждой девочки не меньше двух знакомых мальчиков.

Теперь посчитаем количество знакомств между мальчиками и девочками. С одной стороны, это количество равно 3𝑚, где 𝑚 – число мальчиков. С другой стороны, оно не меньше, чем 2 ∙ 30, так как каждая из 30 девочек участвует хотя бы в двух таких знакомствах. Следовательно, 3𝑚 ≥ 2 ∙ 30 = 60, откуда 𝑚 ≥ 20.

Итак, мы доказали, что мальчиков не меньше 20. Осталось привести пример, в котором их ровно 20. Возьмем группу из 6 девочек и 4 мальчиков и организуем знакомства между ними следующим образом. Обозначим девочек 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹. Пусть девочки 𝐴, 𝐵, 𝐶 знакомы между собой и девочки 𝐷, 𝐸, 𝐹 знакомы между собой. Кроме того, пусть 𝐴 знакома с 𝐷, 𝐵 – с 𝐸 и 𝐶 – с 𝐹. Пусть первый мальчик знаком с девочками 𝐴, 𝐵, 𝐶, второй – с 𝐴, 𝐷, 𝐸, третий – с 𝐵, 𝐸, 𝐹, четвертый – с 𝐶, 𝐹, 𝐷. Нетрудно проверить, что при такой схеме знакомств для этих 6 девочек и 4 мальчиков условия задачи выполняются. Взяв пять таких групп, получим пример, в котором 30 девочек и 20 мальчиков.

Ответ: наименьшее возможное количество бельчат-мальчиков равно 20.

11 класс

Вариант 2

1) Каждый из 𝑥 «счастливчиков» привел по 4 друга. Тогда «приведенных» бельчат 4𝑥, еще 13 пришли сами, значит, всего бельчат было 13 + 4𝑥. С другой стороны, 𝑥 бельчат привели новых бельчат, а 100 – не привели, то есть всего бельчат было 𝑥 + 100.

Итак, 13 + 4𝑥 = 𝑥 + 100, откуда 𝑥 = 29.

Ответ: 29 бельчат.

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

𝐸

𝐹

2) Если бы выполнялось неравенство sin 𝛽 ≥ 0, то оба неравенства можно было возвести в квадрат и сложить. Получилось бы неравенство 1 > 1. Противоречие.

3) Обозначим через 𝑂 центр описанной окружности треугольника 𝐾𝐶𝐿. Пусть ∠𝐴𝑀𝐾 = 𝛼, ∠𝐴𝐶𝐵 = 2𝛼. Тогда ∠𝐾𝑂𝐿 = 4𝛼. Этот угол опирается на дугу 𝐾𝐴𝐵𝐿. Дуги 𝐴𝐾 и 𝐵𝐿 в сумме дают 𝛼, значит, на большую дугу 𝐴𝐵 приходится 3𝛼. Тогда ∠𝐴𝐾𝐵 = 3𝛼. Так как угол 𝐴𝐾𝐵 – внешний в треугольнике 𝐶𝐾𝐵, ∠𝐾𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐾𝐵 − ∠𝐴𝐶𝐵 = 𝛼. Тогда сумма противоположных углов 𝑂 и 𝐵 во вписанном четырехугольнике 𝐾𝑂𝐿𝐵 равна 5𝛼, откуда 5𝛼 = 180°, 𝛼 = 36°.

Ответ: 72°.

4) Первый способ. Из равенства 𝑎±�c = 𝑎± − 𝑎±g следует, что c�ËÌ·

= c�Ë+ c

c��Ë.

Получаем:

1𝑎gqci

=1

𝑎gqcf+

11 − 𝑎gqcf

=1

𝑎gqcg+

11 − 𝑎gqcg

+1

1 − 𝑎gqcf= ⋯

=1𝑎c+

11 − 𝑎c

+1

1 − 𝑎g+ ⋯+

11 − 𝑎gqcf

.

Легко проверить по индукции, что 0 < 𝑎± < 1, поэтому cc��Ë

> 1.

Следовательно, c�¹Í·º

= c�·+ c

c��Ëgqcf±Îc > 2 + 2013 = 2015. Значит, c

�¹Í·º<

cgqcd

.

Второй способ. Пусть 𝑏± =c�Ë

. Тогда 𝑏c = 2 и 𝑏±�c =c

·ÏË� ·ÏË¹= 𝑏± + 1 +

c�Ë�c

> 𝑏± + 1.

Поэтому 𝑏± > 𝑏c + 𝑛 − 1 = 𝑛 + 1; 𝑏gqci > 2015 и, следовательно, 𝑎gqci <c

gqcd.

5) Из условия следует, что каждому из них не понравилось не больше 8 бельчат. Отметим бельчат точками и проведём отрезки от каждого ко всем, кто ему не понравился. Всего получится не больше, чем 8 ∙ 55 = 440 отрезков. Всевозможных троек бельчат можно составить 55 ∙ 54 ∙ 53/6 =26235. Каждый отрезок указывает на 53 тройки, поэтому 440 отрезков

указывает, самое большее, на 440 ∙ 53 = 23320 < 26235троек. Поэтому есть тройка, на которую не указывают отрезки, что и требовалось доказать.

ПРОВЕРКА ОЛИМПИАДНЫХ РАБОТ

Баллы Правильность (ошибочность) решения

7 Полное (верное) решение 6-7 Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не

влияющие на решение. 5-6 Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не

рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после рассмотрения небольших исправлений или дополнений.

4 Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.

2-3 Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

1 Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0 Решение неверное, продвижения отсутствуют. 0 Решение отсутствует.

Помимо этого следует учитывать: а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов (недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри); б) олимпиадная работа не является контрольной работой обучающегося, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи.

Критерии определения победителей и призеров олимпиады «Бельчонок» 2014-2015 учебного года

Максимальная оценка – 35 баллов. Победителями Олимпиады становятся учащиеся, набравшие от 32 до 35 баллов в заключительном этапе Олимпиады. Призерами Олимпиады (диплом 2 степени) становятся учащиеся, набравшие от 25 до 31,9 баллов в заключительном этапе Олимпиады. Призерами Олимпиады (диплом 3 степени) становятся учащиеся, набравшие от 17 до 24,9 баллов в заключительном этапе Олимпиады.

2014/2015 учебного года Отборочный этап в I вариант 5...

Documents

Transcript of 2014/2015 учебного года Отборочный этап в I вариант 5...