20 連続的な電荷分布と電場

20-1 連続的な電荷分布による電場

•連続的に分布 → 密度を考える •長さ L の棒に電荷 Q を与えた場合 (一様に帯電)線電荷密度:

•面積 A の平面に電荷 Q を与えた場合 (一様に帯電)面電荷密度:

•電場は電荷を微小部分 ΔQ に分割し (19.16) から電場を計算し, 重ねあわせの原理から全電荷に渡って足し合わせ (積分) て求める

� =Q

L(20.1)

⇢ =Q

A(20.2)

20-2 直線上の電荷分布による電場•長さ L の棒に電荷 Q を与える. 棒の中心から垂直に x の距離での電場

•対称性から y 成分は 0

• x 成分�Ex

= �E cos ✓ =

1

4⇡✏0

�Q

r2cos ✓

r =

px

2+ y

2

cos ✓ =

x

r

(20.3)

�Q = ��y =Q

L

�y

�E

x

=1

4⇡✏0

x�y

(x2 + y

2)3/2Q

L

E

x

=X

�E

x

=1

4⇡✏0

Q

L

Xx�y

(x2 + y

2)3/2=

Q/L

4⇡✏0

ZL/2

�L/2

xdy

(x2 + y

2)3/2

Zdy

(y2 + a2)3/2=

1

a2y

(y2 + a2)1/2(20.4) を使って

電荷密度λが一定で棒が非常に長い場合: L → ∞

電場は棒からの距離 x に反比例

limL!1

E

x

=1

4⇡✏0lim

L!1

Q

x

px

2 + (L/2)2=

1

4⇡✏0lim

L!1

Q

xL

p(x/L)2 + 1/4

=1

4⇡✏0

�

x

limL!1

1p(x/L)2 + 1/4

=1

2⇡✏0

�

x

(20.6)

E

x

=1

4⇡✏0

Q

L

y

x(y2 + x

2)1/2

�L/2

�L/2

=1

4⇡✏0

Q

x

px

2 + (L/2)2(20.5)

20-3 平面上の電荷分布による電場•リング状の電荷分布による電場半径 r の輪が一様に帯電 (全電荷Q)

• (x, 0, 0) 上の電場: 対称性から y, z 成分は 0

�E

x

=

1

4⇡✏0

�Q

r

2+ x

2cos ✓ =

1

4⇡✏0

�Q

r

2+ x

2

x

(r

2+ x

2)

1/2

E

x

=

X�E

x

=

1

4⇡✏0

x

(r

2+ x

2)

3/2

X�Q =

Q

4⇡✏0

x

(r

2+ x

2)

3/2(20.7)

� =Q

2⇡r

E

x

=Q

4⇡✏0

x

(r2 + x

2)3/2=

�

2✏0

xr

(r2 + x

2)3/2

線電荷密度λを導入

円盤上の電荷分布•半径 R, 一様電荷密度 ρ の円盤が

(x, 0, 0) 上に作る電場

•半径 r, 幅 Δr のリングの作る電場　 •円盤の作る電場 → この式を半径 0 から R まで積分

E

x

=⇢�r

2✏0

xr

(r2 + x

2)3/2

E

x

=

ZR

0dE

x

=⇢

2✏0

ZR

0

xr dr

(r2 + x

2)3/2

=⇢x

2✏0

h�(r2 + x

2)�1/2iR

0=

⇢x

2✏0

�(R2 + x

2)�1/2 +1

x

�

=⇢

2✏0

1� xp

R

2 + x

2

�(20.8)

for x ⌧ R, E

x

' ⇢

2✏0(20.9)

無限に広い平面による電場

•半径無限大の円盤を考える • • x に依存しない

• x < 0 の領域も含めると

R ! 1 ) Ex

=⇢

2✏0(20.10)

E

x

=

(⇢

2✏0(x > 0)

� ⇢

2✏0(x < 0)

(20.11)

20-4 球面上の電荷分布による電場

•球面に電荷が一様分布しているときの電場（全電荷 Q)

•球面より外側では球の中心に点電荷 Q がある場合と同じ（重力のときと一緒）

~E =1

4⇡✏0

Q

r2r, (20.12)

where r =~r

r

20-5 球面上の電荷分布による電場の導出

•図20-9のピンク色のリング状の電荷ΔQが作る電場を考える

•リング上の点の位置ベクトルを 電場を考える場所の位置ベクトルを

~R

~r

|~r � ~R| =q

(~r � ~R)

2=

q~r2 � 2~r · ~R+

~R2

=

pr2 � 2rR cos ✓ +R2

�Ex

=

1

4⇡✏0

�Q

r2 � rR cos ✓ +R2cos ✓0

cos ✓0 =r �R cos ✓p

r2 � 2rR cos ✓ +R2

全電荷を Q とすると

�Q =2⇡R sin ✓ R�✓

4⇡R2Q =

Q

2sin ✓�✓

�Ex

=

Q

8⇡✏0

(r �R cos ✓) sin ✓�✓

(r2 � 2rR cos ✓ +R2)

3/2

= � Q

8⇡✏0

d

dr

sin ✓�✓

(r2 � 2rR cos ✓ +R2)

1/2

Ex

= � Q

8⇡✏0

d

dr

Z⇡

0

sin ✓d✓

(r2 � 2rR cos ✓ +R2)

1/2

= � Q

8⇡✏0

d

dr

1

rR

pr2 � 2rR cos ✓ +R2

�⇡

0

= � Q

8⇡✏0

1

R

d

dr

"pr2 + 2rR+R2 �

pr2 � 2rR+R2

r

#

= � Q

8⇡✏0

1

R

d

dr

p(r +R)

2 �p

(r �R)

2

r

= � Q

8⇡✏0

1

R

d

dr

|r +R|� |r �R|r

(20.13)

全電荷を Q とすると

�Q =2⇡R sin ✓ R�✓

4⇡R2Q =

Q

2sin ✓�✓

�Ex

=

Q

8⇡✏0

(r �R cos ✓) sin ✓�✓

(r2 � 2rR cos ✓ +R2)

3/2

= � Q

8⇡✏0

d

dr

sin ✓�✓

(r2 � 2rR cos ✓ +R2)

1/2

Ex

= � Q

8⇡✏0

d

dr

Z⇡

0

sin ✓d✓

(r2 � 2rR cos ✓ +R2)

1/2

= � Q

8⇡✏0

d

dr

1

rR

pr2 � 2rR cos ✓ +R2

�⇡

0

= � Q

8⇡✏0

1

R

d

dr

"pr2 + 2rR+R2 �

pr2 � 2rR+R2

r

#

= � Q

8⇡✏0

1

R

d

dr

p(r +R)

2 �p

(r �R)

2

r

= � Q

8⇡✏0

1

R

d

dr

|r +R|� |r �R|r

(20.13)

Er =

(1

4⇡✏0Qr2 r > R (20.14)

0 r < R (20.15)

帯電した球による電場

•球面上だけではなく球内部に半径にしかよらない (球対称な) 電荷分布がある場合

•球を半径方向に Δr の球殻に分割

•中心に　の電荷がある場合と同じ

Er =X 1

4⇡✏0

�Q

r2=

1

4⇡✏0r2

Z r

0⇢(R)dV

Q =

Z r

0⇢(R)dV = 4⇡

Z r

0R2⇢(R)dR (20.16)

20-6 一般的な電荷分布による電場

•電荷密度 ρ(x, y, z) の分布が与えられたとき, 体積素片 dV’=dx’dy’dz’ の電荷 dQ’ = ρ(x’, y’, z’) dV’ が (x, y, z) に作る電場

•解析的に積分可能な場合は限られる ⇒ 数値計算

d ~E(x, y, z) =1

4⇡✏0

dQ

|~r � ~r

0|2~r � ~r

0

|~r � ~r

0| (20.17)

~

E(x, y, z) =1

4⇡✏0

Z⇢(x0

, y

0, z

0)

|~r � ~r

0|2~r � ~r

0

|~r � ~r

0|dx0dy0dz0 (20.18)

20-7 平行板コンデンサ

•コンデンサ: 電荷を蓄積する電子部品 •面積 A の２つの電極に電荷密度 ρ と -ρ を与えた場合

•A が十分大きいとして (20.9)より~E =

⇢

✏0e (20.19)

e : 正の電極から負の電極に向かう 単位ベクトル

電極外では ~E = 0